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第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一讲　平面向量的概念及其线性运算
知识梳理·双基自测
知识点一　向量的有关概念
(1)向量：既有
大小
又有
方向
的量叫做向量，向量的大小叫做向量的
长度
(或称
模
)．
(2)零向量：
长度为0
的向量叫做零向量，其方向是
任意
的，零向量记作
0　.
(3)单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或
相反
的
非零
向量；平行向量又叫
共线
向量．规定：0与任一向量
平行
.
(5)相等向量：长度
相等
且方向
相同
的向量．
(6)相反向量：长度
相等
且方向
相反
的向量．
知识点二　向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形
法则
平行四边形
法则
(1)交换律：a＋b＝
b＋a　；(2)结合律：(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)　
减法
向量a加上向量b的
相反向量
叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b
三角形
法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
实数λ与向量a的积是一个
向量
记作λa
(1)模：|λa|＝|λ||a|
；(2)方向：当λ>0时，λa与a的方向
相同
；当λ<0时，λa与a的方向
相反
；当λ＝0时，λa＝0
设λ，μ是实数．(1)
λ(μa)　＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝
λa＋μa　(3)λ(a＋b)＝
λa＋λb　.
知识点三　共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使
b＝λa　.
1．零向量与任何向量共线．
2．与向量a(a≠0)共线的单位向量±.
3．若存在非零实数λ，使得＝λ或＝λ或＝λ，则A，B，C三点共线．
4．首尾相连的一组向量的和为0.
5．若P为AB的中点，则＝(＋)．
6．若a、b不共线，且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　×　)
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　×　)
(3)若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反．(　×　)
(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　×　)
(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　×　)
题组二　走进教材
2．(必修4P91A组T4改编)化简＋－－＝(　B　)
A.
B．0
C．
D．
[解析]　＋－－＝－(＋)＝－＝0.
3．(必修4P84T4改编)向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，向量a－b等于(　C　)
A．－4e1－2e2
B．－2e1－4e2
C．e1－3e2
D．3e1－e2
[解析]　由图可知a＝－4e2，b＝－(e1＋e2)，∴a－b＝e1－3e2，故选C.
4．(必修4P91A组T3改编)如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(　C　)
A．＝
B．＋＝
C．－＝
D．＋＝0
[解析]　由－＝＝－，故C错误．
题组三　走向高考
5．(2020·新高考Ⅱ，3,5分)若D为△ABC的边AB的中点，则＝(　A　)
A．2－
B．2－
C．2＋
D．2＋
[解析]　∵D为△ABC的边AB的中点，∴＝(＋)，∴＝2－.故选A.
6．(2015·新课标2)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝
　.
[解析]　∵a、b不平行，∴a＋2b≠0，由题意可知存在唯一实数m，使得λa＋b＝m(a＋2b)，即(λ－m)a＝(2m－1)b，
∴，解得λ＝.
考点突破·互动探究
考点一　向量的基本概念——自主练透
　　例1
(1)(多选题)给出下列命题，不正确的有(　ACD　)
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形
C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
(2)若a0为单位向量，a为平面内的某个向量，下列命题中：
①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；
②若a与a0平行，则a＝|a|a0；
③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，
假命题的个数是(　D　)
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析]　(1)A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
B正确，因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；
C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；
D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
(2)①②③均为假命题．
名师点拨
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．
(4)非零向量a与的关系是：是a方向上的单位向量.
考点二　向量的线性运算——师生共研
　　例2
(1)(2021·武汉调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于(　D　)
A.
B．2
C．3
D．4
(2)(2018·全国Ⅰ理，6)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　A　)
A.－
B．－
C．＋
D．＋
[解析]　(1)如图，在△OAC中，M为AC中点，所以＋＝2，在△OBD中，＋＝2，故选D.
(2)如图，由E为AD的中点，得＝，∴＝－＝－.
又∵D为BC的中点，
∴＝＋.∴＝－－＝－.故选A.
名师点拨
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)考查向量加法或减法的几何意义．
(2)求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(3)与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．
(4)与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
〔变式训练1〕
(1)已知三角形ABC是等边三角形，D为AB的中点，点E满足2＋＝0，则＝(　A　)
A.－
B．＋
C．－
D．＋
(2)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　D　)
A．a－b
B．a－b
C．a＋b
D．a＋b
[解析]　(1)由2＋＝0知＝，＝，所以＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝－.
(2)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB，且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.
考点三　共线向量定理及其应用——师生共研
　　例3
设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[分析]　(1)利用向量证明三点共线时，首先要证明两个非零向量共线，然后再说明两向量有公共点，这时才能说明三点共线；
(2)利用共线向量定理求解．
[解析]　(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴，共线，
又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴解得k＝±1.
[引申]　本例(2)中，若ka＋b与a＋kb反向，则k＝
－1
；若ka＋b与a＋kb同向，则k＝
1
.
[解析]　由本例可知ka＋b与a＋kb反向时λ<0，从而k＝－1；ka＋b与a＋kb同向时λ>0，从而k＝1.
名师点拨
平面向量共线的判定方法
(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
〔变式训练2〕
(1)(2021·济南模拟)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(　B　)
A．1
B．－
C．1或－
D．－1或－
(2)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于(　D　)
A．a
B．b
C．c
D．0
[解析]　(1)由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，
于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.
又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－.故选B.
(2)∵a＋b与c共线，∴a＋b＝λ1c.①
又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ2a.②
由①得：b＝λ1c－a.
∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a.
∴即
∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.故选D.
名师讲坛·素养提升
易错警示——都是零向量“惹的祸”
　　例4
(多选题)下列命题错误的是(　ABC　)
A．向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa
B．在△ABC中，＋＋＝0
C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立
D．若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线
[解析]　易知ABC错误．对于D.∵向量a与b不共线，
∴向量a，b，a＋b与a－b均不为零向量．
若a＋b与a－b共线，
则存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)，
即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
所以此时λ无解，故假设不成立，
即a＋b与a－b不共线．故D正确．
名师点拨
在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0与任一向量平行．由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论．在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误．
〔变式训练3〕
　(多选题)下列叙述错误的是(　ABCD　)
A．若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b与a，b其中之一的方向相同
B．|a|＋|b|＝|a＋b|?a与b的方向相同
C．＋＝0
D．若λa＝λb，则a＝b
[解析]　对于A，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同；对于B，当a，b中有一个为零向量时结论不成立；对于C，因为两个向量之和仍是一个向量，所以＋＝0；对于D，当λ＝0时，λa＝λb，此时不一定有a＝b.
PAGE第五讲　数系的扩充与复数的引入
知识梳理·双基自测
知识点一　复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．i是虚数单位．规定i2＝－1.由此可知：
i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，＝－i，全体复数所成的集合C叫复数集．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c且b＝d.
(3)共轭复数：若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝
a－bi　.
(4)复数的模：在复平面内，若点Z的坐标为(a，b)，则向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作
|z|
或
|a＋bi|
，即|z|＝|a＋bi|＝r＝
　(r≥0，r∈R)．
知识点二　复数的几何意义
(1)复平面的概念：建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫做
实轴
，y轴叫做
虚轴
.
(2)实轴上的点都表示
实数
；除了原点外，虚轴上的点都表示
纯虚数
.
(3)复数的几何表示：复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)向量.
知识点三　复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝
(a＋c)＋(b＋d)i
；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝
(a－c)＋(b－d)i
；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
；
④除法：＝＝＝；(c＋di≠0)．
(2)复数的运算律：复数加法满足交换律、结合律，即
①交换律：z1＋z2＝
z2＋z1
；
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝
z1＋(z2＋x3)
.
1．两个虚数不能比较大小，但虚数的模可以比较大小．
2．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
3．z·＝|z|2＝||2.
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2－x＋1＝0没有解．(　×　)
(2)复数z＝3－2i中，虚部为－2i.(　×　)
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i等．(　×　)
(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　×　)
(5)若a∈C，则|a|2＝a2.(　×　)
题组二　走进教材
2．(必修1－2P106A组T2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　B　)
A．1
B．2
C．1或2
D．－1
[解析]　依题意，有解得a＝2.故选B.
3．(选修1－2P112A组T5改编)设i为虚数单位，若复数z满足z＝，则z＝(　D　)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
[解析]　由题意，得z＝＝＝＝－1－i.
4．(选修1－2P105T3改编)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　D　)
A．E
B．F
C．G
D．H
[解析]　由图知复数z＝3＋i，则＝＝＝2－i，所以复数所对应的点是H，故选D.
题组三　走向高考
5．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　C　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析]　由题意，得＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C.
6．(2020·课标Ⅲ，2,5分)复数的虚部是(　D　)
A．－
B．－
C．
D．
[解析]　利用复数除法法则得＝＝，所以虚部为，选D.
7．(2020·课标Ⅰ，2
,5分)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝(　C　)
A．0
B．1
C．
D．2
[解析]　∵z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，∴|z|＝|1＋i|＝＝，故选C.
考点突破·互动探究
考点一　复数的基本概念——自主练透
　　例1
(1)(2020·浙江，2,4分)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝(　C　)
A．1
B．－1
C．2
D．－2
(2)(2020·江苏，2,5分)已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是
3
.
(3)(2021·辽宁鞍山一中模拟)在复平面内，复数所对应的点位于(　B　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(4)(2020·课标Ⅰ，1,5分)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　D　)
A．0
B．1
C．
D．2
[解析]　(1)因为a－1＋(a－2)i为实数，a∈R，所以a－2＝0.解得a＝2，故选C.
(2)z＝(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i＋1＝3＋i，∴z的实部为3.
(3)设z＝，则z＝－＋i，所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限．故选B.
(4)∵z＝1＋i，
∴z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋2i＋i2－2－2i＝－2，
∴|z2－2z|＝|－2|＝2.故选D.
[易错点]　(4)复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为做题时容易忽略b≠0，从而造成错误.
考点二　复数的运算——多维探究
角度1　复数的乘法运算
　　例2
(1)(2020·课标Ⅱ，2,5分)(1－i)4＝(　A　)
A．－4
B．4
C．－4i
D．4i
(2)(2019·北京)已知复数z＝2＋i，则z·＝(　D　)
A.
B．
C．3
D．5
(3)(2021·长春质检)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2等于(　A　)
A．－5
B．5
C．－4＋i
D．－4－i
[解析]　(1)(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝4i2＝－4，故选A.
(2)解法一：因为z＝2＋i，所以＝2－i，所以z·＝(2＋i)(2－i)＝4－2i＋2i－i2＝4－(－1)＝5，故选D.
解法二：z·＝|z|2＝22＋12＝5，故选D.
(3)z2＝－2＋i，z1·z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，故选A.
角度2　复数的除法运算
例3
(1)(2020·新高考Ⅰ，2,5分)＝(　D　)
A．1
B．－1
C．i
D．－i
(2)(2017·天津)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为
－2
.
[解析]　(1)＝＝＝－i.故选D.
(2)＝＝＝－i为实数，则＝0，a＝－2.故填－2.
角度3　复数的综合运算
例4
(1)(2020·课标Ⅲ，2,5分)若(1＋i)＝1－i，则z＝(　D　)
A．1－i
B．1＋i
C．－i
D．i
(2)(2020·浙江期末联考)已知i是虚数单位，若复数z满足＝1－i，则z·＝(　B　)
A．4
B．5
C．6
D．8
(3)(2020·课标Ⅱ，15,5分)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝
2　.
[解析]　(1)∵(1＋i)＝1－i，∴＝＝＝＝－i，∴z＝i，故选D.
(2)由＝1－i，得z＝－1＝1＋2i，则z·＝|z|2＝5，故选B.
(3)设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，又z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝＋i，∴a＋c＝，b＋d＝1，则(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝4，
∴8＋2ac＋2bd＝4，即2ac＋2bd＝－4，
∴|z1－z2|＝＝
＝＝2.
名师点拨
复数运算的技巧
(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．
(2)记住以下结论，可提高运算速度．
①(1±i)2＝±2i;
②＝i；
③＝－i;
④＝b－ai；
简单的复数方程的解法
(1)利用复数的四则运算求解即可．
(2)待定系数法：设z＝a＋bi(a、b∈R)代入方程，利用复数相等的条件、列出关于a、b的方程组(复数问题实数化)求解．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2020·新高考Ⅱ，2,5分)(1＋2i)(2＋i)＝(　B　)
A．－5i
B．5i
C．－5
D．5
(2)(角度2)(2020·天津，10,5分)i是虚数单位，复数＝
3－2i
.
(3)(角度3)(2020·北京，2,4分)在复平面内，复数z对应的坐标是(1,2)，则i·z＝(　B　)
A．1＋2i
B．－2＋i
C．1－2i
D．－2－i
(4)(角度1)(2020·安徽毛坦厂中学模拟)设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·是实数，则实数t等于
　.
[解析]　(1)(1＋2i)(2＋i)＝2＋4i＋i－2＝5i，故选B.
(2)＝＝＝＝3－2i.
(3)由复数的几何意义可知，z＝1＋2i，所以i·z＝i·(1＋2i)＝－2＋i，故选B.
(4)z1·＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i是实数，则4t－3＝0，∴t＝.
考点三　复数的几何意义——师生共研
　　例5
(1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)则(　C　)
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
(2)在复平面内，复数z与对应的点关于实轴对称，则复数＝(　C　)
A．2i
B．－3i
C．2i或－3i
D．－2i或－3i
[解析]　(1)解法一：∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
解法二：∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
解法三：在复平面内，点(1,1)所对应的复数z＝1＋i满足|z－i|＝1，但点(1,1)不在选项A，D的圆上，∴排除A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数z＝2i满足|z－i|＝1，但点(0,2)不在选项B的圆上，∴排除B.故选C.
(2)设z＝a＋bi，a，b∈R，
＝＝－i，
由已知得，解得，
∴z＝－2i或3i，＝2i或－3i，故选C.
名师点拨
复数几何意义及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?.
(2)|z|表示复平面内复数z对应的点到原点的距离；|z1－z2|表示复平面内复数z1、z2对应的两点间的距离．
(3)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
〔变式训练2〕
(1)(2021·广西柳州摸底)已知复数z在复平面内对应点是(1，－2)，i为虚数单位，则＝(　D　)
A．－1－i
B．1＋i
C．1－i
D．1＋i
(2)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　D　)
A.＋
B．＋
C．－
D．－
[解析]　(1)由题知z＝1－2i，
∴＝＝＝＝1＋i.
(2)由|z|≤1知复数z在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y≥x的区域，该区域的面积为π－×1×1＝π－，故满足y≥x的概率为＝－.故选D.
名师讲坛·素养提升
与复数模有关问题的解法
　　例6
(1)若复数z满足|z|＝1，则|z－3＋4i|的最大值为
6
.
(2)若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，则|z1－z2|＝
　.
(3)若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝4，则点z的轨迹方程为
＋＝1　.
[分析]　利用复数模的几何意义求解．
[解析]　(1)令z＝x＋yi(x，y∈R)，
∵|z|＝1，∴x2＋y2＝1，
|z－3＋4i|表示圆x2＋y2＝1上的点到Z(3，－4)的距离，
∵|OZ|＝5，
∴|z－3＋4i|的最大值为6.
(2)由题意知||＝||＝1，|＋|＝，
即||2＋2·＋||2＝2，
∴·＝0，即⊥，
∴|－|2＝2，∴|－|＝，
∴|z1－z2|＝.
(3)|z＋i|＋|z－i|＝4表示复平面内复数z对应的点Z到(0，－1)、(0,1)距离的和为4，故其轨迹是以(0，－1)、(0、1)为焦点的椭圆．又a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，故点Z的轨迹方程为＋＝1.
名师点拨
|z|＝||；|z1＋z2|＝|＋|；|z1－z2|＝|－|＝||.
〔变式训练3〕
(1)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，若＝x＋y，则x＋y＝
5
.
(2)复数z满足|z＋3－i|＝，则|z|的最大值和最小值分别是
3、　
[解析]　(1)由＝x＋y，得3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)＝(－x＋y)＋(2x－y)i，∴解得故x＋y＝5.
(2)由题意可知复平面内复数z对应的点在以C(－3，)为圆心，以为半径的圆上，由|CO|＝2知，圆上的点Z到原点距离的最大值、最小值分别为3，，故|z|的最大值为3，最小值为.
PAGE第四讲　平面向量的综合应用
知识梳理·双基自测
知识点一　向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型
所用知识
公式表示
线平行、点共线等问题
共线向量定理
a∥b?
a＝λb　?
x1y2－x2y1＝0
，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直问题
数量积的运算性质
a⊥b?
a·b＝0　?
x1x2＋y1y2＝0
，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题
数量积的定义
cos
θ＝
　(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题
数量积的定义
|a|＝
　＝
　，其中a＝(x，y)，a为非零向量
用向量方法解决平面几何问题的步骤：
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
知识点二　向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．
知识点三　向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．
1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.
2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若∥，则A，B，C三点共线．(　√　)
(2)在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形．(　×　)
(3)向量，，中三终点A、B、C共线，则存在实数α，β，使得＝α＋β，且α＋β＝1.(　√　)
(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0,10)，C(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(　√　)
题组二　走进教材
2．(必修4P119A组T12改编)设向量a＝(cos
θ，2)，b＝(－1，sin
θ)，若a⊥b，则sin
2θ＝
　.
[解析]　∵a＝(cos
θ，2)，b＝(－1，sin
θ)，且a⊥b.
∴a·b＝－cos
θ＋2sin
θ＝0，∴tan
θ＝.
∴sin
2θ＝＝＝.
3．(必修4P119B组T13改编)平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是(　C　)
A．矩形
B．正方形
C．菱形
D．梯形
[解析]　因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．
4．(必修4P108B组T5改编)已知在正方形ABCD中，＝，＝，则在方向上的投影为(　A　)
A．4
B．
C．2
D．
[解析]　设正方形ABCD的边长为4，建立如图所示的平面直角坐标系，则由已知可得C(4,4)，E(2,0)，F(0,1)，所以＝(－2，－4)，＝(－4，－3)，则在方向上的投影为＝＝4，故选A.
题组三　走向高考
5．(2017·北京)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为
6
.
[解析]　解法一：由题意知，＝(2,0)，令P(cos
α，sin
α)，则＝(cos
α＋2，sin
α)，·＝(2,0)·(cos
α＋2，sin
α)＝2cos
α＋4≤6，故·的最大值为6.
解法二：由题意知，＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则·＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故·的最大值为6.
6．(2019·天津)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝
－1
.
[解析]　解法一：△AEB为等腰三角形，易得|BE|＝2，所以＝＋＝－，则·＝(－)·(－)＝－2－2＋·＝－10－12＋21＝－1.
解法二：如图，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，垂直BC且过点B的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(0,0)，易知E(－2,0)，A(－3，)，又BD＝＝，所以D(2，)，于是＝(2，)，＝(1，－)，所以·＝(2，)·(1，－)＝2－3＝－1.
考点突破·互动探究
考点一　向量与平面几何——师生共研
　　例1
(2020·江苏，13)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9.若＝m＋(m为常数)，则CD的长度是
0或　.
[解析]　本题考查向量的坐标表示及线性运算与向量的模．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则B(4,0)，C(0,3)．
由＝m＋，得＝m(＋)＋·(＋)，
整理得＝－2m＋(2m－3)＝－2m(4,0)＋(2m
－3)(0,3)＝(－8m,6m－9)．
由AP＝9，得64m2＋(6m－9)2＝81，解得m＝或m＝0.
当m＝0时，＝(0，－9)，此时C与D重合，CD＝0；
当m＝时，直线PA的方程为y＝x，
直线BC的方程为＋＝1，
联立两直线方程可解得x＝m，y＝3－2m，
即D.
∴CD＝＝.
∴CD的长度是0或.
名师点拨
平面几何问题的向量解法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．
〔变式训练1〕
　(2021·安徽皖南八校联考)在边长为1的正三角形ABC中，＝x，＝y，x>0，y>0，且x＋y＝1，则·的最大值为(　B　)
A．－
B．－
C．－
D．－
[解析]　由题意可知＝－＝(1－x)－，
＝－＝(1－y)－，又x＋y＝1，
∴＝－＋x，又||＝||＝1，·＝，
∴·＝[(1－x)－]·(－＋x)
＝＝≤－(当且仅当x＝时取等号)故选B.
考点二　向量在解析几何中的应用——师生共研
　　例2
若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为
6
.
[解析]　由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则有＋＝1，解得y＝3，
因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，
所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝＋x0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－2，
因为－2≤x0≤2，
故当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6.
名师点拨
向量在解析几何中的“两个”作用：①载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；②工具作用，利用a⊥b?a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b?a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题常常是比较优越的方法．
〔变式训练2〕
　已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，若＋＝，则a的值为(　A　)
A．±1
B．±
C．±
D．±2
[解析]　因为A，B，C均为圆x2＋y2＝2上的点，
故||＝||＝||＝，
因为＋＝，所以(＋)2＝2，
即2＋2·＋2＝2，
即4＋4cos
∠AOB＝2，故∠AOB＝120°.
则圆心O到直线AB的距离d＝·cos
60°＝＝，则|a|＝1，即a＝±1.故选A.
考点三　向量与其他知识的交汇——师生共研
　　例3
(2020·吉林省实验中学高三上第四次月考)已知向量a＝(sin
x，－1)，b＝，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a＝，c＝1，且f(A)＝1，求△ABC的面积S.
[解析]　(1)f(x)＝(a＋b)·a－2＝|a|2＋a·b－2＝sin2x＋1＋sin
xcos
x＋－2＝＋sin
2x－＝sin
2x－cos
2x＝sin，
则－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)．
解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)f(A)＝sin＝1，
∵A∈，∴2A－∈，
∴2A－＝，∴A＝.
又a2＝b2＋c2－2bccos
A，∴b＝2，
从而S＝bcsin
A＝.
名师点拨
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值．
〔变式训练3〕
　在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．
[解析]　(1)因为m＝(cos
B，cos
C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，所以ccos
B＋(b－2a)cos
C＝0，
在△ABC中，由正弦定理得，
sin
Ccos
B＋(sin
B－2sin
A)cos
C＝0，sin
A＝2sin
Acos
C，
又sin
A≠0，所以cos
C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.
(2)由＝知，－＝－，所以2＝＋，
两边平方得
4||2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.
①
又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.
②
由①②得ab＝8，所以S△ABC＝absin∠ACB＝2.
名师讲坛·素养提升
三角形的四“心”及三角形形状的判定
　　例4
(1)点P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则点P是△ABC的(　D　)
A．外心　　
B．内心　　
C．重心　　
D．垂心
(2)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　B　)
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
(3)已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　B　)
A．重心
B．垂心
C．内心
D．外心
(4)已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　A　)
A．重心
B．垂心
C．内心
D．外心
[解析]　(1)由·＝·，得·－·＝0，即·(－)＝0，即·＝0，则PB⊥CA.
同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心．故选D.
(2)因为是向量方向上的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1和e2，又－＝，则原式可化为＝λ(e1＋e2)，则由菱形的基本性质可知AP平分∠BAC，选B.
(3)由条件，得＝λ
从而·＝λ
＝λ
＝λ(－||＋||)＝0，得⊥，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．故选B.
另解：作AD⊥BC于D，则＋
＝＋＝＋＝.
∴与共线，故点P必过△ABC的垂心．
(4)由正弦定理得＝，
即||·sin
B＝||sin
C，
∴－＝λ，
即＝(＋)＝(其中M为BC的中点)，
∴P∈AM，则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，故选A.
另解：作AD⊥BC于D，则＋
＝(＋)＝(其中M为BC的中点)，
即与共线，∴动点P的轨迹一定过△ABC的重心，选A.
名师点拨
三角形各心的概念介绍
(1)重心：三角形的三条中线的交点；O是△ABC的重心?＋＋＝0；
(2)垂心：三角形的三条高线的交点；O是△ABC的垂心?·＝·＝·；
(3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．
O是△ABC的外心?||＝||＝||(或2＝2＝2)；
(4)内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O是△ABC的内心?·＝·＝·＝0.
注意：向量λ(λ≠0)所在直线过△ABC的内心(是∠BAC的角平分线所在直线)．
　　例5
(2020·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　C　)
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
[分析]　通过向量运算从算式中消掉O.
[解析]　由题意知·(＋)＝0.所以(－)·(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形，故选C.
[引申]　(1)若条件改为“|－|＝|＋－2|”结果如何？
(2)若条件改为“2＝·＋·＋·”结果如何？
[解析]　(1)＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|?|＋|2＝|－|2?·＝0，∴三角形为直角三角形，故选B.
(2)∵2＝·＋·＋·，
∴·(－)＝·(－)，
∴·＝2，
∴·(＋)＝0，即·＝0
∴⊥，即C＝.
∴△ABC为直角三角形，故选B.
名师点拨
三角形形状的判断
在△ABC中，①若||＝||，则△ABC为等腰三角形；②若·＝0，则△ABC为直角三角形；③若·<0，则△ABC为钝角三角形；④若·>0，·>0，且·>0，则△ABC为锐角三角形；⑤若|＋|＝|－|，则△ABC为直角三角形；⑥若(＋)·＝0，则△ABC为等腰三角形．
〔变式训练4〕
(1)若P为△ABC所在平面内一点．
①若(－)·(－)＝0，则动点P的轨迹必过△ABC的
垂心
.
②若＝＋λ(＋)(λ≥0)，则动点P的轨迹必过△ABC的
重心
.
③若2＝2－2·，则动点P的轨迹必过△ABC的
外心
.
(2)已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC为(　D　)
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．等边三角形
[解析]　(1)①由题意知·＝0，∴AP⊥BC，∴动点P必过△ABC的垂心；
②由题意知＝λ(＋)＝2λ(M为BC中点)∴P、A、M共线，∴P必过△ABC的重心；
③2·＝2－2＝(－)·(＋)＝·(＋)，即2·＝·(＋)，∴·(2－－)＝·(＋)＝0.∴以，为邻边的平行四边形的对角线互相垂直．∴点P在线段AB的中垂线上，∴P必过△ABC的外心．
(2)因为非零向量与满足·＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.
又cos
∠BAC＝·＝，所以∠BAC＝.所以△ABC为等边三角形．故选D.
PAGE第三讲　平面向量的数量积
知识梳理·双基自测
知识点一　向量的夹角
两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范围是
[0，π]　.
a与b的夹角为
　时，则a与b垂直，记作a⊥b.
知识点二　平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝
|a||b|cos
θ　，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积．
知识点三　平面向量数量积的性质及其坐标表示
(1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
①数量积：a·b＝|a||b|cos
θ＝
x1x2＋y1y2
.
②模：|a|＝＝
　.
③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝.
④夹角：cos
θ＝
　＝.
⑤已知两非零向量a与b，a⊥b?a·b＝0?
x1x2＋y1y2＝0
；a∥b?a·b＝±|a||b|.(或|a·b|＝|a|·|b|)．
⑥|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤·.
(2)平面向量数量积的运算律
①a·b＝b·a(交换律)．
②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
1．两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0而0·a＝0.
2．数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)．
3．a·b中的“·”不能省略．a·a＝a2＝|a|2.
4．两向量a与b的夹角为锐角?a·b>0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角?a·b<0，且a与b不共线．当a、b为非零向量时a、b同向?a·b＝|a||b|；a、b反向?a·b＝－|a||b|.
5．a在b方向上的投影|a|·cos
θ＝.
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　×　)
(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　√　)
(3)a·b>0，则a与b的夹角为锐角；a·b<0，则a与b的夹角为钝角．(　×　)
(4)两向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)
(5)在等边三角形ABC中，向量与的夹角为60°.(　×　)
(6)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　×　)
(7)(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　)
(8)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　×　)
题组二　走进教材
2．(必修4P107T2改编)向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　A　)
A．6
B．5
C．1
D．－6
[解析]　由题意知2a＋b＝(3,0)，∴(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6，故选A.
3．(必修4P106T5改编)已知向量a与b的夹角为，|a|＝，则a在b方向上的投影为(　C　)
A.
B．
C．
D．
[解析]　∵a在b方向上的投影为|a|·cos
〈a，b〉＝cos
＝.选C.
4．(必修4P108T4改编)在圆O中，长度为的弦AB不经过圆心，则·的值为
1
.
[解析]　设向量，的夹角为θ，则·＝||||·cos
θ＝||cos
θ·||＝||·||＝×()2＝1.
题组三　走向高考
5．(2020·课标Ⅰ，14,5分)设向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1，2m－4)，若a⊥b，则m＝
5
.
[解析]　由a⊥b得a·b＝0，即m＋1－(2m－4)＝0，解得m＝5.
6．(2020·课标Ⅰ，14,5分)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝
　.
[解析]　由|a＋b|＝1，得|a＋b|2＝1，即a2＋b2＋2a·b＝1，而|a|＝|b|＝1，故a·b＝－，|a－b|＝＝＝＝.
7．(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　B　)
A.
B．
C．
D．
[解析]　解法一：由题意得，(a－b)·b＝0?a·b＝|b|2，
∴|a||b|·cos
〈a，b〉＝|b|2，
∵|a|＝2|b|，
∴2|b|2cos
〈a，b〉＝|b|2?cos
〈a，b〉＝，
∴〈a，b〉＝，故选B.
解法二：如图所示，设＝a，＝b，
则＝a－b，∴B＝，||＝2||，
∴∠AOB＝，即〈a，b〉＝.
考点突破·互动探究
考点一　平面向量数量积的运算——师生共研
　　例1
(1)(2019·全国卷Ⅱ，5分)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　C　)
A．－3
B．－2
C．2
D．3
(2)(2020·北京，13,5分)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝(＋)，则||＝
　；·＝
－1
.
[解析]　(1)因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1,0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.
(2)如图，在正方形ABCD中，由＝(＋)得点P为BC的中点，∴||＝，·＝·(＋)＝·＋·＝·＝1×1×cos
180°＝－1.
[一题多解]　∵＝(＋)，∴P为BC的中点．以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(2,1)，∴||＝＝，＝(0，－1)，＝(－2,1)，∴·＝(0，－1)·(－2,1)＝－1.
名师点拨
向量数量积的四种计算方法
(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos
θ.
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示要求数量积的向量求解．
(4)坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积(如本例(2))．
〔变式训练1〕
(1)(2021·江西名校高三质检)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝
10
.
(2)在菱形ABCD中，对角线AC＝4，E为CD的中点，则·＝(　C　)
A．8
B．10
C．12
D．14
[解析]　(1)因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos
60°＝2××＝10.
(2)解法一：转化法：注意到菱形的对角线AC⊥BD.故用、表示，由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
∴·＝·＝||2＋·＝|AC|2＝12，故选C.
解法二：坐标法：如图建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，C(2,0)，不妨设D(0,2a)，则E(1，a)
∴＝(3，a)，＝(4,0)
∴·＝(3，a)·(4,0)＝12，故选C.
考点二　向量的模、夹角——多维探究
角度1　向量的模
　　例2
(1)(2021·四川双流中学月考)若平面向量a、b的夹角为60°，且a＝(1，－)，|b|＝3，则|2a－b|的值为(　C　)
A．13
B．
C．
D．1
(2)(2021·黄冈调研)已知平面向量m，n的夹角为，且|m|＝，|n|＝2，在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D为BC的中点，则||＝
2
.
[分析]　(1)求出|a|，再由|2a－b|＝求解；
[解析]　(1)∵a＝(1，－)，∴|a|＝2.
∴a·b＝|a||b|cos
60°＝3，
|2a－b|＝＝＝.故选C.
(2)由题意知m·n＝×2×cos
＝3.
∵△ABC中，D为BC的中点，
∴＝(＋)＝(2m＋2n＋2m－6n)＝2m－2n.
∴||＝|2m－2n|＝2
＝2＝2＝2.
名师点拨
平面向量的模的解题方法
(1)若向量a是以坐标(x，y)形式出现的，求向量a的模可直接利用|a|＝.
(2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．即“模的问题平方求解．”
角度2　向量的夹角
　　例3
(1)(2021·新高考八省联考)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则sin＝(　B　)
A.
B．
C．
D．
(2)(2020·全国Ⅲ理，6)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　D　)
A．－
B．－
C．
D．
[分析]　(1)利用夹角公式求解．
[解析]　(1)设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(，)，
cos＝＝＝，
∴sin＝，故选B.
(2)∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝19.又|a＋b|＝＝＝7，
∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝.故选D.
名师点拨
求两向量夹角的方法及注意事项
(1)一般是利用夹角公式：cos
θ＝.
(2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．
(3)a在b方向上的投影等于|a|cos
θ＝；b在a方向上的投影等于|b|cos
θ＝.
角度3　平面向量的垂直
　　例4
(1)(2020·全国Ⅲ，5)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　D　)
A．a＋2b
B．2a＋b
C．a－2b
D．2a－b
(2)(2021·安徽宣城调研)已知在△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　A　)
A.
B．
C．6
D．
[解析]　(1)本题考查向量的数量积．由题意得a·b＝|a||b|cos
60°＝，b2＝|b|2＝1.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A错；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B错；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C错；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b，故选D.
(2)因为⊥，所以·＝(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)·＝0，
因此－λ×32＋42＋(λ－1)×3×4×cos
120°＝0，
所以λ＝.故选A.
名师点拨
平面向量垂直问题的解题思路
解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件a·b＝0求解．
〔变式训练2〕
(1)(角度3)(2020·全国Ⅱ，13)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝
　.
(2)(角度1)(2021·山西康杰中学五校期中)已知向量a、b满足|b|＝2|a|＝2，a与b的夹角为120°，则|a－2b|＝(　B　)
A.
B．
C．13
D．21
(3)(角度2)(2021·江西七校联考)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为－3，则向量a与b的夹角为
　.
[解析]　(1)本题考查平面向量的数量积运算．由题意知|a|＝|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cos
45°＝.因为ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝0，即ka2－a·b＝0，即k－＝0，得k＝.
(2)|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－1，
∴|a－2b|＝＝＝.故选B.
(3)由题意可知＝－3，
∴＝－3.
∴m＝－3，∴|b|＝＝6，记a与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝－，
又0≤θ≤π，∴θ＝.
名师讲坛·素养提升
有关数量积的最值(范围)问题
　　例6
(1)(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　B　)
A．－2
B．－
C．－
D．－1
[思维导引]　思路一：
→→
思路二：
→
[解析]　解法一：结合题意画出图形，如图所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有＋＝2，则·(＋)＝2·＝2(＋)·(－)＝2(2－2)．
而2＝2＝，
当点P与点E重合时，2有最小值0，故此时·(＋)取得最小值，最小值为－22＝－2×＝－.
解法二：如下图所示，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－)2－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.
　　
名师点拨
平面向量中有关最值(或取值范围)问题的两种求解思路
一是“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
〔变式训练3〕
　(2020·全国新高考Ⅰ，7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　A　)
A．(－2,6)
B．(－6,2)
C．(－2,4)
D．(－4,6)
[解析]　本题考查平面向量数量积的取值范围．如图，以正六边形的中心为坐标原点O，线段FC所在直线为x轴，线段FC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则F(－2,0)，C(2,0)，A(－1，－)，B(1，－)．设P(x，y)，x∈(－2,2)，则·＝(x＋1，y＋)·(2,0)＝2x＋2∈(－2,6)．故选A.
PAGE第二讲　平面向量的基本定理及坐标表示
知识梳理·双基自测
知识点一　平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个
不共线
向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝
λ1e1＋λ2e2　.
知识点二　平面向量的坐标表示
在直角坐标系内，分别取与
x轴，y轴正方向相同
的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，
(x，y)
叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝
(1,0)
，j＝(0,1)，0＝
(0,0)
.
知识点三　平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝
(x1－x2，y1－y2)
，λa＝
(λx1，λy1)
，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝
(x2－x1，y2－y1)
，||＝
　.
知识点四　向量共线的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?
x1y2－x2y1＝0
.
　两个向量作为基底的条件：作为基底的两个向量必须是不共线的．平面向量的基底可以有无穷多组．
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(　×　)
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　×　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　√　)
(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　√　)
题组二　走进教材
2．(必修4P100T2改编)(2021·北京十五中模拟)如果向量a＝(1,2)，b＝(4,3)，那么a－2b＝(　B　)
A．(9,8)
B．(－7，－4)
C．(7,4)
D．(－9，－8)
[解析]　a－2b＝(1,2)－(8,6)＝(－7，－4)，故选B.
3．(必修4P101A组T5改编)下列各组向量中，可以作为基底的是(　B　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
[解析]　A选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B选项中，不存在实数λ，使得e1＝λe2.故两向量不共线，故其可以作为基底；C选项中，e2＝2e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D选项中，e1＝4e2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B.
题组三　走向高考
4．(2015·新课标全国Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　A　)
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
[解析]　设C(x，y)，∵A(0,1)，＝(－4，－3)，
∴解得
∴C(－4，－2)，又B(3,2)，
∴＝(－7，－4)，选A.
5．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝
　.
[解析]　由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝.
6．(2015·北京)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝
　；y＝
－　.
[解析]　由题中条件得＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.
考点突破·互动探究
考点一　平面向量基本定理的应用——师生共研
　　例1
(1)如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为
6
.
(2)已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λμ＝
－3
.
[分析]　利用平行四边形法则对作关于，为基底的分解．
[解析]　(1)解法一：以λ和μ为邻边作平行四边形OB1CA1，如图，则＝＋.
因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，
所以∠B1OC＝90°，在Rt△OB1C中，||＝2，
所以||＝2，||＝4，所以||＝||＝4，
所以＝4＋2，所以λ＋μ＝6.
解法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，C(2cos
30°，2sin
30°)，B(cos
120°，sin
120°)．
即A(1,0)，C(3，)，B.
由＝λ＋μ＝λ(1,0)＋μ，
即＝(3，)，
得所以所以λ＋μ＝6.
(2)建立如图所示的平面直角坐标系xAy，
则＝(2，－2)，＝(1,2)，＝(1,0)．
由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，
即解得
所以λμ＝－3.故填－3.
[引申]　若将本例(1)中“＝λ＋μ”改为“＝λ＋μ”则λ＋μ＝
－　.
[解析]　过点B作BH∥OA交OC于H，由例(1)知在Rt△OBH中，|BH|＝2，|OH|＝，∴＝＋＝－2，∴λ＝－2，μ＝，故λ＋μ＝－.
名师点拨
应用平面向量基本定理的关键
(1)基底必须是两个不共线的向量．
(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．
(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．
易错提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．
〔变式训练1〕
　(2021·江苏南通月考)如图所示，半径长为1的扇形AOB的圆心角为120°，点C在弧AB上，且∠COB＝30°，若＝λ＋2μ，则λ＋μ＝
　.
[解析]　根据题意，可得OA⊥OC，以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则有A(0,1)，C(1,0)，B(cos
30°，－sin
30°)，即，于是＝(0,1)，＝(1,0)，＝.
由＝λ＋2μ，得(1,0)＝λ(0,1)＋2μ，
∴解得故λ＋μ＝.
考点二　平面向量坐标的基本运算——自主练透
　　例2
(1)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
①求3a＋b－3c；
②求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
③求M，N的坐标及向量的坐标．
(2)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为
(－4，－2)
.
[解析]　(1)由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
②因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以解得.
③设O为坐标原点，
因为＝－＝3c，
所以＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，
所以M(0,20)．
又因为＝－＝－2b，
所以＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)．
所以N(9,2)．所以＝(9，－18)．
(2)设a＝(x，y)，x<0，y<0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)．
名师点拨
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.
考点三　向量共线的坐标表示及其应用——多维探究
角度1　利用向量共线求参数的值
　　例3
(2021·海南省文昌中学模拟)已知a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝
－6
.
[解析]　由题意得a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5，9－k)，由(a＋2b)∥(3a－b)，得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.
角度2　利用向量共线求解综合问题
　　例4
(2020·湖南“三湘教育联盟”联考)已知向量a＝(sin
θ，1)，b＝(－sin
θ，0)，c＝(cos
θ，－1)，且(2a－b)∥c，则sin
2θ等于
－　.
[解析]　由题意知2a－b＝(3sin
θ，2)，
又(2a－b)∥c，∴－3sin
θ＝2cos
θ，即tan
θ＝－，
∴sin
2θ＝＝＝－.
名师点拨
利用两向量共线解题的技巧
(1)一般地，在求一个与已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其它条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(2)如果已知两个向量共线，求某些参数的值，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是：x1y2－x2y1＝0”比较简捷．
〔变式训练2〕
(1)(角度2)(2021·郑州月考)已知向量a＝(1－sin
θ，1)，b＝(，1＋sin
θ)，若a∥b，则锐角θ＝
45°　.
(2)(角度1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k＝
－　.
[解析]　(1)由a∥b，得(1－sin
θ)(1＋sin
θ)＝，
所以cos2θ＝，所以cos
θ＝或cos
θ＝－，
又θ为锐角，所以θ＝45°.故填45°.
(2)＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以，共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
名师讲坛·素养提升
三点共线的充要条件
　　例5
如图△ABC中，＝，＝2，BF交CE于G，＝x＋y，则x＋y＝(　D　)
A.
B．
C．
D．
[分析]　注意到E、G、C三点共线，B、G、F三点共线，利用三点共线的充要条件求解．
[解析]　∵B、G、F三点共线，
＝x＋y＝＋y，
∴＋y＝1，①
又E、G、C三点共线，
∴＝x＋y＝x＋，
∴x＋＝1，②
由①、②可得x＝，y＝.∴x＋y＝，故选D.
[引申]　本例中若＝x＋y，则x＋y＝
　.
[解析]　＝＋＝＋，
∴x＋y＝.
　　例6
(2021·山西运城期中)点O是△ABC内部一点，且满足2＋3＋4＝0，则△AOB，△BOC，△COA面积的比为(　A　)
A．4?2?3
B．2?3?4
C．4?3?2
D．3?4?5
[分析]　连CO并延长交AB于D，探求与间的关系可得S△AOB与S△ABC的比，同理可求S△AOC与S△ADC的比，进而得S△AOB?S△BOC?S△AOC.
[解析]　延长CO交AB于D.
∵2＋3＋4＝0，
∴2(－)＋3(－)＋4＝0，
∴＝(2＋3)
＝(＋)＝，
(提示∵＋＝1，且D与A、B共线)
∴＝，
∴S△AOB＝S△ABC，同理S△COA＝S△ABC，
∴S△AOB?S△BOC?S△COA＝4?2?3，故选A.
另解：(巧妙构图，秒杀面积问题)
?OMQN中＝2，＝3，
＝－＝，
显然2＋3＋4＝0，且O为△PMN的重心．
记S△PON＝S△POM＝S△MON＝S.
∴S△AOB?S△BOC?S△COA＝??＝4?2?3，故选A.
名师点拨
设、不共线，且＝λ＋μ，则P、A、B共线的充要条件是λ＋μ＝1.
证明：充分性：∵λ＋μ＝1，∴＝λ＋μ＝(1－μ)＋μ＝＋μ(－)＝＋μ.∴－＝μ.∴＝μ，∴，共线．∵有公共点A，∴A，P，B三点共线．必要性：若P，A，B三点共线，则＝μ＝μ(－)．∴－＝μ－μ.∴＝(1－μ)＋μ.令λ＝1－μ，则＝λ＋μ，其中μ＋λ＝1.
〔变式训练3〕
(1)(2021·山东曲阜模拟)如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　B　)
A.
B．
C．1
D．3
(2)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为(　C　)
A.
B．
C．
D．
[解析]　(1)解法一：设＝λ(λ>0)，
＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ)＋，
因为＝m＋，
所以＝，得λ＝，所以m＝1－λ＝，故选B.
解法二：＝m＋＝m＋，
∴m＋＝1，∴m＝.
(2)如图，设AB的中点为D.由5＝＋3，得3－3＝2－2，所以＝，所以C，M，D三点共线，且＝，所以△ABM与△ABC公共边AB上的两高之比为3?5，则△ABM与△ABC的面积比为.
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