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第三章　三角函数、解三角形
第一讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数
知识梳理·双基自测
知识点一　角的有关概念
(1)从运动的角度看，角可分为正角、
负角
和
零角
.
(2)从终边位置来看，角可分为
象限角
与
轴线角
.
(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为
β＝2kπ＋α，k∈Z　.
知识点二　弧度制及弧长、扇形面积公式
(1)1弧度的角
长度等于
半径长
的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
(2)角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝
　.
(3)角度与弧度的换算
①1°＝
rad　；②1rad＝
°　.
(4)弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝
|α|r
，扇形的面积为S＝lr＝
|α|·r2　.
知识点三　任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin
α＝
y
，cos
α＝
x
，tan
α＝
(x≠0)　.
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的
正弦线
，
余弦线
和
正切线
.
1．终边相同的角与对称性拓展
(1)β，α终边相同?β＝α＋2kπ，k∈Z.
(2)β，α终边关于x轴对称?β＝－α＋2kπ，k∈Z.
(3)β，α终边关于y轴对称?β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
(4)β，α终边关于原点对称?β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
2．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角．(　×　)
(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(　×　)
(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(　×　)
(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(　×　)
(5)角a＝kπ＋(k∈Z)是第一象限角．(　×　)
(6)若sin
α＝sin
，则α＝.(　×　)
[解析]　根据任意角的概念知(1)(2)(3)(4)(5)(6)均是错误的．
题组二　走进教材
2．(必修4P10AT8改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　C　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)　　　　
B．k·360°＋π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
[解析]　由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z)．
3．(必修4P15T6改编)若角θ满足tan
θ>0，sin
θ<0，则角θ所在的象限是(　C　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析]　由tan
θ>0知，θ是一、三象限角，由sin
θ<0知，θ是三、四象限角或终边在y轴负半轴上，故θ是第三象限角．
4．已知扇形的周长为10
cm，面积是4
cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　B　)
A．8
B．
C．8或
D．8或4
[解析]　设圆心角是θ，半径是r
cm，则解得(舍)或故扇形圆心角为.
题组三　走向高考
5．(2020·课标Ⅱ，2,5分)若α为第四象限角，则(　D　)
A．cos
2α>0
B．cos
2α<0
C．sin
2α>0
D．sin
2α<0
[解析]　∵α是第四象限角，∴－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，∴sin
2α<0，cos
2α可正、可负、可零．故选D.
6．(2019·浙江，14分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.则sin(α＋π)的值为
　.
[解析]　由角α的终边过点P得sin
α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin
α＝.
考点突破·互动探究
考点一　角的基本概念——自主练透
　　例1
(1)若角θ的终边与角的终边相同，则在区间[0,2π)内终边与角的终边相同的角为
，，　.
(2)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　D　)
A.
B．
C．
D．
(3)(多选题)已知角α的终边在第二象限，则的终边在第几象限(　AC　)
A．一
B．二
C．三
D．四
[解析]　(1)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)．
依题意，0≤＋<2π，k∈Z，
解得－≤k<，k∈Z.
∴k＝0,1,2，即在区间[0,2π)内终边与相同的角为，，.
(2)因为直线y＝－x的倾斜角是，所以终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为，故选D.
(3)由角α的终边在第二象限，
所以＋k·2π<α<π＋k·2π，k∈Z，
所以＋·2π<<＋·2π，k∈Z，
当k＝2m，m∈Z时，＋m·2π<<＋m·2π，m∈Z，
所以终边在第一象限；
当k＝2m＋1，m∈Z时，＋m·2π<<＋m·2π，m∈Z，
所以终边在第三象限，综上，的终边在第一或三象限．故选A、C.
[引申](1)本例题(3)中，若把第二象限改为第三象限，则结果如何？
[答案]　的终边在第二或第四象限．
(2)在本例题(3)中，条件不变，的终边所在的位置是
在第一、二或四象限
.
(3)在本例(3)中，条件不变，则π－α是第
一
象限角，2α终边的位置是
第三或第四象限或y轴负半轴上
.
名师点拨
1．迅速进行角度和弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识必备的基本功，若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化成2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断，这里要特别注意是π的偶数倍，而不是π的整数倍．
2．终边相同角的表达式的应用
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需角．
3．确定(k∈N
)的终边位置的方法
(1)讨论法：
①用终边相同角的形式表示出角α的范围．
②写出的范围．
③根据k的可能取值讨论确定的终边所在位置．
(2)等分象限角的方法：已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求是第几象限角．
①等分：将每个象限分成k等份．
②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴．
③选答：出现数字m的区域，即为所在的象限．
如判断象限问题可采用等分象限法.
考点二　扇形的弧长、面积公式的应用——师生共研
　　例2
已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10
cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长是20
cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2
cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
[解析]　(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)．
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5时，S取得最大值25
cm2，
此时l＝10，α＝2.
(3)设弓形面积为S弓．由题知l＝
cm.
S弓＝S扇形－S三角形＝××2－×22×sin
＝cm2.
[答案]　(1)
cm　(2)α＝2时，S最大为25
cm2
(3)cm2
名师点拨
弧长和扇形面积的计算方法
(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．但要注意圆心角的单位是弧度．
(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
(3)记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S是扇形面积．
〔变式训练1〕
(1)(2021·广东珠海模拟)已知扇形的周长是4
cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是(　A　)
A．2
B．1
C．
D．3
(2)(2020·山东潍坊期中)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为6
m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(≈1.73)(　C　)
A．16
m2
B．18
m2
C．20
m2
D．25
m2
[解析]　(1)设扇形的半径为R，则弧长l＝4－2R，∴扇形面积S＝lR＝R(2－R)＝－R2＋2R＝－(R－1)2＋1，当R＝1时，S最大，此时l＝2，扇形圆心角为2弧度．
(2)如图，由题意，得∠AOB＝，OA＝6.在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×6＝3，可得矢＝6－3＝3.由AD＝AO·sin
＝6×＝3，可得弦AB＝2AD＝2×3＝6，所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(6×3＋32)＝9＋4.5≈20(m2)，故选C.
考点三　三角函数的定义——多维探究
角度1　定义的直接应用
例3
(1)(2020·北京海淀期中)在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴上．在△AOC中，若cos
∠AOC＝－，则点A的横坐标为(　A　)
A．－
B．
C．－3
D．3
(2)若角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin
θ＝m，则cos
θ的值为
－　.
[分析]　利用三角函数的定义求解．
[解析]　(1)设点A的横坐标为x，则由题意知＝－，解得x＝或－，又x<0，∴x＝－，故选A.
(2)由题意知r＝，所以sin
θ＝＝m，因为m≠0，所以m＝±，所以r＝＝2，所以cos
θ＝＝－.
角度2　三角函数值符号的应用
例4
(1)(多选题)下列各选项中正确的是(　BD　)
A．sin
300°>0
B．cos(－305°)>0
C．tan>0
D．sin
10<0
(2)若sin
αtan
α<0，且<0，则角α是(　C　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析]　(1)300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin
300°<0，－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0，而－π＝－8π＋，所以－π是第二象限角，故tan<0，因为3π<10<，所以10是第三象限角，故sin
10<0.故选B、D.
(2)由sin
αtan
α<0可知sin
α，tan
α异号，则α为第二或第三象限角．由<0可知cos
α，tan
α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．故选C.
名师点拨
定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点的距离|OP|＝r，然后利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离r，再利用三角函数的定义求解，应注意分情况讨论．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)若sin
θ·cos
θ<0，>0，则角θ是(　D　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
(2)(角度2)已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin
α·tan
α等于(　C　)
A．－
B．±
C．－
D．±
[解析]　(1)由>0，得>0，cos
θ>0，又sin
θ·cos
θ<0，所以sin
θ<0，所以θ为第四象限角，选D.
(2)因为点P在单位圆上，
所以2＋y2＝1，解得y＝±.
当y＝时，sin
α＝，tan
α＝－，
所以sin
α·tan
α＝－.
当y＝－时，sin
α＝－，tan
α＝，所以sin
α·tan
α＝－.
综上知，sin
α·tan
α＝－.
名师讲坛·素养提升
利用三角函数线解三角不等式
　　例5
(1)不等式sin
x≥的解集为
≤x≤　.
(2)不等式cos
x≥－的解集为
x≤2kπ＋　.
(3)函数f(x)＝＋lg(2cos
x－)的定义域为
　.
[分析]　(3)依据题意列出不等式组，通过画图作出三角函数线，找到边界角，从而求出各不等式的取值范围，最后求交集即可．
[解析]　(1)过点作平行于x轴的直线，交单位圆于点P1，P2，
则以OP1、OP2为终边的角分别为＋2kπ、＋2kπ(k∈Z)，其正弦值为，终边落在阴影部分的角的正弦值不小于，∴sin
x≥的解集为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)过点作垂直于x轴的直线与单位圆交于点Q1，Q2，
则以OQ1，OQ2为终边的角的余弦值为－，其对应的角分别为2kπ＋、2kπ－(k∈Z)，终边落在阴影部分的角的余弦值大于－.
∴cos
x≥－的解集为.
(3)由得
在单位圆中分别画出不等式①②的解集对应的区域，其公共区域为不等式组的解集，
∴函数f(x)的定义域为.
名师点拨
(1)利用单位圆解三角不等式的步骤为：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．
(2)
由图可知sin
α>cos
α的解集，sin
αα的解集；
|sin
α|>|cos
α|的解集，|sin
α|<|cos
α|的解集.
〔变式训练3〕
(1)函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为(k∈Z).
(2)若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sin
α，cos
α，tan
α的大小是(　C　)
A．sin
ααα
B．cos
ααα
C．sin
ααα
D．tan
ααα
[解析]　(1)∵3－4sin2x>0，
∴sin2x<.∴－x<.
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，
∴x∈(k∈Z)．
(2)如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可得，AT>OM>MP，故有sin
ααα.故选C.
PAGE第五讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
知识梳理·双基自测
知识点一　用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表如示.
x
－　
－＋　
　
－　
　
ωx＋φ
0
　
π
　
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
知识点二　函数y＝Asin
x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下
知识点三　简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中的有关物理量
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间的“长度
”为.
2．“五点法”作图中的五个点：①y＝Asin(ωx＋φ)，两个最值点，三个零点；②y＝Acos(ωx＋φ)，两个零点，三个最值点．
3．正弦曲线y＝sin
x向左平移个单位即得余弦曲线y＝cos
x.
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位长度得到的．(　√　)
(2)将函数y＝sin
ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin
(ωx－φ)的图象．(　×　)
(3)函数y＝Acos
(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　√　)
(4)函数y＝sin
x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin
x.(　×　)
题组二　走进教材
2．(必修4P55T2改编)(1)把y＝sin
x的图象向右平移个单位，得
y＝sin　的图象．
(2)把y＝sin
x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)得
y＝sin
x　的图象．
(3)把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得
y＝sin　的图象．
(4)把y＝sin
2x的图象向右平移个单位，得
y＝sin　的图象．
3．(必修4P70T18改编)函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　C　)
A．2，，
B．2，，
C．2，，－
D．2，，－
[解析]　由题意得A＝2，T＝＝π，∴f＝＝，φ＝－.故选C.
4．(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
月份x
1
2
3
4
收购价格y(元/斤)
6
7
6
5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为
y＝sin＋6　.
[解析]　设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，
所以y＝sin＋6.
因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin＋6，
结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，
所以y＝sin＋6.
题组三　走向高考
5．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　A　)
A．2
B．
C．1
D．
[解析]　依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×＝π，解得ω＝2，选A.
6．(多选题)(2020·新高考Ⅰ，10,5分)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　BC　)
A．sin
B．sin
C．cos
D．cos
[解析]　由题图可知，＝－＝，∴T＝π，由T＝可知，＝π，∴|ω|＝2，不妨取ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)，又∵图象过，∴sin＝0，又∵是f(x)的下降零点，∴＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，则f(x)＝sin＝sin
＝cos，f(x)＝sin＝sin
＝sin，故选BC.
7．(2020·江苏，10)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是
x＝－　.
[解析]　本题考查三角函数图象的平移变换，三角函数图象的对称轴．将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝3sin＝3sin的图象，则函数g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；
当k＝－1时，x＝－，
所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x＝－.
考点突破·互动探究
考点一　“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象——自主练透
　　例1
(2021·湖北黄冈元月调考)已知函数f(x)＝－cos
＋1－2sin2x.
用“五点作图法”在坐标系中画出函数f(x)在[0，π]上的图象．
[解析]　f(x)＝－cos＋1－2sin2x＝sin
2x＋cos
2x＝2sin.
列表如下：
x
0
π
f(x)
1
2
0
－2
0
1
函数f(x)在[0，π]上的图象如图所示．
名师点拨
用“五点法”作正、余弦型函数图象的步骤
(1)将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的形式．
(2)确定周期．
(3)确定一个周期或给定区间内函数图象的最高点和最低点以及零点．
(4)列表．
(5)描点．
(6)连线：用平滑曲线连接各点得函数在一个周期(或给定区间)内的图象．注意用“五点法”作图时，表中五点横坐标构成以－为首项，公差为的等差数列．
〔变式训练1〕
　设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
[解析]　(1)因为T＝＝π，所以ω＝2，
又因为f＝cos＝cos＝－sin
φ＝且－<φ<0，所以φ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝cos.
列表
2x－
－
0
π
x
0
π
f(x)
1
0
－1
0
描点，连接．
考点二　三角函数图象的变换——多维探究
角度1　给定图象变换，确定函数解析式
　　例2
(2020·安徽蚌埠第二次教学质量检查)将函数f(x)＝sin
x＋cos
x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将函数图象向左平移个单位后，得到的函数g(x)的解析式为(　B　)
A．g(x)＝sin
B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin
D．g(x)＝sin
[解析]　f(x)＝sin
x＋cos
x＝sin的图象
y＝sin的图象
g(x)＝sin
＝sin.故选B.
角度2　给定变换前后函数解析式、确定图象间变换
　　例3
(多选题)(2021·福建漳州八校联考改编)若函数f(x)＝cos，为了得到函数g(x)＝sin
x的图象，则只需将f(x)的图象(　AC　)
A．先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度
B．先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍
C．先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍
D．先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度
[解析]　函数f(x)＝cos＝sin＝sin，为了得到函数g(x)＝sin
x的图象，则只需将f(x)的图象，先横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin，再向右平移个单位长度即可．或者，先将f(x)的图象向右平移得到y＝sin
2x的图象，再横坐标伸长为原来的2倍得到y＝g(x)图象，故选A、C.
角度3　图象变换与性质的综合问题
　　例4
已知函数f(x)＝2sin，现将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度；再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在上的值域为(　A　)
A．[－1,2]
B．[0,1]
C．[0,2]
D．[－1,0]
[解析]　把函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度，
可得y＝2sin
＝2sin的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)＝2sin的图象，
在上，4x＋∈，
故当4x＋＝时，g(x)取得最小值－1；
当4x＋＝时，g(x)取得最大值2.
故函数g(x)的值域为[－1,2]．
故选A.
名师点拨
图象变换：由函数y＝sin
x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(伸缩即用代换原式中的x；平移即用x±|φ|代换原式中的x，规则是“左加、右减”)注意两种途径平移单位的不同，前者是|φ|个单位，后者是个单位．
温馨提醒：(1)解题时首先分清原函数与变换后的函数．
(2)不同名函数一般先利用诱导公式cos
x＝sin转化为正弦型函数．
(3)伸缩变换比较周期即可，平移变换的确定：①由C1：y＝sin(ωx＋φ1)，变换为C2：y＝sin(ωx＋φ2)，分别求出“五点法”中的第一个零点x1＝－、x2＝－.比较－、－即可；②由C1：y＝cos(ωx＋φ1)变换为C2：y＝sin(ωx＋φ2)，分别求出“五点法”中第一个“峰点”横坐标x1＝－、x2＝.比较－、即可．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)把函数y＝2sin的图象向右平移，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，则所得图象的解析式是(　C　)
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
4x
D．y＝2sin
x
(2)(角度2)(2017·全国)已知曲线C1：y＝cos
x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　D　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
(3)(角度3)(2019·天津)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g＝，则f＝(　C　)
A．－2
B．－
C．
D．2
[解析]　(1)y＝2sin(2x＋)y＝2sin
2xy＝2sin
4x，故选C.
(2)解法一：C2：y＝sin
＝cos＝cos
2.
∴C1：y＝cos
xy＝cos
2xC2：y＝cos
2，故选D.
解法二：C1：y＝cos
x＝sin
y＝sin
y＝sin
即C2：y＝sin，故选D.
解法三：(对点法)y＝cos
x的周期T1＝2π，y＝sin的周期T2＝π，故由C1变换到C2横坐标缩短到原来的倍．y＝cos
2x的第一个峰点是(0,1)，y＝sin的峰点是，对比两峰点可知需再把曲线左移个单位，故选D.
(3)因为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且其最小正周期为π，所以φ＝0，ω＝2，f(x)＝Asin
2x，g(x)＝Asin
x．又g＝Asin
＝，所以A＝2，故f(x)＝2sin
2x，f＝2sin
＝，故选C.
考点三　已知函数图象求解析式——师生共研
　　例5
(高考真题·四川卷)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　A　)
A．2，－
B．2，－
C．4，－
D．4，
[解析]　解法一(最值法)：由题中图象可知T＝－?T＝?T＝π，则ω＝＝＝2.又图象过点，
则f＝2?2sin＝2?sin＝1.
∵－<φ<，∴<φ＋<.
∴＋φ＝，∴φ＝－.故选A.
解法二(五点法)：由解法一得ω＝2，
由图象知是五点中的第二个点．
故×2＋φ＝，解得φ＝－，故选A.
解法三(五点法)：由解法一得ω＝2，由图象知是五点中的第三个点．
则－×2＋φ0＝π，
∴φ0＝π＝2π－.
取φ＝－即可．
名师点拨
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.
〔变式训练3〕
　(2020·河北涞水波峰中学期中)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中f(0)＝1，|MN|＝，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式是(　A　)
A．g(x)＝2cos
x
B．g(x)＝2sin
C．g(x)＝2sin
D．g(x)＝－2cos
x
[解析]　设函数f(x)的最小正周期为T.由题图及|MN|＝，得＝，则T＝6，ω＝.又由f(0)＝1，φ∈得sin
φ＝，φ＝.所以f(x)＝2sin.则g(x)＝2sin
＝2cos
x.故选A.
考点四　三角函数图象与性质的综合应用——师生共研
　　例6
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴之间的距离为.
(1)求f的值；
(2)求函数y＝f(x)＋f的最大值及对应的x的值．
[解析]　(1)f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)
＝2
＝2sin.
因为f(x)为偶函数，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，
解得φ＝＋kπ(k∈Z)．
又0<φ<π，所以φ＝.
所以f(x)＝2sin＝2cos
ωx.
由题意得＝2×，所以ω＝2.所以f(x)＝2cos
2x.
故f＝2cos
＝.
(2)y＝2cos
2x＋2cos
＝2cos
2x＋2cos
＝2cos
2x－2sin
2x＝2sin.
当－2x＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ－(k∈Z)时，y有最大值2.
名师点拨
三角函数图象与性质的综合问题的求解思路
先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
〔变式训练4〕
　(2020·陕西宝鸡一模)已知函数f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求g(x)在上的值域．
[解析]　本题考查三角函数的单调区间、图象变换和在限定区间上的值域．
(1)由题意，f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－＝sin
2x＋cos
2x＝2sin.
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
因此，函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
(2)由题意，g(x)＝f＝2sin.
又x∈，所以4x＋∈，
因此，函数g(x)在上的值域为(－1,2]．
名师讲坛·素养提升
三角函数中有关参数ω的求解问题
一、三角函数的周期T与ω的关系
　　例7
为了使函数y＝sin
ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是(　B　)
A．98π
B．π
C．π
D．100π
[解析]　由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π，故选B.
名师点拨
这类三角函数试题直接运用T与ω的关系T＝，再结合条件，一般可以轻松处理．
二、三角函数的单调性与ω的关系
　　例8
若函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　D　)
A.
B．
C．
D．
[解析]　令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因为f(x)在上单调递减，所以得6k＋≤ω≤4k＋3.又ω>0，所以k≥0，又6k＋≤4k＋3，得0≤k<，所以k＝0.从而≤ω≤3，故选D.
名师点拨
根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)在区间上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围．
三、三角函数最值与ω的关系
　　例9
已知函数f(x)＝2sin
ωx在区间上的最小值为－2，求ω的取值范围．
[解析]　显然ω≠0.
若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f(x)＝2sin
ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sin
ωx在区间上的最小值为－2.所以ω≤－，解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪.
〔变式训练5〕
(1)若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值为
6
.
(2)若函数y＝2cos
ωx在区间上递减，且有最小值1，则ω的值可以是(　B　)
A．2
B．
C．3
D．
[解析]　(1)因为1(2)由y＝2cos
ωx在上是递减的，且有最小值1，则有2×cos＝1?cos
ω＝.检验各数据，得出B项符合．故选B.
PAGE第四讲　三角函数的图象与性质
知识梳理·双基自测
知识点一　周期函数的定义及周期的概念
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做
周期函数
.非零常数T叫做这个函数的
周期
.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小
正周期
.
(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，
2kπ(k∈Z，k≠0)　都是它们的周期，最小正周期是
2π　.
知识点二　正弦、余弦、正切函数的图象与性质
　
函数性质
　
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
{x|x∈R}
{x|x∈R}
{x|x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z}
值域
{y|－1≤y≤1}
{y|－1≤y≤1}
R　
单调性
在
　，k∈Z上递增；在
　，k∈Z上递减
在
[(2k－1)π，2kπ]　，k∈Z上递增；在
[2kπ，(2k＋1)π]　，k∈Z上递减
在kπ，，k∈Z上递增
最值
x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝
－＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1
x＝
2kπ(k∈Z)　时，ymax＝1；x＝
π＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1
无最值
奇偶性
奇
偶
奇
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z　
，k∈Z　
，k∈Z
对称轴
x＝kπ＋，k∈Z　
x＝kπ，k∈Z　
无对称轴
最小正周期
2π　
2π
π
1．函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是
(0,0)
、
　、
(π，0)
、
　、
(2π，0)
.
函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是
(0,1)
、
　、
(π，－1)
、
　、
(2π，1)
.
2．函数y＝sin
x与y＝cos
x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y＝cos
x的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，而不是x＝2kπ(k∈Z)．
3．对于y＝tan
x不能认为在其定义域上为增函数，而是在每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)内为增函数．
题组一　走出误区
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin
x在第一象限是增函数．(　×　)
(2)正切函数y＝tan
x在定义域内是增函数．(　×　)
(3)y＝sin
|x|是周期为π的函数．(　×　)
(4)y＝cos
x，x∈(0,4π)不是周期函数．(　×　)
(5)由sin＝sin
知，是正弦函数y＝sin
x(x∈R)的一个周期．(　×　)
(6)已知y＝ksin
x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1(　×　)
题组二　走进教材
2．(必修4P45T3改编)函数y＝tan
2x的定义域是(　D　)
A.
B．
C．
D．
[解析]　由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以y＝tan
2x的定义域为.
3．(必修4P40T4改编)下列关于函数y＝4sin
x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　B　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在及上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在及上是增函数，在上是减函数
[解析]　函数y＝4sin
x在和上单调递减，在上单调递增．故选B.
4．(必修4P38T3改编)函数y＝3－2cos的最大值为
5
，此时x＝
＋2kπ(k∈Z)　.
[解析]　函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
题组三　走向高考
5．(2020·天津，8,5分)已知函数f(x)＝sin.给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f是f(x)的最大值；
③把函数y＝sin
x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是(　B　)
A．①
B．①③
C．②③
D．①②③
[解析]　函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝2π，①正确；易知f＝sin
＝1，f＝sin＝sin
＝<1，②错误；把函数y＝sin
x的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的是函数y＝sin的图象，③正确．综上，①③正确，②错误．故选B.
6．(2019·全国卷Ⅱ，5分)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　A　)
A．f(x)＝|cos
2x|
B．f(x)＝|sin
2x|
C．f(x)＝cos
|x|
D．f(x)＝sin
|x|
[解析]　A中，函数f(x)＝|cos
2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin
2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos
|x|＝cos
x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin
|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确，故选A.
考点突破·互动探究
考点一　三角函数的定义域、值域——自主练透
　　例1
(1)函数y＝的定义域为(　B　)
A.
B.(k∈Z)
C．(k∈Z)
D.(k∈Z)
(2)函数y＝3－2cos，x∈的值域为
[1,4]
.
(3)函数y＝cos2x＋sin
x的最大值与最小值分别为
，　.
[解析]　(1)由2sin
x－1≥0，得sin
x≥，
所以2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．故选B.
(2)因为≤x≤，所以0≤2x－≤，
所以－≤cos≤1，
所以1≤3－2cos≤4.
所以函数的值域为[1,4]．
(3)令t＝sin
x，因为|x|≤，
所以t∈.
所以y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
所以当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝.
所以函数y＝cos2x＋sin
x的最大值为，最小值为.
名师点拨
三角函数定义域、值域的求解策略
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
①形如y＝asin
ωx＋bcos
ωx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
②形如y＝asin2x＋bsin
x＋c的三角函数，可先设sin
x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值).
考点二　三角函数的单调性——师生共研
　　例2
(1)求下列函数的单调区间：
①y＝cos的单调递减区间；
②y＝3tan的单调区间；
③y＝－的单调递减区间．
(2)(2021·洛阳模拟)已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　A　)
A.
B．
C．
D．(0,2]
[解析]　(1)①∵y＝cos＝cos，
∴由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
即所求单调递减区间为(k∈Z)．
②y＝3tan＝－3tan，
由kπ－<－∴函数的单调递减区间为(k∈Z)．
③画图知单调递减区间为(k∈Z)．
(2)由[答案]　(1)①(k∈Z)
②(k∈Z)
③(k∈Z)
(2)A
名师点拨
三角函数单调性问题的解题策略
(1)求三角函数单调区间的两种方法：①代换法：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简．化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．②图解法：若函数的图象能够容易画出，可利用图象直观迅速求解．如某些含绝对值的三角函数．注：正、余弦型单调区间长度为半周期．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
〔变式训练1〕
(1)(多选题)(2020·山东泰安第二次段考)函数f(x)＝3sin的一个单调递增区间是(　AD　)
A.
B．
C．
D．
(2)(2018·
课标全国Ⅱ，10)若f(x)＝cos
x－sin
x在[0，a]上是减函数，则实数a的最大值是(　C　)
A.
B．
C．
D．π
[解析]　(1)f(x)＝3sin＝3cos＝3cos.令2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以函数f(x)的增区间为，k∈Z.令k＝0,1，可得选项AD正确，故选A、D.
(2)本题主要考查三角函数的图象及性质．f(x)＝cos
x－sin
x＝cos.因为f(x)在[0，a]上是减函数，所以解得0考点三　三角函数的周期性、奇偶性、对称性——多维探究
角度1　周期性
　　例3
求下列函数的周期：
(1)y＝2sin；
(2)y＝3；
(3)y＝|tan
x|；
(4)y＝－sin＋6sin
xcos
x－2cos2x＋1.
[解析]　(1)∵y＝2sin，
∴T＝＝3π，即y＝2sin的周期为3π.
(2)画图知y＝|cos
x|的周期是y＝cos
x的周期的一半，∴y＝3的最小正周期是y＝3cos的最小正周期的一半，即T＝×＝.
(3)画出y＝|tan
x|的图象．
如图所示．
由图象易知T＝π.
∴y＝|tan
x|的图象与y＝tan
x的周期相同.
(4)y＝－sin
2x·cos
－cos
2x·sin
＋3sin
2x－cos
2x＝2sin
2x－2cos
2x＝2sin，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
[答案]　(1)3π　(2)　(3)π　(4)π
角度2　奇偶性
　　例4
已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)，θ∈是偶函数，则θ的值为(　B　)
A．0
B．
C．
D．
[解析]　因为f(x)＝2sin是偶函数，所以＋θ＝＋kπ，即θ＝＋kπ(k∈Z)，又因为θ∈，故θ＝.
角度3　对称性
　　例5
(多选题)已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　AD　)
A．关于点对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
[解析]　由T＝π知ω＝＝＝2，
所以函数f(x)＝sin.
函数f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)；
函数f(x)的对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ(k∈Z)，
解得x＝－＋(k∈Z)．故选A、D.
名师点拨
(1)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的形式，再分别应用公式T＝或T＝求解．
(2)三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y＝Asin(ωx＋φ)代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)．
(3)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题．
①∵y＝sin
x的对称中心是(kπ，0)，(k∈Z)，
∴y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心，由方程ωx＋φ＝kπ解出x＝，故对称中心为(k∈Z)．
②∵y＝sin
x的对称轴是x＝kπ＋，k∈Z，
∴ωx＋φ＝kπ＋解出x＝，即x＝为函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程．
③函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
(4)注意y＝tan
x的对称中心为(k∈Z)．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2018·课标全国Ⅲ，6)函数f(x)＝的最小正周期为(　C　)
A.
B．
C．π
D．2π
(2)(角度2)(多选题)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　BD　)
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝sin
2x＋cos
2x
D．y＝sin＋cos
(3)(角度3)(2018·江苏)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是
－　.
[解析]　(1)本题考查三角函数的周期．
解法一：f(x)的定义域为.
f(x)＝＝sin
x·cos
x＝sin
2x，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
解法二：f(x＋π)＝＝＝f(x)，
∴π是f(x)的周期．
f＝，
而tan＝＝＝－，
∴f＝－≠f(x)，
∴不是f(x)的周期，
∴也不是f(x)的周期．故选C.
(2)y＝sin＝cos
2x是偶函数，不符合题意．y＝cos＝－sin
2x是T＝π的奇函数，符合题意，同理C不是奇函数，D为y＝sin
2x，故选B、D.
(3)由题意可得sin＝±1，所以＋φ＝＋kπ，φ＝－＋kπ(k∈Z)，因为－<φ<，所以k＝0，φ＝－.故填－.
名师讲坛·素养提升
三角函数的值域与最值
　　例6
(1)函数y＝的值域为
　.
(2)函数f(x)＝2sin
xsin，当x∈时，函数f(x)的值域为
　.
(3)函数y＝的值域为
　.
(4)若x是三角形的最小内角，则函数y＝sin
x＋cos
x－sin
xcos
x的最小值是(　A　)
A．－＋
B．＋
C．1
D．
[解析]　(1)解法一：y＝＝2＋，
由于－1≤sin
x≤1，所以－5≤≤－，
∴函数的值域为.
解法二：由y＝，解得sin
x＝，
∵－1≤sin
x≤1，
∴－1≤≤1，解得－3≤y≤，
∴函数的值域为.
(2)f(x)＝2sin
x＝sin2x＋sin
xcos
x＝＋＝sin＋，
∵x∈，∴2x－∈，
∴sin∈.
∴f(x)∈.
(3)解法一：由y＝得sin
x－ycos
x＝3y－1，
∴sin(x＋φ)＝
其中sin
φ＝，cos
φ＝.
∴≤1，解得0≤y≤.
解法二：可理解为点P(－cos
x，－sin
x)与点C(3,1)连线的斜率，点P(－cos
x，－sin
x)在单位圆上，如图所示．
故t＝满足kCA≤t≤kCB，设过点C(3,1)的直线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.
由原点到直线的距离不大于半径1，得≤1，解得0≤k≤.从而值域为.
(4)由条件知0令t＝sin
x＋cos
x＝sin，
又0又t2＝1＋2sin
xcos
x，得sin
xcos
x＝，
得y＝t－＝－(t－1)2＋1，则－＋≤y<1，
所以函数的最小值为－＋.故选A.
名师点拨
求三角函数值域或最值的方法
(1)y＝asin
x＋b(或y＝acos
x＋b)的值域为[－|a|＋b，|a|＋b]．
(2)y＝asin2x＋bcos
x＋c可转化为关于cos
x的二次函数，求在给定区间上的值域(或最值)即可．
(3)y＝asin2x＋bsin
xcos
x＋c·cos2xy＝Asin
2x＋Bcos
2xy＝sin(2x＋φ)，再利用sin(2x＋φ)的有界性求解，注意2x＋φ的取值范围．
(4)y＝(或y＝)可反解出sin
x＝f(y)(或cos
x＝f(y))由正、余弦函数的有界性(|f(y)|≤1)求解；y＝可根据式子的几何意义用数形结合方法求解，或化为sin(x＋φ)＝利用三角函数的有界性求解．
(5)y＝f(sin
x±cos
x，sin
x·cos
x)常用换元法，令t＝sin
x±cos
x＝sin(x±)，则cos
xsin
x＝，可化为关于t的二次函数在某区间上的值域或最值．
〔变式训练3〕
(1)函数f(x)＝sin2x＋cos
x－的最大值是
1
.
(2)(2021·黑龙江宜春二中月考)函数y＝的最大值是(　D　)
A.－1
B．－－1
C．1－
D．1＋
(3)(2021·云南调研)函数y＝sin
x－cos
x＋sin
xcos
x的值域是
　.
[解析]　(1)依题意，f(x)＝sin2x＋cos
x－＝－cos2x＋cos
x＋＝－2＋1，
因为x∈，所以cos
x∈[0,1]，
因此当cos
x＝时，f(x)max＝1.
(2)y＝，
∵2－≤2＋sin≤2＋，
∴y≤＝1＋，故选D.
(3)设t＝sin
x－cos
x，则t2＝1－2sin
xcos
x，
sin
xcos
x＝，且－≤t≤，
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1，当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数y＝sin
x－cos
x＋sin
xcos
x的值域为.
PAGE第二课时　三角函数式的化简与求值
考点突破·互动探究
考点一　三角函数式的化简——师生共研
　　例1
化简下列各式：
(1)；
(2)－；
(3).
[解析]　(1)原式
＝
＝
＝＝－tan(α－β)．
(2)原式＝
＝＝tan
2θ.
(3)原式＝
＝
＝＝＝1.
名师点拨
(1)此类化简题，对公式既要会正用，又要会逆用，甚至变形应用．
(2)应用公式时特别注意角不要化错，函数名称、符号一定要把握准确．
(3)对asin
x＋bcos
x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚．
〔变式训练1〕
(1)化简sin＋2sin－cos＝
0
.
(2)(2020·开封模拟)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos
2αcos
2β＝
　.
[解析]　(1)解法一：原式＝sin
xcos
＋cos
xsin
＋2sin
xcos
－2cos
xsin
－cos
cos
x－sin
sin
x＝sin
x＋－2sin
－cos
cos
x＝sin
x＋cos
x＝0.
解法二：原式＝sin－cos＋2sin＝2sin＋2sin＝2sin＋2sin＝2sin＋2sin＝－2sin
＋2sin＝0.
(2)解法一：(从“角”入手，化复角为单角)
原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
解法二：(从“名”入手，化异名为同名)
原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos
2αcos
2β
＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos
2αcos
2β
＝cos2β－sin2αcos
2β－cos
2αcos
2β
＝cos2β－cos
2β(sin2α＋cos
2α)
＝－cos
2β＝.
解法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝·＋·－cos
2α·cos
2β
＝(1＋cos
2αcos
2β－cos
2α－cos
2β＋1＋cos
2αcos
2β＋cos
2α＋cos
2β)－cos
2αcos
2β＝＋＝.
解法四：从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方
原式＝(sin
α·sin
β－cos
α·cos
β)2＋2sin
α·sin
β·cos
α·cos
β－cos
2α·cos
2β
＝cos2(α＋β)＋sin
2α·sin
2β－cos
2α·cos
2β
＝cos2(α＋β)－·cos(2α＋2β)
＝cos2(α＋β)－·[2cos2(α＋β)－1]＝.
考点二　求值问题——多维探究
角度1　给角求值
　　例2
求下列各式的值．
(1)；
(2).
[解析]　(1)原式＝
＝＝tan
15°＝tan(45°－30°)
＝＝＝＝2－.
(2)＝＝＝－4.
名师点拨
给角求值问题的解题思路
给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：
(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分；
(2)观察名，尽可能使函数统一名称；
(3)观察结构，利用公式，整体化简．
角度2　给值求值
　　例3
已知cos＝，θ∈，则sin＝
　.
[解析]　由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin
2θ＝－，即sin
2θ＝.
因为cos＝>0，θ∈，
所以0<θ<，2θ∈，
根据同角三角函数基本关系式，可得cos
2θ＝，
由两角差的正弦公式，可得
sin＝sin
2θcos
－cos
2θsin
＝×－×＝.
名师点拨
给值求值问题的解题关键
给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＋α＝－等．
角度3　给值求角
　　例4
已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sin
B＝，则A＋B＝(　C　)
A.
B．
C．
D．
[解析]　由题意知(1－cos
A)＋cos
A－sin
A＝－，得sin
A＝，sin
B＝.
A，B均为钝角，πA＝－，cos
B＝－，cos(A＋B)＝cos
Acos
B－sin
Asin
B＝×－×＝>0，
那么，名师点拨
(1)已知三角函数值求角的解题步骤：①求出角的某一三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围确定角．
(2)给值求角的原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)cos
15°－4sin215°cos
15°＝(　D　)
A.
B．
C．1
D．
(2)(角度2)(2021·黑龙江哈师大附中模拟)已知α∈，且2cos
2α＝cos，则sin
2α的值为(　C　)
A.
B．－
C．
D．－
(3)(角度3)已知sin
α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　C　)
A.
B．
C．
D．
[解析]　(1)cos
15°－4sin215°cos
15°＝cos
15°－2sin
15°·2sin
15°cos
15°＝cos
15°－2sin
15°·sin
30°＝cos
15°－sin
15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos
45°＝，故选D.
(2)由题意可得2(cos2α－sin2α)＝cos
cos
α＋sin
sin
α，即2(cos
α＋sin
α)(cos
α－sin
α)＝(cos
α＋sin
α)．由α∈，可得cos
α＋sin
α≠0，所以cos
α－sin
α＝，等式两边平方，可得1－sin
2α＝，所以sin
2α＝，故选C.
(3)∵0<α<，0<β<，∴－<α－β<，
∴cos
α＝＝，
cos(α－β)＝＝
∴sin
β＝sin
[α－(α－β)]
＝sin
αcos(α－β)－cos
αsin(α－β)
＝×－×＝，
∴β＝，故选C.
名师讲坛·素养提升
三角形中的恒等变换问题
在三角形中，常用的角的变形结论有：A＋B＝π－C；2A＋2B＋2C＝2π；＋＋＝.
三角函数的结论有：sin(A＋B)＝sin
C，cos(A＋B)＝－cos
C，tan(A＋B)＝－tan
C，sin
＝cos
，cos
＝sin
.
A>B?sin
A>sin
B?cos
AB．
　　例5
(1)设A，B是△ABC的内角，且cos
A＝，sin
B＝，则sin
C＝(　D　)
A.或－
B．
C．或－
D．
(2)(2021·河北唐山一中质检)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是(　D　)
A．等边三角形
B．不含60°的等腰三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
[分析]　(1)由sin
C＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B知求sin
A、cos
B即可．
(2)利用cos(B＋C)＝－cos
A，sin(A＋C)＝sin
B及两角差的正弦公式求解．
[解析]　(1)∵cos
A＝，0且sin
A＝＝.又sin
B＝A，∴B∴B为锐角且cos
B＝＝.
∴sin
C＝sin
[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝.故选D.
(2)∵sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)·sin(A＋C)，
∴sin
Acos
B－cos
Asin
B＝1－2cos
Asin
B，
∴sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝1，即sin(A＋B)＝1，
∴sin
C＝1，又0∴△ABC为直角三角形，故选D.
[误区警示]　本题(1)极易求得两解，问题出在∠B上，因为由sin
B＝，可得两个B值，考虑A的因素，只有一个适合，因此sin
C只有一个结果．
名师点拨
利用三角函数解决三角形问题要注意一些隐含条件，再根据所给的三角函数值确定角的范围，然后再进行求值．本题应用三角形中大角对大边，也可知A>B?a>b?sin
A>sin
B，知B为锐角．
〔变式训练3〕
(1)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos
A＝－cos(π－B)，则C＝(　D　)
A.
B．
C．
D．
(2)(2020·宁夏平罗中学期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin
A＝2sin
Bcos
C，则△ABC一定是(　A　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
[解析]　由已知得
①2＋②2，得2cos2A＝1，即cos
A＝±.
当cos
A＝时，cos
B＝，又A，B是三角形的内角，
所以A＝，B＝，所以C＝π－(A＋B)＝.
当cos
A＝－时，cos
B＝－，又A，B是三角形的内角，
所以A＝π，B＝π不符题意，舍去．
综上可得C＝，故选D.
(2)由题意知sin(B＋C)＝2sin
Bcos
C，
整理化简得sin
Bcos
C－cos
Bsin
C＝0
即sin(B－C)＝0，又－π∴B－C＝0，即B＝C，故选A.
PAGE第三讲　两角和与差的三角函数　二倍角公式
第一课时　三角函数公式的基本应用
知识梳理·双基自测
知识点一　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
知识点二　二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin
2α＝
2sin
αcos
α
；
(2)cos
2α＝
cos2α－sin2α
＝
2cos2α
－1＝1－
2sin2α
；
(3)tan
2α＝
　(α≠＋且α≠kπ＋，k∈Z)．
知识点三　半角公式(不要求记忆)
(1)sin
＝±；
(2)cos
＝±；
(3)tan
＝±＝＝.
1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．升幂公式：1＋cos
2α＝2cos2α，1－cos
2α＝2sin2α.
3．公式变形：tan
α±tan
β＝tan(α±β)(1?tan
α·tan
β)．
＝tan；＝tan
cos
α＝，sin
2α＝，cos
2α＝，1±sin
2α＝(sin
α±cos
α)2.
4．辅助角(“二合一”)公式：
asin
α＋bcos
α＝sin(α＋φ)，
其中cos
φ＝
　，sin
φ＝
　.
题组一　走出误区
1．判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)
(1)存在实数α，β使等式sin
(α＋β)＝sin
α＋sin
β成立．(　√　)
(2)在锐角△ABC中，sin
Asin
B和cos
Acos
B大小不确定．(　×　)
(3)对任意角α都有1＋sin
α＝2.(　√　)
(4)y＝3sin
x＋4cos
x的最大值是7.(　×　)
(5)公式tan
(α＋β)＝可以变形为tan
α＋tan
β＝tan
(α＋β)(1－tan
αtan
β)，且对任意角α，β都成立．(　×　)
[解析]　根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知(2)(4)(5)是错误的，(1)(3)是正确的．
题组二　走进教材
2．(必修4P131T5改编)计算sin
43°cos
13°＋sin
47°cos
103°的结果等于(　A　)
A.
B．
C．
D．
[解析]　原式＝sin
43°cos
13°－cos
43°sin
13°＝sin(43°－13°)＝sin
30°＝.故选A.
另解：原式＝cos
47°cos
13°－sin
47°sin
13°＝cos(47°＋13°)＝cos
60°＝.故选A.
3．(必修4P135T5改编)cos2－sin2＝(　B　)
A.
B．
C．
D．－
[解析]　cos2－sin2＝cos
＝.
4．(必修4P146A组T4改编)(1＋tan
17°)(1＋tan
28°)的值为(　D　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
[解析]　原式＝1＋tan
17°＋tan
28°＋tan
17°·tan
28°＝1＋tan
45°(1－tan
17°·tan
28°)＋tan
17°·tan
28°＝1＋1＝2.故选D.
题组三　走向高考
5．(2020·课标Ⅱ，13,5分)若sin
x＝－，则cos
2x＝
　.
[解析]　∵sin
x＝－，∴cos
2x＝1－2sin2x＝1－2×2＝.
6．(2020·江苏，8,5分)已知sin2＝，则sin
2α的值是
　.
[解析]　∵sin2＝＝＝，∴sin
2α＝.
7．(2020·浙江，13,6分)已知tan
θ＝2，则cos
2θ＝
－　，
tan＝
　.
[解析]　因为tan
θ＝2，所以cos
2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝＝－，tan＝＝＝.
考点突破·互动探究
考点一　三角函数公式的直接应用——自主练透
　　例1
(1)若cos
α＝－，α是第三象限的角，则sin＝　(　C　)
A．－
B．
C．－
D．
(2)(2020·全国Ⅲ·9)已知2tan
θ－tan＝7，则tan
θ＝(　D　)
A．－2
B．－1
C．1
D．2
(3)(2020·甘肃兰州一中高三上期中)若cos＝，则sin
2α＝(　D　)
A.
B．
C．－
D．－
(4)(2020·吉林百校联盟9月联考)已知tan
B＝2tan
A，且cos
Asin
B＝，则cos
＝(　D　)
A．－
B．
C．－
D．
[解析]　(1)因为cos
α＝－，α是第三象限的角，所以sin
α＝－＝－，所以sin＝sin
αcos
＋cos
αsin
＝×＋×＝－.
(2)本题考查两角和的正切公式的应用．∵2tan
θ－tan＝7，∴2tan
θ－＝7，∴2tan
θ－2tan2
θ－1－tan
θ＝7－7tan
θ，即tan2θ－4tan
θ＋4＝0，解得tan
θ＝2.
(3)由三角函数的诱导公式得cos
＝sin
2α，所以sin
2α＝cos＝cos
，由二倍角公式可得sin
2α＝cos
＝2cos2－1＝2×2－1＝－＝－.故选D.
(4)由tan
B＝2tan
A，可得cos
Asin
B＝2sin
Acos
B．
又cos
Asin
B＝，∴sin
Acos
B＝，
则cos＝－sin(A－B)＝－sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝.故选D.
名师点拨
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
考点二　三角函数公式的逆用与变形用——多维探究
角度1　公式的逆用
　　例2
(1)在△ABC中，若tan
Atan
B＝tan
A＋tan
B＋1，则cos
C＝
　.
(2)cos
cos
cos
cos
＝
　.
(3)＝
　.
(4)化简＝
－1
.
[解析]　(1)tan(A＋B)＝＝＝－1，
∴tan
C＝1，又C∈(0，π)，∴C＝，∴cos
C＝.
(2)解法一：cos
cos
cos
cos
＝cos
cos
cos
＝·
＝·
＝·
＝·＝·＝·＝.
解法二：由sin
2α＝2sin
αcos
α，得cos
α＝，
∴原式＝···＝.
(3)＝
＝＝＝.
(4)＝＝＝－1.
角度2　公式的变形应用
　　例3
(1)(2020·天津耀华中学模拟)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log
()2＝(　B　)
A．5
B．4
C．3
D．2
(2)(2020·陕西吴起高级中学模拟)已知sin
2α＝，则cos2＝(　A　)
A.
B．－
C．
D．
[解析]　(1)∵sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，
∴sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝，sin
αcos
β－cos
αsin
β＝，
∴sin
αcos
β＝，cos
αsin
β＝，
∴＝5，∴log2＝log52＝4，故选B.
(2)∵sin
2α＝，∴cos2＝＝＝＝，故选A.
名师点拨
(1)注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
(2)熟记三角函数公式的2类变式
①和差角公式变形：
sin
αsin
β＋cos(α＋β)＝cos
αcos
β，
cos
αsin
β＋sin(α－β)＝sin
αcos
β.
tan
α±tan
β＝tan(α±β)·(1?tan
α·tan
β)．
②倍角公式变形：
降幂公式cos2α＝，sin2α＝，
配方变形：1±sin
α＝2,1＋cos
α＝2cos2，1－cos
α＝2sin2.
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(多选题)(2020·河北武邑中学调研)下列式子的运算结果为的是(　ABC　)
A．tan
25°＋tan
35°＋tan
25°tan
35°
B．2(sin
35°cos
25°＋cos
35°cos
65°)
C．
D.
(2)(角度2)(2018·课标Ⅱ，15)已知sin
α＋cos
β＝1，cos
α＋sin
β＝0，则sin(α＋β)＝
－　.
[解析]　(1)对于A，tan
25°＋tan
35°＋tan
25°tan
35°＝tan(25°＋35°)(1－tan
25°tan
35°)＋tan
25°tan
35°＝－tan
25°tan
35°＋tan
25°tan
35°＝.
对于B,2(sin
35°cos
25°＋cos
35°cos
65°)
＝2(sin
35°cos
25°＋cos
35°sin
25°)＝2sin
60°＝.
对于C，＝＝tan
60°＝.
对于D，＝×＝×tan
＝.
综上，式子的运算结果为的是ABC.故选A、B、C.
(2)本题主要考查同角三角函数的平方关系与两角和的正弦公式．
由sin
α＋cos
β＝1，cos
α＋sin
β＝0，
两式平方相加，得2＋2sin
αcos
β＋2cos
αsin
β＝1，整理得sin(α＋β)＝－.
利用平方关系：sin2α＋cos2α＝1，进行整体运算是求解三角函数问题时常用的技巧，应熟练掌握.
考点三　角的变换与名的变换——师生共研
　　例4
(1)(2018·课标全国Ⅱ，15)已知tan＝，则tan
α＝
　.
(2)已知α、β∈，且cos
α＝，cos(α＋β)＝－，则sin
β＝
　.
(3)(2018·课标全国Ⅱ，15)设α为锐角，若cos＝－，则sin的值为(　B　)
A.
B．
C．－
D．
[解析]　(1)本题主要考查两角差的正切公式．
解法一：tan
α＝tan
＝＝.
解法二：tan＝＝＝，
解得tan
α＝.
(2)因为已知α∈，β∈，
且cos
α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin
α＝＝，
sin(α＋β)＝＝，
则sin
β＝sin
[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α
＝×－×＝.
(3)∵α为锐角，∴0<α<，<α＋<，设β＝α＋，由cos＝－，得sin
β＝，sin
2β＝2sin
βcos
β＝－，cos
2β＝2cos2β－1＝－，
∴sin＝sin
＝sin＝sin
2βcos
－cos
2βsin
＝×－×＝.故选B.
名师点拨
(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
〔变式训练2〕
(1)(2020·全国Ⅲ，5)已知sin
θ＋sin＝1，则sin＝(　B　)
A.
B．
C．
D．
(2)已知tan＝，则cos2＝(　B　)
A.
B．
C．
D．
[解析]　(1)解法一：本题考查两角和的正弦公式以及辅助角公式．因为sin
θ＋sin＝sin
θ＋sin
θ＋cos
θ＝sin
θ＋cos
θ＝sin＝1，所以sin＝.故选B.
解法二：由已知得sin＋sin＝1，∴sin＝1，∴sin＝.
(2)由tan＝＝，
解得tan
α＝－，
所以cos2＝＝＝＋sin
αcos
α，
又sin
αcos
α＝＝＝－，
故＋sin
αcos
α＝.
名师讲坛·素养提升
辅助角公式的应用
应用1　求值
　　例5
(2020·届安徽江淮十校联考)已知cos＝－，则cos
x＋cos＝(　C　)
A．－
B．±
C．－1
D．±1
[解析]　∵cos＝－，∴cos
x＋cos＝cos
x＋cos
xcos
＋sin
xsin
＝cos
x＋sin
x＝＝cos＝×＝－1.
应用2　求最值
　　例6
(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝2cos
x＋sin
x的最大值为
　.
(2)函数f(x)＝2sin
x·cos
x－2sin2x的值域为[－3,1].
[分析]　(1)直接利用辅助角公式化为Asin(ωx＋φ)；
(2)高次的先用二倍角余弦公式降次，然后再用辅助角公式化为Asin(ωx＋φ)．
[解析]　(1)f(x)＝＝sin(x＋φ)(其中cos
φ＝，sin
φ＝)，
显然f(x)的最大值为.
(2)f(x)＝sin
2x＋cos
2x－1
＝2－1
＝2sin－1.
显然f(x)max＝1，f(x)min＝－3.
故f(x)的值域为[－3,1]．
应用3　求单调区间
　　例7
函数f(x)＝cos2x＋sin
xcos
x(x∈[0，π])的单调递减区间为(　B　)
A.
B．
C．
D．
[解析]　函数f(x)＝cos2x＋sin
xcos
x＝＋cos
2x＋sin
2x＝sin＋.由2kπ＋≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得kπ＋≤x≤＋kπ，k∈Z.∵x∈[0，π]，∴当k＝0时，可得单调递减区间为，故选B.
名师点拨
用辅助角公式变形三角函数式时：
(1)遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组；
(2)遇高次时，要先降幂；
(3)熟记以下常用结论：
①sin
α±cos
α＝sin；
②sin
α±cos
α＝2sin；
③sin
α±cos
α＝2sin.
〔变式训练3〕
(1)(2020·湖南浏阳一中期中)已知sin＋cos
α＝－，则cos＝(　C　)
A．－
B．
C．－
D．
(2)(2020·北京，14)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos
x的最大值为2，则常数φ的一个取值为
(取值满足φ＝＋2kπ(k∈Z)即可)　.
(3)已知函数f(x)＝sinsin
x－cos2x，则f(x)在上的增区间为(　B　)
A.
B．
C．
D．
[分析]　(1)将sin展开后重组再用辅助角公式化简．
[解析]　(1)∵sin＋cos
α＝－，
∴cos
α＋sin
α＋cos
α＝－，
即sin
α＋cos
α＝－
∴sin
α＋cos
α＝－，即sin＝－，
∴cos＝cos＝sin＝－，故选C.
(2)本题考查三角恒等变换及辅助角公式的应用．
f(x)＝sin(x＋φ)＋cos
x＝sin
xcos
φ＋cos
xsin
φ＋cos
x＝cos
φsin
x＋(sin
φ＋1)cos
x＝·sin(x＋θ)(其中tan
θ＝)，由f(x)的最大值为2，所以＝2，化简可得sin
φ＝1，则φ可为，其取值满足φ＝＋2kπ(k∈Z)即可．
(3)f(x)＝sinsin
x－cos2x＝cos
xsin
x－(1＋cos
2x)＝sin
2x－cos
2x－＝sin－，当x∈时，有0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤时，即≤x≤时，f(x)单调递增；综上可知，f(x)在上单调递增，故选B.
PAGE第六讲　解三角形
知识梳理·双基自测
知识点一　正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝　＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)
a2＝
b2＋c2－2bccos
A
b2＝
a2＋c2－2accos
B
c2＝
a2＋b2－2abcos
C
常见变形
①a＝
2Rsin
A
，b＝
2Rsin
B
，c＝
2Rsin
C
②sin
A＝
　，sin
B＝
　，sin
C＝
　③a?b?c＝
sin
A?sin
B?sin
C
④asin
B＝bsin
A，bsin
C＝csin
B，asin
C＝csin
A
cos
A＝
　cos
B＝
　cos
C＝
　
解决解斜三角形的问题
(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
(1)已知三边，求各角(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
知识点二　在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
aA
a＝bsin
A
bsin
Aa≥b
a>b
a≤b
解的个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
知识点三　三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．
(2)S＝absin
C＝acsin
B＝bcsin
A.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
知识点四　实际问题中的常用术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角α的范围是0°≤α<360°
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度
坡角
坡面与水平面的夹角
设坡角为α，坡度为i，则i＝＝tan
α
坡度
坡面的垂直高度h和水平宽度l的比
知识点五　实际测量中的常见问题
求AB
图形
需要测量的元素
解法
求竖直高度
底部可达
∠ACB＝αBC＝a
解直角三角形AB＝atan
α
底部不可达
∠ACB＝α∠ADB＝βCD＝a
解两个直角三角形AB＝
求水平距离
山两侧
∠ACB＝αAC＝bBC＝a
用余弦定理AB＝
河两岸
∠ACB＝α∠ABC＝βCB＝a
用正弦定理AB＝
河对岸
∠ADC＝α∠BDC＝β∠BCD＝δ∠ACD＝γCD＝a
在△ADC中，AC＝在△BDC中，BC＝在△ABC中，应用余弦定理求AB
在△ABC中，常有以下结论
1．∠A＋∠B＋∠C＝π.
2．在三角形中，大边对大角，大角对大边．
3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．sin(A＋B)＝sin
C；cos(A＋B)＝－cos
C；tan(A＋B)＝－tan
C；sin
＝cos
，cos
＝sin
.
5．tan
A＋tan
B＋tan
C＝tan
A·tan
B·tan
C．
6．∠A>∠B?a>b?sin
A>sin
B?cos
AB．
7．三角形式的余弦定理sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin
Bsin
Ccos
A，
sin2B＝sin2A＋sin2C－2sin
Asin
Ccos
B，
sin2C＝sin2A＋sin2B－2sin
Asin
Bcos
C．
8．若A为最大的角，则A∈[，π)；若A为最小的角，则A∈(0，]；若A、B、C成等差数列，则B＝.
　　　　　　
　　　
　　　　　　
　　　　　
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在△ABC中，A>B必有sin
A>sin
B．(　√　)
(2)在△ABC中，若b2＋c2>a2，则△ABC为锐角三角形．(　×　)
(3)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c且a＝1，c＝，A＝，则b＝1或2.(　√　)
(4)若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，则实数a的取值范围是(，2)．(　√　)
(5)在△ABC中，若bcos
B＝acos
A，则△ABC是等腰三角形．(　×　)
(6)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　×　)
(7)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(　√　)
题组二　走进教材
2．(必修5P10A组T8改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos
A＝，则b＝(　D　)
A.
B．
C．2
D．3
[解析]　由余弦定理，得4＋b2－2×2bcos
A＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.
3．(必修5P10A组T3改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝(　B　)
A．45°
B．75°
C．105°
D．60°
[解析]　由题意：＝，即sin
B＝＝＝，结合b4．(必修5P18T1改编)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于
2　.
[解析]　设△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c.
由题意及余弦定理得
cos
A＝＝＝，解得c＝2.
所以S＝bcsin
A＝×4×2×sin
60°＝2.
5．(必修5P14例5改编)如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m米，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则A，B两点间的距离为(　C　)
A.
B．
C．
D．
[解析]　∠ABC＝π－(α＋β)，由正弦定理得＝
∴AB＝＝，故选C.
题组三　走向高考
6．(2020·课标Ⅲ理，7,5分)在△ABC中，cos
C＝，AC＝4，BC＝3，则cos
B＝(　A　)
A.
B．
C．
D．
[解析]　由cos
C＝得＝，
∴AB＝3，∴cos
B＝＝＝，故选A.
7．(2019·全国卷Ⅱ，5分)在△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin
A＋acos
B＝0，则B＝
　.
[解析]　解法一：依题意与正弦定理得sin
Bsin
A＋sin
Acos
B＝0，即sin
B＝－cos
B，则tan
B＝－1.又0解法二：由正弦定理得bsin
A＝asin
B，又bsin
A＋acos
B＝0，所以asin
B＋acos
B＝0，即sin
B＝－cos
B，则tan
B＝－1.又0解法三：依题意得bsin
A＝－acos
B>0，故cos
B<0，B为钝角．如图，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，则CE＝bsin
∠BAC，BE＝－acos
∠ABC，故BE＝CE.又CE⊥AB，所以∠CBE＝，∠ABC＝.
8．(2019·全国卷Ⅱ，5分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为
6　.
[解析]　解法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定
理b2＝a2＋c2－2accos
B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos
，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin
B＝×4×2×sin
＝6.
解法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos
，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.
考点突破·互动探究
考点一　利用正、余弦定理解三角形——自主练透
　　例1
(1)(2020·东北师范大学附属中学模拟)在△ABC中，a＝1，A＝，B＝，则c＝(　A　)
A.
B．
C．
D．
(2)(2020·河南南阳期中)在△ABC中，a＝8，b＝10，A＝45°，则此三角形解的情况是(　B　)
A．一解
B．两解
C．一解或两解
D．无解
(3)(2020·百校联盟第二次联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin
A＝3sin
B，c＝，且cos
C＝，则a＝(　B　)
A．2
B．3
C．3
D．4
(4)(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin
A－bsin
B＝4csin
C，cos
A＝－，则等于(　A　)
A．6
B．5
C．4
D．3
[解析]　(1)解法一：sin
C＝sin
[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝，由正弦定理＝得c＝＝＝，故选A.
解法二：由正弦定理＝，得b＝＝＝，则cos
C＝－cos(A＋B)＝－(cos
Acos
B－sin
Asin
B)＝－.由余弦定理可得，c＝＝＝.故选A.
(2)因为bsin
45°＝5<8(3)由正弦定理结合题意得a＝3b，不妨设b＝m，a＝3m(m>0)，结合余弦定理有：cos
C＝＝＝，求解关于实数m的方程可得m＝1，则a＝3m＝3.
(4)由正弦定理：asin
A－bsin
B＝4csin
C?a2－b2＝4c2?a2＝b2＋4c2.
①
由余弦定理cos
A＝＝－.
②
将①代入②，消去a2得＝－?＝6.故选A.
名师点拨
(1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判明是否有解，(例如在△ABC中，已知a＝1，b＝2，A＝60°，则sin
B＝sin
A＝>1，问题就无解)，如果有解，是一解，还是两解．
(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系．
(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”．
(4)已知边多优先考虑余弦定理，角多优先考虑正弦定理.
考点二　利用正、余弦定理判定三角形的形状——师生共研
　　例2
(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos
C＋ccos
B＝asin
A，则△ABC的形状为(　B　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　C　)
A．直角三角形
B．等腰非等边三角形
C．等边三角形
D．钝角三角形
[解析]　(1)解法一：因为bcos
C＋ccos
B＝asin
A，
由正弦定理知sin
Bcos
C＋sin
Ccos
B＝sin
Asin
A，
得sin(B＋C)＝sin
Asin
A.
又sin(B＋C)＝sin
A，得sin
A＝1，
即A＝，因此△ABC是直角三角形．
解法二：因为bcos
C＋ccos
B＝b·＋c·＝＝a，所以asin
A＝a，即sin
A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．
(2)因为＝，所以＝，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos
A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝，
所以△ABC是等边三角形．
名师点拨
三角形形状的判定方法
(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2Rsin
A，a2＋b2－c2＝2abcos
C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin
A＝sin
B?A＝B；sin(A－B)＝0?A＝B；sin
2A＝sin
2B?A＝B或A＋B＝等．
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin
A＝，cos
A＝等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．
(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要轻易约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．
〔变式训练1〕
(1)(2021·长春调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos
C－2ccos
B＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是(　B　)
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
(2)(2021·开封调研)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，则△ABC的形状是(　D　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
[解析]　(1)因为2bcos
C－2ccos
B＝a，所以2sin
Bcos
C－2sin
Ccos
B＝sin
A＝sin(B＋C)，即sin
Bcos
C＝3cos
Bsin
C，所以tan
B＝3tan
C，又B＝2C，所以＝3tan
C，得tan
C＝，C＝，B＝2C＝，A＝，故△ABC为直角三角形．故选B.
(2)解法一：已知等式可化为a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，
∴2a2cos
Asin
B＝2b2cos
Bsin
A.
由正弦定理知上式可化为sin2Acos
Asin
B＝sin2Bcos
Bsin
A，
∴sin
2A＝sin
2B，由0<2A<2π，0<2B<2π，
得2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＝－B，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D.
解法二：同解法一可得
2a2cos
Asin
B＝2b2sin
Acos
B．
a2b·＝b2a·，
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2＋b2＝c2，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D.
考点三　与三角形面积有关的问题——师生共研
　　例3
(2019·全国卷Ⅲ，12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin
＝bsin
A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
[解析]　(1)由题设及正弦定理得sin
Asin
＝sin
Bsin
A．　
因为sin
A≠0，所以sin
＝sin
B．
由A＋B＋C＝180°，可得sin
＝cos
，
故cos
＝2sin
cos
.
因为cos
≠0，故sin
＝，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°由(1)知A＋C＝120°，
所以30°因此，△ABC面积的取值范围是.
名师点拨
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin
C＝acsin
B＝bcsin
A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
〔变式训练2〕
　(2020·课标Ⅰ，18,12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
(2)若sin
A＋sin
C＝，求C.
[解析]　(1)由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×c2×cos
150°.
解得c1＝－2(舍去)，c2
＝2，从而a＝2.
△ABC的面积为×2×2×sin
150°＝.
(2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，
所以sin
A＋sin
C＝sin(30°－C)＋sin
C＝sin(30°＋C)．
故sin(30°＋C)＝.
而0°考点四　解三角形应用举例——师生共研
　　例4
(2021·济南模拟)济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征，李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2
m，到达B点，又测得泉标顶端的仰角为80°.则李明同学求出泉标的高度为
38
m.(精确到1
m)
[解析]　如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．
依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2
m，
则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.
在△ABD中，根据正弦定理，＝.
∴BD＝＝≈38.5(m)．
在Rt△BCD中，CD＝BDsin
80°＝38.5×sin
80°≈38(m)，
即泉城广场上泉标的高约为38
m.
名师点拨
解三角形的实际应用问题的类型及解题策略
求距离、高度问题
(1)选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
求角度问题
(1)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用
〔变式训练3〕
(1)如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin
θ的值为
　.
(2)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，求A，B两点的距离．
[解析]　
(1)如图，连接BC，在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos
120°＝700，∴BC＝10.再由正弦定理，得＝，∴sin
θ＝.
(2)作出示意图，如图，在△ACD中，
∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，
∴∠DAC＝15°.
由正弦定理＝，
得AC＝＝＝40(＋)，
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
∴∠DBC＝30°，
由正弦定理＝，
可得BC＝＝＝40(－)．
在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB
＝1
600(8＋4)＋1
600(8－4)＋2×1
600(＋)×(－)×＝1
600×20，
解得AB＝80，
∴A，B两点的距离为80.
名师讲坛·素养提升
三角形中的实际测量问题
角度1　测量距离问题
　　例5
如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在岸边定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．
[分析]　欲求AB只需解△ABC，因为∠ACB＝30°，所以需求AC、BC.从而需解△ACD、△BCD.
[解析]　在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.
①
在△BCD中，由∠BCD＝30°，∠BDC＝105°知∠DBC＝45°，由正弦定理可得＝，
∴BC＝＝a.
②
在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为AB＝＝a.
名师点拨
距离问题的常见类型及解法
(1)类型：测量距离问题常分为三种类型：山两侧、河两岸、河对岸．
(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．若图中涉及到多个三角形，则先解可解三角形，借助公共边、公共角再解其它三角形从而求解．
角度2　测量高度问题
例6
(2021·郑州模拟)如图，一栋建筑物AB的高为(30－10)米，在该建筑的正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角是30°，则通信塔CD的高为
60
米．
[解析]　在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝20.如图过点A作AN⊥CD于点N，在Rt△ACN中，因为∠CAN＝30°，所以∠ACN＝60°.又在Rt△CMD中，∠CMD＝60°，所以∠MCD＝30°，所以∠ACM＝30°，在△AMC中，∠AMC＝105°，所以＝＝，所以AC＝60＋20，所以CN＝30＋10，所以CD＝DN＋CN＝AB＋CN＝30－10＋30＋10＝60.故填60.
名师点拨
求解高度问题的三个关注点
(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题
易错提醒：解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来．而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．
角度3　角度问题
例7如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．
[分析]　根据题意在图中标注已知条件，先使用余弦定理求BC，再使用正弦定理求角度．
[解析]　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，由余弦定理，有
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos
A
＝(－1)2＋22－2(－1)×2×cos
120°＝6，
解得BC＝.
又∵＝，
∴sin
∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝45°，故B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得＝，
∴sin
∠BCD＝＝＝.
∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝，解得t＝小时≈15分钟．
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．
名师点拨
角度问题的解题方法
首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．
提醒：方向角是相对于某点而言的，因此确定方向角时，首先要弄清是哪一点的方向角．
〔变式训练4〕
(1)(角度1)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300
m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为
900
m.
(2)(角度2)(2021·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了600
m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为
300
m　.
(3)(角度3)(2021·宜昌模拟)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东
30°
(填角度)的方向前进．
[解析]　(1)由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∠AQB＝30°，
∴AB＝BQ.
又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan
60°＝900，
故PQ＝900，
∴P，Q两点间的距离为900
m.
(2)在△ACM中，
∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，
由正弦定理得＝，
即＝，解得AC＝300.
在Rt△ACD中，因为tan
∠DAC＝＝，
所以DC＝ACtan
∠DAC＝300×＝300(m)
(3)设两船在C处相遇，
则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝，
由正弦定理得＝＝，
所以sin
∠BAC＝.
又因为0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°.
所以甲船应沿北偏东30°方向前进．第二讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式
知识梳理·双基自测
知识点一　同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：
sin2x＋cos2x＝1　.
(2)商数关系：
＝tan
x　.
知识点二　三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sin
α
－sin
α
sin
α
cos
α
cos
α
余弦
cos
α
－cos
α
cos
α
－cos
α
sin
α
－sin
α
正切
tan
α
tan
α
－tan
α
－tan
α
1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin
x＝tan
x·cos
x，tan2x＋1＝，(sin
x＋cos
x)2＝1＋2sin
xcos
x等．
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·＋α(k∈Z)中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·＋α(k∈Z)所在的象限．
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)
(2)若α∈R，则tan
α＝恒成立．(　×　)
(3)sin
(π＋α)＝－sin
α成立的条件是α为锐角．(　×　)
(4)若sin
(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin
α＝.(　×　)
[解析]　(1)根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．(2)cos
α≠0时才成立．(3)根据诱导公式知α为任意角．(4)当k为奇数和偶数时，sin
α的值不同．
题组二　走进教材
2．(必修4P22B组T3改编)已知tan
α＝，则＝(　A　)
A．－
B．
C．－7
D．7
[解析]　＝＝＝－.故选A.
3．(必修4P22B组T2改编)化简cos
α＋sin
α得(　A　)
A．sin
α＋cos
α－2
B．2－sin
α－cos
α
C．sin
α－cos
α
D．cos
α－sin
α
[解析]　原式＝cos
α＋sin
α，
∵π<α<π，∴cos
α<0，sin
α<0.
∴原式＝－(1－sin
α)－(1－cos
α)＝sin
α＋cos
α－2.
4．(必修4P29B组T2改编)若sin(π＋α)＝－，则sin(7π－α)＝
　，cos＝
　.
[解析]　由sin(π＋α)＝－，得sin
α＝，
则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin
α＝，
cos＝cos＝cos
＝cos＝sin
α＝.
题组三　走向高考
5．(2019·全国卷Ⅰ)tan
255°＝(　D　)
A．－2－　　　　　　
B．－2＋
C．2－
D．2＋
[解析]　由正切函数的周期性可知，tan
255°＝tan(180°＋75°)＝tan
75°＝tan(30°＋45°)＝＝2＋，故选D.
另：tan
225°＝tan
75°>tan
60°＝，∴选D.
6．(2015·福建)若sin
α＝－，且α为第四象限角，则tan
α的值等于(　D　)
A.
B．－
C．
D．－
[解析]　因为sin
α＝－，且α为第四象限角，
所以cos
α＝，所以tan
α＝－，故选D.
7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin
α－cos
α＝，则sin
2α＝(　A　)
A．－
B．－
C．
D．
[解析]　将sin
α－cos
α＝的两边进行平方，得sin2α－2sin
αcos
α＋cos2α＝，即sin
2α＝－，故选A.
考点突破·互动探究
考点一　同角三角函数的基本关系式——师生共研
　　例1
(1)已知α为第三象限角，cos
α＝－，则tan
α＝(　D　)
A．－
B．
C．－
D．
(2)已知α是三角形的内角，且tan
α＝－，则sin
α＋cos
α的值为
－　.
(3)若角α的终边落在第三象限，则＋的值为
－3
.
[解析]　(1)因为α是第三象限角，cos
α＝－，
所以sin
α＝－＝－＝－，
故tan
α＝＝.选D.
(2)由tan
α＝－，得sin
α＝－cos
α，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，
所以cos2α＝，易知cos
α<0，
所以cos
α＝－，sin
α＝，
故sin
α＋cos
α＝－.
(3)由角α的终边落在第三象限，
得sin
α<0，cos
α<0，
故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
名师点拨
(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin2α＋cos2α＝1，tan
α＝求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．
(2)遇sin
α，cos
α的齐次式常“弦化切”，如：
＝；sin
αcos
α＝
＝＝；
sin2α＋sin
αcos
α－2cos2α＝
＝.
〔变式训练1〕
(1)若α是第二象限角，tan
α＝－，则sin
α＝(　C　)
A.
B．－
C．
D．－
(2)已知α是第二象限角，化简＝
　.
(3)(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈，tan
α＝2，则cos＝
　.
[解析]　(1)∵tan
α＝－，∴＝－.
∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＋2＝1，∴sin
α＝±.
又α为第二象限角，∴sin
α＝，故选C.
(2)解法一：原式＝
＝
＝
＝＝.
解法二：∵1－cos4α－sin4α＝1－(cos2α＋sin2α)2＋2sin2αcos2α＝2sin2αcos2α，
∴原式＝
＝
＝＝.
(3)由tan
α＝2得sin
α＝2cos
α.
又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.
因为α∈，所以cos
α＝，sin
α＝.
因为cos＝cos
αcos
＋sin
αsin
，
所以cos＝×＋×＝.
考点二　诱导公式及其应用——多维探究
角度1　利用诱导公式化简三角函数式
　　例2
(1)化简：
＝
－　.
(2)化简＝
－1
.
[解析]　(1)原式＝
＝＝－.
(2)∵cos
10°>sin
10°，∴原式＝＝＝＝＝－1.
角度2　“换元法”的应用
　　例3
已知cos＝a，则cos＋sin的值是
0
.
[解析]　因为cos＝cos
＝－cos＝－a.sin
＝sin
＝cos＝a，
所以cos＋sin＝0.
名师点拨
(1)诱导公式的两个应用方向与原则：
①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等，互补关系有＋α与－α；＋α与－α等．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)已知f(α)＝.
①化简f(α)；
②若α是第三象限的角，且cos＝，求f(α)的值．
(2)(角度2)(2021·唐山模拟)已知α为钝角，sin＝，则sin＝
－　，cos＝
　.
[解析]　(1)①f(α)＝
＝
＝－cos
α.
②因为cos＝－sin
α，所以sin
α＝－.
又α是第三角限的角，
所以cos
α＝－＝－.
所以f(α)＝.
(2)sin＝cos
＝cos，
因为α为钝角，
所以π<＋α<π，
所以cos<0.
所以cos＝－＝－.
cos＝sin
＝sin＝.
名师讲坛·素养提升
sin
x＋cos
x、sin
x－cos
x、sin
xcos
x之间的关系
　　例4
(2021·北京东城模拟)已知sin
θ＋cos
θ＝，θ∈(0，π)，则tan
θ＝
－　.
[解析]　解法一：因为sin
θ＋cos
θ＝，θ∈(0，π)
所以(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ＝，
sin
θcos
θ＝－.
由根与系数的关系，知sin
θ，cos
θ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－.
因为θ∈(0，π)，所以sin
θ>0.
所以sin
θ＝，cos
θ＝－，tan
θ＝＝－.
解法二：同解法一，得sin
θcos
θ＝－，
所以＝－，弦化切，得
＝－，解得tan
θ＝－或tan
θ＝－.
又θ∈(0，π)，sin
θ＋cos
θ＝>0，sin
θcos
θ＝－<0.
∴θ∈，且sin
θ>|cos
θ|，
∴＝|tan
θ|>1，∴tan
θ＝－.
解法三：解方程组
得或(舍去)
故tan
θ＝－.
名师点拨
sin
x＋cos
x、sin
x－cos
x、sin
xcos
x之间的关系为(sin
x＋cos
x)2＝1＋2sin
xcos
x，(sin
x－cos
x)2＝1－2sin
xcos
x，(sin
x＋cos
x)2＋(sin
x－cos
x)2＝2.
因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．
〔变式训练3〕
(1)(2021·山东师大附中模拟)已知－<α<0，sin
α＋cos
α＝，则的值为(　C　)
A.
B．
C．
D．
(2)若＋＝，则sin
αcos
α＝(　A　)
A．－
B．
C．－或1
D．或－1
[解析]　(1)解法一：∵sin
α＋cos
α＝，
∴(sin
α＋cos
α)2＝，∴sin
αcos
α＝－，
又α∈，∴sin
α<0，cos
α>0，
∴cos
α－sin
α＝＝＝.
∴＝＝，故选C.
解法二：由解法一知得
∴tan
α＝＝－.
∴＝＝
＝＝，故选C.
(2)由＋＝，可得sin
α＋cos
α＝sin
αcos
α，两边平方，得1＋2sin
αcos
α＝3sin2αcos2α，解得sin
αcos
α＝－或sin
αcos
α＝1.
由题意，知－1α<1，－1α<1，且sin
α≠0，cos
α≠0，所以sin
αcos
α≠1，故选A.
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