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第五章　数　列
第三讲　等比数列及其前n项和
考点测评
1.[多选题]下列结论中,错误的为 (　　)
A.满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列
B.a,b,c三个数成等比数列的必要条件是b2=ac
C.如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列
D.如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列
2.设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的 (　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.[2019全国卷Ⅲ]已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3= (　　)
A.16 B.8 C.4 D.2
4.记等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=6,则S4= (　　)
A.10或8 B. - 10 C. - 10或8 D. - 10或 - 8
5.[2020贵阳市高三摸底测试]等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=(　　)
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
6.[2017全国卷Ⅱ]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 (　　)
A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏
7.[2016全国卷Ⅰ]设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为　　　　.?
知识回顾
考法1 等比数列的判定与证明
1[2018全国卷Ⅰ]已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=.
(1)求b1,b2,b3;
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{an}的通项公式.
【解题思路】
【解析】(1)由条件可得an+1=an.
将n=1代入得,a2=4a1,因为a1=1,所以a2=4.
将n=2代入得,2a3=6a2,所以a3=12.
因为bn=,
所以b1=1,b2=2,b3=4.
(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下:
由条件可得,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)由(2)可得=2n - 1,所以an=n·2n - 1.
变式练习
1.[2016全国卷Ⅲ]已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=,求λ.
考法2 等比数列的基本运算
2(1)[2019全国卷Ⅰ]记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,=a6,则S5=　　　　.?　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)[2017全国卷Ⅲ]设等比数列{an}满足a1+a2= - 1,a1 - a3= - 3,则a4=　　　　.?
(3)在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an=　　　　.?
【解析】(1)解法一　设等比数列{an}的公比为q,因为=a6,所以=a1q5,所以a1q=1.又a1=,所以q=3,所以S5=.
解法二　设等比数列{an}的公比为q,因为=a6,所以a2a6=a6,所以a2=1.又,所以q=3,所以S5=.
(2)设等比数列{an}的公比为q,则a1+a2=a1(1+q)= - 1,a1 - a3=a1(1 - q2)= - 3.两式相除,得,解得q= - 2.代入得a1=1,所以
a4=a1q3= - 8.
(3)解法一　(通项法)由题意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以等比数列{an}的通项公式an=a1qn - 1=4n - 1.
解法二　(对称设元)由题意可设等比数列{an}的前3项分别为,x,4x,则+x+4x=21,解得x=4,所以等比数列{an}的通项公式an=a2qn - 2=4×4n - 2=4n - 1. (应用an=amqn - m)
变式练习
2.(1)已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=2,a2=1,则a1= (　　)
A. B. C. D.2
(2)已知数列{an}是等差数列,若a2,a4+3,a6+6构成公比为q的等比数列,则q= (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
(3)[数学文化题]中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.则此人第二天走了 (　　)
A.96里 B.48里 C.192里 D.24里
考法3 等比数列的性质的应用
3(1)[2019江西名校联考]已知数列{an}为各项均为正数的等比数列,Sn是它的前n项和,若a1a7=4,且a4+2a7=,则S5=
A.32 B.31 C.30 D.29
(2)在等比数列{an}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为
A.1 B.2 C.3 D.5
【解析】(1)因为a1a7=4,所以=4,……………………………………………………(活用等比数列通项的性质:若n+m=2p,则anam=(m,n,p∈N*),注意与等差数列通项的性质的区别)
因为an>0,所以a4=2. (注意“各项均为正数的等比数列”的应用)
因为a4+2a7=,所以a4(1+2q3)=, (活用等比数列通项的性质:an=amqn - m(m,n∈N*))
所以q3=,所以q=,所以a1=16,所以S5==31.
(2)因为{an}为等比数列,所以a5+a7是a1+a3与a9+a11的等比中项, (分别把a1+a3,a5+a7看成整体)
所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),
故a9+a11==2.
同理,a9+a11是a5+a7与a13+a15的等比中项,
所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15==1.所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.
【答案】(1)B　(2)C
4[2019山东省实验中学模拟]已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S8 - 2S4=5,则a9+a10+a11+a12的最小值为
A.25 B.20 C.15 D.10
【解析】在正项等比数列{an}中,Sn>0.
因为S8 - 2S4=5,所以S8 - S4=5+S4,
易知S4,S8 - S4,S12 - S8成等比数列, (注意不是S4,S8,S12成等比数列)
所以=S4·(S12 - S8),
所以S12 - S8=+S4+10≥2+10=20(当且仅当S4=5时取等号).
因为S12 - S8=a9+a10+a11+a12,所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.
【答案】B
【解后反思】
求解本题时,一般解法是利用等比数列的前n项和的公式得首项a1和公比q的关系式,把a9+a10+a11+a12用含q的代数式表示出来,再利用基本不等式,求得所求最小值,运算较为烦琐.若利用等比数列的性质“Sk为等比数列的前k项和且Sk≠0,k∈N*,那么Sk,S2k - Sk,S3k - S2k成等比数列”,则可提升求解速度,通过该性质的运用,把a9+a10+a11+a12转化为含S4的代数式,并利用基本不等式求最小值,考查了逻辑推理、数学运算等核心素养.
变式练习
3.(1)设在等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9= (　　)
A. B. - C. D.
(2)记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*),已知am - 1am+1 - 2am=0,且T2m - 1=128,则m的值为 (　　)
A.4 B.7 C.10 D.12
第三讲　《等比数列及其前n项和》测试
基础篇
1.[2020陕西省部分学校摸底检测]等比数列{an}中，若an>0，a2a4=1，a1+a2+a3=7，则公比q= (　　)
A. B. C.2 D.4
2.[2020南昌市测试]公比不为1的等比数列{an}中，若a1a5=aman，则mn不可能为 (　　)
A.5 B.6 C.8 D.9
3.[2020惠州市一调]等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6=9S3，S5=62，则a1= (　　)
A. B.2 C. D.3
4.[2020成都市高三摸底测试]已知等比数列{an}的各项均为正数，若log3a1+log3a2+…+log3a12=12，则a6a7= (　　)
A.1 B.3 C.6 D.9
5.[2020大同市高三调研]已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=　　　　.?
6.[2019长春市高三质量监测]各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6=30，S9=70，则S3= .
7.[2020河北邢台模拟]已知等比数列{an}的前n项和Sn=3n - 1 - m，m∈R.
(1)求m及an；
(2)记bn=an+log3an，求数列{bn}的前n项和Tn.
提升篇
8.[多选题]已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且a1>1，a6+a7>a6a7+1>2，记{an}的前n项积为Tn，则下列选项中正确的是 (　　)
A.01 C.T12>1 D.T13>1
9.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]已知等比数列{an}满足:a1=4，Sn=pan+1+m(p>0)，则p - 取最小值时，数列{an}的通项公式为 (　　)
A.an=4×3n - 1 B.an=3×4n – 1 C.an=2n+1 D.an=4n
10.[2019长春市高三第一次质量监测]已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若公比q=2，则= (　　)
A. B. C. D.
11.[2020安徽省示范高中名校联考]设Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，a1=3，若 - a4，a3，a5成等差数列，则Sn与an的关系式为　　　　　　　　.?
12.[2019河南新乡一模]设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=1，(n+1)an+1=(n - 1)Sn，则Sn=　　　　.?
13.已知公比q>1的等比数列{an}满足=a10，2(an+an+2)=5an+1.若bn=(n - λ)an(n∈N*)，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是　　　　.?
14.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3=3，S3=9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=log2，且{bn}为递增数列，若cn=，求证:c1+c2+c3+…+cn<1.
15.[2019河北廊坊省级示范高中联考]在数列{an}中，a1=1，，设bn=·an.
(1)证明数列{bn}是等比数列；
(2)求{an}的前n项积Tn.
参考答案与解析
等比数列及其前n项和
考点测评
1.ACD　对于A，当n属于正整数，q为常数且不等于0时，数列{an}为等比数列，故A错误；对于B，由等比中项的概念可知，a，b，c三个数成等比数列的必要条件是b2=ac，故B正确；对于C，当等比数列{an}的公比q= - 1时，bn=0，此时{bn}不是等比数列，故C错误；对于D，当an为正数时，数列
{ln an}是等差数列，故D错误.所以结论中错误的为ACD.
2.D　等比数列 - 1， - 2， - 4，…，满足公比q=2>1，但{an}不是递增数列，即充分性不成立.an= - 1×()n - 1为递增数列，但q=<1，即必要性不成立.故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D.
3.C　设等比数列{an}的公比为q，由a5=3a3+4a1得q4=3q2+4，得q2=4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q=2.又a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)
=a1(1+2+4+8)=15，所以a1=1，所以a3=a1q2=4，故选C.
4.C　设等比数列的公比为q，因为a1=2，S3=6，所以S3=2+2q+2q2=6，则q2+q - 2=0，所以q=1或q= - 2.当q=1时，S4=S3+2=8；当q= - 2时，S4=S3+a1q3=6+2×( - 2)3= - 10.故选C.
5.B　由等比数列的性质及题意可知，a5a6+a4a7=2a5a6=18，所以a5a6=9，所以log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1·a2·…·a10)=log395=10，故选B.
6.B　由题意知，每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7=381，公比q=2，依题意，得=381，解得a1=3，故选B.
7.64　解法一　设等比数列{an}的公比为q，由得，解得
所以a1a2…an=q1+2+…+(n - 1)=8n×(.
记t= - (n∈N*)，则t= - (n2 - 7n)= - (n - )2+，
易知当n=3或4时，a1a2…an取得最大值26=64.
解法二　设等比数列{an}的公比为q，由题可知a1+a1q2=10，a1q+a1q3=5，则q=，a1=8，所以an=8·()n - 1=24 - n.
当n=4时，a4=1，所以a1>a2>a3>a4=1>a5>a6>….
所以a1a2…an取最大值时n=3或4.
所以a1a2…an的最大值为64.
变式练习
1.(1)由题意得a1=S1=1+λa1，
故λ≠1，a1=，a1≠0.
由Sn=1+λan，Sn+1=1+λan+1 得an+1=λan+1 - λan，即an+1(λ - 1)=λan.又a1≠0，λ≠0且λ≠1，所以.
所以{an}是首项为，公比为的等比数列，
故an=()n - 1.
(2)由(1)得Sn=1 - ()n.由S5=得1 - ()5=，即()5=，解得λ= - 1.
2.(1)B　设公比为q(q>0)，由已知得a1q2·a1q8=2(a1q4)2，
则q=，所以a1=.故选B.
(2)A　设等差数列{an}的公差为d，由a2，a4+3，a6+6构成公比为q的等比数列，得(a4+3)2=a2(a6+6)，即(a1+3d+3)2=(a1+d)·(a1+5d+6)，化简得(2d+3)2=0，解得d= - .所以q==1.故选A.
(3)A　由题意得，将此人每天所走的路程从第一天起依次排列，形成一个公比为的等比数列，记为{an}，其前6项和等于378，于是有=378，解得a1=192，所以a2=a1=96，即此人第二天走了96里，故选A.
3.(1)A　因为a7+a8+a9=S9 - S6，且S3，S6 - S3，S9 - S6成等比数列，所以8(S9 - S6)=1，所以S9 - S6=，即a7+a8+a9等于.故选A.
(2)A　因为{an}是等比数列，所以am - 1am+1=.又am - 1am+1 - 2am=0，则 - 2am=0，所以am=2(am=0舍去).由等比数列的性质可知前2m - 1项的积T2m - 1=，即22m - 1=128，解得m=4.故选A.
基础篇
1.B　解法一　由题意得q>0，a1>0，因为所以解得故选B.
解法二　由等比数列的性质得=a2a4=1，结合an>0，得a3=1.由a1+a2+a3=7，得+a3=7，则=6，结合q>0，解得q=，故选B.
2.B　由等比数列的性质可知，m+n=6，m∈N*，n∈N*，当m=n=3时，mn=9；当m=4，n=2时，mn=8；当m=5，n=1时，mn=5.故选B.
3.B　由题意可得q≠1，且即解得故选B.
4.D　因为等比数列{an}的各项均为正数，所以log3a1+log3a2+…+log3a12=log3(a1·a2·…·a12)=log3 (a6a7)6=12，所以(a6a7)6=312=96，所以a6a7=9，故选D.
5.5　各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3==5，a7a8a9==10，则a4a5a6==5.
6.10　解法一　设数列{an}的公比为q(q>0且q≠1)，由题意可得①÷②，得，结合q>0，得q3=2，由，得S3=S6=10.
解法二　由题意可得=S3(S9 - S6)，即=40S3，即 - 100S3+900=0，解得S3=10或S3=90.又数列{an}的各项均为正数，所以S37.(1)当n=1时，a1=S1=1 - m.
当n≥2时，an=Sn - Sn - 1=2×3n - 2.
因为数列{an}是等比数列，所以a1=1 - m满足上式，所以an=2×3n - 2，a1=2×3 - 1=1 - m，所以m=.
(2)bn=an+log3an=2×3n - 2+(n - 2)+log32，所以Tn=Sn+n+nlog32=3n - 1++nlog32 - .
提升篇
8.ABC　由于等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且a1>1，a6+a7>a6a7+1>2，所以(a6 - 1)(a7 - 1)<0，由题意得a6>1，a7<1，所以02，所以a6a7>1，所以T12=a1·a2·…·a11·a12=>1，T13=<1.故选ABC.
9.A　∵Sn=pan+1+m，∴Sn - 1=pan+m(n≥2)，
∴an=Sn - Sn - 1=pan+1 - pan(n≥2)，∴pan+1=(p+1)an(n≥2)，
∴(n≥2).
又n=1时，a1=S1=pa2+m=4，∴a2=，.
∵{an}为等比数列，∴，∵p>0，∴p= - ，∴m= - 4p，
p - =p+≥2=1，当且仅当p=，即p=时取等号，
此时等比数列{an}的公比=3，∴an=4×3n - 1.
10.A　解法一　由题意知a1+a3+a5=a1(1+22+24)=21a1，而S6==63a1，所以，故选A.
解法二　由题意知S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=a1+a3+a5+(a2+a4+a6)=a1+a3+a5+2(a1+a3+a5)=3(a1+a3+a5)，故，故选A.
11.Sn=2an - 3　设等比数列{an}的公比为q，因为数列{an}的各项均为正数，所以q>0.由 - a4，a3，a5成等差数列，得2a3=a5 - a4，则q2 - q - 2=0，解得q=2，所以Sn==2an - a1，即Sn=2an - 3.
12.　∵(n+1)an+1=(n - 1)Sn，∴nan+1+Sn+1=nSn，∴n(Sn+1 - Sn)+Sn+1=nSn，∴=2，∴{nSn}是首项为1，公比为2的等比数列，
则nSn=2n - 1，∴Sn=.
13.( - ∞，3)　2(an+an+2)=5an+1?2q2 - 5q+2=0?q=2或q=(舍去)，=a10?(a1q4)2=a1q9?a1=q=2，所以数列{an}的通项公式为an=2n，所以bn=(n - λ)2n(n∈N*)，所以bn+1=(n+1 - λ)·2n+1.因为数列{bn}是递增数列，所以bn+1>bn，所以(n+1 - λ)2n+1>(n - λ)2n，化简得λ【核心素养】　试题设计步步紧扣，求等比数列通项公式的过程体现了数学运算核心素养，利用递增数列解题的过程则体现了逻辑推理核心素养.
14.(1)设数列{an}的公比为q，当q=1时，符合条件，a1=a3=3，an=3.
当q≠1时，由题意得即解得an=12×( - )n - 1.
综上，an=3或an=12×( - )n - 1.
(2)若an=3，则bn=0，与题意不符，所以an=12×( - )n - 1.
所以a2n+3=12×( - )2n+2=3×()2n，bn=log2=log222n=2n，
所以cn=，
则c1+c2+c3+…+cn=(1 - )+()+…+()=1 - <1.
15.(1)∵··=4，
b1=2a1=2，
∴数列{bn}是首项为2，公比为4的等比数列.
(2)由(1)知，bn=·an=2·4n - 1，则an=·22n - 1，
从而Tn=(…)·21+3+…+2n - 1=.
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