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导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。
洛必达法则简介：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及；
　　(2)在点a的去心_é?????_内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
　　(3)，
那么 =。
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及；
　　(2)，f(x) 和g(x)在与上可导，且g'(x)≠0；
　　(3)，
那么 =。
法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及；
　　(2)在点a的去心_é?????_内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
　　(3)，
那么 =。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。
洛必达法则可处理，，，，，，型。
在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
二．高考题处理
1.(2010年全国新课标理)设函数。
若，求的单调区间；
若当时，求的取值范围
原解：（1）时，，.
当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加
（II）
由（I）知，当且仅当时等号成立.故
，
从而当，即时，，而，
于是当时，.
由可得.从而当时，
，
故当时，，而，于是当时，.
综合得的取值范围为
原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解:（II）当时，，对任意实数a,均在；
当时，等价于
令(x>0),则，令，则，，
知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。
由洛必达法则知，，
故
综上，知a的取值范围为。
2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
原解：（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
。
考虑函数，则。
（i）设，由知，当时，，h（x）递减。而故当时， ，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设00,故 （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。
（iii）设k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。
综合得，k的取值范围为（-，0]
原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解：（II）由题设可得，当时，k<恒成立。
令g (x)= (),则，
再令()，则，，易知在上为增函数，且；故当时，，当x（1，+）时，；
在上为减函数，在上为增函数；故>=0
在上为增函数
=0
当时，，当x（1，+）时，
当时，，当x（1，+）时，
在上为减函数，在上为增函数
由洛必达法则知
，即k的取值范围为（-，0]
规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。

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