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微专题2　不等式恒成立、能成立问题
类型1　数形结合法解决恒成立问题
【例1】　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求m的取值范围．
[解]　令y＝x2＋mx＋4.
∵y＜0在[1,2]上恒成立，
∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2.
如图，得
即解得m＜－5.
∴m的取值范围是(－∞，－5)．
结合函数的图像将问题转化为函数图像的对称轴，区间端点的函数值或函数图像的位置?相对于x轴?关系求解.可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
1．(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)＜0恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当k＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意．
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，
∵y＜0恒成立，
∴其图像都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点．
∴解得－1＜k＜0.
综上，实数k的取值范围是(－1,0]．
(2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，
∵该不等式对任意实数x恒成立，
∴Δ≤0，即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，解得a≤－1或a≥4，
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
类型2　分离参数法解决恒成立问题
【例2】　设函数y＝mx2－mx－1，x∈[1,3]，若y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[解]　y＜－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6＜0恒成立，
∵x2－x＋1＝＋＞0，
又m(x2－x＋1)－6＜0，
∴m＜.
∵y＝＝eq
\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋\f(3,4))在1≤x≤3上的最小值为，∴只需m＜即可．
∴m的取值范围为.
通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题.
2．已知函数y＝对于任意x≥1且y＞0恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　x≥1时，y＝＞0恒成立，等价于x2＋2x＋a＞0恒成立，
即a＞－(x2＋2x)恒成立，
即a＞[－(x2＋2x)]max.
令y1＝－(x2＋2x)，则当x≥1时，
y1＝－(x2＋2x)＝－(x2＋2x＋1)＋1
＝－(x＋1)2＋1≤－3.
∴实数a的取值范围为{a|a＞－3}．
类型3　转换主元解决恒成立问题
【例3】　已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，求x的取值范围．
[解]　把不等式的左端看成关于a的一次函数，记y＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由y＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，
将a＝－1和a＝1代入，解不等式组
得x＜1或x＞3.
∴x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．
转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解.
3．对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围．
[解]　不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，即(x－1)p＋(x2－4x＋3)＞0，
设y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)是以p为自变量的一次函数，则0≤p≤4时y＞0恒成立，
即
解得x＞3或x＜－1．
∴x的取值范围是{x|x＞3或x＜－1}．
类型4　转化为函数的最值解决能成立问题
【例4】　若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围．
[解]　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，
∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，
∴m≥2x2－8x＋6能成立，
令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴m≥－2，
∴m的取值范围为[－2，＋∞)．
能成立问题可以转化为m＞ymin或m＜ymax的形式，求出y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围.
4．已知函数y＝|2x＋1|－|x|.
(1)求不等式y＞0的解集；
(2)若存在x∈R，使得y≤m成立，求实数m的取值范围．
[解]　(1)由y＞0，得|2x＋1|＞|x|，两边同时平方，得3x2＋4x＋1＞0，
解得x＜－1或x＞－.
故原不等式的解集为
.
(2)存在x∈R，使得y≤m成立，故m≥ymin.
当x＜－，y＝－x－1；
当－≤x＜0，y＝3x＋1；
当x≥0，y＝x＋1．
当x＝－时，y取得最小值为－.
∴m≥－，
即m的取值范围为.
PAGE2.1　等式
2.1.1　等式的性质与方程的解集
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解且会运用等式的性质．(重点)2．理解恒等式的概念，会进行恒等变形．(难点)3．会求方程的解集．(重点)
1．借助等式的性质，培养逻辑推理的素养．2．通过求方程的解集，提升数据分析、数学运算的核心素养.
有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物，有一天它遇见老虎，狐狸说：“我发现了2和5可以相等，我这里有一个方程5x－2＝2x－2.
等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x，①
等式两边同时除以x，得5＝2，②”
老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑．你认为狐狸的说法正确吗？
知识点一　等式的性质
性质(1)：等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立．
用字母表示为：如果a＝b，则对任意的c，都有a＋c＝b＋c.
性质(2)：等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
用字母表示为：如果a＝b，则对任意的不为零的c，都有ac＝bc.
1．下列各式是否正确？
(1)若＝，则x＝y；
(2)若x＝y，则＝；
(3)若x＋a＝y－a，则x＝y；
(4)若x＝y，则ax＝by.
(5)若x－m＝y－m，则x＝y
[答案]　(1)(5)正确，(2)(3)(4)错误．
知识点二　恒等式
1．恒等式的含义
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
2．常见的代数恒等式
(1)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
(2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(3)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，
a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．
3．十字相乘法
(1)给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)．为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”．
(2)用“十字相乘法”分解因式：
①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解；
②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解．
1．十字相乘法分解因式的关键是什么？
[提示]　把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因式相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数．
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25.
(　　)
(2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4)．
(　　)
(3)用因式分解法解方程时部分过程为：
(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2.
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
[提示]　(1)(2a＋5)(2a－5)＝(2a)2－25＝4a2－25.
(2)x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4y)．
(3)若(x＋2)(x－3)＝0，可化为x＋2＝0或x－3＝0.
3.(多选题)下列等式中，是恒等式的是(　　)
A．(x－2)(x＋2)＝x2－4
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(－3＋m)(3＋m)＝m2－9
D．16x2－9＝24x
ABC　[A中，(x－2)(x＋2)＝x2－4，使用平方差公式化简，是恒等式；B中，(a－b)2＝a2－2ab＋b2，使用完全平方公式化简，是恒等式；C中，(－3＋m)(3＋m)＝(m－3)·(m＋3)＝m2－9，平方差公式化简，是恒等式；D中，16x2－9＝24x是方程，不是恒等式．]
知识点三　方程的解集
1．方程(x－x1)(x－x2)＝0，当x1≠x2时解集为{x1，x2}，当x1＝x2时解集为{x1}．
2．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．求方程解的过程叫做解方程．把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
2.把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？
[提示]　把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．
4.已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋66＝0的根，则第三边的长为________．
6　[由方程x2－17x＋66＝0得：
(x－6)(x－11)＝0，解得：x＝6或x＝11，
当x＝6时，三边长为4,6,7，符合题意；
当x＝11时，以4,7,11为三边构不成三角形，不合题意，舍去，则第三边长为6.]
类型1　等式性质的应用
【例1】　已知x＝y,
则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④＝1；⑤＝；⑥＝.其中正确的有(　　)
A．①②③　　B．④⑤⑥　　C．①③⑤　　D．②④⑥
C　[①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤＝正确，故选C．]
等式性质的应用
在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的条件．
1．设x，y，c是实数，下列正确的是(　　)
A．若x＝y，则x＋c＝y－c
B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则＝
D．若＝，则2x＝3y
B　[A．两边加不同的数，故A不符合题意；B．两边都乘以c，故B符合题意；C．c＝0时，两边都除以c2无意义，故C不符合题意；D．两边乘6c，得到3x＝2y，故D不符合题意．故选B．]
类型2　恒等式的化简
【例2】　化简：
(1)(3a－2)－3(a－5)；
(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2；
(3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)；
(4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]．
[解]　(1)(3a－2)－3(a－5)＝3a－2－3a＋15＝13.
(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2＝－x2y＋xy2.
(3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)＝2m＋m＋n－2m－2n＝m－n.
(4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]＝4a2b－5ab2＋(－6a2b＋8ab2)＝4a2b－5ab2－6a2b＋8ab2＝－2a2b＋3ab2.
恒等式化简注意事项
去括号时，首先要弄清楚括号前究竟是“＋”号，还是“－”号，其次要注意法则中的“都”字，都改变符号或都不改变符号，一定要一视同仁，尤其是括号前面是“－”号时，容易出现只改变括号内首项符号，而其余各项均不变号的错误．
2．计算：
(1)a2－3ab＋5－a2－3ab－7;
(2)5(m＋n)－4(3m－2n)＋3(2m－3n)；
(3)3(－5x＋y)－[(2x－4y)－2(3x＋5y)]．
[解]　(1)原式＝(1－1)a2＋(－3－3)ab＋(5－7)＝－6ab－2.
(2)原式＝5m＋5n－12m＋8n＋6m－9n＝(5－12＋6)m＋(5＋8－9)n＝－m＋4n.
(3)原式＝－15x＋3y－(2x－4y－6x－10y)＝－15x＋3y－(－4x－14y)＝－15x＋3y＋4x＋14y＝(－15＋4)x＋(3＋14)y＝－11x＋17y.
类型3　十字相乘法分解因式
【例3】　十字相乘法分解因式：
(1)x2－x－56；(2)x2－10x＋16；(3)6x2＋11x－7.
[解]　(1)因为
所以：原式＝(x＋7)(x－8)．
(2)因为
所以：原式＝(x－2)(x－8)．
(3)因为
所以：原式＝(2x－1)(3x＋7)
如何利用十字相乘法对代数式ax2＋bx＋c进行因式分解？
[提示]　对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)．
3．将y2－5y＋4因式分解的结果是(　　)
A．(y＋1)(y＋4)
B．(y＋1)(y－4)
C．(y－1)(y＋4)
D．(y－1)(y－4)
D　[因式分解，可得y2－5y＋4＝(y－1)(y－4)，故选D．]
类型4　方程的解集
【例4】　(对接教材P45例2)求下列方程的解集．
(1)x(x＋2)＝2x＋4；
(2)16(x－5)2－9(x＋4)2＝0.
[解]　(1)原方程可变形为x(x＋2)＝2(x＋2)，即
(x－2)(x＋2)＝0，
从而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集为{－2,2}．
(2)利用平方差，将原方程变为[4(x－5)＋3(x＋4)][4(x－5)－3(x＋4)]＝0，
整理可得(7x－8)(x－32)＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x＝或x＝32，
故原方程的解集为.
用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步骤
(1)移项，将一元二次方程的右边化为0.
(2)化积，利用提取公因式法、公式法等将一元二次方程的左边分解为两个一次因式的积．
(3)转化，两个因式分别为0，转化为两个一元一次方程．
(4)求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
(5)将其解写成集合的形式．
4．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，则a的值为(　　)
A．1或4
B．－1或－4
C．－1或4
D．1或－4
B　[∵x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，∴4＋5a＋a2＝0，∴(a＋1)(a＋4)＝0,
解得a＝－1或a＝－4.]
1．(多选题)若3a＝2b，下列各式进行的变形中，正确的是(　　)
A．3a＋1＝2b＋1　　
B．3a－1＝2b－1
C．9a＝4b
D．－＝－
ABD　[A．∵3a＝2b，∴3a＋1＝2b＋1，正确，符合题意；
B．∵3a＝2b，∴3a－1＝2b－1，正确，符合题意；
C．∵3a＝2b，∴9a＝6b，故此选项错误，不符合题意；
D．∵3a＝2b，∴－＝－，正确，符合题意．故选ABD．]
2．(m＋n)－2(m－n)的计算结果是(　　)
A．3n＋2m
B．3n＋m
C．3n－m
D．3n－2m
C　[原式＝m＋n－2m＋2n＝－m＋3n，故选C．]
3．下列方程的解正确的是(　　)
A．x－3＝1的解集是{－2}
B．x－2x＝6的解集是{－4}
C．3x－4＝(x－3)的解集是{3}
D．－x＝2的解集是
B　[方程x－3＝1的解是x＝4，x－2x＝6的解是x＝－4,3x－4＝(x－3)的解是x＝－7，－x＝2的解是x＝－6，故选B．]
4．方程2x－1＝0的解集是________．
　[由2x－1＝0，解得x＝，所以方程的解集是.]
5．因式分解：(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________.
(a－b＋4)(a－b＋7)　[把a－b看作一个整体．
因为
所以：原式＝(a－b＋4)(a－b＋7)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．用因式分解法解一元二次方程的步骤是怎样的？
[提示]　(1)将方程右边化为0；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．
提醒：(1)用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应当移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；(2)对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．
2．因式分解常用的方法有哪些？
[提示]　提取公因式法、公式法、分组法、十字相乘法．
PAGE2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集．(重点)2．掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数．(重点)
3．掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方程两根的代数式的值．(重点、难点)
1．通过对一元二次方程的解集及根与系数的关系的学习，培养数学抽象、逻辑推理的数学素养．2．通过求一元二次方程的解集，提升数学运算素养.
从前有一天，某人拿一竹竿对着大门比画：竹竿横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，斜着与门框的对角线长度相等．
问题　你知道竹竿有多长吗？
知识点一　一元二次方程的定义
形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0.
1．方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数)一定是一元二次方程吗？
[提示]　不一定，a≠0时为一元二次方程，a＝0，b≠0时为一元一次方程．
知识点二　一元二次方程的解法
直接开平方法
形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程
配方法
把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解
公式法
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝求解
因式分解法
一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成a(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1＝－m，x2＝－n
1．(1)用配方法解方程x2－8x＋5＝0，将其化为(x＋a)2＝b的形式，正确的是(　　)
A．(x＋4)2＝11　　
B．(x＋4)2＝21
C．(x－8)2＝11
D．(x－4)2＝11
(2)用公式法解方程6x－8＝5x2时，a，b，c的值分别是(　　)
A．5,6，－8
B．5，－6，－8
C．5，－6,8
D．6,5，－8
(1)D　(2)C　[(1)∵x2－8x＋5＝0，∴x2－8x＝－5，∴x2－8x＋16＝－5＋16，∴(x－4)2＝11，故选D．
(2)原方程可化为5x2－6x＋8＝0，∴a＝5,
b＝－6，c＝8，故选C．]
知识点三　一元二次方程根的判别式
式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ＝b2－4ac.当Δ＞0
时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
2.(1)方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
(2)若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是________．
(1)A　(2)(－∞，4]　[(1)∵Δ＝(－5)2－4×2×3＝1＞0，∴方程2x2－5x＋3＝0有两个不相等的实数根．故选A．
(2)因为一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，所以Δ＝16－4k≥0，即k≤4.]
知识点四　一元二次方程的根与系数的关系
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝.
2.利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？
[提示]　先把方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ＝b2－4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题．
3.(1)已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程可以是(　　)
A．x2－6x＋8＝0
B．x2＋9x－1＝0
C．x2－x－6＝0
D．x2＋x－20＝0
(2)若2和－5为一元二次方程x2＋bx－c＝0的两根，则b，c的值分别等于________．
(1)D　(2)3,10　[(1)设所求方程为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则由题意，可得4＋(－5)＝－，4×(－5)＝，即＝1，＝－20，验证四个选项，只有D项符合条件．
(2)由一元二次方程根与系数的关系，可得解得]
类型1　一元二次方程的解法
　直接开平方法
【例1】　用直接开平方法求下列一元二次方程的解集．
(1)4y2－25＝0；(2)3x2－x＝15－x.
[思路点拨]　可将方程转化为x2＝p(p≥0)的形式，再两边开平方进行降次，化为一元一次方程．
[解]　(1)移项，得4y2＝25.
两边都除以4，得y2＝.
解得y1＝，y2＝－，
所以原一元二次方程的解集是.
(2)移项，合并同类项，得3x2＝15.
两边都除以3，得x2＝5，
解得x1＝，x2＝－.
所以原一元二次方程的解集是{，－}．
应用直接开平方法求一元二次方程的解集主要有哪些步骤？
[提示]　?1?化为x2＝p?p≥0?的形式；?2?直接开平方；?3?解两个一元一次方程，写出方程的两个根；?4?总结写成解集的形式.
1．用直接开平方法求下列一元二次方程的解集．
(1)(x＋1)2＝12；
(2)(6x－1)2－25＝0.
[解]　(1)直接开平方，得x＋1＝±2，
∴x1＝2－1，x2＝－2－1．
∴原一元二次方程的解集是{2－1，－2－1}．
(2)移项，得(6x－1)2＝25.
开平方，得6x－1＝±5，
∴x1＝1，x2＝－.
∴原一元二次方程的解集是.
　配方法
【例2】　用配方法求下列方程的解集．
(1)x2＋4x－1＝0；
(2)4x2＋8x＋1＝0.
[解]　
(1)∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1，
∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5，
∴x＝－2±，
∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
∴原一元二次方程的解集是{－2＋，－2－}．
(2)移项，得4x2＋8x＝－1．
二次项系数化为1，得x2＋2x＝－，
配方，得x2＋2x＋12＝12－，即(x＋1)2＝.
∴x＋1＝±.
∴x1＝－1＋，x2＝－1－，
∴原一元二次方程的解集是.
用配方法解一元二次方程的步骤
2．用配方法求下列方程的解集．
(1)x2＋3＝2x；
(2)2x2－5x＋2＝0.
[解]　(1)移项，得x2－2x＝－3.
配方，得x2－2x＋()2＝－3＋()2，
即(x－)2＝0.∴x1＝x2＝，
∴原一元二次方程的解集是{}．
(2)移项，得2x2－5x＝－2.
二次项系数化为1，得x2－x＝－1．
配方，得x2－x＋＝－1＋.
∴＝.
∴x－＝±.
∴x1＝＝2，x2＝＝，
∴原一元二次方程的解集是.
　公式法
【例3】　用公式法求下列方程的解集．
(1)x2－4x＋10＝0；
(2)x2＋x＋＝0.
[思路点拨]　先化成一元二次方程的一般形式，再求Δ，然后根据求根公式求解．
[解]　(1)∵a＝1，b＝－4，c＝10，
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×10＝8＞0，
∴x＝＝＝2±，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
∴原一元二次方程的解集是{2＋，2－}．
(2)方程两边都乘以8，得4x2＋4x＋1＝0.
∵a＝4，b＝4，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝42－4×4×1＝0，
∴x＝＝－，
∴x1＝x2＝－.
∴原一元二次方程的解集是.
利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算b2－4ac的值；当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，当b2－4ac＜0时，方程无实数解.然后总结写出解集.
3．用公式法求下列方程的解集．
(1)x2＋3＝2x；
(2)3x2＝－6x－1．
[解]　(1)将方程化为一般形式为x2－2x＋3＝0.
∵a＝1，b＝－2，c＝3，
Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－4＜0，
∴原方程没有实数根．
∴原一元二次方程的解集是?.
(2)将方程化为一般形式为3x2＋6x＋1＝0，
∵a＝3，b＝6，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝62－4×3×1＝24＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
∴原一元二次方程的解集是.
类型2　一元二次方程的根的判别式的应用
【例4】　不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况．
(1)3x2－2x－1＝0；
(2)2x2－x＋1＝0；
(3)4x－x2＝x2＋2.
[解]　(1)∵Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴方程的解集中有两个元素．
(2)∵Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，∴方程没有实数根，∴方程的解集为空集．
(3)方程整理为x2－2x＋1＝0,
∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0,
∴方程有两个相等的实数根，∴方程的解集中有一个元素．
一元二次方程解的判断
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
4．下列一元二次方程中，解集为空集的是(　　)
A．x2－2x＝0　　　
B．x2＋4x－1＝0
C．2x2－4x＋3＝0
D．3x2＝5x－2
C　[利用根的判别式Δ＝b2－4ac分别进行判定即可．
A．Δ＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；B．Δ＝42－4×1×(－1)＝20＞0，有两个不相等的实数根，
故此选项不合题意；C．Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，没有实数根，故此选项符合题意；D．Δ＝(－5)2－4×3×2＝1＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意．故选C．]
类型3　一元二次方程的根与系数的关系
1．怎样用x1＋x2和x1x2表示x＋x？
[提示]　x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2.
2．当x1＜x2时，x2－x1可以用x1＋x2与x1x2表示吗？
[提示]　x2－x1＝.
【例5】　(对接教材P50例2)设x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的两个根，求下列各式的值．
(1)＋；
(2)x＋x；
(3)(x1－3)(x2－3)；
(4)x1－x2.
[思路点拨]　先由一元二次方程根与系数的关系写出x1＋x2与x1x2的值，再将所求值的式子化为关于x1＋x2与x1x2的表达式，最后整体代入求值．
[解]　由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝3.
(1)＋＝＝÷3＝.
(2)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝－2×3＝.
(3)(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9
＝3－3×＋9＝－.
(4)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝－4×3＝，
∴x1－x2＝±.
利用根与系数的关系求有关代数式的值的3个步骤
本例中条件不变，求x＋x的值．
[解]　x＋x
＝(x1＋x2)(x－x1x2＋x)
＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]
＝×
＝.
类型4　与一元二次方程相关的求未知
字母的值或范围问题
【例6】　已知关于x的一元二次方程2x2－kx＋3＝0的解集中只有一个元素，则k的值为(　　)
A．±2
B．±
C．3或4
D．2或3
A　[∵a＝2，b＝－k，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝k2－4×2×3＝k2－24，∵方程的解集中只有一个元素，∴Δ＝k2－24＝0,
解得k＝±2.]
根据已知条件求一元二次方程中字母系数的取值或取值范围问题，常见情况为根据方程解的情况判定字母系数的情况.
5．若关于x的一元二次方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
[解]　∵关于x的一元二次方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[－(2a＋1)]2－4a2＝4a＋1＞0，
∴a＞－.
1．一元二次方程x2＝3x的解集是(　　)
A．{0}
B．{3}
C．{－3}
D．{0,3}
D　[∵x2＝3x，∴x2－3x＝0，∴x(x－3)＝0，解得x1＝0，x2＝3，故选D．]
2．一元二次方程4x2＋1＝4x的解集情况是(　　)
A．为空集
B．只有一个元素
C．有两个元素
D．无法确定元素的个数
B　[原方程可化为4x2－4x＋1＝0，∵Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，解集中只有一个元素．故选B．]
3．解下列方程，最适合用公式法求解的是(　　)
A．(x＋2)2－16＝0
B．(x＋1)2＝4
C．x2＝8
D．x2－3x－5＝0
D　[公式法解一元二次方程只能解标准形式的方程．]
4．已知一元二次方程x2＋2x－1＝0的两实数根为x1，x2，则x1·x2的值为(　　)
A．2
B．－2
C．1
D．－1
D　[因为一元二次方程x2＋2x－1＝0的两实数根为x1，x2，
所以x1·x2＝＝－1．]
5．将方程x2－2x＝3化为(x－m)2＝n的形式，则m，n分别是________．
1,4　[x2－2x＝3，配方得x2－2x＋1＝4,
即(x－1)2＝4，∴m＝1，n＝4.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．解一元二次方程有哪几种方法？
[提示]　(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法．
2．一元二次方程中根与系数的关系应用的前提条件是什么？应用时注意什么问题？
[提示]　前提条件是：(1)a≠0；(2)Δ≥0.
在应用时应注意恒等变形和整体代入．
PAGE2.1.3　方程组的解集
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解方程组的解集的定义及表示方法．(难点)2．掌握用消元法求方程组解集的方法．(重点)3．会利用方程组知识解决一些简单的实际问题．(重点、难点)
1．通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养．2．通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学科素养.
我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则
当z＝81时，x＝________，y＝________.
知识点　方程组的解集与其解法
1．方程组的解集
一般地，将多个方程联立，
就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．
2．方程组的解法
求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法．
常用的消元法有哪几种？
[提示]　解方程组时常用的消元法有代入消元法和加减消元法．代入消元时一般需要把原式化简一下再代入；加减消元时，也需要把原方程组中的某一个或某些个转化后再进行加减消元．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程1＋＝－2是一元一次方程．
(　　)
(2)是方程组的解．
(　　)
(3)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐变少．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
[提示]　(1)方程1＋＝－2是分式方程，不是一元一次方程．
(2)经代入验证，知
是方程组的解．
(3)解方程组消元的方法主要有代入消元法和加减消元法．
2.已知二元一次方程组解集为(　　)
A．{(x，y)|(2,3)}　　
B．{(x，y)|(3,2)}
C．{(x，y)|(－2,3)}
D．{(x，y)|(－2，－3)}
A　[
①＋②得：3x＋3y＝15，解得x＝2，y＝3，解集为{(x，y)|(2,3)}，故选A．]
3.(对接教材P55练习B①)已知A＝{(x，y)|x＋y＝5}，B＝{(x，y)|2x－y＝4}，则A∩B＝(　　)
A．{(x，y)|(1,4)}
B．{(x，y)|(2,3)}
C．{(x，y)|(3,2)}
D．{(x，y)|(4,1)}
C　[根据题意，得
由代入消元法可求得x＝3，y＝2，故A∩B＝{(x，y)|(3,2)}.
]
4.已知是方程组的一个解，则此方程组的另一个解为________．
　[将代入方程组中得即原方程组化为
由x＋y＝1得x＝1－y，将x＝1－y代入方程x2＋y2＝13中可得y2－y－6＝0，
解得y＝3或y＝－2，将y＝3代入x＋y＝1中得x＝－2，
所以方程组的另一个解为]
类型1　二元一次方程组的解集
【例1】　求下列方程组的解集．
(1)
(2)
[解]　(1)由①，得y＝4－x.③
把③代入②，得2x－3(4－x)＝3.解这个方程，得x＝3.
把x＝3代入③，得y＝1．
所以原方程组的解集为{(x，y)|(3,1)}．
(2)法一：①＋②，得6x＝12，所以x＝2.
把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，所以y＝1．
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,1)}．
法二：①－②，得－14y＝－14，所以y＝1．
把y＝1代入①，得3x－7×1＝－1，所以x＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,1)}.
1．用代入消元法解二元一次方程组的步骤
2．用加减消元法解二元一次方程组的步骤
1．求下列方程组的解集．
(1)
(2)
[解]　(1)由②，得2y＝3x－5.③
把③代入①，得4x＋4(3x－5)＝12，解得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝.
所以原方程组的解集为.
(2)由①×2，得16x＋18y＝146，③
由③－②，得9x＝144，解得x＝16.
把x＝16代入①，得8×16＋9y＝73，解得y＝－.
所以原方程组的解集为.
类型2　三元一次方程组的解集
【例2】　求下列方程组的解集．
(1)
(2)
[解]　(1)法一：将③分别代入①②，得
解得
把y＝2代入③，得x＝8.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}．
法二：②－①，得y＋4z＝10，④
②－③，得6y＋5z＝22，⑤
联立④⑤，得解得
把y＝2代入③，得x＝8.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}．
法三：①×5，得5x＋5y＋5z＝60，④
④－②，得4x＋3y＝38，⑤
联立③⑤，得解得
把x＝8，y＝2代入①，得z＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}．
(2)法一：由①和②，得x∶y∶z＝3∶2∶5.
设x＝3k，y＝2k，z＝5k(k≠0)，并代入③，
得5k＋3k＋2k＝20，
解得k＝2.
所以x＝3k＝6，y＝2k＝4，z＝5k＝10.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(6,4,10)}．
法二：由①，得x＝y，
④
由②，得z＝y.
⑤
把④和⑤代入③，得
y＋y＋y＝20，解得y＝4.
把y＝4分别代入④和⑤，
得x＝6，z＝10.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(6,4,10)}．
解三元一次方程组的一般步骤是怎样的？
[提示]　
(1)消元
把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，利用代入消元法或加减消元法，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组
(2)求解
解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值
(3)回代
将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一元一次方程
(4)求解
解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值
(5)写解集
把方程组的解用集合表示出来
2．求方程组的解集．
[解]　①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝10，
即x＋y＋z＝5.④
④－①，得z＝4；④－②，得x＝－1；④－③，得y＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(－1,2,4)}．
类型3　二元二次方程组的解集
【例3】　(对接教材P53例1)求下列方程组的解集．
(1)
(2)
[解]　(1)由①得y＝8－x，③
把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0.
解得x1＝2，x2＝6.
把x1＝2代入③，得y1＝6.
把x2＝6代入③，得y2＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,6)，(6,2)}．
(2)由①得(x－2y)2＋(x－2y)－2＝0，
解得x－2y＝1或x－2y＝－2，
由得
由得
所以原方程组的解集为.
二元二次方程组的解法
求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程．
3．求方程组的解集．
[解]　∵方程①是x与2y的和，方程②是x与2y的积，
∴x与2y是方程z2－4z－21＝0的两个根，解此方程得z1＝－3，z2＝7，
∴或即或
所以原方程组的解集为
.
类型4　方程组的实际应用
【例4】　某汽车在相距70
km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2.5
h，从乙地到甲地需要2.3
h．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30
km,20
km,40
km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
[思路点拨]　
题中有三个等量关系：(1)上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70
km；(2)从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5
h；(3)从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3
h.
[解]　设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x
km，y
km和z
km.
由题意得解得
故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12
km，平路是54
km，下坡路是4
km.
列方程组解应用题的一般步骤
提醒：(1)一般来说，设几个未知数就应列出几个方程．(2)设未知数及写结论时，都要写清单位名称．
4．甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．
[解]　设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y千米．
①当甲、乙两人相遇前相距3千米时，得解得
②当甲、乙两人经过3小时相遇后又相距3千米时，得
解得
答：甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米或甲的速度为每小时千米，乙的速度为每小时千米.
1．二元一次方程组的解集是(　　)
A．{(x，y)|(1,2)}　
B．{(x，y)|(1,0)}
C．{(x，y)|(－1,2)}
D．{(x，y)|(1，－2)}
A　[由加减消元法可求得x＝1，y＝2，故所求方程组的解集为{(x，y)|(1,2)}．]
2．下列四个集合中为方程组的解集的是(　　)
A．{(x，y，z)|(0,1，－2)}
B．{(x，y，z)|(1,0,1)}
C．{(x，y，z)|(0，－1,0)}
D．{(x，y，z)|(1，－2,3)}
D　[
①＋②得3x＋y＝1，④
③－②得x＝1，
将x＝1代入④得y＝－2，
将x＝1，y＝－2代入②得z＝3.]
3．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，
则原本甲、乙两杯内的水量相差(　　)
A．80毫升
B．110毫升
C．140毫升
D．220毫升
B　[设甲杯中原有水a毫升，乙杯中原有水
b毫升，丙杯中原有水c毫升，
依题意有
②－①，得b－a＝110，故选B．]
4．方程组的解集是________．
{(－2，－2)，(1,1)}　[
②＋①，得x2＋x＝2，解得x1＝－2，x2＝1，
把x1＝－2代入①，得y1＝－2，
把x2＝1代入①，得y2＝1，
所以原方程组的解为]
5．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是和试写出符合要求的方程组________．
(答案不唯一)　[由于这两组解都有：xy＝2×3＝6，x－y＝－1，
故可组成方程组为(答案不唯一)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．求解二元一次方程组、三元一次方程组的基本方法有哪两种？
[提示]　加减消元法与代入消元法．
2．求解二元二次方程组的基本思想与方法是什么？应注意什么问题？
[提示]　求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次．消元后求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一个未知数的值，不能代入二元二次方程，因为这样可能产生增根．
PAGE2.2　不等式
2.2.1　不等式及其性质
第1课时　不等式及其性质
学
习
任
务
核
心
素
养
1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(一般)
2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
1．
借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．2.
通过大小比较，培养逻辑推理素养.
清丽、优美的芭蕾舞剧《睡美人》序曲奏响了，一名女演员双手抚摸着舞裙，眼里闪烁着倔强和自信的目光．只见她踮起脚尖，一个优雅的旋转，轻盈地提着舞裙，飘然来到台上，在追光灯下飘起舞裙，那飘洒翩跹的舞姿，把整个舞台化成一片梦境……她为什么要踮起脚尖呢？因为一般的人，下半身长x与全身长y的比值在0.57～0.6之间．设人的脚尖立起提高了m，则下半身长与全身长度的比由变成了，这个比值非常接近黄金分割值0.618.这便是不等式在实际生活中的应用，不等式还有哪些重要的性质呢？
知识点一　不等关系与不等式
1．不等式的定义
我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．
2．比较两个实数(代数式)的大小
作差法的理论依据：
a－b＜0?a＜b；
a－b＝0?a＝b；
a－b＞0?a＞b.
1．(1)已知t＝a＋4b，s＝a＋b2＋4，则t和s的大小关系是(　　)
A．t＞s　　　B．t≥s　　　C．t＜s　　　D．t≤s
(2)设a，b＞0，P＝＋，Q＝，则P与Q的大小关系是(　　)
A．P≥Q　　　B．P≤Q　　　C．P＞Q　　　D．P＜Q
(1)D　(2)C　[(1)∵s－t＝a＋b2＋4－(a＋4b)＝b2－4b＋4＝(b－2)2≥0，∴t≤s.
(2)P2＝(＋)2＝a＋b＋2，Q2＝()2＝a＋b.∵a，b＞0，∴P2＞Q2.∴P＞Q.]
知识点二　不等式的性质
1．不等式的性质
(1)性质1(可加性)：a＞b?a＋c＞b＋c.
(2)性质2(可乘性)：?ac＞bc.
(3)性质3(可乘性)：?ac＜bc.
(4)性质4(传递法)：a＞b，b＞c?a＞c.
(5)性质5(对称性)：a＞b?b＜a.
2．不等式性质的推论
(1)推论1(移项法则)：a＋b＞c?a＞c－b.
(2)推论2(同向可加性)：?a＋c＞b＋d.
(3)推论3(同向同正可乘性)：?ac＞bd.
(4)推论4(正数乘方性)：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n＞1)．
(5)推论5(正数开方性)：a＞b＞0?＞.
利用不等式性质应注意哪些问题？
[提示]　在使用不等式时，一定要弄清不等式(组)成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可
乘性中的“c的符号”等都需要注意．
2.已知a≥b，可以推出(　　)
A．≥
B．ac2≥bc2
C．＞
D．(ac)2≥(bc)2
B　[∵c2≥0，a≥b，∴ac2≥bc2.]
3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d.
(　　)
(2)若a＞b，则＜.
(　　)
(3)若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞.
(　　)
(4)已知a＞b，e＞f，c＞0，则f－ac＜e－bc.
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
[提示]　(1)因为c＜d，所以－c＞－d，又a＞b.
所以a－c＞b－d.
(2)因为a＞b，若a＞0，b＜0，则＞，故＜错误．
(3)因为c＞d＞0，所以＞＞0，又因为a＞b＞0，所以＞.
(4)因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，故－ac＜－bc，又因为e＞f，即f＜e，
所以f－ac＜e－bc.
类型1　比较两数(式)的大小
【例1】　(对接教材P60例1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
∵x≤1，∴x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1．
把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝(3x2＋1)(x－1)．
∵3x2＋1＞0，
∴当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1．
作差法比较两个实数(代数式)大小的基本步骤
类型2　利用不等式性质判断命题真假
【例2】　对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　)
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则＞
C．若a＜b＜0，则＞
D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0
[思路点拨]　本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断．
D　[法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0?＞?＞，故B为假命题；
a＜b＜0?－a＞－b＞0?－＞－＞0?＞，
故C为假命题；
?ab＜0.
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
法二：特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错；
取a＝2，b＝1，则＝，＝1．有＜，故B错；
取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有＜，故C错．故选D．]
运用不等式的性质判断命题真假的技巧
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质．
(2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
1．下列命题正确的是(　　)
A．若a2＞b2，则a＞b
B．若＞，则a＜b
C．若ac＞bc，则a＞b
D．若＜，则a＜b
D　[A错，例如(－3)2＞22；B错，例如＞；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.故选D．]
2．若a，b∈R，则使a＜b与＞同时成立的条件是________．
a＜b＜0或0＜a＜b　[由＞得－＞0，即＞0①，
又a＜b，故b－a＞0②，由①②得
所以a＜b＜0或0＜a＜b.]
类型3　不等式性质的应用
1．由－6[提示]　不正确．因为同向不等式具有可加性，但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．
2．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？
∵2∴－4又∵－2∴0∴－3这怎么与－2[提示]　利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2【例3】　已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与的取值范围．
[思路点拨]　依据不等式的性质，找到－b与的范围，进而求出a－b与的取值范围．
[解]　因为1＜a＜4,2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2，
所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.
又因为＜＜，所以＜＜＝2，
即＜＜2.
求含字母的数?或式子?的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.
3．已知－≤α＜β≤，求，的取值范围．
[解]　∵－≤α＜β≤，
∴－≤＜，－＜≤，
两式相加，得－＜＜.
又∵－＜≤，∴－≤－＜，
∴－≤＜，又知α＜β，∴＜0.
故－≤＜0.
1．设M＝(a＋1)(a－3)，N＝2a(a－2)，则(　　)
A．M＞N　　B．M≥N　　C．M＜N　　D．M≤N
C　[N－M＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，即M＜N，故选C．]
2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是(　　)
A．a－d＞b－c
B．－＜－
C．a＋d＞b＋c
D．ac＞bd
C　[由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，
即a－d＞b－c，所以A正确；
由c＞d＞0，得＞＞0，又a＞b＞0，所以＞，－＜－，即B正确；
显然D正确，因此不正确的选项是C．]
3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是(　　)
A．－2＜α－β＜0
B．－2＜α－β＜－1
C．－1＜α－β＜0
D．－1＜α－β＜1
A　[由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1．
∴－2＜α－β＜2，但α＜β，
故知－2＜α－β＜0.故选A．]
4．(多选题)已知a，b，c为非零实数，且a－b≥0，则下列结论正确的有(　　)
A．a＋c≥b＋c
B．－a≤－b
C．a2≥b2
D．≥
ABD　[因为a－b≥0，所以a≥b.根据不等式的性质可知A，B正确；因为a，b的符号不确定，所以C不正确；－＝≥0.可得≥，所以D正确．]
5．已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围是________，的取值范围是________．
(27,56)　　[由28＜y＜33得－33＜－y＜－28，
＜＜，
则60－33＜x－y＜84－28，
即27＜x－y＜56，
则＜＜，即＜＜3.]
回顾本节知识，自我完成下列问题：
1．作差比较法的四个步骤是什么？
[提示]　(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．
(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方、有理化等方法进行变形．
(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号．
(4)作出结论．
上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．
2．利用不等式的性质判断正误有哪2种方法？
[提示]　(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
实际问题中的不等关系
糖水跟煲汤一样，具有滋补养生的功效．可以作为糖水的材料有很多，不同的材料具有不同的功效，有的具有清凉性，有的具有燥热性．根据不同的主料来配搭不同辅料，可以达到相辅相成的效果．专家称，喝糖水可缓解烦躁失眠．在烦躁而不容易入眠时，喝糖水可使体内产生大量血清素，亦可助眠．
下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了．
[提示]　(1)设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖，即证明不等式＞(其中a，b，m为正实数，且b＞a)成立．
不妨用作差比较法，证明如下：
－＝＝.
∵a，b，m为正实数，且a＜b，
∴b＋m＞0，b－a＞0，
∴＞0，
即＞.
(2)设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且＜，求证：＜＜(其中b＞a＞0，d＞c＞0)．
证明：∵＜，
且b＞a＞0，d＞c＞0，
∴ad＜bc，即bc－ad＞0，
－＝＝＜0，
即＜，
－＝＝＞0，
即＜.
∴＜＜.
(3)设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克水，求证：＞(其中b＞a＞0，m＞0)．
证明：－＝＝＞0，
∴＞.
[结论]　(1)如果一个分式(b＞a＞0)的分子分母同时增大相同的值，则该分式的值变大．
(2)两个分式中分子与分母分别相加所得的分式的大小介于这两个分式之间．
(3)一个分式分子不变，分母变大，分式的值变小．
建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比例越大，采光条件越好，问同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？
[解]　设窗户面积为a
m2，地板面积为b
m2，增加的面积为n
m2，显然，a，b，n均为正实数，且a＜b，由题设及“糖水浓度不等式”可得：
≤＜.
故住宅的采光条件变好了．
PAGE第2课时　不等式的证明
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能灵活选用综合法、分析法证明简单问题．(重点、难点)2．了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点，掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题．(难点、易错点)
1．通过综合法、分析法的证明，提升逻辑推理能力．2．通过反证法的学习，提升数学抽象、逻辑推理能力.
知识点一　综合法
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．综合法最重要的推理形式为p?q，其中p是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论．
知识点二　分析法
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止．分析法最重要的推理形式为p?q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．
知识点三　反证法
首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)综合法是从结论向已知的逆推证法．
(　　)
(2)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求使结论成立的充分条件的过程．
(　　)
(3)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a≤b”．
(　　)
(4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．
a2＋b2－2ab≥0　(a－b)2≥0　(a－b)2≥0　[用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．]
类型1　综合法的应用
综合法证明不等式的基本思路是什么？
[提示]　从已知条件出发，综合利用各种结果，经逐步推导，最后得出结论．
【例1】　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
[思路点拨]　可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．
[证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以，得＜.
又e＜0，∴＞.
本例条件不变的情况下，求证：＞.
[证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜＜.
又∵e＜0，∴＞.
综合法证明不等式
综合法证明不等式就是从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证．而得出命题成立，它是顺推的证法或由因导果．
1．若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.
[证明]　∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，
∵bd＞0，
∴≤，∴＋1≤＋1，
∴≤.
类型2　分析法的应用
【例2】　已知a＞0，证明：－≥a＋－2.
[证明]　要证－≥a＋－2，
只需证≥－(2－)．
因为a＞0，所以－(2－)＝＋＞0，
所以只需证≥2，
即2(2－)≥8－4，
只需证a＋≥2.
因为a＞0，所以a＋－2＝＝≥0，
所以a＋≥2显然成立(当a＝1时等号成立)，
所以要证的不等式成立．
分析法证明不等式
分析法证明命题时，就是从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，这是一种执果索因的思考和证明方法．
2．若a，b∈(1，＋∞)，证明：＜.
[证明]　要证＜，
只需证()2＜()2，
只需证a＋b－1－ab＜0，
即证(a－1)(1－b)＜0.
因为a＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0，
即(a－1)(1－b)＜0成立，
所以原不等式成立．
类型3　反证法的应用
【例3】　已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1．
[证明]　假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，
则有a＋b＋c＜3，
而a＋b＋c＝＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋＝2＋3≥3.
这与a＋b＋c＜3矛盾，假设不成立，
故a，b，c至少有一个不小于1．
反证法证明问题的一般步骤
3．若x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求证：与至少有一个小于2.
[证明]　假设与都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x＞0，y＞0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，
两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)．
∴x＋y≤2，这与已知中x＋y＞2矛盾．
∴假设不成立，原命题成立．
故与至少有一个小于2.
1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是(　　)
A．自然数a，b，c中至少有两个偶数
B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．自然数a，b，c都是奇数
D．自然数a，b，c都是偶数
B　[反证法证明命题时，反设是设结论的反面成立，即否定结论，故B正确．]
2．求证：－1＞－.
证明：要证－1＞－，
只需证＋＞＋1，
即证7＋2＋5＞11＋2＋1，即证＞，∵35＞11，∴原不等式成立．
以上证明应用了(　　)
A．分析法
B．综合法
C．分析法与综合法配合使用
D．反证法
A　[证明过程用的是分析法．]
3．(多选题)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用(　　)
A．结论的反设　　　　
B．已知条件
C．定义、公理、定理等
D．原结论
ABC　[反证法推矛盾的过程中，可以把结论的反设，已知条件，定义、定理、公理等作为已知条件使用，故选ABC．]
4．(多选题)下列命题中，不正确的是(　　)
A．若a＜b＜0，则＞
B．若ac＞bc，则a＞b
C．若＜，则a＜b
D．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
ABD　[由不等式的性质可知选项ABD不正确．]
5．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是________．
[答案]　甲
回顾本节知识，自我完成以下问题：
证明不等式的常用方法有哪些？
[提示]　证明不等式常用的方法有：作差?商?比较法、综合法、分析法、反证法.
PAGE2.2.2　不等式的解集
学
习
任
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核
心
素
养
1．了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集．2．了解含绝对值不等式的几何意义，能借助数轴解含有绝对值的不等式．(重点、难点)3．掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式．(重点)
1．通过求一元一次不等式(组)的解法，培养数学运算核心素养．2．借助绝对值不等式的解法，提升数学抽象、数学运算核心素养．3．通过数轴上两点间距离公式及中点坐标公式的学习，培养直观想象核心素养.
如图为某三岔路口交通环道的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段，，的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数相等)．
问题　(1)你能用x3，x1，x2分别表示出x1，x2，x3吗？
(2)你能判断出x1，x2，x3的大小吗？
知识点一　不等式的解集与不等式组的解集
1．不等式的解集：不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．
2．不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
1．解不等式的理论依据是什么？
[提示]　不等式的性质．
1．(1)不等式2x－＞0的解集为________．
(2)不等式组的解集为________．
(1)　(2)　[(1)由2x－＞0解得x＞，所以不等式2x－＞0的解集为.
(2)由－x＋2＞0解得x＜2，由2x＋1＞0解得x＞－.不等式组的解集为它们的交集，故－＜x＜2，即解集为]
知识点二　绝对值不等式
1．定义：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
2．含绝对值不等式的解法
(1)|x|＝
(2)当m＞0时，
|x|＞m的解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)，|x|≤m的解集为[－m，m]．
2.若m＜0，|x|≤m的解集是什么？
[提示]　?
2.(1)不等式|x|＞2的解集为________．
(2)不等式|x－1|≤2的解集为________．
(1)(－∞，－2)∪(2，＋∞)　(2)[－1,3]　[(1)由|x|＞2，解得x＜－2或x＞2.
所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
(2)由|x－1|≤2得－2≤x－1≤2，解得－1≤x≤3.
所以不等式的解集为[－1,3]．]
知识点三　数轴上的坐标与距离
1．两点间的距离公式
一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．
2．中点坐标公式
若线段AB的中点M对应的数为x，则x＝就是数轴上的中点坐标公式．
3.若A，B两点在数轴上的坐标分别为A(2)，B(－4)，则AB＝__________，线段AB的中点M的坐标为________．
6　－1　[AB＝|2－(－4)|＝6；
线段AB的中点M的坐标为＝－1．]
类型1　不等式组的解法
【例1】　(对接教材P64例1)解下列不等式组：
(1)
(2)
[解]　(1)解不等式①，得x＜－6，解不等式②，得x≥2，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为?.
(2)解不等式①，得x＞－，解不等式②，得x≤，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
由图可知不等式组的解集为.
不等式组的求解步骤是怎样的？
[提示]　(1)求出不等式组中每个不等式的解集．
(2)借助数轴求出各解集的公共部分(交集)．
(3)写出不等式组的解集．
1．已知关于x的不等式组的解集为(1,3)，则a的值为________．
4　[由2x＋1＞3，得x＞1，由a－x＞1，得x＜a－1．
又∵不等式组的解集为(1,3)，∴a－1＝3，即a＝4.]
2．解不等式1≤＜2x＋.
[解]　原不等式组可化为下面的不等式组
解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x＞，
所以不等式组的解集为.
类型2　含绝对值的不等式
1．若|x|＝|a|，是否一定有x＝a?
[提示]　不一定，x＝a或x＝－a.
2．|x|的几何意义是什么？
[提示]　|x|表示数轴上坐标为x的点到原点的距离，
即|x|＝
　|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c＞0)型的不等式的解法
【例2】　(对接教材P67练习B①)解下列不等式：
(1)|5x－2|≥8；
(2)2≤|x－2|≤4.
[解]　(1)|5x－2|≥8?5x－2≥8或5x－2≤－8?x≥2或x≤－，
∴原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于
由①得x－2≤－2或x－2≥2，
∴x≤0或x≥4.
由②得－4≤x－2≤4，
∴－2≤x≤6.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}．
|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法
(1)当c＞0时，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c.
(2)当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|＜c的解集为?.
(3)当c＜0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为?.
　|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
【例3】　(对接教材P67探索与研究)解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.
[解]　法一：|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1．由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈(－∞，－1]．
法二：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，
x＝2.
①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，
∴－9≤3成立，
∴x＜－7.
②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，
即2x≤－2，∴x≤－1，
∴－7≤x≤－1．
③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，
即9≤3不成立，
∴x∈?.
∴原不等式的解集为(－∞，－1]．
分段讨论法是解绝对值不等式最基本、最重要的方法，一定要熟练掌握，在解答过程中要注意以下几点：
?1?分段要准确，注意等号的分布，避免重复或遗漏；
?2?每一段都有一个前提，每一段解出的范围都要和前提取“交集”，最后写不等式的解集时要把每一段x的范围取“并集”，即“先分后合”；
?3?不等式的解集有两种书写形式：一是用集合的描述法表示，特殊时用列举法；二是用区间.
3．解下列不等式：
(1)|3－2x|＜9；
(2)4＜|3x－2|＜8.
[解]　(1)∵|3－2x|＜9，∴|2x－3|＜9.
∴－9＜2x－3＜9.
即－6＜2x＜12.
∴－3＜x＜6.
∴原不等式的解集为(－3,6)．
(2)由4＜|3x－2|＜8，得?
?
∴原不等式的解集为∪.
4．解不等式|x－1|＋|2－x|＞3＋x.
[解]　把原不等式变为|x－1|＋|x－2|＞3＋x，
(1)当x≤1时，
原不等式变为－(x－1)－(x－2)＞3＋x，解得x＜0；
(2)当1＜x≤2时，
原不等式变为x－1－(x－2)＞3＋x，解得x∈?；
(3)当x＞2时，
原不等式变为x－1＋x－2＞3＋x，解得x＞6.
综上，原不等式解集为(－∞，0)∪(6，＋∞)．
类型3　数轴上的距离问题
【例4】　(对接教材P66例2)已知数轴上三点P(－8)，Q(m)，R(2)．
(1)若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值；
(2)若PQ中点到线段PR中点的距离大于1，求实数m的取值范围．
[解]　(1)若P是线段QR的中点，则－8＝，
∴m＝－18；
若Q是线段PR的中点，则m＝＝－3；
若R是线段PQ的中点，则2＝，
∴m＝12.
(2)由题意，知＞1，
即＞1，
∴－1＞1或－1＜－1，解得m＞4或m＜0，
∴实数m的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
1．当P(x)中x＞0时，点P位于原点右侧，且点P与原点O的距离OP＝x；当P(x)中x＜0时，点P位于原点左侧，且点P与原点O的距离OP＝－x.
2．由数轴上的点与实数的对应关系可知，点越靠向右方，对应的实数越大；点对应的实数越大，点越靠向右方．
5．在数轴上，已知A(4)，B(x)，且AB＝5，求x的值及线段AB的中点坐标．
[解]　由题意，得AB＝|x－4|＝5，∴x＝－1或x＝9.
当x＝－1时，线段AB的中点坐标为＝.
当x＝9时，线段AB的中点坐标为＝.
6．已知数轴上点H是以P(－3)，Q(11)为端点的线段的中点，若MH＞5，求点M坐标的取值范围．
[解]　点H的坐标为＝4，
设M(x)，则|x－4|＞5.
∴x－4＞5或x－4＜－5，
∴x＞9或x＜－1，
即点M坐标的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
1．不等式3x＋6≤2x的解集为(　　)
A．[－6，＋∞)　　　
B．(－∞，－6]
C．[6，＋∞)
D．(－∞，6]
B　[移项得3x－2x≤－6，
即x≤－6，
故原不等式的解集为(－∞，－6]．]
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　)
B　[由不等式组得即－1≤x＜2，数轴表示正确的为B．]
3．不等式|x＋1|＞3的解集是(　　)
A．{x|x＜－4或x＞2}
B．{x|－4＜x＜2}
C．{x|x＜－4或x≥2}
D．{x|－4≤x＜2}
A　[由|x＋1|＞3，得x＋1＞3或x＋1＜－3，因此x＜－4或x＞2.]
4．已知点B(x)到原点的距离不大于4，则x的取值范围为________．
[－4,4]　[由题意，|x|≤4，所以－4≤x≤4.]
5．不等式|x－2|－|x－1|＞0中x的取值范围为________．
　[原不等式等价于|x－2|＞|x－1|，
则|x－2|2＞|x－1|2，解得x＜，
即原不等式的解集为]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．一元一次不等式组解集的求解策略是怎样的？
[提示]　(1)一元一次不等式组的解集就是每个不等式解集的交集；
(2)求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
2．如何解含有绝对值的不等式？
[提示]　(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a
{x|－a＜x＜a}
?
?
|x|＞a
{x|x＜－a或x＞a}
{x|x∈R且x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
(ⅰ)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
(ⅱ)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．
PAGE2.2.3　一元二次不等式的解法
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解一元二次不等式的定义．2．能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式．(重点、难点)3．了解简单的分式不等式，并会求其解集．(难点、易错点)
1．借助一元二次不等式的概念，培养数学抽象核心素养．2．通过学习一元二次不等式的解法，提升数学运算核心素养．3．借助简单分式不等式的解法，培养逻辑推理核心素养.
某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5
000册．要使杂志社的销量收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？
知识点一　一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等．
一元二次不等式的二次项系数a有a＞0或a＜0两种，注意a≠0.当a＜0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．
1．下列不等式中，哪些是一元二次不等式(其中a，b，c，m为常数)?
(1)ax2＞0；
(2)x3＋5x－6≥0；
(3)－x－x2≤0；
(4)x2＞0；
(5)mx2－5y＞0；
(6)ax2＋bx＋c≤0；
(7)x－＞0.
[解]　
题号
是否是一元二次不等式
理由
(1)
不是
a＝0时，不符合一元二次不等式的定义
(2)
不是
x的最高次数为3
(3)
是
符合一元二次不等式的定义
(4)
是
符合一元二次不等式的定义
(5)
不是
m＝0时，为一元一次不等式．m≠0时，含有x，y两个未知数
(6)
不是
a＝0时，x的最高次数不是2
(7)
不是
不是整式不等式
知识点二　一元二次不等式的解法
1．因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)；不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．
2．配方法解一元二次不等式
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集．
[拓展]　一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式．
(1)当k≥0时，(x－h)2＞k的解集为(－∞，h－)∪(h＋，＋∞)；(x－h)2＜k的解集为(h－，h＋)．
(2)当k＜0时，(x－h)2＞k的解集为R；
(x－h)2＜k的解集为?.
2.不等式x(x－2)＞0的解集为________，不等式x(x－2)＜0的解集为________．
[答案]　{x|x＜0或x＞2}　{x|0＜x＜2}
3.不等式(2x－5)(x＋3)＜0的解集为________．
　[原不等式可化为(x＋3)＜0，所以－3＜x＜，所以原不等式的解集为.]
4.不等式3x2－2x＋1＞0的解集是________．
R　[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]
知识点三　分式不等式的解法
1．分式不等式的概念
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．各种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形式＞0(≥0)或＜0(≤0)．
2．分式不等式的解法
解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解．
化分式不等式为标准型的方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式．
将分式不等式转化为整式不等式求解．
5.不等式≥0的解集为(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[原不等式等价于(x－1)(2x＋1)＞0或x－1＝0，解得x＜－或x＞1或x＝1，所以原不等式的解集为.]
类型1　解一元二次不等式
　解不含参数的一元二次不等式
【例1】　已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则?RA＝(　　)
A．{x|－1＜x＜2}
B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
B　[法一：由x2－x－2＞0左边因式分解得(x＋1)(x－2)＞0，解得x＜－1或x＞2，则A＝{x|x＜－1或x＞2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}．
法二：由x2－x－2＞0左边配方可得－＞0，即＞，两边开方得＞，
所以x＞2或x＜－1，
所以?RA＝{x|－1≤x≤2}．]
将本例题的条件不变，添加集合B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则(?RA)∩B＝________.
{x|1＜x≤2}　[由例题知?RA＝{x|－1≤x≤2}．
由(x－1)(x－3)＜0，解得1＜x＜3，
所以(?RA)∩B＝{x|1＜x≤2}．]
解一元二次不等式的方法有哪些？
[提示]　(1)因式分解法：不等式的左端能够进行因式分解的可用此法，它只能适用于解决一类特殊的不等式．
(2)配方法：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总可以化为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式，然后根据k值的正负即可求得不等式的解集．
　解含有参数的一元二次不等式
【例2】　解关于x的不等式ax2－x＞0.
[解]　根据题意，分情况讨论：
①当a＝0时，不等式化为－x＞0，即x＜0.
此时不等式的解集为(－∞，0)；
②当a≠0时，方程ax2－x＝0有两根，分别为0和.
当a＞0时，＞0，此时不等式的解集为(－∞，0)∪；
当a＜0时，＜0，此时不等式的解集为.
综上可得：当a＞0时，不等式的解集为(－∞，0)∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)；
当a＜0时，不等式的解集为.
含参数的一元二次不等式求解的注意事项
(1)参数只在一次项系数位置时，首先利用配方法或者因式分解法得其一元二次方程的根，然后分析根的大小作出结论．
(2)如果二次项系数为参数，则通常是先分析二次项系数的正、0、负三种情况，分别得其解后再分析解的大小，从而作出结论．
1．解不等式：x2＋(2－a)x－2a≥0.
[解]　由x2＋(2－a)x－2a≥0得，(x＋2)(x－a)≥0，
①当a＝－2时，不等式的解集是R；
②当a＞－2时，不等式的解集是(－∞，－2]∪[a，＋∞)；
③当a＜－2时，不等式的解集是(－∞，a]∪[－2，＋∞)．
类型2　解简单的分式不等式
【例3】　(1)不等式＞1的解集是________．
(2)若关于x的不等式ax－b＞0的解集是(2，＋∞)，则关于x的不等式＞0的解集是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2,2)
D．(－1,2)
[思路探究]　(1)先把分式不等式化为等价的整式不等式后再求解；(2)根据不等式及解集，可判断a的符号及＝2.将所求不等式变形，结合一元二次不等式解法即可求得解集．
(1){x|－4＜x＜－1}　(2)B　[(1)因为＞1，所以－1＞0，即＞0，所以＜0.
所以(x＋1)(x＋4)＜0，故－4＜x＜－1．
(2)由x的不等式ax－b＞0，变形可得ax＞b，因为关于x的不等式ax＞b的解集是(2，＋∞)，所以a＞0且＝2，则不等式＞0可化为＞0，即＞0，等价于a(x＋2)(x－2)＞0，
因为a＞0，解得x＜－2或x＞2，
即x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]
1．将本例(1)不等式改为≤1，求解集．
[解]　因为≤1，所以(x＋1)(x＋4)≥0，且x＋4≠0，故x≥－1或x＜－4，即x∈(－∞，－4)∪[－1，＋∞)．
2．将本例(2)中＞0，改为＜0，其他条件不变，求不等式的解集．
[解]　由题意，可得a＞0且＝2.不等式＜0可化为＜0，即＜0，等价于a(x＋2)(x－2)＜0，因为a＞0，解得－2＜x＜2，即x∈(－2,2)．
解分式不等式的步骤
类型3　两个“二次”间的关系
方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？
[提示]　方程x2－2x－3＝0的解集为{－1，3}.,不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根.
【例4】　(1)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值为(　　)
A．14　
B．－10　　　　
C．10　　　　
D．－14
(2)已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
(1)D　[(1)由已知得，
ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a＜0.
∴
解得
∴a＋b＝－14.]
(2)[解]　因为x2＋px＋q＜0的解集为
，
所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得
解得
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，
解得－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及
两个“二次”之间的关系解题的思想
(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集．
(2)应用两“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意两者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
2．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求不等式cx2－bx＋a＞0的解集．
[解]　由题意知
即
代入不等式cx2－bx＋a＞0，
得6ax2＋5ax＋a＞0(a＜0)．
即6x2＋5x＋1＜0，解得－＜x＜－，
所以所求不等式的解集为.
1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有(　　)
A．1个　　　　
B．2个
C．3个
D．4个
B　[②④一定是一元二次不等式．]
2．不等式＜0的解集为(　　)
A．{x|x＞1}
B．{x|x＜－2}
C．{x|－2＜x＜1}
D．{x|x＞1或x＜－2}
C　[原不等式等价于(x－1)(x＋2)＜0，
解得－2＜x＜1．]
3．设集合A＝{x|x2≤x}，B＝{x|0＜x≤1}，则A∩B＝(　　)
A．(0,1]
B．[0,1]
C．(－∞，1]
D．(－∞，0)∪(0,1]
A　[由题意得A＝[0,1]，故A∩B＝(0,1]．]
4．设集合M＝{x|x2－x＜0}，N＝{x|x2＜4}，则M与N的关系为________．
M?N　[因为M＝{x|x2－x＜0}＝{x|0＜x＜1}，
N＝{x|x2＜4}＝{x|－2＜x＜2}，
所以M?N.]
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值表如下：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则a＝________；不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________．
1　{x|x＜－2或x＞3}　[由表知x＝－2时，y＝0，x＝3时，y＝0，
所以二次函数y＝ax2＋bx＋c可化为：
y＝a(x＋2)(x－3)，又因为x＝1时，y＝－6，所以a＝1，图像开口向上．
结合二次函数的图像可得不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为x＜－2或x＞3.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．解一元二次不等式有哪些方法？
[提示]　(1)因式分解法：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．
(2)配方法：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得．
(3)求根公式法：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．
(4)两个“二次”间的关系法：不等式解集的端点恰好是二次方程的根．
2．含参数的一元二次不等式的解题步骤是怎样的？
[提示]　
3．解分式不等式应注意哪些问题？
[提示]　(1)注意等价转化；
(2)注意x2的系数的正负，尤其为负数时，可化负为正后再求解，否则易将范围求错；
(3)结论用集合或区间书写；
(4)特别注意分母不等于零．
PAGE2.2.4　均值不等式及其应用
第1课时　均值不等式
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．(难点)2．会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．(重点)
1．通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养．2．通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养.
如图，是第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．
问题　依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
知识点一　重要不等式
对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
1．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是(　　)
A．　　　　　　B．1　　　　　C．2　　　　　D．4
C　[xy≤＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．]
知识点二　算术平均值与几何平均值
给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值．
知识点三　均值不等式
1．均值不等式：如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．
1．均值不等式中的a，b只能是具体的数吗？
[提示]　a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．
2.均值不等式的叙述中，“正数”二字能省略吗？
[提示]　不能．如a＝－3，b＝－4，均值不等式不成立．
3．均值不等式的常见变形
(1)当a＞0，b＞0，则a＋b≥2；
(2)若a＞0，b＞0，则ab≤.
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．
(　　)
(2)若a≠0，则a＋≥2＝2.
(　　)
(3)若a>0，b>0，则ab≤.
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
[提示]　(1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立．
(2)只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a＋≥2＝2成立．
(3)因为≤，所以ab≤.
3.(对接教材P77习题2－2A⑧)已知x＞0，则y＝x＋＋2的最小值是________．
2＋2　[∵x＞0，＞0，∴y≥2＋2，当且仅当x＝，即x＝时等号成立．]
4.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是______．(填序号)
①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
③　[根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]
类型1　对均值不等式的理解
【例1】　给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2＝－2.
其中正确的推导为(　　)
A．①②　　　　　
B．①③
C．②③
D．①②③
B　[①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确；
②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的；
③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]
均值不等式使用的条件是什么？
[提示]　利用均值不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：“一正”是，要判断参数是否为正；“二定”是，要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；“三相等”是，一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立)．
1．下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x＞1，则x＋≥2＝2；
②若x＜0，则x＋＝－≤
－2＝－4；
③若a，b∈R，则＋≥2＝2.
②　[
①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x＝时，即当x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2.③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．]
类型2　利用均值不等式比较大小
【例2】　(1)已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是(　　)
A．a＋b≥2
B．＋≥2
C．≥2
D．≥
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
(1)D　(2)p＞q　[(1)由≥得a＋b≥2，
∴A成立；
∵＋≥2＝2，∴B成立；
∵≥＝2，∴C成立；
∵≤＝，∴D不一定成立．
(2)∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.∴p＞q.]
1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用均值不等式比较大小时应注意不等式成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
2．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　)
A．P＞Q＞M
B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P
D．M＞Q＞P
B　[显然＞，又因为＜
，
所以＞＞.故M＞P＞Q.]
类型3　利用均值不等式证明不等式
【例3】　已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9.
[思路点拨]　看到＋＋>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．
[证明]　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∵a，b，c互不相等，∴＋＋>9.
本例条件不变，求证：>8.
[证明]　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝
>0，∴
＝··≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∵a，b，c互不相等，
∴＞8.
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
1．对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是(　　)
A．≥　　　
B．a＋≥2
C．＋≥2
D．＋≥2
D　[A选项，当a＜0，且b＜0时不成立；B选项，当a＜0时不成立；C选项，当a与b异号时不成立．故选D．]
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a－b<0
B．0<<1
C．<
D．ab>a＋b
C　[∵a>b>0，由均值不等式知<一定成立．]
3．设0＜a＜b，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是(　　)
A．
B．b
C．2ab
D．a2＋b2
B　[∵ab＜，
∴ab＜，∴2ab＜.
∵＞＞0，∴＞，
∴a2＋b2＞.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2
＝ab－a2＝a(b－a)＞0，∴b＞a2＋b2，∴b最大．]
4．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　)
A．x＝3
B．x＝－3
C．x＝5
D．x＝－5
C　[由均值不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．]
5．若a＞0，b＞0且2a＋＝3，则的最大值为________．
　[因为a＞0，b＞0，所以2a＋＝3≥2，当且仅当2a＝，即a＝，b＝时，等号成立，所以≤.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．试比较不等式a2＋b2≥2ab与≥的区别与联系．
[提示]　(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a＞0，b＞0即可)．
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．
2．使用均值不等式应注意哪几点？
[提示]　(1)均值不等式成立的条件是a＞0，b＞0.
(2)常见的变形：a＋b≥2，ab≤，ab≤.
(3)“当且仅当a＝b时，取等号”的含义：
a＝b?＝.
(4)a，b可以是满足条件的实数，也可以是满足条件的代数式，但应保证a＞0，b＞0.
PAGE第2课时　均值不等式的应用
学
习
任
务
核
心
素
养
1．熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点)
2．会用均值不等式求解实际应用题．(难点)
1．通过均值不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.
(1)某养殖场要用100米的篱笆
围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？
(2)某农场主想用篱笆围成一个10
000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？
问题　实例中两个问题的实质是什么？如何求解？
知识点　重要结论
已知x，y都是正数．
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．
(　　)
(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.
(　　)
(3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×
[提示]　(1)由a＋b≥2可知正确．
(2)由ab≤＝4可知正确．
(3)不是常数，故错误．
2.已知a，b∈R，则“ab＞0”是“＋＞2”的(　　)
A．充分不必要条件　
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　[ab＞0时，＞0，＞0，∴＋≥2，当且仅当a＝b时取等号，故充分性不成立．反之，∵＋＞2，
∴－2＞0，∴＞0，∴ab＞0，∴“ab＞0”是“＋＞2”的必要不充分条件．]
3.设x，y∈N
满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．
100　[∵x，y∈N
，
∴20＝x＋y≥2，
∴xy≤100.]
类型1　利用均值不等式求最值
　直接利用均值不等式求最值
【例1】　(1)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)
A．80
B．77
C．81
D．82
(2)当x＞1时，的最小值为________．
(1)C　(2)8　[(1)因为x＞0，y＞0，所以≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81．
(2)令t＝＝＝(x－1)＋＋2，因为x－1＞0，所以t≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，t的最小值为8.]
利用均值不等式求最值时要注意
(1)x，y一定要都是正数．
(2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号是否能够成立．
1．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是(　　)
A．2
B．2
C．4
D．5
C　[因为a＞0，b＞0，所以＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当
即a＝b＝1时，等号成立．]
2．已知a＞0，b＞0，ab＝4，m＝b＋，n＝a＋，求m＋n的最小值．
[解]　因为m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝b＋＋a＋.
由ab＝4，那么b＝，
所以b＋＋a＋＝＋＋a＋＝＋≥2＝5，当且仅当＝，即a＝2时取等号．
所以m＋n的最小值是5.
　间接利用均值不等式求最值
【例2】　(1)已知x＜0，则3x＋的最大值为________．
(2)已知x＞2，求x＋的最小值．
(3)已知0＜x＜，求x(1－2x)的最大值．
[思路点拨]　(1)变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值．(2)(3)先对式子变形，凑定值后再利用均值不等式求最值．
(1)－12　[因为x＜0，所以－x＞0.
则3x＋＝－≤－2＝－12，
当且仅当＝－3x，即x＝－2时，3x＋取得最大值为－12.]
(2)[解]　因为x＞2，所以x－2＞0，所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，
所以当且仅当x－2＝(x＞2)，
即x＝3时，x＋的最小值为4.
(3)[解]　因为0＜x＜，所以1－2x＞0，
所以x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤＝，
所以当且仅当2x＝1－2x，
即x＝时，x(1－2x)的最大值为.
(1)若把本例(1)改为：已知x＜，试求4x－2＋的最大值．
(2)已知x＞0，求2－x－的最大值．
[解]　(1)因为x＜，所以4x－5＜0,5－4x＞0.
所以4x－5＋3＋＝－＋3
≤－2＋3＝1．
当且仅当5－4x＝时等号成立，又5－4x＞0，所以5－4x＝1，即x＝1时，4x－2＋的最大值是1．
(2)因为x＞0，所以x＋≥4，所以2－x－＝2－≤2－4＝－2，所以当且仅当x＝(x＞0)，即x＝2时，2－x－的最大值是－2.
通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．
(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提．
类型2　利用均值不等式求条件最值
【例3】　已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1．求x＋2y的最小值．
[解]　∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.
若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
[解]　∵x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，
∴＋＝(x＋2y)
＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当＝时取等号，
结合x＋2y＝1，得x＝，y＝，
∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18.
常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．
(2)把确定的定值(常数)变形为1．
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(4)利用均值不等式求最值．
3．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．
[解]　法一：＋＝·1
＝·(a＋2b)
＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2
＝3＋2，
当且仅当即时等号成立．
∴＋的最小值为3＋2.
法二：＋＝＋＝1＋＋＋2
＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当即时等号成立，
∴＋的最小值为3＋2.
类型3　利用均值不等式解决实际问题
【例4】　(对接教材P74例3)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36
m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
[解]　设每间虎笼长x
m，宽y
m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一：由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，
即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5
m，宽为3
m时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，∴0∵00.
∴S≤＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5
m，宽为3
m时，可使每间虎笼面积最大．
用均值不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意，设好变量．
(2)建立相应的关系式，把实际问题转化、抽象为最大值或最小值问题．
(3)在自变量范围内，求出最大值或最小值．
(4)结合实际意义求出正确的答案，回答实际问题．
4．某单位用2
160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2
000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
[解]　设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝.
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋＝560＋48.
当x＋取最小值时，y有最小值．
∵x>0，∴x＋≥2＝30.
当且仅当x＝，
即x＝15时，上式等号成立．
∴当x＝15时，y有最小值2
000元．
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少.
1．若正实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为(　　)
A．1　
B．2　　　　
C．2　　　　
D．4
A　[由均值不等式得，ab≤＝1，当且仅当a＝b＝1时取到等号．]
2．已知0A．
B．
C．
D．
A　[∵00，
则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．]
3．(多选题)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于＋(　　)
A．取得最值时a＝
B．最大值是5
C．取得最值时b＝
D．最小值是
AD　[因为a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，当且仅当＝且a＋b＝2，即a＝，b＝时，等号成立．]
4．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
x≤　[用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，
则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝≤＝1＋，
∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]
5．已知a＞1，当a＝________时，代数式a＋有最小值．
1＋　[∵a＞1，∴a－1＞0，＞0，
∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1
＝2＋1，
当且仅当a－1＝时，等号成立．
即a＝1＋或a＝1－(舍)时，代数式a＋有最小值．
∴a＝1＋.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：,利用均值不等式求最值有哪些技巧？
[提示]　利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配.
?1?拆——裂项拆项,对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用均值不等式凑定积创造条件.,
2?并——分组并项,目的是分组后各组可以单独应用均值不等式；或分组后先对一组应用均值不等式，再在组与组之间应用均值不等式得出最值.
?3?配——配式配系数,有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
均值不等式的常见变形与拓展
1．均值不等式的变形
由公式a2＋b2≥2ab和≥可得出以下变形不等式：
(1)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时等号成立，＋≤－2(a，b异号)，当且仅当a＝－b时等号成立．
特别地，a＋≥2(a＞0)，当且仅当a＝1时等号成立；a＋≤－2(a＜0)，当且仅当a＝－1时等号成立．
(2)(a＋b)≥4(ab＞0)，当且仅当a＝b时等号成立．
(3)≤≤≤(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时等号成立．其中＝为a，b的调和平均值，为a，b的平方平均值．此不等式链又常以ab≤≤(a，b∈R)的形式出现．
灵活运用上述变形不等式解决问题的关键在于要有这种“变形”的思想和意识，而不是死记这些变形不等式．事实上，均值不等式的变形不等式还不止上述这几种情况，上面的变形不等式只不过给我们提供了变形的思路、方法和技巧，例如，还可以变形为(a＋b)2≥4ab，＋b≥2a(b＞0)等．
上述(3)的几何意义如图所示．
其中，对CF＝，DE＝的证明如下：
在Rt△OCF中，OC＝－b，OF＝，∴CF2＝OC2＋OF2＝＋＝，∴CF＝.
∵△CDE∽△ODC，∴DC2＝DE·OD，
即DE＝＝＝.
2．均值不等式的拓展
(1)三元均值不等式
?当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
证明：设d为正数，由二元基本不等式，
得＝≥≥，当且仅当a＝b＝c＝d时，等号成立．
令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，
由此推出d3≥abc，因此≥，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
(2)n元均值不等式
≥(a1，a2，…，an＞0)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
已知a，b，c均为正实数，求证：(a＋b＋c)·≥9.
[证明]　∵a，b，c均为正实数，∴a＋b＋c≥3＞0，＋＋≥3＞0，
∴(a＋b＋c)·≥3·
3＝9.
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