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2021年四川省成都市锦江区中考数学二诊试卷
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）在下列小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分
1．（3分）﹣2021的相反数是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．（3分）如图所示的几何体由6个大小相同的正方体组成，其主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）“2021成都大运会”筹备工作开展以来，志愿者部科学统筹，一体推进志愿者招募培训，运行指挥，活动组织，服务保障和疫情防控等工作．截止2月25日，已完成5000余名骨干志愿者招募．数据5000用科学记数法可以表示为（　　）
A．5×103 B．5×104 C．0.5×103 D．0.5×104
4．（3分）已知点P与点P′（2，﹣1）关于y轴对称，则点P的坐标为（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
5．（3分）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，其中∠BAC＝∠EAD＝90°，∠B＝60°，∠E＝45°，AE与BC相交于点F，若AB∥DE，则∠EFB的大小是（　　）
A．75° B．90° C．105° D．120°
6．（3分）在某校组织的体育中考模拟测试中，某小组5位同学的立定跳远成绩分别为（单位：分）：19，19，18，20，19．这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．18分，18分 B．18分，19分 C．19分，18分 D．19分，19分
7．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象上有三点A，B，C，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，连接OA，OB，OC，记△OAD，△OBE，△OCF的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2和S3的大小关系为（　　）
A．S1＞S2＞S3 B．S1＜S2＜S3 C．S1＝S2＝S3 D．S1＞S3＞S2
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长等于（　　）
A．14 B．20 C．24 D．28
9．（3分）若关于x的分式方程＝2有增根，则a的值为（　　）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝3 D．a＝﹣3
10．（3分）在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝bx2+a的大致图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（共4个小题，每小题4分，满分16分）
11．（4分）分解因式：a3﹣4a＝　 　．
12．（4分）若一次函数y＝（k﹣2）x+3的值随x的增大而增大，则常数k的取值范围为　 　．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△DBE，连接AD，则∠ADE的大小为　 　．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AC于点E，交BC于点F．若，则tan∠ACB的值为　 　．
三、解答题（共6个小题，满分54）
15．（12分）（1）计算：|﹣2|+2cos60°+﹣（3﹣π）0．
（2）解方程：x（x﹣1）+x﹣1＝0．
16．（6分）先化简，再求值：，其中m＝+3．
17．（8分）近期，锦江区各学校开展了“近视防控”系列活动，以此培养学生良好用眼习惯，降低近视发病率．为了了解学生对于“近视防控”知识的掌握程度，某学校采用随机抽样的调查方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图：扇形统计图中“合格”部分所对应扇形的圆心角的大小为　 　；
（2）若该学校共有学生800人，请根据上述调查结果，估计该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”的人数；
（3）若从对“近视防控”知识掌握程度为“优秀”的3个女生和1个男生中随机抽取2人，为“待合格”的同学进行“近视防控”知识宣讲，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
18．（8分）蜀峰468是某地产与锦江区联手打造的“成都第一高楼”，扼守成都“东进”桥头堡，作为大运会灯光秀的主力建筑，承载着展示成都国际化城市形象的重要使命．据了解，2021年7月15日，蜀峰468将完成结构封顶并呈现幕墙灯光秀，以一流的速度和一流的品质向成都人民交上答卷．寒假中，小明和小刚准备测量蜀峰468已建楼高．如图所示，小明家和小刚家在同一大楼（CD），大楼（CD）和蜀峰468（AB）在同一水平街道上．已知CE＝DE＝60米，若小明从D点测得A的仰角为45°，小刚从E点测得A的仰角为58°，请计算蜀峰468（AB）已建高度．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.41，结果保留整数）
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax+b与双曲线y＝交于A（1，3），B（3，m）两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接OA，OB．
（1）求a，b，k的值；
（2）求△OAB的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PCD的面积等于△OAB的面积的3倍．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（10分）如图1，以△ABC的边AC为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，点E为AD上一点（不与端点重合），连接CE，作DF⊥CE于点F，延长DF交AC于点M，交BA的延长线于点G，∠BGD＝∠ACE．
（1）求证：BG是⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）如图2，延长CE交AB于点H，若HE＝4，∠ACH＝∠BCH，sin∠BGD＝，求BC的长．
一、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分）
21．（4分）已知整数x满足﹣＜x＜，则x的值为　 　．
22．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BC，BD，若直径AB＝8，∠CBD＝45°，则阴影部分的面积为　 　．
23．（4分）用一些棋子摆成如图所示的长方形点阵和等边三角形点阵，长方形点阵的长所用棋子的颗数是宽所用棋子颗数的2倍，等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多．如果等边三角形点阵比长方形点阵多用20颗棋子，则等边三角形点阵所用棋子的颗数为　 　．
24．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12．将矩形ABCD放置在平面直角坐标系xOy中，点O，E分别是边AD和BC的中点，点P为线段OE上一点，且OP＝4，点Q从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿O→A→B→E方向运动（运动到点E时停止），连接PQ，将△OPQ沿PQ翻折，点O的对应点O′恰好落在边BC上，则点Q的运动时间t（秒）的值为　 　．
25．（4分）在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，CD⊥AB，点P是直线CD上一点，连接PA，将线段PA绕P逆时针旋转120°得到PA′，点M、N分别是线段AC、PA′中点，连接MN，则线段MN的最小值为　 　．
二、解答题（第26题满分30分，第27题满分30分，第28题满分30分）
26．（8分）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，某中学计划排练歌舞节目献礼建党100周年，需要男生和女生共120名同学参加演出，其中，女生人数不能少于男生人数且不能多于男生人数的2倍．学校将为每位参加演出的学生购买一套演出服，从服装市场了解到：购买1套男生服装需要100元，购买1套女生服装需要60元．
（1）设男生人数为a，求a的取值范围；
（2）若学校和商家协定：购买女生服装没有优惠，购买男生服装超过20套时，每多1套则每套男生服装的购买价格减少0.5元．求参加演出的男生和女生分别为多少人时，购买服装所需费用最少？最少为多少元？
27．（10分）如图，AC是正方形ABCD的对角线，E为边BC上一点，过点E作EG⊥AC交AC于P，交CD于G，连接DP并延长交BC于点F．
（1）求证：PE＝PG；
（2）若BE＝FC，求∠EPF的大小；
（3）若BC＝6，EF＝1，求△PEF的面积．
28．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点（A在B左侧），交y轴于点C，且OC＝OB＝3，对称轴l交抛线于点D，交x轴于点G．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）如图2，过点C作CH⊥DG于H，在射线HG上有一动点M（不与H重合），连接MC，将MC绕M点顺时针旋转90°得线段MN，连接DN，在点M的运动过程中，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（3）如图3，将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移后交直线l于点E，交原抛物线于点Q且点Q在第一象限，过点Q作QP⊥x轴于点P，设点Q的横坐标为m，问：在原抛物线y＝﹣x2+bx+c上是否存在点F，使得以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
2021年四川省成都市锦江区中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）在下列小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分
1．（3分）﹣2021的相反数是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可．
【解答】解：﹣2021的相反数是2021．
故选：A．
2．（3分）如图所示的几何体由6个大小相同的正方体组成，其主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看有四列，从左到右小正方形的个数分别为1、1、2、1．
故选：B．
3．（3分）“2021成都大运会”筹备工作开展以来，志愿者部科学统筹，一体推进志愿者招募培训，运行指挥，活动组织，服务保障和疫情防控等工作．截止2月25日，已完成5000余名骨干志愿者招募．数据5000用科学记数法可以表示为（　　）
A．5×103 B．5×104 C．0.5×103 D．0.5×104
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：5000＝5×103．
故选：A．
4．（3分）已知点P与点P′（2，﹣1）关于y轴对称，则点P的坐标为（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征求解．
【解答】解：∵点P与点P′（2，﹣1）关于y轴对称，
∴点P的坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：C．
5．（3分）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，其中∠BAC＝∠EAD＝90°，∠B＝60°，∠E＝45°，AE与BC相交于点F，若AB∥DE，则∠EFB的大小是（　　）
A．75° B．90° C．105° D．120°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠EAB＝∠E，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥DE，∠E＝45°，
∴∠EAB＝∠E＝45°，
∵∠B＝60°，
∴∠EFB＝∠B+∠EAB＝60°+45°＝105°．
故选：C．
6．（3分）在某校组织的体育中考模拟测试中，某小组5位同学的立定跳远成绩分别为（单位：分）：19，19，18，20，19．这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．18分，18分 B．18分，19分 C．19分，18分 D．19分，19分
【分析】根据题目中的数据，可以先按照从小到大排列，然后即可得到相应的中位数和众数．
【解答】解：∵某小组5位同学的立定跳远成绩分别为（单位：分）：19，19，18，20，19，
∴这组数据按照从小到大排列是：18，19，19，19，20，
∴这组数据的中位数是19，众数是19，
故选：D．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象上有三点A，B，C，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，连接OA，OB，OC，记△OAD，△OBE，△OCF的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2和S3的大小关系为（　　）
A．S1＞S2＞S3 B．S1＜S2＜S3 C．S1＝S2＝S3 D．S1＞S3＞S2
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求解．
【解答】解：由函数系数k的几何意义可得，S1，S2，S3均为，
∴S1＝S2＝S3，
故选：C．
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长等于（　　）
A．14 B．20 C．24 D．28
【分析】由菱形的性质可得AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，由勾股定理可求AB的长，即可求解．
【解答】解：设AC与BD交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴AB＝＝＝5，
∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20，
故选：B．
9．（3分）若关于x的分式方程＝2有增根，则a的值为（　　）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝3 D．a＝﹣3
【分析】方程两边都乘以（x﹣3）去掉分母，化简求出a的表达式，因为方程有增根，所以x﹣3＝0，求出x的值，代入即可求出a的值．
【解答】解：方程两边都乘以（x﹣3）得：a+1＝2（x﹣3），
a+1＝2x﹣6，
a＝2x﹣6﹣1，
a＝2x﹣7．
∵方程有增根，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴a＝2x﹣7＝2×3﹣7＝﹣1．
故选：B．
10．（3分）在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝bx2+a的大致图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝bx2+a的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由直线可知，图象与y轴交于负半轴，b＜0，由抛物线可知，开口向上，b＞0矛盾，故此选项错误；
B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴a＞0，二次项系数b为负数，与一次函数y＝ax+b中b＞0矛盾，故此选项错误；
C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过一，三象限，a＞0，故此选项错误；
D、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过二，四象限a＜0，故此选项正确；
故选：D．
二、填空题（共4个小题，每小题4分，满分16分）
11．（4分）分解因式：a3﹣4a＝　a（a+2）（a﹣2）　．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣4）
＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）
12．（4分）若一次函数y＝（k﹣2）x+3的值随x的增大而增大，则常数k的取值范围为　k＞2　．
【分析】根据一次函数的增减性可求得k的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+3（k是常数）中y随x的增大而增大，
∴k﹣2＞0，
解得k＞2，
故答案为：k＞2．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△DBE，连接AD，则∠ADE的大小为　15°　．
【分析】由旋转的性质得出AB＝DB，∠BAC＝∠BDE＝30°，∠ABC＝∠DBE＝90°，由等腰直角形的性质求出∠ADB＝45°，则可求出答案．
【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△DBE，
∴AB＝DB，∠BAC＝∠BDE＝30°，∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ADB＝∠DAB＝45°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：15°．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AC于点E，交BC于点F．若，则tan∠ACB的值为　　．
【分析】连接AF，设AF＝CF＝5k，BF＝3k，利用勾股定理求出AB，可得结论．
【解答】解：连接AF．
由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴FA＝FC，
∵BF：FC＝3：5，
∴可以假设BF＝3k，CF＝AF＝5k，
∵∠B＝90°，
∴AB＝＝＝4k，
∴BC＝BF+CF＝8k，
∴tan∠ACB＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（共6个小题，满分54）
15．（12分）（1）计算：|﹣2|+2cos60°+﹣（3﹣π）0．
（2）解方程：x（x﹣1）+x﹣1＝0．
【分析】（1）先去绝对值符号、代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，再进一步计算即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣+2×+2﹣1
＝2﹣+1+2﹣1
＝2+；
（2）∵x（x﹣1）+x﹣1＝0，
∴（x﹣1）（x+1）＝0，
则x﹣1＝0或x+1＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣1．
16．（6分）先化简，再求值：，其中m＝+3．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝3﹣m，
当m＝+3时，原式＝3﹣（+3）＝3﹣﹣3＝﹣．
17．（8分）近期，锦江区各学校开展了“近视防控”系列活动，以此培养学生良好用眼习惯，降低近视发病率．为了了解学生对于“近视防控”知识的掌握程度，某学校采用随机抽样的调查方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图：扇形统计图中“合格”部分所对应扇形的圆心角的大小为　72°　；
（2）若该学校共有学生800人，请根据上述调查结果，估计该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”的人数；
（3）若从对“近视防控”知识掌握程度为“优秀”的3个女生和1个男生中随机抽取2人，为“待合格”的同学进行“近视防控”知识宣讲，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
【分析】（1）先根据“优秀”的人数及其所占百分比求出总人数，再由四个等级人数之和等于总人数求出“良好”的人数，从而补全图形，用360°乘以“合格”人数所占比例即可；
（2）用总人数乘以样本中“良好”人数所占比例即可；
（3）首先根据题意列表，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好抽到1个男生和1个女生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为36÷45%＝80（人），
∴“良好”的人数为80﹣（36+16+4）＝24（人），
扇形统计图中“合格”部分所对应扇形的圆心角的大小为360°×＝72°，
补全图形如下：
故答案为：72°．
（2）估计该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”的人数为800×＝240（人）；
（3）列表如下：
女 女 女 男
女
（女，女） （女，女） （男，女）
女 （女，女）
（女，女） （男，女）
女 （女，女） （女，女）
（男，女）
男 （女，男） （女，男） （女，男）
∵共有12种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有6种情况，
∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为＝．
18．（8分）蜀峰468是某地产与锦江区联手打造的“成都第一高楼”，扼守成都“东进”桥头堡，作为大运会灯光秀的主力建筑，承载着展示成都国际化城市形象的重要使命．据了解，2021年7月15日，蜀峰468将完成结构封顶并呈现幕墙灯光秀，以一流的速度和一流的品质向成都人民交上答卷．寒假中，小明和小刚准备测量蜀峰468已建楼高．如图所示，小明家和小刚家在同一大楼（CD），大楼（CD）和蜀峰468（AB）在同一水平街道上．已知CE＝DE＝60米，若小明从D点测得A的仰角为45°，小刚从E点测得A的仰角为58°，请计算蜀峰468（AB）已建高度．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.41，结果保留整数）
【分析】设DH＝EF＝x，在Rt△ADH中可求得AH＝DH＝x，在Rt△AEF中，由三角函数可得AF＝x?tan58°，由HF＝AF﹣AH可得关于x的方程，解得求出x，即可得到AB．
【解答】解：由题意知，四边形DEFH和四边形BFEC是矩形，
∴DE＝HF＝60米，DH＝EF，BF＝CE＝60米，
设DH＝EF＝x，
在Rt△ADH中，
∵∠ADH＝45°，
∴∠DAH＝45°，
∴AH＝DH＝x，
在Rt△AEF中，
∵tan∠AEF＝，
∴AF＝x?tan58°，
∴HF＝AF﹣AH＝x?tan58°﹣x≈1.6x﹣x＝60，
解得：x＝100，
∴AB＝AH+HF+BF＝100+60+60＝220（米），
答：蜀峰468（AB）的高度约为220米．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax+b与双曲线y＝交于A（1，3），B（3，m）两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接OA，OB．
（1）求a，b，k的值；
（2）求△OAB的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PCD的面积等于△OAB的面积的3倍．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）先由直线解析式求得D（0，4），C（4，0），根据△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积求得△AOB的面积；
（3）根据题意得到PC?OD＝12，即＝12，即可求得PC的长，从而求得P的坐标．
【解答】解：（1）将点A（1，3）代入y＝得：3＝，
解得k＝3，
故反比例函数的表达式为：y＝，
将点B（3，m）代入y＝得：m＝1，
故点B（3，1），
将点A（1，3），B（3，1）代入y＝ax+b得，
解得；
故a＝﹣1，b＝4，k＝3；
（2）由一次函数y＝﹣x+4可知，D（0，4），C（4，0），
则△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积＝﹣＝4；
（3）∵△PCD的面积等于△OAB的面积的3倍．
∴PC?OD＝12，即＝12，
∴PC＝6，
∴P（﹣2，0）或（10，0）．
20．（10分）如图1，以△ABC的边AC为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，点E为AD上一点（不与端点重合），连接CE，作DF⊥CE于点F，延长DF交AC于点M，交BA的延长线于点G，∠BGD＝∠ACE．
（1）求证：BG是⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）如图2，延长CE交AB于点H，若HE＝4，∠ACH＝∠BCH，sin∠BGD＝，求BC的长．
【分析】（1）由）∠BGD＝∠ACE，且∠AMG＝∠CMF，可得∠GAM＝∠CFM＝90°，即得结论；
（2）由△ADB∽△CDA可得＝，即AB?AD＝AC?BD，由△BGD∽△ACE可得＝，即AC?BD＝BG?AE，从而可得结论；
（3）设CH交⊙O于N，连接AN，先证明∠ACH＝∠BCH＝∠EDF＝∠BGD＝∠HAN＝∠NAD，再由△AHN≌△AEN得HN＝EN＝2，求出AH、AE，再求AC和EC，最后根据
△AEC∽△BHC，即可得BC．
【解答】解：（1）∵∠BGD＝∠ACE，且∠AMG＝∠CMF，
∴180°﹣∠BGD﹣∠AMG＝180°﹣∠ACE﹣∠CMF，即∠GAM＝∠CFM，
∵DF⊥CE，
∴∠GAM＝∠CFM＝90°，
∴OA⊥BG，
∴BG是⊙O的切线；
（2）∵AC为⊙O直径，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵OA⊥BG，
∴∠B＝90°﹣∠ACB＝∠DAC，
∴△ADB∽△CDA，
∴＝，
∴AB?AD＝AC?BD，
∵∠B＝∠DAC，∠BGD＝∠ACE，
∴△BGD∽△ACE，
∴＝，
∴AC?BD＝BG?AE，
∴AB?AD＝BG?AE，
∴；
（3）设CH交⊙O于N，连接AN，如图：
∵AC为⊙O直径，
∴∠ADC＝90°＝∠ANC，
∵DF⊥CE，
∴∠FCD＝90°﹣∠FDC＝∠EDF，AN∥DG，
∴∠BGD＝∠HAN，∠NAD＝∠ADG，
∵∠ACH＝∠BCH，∠BGD＝∠ACE，
∴∠ACH＝∠BCH＝∠EDF＝∠BGD＝∠HAN＝∠NAD，
在△AHN和△AEN中，
∴△AHN≌△AEN（ASA），
∴HN＝EN＝HE，AH＝AE，
∵HE＝4，
∴HN＝EN＝2，
∵sin∠BGD＝，
∴sin∠HAN＝，
Rt△AHN中，＝可得AH＝5＝AE，
Rt△AHC中，sin∠ACH＝sin∠BGD＝，
∴＝，可得CH＝，
∴AC＝＝，EC＝CH﹣HE＝，
∵∠B＝∠DAC，∠ACE＝∠BCH，
∴△AEC∽△BHC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝．
一、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分）
21．（4分）已知整数x满足﹣＜x＜，则x的值为　﹣1、0或1　．
【分析】先估算出、的大小，即可确定x的值．
【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以﹣2＜x＜2，
所以x的值为﹣1、0或1．
故答案为：﹣1、0或1．
22．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BC，BD，若直径AB＝8，∠CBD＝45°，则阴影部分的面积为　4π﹣8　．
【分析】根据S阴＝S扇形COD﹣S△COD，计算即可．
【解答】解：∵AB是直径，AB＝8，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝4，
∵∠COD＝2∠CBD＝90°，
∴S阴＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣×4×4＝4π﹣8，
故答案为：4π﹣8．
23．（4分）用一些棋子摆成如图所示的长方形点阵和等边三角形点阵，长方形点阵的长所用棋子的颗数是宽所用棋子颗数的2倍，等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多．如果等边三角形点阵比长方形点阵多用20颗棋子，则等边三角形点阵所用棋子的颗数为　820　．
【分析】设长方形的长所用的棋子为n个，则它的宽所用的其作为n个，共用的棋子数为个；等边三角形的边长所用的棋子数为n个，共用的棋子数为1+2+3+???+n＝，由题意，列出方程，结论可求．
【解答】解：设长方形的长所用的棋子为n个，则它的宽所用的其作为n个，共用的棋子数为个．
∵等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多，
∴等边三角形的边长所用的棋子数为n个．
∴等边三角形点阵所用棋子的颗数为1+2+3+???+n＝．
由题意得：
﹣＝20．
解得：n＝40．
∴等边三角形点阵所用棋子的颗数为＝820．
故答案为：820．
24．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12．将矩形ABCD放置在平面直角坐标系xOy中，点O，E分别是边AD和BC的中点，点P为线段OE上一点，且OP＝4，点Q从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿O→A→B→E方向运动（运动到点E时停止），连接PQ，将△OPQ沿PQ翻折，点O的对应点O′恰好落在边BC上，则点Q的运动时间t（秒）的值为　2或5+3　．
【分析】由题意得，点Q在OA上时，将△OPQ沿PQ翻折，点O的对应点O′才能落在边BC上，由翻折可得OP＝O′P＝4，根据勾股定理求出EO′，过O′作O′H⊥OA，在Rt△QO′H中，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：①由题意得，点Q在OA上时，将△OPQ沿PQ翻折，点O的对应点O′才能落在边BC上，OQ＝2t，
∵AB＝6，AD＝12．点O，E分别是边AD和BC的中点，
∴OE＝6，OA＝6．
由翻折得OP＝O′P＝4，O′Q＝OQ＝2t，
∴PE＝2，
∴EO′＝＝2，
过O′作O′H⊥OA，则O′H＝OE＝6，OH＝EO′＝2，
在Rt△QO′H中，O′H2+HQ2＝O′Q2，
∴62+（2t﹣2）2＝（2t）2，解得：t＝2；
②点Q在BC上时，将△OPQ沿PQ翻折，点O的对应点O′落在边BC上，EQ＝12+6﹣2t，
∵AB＝6，AD＝12．点O，E分别是边AD和BC的中点，
∴OE＝6，OA＝BE＝6．
由翻折得O′Q＝OQ，PQ′＝PO＝4，
∴PE＝2，
∴EO′＝＝2，
∴O′Q＝OQ＝12+6﹣2t+2＝14+6﹣2t，
在Rt△OEQ中，EQ2+OE2＝OQ2，
∴62+（12+6﹣2t）2＝（14+6﹣2t）2，解得：t＝5+3；
∴点Q的运动时间t（秒）的值为2或5+3，
故答案为：2或5+3．
25．（4分）在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，CD⊥AB，点P是直线CD上一点，连接PA，将线段PA绕P逆时针旋转120°得到PA′，点M、N分别是线段AC、PA′中点，连接MN，则线段MN的最小值为　2　．
【分析】先利用已知条件求出AB的长，再通过图形判断当P和C重合时MN最短，即MN是△ABC中线，MN＝AB即可．
【解答】解：如图所示：
∵AC＝BC＝4且M为AC中点，
∴AM＝2，
∵∠ACB＝120°，
∴∠CAB＝∠CBA＝×（180°﹣120°）＝30°，
∵CD⊥AB，
则在Rt△CDA中，
CD＝2，AD＝＝＝2，
∴AB＝2AD＝4，
P是直线CD上一点，且PA′是PA绕P旋转120°得到，
∴∠APA′＝120°，PA＝PA′，
即△PAA′∽△CAB，
由图形可知，在P向D运动中，MN逐渐增大，
∴当P与C重合时，MN取得最小值，
此时有：△PMN∽△CAB，
∴，
即，
∴MN＝2，
故答案为：2．
二、解答题（第26题满分30分，第27题满分30分，第28题满分30分）
26．（8分）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，某中学计划排练歌舞节目献礼建党100周年，需要男生和女生共120名同学参加演出，其中，女生人数不能少于男生人数且不能多于男生人数的2倍．学校将为每位参加演出的学生购买一套演出服，从服装市场了解到：购买1套男生服装需要100元，购买1套女生服装需要60元．
（1）设男生人数为a，求a的取值范围；
（2）若学校和商家协定：购买女生服装没有优惠，购买男生服装超过20套时，每多1套则每套男生服装的购买价格减少0.5元．求参加演出的男生和女生分别为多少人时，购买服装所需费用最少？最少为多少元？
【分析】（1）设男生人数为a，则女生人数为（120﹣a），根据女生人数不能少于男生人数且不能多于男生人数的2倍，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围；
（2）设购买服装所需费用为w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于a的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设男生人数为a，则女生人数为（120﹣a），
依题意得：，
解得：40≤a≤60．
答：a的取值范围为40≤a≤60．
（2）设购买服装所需费用为w元，
则w＝[100﹣0.5（a﹣20）]a+60（120﹣a）＝﹣0.5a2+50a+7200＝﹣0.5（a﹣50）2+8450．
∵﹣0.5＜0，
∴当40≤a≤50时，w随a的增大而增大；当50≤a≤60时，w随a的增大而减小．
当a＝40时，w＝﹣0.5×（40﹣50）2+8450＝8400，此时120﹣a＝80；
当a＝60时，w＝﹣0.5×（60﹣50）2+8450＝8400，此时120﹣a＝60．
∵8400＝8400，
∴当参加演出的男生为40人、女生为80人或参加演出的男生为60人、女生为60人时，购买服装所需费用最少，最少为8400元．
27．（10分）如图，AC是正方形ABCD的对角线，E为边BC上一点，过点E作EG⊥AC交AC于P，交CD于G，连接DP并延长交BC于点F．
（1）求证：PE＝PG；
（2）若BE＝FC，求∠EPF的大小；
（3）若BC＝6，EF＝1，求△PEF的面积．
【分析】（1）可以得到△ECG是等腰直角三角形，进而可得PE＝PC＝PG，可得结论；
（2）过点P作PM⊥PF交CD于点M，可得△EPF≌△CPM，再根据∠DPG＝∠PDG＝∠PGM＝22.5°可得答案；
（3）过点G作 GH∥BC交DF于点H可得△GHP≌△EFP，从而可根据三角形相似得出CE＝4或3，再过点P作PN⊥BC于点N得出高PN，最后可得三角形的面积．
【解答】解：（1）证明：∵EG⊥AC于P，
∴∠EPC＝∠GPC＝90°，
在正方形ABCD中，∠ACB＝∠DCB＝45°，
∠PEC＝∠PCE＝45°，∠PGC＝∠PCG＝45°，
∴PE＝PC，PG＝PC，
∴PE＝PG．
（2）过点P作PM⊥PF交CD于点M，
∴∠FPM＝∠EPC＝90°
∴∠EPF＝∠CPM，
在△EPF和△CPM中，
，
∴△EPF≌△CPM（ASA），
∴EF＝CM，
∵∠GEC＝∠EGC＝45°，
∴CE＝CG，
∵BC＝DC，EF＝CM，
∴BE＝DG，FC＝MG，
∵BE＝CF，
∴DG＝MG，
∵∠DPM＝90°，
∴PG＝MD＝DG，
∴∠DPG＝∠PDG＝∠PGM＝22.5°，
∴∠EPF＝22.5°．
（3）过点G作 GH∥BC交DF于点H，
∴∠HGP＝∠FEP，∠DHG＝∠DFC，
在△GHP和△EFP中，
，
∴△GHP≌△EFP（ASA），
∴HG＝EF＝1，
∵∠HDG＝∠FDC，∠DHG＝∠DFC，
∴△HDG∽△FDC，
∴，
设BE＝x，则FC＝5﹣x，DG＝BE＝x，
则，解得：x1＝2，x2＝3，
∴CE＝4或3，
过点P作PN⊥BC于点N，
∵EP＝CP，∠CPE＝90°，
∴点N为EC中点，
∴PN＝EC，
∴PN＝2或，
∴S△PEF＝1或．
28．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点（A在B左侧），交y轴于点C，且OC＝OB＝3，对称轴l交抛线于点D，交x轴于点G．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）如图2，过点C作CH⊥DG于H，在射线HG上有一动点M（不与H重合），连接MC，将MC绕M点顺时针旋转90°得线段MN，连接DN，在点M的运动过程中，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（3）如图3，将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移后交直线l于点E，交原抛物线于点Q且点Q在第一象限，过点Q作QP⊥x轴于点P，设点Q的横坐标为m，问：在原抛物线y＝﹣x2+bx+c上是否存在点F，使得以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△MHC≌△NKM（AAS），得到点N的坐标为（4﹣m，m+1），进而求解；
（3）分PQ为边、PQ是对角线两种情况，利用数形结合和中点坐标公式分别求解即可．
【解答】解：（1）由OC＝OB＝3知，点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），
将点C、B的坐标代入抛物线的表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3＝（x﹣1）2+4①，
故顶点的坐标为（1，4）；
（2）是定值，理由：
过点N作NK⊥GD于点K，设点M的坐标为（1，m），
∵∠CMH+∠NMK＝90°，∠NMK+∠MNK＝90°，
∴∠CMH＝∠MNK，
∵∠MHC＝∠NKM＝90°，MC＝MN，
∴△MHC≌△NKM（AAS），
∴KN＝MH＝3﹣m，HM＝CH＝1，
故点N的坐标为（4﹣m，m+1），
由点ND的坐标得：ND＝＝（3﹣m），
而HM＝3﹣m，
∴＝为定值；
（3）设抛物线向右平移了t（t＞0）的单位，则平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x﹣t）2+2（x﹣t）+3②，
联立①②并解得，即PQ＝﹣t2+4，
∴点Q的坐标为（t+1，﹣t2+4），则m＝t+1
①当PQ为边时，如题干图3，
∵点F在原抛物线上，故点F只能和点D重合，即点F（1，4），
当x＝1时，y＝﹣（x﹣t）2+2（x﹣t）+3＝﹣t2+4，即点E的只能为（1，﹣t2+4），
则FE＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，
当以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形，则DE＝PQ，
即t2＝﹣t2+4，解得t＝（负值已舍去），
故m＝t+1＝+1；
②当PQ是对角线时，
设点F的坐标为（p，q），则q＝﹣p2+2p+3，
由中点坐标公式得：（p+1）＝（t+1+t+1）且（﹣t2+4）＝（q+1），
解得，
即t2＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
解得t＝（负值已舍去），
故m＝+1，
综上，m＝+1或+1．

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