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5．共点力的平衡
[核心素养·明目标]
核心素养 学习目标
物理观念 (1)知道什么是共点力。
(2)知道共点力平衡的条件：物体所受合力为零。
科学思维 (1)在二力平衡的基础上，经过科学推理，得出共点力平衡的条件。
(2)会用共点力的平衡条件，分析生活和生产中的实际问题。
科学态度与责任 通过应用共点力的平衡条件解决有关问题，体会物理学知识的实际应用价值。
知识点一　共点力
1．定义：如果一个物体受到两个或更多力的作用，这些力共同作用在物体的同一点上，或者虽不作用在同一点上，但它们的作用线交于一点，这几个力叫作共点力。
2．力的合成的平行四边形定则只适用于共点力的合成。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)共点力一定作于物体上的同一点。 (√)
(2)作用于同一物体上的所有力都是共点力。 (×)
(3)作用于不同物体上的两个力，只要作用线交于一点，就可以进行力的合成。 (×)
知识点二　共点力平衡的条件
1．二力平衡条件：作用在同一物体上的两个力，如果大小相等、方向相反，并且在同一条直线上，那么这两个力平衡。
2．在共点力的作用下物体平衡的条件是合力为0。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)处于平衡状态的物体一定处于静止状态。 (×)
(2)加速度为零时，物体一定处于平衡状态。 (√)
(3)物体的速度很大，则F合一定很大。 (×)
　物体速度为零时，一定处于平衡状态吗？
提示：不一定。例如上抛到最高点的物体，此时v＝0，但由于重力的作用，它的加速度a＝g，方向竖直向下，物体不可能停在空中，它会向下运动，所以物体并不能处于平衡状态。
考点1　共点力平衡条件的理解及应用
如图所示，著名景点——黄山飞来石独自静止于悬崖之上，它受哪些力作用？这些力大小、方向有何关系？它们的合力有何特点？
提示：重力、支持力；二者大小相等，方向相反；他们的合力为零。
1．两种平衡情形
静止和匀速直线运动状态。
2．平衡条件的表达式
F合＝0。
3．由平衡条件得出的三个结论
名师点睛：三力汇交原理
若物体受到三个力作用而处于平衡状态，这三个力不平行时其力的作用线一定交于一点，即这三个力一定是共点力。
【典例1】　(2020·福州八中高一质检)如图所示，一物块置于水平地面上，当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动。若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为(　　)
A．－1　　　　　　　 B．2－
C．－ D．1－
B　[物体受重力mg、支持力FN、摩擦力Ff、已知力F处于平衡状态，根据平衡条件，有F1cos 60°＝μ(mg－F1sin 60°)，F2cos 30°＝μ(mg＋F2sin 30°)，联立解得μ＝2－。B项正确。]
1．(2020·哈尔滨六中高一检测)如图所示，有一均匀梯子AB斜靠在竖直墙上处于静止状态，假设墙面光滑，地面粗糙，则地面对梯子的作用力可能沿(　　)
A．F1的方向
B．F2的方向
C．F3的方向
D．F4的方向
B　[对梯子受力分析知，梯子受竖直向下的重力G，墙施加的水平向右的弹力FN，另外地面施加的作用力F，此三力不平行，故三力应共点，如图所示，F应与G、FN交于一点，所以可能的方向是沿F2的方向。]
考点2　求解平衡问题的常用方法
如图所示为悬挂式广告挂牌，挂牌的重力为G，两侧绳与竖直方向的夹角都为θ，挂牌保持静止。
(1)挂牌受几个力作用？这些力是共点力吗？
(2)怎样确定两侧绳的拉力大小？说说你的想法。
提示：(1)如图所示，挂牌受重力、两侧绳的拉力，共三个力作用，这三个力的作用线相交于一点，是共点力；
(2)方法1：利用合成法。根据共点力平衡的条件可知，挂牌所受三个共点力的合力为零，即任意两个力的合力与第三个力等大反向，这样就可以利用解三角形的知识，确定绳的拉力大小。
方法2：正交分解法。因为挂牌所受三个共点力的合力为零，所以将各力沿两个互相垂直的方向正交分解后，有Fx＝0；Fy＝0，由方程即可确定绳的拉力大小。
方法3：利用分解法。挂牌保持静止时，其重力有两个效果，就是沿绳使挂牌向两侧拉绳。将重力沿两侧绳的方向分解，利用解三角形的知识，也可确定绳的拉力大小。
1．处理平衡问题的常用方法
合成法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
分解法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将某个力按作用效果分解，则其分力与其他两个力分别平衡
正交分解法 物体在多个共点力作用下处于平衡状态，应用正交分解法，则有
Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋…＋Fn x＝0，
Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋…＋Fn y＝0
矢量三角形法 如果三个力首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力为零。矢量三角形法可以充分利用几何边角关系求解平衡问题
2．应用共点力平衡条件解题的步骤
(1)明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)。
(2)分析研究对象所处的运动状态，判定其是否处于平衡状态。
(3)对研究对象进行受力分析，并画出受力示意图。
(4)建立合适的坐标系，应用共点力的平衡条件，选择恰当的方法列出平衡方程。
(5)求解方程，并讨论结果。
【典例2】　(多选)如图所示，重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小分别是(　　)
A．F1＝mgcos θ B．F1＝
C．F2＝mgsin θ D．F2＝
BD　[解法一：(合成法)由力的平行四边形定则，作出F1、F2的合力F12，如图所示，又考虑到F12＝mg，由几何关系得F1＝，F2＝。
解法二：(正交分解法)
将O点受的力沿水平方向、竖直方向正交分解，如图(a)所示。由力的平衡条件得F2cos θ－F1＝0，F2sin θ－mg＝0，解得F2＝，F1＝。
(a)　　　 　(b)　　　　　　(c)
(也可以用效果分解法求解，同学们可以试一试。)
解法三：(矢量三角形法)
O点受到mg、F1和F2的作用处于平衡状态，画出受力分析图，如图(b)所示。再将三个力的矢量平移到一个三角形中，三力构成首尾相接的封闭的三角形，如图(c)所示。则由几何关系可知F1＝，F2＝。]
2．如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。下列关系正确的是(　　)
A．F＝ B．F＝mgtan θ
C．FN＝ D．FN＝mgtan θ
A　[法一：合成法
滑块受力如图甲，由平衡条件知：＝tan θ，＝sin θ，则F＝，FN＝。
甲　　　　　　　　　乙
丙　　　　　　　　　丁
法二：效果分解法
将重力按产生的效果分解，如图乙所示，
F＝G2＝，FN＝G1＝。
法三：正交分解法
将滑块受的力水平、竖直分解，如图丙所示，
mg＝FN sin θ，F＝FNcos θ，联立解得：
F＝，FN＝。
法四：矢量三角形法
如图丁所示，滑块受的三个力组成封闭三角形，解直角三角形得：F＝，FN＝。]
考点3　动态平衡问题
如图所示，一光滑小球静止放置在光滑半球面的底端，利用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢地推动小球，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面)，半球面对小球的支持力F1、挡板对小球的推力F2的大小如何变化？
提示：对小球受力分析，受重力、挡板向右的支持力和半球面的支持力，如图。
根据平衡条件解得F2＝mgtan θ，F1＝，由于θ不断增加，故F1增大、F2增大。
1．动态平衡
(1)所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，常利用图解法解决此类问题。
(2)基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。
2．分析动态平衡问题的方法
方法 步骤
解析法 (2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况
图解法 (1)根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化；
(2)确定未知量大小、方向的变化
相似三角形法 (1)根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式；
(2)确定未知量大小的变化情况
作辅助圆法 (1)根据已知条件(两变力的夹角不变)画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形；
(2)以不变的力为弦作力三角形的外接圆；
(3)在辅导圆中根据力三角形的变化确定各力的变化情况
【典例3】　如图所示，一个重为G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态，今使木板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化？
[解析]　方法一：(解析法)选球为研究对象，球受三个力作用，即重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2，受力分析如图所示。由平衡条件可得
F2cos(90°－α－β)－F1sin α＝0，
F1cos α－F2sin(90°－α－β)－G＝0。
联立求解并进行三角变换可得
F1＝(cos α＋sin αcot β)G，F2＝ G。
讨论：(1)对F1：β↑→cot β↓→F1↓；
(2)对F2：β＜90°，β↑→sin β↑→F2↓；
β＞90°，β↑→sin β↓→F2↑。
综上所述：球对斜面的压力随β增大而减小；球对挡板的压力在β<90°时，随β增大而减小，在β>90°时，随β增大而增大；当β＝90°时，球对挡板的压力最小。
方法二：(图解法)取球为研究对象，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2，因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三个力构成封闭的三角形，当挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，作出如图所示的动态矢量三角形，由图可见，F2先减小后增大，F1随β增大而始终减小。由牛顿第三定律可知，球对挡板的压力先减小后增大，对斜面的压力一直减小。从上面的分析可以看出，解析法严谨，但演算较繁杂，多用于定量分析。图解法直观、鲜明，多用于定性分析。
[答案]　见解析
图解法解题的步骤：
(1)首先确定研究对象，并对研究对象进行受力分析。
(2)再根据平行四边形定则画出不同状态下的力的矢量图，为了便于比较，画在同一个图上。
(3)最后根据有向线段(表示力)的长度变化判断各个力的大小变化情况。
3．如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A。用力F拉绳，开始时∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到杆BC接近竖直杆AC。此过程中，杆BC所受的力(　　)
A．大小不变 B．逐渐增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
A　[重物对B点的拉力大小等于重力，根据作用效果分解为F1、F2，F1等于杆BC所受的力，F2等于绳AB所受拉力。如图所示，△GF1B∽△ABC，则＝。因为L、LAC、LBC均不变，所以F1不变。因此A项正确。]
4．(多选)如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定环上的A、B两点，O点下面悬挂一物体M，绳OA水平，拉力大小为F1，绳OB与OA夹角α＝120°，拉力大小为F2。将两绳同时缓慢顺时针转过75°，并保持两绳之间的夹角α始终不变，且物体始终保持静止状态。则在旋转过程中，下列说法正确的是(　　)
A．F1逐渐增大 B．F1先增大后减小
C．F2逐渐减小 D．F2先减小后增大
BC　[(“动态圆”法)：物体始终保持静止，合力为零，所以Mg、F1、F2构成封闭的矢量三角形，如图所示，由于重力以及F1和F2夹角α＝120°不变，即β＝60°，当θ＝β＝60°，即OB绳水平时，F1为圆的直径最大，所以F1先增大后减小，F2一直减小。故B、C两项正确。]
1．物体受到与水平方向成30°角的拉力F的作用，向左做匀速直线运动，如图所示。则物体受到的拉力F与地面对物体的摩擦力的合力的方向是(　　)
A．向上偏左　　　 B．向上偏右
C．竖直向上 D．竖直向下
C　[物体受四个力的作用，如图所示，由于物体做匀速直线运动，由平衡条件知，力F的水平分量与摩擦力Ff大小相等，方向相反，故两力的合力竖直向上，大小等于F在竖直方向上的分量，C正确。]
2．如图所示，一个物体静止放在倾角为θ的木板上，在木板倾角逐渐增大到某一角度的过程中，物体一直静止在木板上，则下列说法正确的是(　　)
A．物体所受的支持力逐渐增大
B．物体所受的支持力与摩擦力的合力逐渐增大
C．物体所受的重力、支持力和摩擦力这三个力的合力逐渐增大
D．物体所受的重力、支持力和摩擦力这三个力的合力保持不变
D　[物体受的支持力FN＝mgcos θ，所以当木板倾角增大时，支持力减小，A错误；物体受重力、支持力和摩擦力三个力处于平衡状态，所以三个力的合力为零，不会随着木板倾角的增大而发生变化，C错误，D正确；支持力与摩擦力的合力与重力等大、反向，所以合力不变，B错误。]
3．(多选)如图所示，A、B两球质量均为m，固定在轻弹簧的两端，分别用细绳悬于O点，其中球A处在光滑竖直墙面和光滑水平墙面的交界处A点，已知两球均处于平衡状态，B球处于B点，OAB恰好构成一个正三角形，则下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
A．球A可能受到四个力的作用
B．弹簧对球A的弹力大于对球B的弹力
C．绳OB对球B的拉力大小一定等于mg
D．绳OA对球A的拉力大小等于或小于1.5mg
ACD　[对球B受力分析，据共点力平衡可知弹簧和绳对球B的作用力大小均为mg，选项C正确；对同一弹簧而言，产生的弹力处处相等，故弹簧对球A的弹力等于对球B的弹力，选项B错误；对球A分析可知，一定受重力、弹簧的弹力、墙面的支持力作用，可能受地面的支持力和绳的拉力，地面的支持力和绳的拉力也可能有一个为0，当地面对球A的支持力为0时，绳上的拉力最大，等于重力和弹簧竖直方向的分力之和，即1.5mg，选项A、D正确。]
4．某屋顶为半球形，一人在半球形屋顶上向上缓慢爬行(如图所示)，他在向上爬的过程中(　　)
A．屋顶对他的支持力不变
B．屋顶对他的支持力变大
C．屋顶对他的摩擦力不变
D．屋顶对他的摩擦力变大
B　[以人为研究对象，作出受力分析图。
设此人的重力为G，根据平衡条件得：
屋顶对他的摩擦力
f＝Gsin θ，
屋顶对他的支持力
N＝Gcos θ，
人在半球形屋顶上向上缓慢爬行的过程中，坡角θ减小，则f减小，N增大。即屋顶对他的摩擦力减小，屋顶对他的支持力增大，故B正确。]
5．情境：如图，手机静止吸附在支架上。这款手机支架其表面采用了纳米微吸材料，用手触碰无粘感，接触到平整光滑的硬性物体时，会牢牢吸附在物体上。
问题：若手机的重力为G，支架与水平方向的夹角为60°，求手机支架对手机的作用力的大小和方向。
[解析]　手机处于静止状态，受力平衡，手机受到竖直向下的重力和手机支架的作用力(支持力、吸引力和摩擦力的合力)，故手机支架对手机的作用力竖直向上，大小等于G。
[答案]　大小等于G；方向竖直向上。
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．教材第72页“问题”中甲、乙、丙、丁四种情况哪些物体受到的力是共点力？
提示：甲、丁受到的力属于共点力，乙、丙属于平行力。
2．什么是物体的平衡状态？物体处于平衡状态的条件是什么？
提示：静止或匀速直线运动状态；合外力为0即F合＝0。
3．物理题目中描述的“缓慢运动”，可看作平衡状态吗？
提示：物理题目中经常遇到“缓慢运动”这类词语，这种情况可视为速度很小，接近于0，速度变化率为0，从而把“缓慢运动”作为平衡状态处理。
在我国某些地区有一种伸臂桥(图甲)。当地人将木板重叠，逐渐向河面延伸。他们用不太长的木板铺设桥面，同时使逐渐向河中心延伸的木板与泥土形成整体，并使其重心仍然在支持面内，巧妙地形成稳定的平衡结构。
现用两根木条叠放的方式探究伸臂桥的平衡稳定问题。选两块质地均匀、质量相同的木条叠放在桌子边缘如图乙摆放。
　若木条长度均为l，为使这两块木条保持平衡，不致翻倒。木条2的右端离桌沿的水平距离最远可为多少？还有哪些因素会影响伸臂桥的安全？
甲　伸臂桥及其示意图　　　乙　怎样保持平衡
提示：如图所示，对于木条2，只要其伸出的长度不超，就不会翻倒，将木条1、2看成一个整体，在木条2伸出的情况下，其总重心在距木条2右侧l处，只要其重心位置保证在桌面正上方，木条1、2都不会翻倒，故木条2的右端离桌沿的水平距离最远为l。
影响伸臂桥安全的因素有：木板的承压能力、木板的长度、各层木板向前延伸的长度、木板上方填压的沙石对重心的影响及过往行人、车辆的总重等。

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