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高中数学解题思想方法
我们遇到一个新问题时，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：
常用数学方法：配方法、消去法、换元法、待定系数法、数学归纳法、坐标法、参数法等；
数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；
数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；
常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。
配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且需要“凑（拆）”而“配”。
Ⅰ、再现性题组：
1. 在正项等比数列{a}中，aa+2aa+aa=25，则 a＋a＝_______。
2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 1 C. k∈R D. k＝或k＝1
3. 已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4. 函数y＝log (－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, ] B. [,+∞) C. (－,] D. [,3)
5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a＝_____。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。
A. 2 B. C. 5 D. 6
【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】＝…
例2. 设方程x＋kx＋2=0的两根为p、q，若()+()≤7成立，求k的取值范围。
【解】 由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,
()+()＝＝＝＝≤7， 解得k≤－或k≥ 。
又 ∵p、q为方程两实根， ∴ Δ＝k－8≥0
∴k的取值范围是：－≤k≤－ 或者 ≤k≤
【注】 实系数一元二次方程问题，注意Δ，恰当运用韦达定理；由已知的不等式联想到配方，表示成p＋q与pq的组合式。
例3. 设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求()＋() 。
【分析】 对已知式可以联想：变形为()＋()＋1＝0，则＝ω （ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)＝ab 。则代入所求式即得。
【解】
【注】 配方，简化表达式；巧用1的立方虚根，计算高次幂；活用ω的性质。
【另解】 解出＝…后，用三角形式完成后面的运算：
Ⅲ、巩固性题组：
函数y＝(x－a)＋(x－b) （a、b为常数）的最小值为_____。
A. 8 B. C. D.最小值不存在
α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1) +(β-1)的最小值是_____。
A. － B. 8 C. 18 D.不存在
已知x、y∈R，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2＋8有_____。
A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值
椭圆x－2ax＋3y＋a－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。
A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6
化简：2＋的结果是_____。
A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4
6. 设F和F为双曲线－y＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠FPF＝90°，则△FPF的面积是_________。
7. 若x>－1，则f(x)＝x＋2x＋的最小值为___________。
8. 已知〈β<α〈π，cos(α-β)＝，sin(α+β)＝－，求sin2α的值。(92年高考题)
9. 设二次函数f(x)＝Ax＋Bx＋C，给定m、n（m解不等式f(x)>0；
② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。
10. 设s>1，t>1，m∈R，x＝logt＋logs，y＝logt＋logs＋m(logt＋logs),
将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；
若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。
二、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元。它可以化高次为低次、化无理为有理、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。换元时要尽可能把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来。
Ⅰ、再现性题组：
y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
设f(x＋1)＝log(4－x) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
已知数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝________________。
设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是________________。
方程＝3的解是_______________。
不等式log(2－1) ·log(2－2)〈2的解集是____________________。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） ，设S＝x＋y，求＋的值。（93年全国高中数学联赛题）
【分析】 由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设代入①式求S和S的值。
【解】设代入①式得： 4S－5S·sinαcosα＝5 解得 S＝ ；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 …
后面求S值域还可由sin2α＝的有界性而求（有界法）：
【另解】 设x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]， 则xy＝±代入①式得：
4S±5=5， 移项平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。
∴ 39S－160S＋100≤0 解得…
【注】 三角换元法、均值换元法；求值域的几种方法（有界法、不等式性质法、分离参数法）。
其它换元法（和差换元）解：设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5 ……得a∈[0,]
S＝…＝2(a＋b)＝＋ a∈[,] …
例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值。（96年全国理）
【分析】 由A＋C＝2B，可得 ,则设 ，再代入可求cosα即cos。
【解】 …
【另解】 由＋＝－2，也可设＝－＋m，＝－－m 再代入求。
【注】 均值换元法。结合三角形角的关系与三角公式进行运算。
例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。
y
, ,
－ x
【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[-,]，sinx·cosx＝
∴ f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋ （a>0）， t∈[-,]
t＝-时，取最小值：－2a－2a－
当2a≥时，t＝，取最大值：－2a＋2a－ ；
当0<2a≤时，t＝2a，取最大值： 。 ∴ …
【注】 局部换元法，化为二次闭问题；含参问题分类讨论（此题由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况）。
例4. 设对所有实数x，不等式xlog＋2x log＋log>0恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）
【解】 设log＝t，则log＝… log＝…
原不等式简化为：
【注】局部换元法，简化了问题；判别式法；对数运算。
例5. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的值。
【解】 设＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1,代入②式得： ＋＝＝ 即：＋＝
设＝t，则t＋＝ , 解得：t＝3或 ∴＝±或±
【另解】 由＝＝tgθ，将②式表示成tgθ而求出：
【注】 等量换元，减少变量个数。
例6. 实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。
【解】 设＝cosθ，＝sinθ，即： 代入不等式得：
3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) 所以k<-5时不等式恒成立。
【注】 三角换元法，化为三角不等式的值域问题；用分离参数法求出参数范围。
y
x
x＋y－k>0
k 平面区域
【另解】 数形结合法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。
Ⅲ、巩固性题组：
已知f(x)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。
A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4
函数y＝(x＋1)＋2的单调增区间是______。
A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]
设等差数列{a}的公差d＝，且S＝145，则a＋a＋a＋……＋a的值为_____。
A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5
已知x＋4y＝4x，则x＋y的范围是_________________。
已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则＋的范围是____________。
不等式>ax＋的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。
函数y＝2x＋的值域是________________。
在等比数列{a}中，a＋a＋…＋a＝2，a＋a＋…＋a＝12，求a＋a＋…＋a。
y D C
A B
O x
实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。
已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x＋y＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。
三、待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等。它解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。
Ⅰ、再现性题组：
设f(x)＝＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2
二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____。
A. 10 B. －10 C. 14 D. －14
在(1－x)（1＋x）的展开式中，x的系数是_____。
A. －297 B.－252 C. 297 D. 207
函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。
与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。
与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是________________。
Ⅱ、示范性题组：
已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
【解】 函数式变形为： (y－m)x－4x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0
∴ △＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0 即： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①
不等式①的解集为(-1,7)，则 解得：或 ∴ y＝…
（也可： 由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,然后与不等式①比较系数而得。）
【注】 待定系数m、n，用判别式法处理值域问题，转化成不等式已知解集后而求系数。
y B’
x
A F O’ F’ A’
B
例2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是－，求椭圆的方程。
【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a
∴ 解得：
∴ 椭圆方程是：…
也可：（最简列式） , 即抓住等腰Rt△BB’F’的性质。
【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件转换成表达式；曲线平移中，几何数据（a、b、c、e）不变。解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。
例3. 是否存在常数a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 （89年全国理）
【分析】 先由特殊值n＝1、2、3列出三个等式解出a、b、c，再用数学归纳法证明。
【解】
【注】存在性问题待定系数时，按照：试值→猜想→归纳证明 的步骤进行。
例4. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？
【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm。
∴ 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x （显然:15-x>0,7-x>0,x>0）
设V＝(15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0） 要用均值不等式，则
解得：a＝， b＝ ， x＝3 。 从而V＝… ≤ …
也可：令V＝(15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)bx
【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以待定系数法求。
Ⅲ、巩固性题组：
函数y＝logx的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，则a的取值范围是_____。
A. 2>a>且a≠1 B. 02或0方程x＋px＋q＝0与x＋qx＋p＝0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_____。
A. 1 B. －1 C. p＋q D. 无法确定
如果函数y＝sin2x＋a·cos2x的图像关于直线x＝－对称，那么a＝_____。
A. B. － C. 1 D. －1
满足C＋1·C＋2·C＋…＋n·C<500的最大正整数是_____。
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
无穷等比数列{a}的前n项和为S＝a－ , 则所有项的和等于_____。
A. － B. 1 C. D.与a有关
(1＋kx)＝b＋bx＋bx＋…＋bx，若b＋b＋b＋…＋b＝－1，则k＝______。
经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_____________。
8. 正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60°，过底面一边作截面，使其与底面成30°角，则截面面积为______________。
9. 设y＝f(x)是一次函数，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值。
10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线y＝2x＋7和抛物线截得的线段长是4, 求抛物线的方程。
四、定义法
所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。本讲让我们回到定义中去。
Ⅰ、再现性题组：
已知集合A中有两个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______。
A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7
设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。
A. MP复数z＝a＋2ｉ，z＝－2＋ｉ，如果|z|< |z|，则实数a的取值范围是_____。
A. －11 C. a>0 D. a<－1或a>1
椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离为_____。
A. 8 C. 7.5 C. D. 3
奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－)的值为_____。
A. T B. 0 C. D. 不能确定
正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 设w＝z＋3－4，求w的三角形式； ② 如果＝1－ｉ，求实数a、b的值。（94年全国理）
【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。
【解】
例2. 已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝logf(x)的定义域，判定在(,1)上的单调性。
【解】 解得： ∴ f(x)＝－x＋x 解f(x)>0得：0设∵ x+x>， x+x> ∴ (x+x)( x+x)〉×＝1
∴ f(x)－f(x)>0即f(x)在(,1)上是减函数
∵ <1 ∴ y＝logf(x) 在(,1)上是增函数。
【注】 应用单调性定义判别单调性。待定系数法、换元法求出n、c。
例3. 如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。
A’ A
D
C’ C
O H
B’ B
证明：AB’∥平面DBC’；
假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。（94年全国理）
【分析】 由线面平行的定义来证①问；由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解△而求②问。
【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD
∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱 ∴ 四边形B’BCC’是矩形 ∴ O是B’C中点
△AB’C中， D是AC中点 ∴ AB’∥OD ∴ AB’∥平面DBC’
作DH⊥BC于H，连接OH ∴ DH⊥平面BC’C
∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD ∴ BC’⊥OH 即∠DOH为所求二面角的平面角。
设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝sin60°＝，BH＝，EH＝ ； Rt△BOH中，
OH＝BH×EH＝， ∴ OH＝＝DH ∴∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为45°。
【注】 运用射影定理求OH的长。容易误认为∠DOC即所求。可练习此题文科考生的第二问：
假设AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。
y
M F
A x
例4. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为的椭圆的下顶点的轨迹方程。
【解】设A(x,y)、F(x,m)，则 ，消m得：
【注】 圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义解决。
Ⅲ、巩固性题组：
函数y＝f(x)＝a＋k的图像过点(1,7)，它的反函数的图像过点(4,0)，则f(x)的表达式是___。
2. 过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A、B,则∠AFB等于_____。
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
3. 已知A＝{0,1}，B＝{x|xA}，则下列关系正确的是_____。
A. AB B. AB C. A∈B D. AB
4. 双曲线3x－y＝3的渐近线方程是_____。
A. y＝±3x B. y＝±x C. y＝±x D. y＝±x
5. 已知定义在R上的非零函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)是_____。
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇既偶函数
C＋C＝________。
Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，则复数的辐角主值是__________。
不等式ax＋bx＋c>0的解集是(1,2)，则不等式bx＋cx＋a<0解集是__________。
已知数列{a}是等差数列，求证数列{b}也是等差数列，其中b＝(a＋a＋…＋a)。
10. 已知F、F是椭圆＋＝1 (a>b>0)的两个焦点，其中F与抛物线y＝12x的焦点重合，M是两曲线的一个焦点，且有cos∠M FF·cos∠MFF＝，求椭圆方程。
五、数学归纳法
数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k＋1步的推证，要有目标意识。
Ⅰ、再现性题组：
1. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____。
A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D.
2. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，由n＝k (k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。
A. 2 B. 2－1 C. 2 D. 2＋1
3. 某个命题与自然数n有关，若n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。 (94年上海高考)
A.当n＝6时该命题不成立 B.当n＝6时该命题成立
C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝4时该命题成立
4. 数列{a}中，已知a＝1，当n≥2时a＝a＋2n－1，依次计算a、a、a后，猜想a的表达式是_____。
A. 3n－2 B. n C. 3 D. 4n－3
5. 用数学归纳法证明3＋5 (n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3＋5应变形为_______________________。
6. 设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。
Ⅱ、示范性题组：
已知数列，得，…，，…。S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）
【解】 计算得S＝，S＝，S＝，S＝ ， 猜测S＝ (n∈N)
当n＝1时，…
【注】 从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是探索性问题的证法，数列中经常用到。 （试值 → 猜想 → 证明）
【另解】 用裂项相消法求和：
例2. 设a＝＋＋…＋ (n∈N),证明：n(n＋1)【解】 当n＝1时，a＝，n(n+1)＝，(n+1)＝2 ， ∴ n＝1时不等式成立。
假设当n＝k时不等式成立，即：k(k＋1)当n＝k＋1时，k(k＋1)＋…
【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。
【另解】 也可采用放缩法直接证明。（抓住对的分析，注意与目标比较）
例3. 设数列{a}的前n项和为S，若对于所有的自然数n，都有S＝，证明{a}是等差数列。 （94年全国文）
【分析】 要证等差数列，即证：a＝a＋(n－1)d
【解】 设a－a＝d，猜测a＝a＋(n－1)d
当n＝1时，a＝a， ∴ 当n＝1时猜测正确。
假设当n＝k时，猜测正确，即：a＝a＋(k－1)d ，
当n＝k＋1时，a＝S－S＝－， 解得a＝…
…
【注】 注意问题转化成数学式及a的得出。
【另解】 可证a －a＝ a－ a而得：
Ⅲ、巩固性题组：
用数学归纳法证明：6＋1 (n∈N)能被7整除。
用数学归纳法证明： 1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)。
n∈N，试比较2与(n＋1)的大小，并用证明你的结论。
用数学归纳法证明等式：cos·cos·cos·…·cos＝ (81年全国高考)
用数学归纳法证明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈N）。 （85年广东高考）
6. 数列{a}的通项公式a＝ (n∈N)，设f(n)＝(1－a)(1－a)…(1－a)，试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。
已知数列{a}满足a＝1，a＝acosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。
①．求a和a； ②.猜测a，并用数学归纳法证明你的猜测。
8. 设f(logx)＝ , ①.求f(x)的定义域； ②.在y＝f(x)的图像上是否存在两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。 ③.求证：f(n)>n (n>1且n∈N)
五、数学归纳法
数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k＋1步的推证，要有目标意识。
Ⅰ、再现性题组：
1. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____。
A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D.
2. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，由n＝k (k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。
A. 2 B. 2－1 C. 2 D. 2＋1
3. 某个命题与自然数n有关，若n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。 (94年上海高考)
A.当n＝6时该命题不成立 B.当n＝6时该命题成立
C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝4时该命题成立
4. 数列{a}中，已知a＝1，当n≥2时a＝a＋2n－1，依次计算a、a、a后，猜想a的表达式是_____。
A. 3n－2 B. n C. 3 D. 4n－3
5. 用数学归纳法证明3＋5 (n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3＋5应变形为_______________________。
6. 设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。
Ⅱ、示范性题组：
已知数列，得，…，，…。S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）
【解】 计算得S＝，S＝，S＝，S＝ ， 猜测S＝ (n∈N)
当n＝1时，…
【注】 从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是探索性问题的证法，数列中经常用到。 （试值 → 猜想 → 证明）
【另解】 用裂项相消法求和：
例2. 设a＝＋＋…＋ (n∈N),证明：n(n＋1)【解】 当n＝1时，a＝，n(n+1)＝，(n+1)＝2 ， ∴ n＝1时不等式成立。
假设当n＝k时不等式成立，即：k(k＋1)当n＝k＋1时，k(k＋1)＋…
【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。
【另解】 也可采用放缩法直接证明。（抓住对的分析，注意与目标比较）
例3. 设数列{a}的前n项和为S，若对于所有的自然数n，都有S＝，证明{a}是等差数列。 （94年全国文）
【分析】 要证等差数列，即证：a＝a＋(n－1)d
【解】 设a－a＝d，猜测a＝a＋(n－1)d
当n＝1时，a＝a， ∴ 当n＝1时猜测正确。
假设当n＝k时，猜测正确，即：a＝a＋(k－1)d ，
当n＝k＋1时，a＝S－S＝－， 解得a＝…
…
【注】 注意问题转化成数学式及a的得出。
【另解】 可证a －a＝ a－ a而得：
Ⅲ、巩固性题组：
用数学归纳法证明：6＋1 (n∈N)能被7整除。
用数学归纳法证明： 1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)。
n∈N，试比较2与(n＋1)的大小，并用证明你的结论。
用数学归纳法证明等式：cos·cos·cos·…·cos＝ (81年全国高考)
用数学归纳法证明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈N）。 （85年广东高考）
6. 数列{a}的通项公式a＝ (n∈N)，设f(n)＝(1－a)(1－a)…(1－a)，试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。
已知数列{a}满足a＝1，a＝acosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。
①．求a和a； ②.猜测a，并用数学归纳法证明你的猜测。
8. 设f(logx)＝ , ①.求f(x)的定义域； ②.在y＝f(x)的图像上是否存在两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。 ③.求证：f(n)>n (n>1且n∈N)
六、参数法
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典例。
Ⅰ、再现性题组：
1. 设2＝3＝5>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。
2. （理）直线上与点A(-2,3)的距离等于的点的坐标是________。
（文）若k<－1，则圆锥曲线x－ky＝1的离心率是_________。
3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。
4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。
5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”)
6. 椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是_____。
A. 3 B. C. D. 2
Ⅱ、示范性题组：
实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。
【分析】 均值换元引入新的参数，设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，代入a＋b＋c可求。
【解】
【另解】 配方法与利用均值不等式可求：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥
椭圆＋＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若k·k＝－ ，
①．求证：|OP|＋|OQ|等于定值； ②.求线段PQ中点M的轨迹方程。
【分析】 换元引参，设（椭圆参数方程），参数θ、θ为P、Q两点，先计算k·k得出一个结论，再计算|OP|＋|OQ|，并运用参数法求中点M的坐标，消参而得。
【解】由＋＝1，设， P(4cosθ,2sinθ)，Q(4cosθ,2sinθ),
则k·k＝…
【注】换元引参，转化为三角问题。熟练用三角公式、平方法。
【另解】 设k，解出P、Q两点坐标再求：
S
E
D C
O F
A B
例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cosα=-cosβ。
【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC中点F，连SF、OF；作BE⊥SC于E，连DE。则∠SFO＝β，∠DEB＝α。
设BC＝a (为参数)， 则SF＝＝,
SC＝＝＝
又 ∵ BE＝＝…
△DEB中，由余弦定理有：…
【注】 设参而不求参，只是利用其作用中间变量辅助计算。
Ⅲ、巩固性题组：
已知复数z满足|z|≤1，则复数z＋2ｉ在复平面上表示的点的轨迹是________________。
函数y＝x＋2＋的值域是________________。
抛物线y＝x－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sinθ与x轴两个交点距离的最大值为_____
A. 5 B. 10 C. 2 D. 3
过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L：x－3y＋10＝0及L：2x＋y－8＝0所截得的线段被点P平分，求直线L方程。
求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。
f(x)＝(1－cosx)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的实数a的取值范围。
7. 若关于x的方程2x＋xlg＋lg()＋lg＝0有模为1的虚根，求实数a的值及方程的根。
8. 给定的抛物线y＝2px (p>0)，证明：在x轴的正向上一定存在一点M，使得对于抛物线的任意一条过点M的弦PQ，有＋为定值。
七、反证法
与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得，主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。它对于“至少”、“唯一”型命题（否定结论更明显的）尤为适宜。
Ⅰ、再现性题组：
已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。
A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根
已知a<0,－1A. a>ab> ab B. ab>ab>a C. ab>a> ab D. ab> ab>a
已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b为异面直线，则_____。
A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交
C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交
四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。(97年全国理)
A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种
S
C
A O
B
Ⅱ、示范性题组：
例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。
【证明】 假设AC⊥平面SOB，…
【注】否定性的问题常用反证法。
例2. 若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。
【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。
【解】 设三个方程均无实根，则有：…
【注】“至少”、“至多”问题反面考虑。判别式法、补集法（全集R）。
例3. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝ (其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。(88年全国理)。
【证明】 ① 设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上任意两个不同的点，则x≠x,
假设直线MM平行于x轴，则必有y＝y，即＝，整理得a(x－x)＝x－x
∵x≠x ∴ a＝1， 这与已知“a≠1”矛盾， 因此假设不对，即直线MM不平行于x轴。
②．
【注】否定性结论用反证法；对称问题用反函数对称性研究。
数学基本方法除了以上研究的七种常用的方法外，还有一些更具体的方法，如：判别式法、代入法、裂项相消法、等积法、分离参数法、……等等。
研究数学基本方法，对于落实“基础知识”和“基本技能”是一种巩固和提高，它可以使对“三基”的认识提高一个层次，也为进一步研究“数学思想方法”作一个坚实的后盾。
Ⅲ、巩固性题组：
已知f(x)＝，求证：当x≠x时，f(x)≠f(x)。
已知非零实数a、b、c成等差数列，a≠c，求证：、、不可能成等差数列。
已知f(x)＝x＋px＋q，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 。
求证：抛物线y＝－1上不存在关于直线x＋y＝0对称的两点。
已知a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求证：方程x＋ax＋b＝0的两个根的绝对值均小于1。
A
F D
B M
N
E C
两个互相垂直的正方形如图所示，M、N在相应对角线上，且有EM＝CN，求证：MN不可能垂直CF。
八、数形结合思想方法
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合一是一个数学思想方法，应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系，其次是借助于数的精确性来阐明形的某些属性。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化。
Ⅰ、再现性题组：
设命题甲：0A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
若log2A. 0b>1 D. b>a>1
如果|x|≤,那么函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。 (89年全国文)
A. B. － C. －1 D.
如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)
A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5
设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| ＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么等于_____。 (90年全国)
A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋1
如果θ是第二象限的角，且满足cos－sin＝,那么是_____。
A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角
已知集合E＝{θ|cosθA. (,π) B. (,) C. (π, ) D. (,) （93年全国文理）
若复数z的辐角为，实部为－2，则z＝_____。
A. －2－2ｉ B. －2＋2ｉ C. －2＋2ｉ D. －2－2ｉ
如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是_____。 (90年全国理)
A. B. C. D.
满足方程|z＋3－ｉ|＝的辐角主值最小的复数z是_____。
【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。
y
4 y=1-m
1
O 2 3 x
Ⅱ、示范性题组：
例1. 若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。
【解】 原方程变形为 即：
设曲线y＝(x－2) , x∈(0,3)和直线y＝1－m，图像如图所示。由图可知：① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1; ②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3∴ m＝1或－3【注】 方程解、不等式解集、函数性质等的讨论，借助于图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。
y A
D
O B x
C
例2. 设|z|＝5，|z|＝2, |z－|＝，求的值。
【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。
【解】 如图，设z＝、z＝后，则＝、＝如图所示。
由图可知，||＝，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：cos∠AOD＝＝
∴ ＝(±ｉ)＝2±ｉ
【注】 复数问题可利用几何意义而几何化。也可设复数的代数形式、三角形式转化成代数问题或三角问题，还可直接利用复数性质求解。
例3. 直线L的方程为：x＝－ (p>0),椭圆中心D(2＋,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？
【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。
【解】 由已知得：a＝2，b＝1, A(,0)，设椭圆与双曲线
……
【注】 判别式法（注意解的范围）、定义法、数形结合法、转化思想、方程思想等知识综合运用。
例4. 设a、b是两个实数，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m＋15} (m∈Z)，C＝{(x,y)|x＋y≤144}，讨论是否存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。(85年高考)
【解】 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 ;
设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点，
所以圆心到直线距离d＝＝3(＋)≥12
∵ n为整数 ∴ 上式不能取等号，故a、b不存在。
【注】 集合转化为点集（即曲线），而用几何方法研究。此题也属探索性问题用数形结合法解。
Ⅲ、巩固性题组：
已知5x＋12y＝60，则的最小值是_____。
A. B. C. D. 1
已知集合P＝{(x,y)|y＝}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，则b的取值范围是____。
A. |b|<3 B. |b|≤3 C. －3≤b≤3 D. －3方程2＝x＋2x＋1的实数解的个数是_____。
A. 1 B. 2 C. 3 D.以上都不对
方程x＝10sinx的实根的个数是_______。
若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_________。
设z＝cosα＋ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范围是____________。
若方程x－3ax＋2a＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是______。
sin20°＋cos80°＋sin20°·cos80°＝____________。
解不等式： >b－x
设A＝{x|<1x<3}，又设B是关于x的不等式组的解集，试确定a、b的取值范围，使得AB。 （90年高考副题）
定义域内不等式〉x＋a恒成立，求实数a的取值范围。
12. 已知函数y＝＋，求函数的最小值及此时x的值。
13. 已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。
14. 若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一个实数解，求常数k的取值范围。
九、分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
分类原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次，不越级讨论。
分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体 → 确定分类标准，正确进行分类 → 逐步进行讨论，获取阶段性结果 → 归纳小结，综合得出结论。
Ⅰ、再现性题组：
集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若AB，那么a的范围是_____。
A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0若a>0且a≠1，p＝log(a＋a＋1)，q＝log(a＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。
A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当0函数y＝＋＋＋的值域是_________。
若θ∈(0, )，则的值为_____。
A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1
函数y＝x＋的值域是_____。
A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2]
正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。
A. B. C. D. 或
过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。
A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定
Ⅱ、示范性题组：
例1. 设00且a≠1，比较|log(1－x)|与|log(1＋x)|的大小。
【分析】 对数函数的性质与底数a有关，而分两类讨论。
【解】 ∵ 01
当00;
当a>1时，|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝…
由①、②可知，…
例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数： ①. CA∪B且C中含有3个元素； ②. C∩A≠φ 。
【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。
【解】 C·C＋C·C＋C·C＝1084
【另解】（排除法）：
【注】本题是“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是正确分类，达到分类完整及每类互斥的要求。并且要确定C中元素如何取法。
例3. 设{a}是由正数组成的等比数列，S是前n项和。 ①. 证明： 0，使得＝lg（S－c）成立？并证明结论。(95年全国理)
【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。
【解】 设公比q，则a>0，q>0
①． …
②. 要使＝lg（S－c）成立，则必有(S－c)(S－c)＝(S－c),
分两种情况讨论如下：
当q＝1时，S＝na，则
(S－c)(S－c)－(S－c)＝(na－c)[(n＋2)a－c]－[(n＋1)a－c]＝－a<0
当q≠1时，S＝，则(S－c)(S－c)－(S－c)＝[－c][ －c]－[－c]＝－aq[a－c(1－q)]
∵ aq≠0 ∴ a－c(1－q)＝0即c＝
而S－c＝S－＝－<0 ∴对数式无意义
由上综述，不存在常数c>0, 使得＝lg（S－c）成立。
【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明>logS 。
例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类。（概念、性质型）
例4. 设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足10，求实数a的取值范围。
1 4 x
1 4 x
【分析】 含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题，先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置进行分类讨论。（也属数形结合法）
【解】当a>0时，f(x)＝a（x－）＋2－
∴ 或或
∴ a≥1或；
当a<0时，，解得φ；
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意
由上而得，实数a的取值范围是a> 。
例5. 解不等式>0 (a为常数，a≠－)
【分析】 含参不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对a>0、a＝0、－【解】 2a＋1>0时，a〉－； －4a<6a时，a>0 。 所以分以下四种情况讨论：
当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；
当a＝0时，x>0，解得：x≠0；
当－0，解得: x<6a或x>－4a；
当a>－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a综上所述，……
【注】 含参问题，结合参数的意义及对结果的影响而分类讨论。（含参型）
例6. 设a≥0,在复数集C中，解方程：z＋2|z|＝a 。 (90年全国高考)
【解】 ∵ z∈R，由z＋2|z|＝a得：z∈R； ∴ z为实数或纯虚数
当z∈R时，|z|＋2|z|＝a,解得：|z|＝－1＋ ∴ z＝±(－1＋)；
当z为纯虚数时，设z＝±yｉ (y>0)， ∴ －y＋2y＝a 解得：y＝1± （0≤a≤1）
由上可得，z＝±(－1＋)或±(1±)ｉ
【注】本题用标准解法（设z＝x＋yｉ再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。 （简化型）
【另解】 设z＝x＋yｉ，代入得 x－y＋2＋2xyｉ＝a； ∴
当y＝0时，…
例7. 在xoy平面上给定曲线y＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 （本题难度0.40）
【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。
【解】 设M(x,y)为曲线y＝2x上任意一点，则
|MA|＝(x－a)＋y＝(x－a)＋2x＝x－2(a－1)x＋a＝[x－(a－1)]＋(2a－1)
由于y＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论：
当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即|MA}＝2a－1；
当a－1<0时，x＝0取最小值，即|MA}＝a；
综上所述，有f(a)＝ 。
Ⅲ、巩固性题组：
若log<1，则a的取值范围是_____。
A. (0, ) B. (,1) C. (0, )∪(1,+∞) D. (,+∞)
非零实数a、b、c，则＋＋＋的值组成的集合是_____。
A. {-4,4} B. {0,4} C. {-4,0} D. {-4,0,4}
f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是正常数，下列结论正确的是_____。
A.当x＝2a时有最小值0 B.当x＝3a时有最大值0
C.无最大值，且无最小值 D.有最小值但无最大值
4. 设f(x,y)＝0是椭圆方程，f(x,y)＝0是直线方程，则方程f(x,y)＋λf(x,y)＝0 （λ∈R）表示的曲线是_____。
A.只能是椭圆 B.椭圆或直线 C.椭圆或一点 D.还有上述外的其它情况
5. 函数f(x)＝ax－2ax＋2＋b (a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a、b的值为_____。
A. a＝1,b＝0 B. a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3
C. a＝－1，b＝3 D. 以上答案均不正确
6.方程(x－x－1)＝1的整数解的个数是_____。
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
7. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____。
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
z∈C，方程z－3|z|＋2＝0的解的个数是_____。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
复数z＝a＋aｉ (a≠0)的辐角主值是______________。
10.解关于x的不等式： 2log(2x－1)>log(x－a) (a>0且a≠1)
11.设首项为1，公比为q (q>0)的等比数列的前n项和为S，又设T＝，求T 。
12. 若复数z、z、z在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且|z|＝2，求z 。
13. 有卡片9张，将0、1、2、…、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成三位数，若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。
14. 函数f(x)＝(|m|－1)x－2(m＋1)x－1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。
十、函数与方程的思想方法
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
Ⅰ、再现性题组：
方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
如果函数f(x)＝x＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。
A. f(2)已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a是常数) ______。
A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论
已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(，π)，则tgθ的值是_____。
A. － B. － C. D.
已知等差数列的前n项和为S，且S＝S (p≠q，p、q∈N)，则S＝_________。
6.关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。
7.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为___________。
8. 建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 设a>0，a≠1，试求方程log(x－ak)＝log(x－a)有实数解的k的范围。(89年全国高考)
【解】 将原方程化为：log(x－ak)＝log， 等价于 （a>0,a≠1）
∴ k＝－ ( ||>1 ）,
设＝cscθ， θ∈(－,0)∪(0, )，则 k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|
当θ∈(－,0)时，f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctg<－1，故k<－1；
当θ∈(0,)时，f(θ)＝…
综上，k的取值范围是…
【注】 引入新的变量，而用函数值域加以分析，此法可解有关不等式、方程、最值、参数范围之类问题。（分离参数法、三角换元法、等价转化思想）
【另解】 （数形结合法）：
【再解】 （方程讨论法）：
例2. 设不等式2x－1>m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。
【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，记f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒负时参数x应满足的条件。
【解】 设f(m)＝(x－1)m－(2x－1), 则
解得x∈（,）
【注】 本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。
在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。
例3. 设等差数列{a}的前n项的和为S，已知a＝12，S>0，S<0 。
①.求公差d的取值范围； ②.指出S、S、…、S中哪一个值最大，并说明理由。(92年全国高考)
【分析】 ①问用a、S易求；②问利用S是n的二次函数而求什么时候取最大值。
【解】
【注】 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。
【另解②问】（寻求a>0、a<0 ）：
例4. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。
【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。
P
M
A H B
D C
【解】 在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，
设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。
∴MD＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ
＝(sinθ＋1)[x－]＋
即当x＝时，MD取最小值为两异面直线的距离。
【注】 求最大值、最小值的实际问题，将文字说明转化成数学语言后，建立数学模型和函数关系式，利用函数性质、重要不等式和有关知识解答。（见再现性题组第8题）
例5. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tgA·tgC＝2＋，又知顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC的三边a、b、c及三内角。
【解】 由A、B、C成等差数列，可得B＝60°；
由△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC，得tgA＋tgC＝tgB(tgA·tgC－1)＝(1＋)
设tgA、tgC是方程x－(＋3)x＋2＋＝0的两根，解得x＝1，x＝2＋
设A…
例6. 若(z－x) －4(x－y)(y－z)＝0,求证：x、y、z成等差数列。
【分析】 题设正好是判别式b－4ac＝0的形式，因此构造一个一元二次方程求解。
【证明】 当x＝y时，可得x＝z， ∴x、y、z成等差数列；
当x≠y时，设方程(x－y)t－(z－x)t＋(y－z)＝0，由△＝0得t＝t，并易知t＝1是方程的根。
∴t·t＝＝1 ， 即2y＝x＋z ， ∴x、y、z成等差数列
【注】 题设条件具备或经变形整理后具备x＋x＝a、x·x＝b的形式，则利用根与系数的关系构造方程；具备b－4ac≥0或b－4ac≤0的形式，可利用根的判别式构造一元二次方程。
例7. △ABC中，求证：cosA·cosB·cosC≤ 。
【证明】 设k＝cosA·cosB·cosC＝[cos(A＋B)＋cos(A－B)]·cosC＝[－cosC＋cos(A－B)]cosC
整理得：cosC－cos(A－B)·cosC＋2k＝0，即看作关于cosC的一元二次方程。
∴ △＝cos(A－B)－8k≥0 即 8k≤cos(A－B)≤1 ∴ k≤即cosA·cosB·cosC≤
【注】既是方程思想，也属判别式法。还可用放缩法：cosA·cosB·cosC＝… ＝
－cosC＋cos(A－B)·cosC＝－[cosC－]＋cos(A－B)≤cos(A－B) ≤
例8. 设f(x)＝lg，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围。
【解】 由题可知，不等式1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，即：()＋()＋a>0
设t＝(), 则t≥， 又设g(t)＝t＋t＋a，其对称轴为t＝－
∴ t＋t＋a＝0在[,+∞)上无实根， 即 g()＝()＋＋a>0，得a>－
【注】 二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者是紧密联系的。也可用分离参数法：
Ⅲ、巩固性题组：
方程sin2x＝sinx在区间(0,2π)内解的个数是_____。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
已知函数f(x)＝|2－1|，af(c)>f(b)，则_____。
A. a<0,b<0,c>0 B. a<0,b>0,c>0 C. 2<2 D. 2＋2<2
已知函数f(x)＝log(x－4x＋8)， x∈[0,2]的最大值为－2，则a＝_____。
A. B. C. 2 D. 4
4.已知{a}是等比数列，且a＋a＋a＝18，a＋a＋a＝－9，S＝a＋a＋…＋a，那么S等于_____。
A. 8 B. 16 C. 32 D. 48
5.等差数列{a}中，a＝84，前n项和为S,已知S>0，S<0，则当n＝______时，S最大。
6. 对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x＋px〉4x＋p－3成立的x的取值范围是________。
7.若关于x的方程|x－6x＋8|＝a恰有两个不等实根，则实数a的取值范围是____________。
8.已知点A(0,1)、B(2,3)及抛物线y＝x＋mx＋2，若抛物线与线段AB相交于两点，求实数m的取值范围。
9.已知实数x、y、z满足等式x＋y＋z＝5和xy＋yz＋zx＝3,试求z的取值范围。
10.已知lg－4·lg·lg＝0，求证：b是a、c的等比中项。
11.设α、β、γ均为锐角，且cosα＋cosβ＋cosγ＋2cosα·cosβ·cosγ＝1，求证：α＋β＋γ＝π 。
12.当p为何值时，曲线y＝2px (p>0)与椭圆(x―2―)＋y＝1有四个交点。(88年全国高考)
13.已知关于x的实系数二次方程x＋ax＋b＝0有两个实数根α、β。证明：
如果|α|<2，|β|<2，那么2|a|<4＋b且|b|<4；
如果2|a|<4＋b且|b|<4，那么|α|<2，|β|<2 。 （93年全国理）
14.设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数，对k∈Z，用I表示区间(2k-1,2k+1]，已知当x∈I时，f(x)＝x。 ①.求f(x)在I上的解析表达式； ②.对自然数k，求集合M＝{a|使方程f(x)＝ax在I上有两个不相等的实根}。 （89年全国理）
十一、等价转化思想方法
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
历年高考，等价转化思想无处不见，要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。
Ⅰ、再现性题组：
1. f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于_____。
A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5
2.设f(x)＝3x－2，则f[f(x)]等于______。
A. B. 9x－8 C. x D.
3. 若m、n、p、q∈R且m＋n＝a，p＋q＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是______。
A. B. C. D.
4. 如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为______。
A. 1 B. C. 2 D.
5. 设椭圆＋＝1 （a>b>0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b,0)，已知原点到l的距离等于c，则椭圆的离心率为_____。
A. B. C. D.
6. 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为_____。
A. B. 10 C. D.
Ⅱ、示范性题组：
例1. 若x、y、z∈R且x＋y＋z＝1，求(－1)( －1)( －1)的最小值。
【解】(－1)( －1)( －1)＝（1－x）(1－y)(1－z)＝(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)
＝(xy＋yz＋zx－xyz)＝＋＋－1≥3－1＝－1≥－1＝9
【注】 对所求式进行等价变换，转化为求＋＋的最小值，则不难由平均值不等式解决。（代数恒等变形型）
例2. 设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围。
【分析】 设k＝x＋y，再代入消y，转化为方程有实数解时求参数k范围的问题。注意隐含条件：x的范围。
【解】设k＝x＋y，则 …
【另解】 数形结合法（转化为解析几何问题）：
【再解】 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：
【注】多种方法运用，实现多种转化，联系多个知识点，此题还可进行均值换元。（问题转换型）
例3. 求值：ctg10°－4cos10°
【解一】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝
＝＝＝
＝＝＝
（切化弦→通分→化同名→拆项→差化积→化同名→差化积）
【解二】ctg10°－4cos10°＝…＝＝
＝＝＝＝
（…→特值代入→积化和→差化积）
【解三】先 切化弦→通分→化同名，再拆角80°后用和差角公式求：
【注】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换是等价转化思想的体现。（三角变换型）
例4. 已知f(x)＝tgx，x∈(0, )，若x、x∈(0, )且x≠x，
求证：[f(x)＋f(x)]>f() （94年全国高考）
【证明】[f(x)＋f(x)]>f() [tgx＋tgx]>tg
…
S
A M
D N C
B
【注】 分析法证明过程中进行等价转化。（分析证明型）
例5. 如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。（83年全国高考）
【分析】 易证SC⊥AB，再在平面SDNC中证SC⊥DM。
【证明】
【注】立体几何问题转化为平面几何问题来解。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 正方形ABCD与正方形ABEF成90°的二面角，则AC与BF所成的角为_____。
A. 45° B. 60° C. 30° D. 90°
2. 函数f(x)＝|lgx|，若0f(b)，则下列各式中成立的是_____。
A. ab≤1 B. ab<1 C. ab>1 D. a>1且b>1
3. [－] (n∈N)的值为______。
A. B. C. 0 D. 1
4. (a＋b＋c)展开式的项数是_____。
A. 11 B. 66 C. 132 D. 3
5. 已知长方体ABCD-A’B’C’D’中，AA’＝AD＝1，AB＝，则顶点A到截面A’BD的距离是_______。
6. 已知点M(3cosx，3sinx)、N(4cosy，4siny)，则|MN|的最大值为_________。
7. 函数y＝＋的值域是____________。
8. 不等式log（x＋x＋3）>log(x＋2)的解是____________。
9．设x>0，y>0，求证：(x＋y)>(x＋y) (86年上海高考)
10. 当x∈[0, ]时，求使cosx－mcosx＋2m－2>0恒成立的实数m的取值范围。
11. 设△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若三边a、b、c顺次成等差数列，求复数z＝[cos(π＋)＋ｉsin(π＋)]·[sin(－)＋ｉcos(－)]的辐角主值argz的最大值。
12. 已知抛物线C：y＝(t＋t－1)x－2(a＋t)x＋(t＋3at＋b)对任何实数t都与x轴交于P(1,0)点，又设抛物线C与x轴的另一交点为Q(m,0)，求m的取值范围。

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