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第一章　集合与常用逻辑用语
第一讲　集合的概念与运算
知识梳理·双基自测
ZHI
SHI
SHU
LI
SHUANG
JI
ZI
CE知识梳理
知识点一　集合的基本概念
一组对象的总体构成一个集合．
(1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性．
(2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a?A，二者必居其一．
(3)常见集合的符号表示.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
Z
Q
R
(4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法、区间表示法．
(5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示．
知识点二　集合之间的基本关系
关系
定义
表示
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A＝B
子集
A中的任意一个元素都是B中的元素
A?B
真子集
A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A
A?B
注意：(1)空集用?表示．
(2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2．
(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(4)若A?B，B?C，则A?C．
知识点三　集合的基本运算
符号语言
交集A∩B
并集A∪B
补集?UA
图形语言
意义
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
?UA＝{x|x∈U且x?A}
重要结论
1．A∩A＝A，A∩?＝?.
2．A∪A＝A，A∪?＝A．
3．A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A．
4．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB?A∩(?UB)＝?.
双基自测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合A中含有三个元素0，1，x，且x2∈A，则实数x的值为1或－1或0.(　×　)
(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(　×　)
(3)方程＋(y＋2
023)2＝0的解集为{2
022，－2
023}．(　×　)
(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C．(　×　)
(5)设U＝R，A＝{x|lg
x<1}，则?UA＝{x|lg
x≥1}＝{x|x≥10}．(　×　)
题组二　走进教材
2．(必修1P5B1改编)若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝45，则(　D　)
A．a∈P
B．{a}∈P
C．{a}?P
D．a?P
[解析]　452＝2
025>2
022，∴a?P，故选D．
3．(必修1P7T3(2)改编)若A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，B＝{x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B的关系是(　B　)
A．A＝B
B．A?B
C．A?B
D．B?A
[解析]　因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}＝{x|x＝2(2k)－1，k∈Z}，集合B表示2与整数的积减1的集合，集合A表示2与偶数的积减1的集合，所以A?B，故选B．
题组三　走向高考
4．(2020·新高考Ⅱ，1，5分)设集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，3，5，8}，则A∩B＝(　C　)
A．{1，8}
B．{2，5}
C．{2，3，5}
D．{1，2，3，5，7，8}
[解析]　∵A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，3，5，8}，∴A∩B＝{2，3，5}，故选C．
5．(2020·新高考Ⅰ，1，5分)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2A．{x|2B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1≤x<4}
D．{x|1[解析]　已知A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|26．(2020·天津，1，5分)设全集U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－3，0，2，3}，则A∩(?UB)＝(　C　)
A．{－3，3}
B．{0，2}
C．{－1，1}
D．{－3，－2，－1，1，3}
[解析]　因为U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，B＝{－3，0，2，3}，所以?UB＝{－2，－1，1}，又A＝{－1，0，1，2}，所以A∩(?UB)＝{－1，1}，故选C．
考点突破·互动探究
KAO
DIAN
TU
PO
HU
DONG
TAN
JIU　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一
集合的基本概念——自主练透　　
例1　(1)(多选题)已知集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，则下列表示正确的是(　ABD　)
A．－2∈A
B．2
022?A
C．3k2＋1?A
D．－35∈A
(2)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是(　C　)
A．1
B．3
C．6
D．9
(3)已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则2
020a的值为1；若1?A，则a不可能取得的值为－2，－1，0，，．
[解析]　(1)当－2＝3k＋1时，k＝－1∈Z，故A正确；当2
022＝3k＋1时，k＝673?Z，故B正确；∵k∈Z，∴k2∈Z，显然3k2＋1∈A，当－35＝3k＋1时，k＝－12∈Z，故D正确．故选A、B、D．
(2)当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；
当x＝2时，y＝0，1，2.
故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，
即集合B中有6个元素．
(3)若a＋2＝1，则a＝－1，A＝{1，0，1}，不合题意；若(a＋1)2＝1，则a＝0或－2，当a＝0时，A＝{2，1，3}，当a＝－2时，A＝{0，1，1}，不合题意；若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或－2，显然都不合题意；因此a＝0，所以2
0200＝1.
∵1?A，∴a＋2≠1，∴a≠－1；(a＋1)2≠1，解得a≠0，－2；a2＋3a＋3≠1解得a≠－1，－2.又∵a＋2、(a＋1)2、a2＋3a＋3互不相等，∴a＋2≠(a＋1)2得a≠；a＋2≠a2＋3a＋3得a≠－1；(a＋1)2≠a2＋3a＋3得a≠－2；
综上a的值不可以为－2，－1，0，，.
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
考点二
集合之间的基本关系——师生共研　　
例2　(1)(2021·新高考八省联考)已知M，N均为R的子集，且?RM?N，则M∪(?RN)＝(　B　)
A．?
B．M
C．N
D．R
(2)(多选题)已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B?A，则实数a的可能取值为(　BCD　)
A．－3
B．－2
C．0
D．3
(3)设集合M＝，N＝，则下面正确的是(　B　)
A．M＝N
B．M?N
C．N?M
D．M∩N＝?
[解析]　(1)如图，?RM?N，显然(?RN)?M，∴M∪(?RN)＝M，故选B．
(2)本题考查集合之间的关系．由题知B?A，B＝{x|ax＋1＝0}，所以B＝，，?.当B＝时，－a＋1＝0，解得a＝3；当B＝时，a＋1＝0，解得a＝－2；当B＝?时，a＝0.综上可得实数a的可能取值为3，0，－2，故选B、C、D．
(3)解法一：(列举法)，由题意知
M＝
N＝
显然M?N，故选B．
解法二：(描述法)
M＝，N＝
∵2k＋1表示所有奇数，而k＋4表示所有整数(k∈Z)
∴M?N，故选B．
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
判断集合间关系的3种方法
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(如第(3)题解法一)
结构法
从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(如第(3)题解法二)
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系.
〔变式训练1〕
(1)集合M＝，N＝，则两集合M，N的关系为(　D　)
A．M∩N＝?
B．M＝N
C．M?N
D．N?M
(2)(多选题)(2020·湖南长郡中学模拟改编)已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝，则下列结论不正确的是(　ABD　)
A．M＝N
B．N?M
C．M＝?RN
D．(?RN)∩M＝?
(3)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0(4)已知集合A＝{x|x2－2
023x＋2
022<0}，B＝{x|x[解析]　(1)由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)，当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋(k∈Z)，∴N?M，故选D．
(2)由题意得y＝x－|x|＝
∴M＝(－∞，0]，N＝(0，＋∞)，∴M＝?RN.故选A、B、D．
(3)由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}．
又∵A?C?B，∴C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}，∴有4个．
(4)由x2－2
023x＋2
022<0，解得1022，
故A＝{x|1022}．
又B＝{x|x022.
考点三
集合的基本运算——多维探究
角度1　集合的运算
例3　(1)(2020·课标Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则?U(A∪B)＝(　A　)
A．{－2，3}
B．{－2，2，3}
C．{－2，－1，0，3}
D．{－2，－1，0，2，3}
(2)(2020·课标Ⅱ)已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B＝(　D　)
A．?
B．{－3，－2，2，3}
C．{－2，0，2}
D．{－2，2}
(3)(2021·浙江杭州模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2<0}，集合B＝
{x|log3(x＋1)
<1}，则A∪B＝(－1，2)，(
?RA)∩B＝(－1，1]．
[解析]　(1)∵A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，∴A∪B＝{－1，0，1，2}，又∵集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，∴?U(A∪B)＝{－2，3}．故选A．
(2)由已知得A＝{x|－31，x∈Z}，∴A∩B＝{－2，2}．故选D．
(3)依题意可知，A＝{x|1角度2　利用集合的运算求参数
例4　(1)已知集合A＝{x|x2－3x<0)，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是(　B　)
A．(0，3)
B．(0，1)∪(1，3)
C．(0，1)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}≠?，若A∩B＝B，则实数m的取值范围为[2，3]．
[解析]　(1)因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0(2)由A∩B＝B知，B?A．
又B≠?，则解得2≤m≤3，
则实数m的取值范围为[2，3]．
[引申1]本例(2)中若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}情况又如何？
[解析]　应对B＝?和B≠?进行分类．
①若B＝?，则2m－1②若B≠?，由例得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．
[引申2]本例(2)中是否存在实数m，使A∪B＝B？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解析]　由A∪B＝B，即A?B得
即不等式组无解，故不存在实数m，使A∪B＝B．
[引申3]本例(2)中，若B＝{x|m＋1≤x≤1－2m}，A?B，则m的取值范围为(－∞，－3]．
[解析]　由题意可知解得m≤－3.
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
集合的基本运算的关注点
1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2020·北京，1，4分)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|0A．{－1，0，1}
B．{0，1}
C．{－1，1，2}
D．{1，2}
(2)(角度1)设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(?UA)∪B＝(　D　)
A．(2，3]
B．(－∞，1]∪(2，＋∞)
C．[1，2)
D．(－∞，0)∪[1，＋∞)
(3)(角度2)已知集合A＝{x|xA．a<1
B．a≤1
C．a>2
D．a≥2
[解析]　(1)集合A与集合B的公共元素为1，2，由交集的定义知A∩B＝{1，2}，故选D．
(2)?UA＝{x|x<0或x>2}，则(?UA)∪B＝{x|x<0或x≥1}，故选D．
(3)集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1可知a≥2.
名师讲坛·素养提升
MING
SHI
JIANG
TAN
SU
YANG
TI
SHENG
集合中的新定义问题
例5　定义集合的商集运算为＝，已知集合A＝{2，4，6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　B　)
A．6
B．7
C．8
D．9
[解析]　由题意知，B＝{0，1，2}，＝，则∪B＝，共有7个元素．
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
集合新定义问题的“3定”
(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．
(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．
(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素．
〔变式训练3〕
　(2021·江西九江联)设A，B是非空集合，定义A?B＝{x|x∈(A∪B)且x?(A∩B)}．已知M＝{y|y＝－x2＋2x，00}，则M?N＝∪(1，＋∞)
[解析]　M＝{y|y＝－x2＋2x，00}＝，则M∪N＝(0，＋∞)，M∩N＝，所以M?N＝∪(1，＋∞)．
PAGE第三讲　逻辑联结词、全称量词与存在量词
知识梳理·双基自测
ZHI
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知识梳理
知识点一　简单的逻辑联结词
(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，
(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，
(3)对一个命题p的否定记作?
p，
(4)命题p∧q，p∨q，?
p的真假判断真值表
p
q
?
p
p∨q
p∧q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
知识点二　全称量词与存在量词
1．全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．
(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：?x∈M，p(x)．
2．存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．
(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：?x0∈M，p(x0)．
3．含有一个量词的命题的否定
(1)
命题
命题的否定
?x∈M，p(x)
?x0∈M，?
p(x0)
?x0∈M，p(x0)
?x∈M，?
p(x)
(2)p∨q的否定是(?
p)∧(?
q)；
p∧q的否定是(?
p)∨(?
q)．
重要结论
1．逻辑联结词与集合的关系．
(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；
(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；
(3)“非”与集合中的补集相类似．
2．常用短语的否定词
若给定语为
等于
大于
是
且
或
一定
都是
至多有一个
至少有一个
至多有n个
其否定语为
不等于
小于或等于
不是
或
且
一定不
不都是
至少有两个
没有
至少有n＋1个
双基自测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“2023≥2022”是真命题．(　√　)
(2)命题p和?
p不可能都是真命题．(　√　)
(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．(　×　)
(4)命题?
(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．(　√　)
题组二　走进教材
2．(选修2－1P23T2改编)下列命题中的假命题是(　C　)
A．?x0∈R，lg
x0＝1
B．?x0∈R，sin
x0＝0
C．?x∈R，x3>0
D．?x∈R，2x>0
[解析]　对于C，任意x∈R，x3∈R，故选C．
3．(选修2－1P18A1(3)，改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题?
p，?
q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　B　)
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析]　命题p是真命题，q是真命题，因此命题?
p，?
q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题，故选B．
题组三　走向高考
4．(2020·课标Ⅱ，5分)设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l?平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是①③④．
①p1∧p4
②p1∧p2
③(?
p2)∨p3
④(?
p3)∨(?
p4)
[解析]　对于命题p1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A、B、C，易知A、B、C三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A∈α，B∈α，可得直线AB?α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p1是真命题；
对于命题p2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p2是假命题，从而?
p2是真命题；
对于命题p3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p3是假命题，从而?
p3是真命题；
对于命题p4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而?
p4是假命题．
综上所述，p1∧p4是真命题，p1∧p2是假命题，(?
p2)∨p3是真命题，(?
p3)∨(?
p4)是真命题，所以答案为①③④.
5．(2016·浙江，5分)命题“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是(　D　)
A．?x∈R，?n∈N
，使得nB．?x∈R，?x∈N
，使得nC．?x∈R，?n∈N
，使得nD．?x∈R，?n∈N
，使得n[解析]　根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D．
6．(2015·山东，5分)若“?x∈[0，]，tan
x≤m”是真命题，则实数m的最小值为1．
[解析]　由已知可得m≥tan
x(x∈)恒成立．设f(x)＝tan
x(x∈)，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f＝tan
＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m的最小值为1.
考点突破·互动探究
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考点一
含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透　
例1　(1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　A　)
A．(?
p)∨(?
q)
B．p∧(?
q)
C．(?
p)∧(?
q)
D．p∨q
(2)(多选)命题p：若sin
x>sin
y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为真命题的是(　ACD　)
A．p或q
B．p且q
C．q
D．?
p
(3)已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：
①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(?
p)∨(?
q)为假．
其中，正确的是②．(填序号)
[解析]　(1)命题p是“甲降落在指定范围”，则?
p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则?
q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(?
p)∨(?
q)．
(2)取x＝，y＝，可知命题p是假命题；
由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故?
p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．
(3)命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．
考点二
含有一个量词的命题——多维探究
角度1　全称命题、特称命题的真假
例2　(多选题)(
2021·山东济宁期末)下列命题中真命题是(　ACD　)
A．?x∈R，2x－1>0
B．?x∈N
，(x－1)2
>0
C．?x∈R，lg
x<1
D．?x∈R，tan
x＝2
[解析]　根据指数函数的值域知A是真命题；取x＝1，计算知(x－1)2＝0，故B是假命题；取x＝1，计算知lg
x＝0<1，故C是真命题；由y＝tan
x的值域为R.知D是真命题．故选ACD．
角度2　含一个量词的命题的否定
例3　(1)已知命题p：“?x0∈R，ex0－x0－1≤0”，则?
p为(　C　)
A．?x0∈R，ex0－x0－1≥0
B．?x0∈R，ex0－x0－1>0
C．?x∈R，ex－x－1>0
D．?x∈R，ex－x－1≥0
(2)(2021·陕西部分学校摸底)命题“?x∈R，≥0”的否定是(　D　)
A．?x∈R，<0
B．?x∈R，0C．?x∈R，≤0
D．?x∈R，0[解析]　(1)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得?
p为“?x∈R，ex－x－1>0”，故选C．
(2)?x∈R，≥0的否定是?x0∈R，使不大于等于0，包括小于零和无意义，即?x0∈R，0名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
全(特)称命题真假的判断方法
全称命题
特称命题
真假
真
假
真
假
法一
证明所有对象使命题为真
存在一个对象使命题为假
存在一个对象使命题为真
证明所有对象使命题为假
法二
否定为假
否定为真
否定为假
否定为真
注：当判断原命题的真假有困难时，可通过判断它的逆否命题的真假来实现．
角度3　含参命题中参数的取值范围
例4　已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对于?x1∈[0，3]，?x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，
由f(x)min≥g(x)min得0≥－m，所以m≥.
[引申1]把本例中“?x2∈[1，2]”改为：“?x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是m≥．
[解析]　当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，
由f(x)min≥g(x)max得0≥－m，所以m≥.
[引申2]把本例中，?x1∈[0，3]改为?x1∈[0，3]其他条件不变，则实数m的取值范围是m≥－ln_10．
[解析]　当x∈[0，3]时，f(x)max＝f(3)＝ln
10，
当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，
由f(x)max≥g(x)min得ln
10≥－m，
所以m≥－ln
10.答案：m≥－ln
10
[引申3]把本例中，?x1∈[0，3]，?x2∈[1，2]改为?x1∈[0，3]，?x2∈[1，2]，其他条件不变，则实数m的取值范围是
．
[解析]　当x∈[0，3]时，f(x)max＝f(3)＝ln
10，
当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，
由f(x)max≥g(x)max，得ln
10≥－m，
所以m≥－ln
10.答案：m≥－ln
10
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
根据复合命题的真假求参数范围的步骤
(1)先求出每个简单命题为真命题时参数的取值范围．
(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)．
(3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(多选题)(2020·吉林长春外国语学校高三上期中改编)下列命题中，假命题是(　ABD　)
A．?x0∈R，sin2
＋cos2
＝
B．?x∈(0，π)，sin
x>cos
x
C．?x∈(0，＋∞)，x2＋1>x
D．?x0∈R，x＋x0＝－1
(2)(角度2)已知命题p：?x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则(　B　)
A．p是假命题；?
p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；?
p：?x∈R，log2(3x＋1)>0
C．p是真命题；?
p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；?
p：?x∈R，log2(3x＋1)>0
(3)(角度3)已知命题p：“?x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“(?
p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(　C　)
A．(－∞，－2)∪{1}
B．(－∞，－2]∪[1，2]
C．(1，＋∞)
D．[－2，1]
(4)(角度3)已知函数f(x)＝x2＋2x＋a和g(x)＝2x＋，对?x1∈[－1，＋∞)，?x2∈R使g(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围是[－1，＋∞)．
[解析]　(1)对于A，由同角三角函数的平方关系，我们知道?x∈R，sin2
＋cos2
＝1，所以A为假命题；对于B，取特殊值，当x＝时，sin
x＝cos
x＝，所以B为假命题；对于C，一元二次方程根的判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以原方程没有实数根，所以C为真命题；对于D，判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以D错误．故选A、B、D．
(2)∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题，?
p：?x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B．
(3)命题p为真命题时a≤1；命题q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”为真命题，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.又(?
p)∧q为真命题，即?
p真且q真，所以a>1，即a的取值范围为(1，＋∞)．故选C．
(4)因为f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，
所以f(x)∈[a－1，＋∞)．
因为g(x)＝2x＋在[－1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a－1≤－2，
所以a≤－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
名师讲坛·素养提升
MING
SHI
JIANG
TAN
SU
YANG
TI
SHENG
简易逻辑的综合应用
例5　(2019·全国卷Ⅱ，5分)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(　A　)
A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙
[解析]　依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A．
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．
〔变式训练2〕
(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　D　)
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
[解析]　由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．
PAGE第二讲　命题及其关系、充分条件与必要条件
知识梳理·双基自测
ZHI
SHI
SHU
LI
SHUANG
JI
ZI
CE知识梳理
知识点一　命题及四种命题之间的关系
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
知识点二　充分条件与必要条件
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分又不必要条件
pq且qp
重要结论
1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A?B，则p是q的充分条件；
(2)若A?B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A?B，则p是q的充分不必要条件；
(5)若A?B，则p是q的必要不充分条件；
(6)若A?B且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．充分条件与必要条件的两个特征：
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p?q”?“q?p”．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p?q且q?r”?“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”)．
注意：不能将“若p，则q”与“p?q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p?q”，即“p?q”?“若p，则q”为真命题．
双基自测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)语句x2－3x＋2＝0是命题．(　×　)
(2)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．(　×　)
(3)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B．(　√　)
(4)“α＝β”是“tan
α＝tan
β”的充分不必要条件．(　×　)
(5)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　√　)
[解析]　(4)当α＝β＝时，tan
α、tan
β都无意义．因此不能推出tan
α＝tan
β，当tan
α＝tan
β时，α＝β＋kπ，k∈Z，不一定α＝β，因此是既不充分也不必要条件．
题组二　走进教材
2．(选修2－1P8T3改编)下列命题是真命题的是(　A　)
A．矩形的对角线相等
B．若a>b，c>d，则ac>bd
C．若整数a是素数，则a是奇数
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
3．(选修2－1P10T4改编)x2－3x＋2≠0是x≠1的充分不必要条件．
[解析]　x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件．
题组三　走向高考
4．(2020·天津，2，5分)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　易知a>1?a2>a，而a2>a?a<0或a>1，所以“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件．
5．(2015·山东，5分)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　D　)
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
[解析]　由原命题和逆否命题的关系可知D正确．
6．(2018·北京，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)＝sin_x(答案不唯一)．
[解析]　这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin
x，答案不唯一．
考点突破·互动探究
KAO
DIAN
TU
PO
HU
DONG
TAN
JIU　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一
命题及其关系——自主练透　　
例1　(1)(2021·新高考八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：
甲：x＝1是该方程的根；
乙：x＝3是该方程的根；
丙：该方程两根之和为2；
丁：该方程两根异号．
如果只有一个假命题，则该命题是(　A　)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
(2)(2021·长春模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的(　A　)
A．否命题
B．逆命题
C．逆否命题
D．否定形式
(3)(多选题)下列命题为真命题的是(　CD　)
A．“若a2B．“全等三角形面积相等”的逆命题
C．“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题
D．“若x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题
(4)命题“若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零”的否定形式为若a＋b＝0，则a，b都大于零，否命题为若a＋b≠0，则a，b都大于零．
[解析]　(1)若乙、丙、丁正确，显然x1＝－1，x2＝3，两根异号，x1＋x2＝2，故甲错，因此选A．
(2)命题α：如果x<3，那么x<5，
命题β：如果x≥3，那么x≥5，
则命题α是命题β的否命题．
(3)对于A，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于B，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于C，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故C正确；对于D，原命题正确，因此该命题的逆否命题也正确，D正确．故选C、D．
(4)否定形式：若a＋b＝0，则a，b都大于零．否命题：若a＋b≠0，则a，b都大于零．
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．
(2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例．
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
考点二
充分必要条件
考向1　充分条件与必要条件的判断——师生共研
方法1：定义法判断
例2　(
2020·北京，9，4分)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin
α＝sin
β”的(　C　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　(1)充分性：已知存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，
(ⅰ)若k为奇数，则k＝2n＋1，n∈Z，此时α＝(2n＋1)π－β，n∈Z，sin
α＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sin
β；
(ⅱ)若k为偶数，则k＝2n，n∈Z，此时α＝2nπ＋β，n∈Z，sin
α＝sin(2nπ＋β)＝sin
β.
由(ⅰ)(ⅱ)知，充分性成立．
(2)必要性：若sin
α＝sin
β成立，则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称，即α＝β＋2mπ或α＋β＝2mπ＋π，m∈Z，
即存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，必要性也成立，故选C．
方法2：集合法判断
例3　(2020·天津一中高三月考)设x∈R，则“|x－1|<4”是“>0”的(　B　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　解绝对值不等式可得－4将分式不等式变形可得<0，解得2因为(2，5)
?(－3，5)，
所以“|x－1|<4”是“>0”的必要而不充分条件．
方法3　等价转化法判断
例4　(1)给定两个条件p，q，若?
p是q的必要不充分条件，则p是?q的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)“已知命题p：cosα≠，命题q：α≠”，则命题p是命题q的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　(1)因为?
p是q的必要不充分条件，则q??
p，但?pq，其逆否命题为p??q，但?qp，所以p是?q的充分不必要条件．
(2)
?p：cos
α＝，?q：α＝，显然?q??p，?p?q，∴?q是?p的充分不必要条件，从而p是q的充分不必要条件，故选A．
另解：若cos
α≠，则α≠2kπ±(k∈Z)，则α也必然不等于，故p?q；若α≠，但α＝－时，依然有cos
α＝，故qp.所以p是q的充分不必要条件．故选A．
名师点拨　　　　　MING
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有关充要条件的判断常用的方法
(1)根据定义判断：①弄清条件p和结论q分别是什么；②尝试p?q，q?p.若p?q，则p是q的充分条件；若q?p，则p是q的必要条件；若p?q，qp，则p是q的充分不必要条件；若pq，q?p，则p是q的必要不充分条件；若p?q，q?p，则p是q的充要条件．
(2)利用集合判断
记法
A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
关系
A?B
B?A
A＝B
A?B且B?A
结论
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
p是q的既不充分也不必要条件
(3)利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题，常用此法，即要判断p是q的什么条件，只需判断?q是?p的什么条件．
〔变式训练1〕
(1)指出下列各组中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
①非空集合A，B中，p：x∈(A∪B)，q：x∈B；
②已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；
③在△ABC中，p：A＝B，q：sin
A＝sin
B；
④对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.
(2)(2020·天津部分区期末)设x∈R，则“x2－2x<0”是“|x－1|<2”的(　A　)
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　(1)①显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈(A∪B)，所以p是q的必要不充分条件．
②条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p?q但qp，故p是q的充分不必要条件．
③在△ABC中，A＝B?sin
A＝sin
B；反之，若sin
A＝sin
B，因为A与B不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A＝B，故p是q的充要条件．
④易知?p：x＋y＝8，?q：x＝2且y＝6，显然?q??p，但?p?q，所以?q是?p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．
(2)解不等式x2－2x<0得0考向2　充要条件的应用——多维探究
角度1　充要条件的探究
例5　(多选题)下列函数中，满足“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件的是(　BC　)
A．f(x)＝tan
x
B．f(x)＝3x－3－x
C．f(x)＝x3
D．f(x)＝log3|x|
[解析]　因为f(x)＝tan
x是奇函数，所以x1＋x2＝0?f(x1)＋f(x2)＝0，但f＋f＝0时，＋≠0，不符合要求，所以A不符合题意；因为f(x)＝3x－3－x和f(x)＝x3均为单调递增的奇函数，所以满足“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件，符合题意；对于选项D，由f(x)＝log3|x|的图象易知不符合题意，故选BC．
注：满足条件的函数是奇函数且单调．
角度2　利用充要条件求参数的值或取值范围
例6　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是[0，3]．
[解析]　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P.
则所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3]．
[引申1]若本例将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”改为“若x∈P是x∈S的必要不充分条件”，则m的取值范围是[0，3]．
[解析]　解法一：由(1)若x∈P是x∈S的必要条件，则0≤m≤3，
当m＝0时，S＝{1}，不充分；当m＝3时，S＝{x|－2≤x≤4}也不充分，故m的取值范围为[0，3]．
解法二：若x∈P是x∈S的必要且充分条件，则P＝S，即?m无解，
∴m的取值范围是[0，3]．
[引申2]若本例将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若非P是非S的必要不充分条件”，其他条件不变，则m的取值范围是[9，＋∞)．
[解析]　由(1)知P＝{x|－2≤x≤10)，
∵非P是非S的必要不充分条件，
∴S是P的必要不充分条件，∴P?S且SP.
∴[－2，10]
?[1－m，1＋m]．
∴或
∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
(3)注意区别以下两种不同说法：①p是q的充分不必要条件，是指p?q但qp；②p的充分不必要条件是q，是指q?p但pq.
(4)注意下列条件的等价转化：①p是q的什么条件等价于?q是?p的什么条件，②p是?q的什么条件等价于q是?
p的什么条件．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(多选题)(2020·江西赣州十四县市高三上期中改编)角A，B是△ABC的两个内角．下列四个条件下，“A>B”的充要条件是(　ABD　)
A．sin
A>sin
B
B．cos
AB
C．tan
A>tan
B
D．cos2A(2)(角度2)(2021·山东省实验中学高三诊断)已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0.如果p是q的充分不必要条件，那么实数k的取值范围是(　B　)
A．[2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞)
D．(－∞，－1]
[解析]　(1)当A>B时，根据“大边对大角”可知，a>b，由于＝，所以sin
A>sin
B，则A是“A>B”的充要条件；由于0x在区间(0，π)内单调递减，所以cos
AB，则B是“A>B”的充要条件；当A>B时，若A为钝角，B为锐角，则tan
A<0B，则C不是“A>B”的充要条件；当cos2Asin2B，所以D是“A>B”的充要条件；故选A、B、D．
(2)由q：(x＋1)(2－x)<0，可知q：x<－1或x>2.因为p是q的充分不必要条件，所以x≥k?x<－1或x>2，即[k，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，故k>2.故选B．
名师讲坛·素养提升
MING
SHI
JIANG
TAN
SU
YANG
TI
SHENG
抽象命题间充要条件的判定
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例7　已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①r是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④?p是?s的必要不充分条件；⑤r是s的充分不必要条件，则正确命题的序号是(　B　)
A．①④⑤
B．①②④
C．②③⑤
D．②④⑤
[分析]　本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．
[解析]　由题意得p，显然q?r且r?s?q，即q?r，①正确；p?r?s?q且qp，②正确；r?q，③错误；由p?s知?
s??
p，但sp，∴?
p?
s，④正确；r?s，⑤错误．故选B．
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然．
〔变式训练3〕
　若p是r的必要不充分条件，q是r的充分条件，则p是q的必要不充分条件．
[解析]　由题意可知q?rp，∴p是q的必要不充分条件．
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