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第二章　函数、导数及其应用
第一讲　函数及其表示
知识梳理·双基自测
ZHI
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SHU
LI
SHUANG
JI
ZI
CE知识梳理
知识点一　函数的概念及表示
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应
名称
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
2.函数
(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．
(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则．
(3)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
(4)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．
知识点二　分段函数及应用
在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．
重要结论
1．映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射就是函数；
(2)映射的两个特征：
第一，在A中取元素的任意性；
第二，在B中对应元素的唯一性；
(3)映射问题允许多对一，但不允许一对多．
2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
双基自测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x)＝＋是一个函数．(　×　)
(2)函数f(x)的图象与直线x＝1的交点只有1个．(　×　)
(3)已知f(x)＝m(x∈R)，则f(m3)等于m3.(　×　)
(4)y＝ln
x2与y＝2ln
x表示同一函数．(　×　)
(5)f(x)＝
则f(－x)＝(　√　)
题组二　走进教材
2．(必修P23T2改编)下列所给图象是函数图象的个数为(　B　)
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析]　①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．
3．(必修1P24T4改编)已知f(x5)＝lg
x，则f(2)等于(　D　)
A．lg
2
B．lg
32
C．lg
D．lg
2
[解析]　解法一：由题意知x>0，令t＝x5，则t>0，x＝t，
∴f(t)＝lg
t＝lg
t，即f(x)＝lg
x(x>0)，
∴f(2)＝lg
2，故选D．
解法二：令x5＝2，则x＝2，∴f(2)＝lg
2＝lg
2.故选D．
4．(必修1P25BT1改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是[－3，0]∪[2，3]；值域是[1，5]；其中只与x的一个值对应的y值的范围是[1，2)∪(4，5]．
题组三　走向高考
5．(2018·上海，16，5分)设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是(　B　)
A．
B．
C．
D．0
[解析]　A选项，若f(1)＝，将点(1，)依次旋转后可得到函数图象上的一些点，由图可知，当x＝±1、±、0时，对应了两个y值，不符合函数定义，∴f(1)≠.同理，结合图象分析B、C、D选项，只有B选项符合函数定义，故选B．
6．(2015·陕西，5分)设f(x)＝则f[f(－2)]＝(　C　)
A．－1
B．
C．
D．
[解析]　∵f(－2)＝2－2＝，
∴f[f(－2)]＝f＝1－＝，故选C．
考点突破·互动探究
KAO
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DONG
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JIU　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一
函数的概念及表示
考向1　函数与映射的概念——自主练透
例1　(1)下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？
①A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4.
②A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y，y2＝4x.
③A＝N，B＝Q，f：x→y＝.
④A＝{衡中高三·一班的同学}，B＝[0，150]，f：每个同学与其高考数学的分数相对应．
(2)(多选题)(2021·河南安阳模拟改编)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　BC　)
(3)(多选题)下面各组函数中是同一函数的是(　BD　)
A．y＝与y＝x
B．y＝与y＝|x|
C．y＝·与y＝
D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1
[解析]　(1)①是映射，也是函数；
②不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多”；
③当x＝0时，与其对应的y值不存在．故不是映射，更不是函数；
④是映射，但不是函数，因为集合A不是数集．
(2)A图象不满足函数的定义域，不正确；B、C满足函数的定义域以及函数的值域，正确；D不满足函数的定义，故选B、C．
(3)本题考查函数的定义及三要素．选项A中，两个函数的对应法则不同，不是同一函数；选项B中，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；选项C中，两个函数的定义域不同，不是同一函数；选项D中，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数．故选BD．
[答案]　(1)①是映射，也是函数
②不是映射，更不是函数
③不是映射，更不是函数
④是映射，但不是函数
(2)BC　(3)BD
名师点拨　　　　　MING
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1.映射与函数的含义
(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．
(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，且每个象都有原象，即称为函数．
2．判断两个函数是否相同的方法
(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．
(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．
考向2　求函数的解析式——师生共研
例2　(1)已知f＝lg
x，则f(x)＝lg_(x>－1)．
(2)已知f＝x2＋x－2，则f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．
(3)已知f(x)是二次函数且f(0)＝5，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝x2－x＋5．
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝2x－(x≠0)．
(5)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)＝x2＋x＋1．
[解析]　(1)令t＝－1，则由x>0知－1>－1，x＝，所以由f＝lg
x，得f(t)＝lg
(t>－1)，所以f(x)＝lg
(x>－1)．
(2)因为f＝x2＋x－2＝－2，
且当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2，
所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．
(3)
因为f(x)是二次函数且f(0)＝5，
所以设f(x)＝ax2＋bx＋5(a≠0)．
又因为f(x＋1)－f(x)＝x－1，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋5－(ax2＋bx＋5)＝x－1，
整理得(2a－1)x＋a＋b＋1＝0，所以
解得a＝，b＝－，所以f(x)＝x2－x＋5.
(4)因为2f(x)＋f＝3x，①
所以将x用替换，得2f＋f(x)＝，②
由①②解得f(x)＝2x－(x≠0)，
即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)．
(5)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y，
∴f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.
名师点拨　　　　　MING
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求函数解析式的五种方法
〔变式训练1〕
(1)已知f(cos
x)＝sin2x，则f(x)＝1－x2，x∈[－1，1]．
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝x2＋x(x∈R)．
(3)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝－.
[解析]　(1)(换元法)设cos
x＝t，t∈[－1，1]，
∵f(cos
x)＝sin2x＝1－cos2x，
∴f(t)＝1－t2，t∈[－1，1]．
即f(x)＝1－x2，x∈[－1，1]．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx(a≠0)．
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x(x∈R)．
(3)(转换法)当－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，
故f(x＋1)＝(x＋1)(1－x－1)＝－x(x＋1)，又f(x＋1)＝2f(x)，
所以当－1≤x≤0时，f(x)＝－.
考点二
分段函数及应用——多维探究
角度1　分段函数求值问题
例3　(2020·山西太原期中)已知函数f(x)＝则f(log23)＝(　A　)
A．
B．3
C．
D．6
[解析]　解法一：∵函数f(x)＝
∴f(log23)＝f(log23＋1)＝＝×＝×＝.故选A．
解法二：f＝f＝f＝＝.故选A．
角度2　分段函数与方程的交汇问题
例4　设函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a＝1或－．
[解析]　由于f(1)＝e1－1＝1，再根据f(1)＋f(a)＝2得f(a)＝1.当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1，解得a＝1；当－1角度3　分段函数与不等式的交汇问题
例5　(2018·全国Ⅰ，12)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1]
B．(0，＋∞)
C．(－1，0)
D．(－∞，0)
[解析]　
画出函数f(x)的图象如图所示，由图可知：
①当x＋1≥0且2x≥0，即x≥0时，f(2x)＝f(x＋1)，不满足题意；
②当x＋1>0且2x<0，即－1③当x＋1≤0时，x≤－1，此时2x<0，若f(x＋1)2x，解得x<1.故x≤－1.
综上所述，x的取值范围为(－∞，0)．
名师点拨　　　　　MING
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分段函数问题的求解策略
(1)分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．
(2)分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．
〔变式训练2〕
(1)(角度2)已知函数f(x)＝若f＝－6，则实数a的值为－5，f(2)＝－6．
(2)(角度1)已知f(x)＝则f(2)＝3．
(3)(角度3)函数f(x)＝若f(a)≤a，则实数a的取值范围是[－1，＋∞)．
[解析]　(1)由题意得，f＝3·＋1＝3，
所以f＝f(3)＝9＋3a＝－6，
所以a＝－5，f(2)
＝4－5×2＝－6.
(2)f(2)＝f(1)＋1＝f(0)＋2＝cos＋2＝1＋2＝3.
(3)当a≥0时，由f(a)＝a－1≤a，解得a≥－2，所以a≥0；当a<0时，由f(a)＝≤a，解得－1≤a≤1且a≠0，所以－1≤a<0.综上所述，实数a的取值范围是[－1，＋∞)．
名师讲坛·素养提升
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数学抽象——函数新定义问题中的核心素养
例6　设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝；③f(x)＝ln(2x＋3)；
④f(x)＝2x－2－x；⑤f(x)＝2sin
x－1.
其中是“美丽函数”的序号有②③④．
[解析]　由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．
①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；④中函数的值域为R，值域关于原点对称，故④符合题意；⑤中函数f(x)＝2sin
x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故⑤不符合题意．
名师点拨　　　　　MING
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以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题．
〔变式训练3〕
　定义a☆b＝设函数f(x)＝ln
x☆x，则f(2)＋f＝(　D　)
A．4ln
2　　　
B．－4ln
2　　　
C．2　　　
D．0
[解析]　解法一：2×ln
2>0，所以f(2)＝2×ln
2＝2ln
2.因为×ln
<0，所以f＝＝－2ln
2.则f(2)＋f＝2ln
2－2ln
2＝0.
解法二：f(x)＝，
∴f(2)＋f＝2ln
2＋＝2ln
2－2ln
2＝0.
PAGE第五讲　幂函数与二次函数
知识梳理·双基自测
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CE知识梳理
知识点一　幂函数
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图象
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1，1)
知识点二　二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
eq
\a\vs4\al()
eq
\a\vs4\al()
定义域
R
R
值域
单调性
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增，在上单调递减
顶点坐标
奇偶性
当b＝0时为偶函数
对称轴
函数的图象关于直线x＝－成轴对称
重要结论
1．二次函数解析式的三种形式：
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．一元二次不等式恒成立的条件：
(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．
(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．
双基自测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝x0的图象是一条直线．(　×　)
(2)幂函数的图象不可能出现在第四象限．(　√　)
(3)若幂函数y＝xn是奇函数，则y＝xn是增函数．(　×　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是奇函数．(　√　)
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　)
(6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　×　)
题组二　走进教材
2．(必修1P79T1改编)(此题为更换后新题)若幂函数y＝(m2－3m－9)xm2－m－6的图象不经过原点，则实数m的值为－2．
[解析]　由解得m＝－2.
2．(必修1P79T1改编)(此题为发现的重题，更换新题见上题)若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为1或2．
[解析]　由解得m＝1或m＝2.
经检验m＝1或m＝2都适合．
3．(必修1P39BT1改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为y＝x－，在区间(0，＋∞)上单调递减．
[解析]　∵f(x)的图象过点，
∴2α＝＝2－，∴α＝－，∴f(x)＝x－.
由f(x)的图象可知，f(x)的减区间是(0，＋∞)．
4．(必修1P44AT9改编)二次函数y＝f(x)满足f(－1)＝f(3)，x1，x2是方程f(x)＝0的两根，则x1＋x2＝2．
题组三　走向高考
5．(2018·上海，7，5分)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝－1．
[解析]　本题主要考查幂函数的图象和性质．
∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1，1，3，
又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.
6．(2017·浙江卷，5)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　B　)
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，且与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，且与b有关
[解析]　f(x)＝－＋b，①当0≤－≤1时，f(x)min＝m＝f＝－＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b，1＋a＋b}，∴M－m＝max与a有关，与b无关；②当－<0时，f(x)在[0，1]上单调递增，
∴M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a与a有关，与b无关；③当－>1时，f(x)在[0，1]上单调递减，∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关．综上所述，M－m与a有关，但与b无关，故选B．
考点突破·互动探究
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考点一
幂函数图象与性质——自主练透　　
例1　(1)(2021·河北衡水武邑中学高三上第一次调研)已知幂函数y＝f(x)的图象，经过点(2，2)，则幂函数的解析式为(　C　)
A．y＝2x
B．y＝x
C．y＝x
D．y＝x
(2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　B　)
A．d>c>b>a
B．a>b>c>d
C．d>c>a>b
D．a>b>d>c
(3)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　B　)
A．－3
B．1
C．2
D．1或2
(4)若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是.
[解析]　(1)幂函数y＝f(x)＝xα的图象经过点(2，2)，
∴2α＝2，解得α＝，∴幂函数的解析式为y＝x.故选C．
(2)由幂函数图象性质知，在x＝1右侧从下至上次数依次增大，故选B．
(3)由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B．
(4)由幂函数y＝性质得，解得－1≤a<.故填.
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(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
考点二
二次函数的图象与性质
考向1　二次函数的解析式——师生共研
例2　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求此二次函数的解析式．
[解析]　解法一：利用“一般式”解题：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二：利用“顶点式”解题：
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝，∴m＝.
又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a＋8.
∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三：利用“零点式”解题：
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8，
解得a＝－4或a＝0(舍去)．
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
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根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
〔变式训练1〕
(1)已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1，0)，则函数的解析式为f(x)＝x2＋x－．
(2)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对?x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x＋3．
[解析]　(1)解法一：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由已知得解得
所以所求解析式为f(x)＝x2＋x－.
解法二：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
依题意得解得
所以所求解析式为f(x)＝x2＋x－.
解法三：设所求解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k.
由已知得f(x)＝a(x＋2)2－1，
将点(1，0)代入，得a＝，
所以f(x)＝(x＋2)2－1，
即f(x)＝x2＋x－.
(2)由f(0)＝3，得c＝3，
又f(1＋x)＝f(1－x)，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴＝1，∴b＝2，∴f(x)＝x2－2x＋3.
考向2　二次函数的图象和性质——多维探究
角度1　二次函数的图象
例3　一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　C　)
[解析]　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B．
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二次函数图象的识别方法
二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面识别．
角度2　利用二次函数的图象和性质求最值
例4　已知f(x)＝x2－2x＋5.
(1)若x∈R，则函数f(x)的最小值为4；
(2)若x∈[－1，2]，则函数f(x)的最小值为4，最大值为8；
(3)若x∈[t，t＋1]，则函数f(x)的最小值为
．
[分析]　对于(1)(2)直接利用二次函数的图象性质求解；对于(3)由于函数f(x)的对称轴确定为x＝1，但函数的定义域不确定，因此解题时要以定义域内是否含有对称轴为标准分情况讨论．
[解析]　(1)f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4，
∴f(x)的最小值为4.
(2)∵f(x)的对称轴为x＝1，又1∈[－1，2]，
∴f(x)min＝f(1)＝4，由二次函数的图象知，f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．
又f(－1)＝(－1)2－2×(－1)＋5＝8，f(2)＝22－2×2＋5＝5，∴f(x)max＝8，f(x)min＝4.
(3)∵f(x)的对称轴为x＝1.
当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
∴f(x)min＝f(t)＝t2－2t＋5，
当t<1当t＋1≤1即t≤0，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋4.
∴f(x)min＝
[引申]在(3)的条件下，求f(x)的最大值．
[解析]　①当≥1即t≥时f(x)最大值为f(t＋1)＝t2＋4
②当<1，即t<时f(x)最大值为f(t)＝t2－2t＋5.
综上所述，f(x)max＝
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二次函数求最值问题，一般先用配方法化成形如y＝a(x＋b)2＋c的形式，若x∈R，a>0，则ymin＝c，若x∈R，a<0，则ymax＝c.当定义域不是R时，常见的题型有三种：(1)区间确定，对称轴确定，此类题型只需结合二次函数便可求出最值；(2)区间确定，对称轴变化(含参)；(3)对称轴确定，区间不确定(含参)．(2)(3)两类问题，通常要把－与区间端点、中点比较，分类求解．
角度3　二次函数中的恒成立问题
例5　(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是．
(2)(2021·北京101中学模拟)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是(－∞，－1)．
[解析]　(1)作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，
则有
即
解得－(2)方法1：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，
即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可，
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
方法2：f(x)>2x＋m等价于m1，
所以g(x)在区间[－1，1]上递减，
则g(x)在区间[－1，1]上的最小值为g(x)min＝g(1)＝－1，所以m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
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二次函数中恒成立问题的求解思路
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，分类求解．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
注：a≥f(x)有解?a≥f(x)min，a≤f(x)有解?a≤f(x)max.
〔变式训练2〕
(1)(多选题)(角度1)设b≥0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为(　ABD　)
A．
B．
C．1
D．－1
(2)(角度2)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0，1]内的最大值为－5，则a的值为(　D　)
A．
B．1或
C．－1或
D．－5或
(3)(角度3)(2021·石家庄模拟)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为．
[解析]　(1)当b＝0时，对称轴为y轴，a＝时开口向下，a2－1>0，A正确．a＝时开口向上，a2－1<0，B正确；当b>0时，对称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a<0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a2－1＝0，a＝±1，又a<0，所以a＝－1.故选A、B、D．
(2)f(x)＝－4－4a，对称轴为直线x＝.
①当≥1，即a≥2时，f(x)在[0，1]上递增，
∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2.
令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．
②当0<<1，即0令－4a＝－5，得a＝.
③当≤0，即a≤0时，f(x)在[0，1]上递减，
∴f(x)max＝f(0)＝－4a－a2.
令－4a－a2＝－5，解得a＝－5或a＝1(舍去)．
综上所述，a＝或－5.故选D．
(3)解法一：由f(x)>0，即ax2－2x＋2>0，x∈(1，4)，得a>－＋在(1，4)上恒成立．
令g(x)＝－＋＝－2＋，
∈，所以g(x)max＝g(2)＝，
所以要使f(x)>0在(1，4)上恒成立，只要a>即可．
解法二：当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，
显然f(4)＝－6，不合题意，∴a≠0
①当a>0时，二次函数f(x)开口向上，对称轴为x＝.
ⅰ.若≤1即a≥1时，f(x)min＝f(1)＝a>0，即a≥1.
ⅱ.若≥4即00得a>矛盾．
ⅲ.若1<<4即0得a>.即②当a<0时，由题意知，即，解得a>矛盾．
综上可知a的取值范围是.
[引申]若将“一切x值都有f(x)>0”改为“f(x)>0有解”呢？
[解析]　由解法一知a>－＋在(1，4)上有解．
即a>＝g(1)＝0，
∴a的取值范围是(0，＋∞)．
名师讲坛·素养提升
MING
SHI
JIANG
TAN
SU
YANG
TI
SHENG
转换变量——解决二次函数问题中的核心素养
例6　(2021·沧州七校联考)已知两函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x2＋4x＋4，其中k为实数．
(1)对任意x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
(2)存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
(3)对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围．
[解析]　(1)设h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k，问题转化为当x∈[－3，3]时，h(x)≤0恒成立，故h(x)max≤0.由二次函数性质可知h(x)max＝h(3)
＝86－k，有86－k≤0，得k≥86.
(2)由题意，存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，即h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k≤0在x∈[－3，3]时有解，故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min＝h(－1)＝－10－k，有－10－k≤0，得k≥－10.
(3)对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，所以f(x)max≤g(x)min，x∈[－3，3]．由二次函数的性质可得，f(x)max＝f(3)
＝120－k，g(x)min＝g(－1)＝2.故有120－k≤2.得k≥118.
[答案]　(1)k≥86　(2)k≥－10　(3)k≥118
[探究]　
本题的三个小题表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件．
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二次函数中恒成立问题的求解思路
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)?a≥f(x)max，a≤f(x)?a≤f(x)min.
〔变式训练3〕
　已知函数f(x)
＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，对任意的x1∈[－1，2]都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是．
[解析]　当x0∈[－1，2]时，由f(x)＝x2－2x，得f(x0)∈[－1，3]．
因为对任意的x1∈[－1，2]都存在x0∈[－1，2]，
使得g(x1)＝f(x0)，
所以
即当x1∈[－1，2]时，g(x1)∈[－1，3]．
所以当a>0时，
解得a≤，故实数a的取值范围是.
PAGE第三讲　函数的单调性与最值
知识梳理·双基自测
ZHI
SHI
SHU
LI
SHUANG
JI
ZI
CE知识梳理
知识点一　函数的单调性
1．单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
2．单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
知识点二　函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
重要结论
1．复合函数的单调性
函数y＝f(u)，u＝φ(x)，在函数y＝f[φ(x)]的定义域上，如果y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性相同，则y＝f[φ(x)]单调递增；如果y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性相反，则y＝f[φ(x)]单调递减．
2．单调性定义的等价形式
设任意x1，x2∈[a，b]，x1≠x2.
(1)若有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0，则f(x)在闭区间[a，b]上是增函数．
(2)若有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0，则f(x)在闭区间[a，b]上是减函数．
3．函数单调性的常用结论
(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同，若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
(4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝的单调性相同．
双基自测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　)
(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　)
(4)对于任意两个函数值f(x1)、f(x2)，当f(x1)>f(x2)时都有x1>x2，则y＝f(x)为增函数．(　×　)
(5)已知函数y＝f(x)是增函数，则函数y＝f(－x)与y＝都是减函数．(　×　)
[解析]　(1)函数的单调性体现了任意性，即对于单调区间上的任意两个自变量值x1，x2，均有f(x1)f(x2)，而不是区间上的两个特殊值．
(2)单调区间是定义域的子区间，如y＝x在[1，＋∞)上是增函数，但它的单调递增区间是R，而不是[1，＋∞)．
(3)多个单调区间不能用“∪”符号连接，而应用“，”或“和”连接．
(4)设f(x)＝，如图．
当f(x1)>f(x2)时都有x1>x2，但y＝f(x)不是增函数．
(5)当f(x)＝x时，y＝＝，有两个减区间，但y＝并不是减函数，而y＝f(－x)是由y＝f(t)与t＝－x复合而成是减函数．
题组二　走进教材
2．(必修1P32T3改编)设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为[－1，1]和[5，7]．
3．(必修1P44AT9改编)函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则m的取值范围是m<．
[解析]　使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<.
4．(必修1P32T5改编)已知f(x)＝－2x2＋x，x∈[－1，3]，则其单调递减区间为；f(x)min＝－15．
5．函数f(x)＝(x∈[2，5])的最大值与最小值之和等于．
[解析]　因为函数f(x)＝在[2，5]上单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(5)＝，f(x)max＋f(x)min＝.
题组三　走向高考
6．(2016·北京，4，5分)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是(　D　)
A．y＝
B．y＝cos
x
C．y＝ln(x＋1)
D．y＝2－x
[解析]　选项A中，y＝＝的图象是将y＝－的图象向右平移1个单位得到的，故y＝在(－1，1)上为增函数，不符合题意；选项B中，y＝cos
x在(－1，0)上为增函数，在(0，1)上为减函数，不符合题意；选项C中，y＝ln(x＋1)的图象是将y＝ln
x的图象向左平移1个单位得到的，故y＝ln(x＋1)在(－1，1)上为增函数，不符合题意；选项D中，y＝2－x＝是实数集R上的减函数，当然在区间(－1，1)上也为减函数，故选项D符合题意．
7．(2020·新高考Ⅱ，7，5分)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　D　)
A．(－∞，－1]
B．(－∞，2]
C．[2，＋∞)
D．[5，＋∞)
[解析]　∵f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，y＝lg
x在(0，＋∞)上单调递增，∴∴a≥5.故a的取值范围为[5，＋∞)．
考点突破·互动探究
KAO
DIAN
TU
PO
HU
DONG
TAN
JIU　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一
函数的单调性
考向1　函数单调性的判断与证明——自主练透
例1　(1)(多选题)(2021·广东省名校联考改编)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论中不正确的是(　ABC　)
A．y＝在R上为减函数
B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝logf(x)在R上为减函数
D．y＝2－f(x)在R上为减函数
(2)讨论函数f(x)＝(a>0)在(－∞，1)上的单调性．
[解析]　(1)对于A、B若f(x)＝x，则A、B都错，对于C，当f(x)<0时无意义，
对于D，y＝2－f(x)＝，y＝，t＝f(x)，复合函数y＝是减函数，故选A、B、C．
(2)解法一：?x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，由于x1∴x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)在(－∞，1)上单调递减．
解法二：f′(x)＝＝－，
∵(x－1)2>0，a>0，∴f′(x)<0，
故a>0时，f(x)在(－∞，1)上是减函数．
解法三：f(x)＝＝a＋，
又a>0，∴f(x)在(－∞，1)上是减函数．
考向2　求函数的单调区间——师生共研
例2　求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；
(2)f(x)＝log(－x2＋4x＋5)；
(3)f(x)＝x－ln
x.
[分析]　(1)可用图象法或化为分段函数或用化为复合函数求解；
(2)复合函数求解；
(3)导数法．
[解析]　
(1)解法一：(图象法)
∵f(x)＝
其图象如图所示，所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]；单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．
解法二：(化为分段函数求解)f(x)＝＝
y＝－(x－1)2＋4(x≥0)图象开口向下，对称轴为x＝1，∴增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)；
y＝－(x＋1)2＋4(x<0)图象开口向下，对称轴为x＝－1，∴增区间为(－∞，－1)，减区间为(－1，0)；
∴f(x)的增区间为(0，1)、(－∞，－1)，减区间为(1，＋∞)、(－1，0)．
解法三：(复合函数法)函数由y＝－u2＋2u＋3(u≥0)和u＝|x|复合而成，y＝－u2＋2u＋3(u≥0)的对称轴为u＝1，由|x|＝1得x＝±1.
x
(－∞，－1)
(－1，0)
(0，1)
(1，＋∞)
u
(1，＋∞)
(0，1)
(0，1)
(1，＋∞)
u＝|x|
?
?
?
?
y＝－u2＋2u＋3
?
?
?
?
f(x)
?
?
?
?
∴f(x)在增区间为(－∞，－1)，(0，1)，减区间为(－1，0)，(1，＋∞)．
(2)由－x2＋4x＋5>0得－1∵x∈(－1，2]，u为增函数；x∈(2，5)时，u为减函数．
又y＝logu在(0，＋∞)上为减函数，据复合函数“同增异减”的性质知f(x)的单调递增区间为(2，5)；单调递减区间为(－1，2]．
(3)由题意，得x>0.y′＝1－＝.
x
(0，1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
＋
y
?
极小值
?
由上表可知，函数的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．
[引申1]本例(1)f(x)＝|－x2＋2x＋3|的增区间为(－1，1)和(3，＋∞)．
[解析]　作出f(x)＝|－x2＋2x＋3|的图象，由图可知所求增区间为(－1，1)和(3，＋∞)．
[引申2]本例(2)f(x)＝loga(－x2＋4x＋5)(a>1)的增区间为(－1，2]．
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求函数的单调区间(确定函数单调性)的方法
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知单调性的函数的和、差或复合函数，再求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解．
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象直接写出它的单调区间．
(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．
注意：
(1)求函数单调区间，定义域优先．
(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．
〔变式训练1〕
(1)(2019·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　A　)
A．y＝x
B．y＝2－x
C．y＝logx
D．y＝
(2)函数f(x)＝(a－1)x＋2在R上单调递增，则函数g(x)＝a|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]．
(3)函数f(x)＝x－|1－x|的单调区间为(－∞，1]．
(4)函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0A．
B．[，1]
C．(－∞，0)∪
D．[，]
[解析]　(1)对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，所以选项A正确；选项D中的函数y＝可转化为y＝x－1，所以函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，故选项D不符合题意；对于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当01时，y＝ax在(－∞，＋∞)上单调递增，而选项B中的函数y＝2－x可转化为y＝，因此函数y＝2－x在(0，＋∞)上单调递减，故选项B不符合题意；对于对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，当01时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，因此选项C中的函数y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，故选项C不符合题意，故选A．
(2)由已知得a－1>0，∴a>1，∴g(x)＝a|x－2|减区间为q(x)＝|x－2|减区间，(－∞，2]，故填(－∞，2]．
(3)f(x)＝画图知单调递增区间为(－∞，1].
(4)设g(x)＝f(t)，t＝logax(0考向3　函数单调性的应用——多维探究
角度1　利用函数的单调性比较大小
例3　已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　D　)
A．c>a>b
B．c>b>a
C．a>c>b
D．b>a>c
[解析]　由已知得f(x)在(1，＋∞)上单调递减，又f＝f，∵e>>2，∴f(e)角度2　利用单调性求参数的取值范围
例4　(1)(2021·江西赣州南康中学高三月考)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　A　)
A．[1，2)
B．[1，2]
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
(2)(2021·广东汕头湖南区第一次模拟)如果函数g(x)＝在R上单调递减，那么实数m的取值范围为．
[解析]　(1)令u＝x2－2ax＋1＋a，则f(u)＝lg
u，配方得u＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2－a2＋a＋1，故对称轴为直线x＝a，如图．由图象可知，当a≥1时，u＝x2－2ax＋1＋a在区间(－∞，1]上单调递减．又真数x2－2ax＋1＋a>0，二次函数u＝x2－2ax＋1＋a在(－∞，1]上单调递减，故只需当x＝1时，x2－2ax＋1＋a>0，代入x＝1解得a<2，所以a的取值范围是[1，2)．即，∴1≤a<2.故选A．
(2)若g(x)为减函数，必有解得0角度3　利用单调性解不等式
例5　(1)已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(－2，1)．
(2)已知函数f(x)＝ln
x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是(－，－2)∪(2，)．
[解析]　(1)根据函数f(x)的图象可知，f(x)是定义在R上的增函数．∴2－x2>x，∴－2(2)因为函数f(x)＝ln
x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln
1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
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函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数．求解时注意函数定义域的限制，遇分段函数注意分点处左、右端点函数值的大小关系．
(3)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
〔变式训练2〕
(1)(角度2)已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)(2)(角度3)已知函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是(1，2)．
(3)(角度1)，，(其中e为自然常数)的大小关系是(　A　)
A．<<
B．<<
C．<<
D．<<
[解析]　(1)由题意可得1>1－a>a2－1>－1，
即解得0(2)设u＝2－ax，
∵a>0且a≠1，
∴函数u在[0，1]上是减函数．
由题意可知函数y＝logau在[0，1]上是增函数，
∴a>1.又∵u在[0，1]上要满足u>0，
∴得a<2.
综上得1(3)构造函数f(x)＝.
因为＝，＝，＝，
所以f(4)＝，f(5)＝，f(6)＝.
而f′(x)＝′＝＝，
令f′(x)>0，得x<0或x>2，
即函数f(x)在(2，＋∞)内单调递增，
因此有f(4)考点二
函数的最值——自主练透　　
例6　(1)函数f(x)＝在区间[1，2]上最小值为－．
(2)(2021·广东广州执信中学高三测试)已知函数f(x)＝loga(x2＋x－1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大2，则a的值为(　D　)
A．2
B．
C．
D．或
[解析]　(1)f(x)＝－2x－1.由于y＝，y＝－2x－1在[1，2]上均单调递减，故f(x)在[1，2]上单调递减，
∴f(x)min＝f(2)＝－2＝－.
(2)因为y＝x2＋x－1在[1，2]上单调递增，所以函数f(x)＝loga(x2＋x－1)在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是f(1)，f(2)或f(2)，f(1)．因为函数f(x)＝loga(x2＋x－1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大2，所以|f(1)－f(2)|＝2，即|loga5|＝2，得a＝或a＝.故选D．
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BO
　　
利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
名师讲坛·素养提升
MING
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TAN
SU
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SHENG抽象函数的单调性问题
例7　f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明；
(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋5)－f<2.
[解析]　(1)f(1)＝f＝f(x)－f(x)＝0.
(2)f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
证明：设01，所以f>0.所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)因为f(6)＝f＝f(36)－f(6)，又f(6)＝1，所以f(36)＝2，原不等式化为：f(x2＋5x)所以解得0∴不等式的解集为{x|0名师点拨　　　　　MING
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对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形，如x1＝x2＋x1－x2或x1＝x2·等．深挖已知条件，是求解此类题的关键．在客观题的求解中，解这类题目也可考虑用特殊化方法，如本题可依题目条件取f(x)＝log6x.
〔变式训练3〕
已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y，恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，f(1)＝－，且当x>0时，f(x)<0.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求证：f(x)在R上是减函数；
(3)求f(x)在[－3，6]上的最大值与最小值．
[解析]　(1)证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)＝f(0)，从而f(0)＝0.
令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
(2)证明：对任意x1，x2∈R，不妨设x1>x2，则x1－x2>0，于是f(x1－x2)<0，
从而f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)<0，
所以f(x)在R上是减函数．
(3)由(2)知，所求函数在[－3，6]上的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．
因为f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－[2f(1)＋f(1)]＝－3f(1)＝2，
f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－4.
所以f(x)在[－3，6]上的最大值为2，最小值为－4.
PAGE第六讲　指数与指数函数
知识梳理·双基自测
ZHI
SHI
SHU
LI
SHUANG
JI
ZI
CE知识梳理
知识点一　指数与指数运算
1．根式
(1)根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根
n>1且n∈N
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数
零的n次方根是零
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数
±
负数没有偶次方根
(2)两个重要公式
①＝
②()n＝a(注意a必须使有意义)．
2．分数指数幂
(1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N
，n＞1)．
(2)正数的负分数指数幂是a
-＝(a＞0，m，n∈N
，n＞1)．
(3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义．
3．有理指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
知识点二　指数函数图象与性质
指数函数的概念、图象和性质
定义
函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数
底数
a>1
0图象
性质
函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)
函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0当x>0时，恒有01
函数在定义域R上为增函数
函数在定义域R上为减函数
重要结论
1．画指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a)，(0，1)．
2．底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a>1，还是03．f(x)＝ax与g(x)＝()x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称．
双基自测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝()n＝a(a∈N
)．(　×　)
(2)a－＝－a(n，m∈N
)．(　×　)
(3)函数y＝3·2x，与y＝2x＋1都不是指数函数．(　√　)
(4)若am0，且a≠1)，则m(5)函数y＝2－x在R上为单调增函数．(　×　)
[解析]　(1)n为奇数时正确，n为偶数时不一定正确；(2)不正确，a－＝；(3)y＝2x×2与y＝3×2x都不是指数函数；(4)当a>1时mn；(5)y＝2－x＝是减函数．
题组二　走进教材
2．(必修1P59AT2改编)设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是(　C　)
A．a
B．a
C．a
D．a
[解析]　由题意得＝a2－－＝a，故选C．
3．(必修1P60BT2改编)已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于(　B　)
A．5
B．7
C．9
D．11
[解析]　f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝[f(a)]2－2＝7.故选B．
4．(必修1P82AT10改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝．
[解析]　a2＝，∴a＝，f(－1)＝＝.
题组三　走向高考
5．(2020·全国Ⅰ，8)设alog34＝2，则4－a＝(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　本题考查对数的运算和指数、对数的互化公式．因为alog34＝log34a＝2，所以4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B．
另：alog34＝2?log34＝，∴3＝4，∴4－a＝＝.
6．(2017·北京，5分)已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　A　)
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
[解析]　因为f(x)＝3x－，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－＝－3x＝－＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝在R上是减函数，所以f(x)＝3x－在R上是增函数，故选A．
7．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　A　)
A．bB．aC．bD．c[解析]　因为a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，且幂函数y＝x在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b考点突破·互动探究
KAO
DIAN
TU
PO
HU
DONG
TAN
JIU　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一
指数与指数运算——自主练透　　
例1　(1)(多选题)下列命题中不正确的是(　ACD　)
A．＝a
B．a∈R，则(a2－a＋1)0＝1
C．＝x·y
D．＝
(2)计算2××＝6．
(3)化简：()－·＝．
(4)已知a＋a－＝3，求下列各式的值．
①a＋a－1；②a2＋a－2；③.
[解析]　(1)若n是奇数，则＝a；若n是偶数，则＝|a|＝所以A错误；因为a2－a＋1恒不为0，所以(a2－a＋1)0有意义且等于1，所以B正确；不能化简为x·y，所以C错误；因为<0，>0，所以≠，所以D错误．故选A、C、D．
(2)原式＝2×3××12
＝2×3×3×2－×3×2
＝2×3＋＋×2－＋＝6.
(3)原式＝2×＝21＋3×10－1＝.故填.
(4)①将a＋a－＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.
②将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47.
③由①②可得＝＝6.
名师点拨　　　　　MING
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指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
考点二
考点二　指数函数图象与性质
考向1　指数函数的图象及应用——师生共研
例2　(1)(2021·秦皇岛模拟)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　A　)
(2)(2021·湖北黄冈质检)函数y＝ax(a>0，a≠1)与y＝xb的图象如图，则下列不等式一定成立的是(　D　)
A．ba>0
B．a＋b>0
C．ab>1
D．loga2>b
(3)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是[－1，1]．
[分析]　(1)将函数化为f(x)＝2×的形式，根据函数的性质及过定点，并结合选项判断；
(2)由图确定a、b的范围求解；
(3)分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，数形结合求解．
[解析]　(1)解法一：函数f(x)＝21－x＝2×，单调递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求．
解法二：(采用平移法)因为函数f(x)＝21－x＝2－(x－1)，所以先画出函数y＝2－x的图象，再将y＝2－x图象的所有点的横坐标向右平移1个单位，只有选项A符合．
(2)由图可知，y＝ax单调递增，则a>1；y＝xb单调递减，则b<0，
A：ba>0不一定成立，如a＝3，b＝－1；
B：a＋b>0不一定成立，如a＝2，b＝－3；
C：ab>1不成立，ab<0；故选D．
(3)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．
[引申](1)f(x)＝a1－x＋3的图象过定点(1，4)．
(2)若将本例(3)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，b的取值范围是(0，1)．
(3)若将本例(3)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是(－∞，0]．
[解析]　(1)当x＝1时，y＝4，因此函数y＝a1－x＋3过定点(1，4)．
(2)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0，1)．
(3)因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．
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指数函数图象的画法及应用
(1)画指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，(－1，)．由函数解析式判断其图象一般取特殊点验证，从而作出判断．
(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
〔变式训练1〕
(1)函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　D　)
(2)(多选题)已知实数a，b满足等式＝()b，下列关系式中不可能成立的是(　CD　)
A．0B．aC．0D．b(3)若方程3|x|－1＝m有两个不同实根，求m的取值范围．
[解析]　(1)当a>1时，函数单调递增，且函数的图象恒过点.
因为0<1－<1，所以A、B均不正确；当0因为1－<0，所以选D．
(2)在同一坐标系内，作出函数y＝和y＝的图象(如图)．
如图：a>b>0时，＝可能成立．
a0.
b综上可知：A、B可能成立，C、D不可能成立．故选C、D．
(3)作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m>0.
考向2　指数函数的性质及其应用——多维探究
角度1　比较指数幂的大小
例3　已知a＝，b＝2－，c＝，则下列关系式中正确的是(　B　)
A．cB．bC．aD．a[解析]　把b化简为b＝，而函数y＝在R上为减函数，>>，所以<<，即b角度2　利用指数函数的性质求解简单指数方程、不等式
例4　(1)已知实数m≠2，函数f(x)＝若f(2－m)＝f(m－2)，则m的值为－3．
(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为{x|x>4或x<0}．
[解析]　(1)当m<2时，32－m－1＝9m－m＋2，即3－m＋1＝34，解得m＝－3；
当m>2时，9m－(2－m)＝3m－2－1，即34m－4＝3m－3，解得m＝(舍)，故m＝－3.
(2)∵f(x)为偶函数，f(x)在[0，＋∞)上递增，
且f(2)＝0，∴|x－2|>2，解得x>4或x<0.
角度3　与指数函数有关的复合函数问题
例5　若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　B　)
A．(－∞，－2]
B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
[解析]　由f(1)＝得a2＝，
又a>0，所以a＝，因此f(x)＝.
∵y＝为减函数，∴f(x)的减区间为t＝|2x－4|的递增区间[2，＋∞)，
所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
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(1)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．
(3)解指数方程的方法
①同底法：把方程化为af(x)＝ag(x)的情形，然后得出f(x)＝g(x)．
②化为ax＝b，利用对数定义求解x＝logab.
③把方程化为f(ax)＝0的情形，然后换元，即设ax＝t，然后解方程f(t)＝0，注意只要t>0的解．
(4)解指数不等式的方法
同底法：把方程化为af(x)>ag(x)的情形，根据函数单调性建立f(x)和g(x)的不等式．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)下列各式比较大小不正确的是(　D　)
A．1.72.5<1.73
B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1<1.250.2
D．1.70.3<0.93.1
(2)(角度2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为
(3)(角度3)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(－3，1)．
(4)(角度3)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是(－∞，4]．
[解析]　(1)对于A、B显然正确；对于C，0.8－0.1＝1.250.1，显然正确；对于D，1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1，∴D不正确，故选D．
(2)当a<1时，41－a＝21，解得a＝；当a>1时，代入不成立．故a的值为.
(3)若a<0，则f(a)<1?－7<1?<8，解得a>－3，故－3若a≥0，则f(a)<1?<1，解得a<1，故0≤a<1.
综合可得－3(4)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
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指数函数中的分类与整合思想
例6　已知函数f(x)＝ax2+2x＋b(a，b是常数且a>0，a≠1)在区间上有最大值3和最小值，试求a，b的值．
[分析]　本题易出现的错误有两个，一个是二次函数t＝x2＋2x在区间上的范围求错，直接将端点值代入，二是不分类讨论，直接认为f(x)是单调递增函数．
[解析]　设t＝x2＋2x，x∈，
由图象得t∈[－1，0]．
①当a>1时，f(t)＝at＋b在[－1，0]上为增函数，值域为，
∴解得
②当0∴解得
综上所述，a＝2，b＝2或a＝，b＝.
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分类与整合就是所给变量不能进行统一研究时，要分类研究，再整合得到的结论．指数函数的单调性与底数的取值有关，如果底数是字母时，常分情况讨论．解指数函数综合问题的两个注意点：
(1)指数函数的底数不确定时，应分a>1和0(2)解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意新元的取值范围．
〔变式训练3〕
设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，求实数a的值．
[解析]　设ax＝t，则a2x＝t2，
①当a>1时，t∈，y＝t2＋2t－1，在上为增函数，
当t＝a时，取得最大值，a2＋2a－1，
所以a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍)；
②当0当t＝时，取得最大值，＋－1，
所以＋－1＝14，解得a＝或a＝－(舍)．
综上所述，a＝3或.
PAGE第二讲　函数的定义域、值域
知识梳理·双基自测
ZHI
SHI
SHU
LI
SHUANG
JI
ZI
CE知识梳理
知识点一　函数的定义域
函数y＝f(x)的定义域
1．求定义域的步骤：
(1)写出使函数式有意义的不等式(组)；
(2)解不等式(组)；
(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)
2．求函数定义域的主要依据
(1)整式函数的定义域为R.
(2)分式函数中分母不等于0．
(3)偶次根式函数被开方式大于或等于0．
(4)一次函数、二次函数的定义域均为R．
(5)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}．
(6)指数函数的定义域为R．
(7)对数函数的定义域为(0，＋∞)．
知识点二　函数的值域
基本初等函数的值域：
1．y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．
2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为．
3．y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
4．y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
5．y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R．
重要结论
1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．
3．函数f(x)与f(x＋a)(a为常数a≠0)的值域相同．
双基自测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(　×　)
(2)函数y＝定义域为x>1.(　×　)
(3)函数y＝f(x)定义域为[－1，2]，则y＝f(x)＋f(－x)定义域为[－1，1]．(　√　)
(4)函数y＝log2(x2＋x＋a)的值域为R，则a的取值范围为.(　√　)
(5)求函数y＝的值域时有以下四种解法．判断哪种解法是正确的．
[解法一](不等式法)：y＝＝＋≥2，∴值域为[2，＋∞)．(　×　)
[解法二](判别式法)：设＝t(t≥)，则y＝t＋，即t2－ty＋1＝0，∵t∈R，∴Δ＝y2－4≥0，∴y≥2或y≤－2(舍去)．(　×　)
[解法三](配方法)：令＝t(t≥)，则y＝t＋＝＋2≥2.(　×　)
[解法四](单调性法)：易证y＝t＋在t≥时是增函数，所以t＝时，ymin＝，故y∈.(　√　)
[解析]　(4)y＝log2(x2＋x＋a)值域为R应满足Δ≥0，即1－4a≥0，∴a≤.
题组二　走进教材
2．(必修1P17例1改编)函数f(x)＝＋的定义域为(　C　)
A．[0，2)
B．(2，＋∞)
C．[0，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
[解析]　使函数有意义满足，解得x≥0且x≠2，故选C．
3．(必修1P32T5改编)函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为(　B　)
A．f，f
B．f(0)，f
C．f，f(0)
D．f(0)，f(3)
4．(必修1P39BT1改编)已知函数f(x)＝x＋，x∈[2，4]的值域为．
[解析]　当x＝3时取得最小值6，当x＝2取得最大值，值域为.
题组三　走向高考
5．(2020·北京，11，5分)函数f(x)＝＋ln
x的定义域是(0，＋∞)．
[解析]　要使函数f(x)有意义，则故x>0，因此函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
6．(2016·北京，5分)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为2．
[解析]　解法一：(分离常数法)f(x)＝＝＝1＋，∴x≥2，∴x－1≥1，0<≤1，∴1＋∈(1，2]，故当x＝2时，函数f(x)＝取得最大值2.
解法二：(反解法)令y＝，∴xy－y＝x，∴x＝.∵x≥2，∴≥2，∴－2＝≥0，解得1解法三：(导数法)∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝<0，∴函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故当x＝2时，函数f(x)＝取得最大值2.
考点突破·互动探究
KAO
DIAN
TU
PO
HU
DONG
TAN
JIU　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一
求函数的定义域——多维探究
角度1　求具体函数的定义域
例1　(1)(2021·长春质检)函数y＝＋的定义域是(　D　)
A．[－1，0)∪(0，1)
B．[－1，0)∪(0，1]
C．(－1，0)∪(0，1]
D．(－1，0)∪(0，1)
(2)(2021·宣城八校联考期末)函数y＝的定义域为(　B　)
A．(－1，3]
B．(－1，0)∪(0，3]
C．[－1，3]
D．[－1，0)∪(0，3]
[解析]　(1)由题意得解得－1(2)要使函数有意义，x需满足
解得－1角度2　求抽象函数的定义域
例2　已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　B　)
A．(－1，1)
B．
C．(－1，0)
D．
[解析]　由函数f(x)的定义域为(－1，0)，则使函数f(2x＋1)有意义，需满足－1<2x＋1<0，解得－1[引申1]若将本例中f(x)与f(2x＋1)互换，结果如何？
[解析]　f(2x＋1)的定义域为(－1，0)，即－1∴－1<2x＋1<1，∴f(x)的定义域为(－1，1)．
[引申2]若将本例中f(x)改为f(2x－1)定义域改为[0，1]，求y＝f(2x＋1)的定义域，又该怎么办？
[解析]　∵y＝f(2x－1)定义域为[0，1]．
∴－1≤2x－1≤1，要使y＝f(2x＋1)有意义应满足－1≤2x＋1≤1，解得－1≤x≤0，
因此y＝f(2x＋1)定义域为[－1，0]．
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
函数定义域的求解策略
(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
(3)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)函数f(x)＝＋的定义域为(　B　)
A．[－2，0)∪(0，2]
B．(－1，0)∪(0，2]
C．[－2，2]
D．(－1，2]
(2)(角度1)(2021·安徽芜湖检测)如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为(　D　)
A．－2
B．－1
C．1
D．2
(3)(角度2)已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]．
[解析]　(1)由得－1(2)因为－2x＋a>0，所以x<，所以＝1，得a＝2.故选D．
(3)因为y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以x∈[－，]，x2－1∈[－1，2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．
考点二,求函数的值域——师生共研　　
例3　求下列函数的值域．
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝；
(4)y＝x－；
(5)y＝x＋；
(6)y＝|x＋1|＋|x－2|.
[解析]　(1)解法一：分离常数法：
y＝＝－1＋，
∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1，∴0<≤2.
∴－1<－1＋≤1.即函数值域为(－1，1]．
解法二：反解法：
由y＝，得|x|＝.
∵|x|≥0，∴≥0，∴－1(2)解法一：配方法：y＝，
∴0≤y≤，∴值域为.
解法二：复合函数法：
y＝，t＝－2x2＋x＋3，
由t＝－2x2＋x＋3，解得t≤，
又∵y＝有意义，∴0≤t≤，
∴0≤y≤，∴值域为.
(3)y＝＝x＋＋1
解法一：基本不等式法
由y＝x＋＋1(x≠0)，得y－1＝x＋.
∵＝|x|＋≥2＝2，
∴|y－1|≥2，即y≤－1或y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解法二：判别式法
由y＝，得x2＋(1－y)x＋1＝0.
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.
即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2或y－1≥2.
得y≤－1或y≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
解法三：导数法(单调性法)
令y′＝1－＝<0，
得－1∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；
函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y≤－1.
∴y≤－1或y≥3.
即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)解法一：换元法
设＝t(t≥0)，得x＝，
∴y＝－t＝－(t＋1)2＋1≤(t≥0)，
∴y∈.即函数的值域为.
解法二：单调性法
∵1－2x≥0，∴x≤，∴定义域为.又∵函数y＝x，y＝－在上均单调递增，∴y≤－＝，∴y∈.
(5)三角换元法：
设x＝sin
θ，θ∈，
y＝sin
θ＋cos
θ＝sin，
∵θ∈，∴θ＋∈，
∴sin∈，∴y∈[－1，]．
(6)解法一：绝对值不等式法：
由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
所以函数值域为[3，＋∞)．
解法二：数形结合法：
y＝
画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)．
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
求函数值域的一般方法
(1)分离常数法：形如y＝(a≠0)的函数；如例3(1)．
(2)反解法：形如y＝(a≠0，f(x)值域易求)的函数；如例3(1)．
(3)配方法：形如y＝af2(x)＋bf(x)＋c(a≠0)的函数；如例3(2)．
(4)不等式法；如例3(3)．
(5)单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域．
(6)换元法：形如y＝ax＋b±(c≠0)的函数；如例3(4)；形如y＝ax＋b±(c≠0)的函数采用三角换元，如例3(5)．
(7)数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例3(6)．
(8)导数法．
〔变式训练2〕
求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝x＋4；
(3)y＝.
[解析]　(1)解法一：y＝＝－1＋，
因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<≤2.
所以－1<－1＋≤1.
即函数的值域为(－1，1]．
解法二：由y＝，得x2＝.
因为x2≥0，所以≥0.
所以－1(2)设t＝，t≥0，则x＝1－t2，
所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，
所以y≤5，
所以原函数的值域为(－∞，5]．
(3)y＝＝
＝x＋＝x－＋＋，
因为x>，所以x－>0，
所以x－＋≥2＝，
当且仅当x－＝，即x＝时取等号．
所以y≥＋，即原函数的值域为.
导数法：y′＝，
∴y在递减，在递增，
∴y≥＋.
名师讲坛·素养提升
MING
SHI
JIANG
TAN
SU
YANG
TI
SHENG
已知函数的定义域或值域求参数的取值范围
例4　已知函数f(x)＝lg
[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．
[分析]　
(1)由f(x)的定义域为R知(a2－1)x2＋(a＋1)·x＋1>0的解集为R，即(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0恒成立；
(2)由f(x)的值域为R知(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取所有正数，即y＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1图象的开口向上且与x轴必有交点．
[解析]　(1)依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0，
对一切x∈R恒成立，当a2－1≠0时，其充要条件是即
∴a<－1或a>.又a＝－1时，f(x)＝1>0，满足题意．
∴a≤－1或a>.
(2)依题意，只要t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f(x)的值域为R，故有a2－1>0，Δ≥0，解得－1≤a≤，又当a2－1＝0，即a＝1时，t＝2x＋1符合题意；a＝－1时不合题意，∴－1名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
已知函数的定义域，等于是知道了x的范围，(1)当定义域不是R时，往往转化为解集问题，进而转化为与之对应的方程解的问题，此时常利用代入法或待定系数法求解；(2)当定义域为R时，往往转化为恒成立的问题，常常结合图形或利用最值求解．
〔变式训练3〕
　(1)已知函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围为[0，1]．
(2)(2021·甘肃天水三中阶段测试)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则实数m的取值范围是(　C　)
A．(0，4]
B．
C．
D．
[解析]　(1)①当m＝0时，y＝，其定义域为R.
②当m≠0时，由定义域为R可知，
mx2－6mx＋m＋8≥0对一切实数x均成立，
于是有
解得0∴m的取值范围是[0，1]．
(2)由x2－3x－4＝－得x＝；由x2－3x－4＝－4，得x＝0或x＝3，又函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，∴≤m≤3.
另：由y＝x2－3x－4＝－，∴≤m≤3.
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