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第五章　数　列
第二讲　等差数列及其前n项和
考点测评
1.[多选题]下面结论正确的为 (　　)
A.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列
B.数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2
C.数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数
D.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列
2.[2018全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5= (　　)
A. - 12 B. - 10 C.10 D.12
3.[2017全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为 (　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
4.[2015北京高考]设{an}是等差数列.下列结论中正确的是 (　　)
A.若a1+a2>0,则a2+a3>0
B.若a1+a3<0,则a1+a2<0
C.若0
D.若a1<0,则(a2 - a1)(a2 - a3)>0
5.[2019江苏高考]已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是　　　　.?
6.[2019北京高考]设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2= - 3,S5= - 10,则a5=　　　　,Sn的最小值为　　　　.?
7.一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则该数列的公差d=　 .?
8.[2019银川一中模拟]在等差数列{an}中,首项a1>0,公差d≠0,前n项和为Sn(n∈N*),有以下命题:
①若S3=S11,则必有S14=0;②若S3=S11,则必有S7是Sn中的最大项;③若S7>S8,则必有S8>S9;④若S7>S8,则必有S6>S9.
其中所有正确命题的序号是　　　　.?
知识回顾
考法1 等差数列的判定与证明
1 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn - 1,其中λ为常数.
(1)证明:an+2 - an=λ;
(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
【解析】(1)由题意知,anan+1=λSn - 1,an+1an+2=λSn+1 - 1.
两式相减,得an+1(an+2 - an)=λan+1.
由于an+1≠0,所以an+2 - an=λ.
(2)由题设知,a1=1,a1a2=λS1 - 1,可得a2=λ - 1.
由(1)知,a3=λ+1.
令2a2=a1+a3,解得λ=4.
故an+2 - an=4,由此可得{a2n - 1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n - 1=4n - 3;
{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n - 1.
所以an=2n - 1,an+1 - an=2.
因此存在λ=4,使得{an}为等差数列.
变式练习
1.[2019广东七校第二次联考]已知数列{an}满足a1=1,an+1=,且bn=,n∈N*.
(1)求证:数列{bn}为等差数列;
(2)设数列{}的前n项和为Tn,求Tn的表达式.
考法2 等差数列的基本运算
2(1)[2019全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.an=2n - 5 B.an=3n - 10
C.Sn=2n2 - 8n D.Sn=n2 - 2n
(2)[2020惠州市一调]等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+a5=25,S6=57,则{an}的公差为　　　　.?
(3)[2019全国卷Ⅲ,]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则=　　　　.?
【解析】(1)解法一　设等差数列{an}的公差为d,∵ 解得∴an=a1+(n - 1)d= - 3+2(n - 1)=2n - 5,
Sn=na1+d=n2 - 4n.故选A.
解法二　设等差数列{an}的公差为d,∵
∴解得
选项A中,a1=2×1 - 5= - 3;
选项B中,a1=3×1 - 10= - 7,排除B;
选项C中,S1=2 - 8= - 6,排除C;
选项D中,S1= - 2= - ,排除D.选A.
(2)解法一　设{an}的公差为d.因为a4+a5=25,S6=57,所以解得所以{an}的公差为3.
解法二　设{an}的公差为d,因为S6==3(a3+a4)=57,所以a3+a4=19.a4+a5 - (a3+a4)=2d=25 - 19,所以d=3.
(3)设等差数列{an}的公差为d,由a2=3a1,即a1+d=3a1,得d=2a1,所以=4.
变式练习
2.(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm - 1= - 2,Sm=0,Sm+1=3,则m= (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)在等差数列{an}中,已知a5+a10=12,则3a7+a9= (　　)
A.12 B.18 C.24 D.30
考法3 等差数列的性质的应用
3(1)[2019全国高三联考]设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S9=36,则(a2+a8)2 - a5=　　　　　　　　　　　　　　　　
A.60 B.30 C.12 D.4
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1= - 2 018,=11,则S2 022等于
A.6066 B. - 6066 C.4040 D. - 4040
(3)等差数列{an}共有63项,且S63=36,则S奇=　　　　,S偶=　　　　.?
【解析】(1)S9==36,∴a1+a9=2a5=8,
∴a5=4,∴(a2+a8)2 - a5=4 - a5=4×42 - 4=60.故选A.
(2)由等差数列的性质可得{}也为等差数列,设数列{}的公差为d,
则=11d=11,∴d=1.
故 = +2 021d= - 2 018+2 021=3.
∴S2 022=3×2 022=6 066.故选A.
(3)由S63=36,得63·a32=36. (利用性质:若项数为2n - 1,则S2n - 1=(2n - 1)an)
∴a32=.
∴S奇=32a32=32×,
S偶=31a32=31×. (利用性质:若项数为2n - 1,则S奇=nan,S偶=(n - 1)an)
变式练习
3.(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若m>1,且am - 1+am+1 - - 1=0,S2m - 1=39,则m等于(　　)
A.39 B.20 C.19 D.10
(2)[2020贵州遵义联考]等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若,则=　　　　.?
考法4 等差数列的前n项和及其最值
4在等差数列{an}中,已知a1=13,3a2=11a6,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为　　　　.?
【解题思路】思路一　先利用已知条件求出公差d,再利用求出n的取值范围,由n∈N*,即可得出n的值,从而得出数列{an}的前n项和Sn的最大值.
思路二　先求出公差d,再利用配方法求数列{an}的前n项和Sn的最大值.
【解析】设等差数列{an}的公差为d.
解法一　(通项法)由3a2=11a6,得3×(13+d)=11×(13+5d),解得d= - 2,所以an=13+(n - 1)×( - 2)= - 2n+15.
由得解得6.5≤n≤7.5.
因为n∈N*, (求最值时,注意隐含条件n∈N*的应用)
所以当n=7时,数列{an}的前n项和Sn最大,最大值为S7==49.
解法二　(二次函数法)由3a2=11a6,得3×(13+d)=11×(13+5d),解得d= - 2,所以an=13+(n - 1)×( - 2)= - 2n+15.
所以Sn== - n2+14n= - (n - 7)2+49, (用配方法求最值)
所以当n=7时,数列{an}的前n项和Sn最大,最大值为S7=49.
变式练习
4.[2018全国卷Ⅱ]记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1= - 7,S3= - 15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
第二讲　《等差数列及其前n项和》测试
基础篇
1.[2020唐山市摸底考试]已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a5= - 2，S15=150，则公差d= (　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
2.[2020江西红色七校第一次联考]已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S8 - S3=45，则a6的值是 (　　)
A.3 B.5 C.7 D.9
3.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知等差数列{an}满足4a3=3a2，则{an}中一定为零的项是 (　　)
A.a6 B.a7 C.a8 D.a9
4.[2020大同市高三调研]若等差数列{an}的前n项和Sn有最大值，且< - 1，则Sn取正值时项数n的最大值为 (　　)
A.15 B.17 C.19 D.21
5.[2020安徽省示范高中名校联考][数学文化题]《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为 (　　)
A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺
6.[2019唐山市高三摸底考试]等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a11=4，则S13= (　　)
A.13 B.26 C.39 D.52
7.[2019广东百校联考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1≠0，S2=a4，则= (　　)
A.1 B. C. D.
8.[2019福建福州华侨中学期中]已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且a1=9，S5=S9，那么使Sn最大的n是 (　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
9.[2020长春市第一次质量监测]已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an+2n+1，设bn=.
(1)求证:数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{}的前n项和Sn.
提升篇
10.[2020唐山市摸底考试]已知等差数列{an}的公差不为0，其前n项和为Sn，若S3，S9，S27成等比数列，则= (　　)
A.3 B.6 C.9 D.12
11.[2019江西红色七校第一次联考]已知数列{an}为等差数列，若a2+a6+a10=，则tan(a3+a9)的值为 (　　)
A.0 B. C.1 D.
12.[2019山东三校联考][数学文化题]“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个求解同余式组的问题，现有这样一个问题:将1到2 018这2 018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列共有 (　　)
A.98项 B.97项 C.96项 D.95项
13.[2020成都市测试]已知等差数列{an}前三项的和为 - 9，前三项的积为 - 15.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若{an}为递增数列，求数列{|an|}的前n项和Sn.
14.[多选题]已知数列{an}是等差数列，其前n 项和为Sn，且满足a1+5a3=S8 ，则下列结论正确的是 (　　)
A.a10=0 B.S10最小 C.S7=S12 D.S20=0
15. [2020南昌市测试]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2=1，Sn+Sn - 2=2Sn - 1+2(n≥3)，则a3的值为　　　　.?
参考答案与解析
等差数列及其前n项和
考点测评
1.BD　对于A，若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则这个数列是等差数列，故A错误；对于B，由2an+1=an+an+2得an+1 - an=an+2 - an+1，故B正确；对于C，数列{an}为等差数列的充分不必要条件是其通项公式为n的一次函数，故C错误；对于D，由等差数列与一次函数的关系可得D正确.故选BD.
2.B　解法一　设等差数列{an}的公差为d，∵3S3=S2+S4，∴3(3a1+d)=2a1+d+4a1+d，解得d= - a1.∵a1=2，∴d= - 3，∴a5=a1+4d=2+4×( - 3)= - 10.故选B.
解法二　设等差数列{an}的公差为d，∵3S3=S2+S4，∴3S3=S3 - a3+S3+a4，∴S3=a4 - a3，∴3a1+d=d，又a1=2，∴d= - 3，∴a5=a1+4d=2+4×( - 3)= - 10.故选B.
3.C　设等差数列{an}的公差为d，∴解得故选C.
4.C　若{an}是递减的等差数列，则选项A，B都不一定正确.若{an}为公差为0的等差数列，则选项D不正确.对于C选项，由05.16　解法一　设等差数列{an}的公差为d，则a2a5+a8=(a1+d)(a1+4d)+a1+7d=+4d2+5a1d+a1+7d=0，S9=9a1+36d=27，解得a1= - 5，d=2，则S8=8a1+28d= - 40+56=16.
解法二　设等差数列{an}的公差为d.S9==9a5=27，a5=3，又a2a5+a8=0，则3(3 - 3d)+3+3d=0，得d=2，所以a4=3 - 2=1，则S8==4(a4+a5)=4×(1+3)=16.
6.0　 - 10　设等差数列{an}的公差为d，∵即∴可得∴a5=a1+4d=0.
∵Sn=na1+d=(n2 - 9n)，∴当n=4或n=5时，Sn取得最小值，最小值为 - 10.
7.5　设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得
又S偶 - S奇=6d，所以d==5.
8.①②③④　对于①，若S11 - S3=4(a1+a14)=0，即a1+a14=0，则S14==0，所以①正确；对于②，当S3=S11时，易知a7+a8=0，又a1>0，d≠0，所以a7>0>a8，故S7是Sn中的最大项，所以②正确；对于③，若S7>S8，则a8<0，又a1>0，那么d<0，可知a9<0，此时S9 - S8<0，即S8>S9，所以③正确；对于④，若S7>S8，则a8<0，S9 - S6=a7+a8+a9=3a8<0，即S6>S9，所以④正确.
变式练习
1.(1)因为bn=，且an+1=，所以bn+1==1+=1+bn，故bn+1 - bn=1.
又b1==1，所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列.
(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn=n，又bn=，
所以an=.
故，
所以Tn=()=1 - .
2.(1)C　解法一　由Sm - 1= - 2，Sm=0，Sm+1=3，
得am=Sm - Sm - 1=2，am+1=Sm+1 - Sm=3，
所以等差数列的公差为d=am+1 - am=3 - 2=1，
由得解得故选C.
解法二　已知Sm - 1= - 2，Sm=0，Sm+1=3，
由等差数列求和公式得
② - ①，得a1+(m - 1)d=2　④，
③ - ②，得a1+md=3　⑤，
⑤ - ④，得d=1，代入⑤，得a1=3 - m，
把d和a1都代入②，得m=5或m=0(舍去).故选C.
解法三　由题意，知Sm==0，所以a1= - am= - (Sm - Sm - 1)= - 2，所以am=2，a1= - 2.又am+1=Sm+1 - Sm=3，所以公差d=am+1 - am=1，所以3=am+1=a1+md= - 2+m，所以m=5.故选C.
解法四　因为数列{an}为等差数列，且其前n项和为Sn，
所以数列{}也为等差数列.
所以，即=0，解得m=5.
经检验为原方程的解.故选C.
(2)C　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
因为a5+a10=12，所以2a1+13d=12，
所以3a7+a9=3(a1+6d)+a1+8d=4a1+26d=2(2a1+13d)=2×12=24.
3.(1)B　数列{an}为等差数列，则am - 1+am+1=2am，则am - 1+am+1 - - 1=0可化为2am - - 1=0，解得am=1.又S2m - 1=(2m - 1)am=39，则m=20.故选B.
(2)　由等差数列前n项和的性质得.
4.(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d= - 15.
由a1= - 7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n - 9.
(2)由(1)得Sn=n2 - 8n=(n - 4)2 - 16.
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为 - 16.
基础篇
1.C　解法一　因为数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，所以解得故选C.
解法二　因为数列{an}是等差数列，所以S15=15a8=150，所以 a8=10，所以3d=a8 - a5=10 - ( - 2)=12，所以d=4.故选C.
2.D　解法一　设等差数列{an}的公差为d，则S8 - S3=8a1+d - (3a1+d)=5a1+25d=45，即a1+5d=9，即a6=9，故选D.
解法二　因为S8 - S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=45，所以a6=9，故选D.
3.A　解法一　设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为4a3=3a2，所以4(a1+2d)=3(a1+d)，所以a1= - 5d，故an=a1+(n - 1)d=(n - 6)d.令(n - 6)d=0，得n=6，故选A.
解法二　设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为4a3=3a2，所以a3= - 3d.又a3=a1+2d，所以a1= - 5d，故an= - 5d+(n - 1)d.令an=0，得n=6，所以数列{an}中a6=0.故选A.
4.C　由等差数列{an}的前n项和Sn有最大值，且< - 1，可知等差数列{an}的公差d<0，a10>0，a11<0，且a11< - a10，则a10+a11<0.由a10>0，得2a10=a1+a19>0，所以S19>0，由a10+a11<0，得a1+a20=a10+a11<0，所以S20<0，所以Sn取正值时项数n的最大值为19，故选C.
5.B　设各节气日影长为等差数列{an}，Sn是其前n项和，则S9==9a5=85.5，所以a5=9.5，由题意知a1+a4+a7=3a4=31.5，所以a4=10.5，所以公差d=a5 - a4= - 1，所以a12=a5+7d=2.5，即芒种日影长为2.5尺，故选B.
6.B　由等差数列的性质可知，a1+a13=a3+a11=4，∴S13==26，故选B.
【方法技巧】　利用等差数列的性质“若m+n=p+q，则am+an=ap+aq”可以有效简化运算.
7.B　设等差数列{an}的公差为d，由S2=a4，得2a1+d=a1+3d，
所以a1=2d，所以.故选B.
8.B　因为a1>0，S5=S9，所以公差小于零，易知Sn=n2+(9 - )n(n∈N*)，在坐标系中作出其图象(图略)，可知其图象对应的抛物线开口向下且对称轴为直线n=7，故n=7时，Sn最大.故选B.
9.(1)当n≥2时，bn - bn - 1==1，
又b1=1，所以{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列.
(2)由(1)可知，bn=n，所以，
所以Sn=1 - +…+=1 - .
提升篇
10.C　解法一　设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为S3，S9，S27成等比数列，所以=S3S27，即(9a1+d)2=(3a1+d)(27a1+d)，即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，化简得d2=2a1d.因为d≠0，所以d=2a1，则=9，故选C.
解法二　设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为S3，S9，S27成等比数列，所以=S3S27，即[]2=，即(a1+a1+8d)2=(a1+a1+2d)(a1+a1+26d)，化简得d2=2a1d.因为d≠0，所以d=2a1，则=9，故选C.
解法三　设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为S3，S9，S27成等比数列，所以=S3S27，又S9=9，S3=3a2，S27=27a14，所以=a2a14，即=(a1+d)(a1+13d)，化简得d2=2a1d.因为d≠0，所以d=2a1，所以=9，故选C.
11.D　因为数列{an}是等差数列，所以a2+a6+a10=3a6=，所以a6=，所以a3+a9=2a6=，所以tan(a3+a9)=tan.故选D.
12.B　因为能被3除余1且被7除余1的数就是能被21除余1的数，所以an=21(n - 1)+1，由an=21(n - 1)+1≤2 018，得n≤，故此数列共有97项.故选B.
13.(1)设数列{an}的公差为d，则依题意得a2= - 3，则a1= - 3 - d，a3= - 3+d，
∴( - 3 - d)( - 3)( - 3+d)= - 15，解得d2=4，d=±2，
∴等差数列{an}的通项公式为an= - 2n+1或an=2n - 7.
(2)由题意及(1)得an=2n - 7，∴|an|=
①当n≤3时，Sn= - (a1+a2+…+an)=n=6n - n2；
②当n≥4时，Sn= - a1 - a2 - a3+a4+…+an= - 2(a1+a2+a3)+(a1+a2+…+an)=18 - 6n+n2.
综上，数列{|an|}的前n项和Sn=
14.AC　设数列{an}的公差为d，因为a1+5a3=S8，所以a1+5a1+10d=8a1+28d，所以a1= - 9d.
所以an=a1+(n - 1)d=(n - 10)d，所以a10=0，故A一定正确.
Sn=na1+= - 9nd+(n2 - 19n)，所以S7=S12，故C一定正确.
显然B与D不一定正确.故选AC.
15.3　当n≥3时，由Sn+Sn - 2=2Sn - 1+2，得Sn - Sn - 1=Sn - 1 - Sn - 2+2，即an=an - 1+2，所以a3=a2+2=3.
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