资源简介 高考大题规范解答系列(一)——函数与导数考点一 利用导数解决与函数有关的极、最值问题 例1(2020·北京，19,15分)已知函数f(x)＝12－x2.(1)求曲线y＝f(x)的斜率等于－2的切线方程；(2)设曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．【标准答案】——规范答题 步步得分(1)因为f(x)＝12－x2，所以f′(x)＝－2x，1分令－2x＝－2，解得x＝1，2分又f(1)＝11，所以所求切线方程为y－11＝－2(x－1)，整理得2x＋y－13＝0.4分(2)由(1)可知f′(x)＝－2x，所以曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线斜率k＝－2t，又f(t)＝12－t2，所以切线方程为y－(12－t2)＝－2t(x－t)，6分整理得2tx＋y－(t2＋12)＝0，当x＝0时，y＝t2＋12，所以切线与y轴的交点为(0，t2＋12)，7分当y＝0时，x＝，所以切线与x轴的交点为.8分①当t>0时，S(t)＝··(t2＋12)＝，9分则S′(t)＝，10分当0当t>2时，S′(t)>0，此时S(t)在(2，＋∞)上单调递增，所以S(t)min＝S(2)＝32.11分②当t<0时，S(t)＝－；12分则S′(t)＝－，13分当t<－2时，S′(t)<0，此时S(t)在(－∞，－2)上单调递减；当－20，此时S(t)在(－2,0)上单调递增，所以S(t)min＝S(－2)＝32.14分综上所述，当t＝±2时，S(t)取最小值，为32.15分【评分细则】 ①求对导函数得1分．②解对f′(x)＝－2得1分．③写对切线方程得2分．④写对切线方程得2分．⑤求对与y轴交点得1分．⑥求对与x轴交点得1分．⑦分类讨论t≥0时写对S(t)得1分．⑧求对S(t)得1分．⑨求对S(t)的最小值得1分．分类讨论，t<0时写对S(t)得1分．?求对S′(t)得1分．?求对S(t)最小值得1分．?总结叙述正确得1分．【名师点评】 1．核心素养：利用导数研究函数的极、最值问题，首先对函数求导，分解因式，分类讨论函数在给定区间的增减情况确定极最值，重点考查学生数学运算、逻辑推理及分类的数学核心素养．2．解题技巧：(1)求出切线与x轴、y轴交点，并写出三角形的积S(t)．(2)对S(t)分类讨论，分别求最值是本题关键点．〔变式训练1〕 (2020·湖南期末统测)已知函数f(x)＝lnx＋1－2a－x＋有两个不同的极值点x1，x2.(1)求实数a的取值范围．(2)求f(x)的极大值与极小值之和的取值范围．[解析] 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值．(1)f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1－＝.因为f(x)有两个不同的极值点x1，x2，且x>0，所以x2－x＋a＝0有两个不同的正根，所以解得0(2)由(1)知x1x2＝a，x1＋x2＝1，不妨设x1所以f(x)极小值＋f(x)极大值＝f(x1)＋f(x2)＝ln(x1x2)＋2(1－2a)＋－(x1＋x2)＝lna＋2－4a.令φ(a)＝lna－4a＋2，则φ′(a)＝－4，当00，所以φ(a)在上单调递增，所以φ(a)<φ＝－2ln2＋1.又当a→0时，φ(a)→－∞，所以f(x)的极大值与极小值之和的取值范围是(－∞，－2ln2＋1).考点二 利用导数解决与不等式有关的函数问题 例2(2020·课标Ⅱ，21,12分)已知函数f(x)＝sin2xsin2x.(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；(2)证明：|f(x)|≤；(3)设n∈N，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.【标准答案】——规范答题 步步得分(1)f′(x)＝cosx(sinxsin2x)＋sinx(sinxsin2x)′＝2sinxcosxsin2x＋2sin2xcos2x＝2sinxsin3x.2分当x∈∪时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.所以f(x)在区间，单调递增，在区间单调递减.4分(2)证明：因为f(0)＝f(π)＝0，由(1)知，f(x)在区间[0，π]的最大值为f＝，5分最小值为f＝－.6分而f(x)是周期为π的周期函数，故|f(x)|≤.7分(3)证明：由于(sin2xsin22x…sin22nx)8分＝|sin3xsin32x…sin32nx|＝|sinx||sin2xsin32x…sin32n－1xsin2nx||sin22nx|9分＝|sinx||f(x)f(2x)…f(2n－1x)||sin22nx|10分≤|f(x)f(2x)…f(2n－1x)|，11分所以sin2xsin22x…sin22nx≤＝.12分【评分细则】 ①正确求得导函数并化简正确得2分．②讨论f(x)的单调性，正确得2分．③求对f(x)的最大值得1分．④求对f(x)的最小值得1分．⑤证出|f(x)|≤得1分．⑥变形正确得1分．⑦合理转化得1分．⑧转化出f(x)、f(2x)、…、f(2n－1x)得1分．⑨放缩正确得1分．⑩证出结论得1分．【名师点评】 1．核心素养：利用导数判断函数的单调性及解决与不等式有关的函数问题是高考命题的热点问题．本题主要考查“逻辑推理”及“数学运算”的核心素养．2．解题技巧：(1)讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对导数解不等式．(2)求出f(x)的最值是证明第2问的关键．(3)将不等式左边变形与f(x)及第2问结合起来是完成第3问的关键．〔变式训练2〕 (2020·河南省郑州市高三第二次质量预测)设函数f(x)＝ax2－(x＋1)lnx(a∈R)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的斜率为0.(1)求a的值；(2)求证：当0x.[解析] (1)f′(x)＝2ax－lnx－1－，由题意可得f′(1)＝2a－2＝0，∴a＝1.(2)要证f(x)>x(0只需证x－－lnx>，即证x－lnx>＋，令g(x)＝x－lnx，h(x)＝＋，由g′(x)＝1－＝0，解得x＝1，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，故g(x)min＝g(1)＝1，由h′(x)＝可知h(x)在(0,2]上单调递增，故h(x)max＝h(2)＝<1＝g(x)min，故h(x)x.考点三 利用导数解决与函数零点有关的问题 例3(2021·山东省青岛市高三模拟检测)已知函数f(x)＝aex－x－a，e＝2.71828…是自然对数的底数．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)恰有2个零点，求实数a的取值范围．【分析】 ①看到单调性想到求函数f(x)的导数．②看到f(x)恰有2个零点，想到f(x)＝0有两解或y＝f(x)图象与x轴有两个交点．【标准答案】——规范答题 步步得分(1)f′(x)＝aex－1，1分当a≤0时，f′(x)＝aex－1<0，所以x∈(－∞，＋∞)，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，2分当a>0时，令f′(x)＝aex－1＝0，得x＝－lna；所以x∈(－∞，－lna)时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减；x∈(－lna，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(－lna，＋∞)上单调递增.4分(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；又知f(0)＝0，所以f(x)仅有1个零点；5分当0a)<0，取f(－2lna)＝＋2lna－a，令函数g(a)＝＋2lna－a，得g′(a)＝－<0，所以g(a)>g(1)＝0，所以f(－2lna)＝＋2lna－a>0得f(x)在(－lna，－2lna)上也有1个零点，8分当a＝1时，f(x)≥f(0)＝0，所以f(x)仅有1个零点，9分当a>1时，f(0)＝0，所以f(－lna)<0，令函数h(a)＝a－lna，a>1得h′(a)＝1－>0，所以h(a)>h(1)>0，所以a>lna，∴－a<－lna，取f(－a)＝ae－a>0，得f(x)在(－a，－lna)上也有1个零点，综上可知：若f(x)恰有2个零点，则a∈(0,1)∪(1，＋∞).12分【评分细则】 ①求对导函数得1分．②求对a≤0单调区间得1分．③求对a>0单调区间得2分．④求对a≤0时f(x)只有一个零点得1分．⑤求对0⑥求对a＝1时f(x)有一个零点得1分．⑦求对a>1时f(x)有两个零点，并进行综述得3分．【名师点评】 1．核心素养：本题主要考查导数与函数单调性的关系、零点存在性定理，考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算．2．解题技巧：(1)通过求导，分类讨论，进而求单调区间．(2)通过(1)的分析知道函数f(x)的单调性、最值，讨论f(x)零点的个数，从而得出结论．〔变式训练3〕 (2020·全国Ⅲ，21)设函数f(x)＝x3＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点处的切线与y轴垂直．(1)求b.(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.[解析] 本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、极值、零点．(1)f′(x)＝3x2＋b.依题意得f′＝0，即＋b＝0，故b＝－.(2)证明：由(1)知f(x)＝x3－x＋c，f′(x)＝3x2－.令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.f′(x)与f(x)的情况为：x－f′(x)＋0－0＋f(x)?c＋?c－?因为f(1)＝f＝c＋，所以当c<－时，f(x)只有大于1的零点．因为f(－1)＝f＝c－，所以当c>时，f(x)只有小于－1的零点．由题设可知－≤c≤.当c＝－时，f(x)只有两个零点－和1.当c＝时，f(x)只有两个零点－1和.当－综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.PAGE高考大题规范解答系列(五)——解析几何考点一 范围问题例1 (2018·浙江高考)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x＜0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．【分析】 ①设出A，B的坐标及点P的坐标，利用PA，PB的中点在抛物线上建立方程，利用根与系数的关系求得点A，B，P的纵坐标之间的关系，由此证明结论成立．②先根据根与系数的关系，求得|PM|，再表示出△PAB的面积，最后结合点P在椭圆上，并利用二次函数在给定区间的值域，求得三角形面积的取值范围．【标准答案】——规范答题 步步得分(1)设P(x0，y0)，A，B．1分因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程2＝4·，即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根．3分所以y1＋y2＝2y0，4分因此，PM垂直于y轴．5分(2)由(1)可知所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，7分|y1－y2|＝2．9分因此，△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0)，10分因为x＋＝1(x0＜0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]，因此，△PAB面积的取值范围是．12分【评分细则】 ①设出点的坐标得1分．②利用PA，PB的中点在C上，建立二次方程得2分．③由韦达定理得y1＋y2＝2y0得1分．④由y1＋y2＝2y0得点M的纵坐标为y0，又点P纵坐标为y0，因此PM垂直于y轴，得1分．⑤结合韦达定理求|PM|，得2分．⑥求出|y1－y2|，得2分．⑦正确写出△PAB的面积，得1分．⑧合理的转化为二次函数求出△PAB面积的范围，得2分．【名师点评】 1．核心素养：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学抽象、数学运算．2．解题技巧：在解析几何中，求某个量(直线斜率，直线在x、y轴上的截距，弦长，三角形或四边形面积等)的取值范围或最值问题的关键是利用条件把所求量表示成关于某个变量(通常是直线斜率，动点的横、纵坐标等)的函数，并求出这个变量的取值范围(即函数的定义域)，将问题转化为求函数的值域或最值．3．解决范围问题的答题模板—↓—↓—〔变式训练1〕 (2021·山东烟台期末)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是其右焦点，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点，|AF|＋|BF|＝8．(1)求椭圆的标准方程；(2)设Q(3,0)，若∠AQB为锐角，求实数k的取值范围．[解析] (1)设F1为椭圆的左焦点，连接F1B，由椭圆的对称性可知，|AF|＝|F1B|，所以|AF|＋|BF|＝|BF1|＋|BF|＝2a＝8，所以a＝4，又e＝＝，a2＝b2＋c2，解得c＝2，b＝2，∴椭圆的标准方程为＋＝1．(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，联立，得(4k2＋1)x2－16＝0，所以x1＋x2＝0，x1x2＝，因为∠AQB为锐角，所以·＞0，所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝9－3(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2＝9－3(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＝9－＞0，解得k＞或k＜－．考点二 定点、定值问题例2 (2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝．(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【分析】 ①看到求点P的轨迹方程，想到先设出点的坐标，然后利用已知条件，采用代入法求轨迹方程．②看到过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F，想到证明⊥．【标准答案】——规范答题 步步得分(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)．＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，1分由＝，得x0＝x，y0＝y，3分因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，5分因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2．6分(2)由题意知F(－1,0)，设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，7分·＝3＋3m－tn，8分＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)，9分由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，10分又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0．所以·＝0，即⊥，11分又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．12分【评分细则】 ①设出点的坐标，并求出和得1分．②由＝，正确求出x0＝x，y0＝y得2分．③代入法求出＋＝1得2分．④化简成x2＋y2＝2得1分．⑤求出和的坐标得1分．⑥正确求出·的值得1分．⑦正确求出和的坐标得1分．⑧正确得出－3m－m2＋tn－n2＝1得1分．⑨得出⊥得1分．⑩写出结论得1分．【名师点评】 1．核心素养：圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的热点问题，常与向量巧妙交汇，综合考查考生“数学运算”的核心素养．2．解题技巧：(1)得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(2)问中求出－3m－m2＋tn－n2＝1就得分．(2)得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(2)问一定要写出·＝0，即⊥，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分．3．解决定值(点)问题的答题模板—↓—↓—↓—〔变式训练2〕(1)(2021·广西南宁、玉林、贵港等市联考)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，右顶点是A(2,0)，离心率为．①求椭圆C的方程；②若直线l与椭圆交于两点M，N(M，N不同于点A)，若·＝0，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．(2)已知A、B分别为椭圆E：＋y2＝1(a＞1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8，P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．①求E的方程；②证明：直线CD过定点．[解析] (1)①右顶点是A(2,0)，离心率为，所以a＝2，＝，∴c＝1，则b＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1．②当直线MN斜率不存在时，设lMN：x＝m，与椭圆方程＋＝1联立得：|y|＝，|MN|＝2，设直线MN与x轴交于点B，|MB|＝|AB|，即＝2－m，∴m＝或m＝2(舍)，∴直线m过定点；当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线MN：y＝kx＋b(k≠0)，与椭圆方程＋＝1联立，得(4k2＋3)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2，Δ＝(8kb)2－4(4k2＋3)(4b2－12)＞0，k∈R，·＝0，则(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝0，即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，∴7b2＋4k2＋16kb＝0，∴b＝－k或b＝－2k，∴直线lMN：y＝k或y＝k(x－2)，∴直线过定点或(2,0)舍去；综上知直线过定点．(2)①依据题意作出如下图形：由椭圆方程E：＋y2＝1(a＞1)可得：A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)，∴＝(a,1)，＝(a，－1)，∴·＝a2－1＝8，∴a2＝9，∴椭圆方程为：＋y2＝1．②证明：设P(6，y0)，则直线AP的方程为：y＝(x＋3)，即：y＝(x＋3)，联立直线AP的方程与椭圆方程可得：，整理得：(y＋9)x2＋6yx＋9y－81＝0，解得：x＝－3或x＝，将x＝代入直线y＝(x＋3)可得：y＝，所以点C的坐标为．同理可得：点D的坐标为，∴直线CD的方程为：y－＝·，整理可得：y＋＝·＝整理得：y＝x＋＝·故直线CD过定点．考点三 最值问题例3 (2021·吉林模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ(其中0为坐标原点)；②当最小时，求点T的坐标．【分析】 —↓—【标准答案】——规范答题 步步得分(1)由已知可得解得a2＝6，b2＝2．2分所以椭圆C的标准方程是＋＝1．3分(2)①由(1)可得点F的坐标是(－2,0)，设点T的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率是kTF＝＝－m．当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2．当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．5分设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0．其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0，所以y1＋y2＝，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝．所以PQ的中点M的坐标为．7分所以直线OM的斜率是kOM＝－．又直线OT的斜率kOT＝－，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ．8分②由①可得|TF|＝，9分|PQ|＝＝＝＝．10分所以＝＝≥＝．当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时取等号，此时取得最小值，11分所以当最小时，点T的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．12分【评分细则】 ①列方程组求出a2与b2给2分．②写出椭圆的标准方程给1分．③根据题意恰当设出直线方程，给2分，不讨论m＝0的情况，扣1分．④方程联立消元，结合韦达定理求出点M的坐标，给2分．⑤证明OT平分线段PQ，给1分．⑥写出|TF|的表达式，给1分．⑦写出|PQ|的表达式，给1分．⑧写出的表达式，利用均值不等式确定最小值，给1分．⑨正确写出点T的坐标，给1分．【名师点评】 1．核心素养：本题主要考查椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等知识，是一道综合能力较强的题，意在考查考生的分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力．2．解题技巧：(1)注意通性通法的应用在解题过程中，注意答题要求，严格按照题目及相关知识的要求答题，不仅注意解决问题的巧解，更要注意此类问题的通性通法．如在解决本例(2)①时，注意本题的实质是直线与圆锥曲线的相交问题，因此设出直线方程，然后联立椭圆方程构造方程组，利用根与系数关系求出y1＋y2，y1y2的值即为通法．(2)关键步骤要全面阅卷时，主要看关键步骤、关键点，有关键步骤、关键点则得分，没有要相应扣分，所以解题时要写全关键步骤，踩点得分，对于纯计算过程等非得分点的步骤可简写或不写，如本例(2)中，消元化简时，可直接写出结果，利用弦长公式求|PQ|时，也可省略计算过程．3．最值问题(1)常见解法有两种：几何法与代数法．①若题目中的条件或结论能明显体现某种几何特征及意义，或反映出了某种圆锥曲线的定义，则直接利用图形的性质或圆锥曲线的定义来求解，这就是几何法．②将圆锥曲线中的最值问题通过建立目标函数，转化为函数的最值问题，再充分利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等相关知识去求解，这就是代数法．(2)易错点①利用基本不等式求最值问题要指出能取到最值，或求出取到最值的条件；②利用函数观点解决最值问题时，要注意自变量的取值范围．4．解决最值问题的答题模板————例4 (2020·全国卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM斜率为．(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．[解析] (1)由题意可知直线AM的方程为：y－3＝(x－2)，即x－2y＝－4．当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(2,3)，可得＋＝1，解得b2＝12．所以C的方程：＋＝1．(2)设与直线AM平行的直线方程为：x－2y＝m，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．联立直线方程x－2y＝m与椭圆方程＋＝1可得3(m＋2y)2＋4y2＝48，化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，即m2＝64，解得m＝±8．与AM距离比较远的直线方程x－2y＝8，直线AM方程为x－2y＝－4．点N到直线的距离即两平行线之间的距离d＝＝，由两点间距离公式可得|AM|＝＝3，所以△AMN的面积的最大值为×3×＝18．〔变式训练3〕(1)(2021·广东新高考适应性考试)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2，A，B在椭圆C上，且＋＝0，△ABF1的周长为8．①求椭圆C的标准方程；②过椭圆C上的动点M作C的切线l，过原点O作OP⊥l于点P，求△OMP的面积的最大值．(2)(2021·广东梅州质检)已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切．①求抛物线C的方程；②过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．[解析] (1)①由＋＝0，可知A，B，F2三点共线，且AB⊥x轴．由△ABF1的周长为8，得4a＝8，所以a＝2，且b＝，所以椭圆C的标准方程为＋＝1．②显然直线l斜率存在且不为0，设直线l：y＝kx＋t，联立得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－12＝0，且Δ＝64k2t2－4(3＋4k2)(4t2－12)＝0，得t2＝4k2＋3，所以xM＝＝－．联立得xP＝－，所以|OP|＝·＝，则|MP|＝·＝·＝，所以S△OMP＝|MP|·|OP|＝··＝·＝·≤，当且仅当k＝±1时取等号，所以△OMP的面积的最大值为．(2)①∵直线l：x－y＋1＝0与抛物线C相切，由消去x得，y2－2py＋2p＝0，从而Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2．∴抛物线C的方程为y2＝4x．②由于直线m的斜率不为0，所以可设直线m的方程为ty＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去x得，y2－4ty－4＝0，∴y1＋y2＝4t，从而x1＋x2＝4t2＋2，∴线段AB的中点M的坐标为(2t2＋1,2t)．设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，则dA＋dB＝2d＝2·＝2|t2－t＋1|＝2．∴当t＝时，可使A、B两点到直线l的距离之和最小，距离的最小值为．高考大题规范解答系列(四)——立体几何考点一 线面的位置关系与体积计算例1 (2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．【分析】 ①看到证明线线垂直(AC⊥BD)，想到证明线面垂直，通过线面垂直证明线线垂直．②看到求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比，想到确定同一平面，转化为求高的比．【标准答案】——规范答题 步步得分(1)取AC的中点O，连接DO，BO．1分因为AD＝CD，所以AC⊥DO．又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO．又因为DO∩BO＝O，从而AC⊥平面DOB，3分故AC⊥BD．4分(2)连接EO．5分由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO．在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°．7分由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝AC．8分又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD．故E为BD的中点，9分从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，11分即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1．12分【评分细则】 ①作出辅助线，并用语言正确表述得1分．②得出AC⊥DO和AC⊥BO得1分，由线面垂直的判定写出AC⊥平面DOB，再得1分．③由线面垂直的性质得出结论得1分．④作出辅助线，并用语言正确表述得1分．⑤由勾股定理逆定理得到∠DOB＝90°得2分．⑥由直角三角形的性质得出EO＝AC得1分．⑦由等边三角形的性质得出E为BD的中点，得1分．⑧得出四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的得2分．⑨正确求出体积比得1分．【名师点评】 1．核心素养：空间几何体的体积及表面积问题是高考考查的重点题型，主要考查考生“逻辑推理”及“直观想象”的核心素养．2．解题技巧：(1)得步骤分：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中的得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以，对于得分点步骤一定要写，如第(1)问中AC⊥DO，AC⊥BO；第(2)问中BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2等．(2)利用第(1)问的结果：如果第(1)问的结果对第(2)问的证明或计算用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题就是在第(1)问的基础上得到DO＝AO．〔变式训练1〕(2020·课标Ⅰ，19)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO＝，圆锥的侧面积为π，求三棱锥P－ABC的体积．[解析] (1)证明：由题设可知，PA＝PB＝PC．由于△ABC是正三角形，故可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC．又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°，从而PB⊥PA，PB⊥PC，故PB⊥平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC．(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l．由题设可得rl＝，l2－r2＝2．解得r＝1，l＝．从而AB＝．由(1)可得PA2＋PB2＝AB2，故PA＝PB＝PC＝．所以三棱锥P－ABC的体积为××PA×PB×PC＝××3＝．考点二 线面的位置关系与空间角计算例2 (2021·山西省联考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，O，M分别为BC，AA1的中点．(1)证明：OM∥平面CB1A1；(2)若四边形BB1C1C为正方形，求平面MOB1与平面CB1A1所成二面角的正弦值．【分析】 ①在平面A1B1C内构造与OM平行的直线，并证明；②建立空间直角坐标系，分别求平面MOB1、平面CB1A1的法向量，求两法向量夹角正弦值即可．【标准答案】——规范答题 步步得分(1)证明：如图，连接BC1，交CB1于点N，连接A1N，ON，则N为CB1的中点．因为O为BC的中点，所以ON∥BB1，且ON＝BB1，2分又MA1∥BB1，MA1＝BB1，所以四边形ONA1M为平行四边形，即OM∥A1N．4分因为OM?平面CB1A1，A1N?平面CB1A1，所以OM∥平面CB1A1．5分(2)解：连接OA，令BC＝2，因为AB＝AC，O为BC的中点，所以AO⊥BC．又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，ON∥BB1，所以OA，OB，ON两两垂直，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz．6分因为AB＝AC＝，BC＝AA1＝2，所以O，B1，M，C，所以＝＝，＝，＝．7分设平面MOB1的法向量为m＝，则即令z＝1，可得y＝－1，x＝2，所以平面MOB1的一个法向量为m＝．8分设平面CB1A1的法向量为n＝，则即令c＝1，可得b＝－1，a＝1，所以平面CB1A1的一个法向量为n＝，9分所以cos〈m，n〉＝＝＝，11分所以平面MOB1与平面CB1A1所成二面角的正弦值为．12分【评分细则】 ①第一问共5分，证出ON∥BB1和ON＝BB1得2分，证出OM∥A1N得2分，未说明OM?平面CB1A1，直接证出OM∥平面CB1A1，扣1分．②第二问共7分，建立空间直角坐标系，并正确写出坐标得2分，写出平面MOB1的法向量与平面CB1A1的法向量各得1分．③其他方法按步骤酌情给分．【名师点评】 1．核心素养：本题主要考查线面平行的证明以及空间二面角的求解，考查考生的逻辑推理能力与空间想象力，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算．2．解题技巧：(1)得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写，如第(1)问中写出OM∥平面CB1A1成立的条件，写不全则不能得全分．(2)思维发散：①注意到O、M分别为BC、AA1的中点，考虑构造三角形中位线证明(1)．连BM并延长与B1A1的延长线相交于H，连CH，由M为AA1的中点，∴AM＝MA1，又AB∥A1B1，∴∠ABM＝∠MHA1，又∠AMB＝∠HMA1，∴△ABM≌△A1HM，∴BM＝MH，又O为BC中点，∴MO∥CH，又MO?平面CB1A1，CH?平面CB1A1，∴OM∥平面CB1A1．②注意到解答(2)需求平面CB1A1的法向量n，故要证明OM∥平面CB1A1，可直接建立空间直角坐标系，求出n，证明n·＝0，说明OM?平面CB1A1即可得证．〔变式训练2〕(2020·浙江，19)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC．(1)证明：EF⊥DB；(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．[解析] (1)证明：如图，过点D作DO⊥AC，交直线AC于点O，连接OB．由∠ACD＝45°，DO⊥AC得CD＝CO，由平面ACFD⊥平面ABC得DO⊥平面ABC，所以DO⊥BC．由∠ACB＝45°，BC＝CD＝CO得BO⊥BC．所以BC⊥平面BDO，故BC⊥DB．由三棱台ABC－DEF得BC∥EF，所以EF⊥DB．(2)解法一：过点O作OH⊥BD，交直线BD于点H，连接CH．由三棱台ABC－DEF得DF∥CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，由BC⊥平面BDO得OH⊥BC，故OH⊥平面BCD，所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角．设CD＝2，由DO＝OC＝2，BO＝BC＝，得BD＝，OH＝，所以sin∠OCH＝＝，因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为．解法二：由三棱台ABC－DEF得DF∥CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，记为θ．如图，以O为原点，分别以射线OC，OD为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz．设CD＝2．由题意知各点坐标如下：O(0,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2)．因此＝(0,2,0)，＝(－1,1,0)，＝(0，－2,2)．设平面BCD的法向量n＝(x，y，z)．由即可取n＝(1,1,1)．所以sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝．因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为．考点三 立体几何中的折叠问题例3 (2021·启东模拟)如图，已知在等腰梯形ABCD中，AE⊥CD，BF⊥CD，AB＝1，AD＝2，∠ADE＝60°，沿AE，BF折成三棱柱AED－BFC．(1)若M，N分别为AE，BC的中点，求证：MN∥平面CDEF；(2)若BD＝，求二面角E－AC－F的余弦值．【分析】 ①利用面面平行的判定和性质即可证明；②建立空间直角坐标系，分别求出二面角两个面的法向量，利用空间向量法求解．【标准答案】——规范答题 步步得分(1)取AD的中点G，连接GM，GN，在三角形ADE中，∵M，G分别为AE，AD的中点，∴MG∥DE，∵DE?平面CDEF，MG?平面CDEF，∴MG∥平面CDEF．2分由于G，N分别为AD，BC的中点，由棱柱的性质可得GN∥DC，∵CD?平面CDEF，GN?平面CDEF，∴GN∥平面CDEF．3分又GM?平面GMN，GN?平面GMN，MG∩NG＝G，∴平面GMN∥平面CDEF，4分∵MN?平面GMN，∴MN∥平面CDEF．5分(2)连接EB，在Rt△ABE中，AB＝1，AE＝，∴BE＝2，又ED＝1，DB＝，∴EB2＋ED2＝DB2，∴DE⊥EB，又DE⊥AE且AE∩EB＝E，∴DE⊥平面ABFE．∴EA、EF、ED两两垂直．7分建立如图所示的空间直角坐标系，可得E(0,0,0)，A(，0,0)，F(0,1,0)，C(0,1,1)，＝(－，1,1)，＝(－，0,0)，＝(0,0,1)．8分设平面AFC的法向量为m＝(x，y，z)，则则z＝0，令x＝1，得y＝，则m＝(1，，0)为平面AFC的一个法向量，设平面ACE的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则则x1＝0，令y1＝1，得z1＝－1，∴n＝(0,1，－1)为平面ACE的一个法向量．10分设m，n所成的角为θ，则cosθ＝＝＝，由图可知二面角E－AC－F的余弦值是．12分【评分细则】 ①由线线平行得到线面平行，给2分．②同理再推出一个线面平行，给1分．③由线面平行推出面面平行，给1分．④由面面平行得到线面平行，给1分．⑤由线线垂直证出线面垂直，为建系作好准备，给2分．⑥建立适当坐标系，写出相应点的坐标及向量坐标，给1分．⑦正确求出平面的法向量，给2分．⑧利用公式求出两个向量夹角的余弦值，并正确写出二面角的余弦值，给2分．【名师点评】 1．核心素养：本题考查线面平行的判定与性质定理，考查二面角的求解，考查的数学核心素养是空间想象力、推理论证能力及数学运算能力．2．解题技巧：(1)得分步骤：第(1)问中的DE?平面CDEF，MG?平面CDEF，要写全．(2)得分关键：第(2)中，证明线面垂直从而得到线线垂直，才能建系．(3)折叠问题的求解，关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化，对于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．〔变式训练3〕(2021·河北质检)如图1：在△ABC中，AB⊥BC，AB＝2BC＝4，点E，F分别是线段AB和AC的中点．如图2：以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置．(1)证明：平面FPC⊥平面BPC；(2)若△PEB为等边三角形，求二面角C－PF－E的余弦值．[解析] (1)证明：如图，设M，N分别为线段PB，PC的中点，连接EM，MN，FN，故MN綊BC．由E，F分别是线段AB和AC的中点，得PE＝BE，PF＝CF，EF綊BC，故EF綊MN，所以EM綊FN．又M，N分别为线段PB，PC的中点，所以EM⊥PB，FN⊥PC．又EM綊FN，所以FN⊥PB，所以FN⊥平面PBC．又FN?平面FPC，所以平面FPC⊥平面BPC．(2)解：因为BC⊥AB，所以翻折后有BC⊥BE，BC⊥EP，所以BC⊥平面PBE，故平面PBE⊥平面BCFE．若△PEB为等边三角形，则PB＝2．设O为BE的中点，连接PO，故PO⊥BE，故PO⊥平面BCFE．以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OP的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz．则C(1,2,0)，F(－1,1,0)，E(－1,0,0)，P(0,0，)．设n＝(x1，y1，z1)为平面PEF的法向量，则即可取n＝(－，0,1)．设m＝(x2，y2，z2)为平面PCF的法向量，则即可取m＝(1，－2，－)．所以cos〈n，m〉＝＝＝－，由题意，可知二面角C－PF－E为钝角．所以二面角C－PF－E的余弦值为－．考点四 立体几何中的探索性问题例4 (2021·陕西省西安中学模拟)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E是BC中点，F是PC上的点．(1)求证：平面AEF⊥平面PAD；(2)若M是PD的中点，当AB＝AP时，是否存在点F，使直线EM与平面AEF的所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【分析】 ①利用面面垂直的判定定理，证AE⊥平面PAD或证AD⊥平面AEF即可；②建立空间直角坐标系，假设符合条件的点F存在，且＝λ，利用向量法求解λ回答．【标准答案】——规范答题 步步得分(1)连接AC，因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，所以△ABC是正三角形，1分∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD，2分∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，3分又PA∩AD＝A，∴AE⊥平面PAD，4分又AE?平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD．5分(2)又PA⊥AD，∴PA、AE、AD两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，6分不妨设AB＝AP＝2，则AE＝，则A(0,0,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，M(0,1,1)，7分设＝λ＝λ，0≤λ≤1，则＝＋＝(0,0,2)＋λ(，1，－2)＝(λ，λ，2－2λ)，又＝，设n＝是平面AEF的一个法向量，则，取z＝λ，得n＝(0,2λ－2，λ)，10分设直线EM与平面AEF所成角为θ，由＝，得：sinθ＝＝＝＝．化简得：10λ2－13λ＋4＝0，解得λ＝或λ＝，11分故存在点F满足题意，此时为或．12分【评分细则】 ①证出△ABC是正三角形得1分．②证出AE⊥AD得1分．③由线面垂直性质证出PA⊥AE得1分，不写AE?平面ABCD不得分．④由线面垂直的判定证出AE⊥平面PAD得1分．⑤证出平面AEF⊥平面PAD得1分，条件不全不得分．⑥建出空间直角坐标系得1分．⑦设出＝λ得1分．⑧求出平面AEF的法向量得3分，算错但写出，坐标得1分．⑨求出λ得2分，算错但写出sinθ＝|cos〈，n〉|＝得1分．⑩得出正确结论得1分．【名师点评】 1．核心素养：本题考查线面的位置关系及线面角，考查学生转化与化归的思想，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．2．解题技巧：(1)写全得分步骤：对于解题过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写，如第(1)问中AE?平面ABCD．(2)写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在解答时一定要写清得分关键点，如第(2)问中空间直角坐标系的建立；再如＝＋等．(3)思维发散：也可通过证AD⊥PA、AD⊥AE证得AD⊥平面AEF，进而证得平面AEF⊥平面PAD．〔变式训练4〕(2021·陕西省质检)如图所示，等腰梯形ABCD的底角∠BAD＝∠ADC＝60°，直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，且∠EDA＝90°，ED＝AD＝2AF＝2AB＝2．(1)证明：平面ABE⊥平面EBD；(2)点M在线段EF上，试确定点M的位置，使平面MAB与平面ECD所成的锐二面角的余弦值为．[解析] (1)证明：∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴ED⊥AB，∵AB＝1，AD＝2，∠BAD＝60°，∴BD＝＝，∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD，又∴BD?平面BDE，BD∩ED＝D，AB⊥平面BDE，AB?平面ABE，∴平面ABE⊥平面EBD．(2)以B为坐标原点，以BA，BD为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，则A(1,0,0)，B(0,0,0)，C，D(0，，0)，E(0，，2)，F(1,0,1)，则＝，＝(0,0,2)，＝(1,0,0)，＝(1，－，－1)，设＝λ＝(λ，－λ，－λ)，(0≤λ≤1)，则＝＋＝(λ，－λ，2－λ)，设平面CDE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABM的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则即不妨取y1＝1，则m＝(－，1,0)，不妨取y2＝2－λ，则n＝(0,2－λ，λ－)，∴|cosθ|＝＝＝，即λ＝或λ＝(舍)，即点M为线段EF的中点时，平面MAB与平面ECD所成的锐二面角的余弦值为．PAGE高考大题规范解答系列(三)——数列考点一 判断等差数列和等比数列例1(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．【分析】 (1)看到S2＝2，S3＝－6，想到S2＝a1＋a2，S3＝a1＋a2＋a3，利用等比数列的通项公式求解．(2)看到判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列，想到等差数列的等差中项，利用2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2进行证明．【标准答案】——规范答题 步步得分(1)设{an}的首项为a1，公比为q.由题设可得2分解得q＝－2，a1＝－2.4分故{an}的通项公式为an＝(－2)n.6分(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n，8分由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n＝2[－＋(－1)n]＝2Sn，11分故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.12分【评分细则】 ①列出关于首项为a1，公比为q的方程组得2分．②能够正确求出a1和q得2分，只求对一个得1分，都不正确不得分．③正确写出数列的通项公式得2分．④正确计算出数列的前n项和得2分．⑤能够正确计算出Sn＋1＋Sn＋2的值得2分，得出结论2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2再得1分．⑥写出结论得1分．【名师点评】 1．核心素养：数列问题是高考的必考题，求数列的通项公式及判断数列是否为等差或等比数列是高考的常见题型．本类题型重点考查“逻辑推理”及“数学运算”的学科素养．2．解题技巧：(1)等差(或等比)数列的通项公式、前n项和公式中有五个元素a1、d(或q)、n、an、Sn，“知三求二”是等差(等比)的基本题型，通过解方程的方法达到解题的目的．(2)等差、等比数列的判定可采用定义法、中项法等．如本题采用中项法得出2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2.〔变式训练1〕(2021·四川省名校联盟模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝－an＋n(n∈N)．(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列{an－1}的前n项和Tn.[解析] (1)证明：∵2Sn＝－an＋n，当n＝1时，2a1＝－a1＋1，解得a1＝.当n≥2时，2Sn－1＝－an－1＋n－1，两式相减，得2an＝－an＋an－1＋1，即an＝an－1＋.∴an－＝，又a1－＝－≠0，∴数列为等比数列．(2)由(1)知，数列是以－为首项，为公比的等比数列．∴an－＝－n－1＝－n，∴an＝－n＋，∴an－1＝－n－，∴Tn＝－＝－.考点二 等差、等比数列的综合问题例2(2020·天津，19,15分)已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5(a4－a3)，b5＝4(b4－b3)．(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，求证：SnSn＋2)；(3)对任意的正整数n，设cn＝求数列{cn}的前2n项和．【分析】 (1)看到求{an}和{bn}的通项公式，想到求a1，b1，公差d和公比q.(2)看到求证SnSn＋2(3)看到数列求和且cn通项分奇、偶，因此想到分组求和．【标准答案】——规范答题 步步得分(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a1＝1，a5＝5(a4－a3)，可得d＝1，1分从而{an}的通项公式为an＝n.2分由b1＝1，b5＝4(b4－b3)，又q≠0，可得q2－4q＋4＝0，解得q＝2，3分从而{bn}的通项公式为bn＝2n－1.4分(2)证明：由(1)可得Sn＝，5分故SnSn＋2＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，S＝(n＋1)2·(n＋2)2，6分从而SnSn＋2－S＝－(n＋1)(n＋2)<0，所以SnSn＋28分(3)当n为奇数时，cn＝＝＝－；9分当n为偶数时，cn＝＝.10分对任意的正整数n，有2k－1＝＝－1，11分和2k＝＝＋＋＋…＋.①12分由①得2k＝＋＋…＋＋.②由①－②得2k＝＋＋…＋－＝－－，从而得2k＝－.14分因此，k＝2k－1＋2k＝－－.所以，数列{cn}的前2n项和为－－.15分【评分细则】 ①正确写出关于d的方程，求对d得1分．②求对an的通项公式得1分．③正确写出关于q的一元二次方程，求对q得1分．④求对bn的通项公式得1分．⑤求对Sn的公式得1分．⑥求对SnSn＋2，S得1分．⑦求对SnSn＋2－S的结果并证出结论得2分．⑧求对n为奇数时cn得1分．⑨求对n为偶数时cn得1分．⑩求对n＝2k－1时2k－1得1分．?写出n＝2k时2k得1分．?用错位相减法求对2k的求和得2分．?求对cn的前2n项和得1分．【名师点评】 1．核心素养：数列的前n项和是高考重点考查的知识点，错位相减法是高考考查的重点，突出考查“数学运算”的核心素养．2．解题技巧：(1)熟记等差、等比数列的通项公式及前n项和公式，解题时结合实际情况合理选择．如第(1)问运用了等差、等比数列的通项公式．(2)运用作差比较法证明SnSn＋2(3)本问的关键有两点：一是分类分别求cn的通项；二是当n＝2k时用错位相减法求c2k的和．〔变式训练2〕(2018·天津，18)设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N)，{bn}是等差数列．已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N)．①求Tn；②证明：＝－2(n∈N)．[解析] (1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)．由a1＝1，a3＝a2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q>0，可得q＝2，故an＝2n－1.设等差数列{bn}的公差为d.由a4＝b3＋b5，可得b1＋3d＝4.由a5＝b4＋2b6，可得3b1＋13d＝16，从而b1＝1，d＝1，故bn＝n.所以，数列{an}的通项公式为an＝2n－1，数列{bn}的通项公式为bn＝n.(2)①由(1)，有Sn＝＝2n－1，故Tn＝(2k－1)＝k－n＝－n＝2n＋1－n－2.②证明：因为＝＝＝－，所以，＝＋＋…＋＝－2.PAGE高考大题规范解答系列(六)——概率与统计考点一 离散型随机变量的分布列与期望例1(2021·山西联考)已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同．现从甲盒中任取三个球放入乙盒中．(1)求乙盒中红球个数X的分布列与期望；(2)求从乙盒中任取一球是红球的概率．【标准答案】——规范答题 步步得分(1)由题意知X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，2分P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，4分所以X的分布列为X0123P5分所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.6分(2)当乙盒中红球个数为0时，P1＝0，7分当乙盒中红球个数为1时，P2＝×＝，8分当乙盒中红球个数为2，P3＝×＝，9分当乙盒中红球个数为3时，P4＝×＝，10分所以从乙盒中任取一球是红球的概率为P1＋P2＋P3＋P4＝.12分【评分细则】(1)第一问中，正确算出P(X＝0)，P(X＝1)，P(X＝2)，P(X＝3)各得1分，列出分布列得1分，求出期望得1分．(2)第二问中，分类讨论，每种情况各占1分．(3)其他方法按步骤酌情给分．例2(2019·课标Ⅰ，21)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈，则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．【标准答案】——规范答题 步步得分(1)X的所有可能取值为－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)·(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)4分(2)①由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.5分因此pi＝0.4Pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1).6分又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列.7分②由①可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝p1.由于p8＝1，故p1＝，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝p1＝.10分p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.0039，11分此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.12分【评分细则】①每个式子1分，表格1分；给出X的可能取值给1分；②得出a、b、c的值(有正确的)得1分；③得到Pi＋1－Pi＝4(Pi－Pi－1)得1分；④给出结论得1分；⑤得出P8，P4，P1的表达式各得1分；⑥说明P4非常小得1分；⑦说明实验方案合理得1分．【名师点评】1．核心素养：本题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的期望、方差的应用、二项分布、决策问题等，考查数据处理能力、运算求解能力，考查或然与必然思想，考查的核心素养的逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析．2．解题技巧：破解此类题的关键：一是认真读题，读懂题意；二是会利用导数求最值；三是会利用公式求服从特殊分布的离散型随机变量的期望值；四是会利用期望值，解决决策型问题．〔变式训练1〕(2021·湖南五市十校教研教改共同体联考)某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答．竞答分为必答题(共5题)和选答题(共2题)两部分．每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响．已知甲同学答对每道必答题的概率为，答对每道选答题的概率为.(1)求甲恰好答对4道必答题的概率；(2)在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分．已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为，试求甲同学在选答题阶段，得分X的分布列．[解析] (1)甲恰好答对4道必答题的概率为P＝C4×＝.(2)依题意，每道题选择回答并答对的概率为×＝，选择回答且答错的概率为×＝，选择放弃回答的概率为.甲得分的可能性为－4分，－2分，0分，3分，5分和10分．所以P(X＝－4)＝，P(X＝－2)＝C××＝，P(X＝0)＝×＝，P(X＝3)＝C×××＝，P(X＝5)＝C××＝，P(X＝10)＝××2＝.所以X的分布列为X－4－203510P考点二 线性回归分析例3(2018·全国2)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资y(单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①；＝－30.4＋13.5t，根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【分析】 (1)模型①中取t＝19，模型②中取t＝9，求出对应的函数值即可；(2)利用所给折线图中数据的增长趋势，加以分析即可．【标准答案】——规范答题 步步得分(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元).3分利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝99＋17.5×9＝256.5(亿元).6分(2)利用模型②得到的预测值更可靠．8分理由如下：(i)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．(ii)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．(以上给出了2种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)12分【评分细则】①根据模型①求出预测值给3分；②根据模型②求出预测值给3分；③判断模型②得到的预测值更可靠给2分；④作出正确的判断，写出合理理由，给4分；【名师点评】1．核心素养：本题主要考查线性回归方程的实际应用，考查考生的应用意识，分析问题与解决问题的能力以及运算求解能力，考查数学的核心素养是数据分析、数学建模、数学运算．2．解题技巧：统计中涉及的图形较多、常见的有条形统计图、折线图、茎叶图、频率分布直方图、应熟练地掌握这些图形的特点，提高识图与用图的能力．〔变式训练2〕(2021·安徽蚌埠质检)经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x(0使用年数246810售价16139.574.5(1)试求y关于x的回归直线方程；(2)已知每辆该型号汽车的收购价格ω(单位：万元)与使用年数x(0附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.[解析] (1)由表中数据，得＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，＝×(16＋13＋9.5＋7＋4.5)＝10，由最小二乘法得＝＝－1.45，＝10－(－1.45)×6＝18.7，所以y关于x的回归直线方程为y＝－1.45x＋18.7.(2)由题意，z＝y－ω＝－1.45x＋18.7－(0.05x2－1.75x＋17.2)＝－0.05x2＋0.3x＋1.5，其中0z＝－0.05x2＋0.3x＋1.5＝－0.05(x－3)2＋1.95，所以预测x＝3时，销售一辆该型号汽车所获得的利润最大．考点三 独立性检验例4(2018·课标全国Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2＝.P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】 (1)根据茎叶图中的数据大致集中在哪个茎，作出判断；(2)通过茎叶图确定数据的中位数，按要求完成2×2列联表；(3)根据(2)中2×2列联表，将有关数据代入公式计算得K2的值，借助临界值表作出统计推断．【标准答案】——规范答题 步步得分(1)第二种生产方式的效率更高.4分理由如下：(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多．关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高．(2)由茎叶图知m＝＝80.6分列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式5158分(3)由于K2＝＝10>6.635，11分所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．12分【评分细则】①答案给出了4种理由，考生答出任意一种或其他合理理由，均给4分；②由茎叶图求出中位数，给2分；③按要求完成2×2列联表，给2分；④根据公式正确求出K2的值，给3分；⑤借助于临界值表作出判断，给1分．【名师点评】1．核心素养：茎叶图及独立性检验是高考命题的重点，在每年的高考试题都以不同的命题背景进行命制．此类问题主要考查学生的分析问题和解决实际问题的能力，同时考查“数据分析”的数学核心素养．2．解题技巧：(1)审清题意：弄清题意，理顺条件和结论；(2)找数量关系：把图形语言转化为数字，找关键数量关系；(3)建立解决方案：找准公式，将2×2列联表中的数值代入公式计算；(4)作出结论：依据数据，借助临界值表作出正确判断．〔变式训练3〕(2021·湖南百校联考)2020年3月受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习．为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查(其中男生与女生的人数之比为2：1)，结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意．(1)请完成如下2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；满意不满意合计男生女生合计60(2)以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．附：参考公式及临界值表K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2>k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635[解析] (1)由题意可知抽取60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：满意不满意合计男生103040女生81220合计184260因为K2＝＝≈1.429<2.706，所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”．(2)X的可能取值为0,1,2,3，由题意可知，X～B，P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3，随机变量X的分布列为X0123PE(X)＝3×＝.考点四 正态分布例5国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高(单位：cm)在区间[165,175]内．现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[165,167)，[167,169)，[169,171)，[171,173)，[173,175]五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.(1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X(cm)近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.(ⅰ)求P(167.86(ⅱ)若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率．参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ6，P(μ－2σ4，≈10.7，0.954410≈0.63,0.97729≈0.81,0.977210≈0.79.[解析] (1)由题知五组频率依次为0.1,0.2,0.375，0.25，0.075，1分故＝0.1×166＋0.2×168＋0.375×170＋0.25×172＋0.075×174＝170，2分s2＝(170－166)2×0.1＋(170－168)2×0.2＋(170－172)2×0.25＋(170－174)2×0.075＝4.6；4分(2)由题知μ＝170，σ＝＝≈2.14，5分(ⅰ)P(167.866＋＝0.8185，8分(ⅱ)P(X>174.28)＝＝0.0228，故10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率P＝1－(1－0.0228)10＝1－0.977210≈1－0.79＝0.21.12分〔变式训练4〕(2021·贵州遵义模拟)3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间，某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图所示(单位：μm).(1)计算平均值μ与标准差σ；(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(μ，σ2)，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为：86,95,103,109,118(单位：μm)，试问：此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P(μ－2σ4，P(μ－3σ4，0．95443＝0.87,0.99744＝0.99，0．04562＝0.002.[解析] (1)μ＝＝105μm，σ2＝＝36，所σ＝6μm.(2)结论：需要进一步调试．理由如下：如果机器正常工作，则Z服从正态分布N(105,62)，P(μ－3σ4，零件内径在(87,123)之外的概率只有0.0026，而86?(87,123)，根据3σ原则知机器异常，需要进一步调试．(还可有其它解释，合理即可)考点五 概率、统计与函数、数列、不等式的综合例6(2021·百师联盟期末)出版商为了解某科普书一个季度的销售量y(单位：千本)和利润x(单位：元/本)之间的关系，对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析，得到如下的10组数据.序号12345678910x2.43.14.65.36.47.17.88.89.510y18.114.19.17.24.93.93.22.32.11.4根据上述数据画出如图所示的散点图：(1)根据图中所示的散点图判断y＝ax＋b和y＝clnx＋d哪个更适宜作为销售量y关于利润x的回归方程类型？(给出判断即可，不需要说明理由)；(2)根据(1)中的判断结果及参考数据，求出y关于x的回归方程；(3)根据回归方程分析：设该科普书一个季度的利润总额为z(单位：千元)，当季销售量y为何值时，该书一个季度的利润总额预报值最大？(季利润总额＝季销售量×每本书的利润)参考公式及参考数据：①对于一组数据(u1，ν1)，(u2，ν2)，…，(un，νn)，其回归直线ν＝＋u的斜率和截距的公式分别为＝，＝－.②参考数据：(xi－)2(ui－)2(xi－)(yi－)(ui－)(yi－)6.506.631.7582.502.70－143.25－27.54表中ui＝lnxi，＝ui.另：ln4.06≈1.40.计算时，所有的小数都精确到0.01.[解析] (1)y＝clnx＋d更适宜作为销售量y关于利润x的回归方程类型．(2)令u＝lnx，先建立y关于u的线性回归方程，由于＝＝＝－10.20，＝－·＝6.63＋10.20×1.75＝24.48，所以y关于u的线性回归方程为＝24.48－10.20u，即y关于x的回归方程为＝24.48－10.20lnx.(3)由题意得z＝xy＝x(24.48－10.20lnx)，z′＝[x(24.48－10.20lnx)]′＝14.28－10.20lnx，令z′＝0即14.28－10.20lnx＝0，解得lnx＝1.40，所以x≈4.06.当x∈(0,4.06)时，z′>0，所以z在(0,4.06)上单调递增，当x∈(4.06，＋∞)时，z′<0，所以z在(4.06，＋∞)上单调递减，所以当x＝4.06时，即季销量y＝10.20千本时，季利润总额预报值最大．〔变式训练5〕(2021·河北省部分重点高中期末联考)11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地——安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮)．在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得－1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响．(1)经过1轮投球，记甲的得分为X，求X的分布列；(2)若经过n轮投球，用pi表示经过第i轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率．①求p1，p2，p3；②规定p0＝0，经过计算机计算可估计得pi＝api＋1＋bpi＋cpi－1(b≠1)，请根据①中p1，p2，p3的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列{pn}的通项公式．[解析] (1)X的可能取值为－1,0,1.P(X＝－1)＝×＝，P(X＝0)＝×＋×＝，P(X＝1)＝×＝.∴X的分布列为X－101P(2)①由(1)知，P1＝，经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得1分；二是两轮有一轮甲得0分，有一轮甲得1分，∴P2＝×＋C××＝.经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得1分；二是三轮有两轮各得1分，一轮得0分；三是1轮得1分，两轮各得0分；四是两轮各得1分，1轮得－1分，∴P3＝3＋C2×＋C××2＋C2×＝.②由pi＝api＋1＋bpi＋cpi－1，知pi＝pi＋1＋pi－1，将p0＝0，p1＝，p2＝，p3＝代入，求得＝，＝，∴a＝(1－b)，c＝(1－b)，∴pi＝pi＋1＋pi－1，pi＋1＝pi－pi－1.∴pi＋1－pi＝(pi－pi－1)，∵p1－p0＝，∴{pn－pn－1}是等比数列，首项和公比都是，pn－pn－1＝，∴pn＝p0＋(p1－p0)＋(p2－p1)＋…＋(pn－pn－1)＝＝.高考大题规范解答系列(二)——三角函数考点一 三角函数的综合问题 例1已知向量a＝(sin2x，cos2x)，b＝(cosθ，sinθ)(|θ|<)，若f(x)＝a·b，且函数f(x)的图象关于直线x＝对称．(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(A)＝，且b＝5，c＝2，求△ABC外接圆的面积．[分析] (1)看到求f(x)的解析式，想到对a·b进行化简；看到求f(x)的单调减区间，想到y＝sinx的单调减区间；(2)看到求△ABC外接圆的面积，想到求半径r和正弦定理．[标准答案]——规范答题 步步得分 (1)f(x)＝a·b＝sin2xcosθ＋cos2xsinθ＝sin(2x＋θ)，2分∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称，∴2×＋θ＝kπ＋，k∈Z，∴θ＝kπ＋，k∈Z，又|θ|<，∴θ＝.∴f(x)＝sin.4分由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.6分(2)∵f(A)＝sin＝，∴sin＝1.∵A∈(0，π)，∴2A＋∈，∴2A＋＝，∴A＝.8分在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋12－2×5×2cos＝7，∴a＝.10分由正弦定理得＝2R＝＝2，∴R＝，∴△ABC外接圆的面积S＝πR2＝7π.12分[评分细则] ①正确化简求出f(x)的解析式得2分．②正确利用三角函数的对称轴求对θ的值，得2分．③正确利用y＝sinx的单调减区间，求出f(x)的减区间，得2分．④正确利用特殊角的三角函数值求对角A，得2分．⑤正确利用余弦定理求对a的值，得2分．⑥正确利用正弦定理求对半径r和圆的面积得2分．[名师点评] 1．核心素养：三角函数问题是高考的必考问题，三角求值与求三角函数的最值、周期、单调区间是高考的常见题型；本题型重点考查灵活运用三角公式进行三角变换的能力，以及“数学运算”素养的达成度．2．解题技巧：(1)要善于抓解题关键点，解题步骤中明显呈现得分点，如本题f(x)＝sin必须求对．(2)要清晰呈现求角A的过程以及用正、余弦定理求出外接圆半径r.〔变式训练1〕 (2021·石家庄模拟)已知向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)＝a·b的最小正周期；(2)在△ABC中，BC＝，sinB＝3sinC，若f(A)＝1，求△ABC的周长．[解析] (1)f(x)＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋，f(x)＝sin＋，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)由题意可得sin＝，又0所以2A＋＝，故A＝.设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bccosA.所以a2＝b2＋c2－bc＝7，又sinB＝3sinC，所以b＝3c.故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1.所以b＝3，△ABC的周长为4＋.考点二 解三角形问题 例2(2021·山东省青岛市高三模拟检测)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bcosA＋a＝c.(1)求cosB；(2)如图，D为△ABC外一点，若在平面四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，BC＝，求AB的长．[分析] (1)看到求cosB想到在三角形中利用边化为三角函数求解．(2)看到求AB的长想到将AB置于三角形ABC中，利用余弦定理求解．[标准答案]——规范答题 步步得分 (1)在△ABC中，由正弦定理得sinBcosA＋sinA＝sinC，2分又C＝π－(A＋B)，所以sinBcosA＋sinA＝sin(A＋B)，故sinBcosA＋sinA＝sinAcosB＋cosAsinB，4分所以sinAcosB＝sinA，又A∈(0，π)，所以sinA≠0，故cosB＝.6分(2)∵∠D＝2∠B，∴cosD＝2cos2B－1＝－，7分又在△ACD中，AD＝1，CD＝3，∴由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cosD＝1＋9－2×3×(－)＝12，∴AC＝2，9分在△ABC中，BC＝，AC＝2，cosB＝，∴由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即12＝AB2＋6－2·AB××，解得AB＝3.故AB的长为3.12分[评分细则] ①正确利用正弦定理化边为三角函数，得2分．②正确利用两角和与差的正弦公式，得2分．③正确化角求对cosB，得2分．④正确利用倍角公式求对cosD，得1分．⑤正确利用余弦定理求对AC，得2分．⑥正确利用余弦定理求对AB，得2分．[名师点评] 1．核心素养：解三角形问题是高考的必考问题，解三角形与三角函数的结合是高考的常见题型；本题型重点考查灵活运用公式并通过“数学运算”解决问题的能力．2．解题技巧：要善于抓解题关键点，解题步骤中明显呈现得分点，如本题(1)中正弦定理＝＝＝2R；(2)中利用余弦定理分别在△ADC和△ABC中求出AC、AB.〔变式训练2〕 (2020·全国Ⅱ，17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cosA＝.(1)求A；(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．[解析] 本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、正弦定理．(1)解：由已知得sin2A＋cosA＝，即cos2A－cosA＋＝0.所以2＝0，cosA＝.由于0(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sinB－sinC＝sinA.由(1)知B＋C＝，所以sinB－sin＝sin.即sinB－cosB＝，sin＝.由于0PAGE 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2022版高考数学一轮复习高考大题规范解答系列一_函数与导数学案新人教版.doc 2022版高考数学一轮复习高考大题规范解答系列三_数列学案新人教版.doc 2022版高考数学一轮复习高考大题规范解答系列二_三角函数学案新人教版.doc 2022版高考数学一轮复习高考大题规范解答系列五_解析几何学案新人教版.doc 2022版高考数学一轮复习高考大题规范解答系列六_概率与统计学案新人教版.doc 2022版高考数学一轮复习高考大题规范解答系列四_立体几何学案新人教版.doc
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