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第17章 函数及其图象
17.4 反比例函数
第3课时 反比例函数的
几何性质
如图，过反比例函数 （x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，试比较它们的大小.
1
知识点
反比例函数中k的几何性质
1. 双曲线的几何特性：过双曲线 上的任意一点
向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等
于|k|，连接该点与原点，还可得出两个直角三角
形，这两个直角三角形的面积都等于 .
2. 反比例函数图象上任何一点的坐标都可以设为
要点精析：
如图，点P是双曲线上任意一点，
过点P作PA⊥x轴于点A，作PB⊥y轴
于点B，设点P的坐标为(x，y)，则
∵ ，
∴xy＝k.∴
如图，两个反比例函数y＝ 和y＝ 在
第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P
在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为________．
例1
根据反比例函数中k的几何意义，得△POA和△BOA
的面积分别为2和1，于是阴影部分的面积为1.
导引：
1
如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A(2，5)在反比例函数 y＝ 的图象上，过点A的直线y＝x＋b交x轴于点B.
(1)求k和b的值；
(2)求△AOB的面积．
例2
解、(1)把A(2，5)的坐标分别代入y＝ 和y＝x＋b，
得 ＝5，2＋b＝5，解得k＝10，b＝3.
(2)如图，过点A作AC⊥x轴于点C.
由(1)得直线AB对应的函数表达式为y＝x＋3，
∴点B的坐标为(－3，0)，∴OB＝3.
∵点A的坐标是(2，5)，∴AC＝5，
∴S△AOB＝ OB·AC＝ ×3×5＝ .
解：
如图，过反比例函数y＝ (x＞0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连结AO，若S△AOB＝2，则k的值为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
1
C
如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y＝ (x＞0)图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B.若四边形OAPB的面积为3，则k的值为(　　)
A．3 B．－3 C. D．－
2
A
位于第一象限的点E在反比例函数y＝ 的图象上，点F在x轴的正半轴上，O是坐标原点，若EO＝EF，△EOF的面积等于2，则k＝(　　)
A．4 B．2 C．1 D．－2
3
B
2
知识点
反比例函数图象的对称性
如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且
正方形的一组对边与x轴平行，点P(3a，a)是反比例
函数y＝ (k＞0)的图象上与正方形的一个交点．若
图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的表
达式为________．
例3
如图，点A(3，5)关于原点O的对称点为点C，分别过点A，C作y轴的平行线，与反比例函数y＝ (0＜k＜15)的图象交于点B，D，连结AD，BC，AD与x轴交于点
E(－2，0)．
(1)求k的值；
(2)直接写出阴影部分面积之和．
例4
(1)设直线AD对应的函数表达式为y＝ax＋b.
∵直线AD过点A(3，5)，E(－2，0)，
∴ 解得
∴直线AD对应的函数表达式为 y＝x＋2.　
解：
∵点C与点A(3，5)关于原点对称，
∴点C的坐标为(－3，－5)．
∵CD∥y轴，∴点D的横坐标为－3，
把x＝－3代入y＝x＋2得y＝－1.
∴点D的坐标为(－3，－1)．
∵点D在函数y＝ 的图象上，
∴k＝(－3)×(－1)＝3.
(2)12.
对于函数y＝ ,下列说法错误的是(　　)
A．这个函数的图象位于第一、三象限
B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当x>0时，y随x的增大而增大
D．当x<0时，y随x的增大而减小
1
C
已知P为函数y＝ 的图象上一点，且点P到原点
的距离为2，则符合条件的点P有(　　)
A．0个 B．2个
C．4个 D．无数个
2
B
如图所示，直线 y＝kx(k<0)与双曲线y＝－ 交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则3x1y2－8x2y1的值为(　　)
A．－5
B．－10
C．5
D．10
3
B
反比例函数中k的几何性质：过双曲线y＝ (k≠0)
上任一点向两坐标轴作垂线所得的长方形面积等于
|k|；向一坐标轴作垂线且与原点连线所得的三角
形面积等于 |k|.
2．双曲线关于直线y＝x和直线y＝－x成轴对称．

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