资源简介

英恋物理
《高考物理顶层
系列资料点考向通01
万有引力及其应用
资料编号
、天文学发展简介
习题编号:12
古希腊天文学家,在公元
直接观察经验
习题编号:121-2
世纪提出地心说理论
宗教
火星
地球是)神学题编号:121-3
宙中
太F
托勒密
成功解释了
行星逆行。
球
行星逆行
哥白尼
波兰天文学家、神
父,在16世纪提出她球自转
日心说理论
成功解绎了太
阳东升西落
开普勒三定律的诞生
金
关键
支持
球
第谷丹麦天文学家
提高观训精度
勺速圆周运动X观测数据
开普勒
误差10→2
开普勒三定律
第谷
如利略
万有刮力定律
引力常量谢量
卡文迪许
英恋物理
《高考物理顶层
系列资料考点考向通02
二、开普勒三定律
开普勒第一定律(轨道定律)
内
有行星绕太
动
都是椭圆,太阳处在椭圆
结论:所有环绕轨道都是椭圓,解题时可近似当着圓处理
开普勒第二定律(面积定律
行星
内容:对任意一个行星来
连线在相
内扫过相等的面积
结论:行星在近日点的速率大于在远日点的速率
应用
于比较同一轨道不同位置的线速度或者角度的大
关系(近大远小)。
O4:CB=64:b
【例1】(多选)如!图,海王虽绕太閂沿桁厦轨
为近E点,Q为远E点,M、N为机
周期
相互
贝海王
、O到N
海王星
到
P
Q
太阳
3、开普勒第三定律(周期定律)
内容;所有行星
方跟
值都相
结论;表达式k
应用:①
较同一中
不同环绕轨道半长轴
期的关系(低快高慢)
轨道
【例2】
应与国
周期为T
地球面
英恋物理
《高考物理顶层
系
考点考向通03
例3】太
呈的凯遒均可冫
成圜轧邀。下列4图是用兴描述
动所遵从约一燜律的象:图咔坐标系的轺
星绕太阳运行的閂期和枯应坷轨道半
R分别是水垦绕太
行于的閘期和
轨谨半
唸
三、万有引力定律
内容:自然界
可两个物体之间的相互吸
其大小与物体的质量M和m的乘积成正比
距离r的二次方成反
的连线
力常量G:G=6.67
定;其物理意义为:两个质量都是1kg的质点相距1m时
质心距。
一个用秤玻置的人
是库仓,利用库仑扭秤玻置测
出了静电力常数k
+8)B
中2
说明:双星问题中,
明:卫星环绕问题中
说明:只造用于质量分布
均匀的球体
【例4】如图,P、Q为苌沏区水平而上的两点,在P点正下方一球形区域为栽有石油
区域周岩
可将上还形区减视为
速度(正常值盏直
门这在原坚直方向(即
投影相
u速
为了揆手
球
本枳
球心深度为讼小、地球半
控所引的Q点处的重
水平地面上
ko(>1)之间变
加速閔反的最大值出现在
范彐的中心,如釆这反常是由于池存在某·球形空腔
和空腔的仁积绝密★启用前
121
万有引力及其应用(例题)
参考答案与试题解析
【例1】(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中(　CD　)
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
解析：由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确．
【例2】（2010?新课标Ⅰ）太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象。图中坐标系的横轴是lg（），纵轴是lg（）；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，TO和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】4D：开普勒定律．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据开普勒行星运动的第三定律，按照题目的要求列示整理即可得出结论。
【解答】解：根据开普勒周期定律：T2＝kR3，T02＝kR03两式相除后取对数，得：，
整理得：，所以B正确。
故选：B。
【点评】本题要求学生对数学知识要比较熟悉，并且要有一定的计算能力，主要是数学的计算问题。
【例3】（2019春?会宁县校级期中）如右图所示，飞船沿半径为R的圆周围绕着地球运动，其运行周期为T．如果飞船沿椭圆轨道运行，直至要下落返回地面，可在轨道的某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心O为焦点的椭圆轨道运动，轨道与地球表面相切于B点。求飞船由A点到B点的时间。（图中R0是地球半径）
【考点】4D：开普勒定律．
【专题】32：定量思想；43：推理法；528：万有引力定律的应用专题．
【分析】根据开普勒第三定律，结合椭圆轨道半长轴的大小，求出飞船在椭圆轨道上的周期，从而求出飞船由A点到B点所需的时间。
【解答】解：设飞船的椭圆轨道的半长轴为a，由图可知，
设飞船沿椭圆轨道运行的周期为T′，由开普勒第三定律得：＝，
飞船从A到B的时间t＝，
由以上三式求解得t＝。
答：飞船由A点到B点的时间是。
【点评】由题目的描述，飞船由A点到B点所需的时间应是椭圆轨道的半个周期。关键掌握开普勒第三定律，并能灵活运用。
【例4】(2009?全国卷Ⅱ)如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向(即PO方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。
(1)设球形空腔体积为V，球心深度为d(远小于地球半径)，PQ＝x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常。
(2)若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在δ与kδ(k＞1)之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围的中心，如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。
【考点】4F：万有引力定律及其应用．
【专题】16：压轴题；528：万有引力定律的应用专题．
【分析】(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值。
根据万有引力等于重力列出等式，结合几何关系求出空腔所引起的Q点处的重力加速度反常。
(2)由第一问当中的重力加速度反常的表达式得出重力加速度反常△g′的最大值和最小值。重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心，则重力加速度反常最大值kδ就是在P点！最小值g就是在Q点
重力加速度反常值在δ与kδ(k＞1)之间变化，带入等式求解。
【解答】解：(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值。因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力＝m△δ①来计算，式中的m是Q点的质量，M是填充后球形区域的质量，M＝ρV②。
而r是球形空腔中心O至Q点的距离r＝③
△δ在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小。Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向，重力加速度反常△δ′是这一改变在竖直方向上的投影△δ′＝④
联立以上式子得△δ′＝，⑤
(2)由⑤式得，重力加速度反常△δ′的最大值和最小值分别为
(△δ′)max＝⑥
(△δ′)min＝⑦
由题设有(△δ′)max＝kδ、(△δ′)min＝δ⑧
联立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为
d＝，V＝
答：(1)空腔所引起的Q点处的重力加速度反常是
(2)此球形空腔球心的深度是，空腔的体积是。
【点评】本题考查万有引力部分的知识，逆向思维。填满岩石就回到正常值，则反常就是这部分岩石的引力引起的！
【例5】（2012?新课标）假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（　　）
A．1﹣
B．1+
C．（）2
D．（）2
【考点】4F：万有引力定律及其应用．
【专题】16：压轴题；528：万有引力定律的应用专题．
【分析】根据题意知，地球表面的重力加速度等于半径为R的球体在表面产生的加速度，矿井深度为d的井底的加速度相当于半径为R﹣d的球体在其表面产生的加速度，根据地球质量分布均匀得到加速度的表达式，再根据半径关系求解即可。
【解答】解：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝，
由于地球的质量为：M＝，所以重力加速度的表达式可写成：
g＝＝。
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R﹣d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度g′＝
所以有＝
故选：A。
【点评】抓住在地球表面重力和万有引力相等，在矿井底部，地球的重力和万有引力相等，要注意在矿井底部所谓的地球的质量不是整个地球的质量而是半径为（R﹣d）的球体的质量。
同时还可利用g＝rω2，它们的角速度相同，因此重力加速度与半径成正比，从而即可求解。
【例6】（2020?肥城市模拟）2020年1月7日23时20分，在西昌卫星发射中心，长征三号乙运载火箭托举“通信技术试验卫星五号”直冲云霄，发射任务取得圆满成功，为我国2020年宇航发射迎来“开门红”。火箭中一物体在地球表面重100N，某时刻它在以4m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为65N，则此时火箭离地球表面的高度为（设地球半径为R，地球表面重力加速度g＝10m/s2）（　　）
A．R
B．2R
C．3R
D．4R
【考点】37：牛顿第二定律；4F：万有引力定律及其应用．
【专题】11：计算题；4C：方程法；529：万有引力定律在天体运动中的应用专题；63：分析综合能力．
【分析】对物体进行受力分析，注意此时物体所受的重力与在地球表面不相等；运用牛顿第二定律求出在火箭中物体的重力；由于不考虑地球自转的影响，根据万有引力等于重力求出此时火箭距地面的高度。
【解答】解：物体在地球表面重100N则：mg＝100N，其中g为地球表面的重力加速度，取10m/s2
得物体质量m＝10kg，
物体在火箭中以a＝4m/s2的加速度匀加速向上，根据牛顿第二定律得：
N﹣mg′＝ma
代入数据解得：mg′＝25N。
由于不考虑地球自转的影响，根据万有引力等于重力得出：
在地球表面：mg＝
在火箭中：mg′＝
联立得：r＝2R
即此时火箭距地高度为h＝r﹣R＝R，故A正确，BCD错误。
故选：A。
【点评】本题考查了万有引力定律的应用，本题解题的关键是：要知道重力等于万有引力，能熟练应用牛顿第二定律、万有引力定律公式即可正确解题。
【例7】（2014?新课标Ⅱ）假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G．则地球的密度为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】4A：向心力；4F：万有引力定律及其应用．
【专题】528：万有引力定律的应用专题．
【分析】根据万有引力等于重力，则可列出物体在两极的表达式，再由引力与支持力的合力提供向心力，列式综合可求得地球的质量，最后由密度公式，即可求解。
【解答】解：在两极，引力等于重力，则有：mg0＝G，
由此可得地球质量M＝，
在赤道处，引力与支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律，则有：G﹣mg＝m，
而密度公式，
ρ＝＝，故B正确，ACD错误；
故选：B。
【点评】考查万有引力定律，掌握牛顿第二定律的应用，注意地球两极与赤道的重力的区别，知道密度表达式。
【例8】（2020?金凤区校级四模）当前星际探索成为世界新的科技竞争焦点，而我国的载人航天已取得了成功，探月计划也进入了实质性进程中。假如2025年，你成功登上了月球，由天文观测可得，月球绕地球运动的周期为T，速度为v，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A．月球的质量为
B．月球运动的加速度为
C．月球运动的轨道半径为
D．地球的质量为
【考点】4A：向心力；4F：万有引力定律及其应用．
【专题】32：定量思想；4C：方程法；529：万有引力定律在天体运动中的应用专题；61：理解能力．
【分析】月球是由万有引力充当向心力而做圆周运动的，则由万有引力公式及已知量可得出能计算的物理量。
【解答】解：AD、已知月球的周期、受到，则由万有引力提供向心力可得：
①
又②
等号两边都有月球质量，可约去，故无法求出月球质量，可求得地球质量，故A、D错误；
C、由②月球运动的轨道半径为．故C错误；
B、月球运动的加速度为．故B正确。
故选：B。
【点评】万有引力在天体中的运动，主要是万有引力充当向心力，注意向心力的表达有多种形式，应灵活选择。
【例9】（2020?临海市校级一模）地球半径为R0，地面重力加速度为g，若卫星在距地面R0处做匀速圆周运动，则（　　）
A．卫星速度为
B．卫星的角速度为
C．卫星的加速度为
D．卫星周期为2π
【考点】4F：万有引力定律及其应用；4H：人造卫星．
【专题】32：定量思想；43：推理法；528：万有引力定律的应用专题；62：推理能力．
【分析】根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出卫星的线速度、角速度、加速度和周期。
【解答】解：根据万有引力提供向心力知：G＝m＝mω2r＝m（）2r＝ma…①
其中r＝2R0…②
根据万有引力等于重力知：G＝mg…③
A、由①②③解得：v＝＝，故A错误；
B、由①②③解得：ω＝＝，故B正确；
C、由①②③解得：a＝＝，故C错误；
D、由①②③解得：T＝2π＝4π，故D错误。
故选：B。
【点评】解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用。
【例10】（2020?浙江模拟）某星球的自转周期为T，一个物体在赤道处的重力是F1，在极地处的重力是F2，已知万有引力常量G，则星球的平均密度可以表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】4A：向心力；4F：万有引力定律及其应用．
【专题】32：定量思想；4C：方程法；528：万有引力定律的应用专题；61：理解能力．
【分析】在两极万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供向心力，根据该规律求出星球的质量，从而求出星球的密度。
【解答】解：设星球质量为M，半径为R，由于两极处物体的重力等于星球对物体的万有引力，即
①
在赤道上，星球对物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉力的合力提供向心力，则有
②
联立①②解得
M＝
因此，星球的平均密度
＝＝．故B正确，ACD错误；
故选：B。
【点评】解决本题的关键是知道在星球的赤道和两极，重力与万有引力大小的关系，并能灵活运用。
【例11】（2020?武昌区模拟）2020年4月24日是第五个“中国航天日”，中国国家航天局公开中国首次火星探测任务名称、任务标识。中国行星探测任务被命名为“天问（Tianwen）系列”，首次火星探测任务被命名为“天问一号”（Tianwen﹣1）。假设将来在火星表面完成下面的实验：在固定的竖直光滑圆轨道内部最低点静止放置一个质量为m的小球（可视为质点），如图所示，当给小球水平向右的瞬时冲量I时，小球恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动。已知圆轨道半径为r，火星的半径为R，引力常量为G，则火星的质量为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】4A：向心力；4F：万有引力定律及其应用；52：动量定理．
【专题】32：定量思想；43：推理法；528：万有引力定律的应用专题；62：推理能力．
【分析】结合机械能守恒定律和牛顿第二定律求出火星表面的重力加速度大小，根据火星表面的万有引力等于重力求出火星的质量。
【解答】解：设火星表面的重力加速度为g，小球在最高点的速度为v1，小球从最低点到最高点的过程中机械能守恒：
mv2＝mv+mg?2r
其中：v＝，
小球刚好做完整的圆周运动，在最高点有：
mg＝m
由以上可得：g＝。
在火星表面，根据万有引力等于重力知：G＝mg
解得：M＝，故A正确，BCD错误。
故选：A。
【点评】本题为万有引力理论与机械能守恒和牛顿第二定律的综合，掌握万有引力等于重力这个理论，并能灵活运用。
【例12】（2020?唐山一模）随着空间探测技术的发展，中国人的飞天梦已经成为现实。某质量为m的探测器关闭发动机后被某未知星球捕获，在距未知星球表面一定高度的轨道上以速度v做匀速圆周运动，测得探测器绕星球运行n圈的总时间为t。已知星球的半径为R，引力常量为G，则该未知星球的质量为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】4A：向心力；4F：万有引力定律及其应用．
【专题】32：定量思想；43：推理法；528：万有引力定律的应用专题；62：推理能力．
【分析】探测器绕星球运行n圈的总时间为t，则周期为T＝，根据求解探测器的半径，由万有引力提供向心力求解该未知星球的质量。
【解答】解：由题知，探测器绕星球运行n圈的总时间为t，则周期为T＝，
设探测器的轨道半径为r，则有
解得半径为
探测器绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，则有
解得M＝
代入半径表达式得，故B正确，ACD错误。
故选：B。
【点评】解决该题需要明确知道探测器围绕着未知星球做圆周运动的向心力由万有引力提供，能正确分析其半径的表达式，熟记相关公式。
【例13】（2020?辽宁二模）100多年前爱因斯坦预言了引力波存在，2015年科学家探测到黑洞合并引起的引力波。双星的运动是产生引力波的来源之一，在宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点只在二者间的万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P星的周期为T，P、Q两颗星的距离为l，P、Q两颗星的轨道半径之差为△r（P星的轨道半径大于Q星的轨道半径），引力常量为G，则下列结论错误的是（　　）
A．Q、P两颗星的质量差为
B．P、Q两颗星的线速度大小之差为
C．Q、P两颗星的质量之比为
D．Q、P两颗星的运动半径之比为
【考点】4A：向心力；4F：万有引力定律及其应用．
【专题】22：学科综合题；32：定量思想；43：推理法；529：万有引力定律在天体运动中的应用专题；62：推理能力．
【分析】双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度的大小相等，周期相等，根据向心力的关系求出转动的半径之比，从而得出线速度大小之比，根据向心力相等求出质量关系。
【解答】解：D、双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，周期相等，所以Q星的周期为T；根据题意可知：rP+rQ＝l，rP﹣rQ＝△r，解得：，，则P、Q两颗星的运动半径之比为，故D正确；
AC、根据万有引力提供向心力，＝＝，可得：mP＝，mQ＝，根据，则质量差为：mP﹣mQ＝，质量比为：＝＝，故A正确，C错误；
B、P星的线速度大小：，Q星的线速度大小vQ＝，则P、Q两颗星的线速度大小之差为△v＝，故B正确。
本题选错误的，故选：C。
【点评】此题考查了万有引力定律及其应用，解决本题的关键知道双星系统的特点，角速度大小相等，向心力大小相等，难度适中。
【例14】（2006?天津）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX﹣3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，（如图）所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。
（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率v＝2.7×105m/s，运行周期T＝4.7π×104s，质量m1＝6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G＝6.67×10﹣11N?m2/kg2，ms＝2.0×1030kg）
【考点】4F：万有引力定律及其应用．
【专题】528：万有引力定律的应用专题．
【分析】（1）抓住A、B做圆周运动的向心力相等，角速度相等，求出A、B轨道半径的关系，从而得知A、B距离为A卫星的轨道半径关系，可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，根据万有引力定律公式求出质量m′。
（2）根据万有引力提供向心力求出暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）根据第（2）问的表达式求出暗星B的质量，与太阳的质量进行比较，判断是否是黑洞。
【解答】解：（1）设A、B圆轨道的半径分别为r1、r2，由题意知，A、B的角速度相等，为ω0，
有：，，又FA＝FB。
设A、B之间的距离为r，又r＝r1+r2。
由以上各式得，①
由万有引力定律得，。
将①代入得，
令，比较可得．②
（2）由牛顿第二定律有：，③
又可见星的轨道半径④
由②③④得，。
（3）将m1＝6ms代入得，⑤
代入数据得，．⑥
设m2＝nms，（n＞0）将其代入⑥式得，
．⑦
可见，的值随n的增大而增大，令n＝2时，得
⑧
要使⑦式成立，则n必须大于2，即暗星B的质量m2必须大于2ms，由此得出结论，暗星B有可能是黑洞。
答：（1）。
（2）暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式为。
（3）暗星B有可能是黑洞。
【点评】本题是双子星问题，关键抓住双子星所受的万有引力相等，转动的角速度相等，根据万有引力定律和牛顿第二定律综合求解。
【例15】（2020?聊城一模）据报道，已经发射成功的“嫦娥四号”月球探测器在月球背面实现了软着陆，并展开探测工作，它将通过早先发射的“鹊桥”中继卫星与地球实现信号传输及控制。在地月连线上存在一点“拉格朗日L2”，“鹊桥”在随月球绕地球同步公转的同时，沿“Halo轨道”（轨道平面与地月连线垂直）绕L2转动，如图所示。已知“鹊桥”卫星位于“Halo轨道”时，在地月引力共同作用下具有跟月球绕地球公转相同的周期。根据图中有关数据结合有关物理知识，可估算出（　　）
A．“鹊桥”质量
B．月球质量
C．月球的公转周期
D．“鹊桥”相对于L2的线速度
【考点】4F：万有引力定律及其应用；4H：人造卫星．
【专题】32：定量思想；43：推理法；528：万有引力定律的应用专题；62：推理能力．
【分析】地球对卫星的引力和月球对卫星的引力的合力提供卫星做圆周运动的向心力，列式可看出不能求解卫星的质量；根据地月数据可求解地球的质量，从而求解月球的质量；根据线速度公式和已知量可求解卫星的线速度。
【解答】解：AC、已知“鹊桥”卫星位于“拉格朗日L2”点时，在地月引力共同作用下具有跟月球绕地球公转相同的周期，即为T＝27.3天，则对“鹊桥”卫星：cosα+G?cosβ＝（式中α为卫星和地球连线与x轴的夹角；β为卫星和月球连线与x轴的夹角；）两边消掉m卫，则不能求解鹊桥质量，故A错误，C正确；
B、根据G＝可求解地球的质量；再根据cosα+G?cosβ＝可求解月球的质量，故BC正确；
D、根据，可求解鹊桥绕L2运转的速度，故D正确。
故选：BCD。
【点评】解决本题的关键要知道“鹊桥”卫星做圆周运动，靠地球和月球引力的合力提供向心力。不能认为靠地球的万有引力提供向心力进行分析求解，另外还要仅仅抓住：鹊桥卫星在地月引力作用下绕地球转动的周期与月球绕地球转动的周期相同。
【例16】（2019春?灵丘县期中）经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离．一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理．现根据对某一双星系统的光学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．
（1）试计算该双星系统的运动周期T计算；
（2）若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测：T计算＝1：（N＞1）．为了解释T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质．作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质．若不考虑其他暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．
【考点】4F：万有引力定律及其应用．
【专题】528：万有引力定律的应用专题．
【分析】（1）根据对称性可知，两颗星都绕系统中心做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列式求解；
（2）暗物质引力和星星引力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解出暗物质的质量，再求解密度．
【解答】解：
（1）双星均绕它们连线的中点做圆周运动，设运动的速率为v，得
①
解得：
②
则周期为：＝③
（2）根据观测结果，星体的运动周期：
④
这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m′，位于中点O处的质点的作用相同．考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度v观测，则有
⑤
解得：
⑥
因为在周长一定时，周期和速度成反比，由④式得
?⑦
把②⑥式代入⑦式得：
设所求暗物质的密度为ρ，则：
解得：
．
答：
（1）该双星系统的运动周期T计算＝
（2）该星系间这种暗物质的密度．
【点评】本题关键找出向心力来源，然后根据牛顿第二定律列方程求解，要细心，不难．
【例17】（2015?安徽）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
（1）A星体所受合力大小FA；
（2）B星体所受合力大小FB；
（3）C星体的轨道半径RC；
（4）三星体做圆周运动的周期T。
【考点】4A：向心力；4F：万有引力定律及其应用．
【专题】528：万有引力定律的应用专题．
【分析】（1）（2）由万有引力定律，分别求出单个的力，然后求出合力即可．
（3）C与B的质量相等，所以运行的规律也相等，然后结合向心力的公式即可求出C的轨道半径；
（4）三星体做圆周运动的周期T相等，写出C的向心加速度表达式即可求出．
【解答】解：（1）由万有引力定律，A星受到B、C的引力的大小：
方向如图，则合力的大小为：
（2）同上，B星受到的引力分别为：，，方向如图；
沿x方向：
沿y方向：
可得：＝
（3）通过对于B的受力分析可知，由于：，，合力的方向经过BC的中垂线AD的中点，所以圆心O一定在BC的中垂线AD的中点处．所以：
（4）由题可知C的受力大小与B的受力相同，对C星：
整理得：
答：（1）A星体所受合力大小是；（2）B星体所受合力大小是；（3）C星体的轨道半径是；（4）三星体做圆周运动的周期T是．
【点评】该题借助于三星模型考查万有引力定律，其中B与C的质量相等，则运行的规律、运动的半径是相等的．画出它们的受力的图象，在结合图象和万有引力定律即可正确解答．
【例18】（2020?湘东区校级二模）如图所示，A、B两卫星绕地球运行，运动方向相同，此时两卫星距离最近，其中A是地球同步卫星，轨道半径为r。地球可看成质量均匀分布的球体，其半径为R，自转周期为T．若经过时间t后，A、B第一次相距最远，下列说法正确的有（　　）
A．卫星B的运行周期大于卫星A的运行周期
B．卫星B的运行周期是
C．在地球两极，地表重力加速度是
D．若卫星B通过变轨与A对接之后，B的机械能可能不变
【考点】4F：万有引力定律及其应用；4H：人造卫星．
【专题】22：学科综合题；32：定量思想；43：推理法；52A：人造卫星问题；62：推理能力．
【分析】根据开普勒第三定律比较两卫星的周期关系。
A是地球同步卫星，其运行周期等于地球自转周期T．当卫星B比A多转半周时，A、B第一次相距最远，由此求得卫星B的周期。
对于卫星A，根据万有引力提供向心力，可求得地球的质量，在地球两极，根据万有引力等于重力，可求得地表重力加速度g。
根据卫星变轨原理分析。
【解答】解：A、设卫星B的周期为T′，根据开普勒第三定律得：，卫星B的轨道半径小，卫星B的运行周期小于卫星A的运行周期，故A错误；
B、当卫星B比A多转半周时，A、B第一次相距最远，则有：tt＝π，解得：T′＝，故B错误；
C、对于卫星A，根据万有引力提供向心力，可得：G＝mr，可得地球的质量：M＝，在地球两极，万有引力等于重力，可得：m′g＝G，解得：g＝，故C正确；
D、卫星B通过变轨与A对接，则需要在原轨道上加速，除万有引力以外的其他力做卫星做正功，对接后，卫星B的机械能要增大，故D错误。
故选：C。
【点评】此题考查了人造卫星的相关知识，解题的关键是掌握万有引力等于向心力，以及万有引力等于重力这两条基本思路，以及卫星变轨的原理。
【例19】（2020?沈阳一模）2019年11月11日出现了难得一见的“水星凌日”现象。水星轨道在地球轨道内侧，某些特殊时刻，地球、水星、太阳会在一条直线上，这时从地球上可以看到水星就像一个小黑点一样在太阳表面缓慢移动，天文学称之为“水星凌日”。在地球上每经过N年就会看到“水星凌日”现象。通过位于贵州的“中国天眼”FAST（目前世界上口径最大的单天线射电望远镜）观测水星与太阳的视角（观察者分别与水星、太阳的连线所夹的角）θ，则sinθ的最大值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】4A：向心力；4F：万有引力定律及其应用．
【专题】12：应用题；32：定量思想；43：推理法；529：万有引力定律在天体运动中的应用专题；62：推理能力．
【分析】根据题意知道当行星处于最大视角处时，地球和行星的连线应与行星轨道相切，运用几何关系求解问题。
地球与某行星围绕太阳做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律及角速度公式列出等式，表示出周期，然后去进行求解。
【解答】解：地球绕太阳运行周期为＝1年，设水星绕太阳运行周期为T火，在地球上每经过N年就会看到“水星凌日”现象，
2π＝（）N
解得火星周期T火＝，
最大视角的定义，即此时观察者与水星的连线应与水星轨迹相切，由三角函数可得：
sinθ＝
根据开普勒第三定律可知，
联立解得，sinθ＝，故A正确，BCD错误。
故选：A。
【点评】本题考查了万有引力定律及其应用，解题的关键是根据题干信息确定火星的运行周期，根据几何关系确定最大视角。
【例20】（2020?马鞍山三模）如图所示，天文学家观测到某行星和地球在同一轨道平面内绕太阳做匀速圆周运动，且行星的轨道半径比地球的轨道半径小，地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫做地球对该行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为θ，则地球与行星绕太阳转动的（　　）
A．角速度比值为
B．线速度比值为
C．向心加速度比值为sinθ
D．向心力比值为sin2θ
【考点】4A：向心力；4F：万有引力定律及其应用．
【专题】22：学科综合题；32：定量思想；43：推理法；528：万有引力定律的应用专题；62：推理能力．
【分析】根据题意知道当行星处于最大视角处时，地球和行星的连线应与行星轨道相切，运用几何关系求解轨道半径。
根据开普勒第三定律比较周期与轨道半径的关系。
根据角速度、线速度、向心加速度的公式分析。
行星和地球的质量未知，向心力无法比较。
【解答】解：由题图可知，当行星处于最大视角处时，地球和行星的连线应与行星轨道相切。
根据几何关系有R行＝R地sinθ
根据开普勒第三定律有：
A、角速度比值：＝＝＝，故A正确；
B、线速度比值：＝＝，故B正确；
C、向心加速度比值：＝＝sin2θ，故C错误；
D、行星和地球的质量未知，则向心力无法比较，故D错误。
故选：AB。
【点评】此题考查了万有引力定律及其应用，解题的关键是能根据题目给出的信息分析视角最大时的半径特征，在圆周运动中涉及几何关系求半径是基本功。
【例21】（2019春?定远县校级期中）一艘宇宙飞船绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示，太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出地球的张角为α，已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，求：
（1）宇宙飞船距离地面的高度。
（2）宇宙飞船的周期T。
【考点】4F：万有引力定律及其应用；4H：人造卫星．
【专题】52A：人造卫星问题．
【分析】（1）由图根据数学知识求宇宙飞船离距地面的高度。
（2）宇宙飞船绕地球作圆周运动时由地球的万有引力提供向心力，由此求解宇宙飞船的周期T。
【解答】解：（1）设飞船做圆周运动的半径为r，距离地面的高度为h。
由几何关系知
…①
距离地面的高度为
h＝r﹣R…②
由①②解得：…③
（2）由万有引力提供做圆周运动所需的向心力得：…④
由①④解得：…⑤
答：
（1）宇宙飞船离距地面的高度是。
（2）宇宙飞船的周期T为2π。
【点评】本题关键利用几何关系得出飞船的轨道半径，掌握万有引力提供做圆周运动所需的向心力这一基本思路，并能准确运用。
【例4】（2020?福清市一模）2019年“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面。如图，为给“嫦娥四号”探测器登陆月球背面提供通信支持，“鹊桥号”卫星绕地月拉格朗日L2点做圆周运动。已知在地月拉格朗日点L1或L2，卫星受地球和月球引力的合力作用，能随月球同步绕地球做圆周运动。则（　　）
A．卫星在L1点的线速度比在L2点的小
B．卫星在L1点的角速度比在L2点的大
C．同一卫星L1、L2点受地球和月球引力的合力相等
D．若技术允许，使“鹊桥号”刚好位于L2点，能量消耗最小，能更好地为“嫦娥四号”探测器提供通信支持
【考点】4A：向心力；4F：万有引力定律及其应用．版权所有
【专题】12：应用题；31：定性思想；43：推理法；529：万有引力定律在天体运动中的应用专题；62：推理能力．
【分析】卫星在拉格朗日点与月球同步绕地球运动，角速度相等。
根据线速度、角速度与向心加速度的关系分析。
“鹊桥号”在拉格朗日点L2点通讯范围较小，并不能更好地为“嫦娥四号”探测器提供通信支持。
【解答】解：B、卫星在地月拉格朗日点L1或L2与月球保持相对静止，同步绕地球做圆周运动，属于同轴转动的模型，故卫星在L1、L2点的角速度相等，故B错误；
A、根据v＝ωr可知，卫星在L1点的轨道半径小，线速度比在L2点的小，故A正确；
C、根据a＝ω2r可知，同一卫星L1、L2点受地球和月球引力的合力不相等，故C错误；
D、若“鹊桥号”刚好位于L2点，几乎不消耗能量，但由几何关系可知，通讯范围较小，并不能更好地为“嫦娥四号”探测器提供通信支持，故D错误。
故选：A。
【点评】此题考查了万有引力定律及其应用，关键是审清题意，通过受力分析找出卫星在拉格朗日点的向心力来源、得出卫星与月球的角速度关系即可正确答题。
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