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7.1复数的概念
7.1复数的概念
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第七章 复数
第七章 复数
-29845176530学习指南
学习指南
①、了解复数概念的应用
②、掌握复数的模的计算
③、理解复数的几何意义
-1333578105概念探知
概念探知
一、复数的概念
我们把形如falsefalse的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.
全体复数梭构成的集合C=false叫做复数集，其中false
1、复数的分类
对于复数false【a，bfalse】，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=c=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数，当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R,是复数集C的真子集，即false.
2、复数相等的充要条件
在复数集C=false中任取两个数false，false【a，b，c，d∈R】，
规定：false与false相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等，虚部与虚部相等时，两个复数才相等。
二、复数的几何意义
复数z=a+bifalse.这是复数的一种几何意义.
复数的几何意义---与向量对应
复数z=a+bifalse,这是复数的另一种几何意义.
-184153321050问题探究
问题探究
1、复数的模和共轭复数
1.向量false模叫做复数z=false,的模或绝对值，记作false或false.即false=false=false，其中a,b∈R，false表示复平面内的点Zfalse到原点的距离。
2.如果b=0，那么z=false是一个实数a，它的模就等于falsefalse.
共轭复数的定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复.虚部不等于 0的两个共轭复数，也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用false表示，即如果z=a+bi,那么false=a-bi.
特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
共轭复数的几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.
1.已知虚数 z=a+bi(a,b∈R,b≠0) 满足 z+2z∈R
（1）求 |z| ；
（2）若 a(z?2z)=i ，求 1a+1b 的值.
【答案】 （1）解：依题意 z+2z=a+bi+2a+bi=a+bi+2(a?bi)(a+bi)(a?bi)
=a+bi+2a?2bia2+b2=a+2aa2+b2+(b?2ba2+b2)i∈R ，
所以 b?2ba2+b2=0?a2+b2=2 ，所以 |z|=2 .
（2）解：依题意 a(z?2z)=i ，
即 a(a+bi?2a+bi)=a[a+bi?2(a?bi)(a+bi)(a?bi)]
=a[a+bi?2a?2bia2+b2]=a[a?2aa2+b2+(b+2ba2+b2)i]
=a2?2a2a2+b2+(ab+2aba2+b2)i
=a2?a2+(ab+ab)i=2abi=i ，
所以 2ab=1,ab=12 .
由 {a2+b2=2ab=12 得 (a+b)2=a2+2ab+b2=2+1=3 ，
所以 a+b=±3 ，
所以 1a+1b=a+bab=±312=±23 .
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】（1）利用 z+2z∈R 求得 a2+b2 ，由此求得 |z| .（2）结合 a(z?2z)=i 求得 ab,a+b ，由此求得 1a+1b .
2.已知复数 z=(m2?3m+2)+(m?1)i (i为虚数单位).
（1）若z是纯虚数，求实数 m 的值；
（2）在复平面内，若z所对应的点在直线 y=2x+1 的上方，求实数m的取值范围.
【答案】 （1）解： ∵z 是纯虚数， ∴{m2?3m+2=0m?1≠0 ，
解得 {m=1或m=2m≠1 ，??? ∴ m=2
（2）解：z所对应的点是 (m2?3m+2,m?1) ，
∵ z 所对应的点在直线 y=2x+1 的上方，即 m?1>2(m2?3m+2)+1 ，
化简得 2m2?7m+6<0 ，即 (m?2)(2m?3)<0 ，?
∴ 32【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义
【解析】（1）由复数的分类求解；（2）写出对应点的坐标，点在直线 y=2x+1 上方，就是点的坐标适合不等式 y>2x+1 代入后不等式可得．
3已知复数 z 满足 (1+2i)z=4+3i （ i 是虚数单位）.
求：
（1）z
（2）|z2?z| .
【答案】 （1）解：由题 z=4+3i1+2i=(4+3i)(1?2i)(1+2i)(1?2i)=10?5i5=2?i .即 z=2?i
（2）解：由(1) z=2?i ,故 z2?z=(2?i)2?(2+i)=1?5i ,故 |z2?z|=12+(?5)2=26 .
即 |z2?z|=26
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】(1)易得 z=4+3i1+2i ,再利用复数的除法运算即可.(2)由(1)分别求得 z2,z 再计算 z2?z 求模长即可.
4.已知复数z满足 z?z=2 ，且z的虚部为 ?1 ，z在复平面内所对应的点在第四象限.
（1）求z；
（2）求 |z2?z| .
【答案】 （1）解：设 z=x?i(x,y∈R) ，
因为 z?z=2 ，
所以 x2+1=2 ，
得 x=1 或 x=?1 ，
又z在复平面内所对应的点在第四象限，
所以 z=1?i ；
（2）解： z2=(1?i)2=?2i ，
所以 z2?z=?2i?(1?i)=?1?i ；
所以 |z2?z|=(?1)2+(?1)2=2 .
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】 （1）由题意设z=x-i（x∈R），再由已知列式求得x，则z可求；
（2）利用复数代数形式的乘除运算化简z2-z，再由复数模的计算公式求解．
10160148590练一练
练一练
1.复数 的虚部为
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
2已知 i 为虚数单位，则 |1+2i|= （??? ）
A.?3?????????????????????????????????????????B.?5?????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?5
3已知i为虚数单位，复数 z=sin7π6?icos7π6 ，则z在复平面内对应的点位于（??? ）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
4.已知复数 2+ii=a+bi(a,b∈R) ，则 a+b= （??? ）
A.?-3??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?3
参考答案
1.【答案】 D
【解析】
复数 的虚部为 。
2.【答案】 B
【解析】
|1+2i|=12+22=5 ，
3.【答案】 B
【解析】
由 sin7π6=sin(π+π6)=?sinπ6=?12,cos7π6=cos(π+π6)=?cosπ6=?32
即复数 z=sin7π6?icos7π6=?12+32i ，
所以复数对应的点为 (?12,32) 位于第二象限.
4.【答案】 B
【解析】
解： ∵a+bi=2+ii=1?2i ，
∴a=1,b=?2 ，
∴a+b=?1 .

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