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机械能守恒(例题)
参考答案与试题解析
【例1】如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．小球的机械能守恒
B．小球的机械能增大
C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．小球与弹簧组成的系统机械能守恒
【分析】由A到B的过程中，只有重力和弹簧弹力做功，系统的机械能守恒，通过弹簧的形变量判断弹性势能的变化，通过能量守恒判断小球机械能的变化。
【解答】解：AB、由A到B的过程中，弹簧对小球做负功，则小球的机械能将减少，故AB错误；
C、根据系统的机械能守恒知，小球的动能、重力势能与弹簧的弹性势能之和不变，而小球的动能增大，则小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和变小，故C错误。
D、只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，即弹簧与小球的总机械能守恒。故D正确。
故选：D。
【点评】本题考查了机械能守恒、能量守恒定律，关键要明确研究的对象，知道对单个物体的机械能并不守恒。要知道对于单个物体，除了重力以外的力做功等于物体机械能的变化。
【例2】(多选)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则下列说法中正确的是(　　)
A．无论a、b在什么位置，两物体的加速度方向都与速度方向相同
B．a下落过程中，其加速度大小可能大于g
C．a落地时速度大小为
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
【分析】a、b及轻杆组成的系统只有重力做功，系统的机械能守恒，通过b的动能变化，判断轻杆对b的做功情况。根据系统机械能守恒求出a球运动到最低点时的速度大小。当a的机械能最小时，轻杆的弹力为零，由此求解b对地面的压力大小。
【解答】解：A、当a到达地面时，b的速度为零，所以在整个过程中，b的速度先增大后减小，动能先增大后减小，所以轻杆对b先做正功，后做负功，说明杆对b先是推力、后是拉力，故b的加速度与速度先同向后反向，故A错误；
B、b的速度在整个过程中，先增大后减小，所以a对b的作用力先是动力后是阻力，所以b对a的作用力先是阻力后是动力，所以在b减速的过程中，b对a是向下的拉力，此时a的加速度大于重力加速度g，故B正确；
C、a运动到最低点时，b的速度为零，根据系统机械能守恒定律得：mAgh＝mAvA2，解得：vA＝，故C正确；
D、a、b整体的机械能守恒，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时轻杆对b的推力为零，b只受到重力的作用，所以b对地面的压力大小为mg，故D正确；
故选：BCD。
【点评】解决本题的关键是要知道a、b组成的系统机械能守恒，以及知道当a的机械能最小时，b的动能最大。
【例3】如图所示，小球A和B中间用长为2L的轻杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴。把杆置于水平位置后由静止释放，A球和B球的质量分别为m和2m，在B球顺时针摆动到最低位置的过程中(忽略空气阻力)(　　)
A．A和B组成的系统机械能减少
B．轻杆对A球做负功
C．重力对B球做功的瞬时功率一直增大
D．A球摆动到最高点时的速度大小为
【考点】63：功率、平均功率和瞬时功率；6C：机械能守恒定律．版权所有
【专题】32：定量思想；43：推理法；52E：机械能守恒定律应用专题；62：推理能力．
【分析】在B球顺时针摆动到最低位置的过程中，两球的角速度一直相等，对于B球、A球和地球组成的系统机械能守恒，由于轻杆对两球做功，两球各自的机械能均不守恒。根据系统的机械能守恒和速度关系求解B球摆动到最低位置时的速度大小。
【解答】解：A、以AB组成的系统，只受到重力作用，机械能守恒，故A错误；
B、在B球顺时针摆动到最低位置的过程中，两球的动能都增大，A球的重力势能也增大，所以A球的机械能增大，说明杆对A球做正功，故B错误；
C、B球未转动时，重力对B球做功的瞬时功率为0；B球到达最低点时，由于速度沿水平方向，竖直方向没有分速度，而重力竖直向下，此时重力的功率也为零，故在B球顺时针摆动到最低位置的过程中，重力对B球做功的瞬时功率先增大后减小，故C错误；
D、对于A球和B球组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，因为两个球在转动过程中的角速度始终相等，且转动的半径相同，根据v＝rω可知，两球的速度大小总是相同，
对系统，从开始转动，到B球运动到最低点，根据机械能守恒定律有：2mgL﹣mgL＝×3mv2，
解得：v＝，故D正确。
故选：D。
【点评】掌握机械能守恒的条件，知道A、B两球是同轴转动，所以两球的角速度相同，选择合适的运动过程应用机械能守恒求解物体的速度大小。
【例4】如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h＝0.2m，开始时让连着A的细线与水平杆的夹角θ1＝37°，由静止释放B，当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A的速度多大？在以后的过程中，A所获得的最大速度为多大？(设B不会碰到水平杆，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，取g＝10m/s2)
【分析】AB组成的系统只有重力做功，系统的机械能守恒，根据系统的机械能守恒定律和两个物体速度关系求解．细线与水平杆的夹角θ2＝53°时A的速度．
将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向上的分速度等于B的速度大小，根据该关系得出A、B的速率之比．当θ＝90°时，A的速率最大，此时B的速率为零，根据系统机械能守恒求出A获得的最大速度．
【解答】解：设当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A和B的速度分别为vA和vB．它们的质量均为m．根据系统的机械能守恒得：
mg(﹣)＝+
由于绳子不能伸长，A沿绳子方向上的分速度大小等于B的速度大小，即有：
vAcos53°＝vB；
解得：
vA＝≈1.1m/s
当θ＝90°时，A的速率最大，此时B的速率为零．根据系统机械能守恒有：
mg(﹣h)＝
解得：vAm＝＝＝≈1.63m/s．
答：当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A的速度为1.1m/s，在以后的过程中，A所获得的最大速度为1.63m/s．
【点评】解决本题的关键知道绳系的系统，两个物体沿绳子方向上的分速度大小相等，通过分析拉力做功情况，明确A速度最大的条件，以及知道A、B组成的系统机械能守恒．
【例5】(多选)如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面．下列说法正确的是(　　)
A．斜面倾角α＝30°
B．A获得最大速度为2g
C．C刚离开地面时，B的加速度为g
D．从释放A到C刚离开地面这两个状态，A、B两小球组成的系统机械能守恒
【分析】C刚离开地面时，物体A沿斜面下滑的距离应该等于弹簧原来被压缩的长度再加上后来弹簧被拉长的长度，B获得最大速度，B应该处于受力平衡状态，对B受力分析，可以求得斜面的倾角α；对于整个系统机械能守恒，根据机械能守恒列出方程就可以求得B的最大速度．
【解答】解：A、设当物体C刚刚离开地面时，弹簧的伸长量为xC，则
kxC＝mg
①
物体C刚刚离开地面时，以B为研究对象，物体B受到重力mg、弹簧的弹力kxC、细线的拉力T三个力的作用，
设物体B的加速度为a，根据牛顿第二定律，
对B有：T﹣mg﹣kxC＝ma
②
对A有：4mgsinα﹣T＝4ma
③
由②、③两式得
4mgsinα﹣mg﹣kxC＝5ma
④
当B获得最大速度时，有
a＝0
⑤
由①④⑤式联立，解得
sinα＝，所以：α＝30°，故A正确；
B、设开始时弹簧的压缩量xB，则
kxB＝mg
设当物体C刚刚离开地面时，弹簧的伸长量为xC，则
kxC＝mg
当物体C刚离开地面时，物体B上升的距离以及物体A沿斜面下滑的距离均为：
h＝xC+xB
由于弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，且物体C刚刚离开地面时，A、B两物体的速度相等，设为vBm，以A、B及弹簧组成的系统为研究对象，
由机械能守恒定律得：4mghsinα﹣mgh＝(4m+m)
VBm2
代入数据，解得：VBm＝2g，故B正确；
C、C刚离开地面时，B的速度最大，加速度为零，故C错误；
D、从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球以及弹簧构成的系统机械能守恒，A、B两小球组成的系统机械能不守恒。故D错误；
故选：AB。
【点评】本题关键是分析求出系统的运动情况，然后结合机械能守恒定律和胡克定律多次列式求解分析，难度中等．
【例6】如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧．投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去．设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零．不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能．已知重力加速度为g．求：
(1)质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v1；
(2)弹簧压缩到0.5R时的弹性势能Ep；
(3)已知地面与水面相距1.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线OO′．在90°角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在到m之间变化，且均能落到水面．持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少？
【分析】(1)鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，有牛顿第二定律列出向心力的方程，速度可求．
(2)不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，所以鱼饵增加的机械能都是弹簧做功的结果，由功能关系知道弹簧具有的弹性势能等于鱼饵增加的机械能．
(3)分别求出质量是m和的鱼饵离开C时的速度，再利用平抛运动规律求出落到水平面到转轴之间的距离，转轴转过90°时，鱼饵在水平面形成两个圆面积，中间夹的环形面积即为所求．
【解答】解：(1)质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力，完全由重力提供，
则…①
由①式解得：…②
(2)从弹簧释放到最高点C的过程中，弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由系统的机械能守恒定律有
…③
由②③式解得：Ep＝3mgR…④
(3)不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响，质量为m的鱼饵离开管口C后做平抛运动，
设经过t时间落到水面上，离OO'的水平距离为x1，由平抛运动规律有：
…⑤
x1＝v1t+R…⑥
由⑤⑥式解得：x1＝4R…⑦
当鱼饵的质量为时，设其到达管口C时速度大小为v2，由机械能守恒定律得：
…⑧
由④⑧式解得：…⑨
质量为的鱼饵落到水面上时，设离OO'的水平距离为x2，则
x2＝v2t+R…⑩
由⑤⑨⑩式解得：x2＝7R
鱼饵能够落到水面的最大面积
答：(1)鱼饵到达管口C时的速度大小；
(2)弹簧压缩到0.5R时的弹性势能Ep＝3mgR；
(3)鱼饵能够落到水面的最大面积．
【点评】本题考查了圆周运动最高点的动力学方程和平抛运动规律，转轴转过90°鱼饵在水平面上形成圆周是解决问题的关键，这是一道比较困难的好题．
【例7】如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面(斜面体固定不动)。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D至B的距离为L﹣a．现自由释放链条，则：
(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；
(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？
【分析】(1)机械能守恒的条件是只有重力或弹簧的弹力做功，对照条件，分析即可．
(2)取AB为零势面，根据机械能守恒定律列式．即可求解链条的D端滑到B点时链条的速率．
【解答】解：(1)链条机械能守恒．
因为斜面是光滑的，只有重力做功，或者只有动能和重力势能转化，符合机械能守恒的条件．
(2)设链条质量为m，选AB为零势面，
由机械能守恒得：＝
解得：
答：(1)链条下滑过程中，链条机械能守恒因为斜面是光滑的，只有重力做功．
(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为．
【点评】本题也可以从能量转化的角度分析机械能是否守恒，运用机械能守恒定律列式时，关键要注意确定重心的高度．
第1页(共1页)英恋物理
《高考物理顶层设计》系列资料考点考向通01
机械能和机械能守恒
资料编号:2
机械能:E我=Ek+E
试题编号:203-1
试题编号:203-2
E=m2看速度
速
无关
试题编号:203-3
Fp=mgh大小和正负与参考平面的选择有关
kΔx看弹簧的形变量,与拉升或者压编无关
机械能守恒
(1)內容:在只有重力(或严簧的弹力)做功的物体系统内,动能与亘力
相互转化,而总的机核能保持不变
特洌明:杌概能是否亨恆
表
者△EA=AE;与受元灵、与动状蹇完
(3)机械能守恒的判断
、只与敞功糈况有奥!
諍厚擦做功吋
机械能守
3、有涓动摩擦力生
张
断、碰撞后粘在
杌械能
不
动能
力势能、弹性势能之间的相互转化
、应用机槭能守恒定律解题的基本思路和步骤
选取研究对象
有弹簧
受力分析:分析研究对象在
栏中
刂断
选取零势能面:确定研究对象在初、末
程:根据机械能守恒定徫
解方程验结果:解出
求出结釆,并对结釆进行必要的
【例1】如图
簧保持原长的A点无速度沘释放,讥小球宫由摆
由A点摆向最
中
确的
A.小球棫
esssscse
球的重方势
B○
英恋物理
《高考物理顶层
系列资料考点考向通02
机械能守恒的应用
杆连物体系统机械能守恒
A
题简述;如图所示的两物体
释放后A、B在竖直平面内绕过O点的軸转动
且A、B的角邃廢相等,
方法突破:求解这炙问题时,由于二者角速度相等
关键是祁据二者转动半径的关系寻
两物体的线速度的关系,根据两物体
移关系,寻找到系统重力势能的变
后
据ΔE=一ΔE列出机械能守恒的方程求解。另外注意的是轻杆对物体提供的弹力不
轻杆的弹力也就不
速废方向乎直,轻杆的弹
对
【恻2】(多选)如图,滑决
宣均
竖直杆
地面相距
b放
链用刚怛轻杆迄接,临静止开
置,两物体的加速度方良都与度方向相
a下落过程中,其加遽度大小可能大于
落地速度大
水
D.a落沘前,当a趵机槭能最小时,b对地面的生方大小为
例3】如图所
玟A和
用长为2L的轻杆相,在杆
杆置于水乎位置后由止释
球和B非的版量分别划m和
B顺针摆
最低位置的过程
和B组戒
对A球发负功
C.重方对B球默功的瞬时功率一直增
球摆动到高点的速度
英恋物理
《高考物理顶层
系列资料考点考向通03
2.绳连物体系统机械能守恒
B
题简述:如图所示的两物体鉏成的系统,当释
绳
向的速度相等,再由两侧绳长度的变
A、B位移
法突破:求解这类河题时,由于二者逮率相等或相
关鍵是子找两物体间的位移关
进而找到系统重力势能的变化.列机械能守憶方程时,一般选用AE
的开
另
外注意系统机械能守恒并非每个物体机械能守恒,因
要做功
女图所示,時
度欠的
F
接着质量
拗体A和B,A套在光
滑水平杆上
离水平
度
平转夹角
由静止释放
细线与水平杆的夹角
的过中,A所获得的景大
碰到水平
3°=0.8
3.弹簧连接的系统机械能守
题苘述:由弹簧相连的物
在运动过程中既有重力做功又有弹簧弹力做功
体的动能、重力势能和弹簧弹性势能相互转化或转移,而达的机械能守恒
方法突破:求解这类问
首先以弹簧遵循的胡克定律为分析问题的突破口:弹簧
縮短时产生的弹力的大小遵
kx和AF
其次以弹簧的弹力做功为分析问题的笑破
弹簧发生形变时,具冇一定的弹性势能,弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数
是在具体的河题中不用计算弹性势能
弹簧的形变量相同的时候弹性势能相同,邁
都不是弹簧原
的大
方向时
要与当时的形变
伸长量或压
的位
R两小球由
面上,B、C两小球在竖直方向
轻质详簣相,C球放在水平地面上
手控
拉直
证汽轮左侧细线莶直、右侧线与斜面
王
不计,开始时都
处于静上状恋.释放A
下至速度最大时
离开池
法正确的是()
A获得最大遽度
离开地面时
主度为
C刚离开地面

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