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第十一讲　导数的概念及运算
知识梳理·双基自测
知识点一　导数的概念与导数的运算
1．函数的平均变化率
一般地，已知函数y＝f(x)，把式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，还可以表示为＝.
2．导数的概念
(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的
瞬时变化率
，记作：y′|x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝
.
(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝
　.
3．基本初等函数的导数公式
(1)C′＝
0
(C为常数)；(2)(xn)′＝
nxn－1
(n∈Q
)
(3)(sin
x)′＝
cos
x
;
(4)(cos
x)′＝
－sin
x
；
(5)(ax)′＝
axln
a
;
(6)(ex)′＝
ex
；
(7)(logax)′＝；
(8)(ln
x)′＝
　.
4．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝
f′(x)±g′(x)
.
(2)[f(x)·g(x)]′＝
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
.
特别地：[C·f(x)]′＝
Cf′(x)
(C为常数)
(3)′＝
(g(x)≠0)　.
5．复合函数的导数
复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为
yx′＝yu′·ux′
.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
知识点二　导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为
y－y0＝f′(x0)(x－x0)
.
1.′＝－.
2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0.
3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x)与f′(x0)(x0为常数)表示的意义相同．(　×　)
(2)在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义相同．(　×　)
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　√　)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×　)
(5)′＝cos
.(　×　)
(6)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　×　)
(7)(2x)′＝x·2x－1.(　×　)
(8)[ln(－x)]′＝.(　√　)
[解析]　(2)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线，点P在曲线上，而过点P(x0，y0)的切线，点P可以在曲线外．
(3)如图所示，切线可以与曲线有多个公共点．
(4)如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线．
(8)[ln(－x)]′＝－×(－1)＝.
题组二　走进教材
2．(选修2－2P18AT4改编)计算：
(1)(x4－3x3＋1)′＝
4x3－9x2
；
(2)(xex)′＝
ex＋xex
；
(3)(sin
x·cos
x)′＝
cos
2x
；
(4)′＝
－　.
3．(选修2－2P18AT5改编)已知函数f(x)＝2xf′(1)＋xln
x，则f′(1)＝(　C　)
A．e
B．1
C．－1
D．－e
[解析]　f′(x)＝2f′(1)＋ln
x＋1，
当x＝1时，f′(1)＝2f′(1)＋1，
∴f′(1)＝－1，故选C.
4．(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，t
s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝
－9.8t＋6.5
m/s，加速度a＝
－9.8
m/s2.
[解析]　v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.
题组三　走向高考
5．(2020·课标Ⅰ理，6,5分)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　B　)
A．y＝－2x－1
B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3
D．y＝2x＋1
[解析]　本题考查导数的几何意义．
f′(x)＝4x3－6x2，则f′(1)＝－2，易知f(1)＝－1，由点斜式可得函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.
6．(2019·江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln
x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是
(e,1)
.
[解析]　设A(x0，ln
x0)，又y′＝，则曲线y＝ln
x在点A处的切线方程为y－ln
x0＝(x－x0)，将(－e，－1)代入得，－1－ln
x0＝(－e－x0)，化简得ln
x0＝，解得x0＝e，则点A的坐标是(e,1)．
考点突破·互动探究
考点一　导数的基本运算——师生共研
例1
(1)求下列函数的导数．
①y＝ln
x＋；
②y＝(2x2－1)(3x＋1)；
③y＝x－sincos；
④y＝；
⑤y＝ln；
⑥y＝e2xcos
3x.
(2)若函数f(x)＝ln
x－f′(1)x2＋3x－4，则f′(3)＝－.
[分析]　①直接求导；②③化简后再求导；④利用商的导数运算法则求解；⑤⑥用复合函数求导法则求导．
(2)先求出f′(1)得出导函数的解析式，再把x＝3代入导函数解析式得f′(3)．
[解析]　(1)①y′＝′＝(ln
x)′＋′＝－.
②因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
所以y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′
＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
另解：y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
③因为y＝x－sincos＝x－sin
x，
所以y′＝′＝x′－′
＝1－cos
x.
④y′＝′＝
＝－.
⑤y＝ln＝ln(1－2x2)，令u＝1－2x2，
则y＝ln由y＝ln
u与u＝1－2x2复合而成，
∴y′＝f′(u)·u′(x)＝′·(1－2x2)′＝·(－4x)＝.
⑥y′＝(e2x)′cos
3x＋e2x(cos
3x)′
＝2e2x·cos
3x－3e2xsin
3x＝e2x(2cos
3x－3sin
3x)．
(2)对f(x)求导，得f′(x)＝－2f′(1)x＋3，所以f′(1)＝1－2f′(1)＋3，解得f′(1)＝，所以f′(x)＝－x＋3，将x＝3代入f′(x)，可得f′(3)＝－.
名师点拨
导数计算的原则和方法
(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商再求导．
(2)方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；⑥复合函数：由外向内，层层求导．
〔变式训练1〕
(1)填空
①若y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，则y′＝
3x2＋12x＋11
；
②若y＝exln
x，则y′＝
ex　；
③若y＝tan
x，则y′＝
　；
④若y＝(x2＋2x－1)e2－x，则y′＝
(3－x2)e2－x
；
⑤若y＝，则y′＝
　.
(2)(2020·课标Ⅲ，15,5分)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝
1
.
(3)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝
－2
.
(4)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝
2
.
[解析]　(1)①y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，所以y′＝3x2＋12x＋11.
②y′＝exln
x＋ex·＝ex.
③y＝tan
x＝，∴y′＝＝＝.
④y′＝(x2＋2x－1)′e2－x＋(x2＋2x－1)·(e2－x)′
＝(2x＋2)e2－x＋(x2＋2x－1)·(－e2－x)
＝(3－x2)e2－x.
⑤y′＝
＝
＝.
(2)f′(x)＝，则f′(1)＝＝，解得a＝1.
(3)f′(x)＝4ax3＋2bx，因为f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，所以f′(－1)＝－2.故填－2.
(4)解法一：令t＝ex，故x＝ln
t，所以f(t)＝ln
t＋t，即f(x)＝ln
x＋x，所以f′(x)＝＋1，所以f′(1)＝2.
解法二：f′(ex)＝1＋ex，f′(1)＝f′(e0)＝1＋e0＝2.故填2.
考点二　导数的几何意义——多维探究
角度1　求曲线的切线方程
例2
已知曲线f(x)＝x3－x，则
(1)曲线在点(1,0)处的切线方程为
2x－y－2＝0
；
(2)曲线过点(1,0)的切线方程为
2x－y－2＝0或x＋4y－1＝0
；
(3)曲线平行于直线5x－y＋1＝0的切线方程为
5x－y－4＝0或5x－y＋4＝0　.
[分析]　(1)解决曲线的切线问题直接利用导数的几何意义求切线斜率可得；
(2)由于在点P处的切线平行于直线5x－y＋1＝0，则在点P处的切线斜率为5.
[解析]　f′(x)＝3x2－1.
(1)曲线在点(1,0)处切线的斜率为k＝f′(1)＝2.
∴所求切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
(2)设切点为P(x0，x－x0)，则k切＝f′(x0)＝3x－1，
∴所求切线方程为y－x＋x0＝(3x－1)(x－x0)，
又切线过点(1,0)，∴－x＋x0＝(3x－1)(1－x0)
解得x0＝1或－.
故所求切线方程为y＝2(x－1)或y－＝－即2x－y－2＝0或x＋4y－1＝0.
(3)设切点坐标为(x0，x－x0)，则k切＝3x－1＝5解得x0＝±，故切点为(，)或(－，－)所以所求切线方程为y－＝5(x－)或y＋＝5(x＋)即5x－y－4＝0或5x－y＋4＝0.
名师点拨
求曲线的切线方程的两种类型
(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程和求曲线过点P(x0，y0)的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．
(2)在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(3)求过点P的曲线的切线方程的步骤为：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
注：也可利用f′(x1)＝＝k切求切点坐标(x1，y1)，有几组解就有几条切线．
角度2　求切点坐标
例3
(2021·郑州质量检测)已知曲线y＝－3ln
x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为(　A　)
A．3
B．2
C．1
D．
[解析]　设切点坐标为(x0，y0)，且x0>0，
由y′＝x－，得k＝x0－＝2，∴x0＝3.
角度3　求参数的值(或范围)
例4
(1)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b＝
1
.
(2)函数f(x)＝ln
x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　B　)
A．(－∞，－2]
B．(－∞，2)
C．(2，＋∞)
D．(0，＋∞)
[解析]　(1)由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a，则
由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.
(2)函数f(x)＝ln
x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．
所以f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－.
因为x>0，所以2－<2，所以a的取值范围是(－∞，2)．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2019·全国卷Ⅱ，5分)曲线y＝2sin
x＋cos
x在点(π，－1)处的切线方程为(　C　)
A．x－y－π－1＝0
B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0
D．x＋y－π＋1＝0
(2)(角度1)过点(1，－1)的曲线y＝x3－2x的切线方程为
x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0
.　
(3)(角度2)曲线y＝3ln
x＋x＋2在点P0处切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是(　C　)
A．(0,1)
B．(1，－1)
C．(1,3)
D．(1,0)
(4)(角度3)(2019·全国卷Ⅲ，5分)已知曲线y＝aex＋xln
x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　D　)
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
[解析]　(1)依题意得y′＝2cos
x－sin
x，y′＝(2cos
x－sin
x)＝2cos
π－sin
π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C.
(2)设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2.
故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)．
即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．
又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，
得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．
解得x0＝1或x0＝－.
故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)．
即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
(3)由题意知y′＝＋1＝4，解得x＝1，
此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，故点P0的坐标是(1,3)．
(4)因为y′＝aex＋ln
x＋1，所以y′＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得
名师讲坛·素养提升
两曲线的公共切线问题
　　例5
(2020·黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln
x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝(　C　)
A．1
B．
C．1－ln
2
D．1－2ln
2
[解析]　设y＝kx＋b与y＝ln
x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln
x1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．
则切线分别为y－ln
x1－2＝(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝(x－x2)．
化简得y＝x＋ln
x1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，
依题意，，解得x1＝，从而b＝ln
x1＋1＝1－ln
2.故选C.
[引申]本例中两曲线公切线方程为
y＝2x＋1－ln
2
.
[解析]　k＝＝2，∴公切线方程为y＝2x＋1－ln
2.
名师点拨
同时和曲线y＝f(x)、y＝g(x)都相切的直线称为两曲线的公共切线．设直线与曲线y＝f(x)切于(x1，f(x1))与曲线y＝g(x)切于(x2，g(x2))，则切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即y＝f′(x1)x＋f(x1)－f′(x1)x1同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2.∴，解出x1、x2，从而可得切线方程．由此可知两曲线公切线的条数即为上述方程组解的个数．
〔变式训练3〕
　若曲线y＝x＋ln
x与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1存在过点(0，－1)的公切线，则a＝
8
.
[解析]　设直线l与曲线C：y＝x＋ln
x切于P(x0，x0＋ln
x0)，则k切＝y′|x＝x0＝1＋.
∴1＋＝，解得x0＝1，
∴切线l的方程为y＝2x－1.
又直线l与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切．
∴方程2x－1＝ax2＋(a＋2)x＋1即ax2＋ax＋2＝0的判别式Δ＝a2－8a＝0，∴a＝8或0(舍去)．
PAGE第十讲　函数模型及其应用
知识梳理·双基自测
ZHI
SHI
SHU
LI
SHUANG
JI
ZI
CE知识梳理
知识点　函数模型及其应用
1．几类常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2．三种函数模型的性质
　　函数性质　　
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax3.解函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
重要结论
1．函数f(x)＝＋(a>0，b>0，x>0)在区间(0，]内单调递减，在区间[，＋∞)内单调递增．
2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸
双基自测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　×　)
(2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　×　)
(3)幂函数增长比直线增长更快．(　×　)
(4)不存在x0，使ax0[解析]　(1)当x＝－1时，2－1<(－1)2.
(2)“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a·bx＋c.
(3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．
(4)当a∈(0，1)时存在x0，使ax0题组二　走进教材
2．(必修1P107BT1改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(　D　)
A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
3．(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　D　)
A．y＝2x
B．y＝x2－1
C．y＝2x－2
D．y＝log2x
[解析]　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D．
4．(必修1P104例5改编)某种动物繁殖量y只与时间x年的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到(　A　)
A．200只
B．300只
C．400只
D．500只
[解析]　∵繁殖数量y只与时间x年的关系为y＝alog3(x＋1)，这种动物第2年有100只，
∴100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，
∴当x＝8时，y＝100log3(8＋1)＝100×2＝200.故选A．
5．(必修1P107AT2改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．
[解析]　利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，
当x＝18时，L(x)有最大值．
题组三　走向高考
6．(2020·全国Ⅲ，4)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t
)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t
约为(ln
19≈3)(　C　)
A．60
B．63
C．66
D．69
[解析]　本题以Logistic模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运算．由题意可得I(t
)＝＝0.95K，化简得e－0.23(t
－53)＝，即0.23(t
－53)＝ln
19，所以t
＝＋53≈＋53≈66.故选C．
考点突破·互动探究
KAO
DIAN
TU
PO
HU
DONG
TAN
JIU　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点
函数模型及应用
考向1　利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透
例1　(1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是(　A　)
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
(2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15
℃，B点表示四月的平均最低气温约为5
℃.下面叙述正确的是(　ABC　)
A．各月的平均最低气温都在0
℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20
℃的月份有5个
(3)有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是(　B　)
[解析]　(1)通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B正确．从图观察C是正确的，D也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大．故选A．
(2)由图形可得各月的平均最低气温都在0
℃以上，A正确；七月的平均温差约为10
℃，而一月的平均温差约为5
℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10
℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20
℃的月份只有2个，D错误．故选A、B、C．
(3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A、C、D，选B．
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
1.用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．
2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
考向2　已知函数模型解决实际问题——师生共研
例2　(2020·北京十一中月考)已知14C的半衰期为5
730年(是指经过5
730年后，14C的残余量占原始量的一半)．设14C的原始量为a，经过x年后的残余量为b，残余量b与原始量a的关系为b＝ae－kx，其中x表示经过的时间，k为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约2_292年．(参考数据：log20.767≈－0.4)．
[解析]　由题意可知，当x＝5
730时，ae－5
730k＝a，解得k＝.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.
所以76.7%＝e－x，得ln
0.767＝－x，
x＝－5
730×＝－5
730×log2
0.767≈2
292.
〔变式训练1〕
(2020·山西太原模拟)某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元，若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b(其中x为销售额，y为相应的奖金)．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1_024万元．
[解析]　依题意得即解得
所以y＝2log4x－2，当y＝8时，有2log4x－2＝8，解得x＝1
024.
考向3　构建函数模型解决实际问题——多维探究
角度1　一次函数、二次函数分段函数模型
例3　某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力指标．
该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下：
f(t)＝(a>0且a≠1)．
若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题：
(1)求a的值；
(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；
(3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？
[解析]　(1)由题意得，当t＝5时，f(t)
＝140，
即100·a－60＝140，解得a＝4.
(2)因为f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，所以f(5)>f(35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．
(3)①当0②当10＝340>140恒成立；
③当20综上所述，5≤t≤.
故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持－5＝分钟．
名师点拨　　　　　MING
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DIAN
BO
(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．
(3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值．
角度2　指数函数与对数函数模型
例4　候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1
m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2
m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
[分析]　
(1)→
(2)→
[解析]　(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0
m/s，此时耗氧量为30个单位，则a＋blog3＝0，即a＋b＝0；
当耗氧量为90个单位时，速度为1
m/s，
则a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组得
(2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3.
所以要使飞行速度不低于2
m/s，则v≥2，
所以－1＋log3≥2，即log3≥3，解得≥27，即Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2
m/s，则其耗氧量至少要270个单位．
名师点拨　　　　　MING
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指数函数与对数函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是(　A　)
A．[4，8]
B．[6.10]
C．[4%，8%]
D．[6%，10%]
(2)(角度2)一个容器装有细沙a
cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t
min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8
min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过16min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
[解析]　(1)根据题意，要使附加税不少于128万元，需×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]．
(2)当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，∴e－8b＝.令y＝a，即ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，∴再经过16
min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
名师讲坛·素养提升
MING
SHI
JIANG
TAN
SU
YANG
TI
SHENG
函数y＝x＋(a>0)模型及应用
例5　(2021·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
[解析]　(1)因为每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元，依题意得：
当0当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.
所以L(x)＝
(2)当0此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．
当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15(万元)．
此时，当且仅当x＝，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．
因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
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(1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．
(2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
〔变式训练3〕
　某村计划建造一个室内面积为800
m2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1
m宽的通道，沿前侧内墙保留3
m宽的空地．当矩形温室的边长各为40_m，20_m时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是648_m2.
[解析]　设矩形温室的左侧边长为x
m，则后侧边长为
m，所以蔬菜种植面积y＝(x－4)·＝808－2(4因为x＋≥2＝80，所以y≤808－2×80＝648.
当且仅当x＝，即x＝40时取等号，此时＝20，ymax＝648.
即当矩形温室的相邻边长分别为40
m，20
m时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648
m2.
PAGE第三课时　导数与函数的零点或方程的根、不等式
知识梳理·双基自测
知识点一　利用导数研究函数零点的方法
方法一：(1)求函数f(x)的单调区间和极值．
(2)根据函数f(x)的性质作出图象．
(3)判断函数零点的个数．
方法二：(1)求函数f(x)的单调区间和极值．
(2)分类讨论，判断函数零点的个数．
知识点二　利用导数解决不等式问题的常见题型及解题策略
(1)利用导数证明不等式
若证明f(x)(2)利用导数解决不等式的恒成立问题
“恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题，一般都可通过求相关函数的最值来解决，如：当f(x)在x∈D上存在最大值和最小值时，若f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≤f(x)min；若f(x)≤g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≥f(x)max；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≤f(x)max；若存在x∈D，使得f(x)≤g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≥f(x)min.
1．若x∈(0，)，则tan
x>x>sin
x.
2．若x∈(0，＋∞)，则ex≥x＋1>x－1≥ln
x.
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x－sin
x有无数多个零点．(　×　)
(2)函数y＝tan
x－x在内有三个零点．(　×　)
(3)不等式ex>ln(x＋2)恒成立．(　√　)
(4)不等式x≤1－x恒成立．(　×　)
题组二　走进教材
2．(必修1P93BT3改编)若函数f(x)＝xln
x－a有两个零点，则实数a的取值范围为(　C　)
A.
B．
C．
D．
[解析]　函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝0得a＝xln
x，记g(x)＝xln
x.
则g′(x)＝ln
x＋1，由g′(x)>0得x>，由g′(x)<0得0∴g(x)在上递减，在上递增，
且gmin(x)＝g＝－，由图可知－3．(选修2－2P32BT1改编)若函数f(x)＝，0A．f(a)>f(b)
B．f(a)＝f(b)
C．f(a)D．f(a)f(b)>1
[解析]　∵f(x)＝，∴f′(x)＝，当00，故f(x)在(0，e)上单调递增．又∵04．(选修2－2P32BT1改编)求证：ln
x≤x－1(x>0)．
[证明]　设f(x)＝ln
x－x＋1(x>0)，
f′(x)＝－1＝(x>0)，
在(0,1)上f′(x)>0，在(1，＋∞)上f′(x)<0，
∴f(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f(x)≤f(1)＝0.
∴ln
x≤x－1.
题组三　走向高考
5．(2018·江苏，5分)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为
－3
.
[解析]　f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(a∈R)，当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝1，所以此时f(x)在(0，＋∞)内无零点，不满足题意．当a>0时，由f′(x)>0得x>，由f′(x)<0得00，f(x)单调递增，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，则f(x)max＝f(0)＝1，f(－1)＝－4，f(1)＝0，则f(x)min＝－4，所以f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为－3.
6．(2017·江苏，5分)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是
　.
[解析]　由f(x)＝x3－2x＋ex－，得f(－x)＝－x3＋2x＋－ex＝－f(x)，所以f(x)是R上的奇函数，又f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号，所以f(x)在其定义域内单调递增，所以不等式f(a－1)＋f(2a2)≤0?f(a－1)≤－f(2a2)＝f(－2a2)?a－1≤－2a2，解得－1≤a≤，故实数a的取值范围是.
考点突破·互动探究
考点一　利用导数研究函数的零点或方程的根——师生共研
　　例1
(2020·全国Ⅰ，20)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
[解析]　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－2，
则f′(x)＝ex－1.
当x<0时，f′(x)<0；
当x>0时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(2)f′(x)＝ex－a.
当a≤0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增，
故f(x)至多存在1个零点，不合题意．
当a>0时，由f′(x)＝0可得x＝ln
a，
当x∈(－∞，ln
a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln
a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln
a)单调递减，在(ln
a，＋∞)单调递增，
故当x＝ln
a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln
a)＝－a(1＋ln
a)．
(ⅰ)若0≤a≤时，则f(ln
a)≥0，
f(x)在(－∞，＋∞)至多存在1个零点，不合题意．
(ⅱ)若a>，则f(ln
a)<0.
由于f(－2)＝e－2>0，
所以f(x)在(－∞，ln
a)存在唯一零点．
由(1)知，当x>2时，ex－x－2>0，
所以当x>4且x>2ln(2a)时，
f(x)＝e·e－a(x＋2)>eln(2a)·－a(x＋2)＝2a>0，
故f(x)在(ln
a，＋∞)存在零一零点，从而f(x)在(－∞，＋∞)有两个零点．
综上，a的取值范围是.
名师点拨
利用导数研究方程根或函数零点的方法
(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
(2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置．
(3)通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
〔变式训练1〕
　(2021·安徽合肥调研性检测)已知函数f(x)＝kx－ln
x－1(k>0)．若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值．
[解析]　解法一：f(x)＝kx－ln
x－1，f′(x)＝k－＝(x>0，k>0)，
当x＝时，f′(x)＝0；当0当x>时，f′(x)>0.
∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴f(x)min＝f＝ln
k，
∵f(x)有且只有一个零点，
∴ln
k＝0，∴k＝1.
解法二：由题意知方程kx－ln
x－1＝0仅有一个实根，
由kx－ln
x－1＝0得k＝(x>0)，
令g(x)＝(x>0)，g′(x)＝，
当x＝1时，g′(x)＝0；当00；
当x>1时，g′(x)<0.
∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴g(x)max＝g(1)＝1，
当x→＋∞时，g(x)→0，
∴要使f(x)仅有一个零点，则k＝1.
解法三：函数f(x)有且只有一个零点，即直线y＝kx与曲线y＝ln
x＋1相切，设切点为(x0，y0)，
由y＝ln
x＋1得y′＝，
∴∴k＝x0＝y0＝1，
∴实数k的值为1.
考点二　利用导数研究不等式的有关问题——多维探究
角度1　证明不等式
　　例2
设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln
2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
[破题思路]　第(1)问
求什么想什么
求f(x)的单调区间与极值，想到求导函数f′(x)，然后利用不等式f′(x)>0及f′(x)<0求单调区间并确定极值
给什么用什么
已知条件给出f(x)的解析式，可直接用求导公式求导
第(2)问
求什么想什么
证明ex>x2－2ax＋1(a>ln
2－1，x>0)成立，想到证明ex－x2＋2ax－1>0成立
给什么用什么
通过对第(1)问的研究，求得f(x)＝ex－2x＋2a的单调性与极值，仔细观察，可发现(ex－x2＋2ax－1)′＝ex－2x＋2a
缺什么找什么
需要研究函数g(x)＝ex－x2＋2ax－1的单调性或最值，利用导数研究即可
[解析]　(1)由f(x)＝ex－2x＋2a(x∈R)，知f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln
2.
当x2时，f′(x)<0，故函数f(x)在区间(－∞，ln
2)上单调递减；
当x>ln
2时，f′(x)>0，故函数f(x)在区间(ln
2，＋∞)上单调递增．
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，ln
2)，单调递增区间是(ln
2，＋∞)，f(x)在x＝ln
2处取得极小值f(ln
2)＝eln
2
－2ln
2＋2a＝2－2ln
2＋2a，无极大值．
(2)证明：要证当a>ln
2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1，即证当a>ln
2－1且x>0时，ex－x2＋2ax－1>0.
设g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x≥0)．
则g′(x)＝ex－2x＋2a，由(1)知g′(x)min＝g′(ln
2)＝2ln
2＋2a＋2.
又a>ln
2－1，则g′(x)min>0.
于是对?x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R上单调递增．
于是对?x>0，都有g(x)>g(0)＝0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
角度2　不等式恒成立或有解问题
　　例3
已知f(x)＝xln
x－ax，g(x)＝－x2－2，对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
[解析]　对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，
即xln
x－ax≥－x2－2恒成立．
也就是a≤ln
x＋x＋在x∈(0，＋∞)上恒成立．
令F(x)＝ln
x＋x＋，
则f′(x)＝＝.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.
所以F(x)在x＝1处取极小值，也是最小值．
即F(x)min＝F(1)＝3，所以a≤3.
综上所述，a的取值范围是(－∞，3]．
角度3　解不等式
　　例4
(2020·湖南五市十校联考)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，xln
x·f′(x)<－f(x)，则使得(x2－2x－8)f(x)>0成立的x的取值范围是(　C　)
A．(－2,0)∪(4，＋∞)
B．(－∞，－4)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(0,4)
D．(－∞，－2)∪(4，＋∞)
[解析]　设g(x)＝f(x)·ln
x，则x>0时，g′(x)＝f(x)＋f′(x)·ln
x<0，所以g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝0，则在区间(0,1)上，g(x)＝f(x)·ln
x>0，又ln
x<0，所以f(x)<0；在区间(1，＋∞)上，g(x)＝f(x)·ln
x<0，又ln
x>0，所以f(x)<0.所以当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，f(x)<0，由f(x)为奇函数知，在区间(－1,0)和(－∞，－1)上，都有f(x)>0.在题设不等式中令x＝1，知f(1)<0.则以f(－1)>0，所以(x2－2x－8)f(x)>0等价于或解得x<－2或0名师点拨
(1)利用导数解不等式的思路
已知一个含f′(x)的不等式，可构造和f(x)有关的函数g(x)，利用g(x)的单调性，然后可利用函数单调性解不等式．
(2)利用导数证明不等式的方法
①构造法：证明f(x)②最值比较法：证明f(x)(3)利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的策略
①首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围．
②也可分离参数，通过构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2019·北京，节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋x.
①求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程；
②当x∈[－2,4]时，求证：x－6≤f(x)≤x.
(2)(角度2)已知函数f(x)＝－1＋ln
x，若存在x0>0，使得f(x0)≤0，则实数a的取值范围是(　C　)
A．a>2
B．a<3
C．a≤1
D．a≥3
(3)(角度3)(2021·福建莆田质检)定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，f(0)＝0，若对任意x∈R，都有f(x)>f′(x)＋1，则使得f(x)＋ex<1成立的x的取值范围为(　A　)
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(－1，＋∞)
D．(－∞，1)
[解析]　(1)①由f(x)＝x3－x2＋x得f′(x)＝x2－2x＋1.
令f′(x)＝1，即x2－2x＋1＝1，得x＝0或x＝，
又f(0)＝0，f＝，所以曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程是y＝x与y－＝x－，即y＝x与y＝x－.
②令g(x)＝f(x)－x，x∈[－2,4]．
由g(x)＝x3－x2得g′(x)＝x2－2x.
令g′(x)＝0得x＝0或x＝.
g′(x)，g(x)的情况如下：
x
－2
(－2,0)
0
4
g′(x)
＋
－
＋
g(x)
－6
?
0
?
－
?
0
所以g(x)的最小值为－6，最大值为0.
故－6≤g(x)≤0，即x－6≤f(x)≤x.
(2)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，不等式－1＋ln
x≤0有解，即a≤x－xln
x在(0，＋∞)上有解，令h(x)＝x－xln
x，可得h′(x)＝1－(ln
x＋1)＝－ln
x，令h′(x)＝0，可得x＝1，当00，当x>1时，h′(x)<0，可得当x＝1时，函数h(x)＝x－xln
x取得最大值1，要使不等式a≤x－xln
x在(0，＋∞)上有解，只要a小于等于h(x)的最大值即可，即a≤1.所以选C.
(3)令g(x)＝，则g′(x)＝.
∵f(x)>f′(x)＋1，∴g′(x)<0，∴g(x)递减，
∵f(x)＋ex<1?<－1＝?g(x)0.故选A.
名师讲坛·素养提升
赋值法证明正整数不等式
　　例5
(2017·课标全国Ⅲ)已知函数f(x)＝x－1－aln
x.
(1)若f(x)≥0，求a的值；
(2)设m为整数，且对于任意正整数n，
·…·[解析]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
①若a≤0，因为f＝－＋aln
2<0，所以不满足题意．
②若a>0，由f′(x)＝1－＝知，当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，故x＝a是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值点．
由于f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0.
故a＝1.
(2)由(1)知当x∈(1，＋∞)时，x－1－ln
x>0.
令x＝1＋得ln<.从而
ln＋ln＋…＋ln<＋＋…＋＝1－<1.
故·…·而>2，所以m的最小值为3.
名师点拨
(1)函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少2问，所证的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到．
(2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如ex>x＋1可化为ln(x＋1)〔变式训练3〕
　(2020·东北四校联考)已知函数f(x)＝ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)证明：对于任意的正整数n，不等式2＋＋＋…＋>ln(n＋1)成立．
[解析]　(1)因为f′(x)＝－2x－1，
又因为x＝0为f(x)的极值点，
所以f′(0)＝－1＝0，所以a＝1.
(2)证明：由(1)知f(x)＝ln(x＋1)－x2－x.
函数定义域为(－1，＋∞)．
因为f′(x)＝－2x－1＝－.
令f′(x)＝0得x＝0.
当x变化时，f(x)，f′(x)变化情况如下表.
x
(－1,0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值
?
所以f(x)≤f(0)＝0，即ln(x＋1)≤x2＋x(当且仅当x＝0时取等号)．
令x＝，则ln<2＋，即ln<，
所以ln
＋ln
＋…＋ln
<2＋＋…＋.
即2＋＋＋…＋>ln(n＋1)．
[答案]　(1)a＝1　(2)略
PAGE第二课时　导数与函数的极值、最值
知识梳理·双基自测
知识点一　函数的极值
1．函数的极值
(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)
<
f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作f(x)极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)
>
f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作f(x)极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．
(2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：
如果x>
0，x>x0有f′(x)
<
0，那么f(x0)是极大值．
如果x<
0，x>x0有f′(x)
>
0，那么f(x0)是极小值．
2．求可导函数f(x)极值的步骤
(1)
求导数f′(x)
；
(2)
求方程f′(x)＝0的根
；
(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的
根左右的值
的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得
极大值
；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得
极小值
.
知识点二　函数的最值
1．函数的最值的概念
设函数y＝f(x)在
[a，b]
上连续，在
(a，b)
内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．
2．连续函数在闭区间[a，b]上一定有最大值和最小值．
3．求函数最值的步骤
设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值，可分两步进行：
(1)
求f(x)在(a，b)内的极值
；
(2)
将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．f′(x0)＝0与x0是f(x)极值点的关系
函数f(x)可导，则f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
2．极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值．
3．极值与最值的关系
极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．
4．定义在开区间(a，b)内的函数不一定存在最大(小)值．
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(　×　)
(2)函数的极大值不一定比极小值大．(　√　)
(3)导数等于0的点不一定是函数的极值点．(　√　)
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　√　)
[解析]　(1)函数的极值是局部概念，极值点是与该点附近的点的函数值比较得到的，而不是在某区间或定义域上比较．
(2)如图，在x1处的极大值点比在x2处的极小值点小．
(3)如y＝x3在x＝0处，导数为0，但不是极值点．
(4)如图知正确．
题组二　走进教材
2．(多选题)(选修2－2P32AT4改编)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下面正确的是(　CD　)
A．x＝1是最小值点
B．x＝0是极小值点
C．x＝2是极小值点
D．函数f(x)在(1,2)上单调递减
[解析]　由导函数图象可知，x＝0，x＝2为两极值点，x＝0为极大值点，x＝2为极小值点，f′(x)在(1,2)上小于0，因此f(x)单调递减，选C、D.
3．(选修2－2P32AT5改编)函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　C　)
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝1或－1或0
D．x＝0
[解析]　∵f(x)＝x4－2x2＋3，由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.又当x<－1时，f′(x)<0，当－10，当01时，f′(x)>0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．
4．(选修2－2P32AT6改编)函数f(x)＝ln
x－x在区间(0，e]上的最大值为(　B　)
A．1－e
B．－1
C．－e
D．0
[解析]　因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，e]时，f′(x)<0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln
1－1＝－1.故选B.
题组三　走向高考
5．(2017·课标Ⅱ，11)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　A　)
A．－1
B．－2e－3
C．5e－3
D．1
[解析]　由题意可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]．∵x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，∴f′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x－1)(x＋2)，∴x∈(－∞，－2)，(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(－2,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．∴f(x)极小值＝f(1)＝－1.故选A.
6．(2018·课标Ⅰ，16,5分)已知函数f(x)＝2sin
x＋sin
2x，则f(x)的最小值是
－　.
[解析]　由f(x)＝2sin
x＋sin
2x，得f′(x)＝2cos
x＋2cos
2x＝4cos2x＋2cos
x－2，令f′(x)＝0，得cos
x＝或cos
x＝－1，可得当cos
x∈时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当cos
x∈时，f′(x)>0，f(x)为增函数，所以当cos
x＝时，f(x)取最小值，此时sin
x＝±.又因为f(x)＝2sin
x＋2sin
xcos
x＝2sin
x(1＋cos
x)，1＋cos
x≥0恒成立，∴f(x)取最小值时，sin
x＝－，∴f(x)min＝2××＝－.
考点突破·互动探究
考点一　用导数求解函数极值问题——多维探究
角度1　根据函数图象判断极值
　　例1
设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　D　)
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
[解析]　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D.
角度2　求函数的极值
　　例2
求下列函数的极值．
(1)f(x)＝(x－5)2＋6ln
x；
(2)f(x)＝x－aln
x(a∈R)．
[分析]　求导，研究函数的单调性从而确定极值．
[解析]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3，可得
x
(0,2)
2
(2,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
由上表可知当x＝2时，极大值f(2)＝＋6ln
2，当x＝3时，极小值f(3)＝2＋6ln
3.
(2)f′(x)＝1－＝，x>0.
若a≤0，则f′(x)>0恒成立，f(x)不存在极值．
若a>0，则x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，a)
a
(a，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
所以f(x)的极小值f(a)＝a－aln
a．无极大值．
综上可知a≤0时，无极值；a>0时，极小值f(a)＝a－aln
a.
名师点拨
可导函数求极值的步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格．
(4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少．f′(x)＝0是函数有极值的必要条件．
角度3　根据极值求参数的取值范围
　　例3
(1)已知函数f(x)＝xex在区间(a，a＋1)上存在极值点，则实数a的取值范围为
(－2，－1)
.
(2)(2019·青岛模拟)若函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，在x＝2处取得极大值，则实数a的取值范围为
　.
[解析]　(1)f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝－1，当x∈(－∞，－1)时，f(x)单调递减；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)单调递增，则－1是函数f(x)的极值点，所以a<－1(2)f′(x)＝(x－2)(ax－1)ex.当a<0时，由f′(x)>0，解得2，所以函数f(x)在上单调递增，在和(2，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在x＝2处取得极大值．
当a＝0时，f′(x)＝(2－x)ex.
由f′(x)>0，解得x<2；
由f′(x)<0，解得x>2.
所以函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在x＝2处取得极大值．
当a>0时，若要f(x)在x＝2处取得极大值，则需f(x)在(－∞，2)，上单调递增，在上单调递减，则有>2，解得0名师点拨
函数极值问题的常见类型及解题策略
(1)已知导函数图象判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
(2)已知函数求极值．求f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根的两侧的符号→得出结论．
(3)已知极值求参数．若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且f(x)在该点左、右两侧的导数值符号相反．
〔变式训练1〕
(1)(多选题)(角度1)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是(　ABD　)
A.
f(b)>f(a)>f(c)
B．函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值
C．函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值
D．函数f(x)的最小值为f(d)
(2)(角度2)函数y＝的极小值为(　B　)
A．1
B．e
C．－1
D．－
(3)(角度3)(2021·广东肇庆第二次检测)已知x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是(　D　)
A．(1，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，1)
[解析]　(1)由图可知x∈[a，c]时f′(x)≥0，f(x)单调递增，又a0，f(x)递增；ce时，f′(x)>0，f(x)递增．∴f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值，B错，C对；f(d)不是极值，又不是定义域端点的函数值，∴f(d)不是最小值，D错，故选A、B、D.
(2)∵y′＝＝，
x，y′，y的极值情况如下表.
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
－
－
0
＋
y
?
?
极小值
?
f(x)极小值为f(1)＝e，故选B.
(3)依题意f′(x)＝(x－a)(x－1)ex，它的两个零点为x＝1，x＝a，若x＝1是函数y(x)的极小值点，则需a<1，此时函数f(x)在(a,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，在x＝1处取得极小值．故选D.
考点二　用导数求函数的最值——师生共研
　　例4
(2017·北京，20)已知函数f(x)＝excos
x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解析]　(1)因为f(x)＝excos
x－x，所以f′(x)＝ex(cos
x－sin
x)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)设h(x)＝ex(cos
x－sin
x)－1，则h′(x)＝ex(cos
x－sin
x－sin
x－cos
x)＝－2exsin
x.
当x∈时，h′(x)<0，
所以h(x)在区间上单调递减．
所以对任意x∈有h(x)所以函数f(x)在区间上单调递减．
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f＝－.
名师点拨
1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，一般要根据其极值及单调性画出函数的大致图象，借图求解．
注：求最值时，不可想当然认为极值点就是最值点，要通过比较再下结论．
〔变式训练2〕
　(2021·日照一中月考)已知函数f(x)＝－ln
x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)．
[解析]　(1)f(x)＝－ln
x＝1－－ln
x，
f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为f′(x)＝－＝，
由f′(x)>0，得0由f′(x)<0，得x>1，
所以f(x)＝1－－ln
x在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)得f(x)在上单调递增，在[1，e]上单调递减，
所以f(x)在上的最大值为f(1)＝1－－ln
1＝0.
又f＝1－e－ln
＝2－e，
f(e)＝1－－ln
e＝－，所以f综上，f(x)在上的最小值为f＝2－e，
所以f(x)在上的最大值为0，最小值为2－e.
名师讲坛·素养提升
利用导数研究生活中的优化问题
　　例5
在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业．根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升)．
(1)求y关于v的函数关系式；
(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．
[解析]　(1)由题意，下潜用时(单位时间)，用氧量为×＝(升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时＝(单位时间)，用氧量为×1.5＝(升)，因此总用氧量y＝＋＋9(v>0)．
(2)y′＝－＝，令y′＝0得v＝10，
当0当v>10时，y′>0，函数单调递增．
若c<10，函数在[c,10]上递减，在(10，15]上递增，
所以当v＝10时，总用氧量最少．
若c≥10，则函数在[c,15]上递增，
所以当v＝c时，总用氧量最少．
名师点拨
函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为：一设，设出自变量、因变量；二列，列出函数关系式，并写出定义域；三解，解出函数的最值，一般常用导数求解；四答，回答实际问题．
〔变式训练3〕
　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
[解析]　(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而，f′(x)＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值42
?
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
PAGE第十二讲　导数在研究函数中的应用
第一课时　导数与函数的单调性
知识梳理·双基自测
知识点　函数的单调性
(1)设函数y＝f(x)在某个区间内
可导
，若f′(x)
>
0，则f(x)为增函数，若f′(x)
<
0，则f(x)为减函数．
(2)求可导函数f(x)单调区间的步骤：
①确定f(x)的
定义域
；
②求导数f′(x)；
③令f′(x)
>
0(或f′(x)
<
0)，解出相应的x的范围；
④当
f′(x)>0
时，f(x)在相应区间上是增函数，当
f′(x)<0
时，f(x)在相应区间上是减函数．
　导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件．
(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件．
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　×　)
(2)若函数y＝f(x)在(a，b)内恒有f′(x)≥0，则y＝f(x)在(a，b)上一定为增函数．(　×　)
(3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　√　)
(4)因为y＝的导函数为y′＝，∵x>0，∴y′<0，因此y＝的减区间为(0，＋∞)．(　×　)
[解析]　(1)有可能f′(x)＝0，如f(x)＝x3，它在(－∞，＋∞)上为增函数，但f′(x)＝x2≥0.
(2)因为y＝f(x)若为常数函数，则一定有f′(x)＝0满足条件，但不具备单调性．
(3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则此函数f(x)在这个区间内为常数函数，则函数f(x)在这个区间内没有单调性．
(4)y＝定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，因此它的减区间为(0,1)和(1，＋∞)．
题组二　走进教材
2．(选修2－2P26T1改编)函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为(　A　)
A．(0,4)
B．(0,2)
C．(4，＋∞)
D．(－∞，0)
[解析]　f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得03．(选修2－2P32BT1改编)已知函数f(x)＝1＋x－sin
x，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是(　D　)
A．f(2)>f(3)>f(π)
B．f(3)>f(2)>f(π)
C．f(2)>f(π)>f(3)
D．f(π)>f(3)>f(2)
[解析]　f′(x)＝1－cos
x，当x∈(0，π]时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，π]上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)．故选D.
4．(选修2－2P31AT3改编)已知函数y＝f(x)在定义域(－3,6)内可导，其图象如图，其导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为
[－1,2]∪[4,6)
.　
[解析]　f′(x)≤0，即y＝f(x)递减，故f′(x)≤0，解集为[－1,2]∪[4,6)．
题组三　走向高考
5．(2017·浙江，4分)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　D　)
[解析]　根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A，B；记导函数f′(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(－∞，x1)上f′(x)<0，在(x1，x2)上f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，x1)上单调递减，排除C，选D.
6．(2016·全国卷Ⅰ，5分)若函数f(x)＝x－sin
2x＋asin
x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　C　)
A.
B．
C．
D．
[解析]　函数f(x)＝x－sin
2x＋asin
x在(－∞，＋∞)上单调递增，等价于f′(x)＝1－cos
2x＋acos
x＝－cos2x＋acos
x＋≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．设cos
x＝t，则g(t)＝－t2＋at＋≥0在[－1,1]上恒成立，所以解得－≤a≤.故选C.
注：文科(sin
2x)′＝(2sin
xcos
x)′＝2[(sin
x)′·cos
x＋sin
x·(cos
x)′]＝2(cos2x－sin2x)＝2cos
2x.
考点突破·互动探究
考点　函数的单调性
考向1　不含参数的函数的单调性——自主练透
　　例1
(1)函数f(x)＝x2－2ln
x的单调递减区间是(　A　)
A．(0,1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1,1)
(2)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　D　)
A．(－∞，2)
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
(3)函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是
(－∞，0)
；单调递减区间是
(0,1)
.
(4)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin
x＋cos
x，则f(x)的单调递增区间是
和　.
[解析]　(1)∵f′(x)＝2x－＝(x>0)，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
(2)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.
排除法：观察y＝x－3，y＝ex，在(3，＋∞)上递增，∴选D.
(3)f(x)的定义域为{x|x≤1}，
f′(x)＝1－.令f′(x)＝0，得x＝0.
当00.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．
(4)f′(x)＝sin
x＋xcos
x－sin
x＝xcos
x.
令f′(x)＝xcos
x>0，
则其在区间(－π，π)上的解集为∪，
即f(x)的单调递增区间为和.
名师点拨
用导数f′(x)确定函数f(x)单调区间的三种类型及方法：
(1)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0可解时，根据函数的定义域，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，根据函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，再确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．
(3)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)＝0均不可解时，对f′(x)化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．
考向2　含参数的函数的单调性——师生共研
例2
已知函数f(x)＝(x－1)2－x＋ln
x(a>0)．讨论f(x)的单调性．
[解析]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a(x－1)－1＋＝，
令f′(x)＝0，则x1＝1，x2＝，
①若a＝1，则f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
②若01，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
③若a>1，则0<<1，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
综上所述，当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当0当a>1时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
名师点拨
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
(3)个别导数为0的点不影响在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．
〔变式训练1〕
　设函数f(x)＝x－－aln
x(a∈R)，讨论f(x)的单调性．
[解析]　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝.
令g(x)＝x2－ax＋1，则方程x2－ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－4.
①当|a|≤2时，即－2≤a≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上恒有f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0有两根为x1＝，x2＝，
当00；当x1x2时，f′(x)>0，
故f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．
综上得，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>2时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减．
考向3　利用导数解决函数的单调性的应用问题——多维探究
角度1　比较大小
　　例3
已知函数f(x)＝xsin
x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为(　A　)
A．f>f(1)>f
B．f(1)>f>f
C．f>f(1)>f
D．f>f>f(1)
[解析]　因为f(x)＝xsin
x，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin
x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以f＝f.又当x∈时，f′(x)＝sin
x＋xcos
x>0，所以函数f(x)在上是增函数，所以ff(1)>f，故选A.
角度2　解不等式
例4
设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)>0的解集是(　A　)
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
[解析]　∵f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即[f(x)g(x)]′>0.∴f(x)g(x)在(－∞，0)上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f(x)g(x)为奇函数，f(0)g(0)＝0，∴f(x)g(x)在(0，＋∞)上也是增函数．∵f(3)g(3)＝0，
∴f(－3)g(－3)＝0.∴f(x)g(x)>0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．故选A.
角度3　已知函数的单调性求参数取值范围
　　例5
若函数f(x)＝kx－ln
x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　D　)
A．(－∞，－2]
B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)
D．[1，＋∞)
[分析]　利用函数f(x)＝kx－ln
x在区间(1，＋∞)上单调递增等价于f′(x)≥0在(1，＋∞)恒成立求解．或利用区间(1，＋∞)是f(x)的增区间的子集求解．
[解析]　解法一：因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，
因为f(x)＝kx－ln
x，
所以f′(x)＝k－≥0，即k≥.
因为x>1，所以0<<1，
所以k≥1.所以k∈[1，＋∞)．故选D.
解法二：f′(x)＝k－＝(x>0)，
当k≤0时，f′(x)＝k－<0，f(x)在其定义域内递减，不合题意，
当k>0时，由f′(x)>0知x>，即是f(x)的增区间.
由题意可知≤1，即k≥1，故选D.
[引申]本例中(1)若f(x)的增区间为(1，＋∞)，则k＝
1
；
(2)若f(x)在(1，＋∞)上递减，则k的取值范围是
(－∞，0]
；
(3)若f(x)在(1，＋∞)上不单调，则k的取值范围是
(0,1)
；
(4)若f(x)在(1，＋∞)上存在减区间，则k的取值范围是
(－∞，1)
；
(5)若f(x)在(1,2)上单调，则k的取值范围是
∪[1，＋∞)　.
[解析]　(1)由解法2知＝1，∴k＝1；
(2)由题意知f′(x)＝≤0在(1，＋∞)上恒成立即k≤，又x>1，∴0<<1，∴k≤0，即k的取值范围是(－∞，0]；
(3)由本例及引申(2)知，f(x)在(1，＋∞)上单调，则k≤0或k≥1，∴f(x)在(1，＋∞)上不单调，则0(4)由题意可知f′(x)＝≤0在(1，＋∞)内有解即k≤，x∈(1，＋∞)有解，由0<<1可知k<1，即k的取值范围是(－∞，1)；
(5)∵x∈(1,2)，∴<<1，
若f(x)在(1,2)上单调增，则f′(x)＝≥0恒成立，即k≥，∴k≥1.若f(x)在(1,2)上单调减，则f′(x)＝≤0恒成立，即k≤，∴k≤.
∴f(x)在(1,2)上单调，则k的取值范围是(－∞，]∪[1，＋∞)．
名师点拨
已知函数单调性，求参数取值范围的两个方法
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)转化为不等式的恒成立问题：利用“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数f(x)单调递减，则f′(x)≤0”来求解．
提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒等于0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)已知函数f(x)＝x2－ln
x，则有(　A　)
A．f(2)B．f(e)C．f(3)D．f(e)(2)(角度2)(2021·昆明模拟)已知函数f(x)＝xsin
x＋cos
x＋x2，则不等式f(ln
x)＋f<2f(1)的解集为(　D　)
A．(e，＋∞)
B．(0，e)
C．∪(1，e)
D．
(3)(角度3)(2021·安徽毛坦厂中学模拟)已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln
x在(t，t＋1)上不单调，则实数t的取值范围是
(0,1)
.
[解析]　(1)f′(x)＝x－＝(x>0)，
在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，
∴f(3)>f(e)>f(2)．故选A.
(2)函数f(x)＝xsin
x＋cos
x＋x2的导数为f′(x)＝sin
x＋xcos
x－sin
x＋2x＝x(2＋cos
x)，
则x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
且f(－x)＝(－x)sin(－x)＋cos(－x)＋(－x)2＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，即有f(x)＝f(|x|)，
则不等式f(ln
x)＋f)<2f(1)，
即为f(ln
x)x|)则|ln
x|<1，即－1x<1，解得(3)∵函数f(x)＝－x2－3x＋4ln
x(x>0)，
∴f′(x)＝－x－3＋，
∵函数f(x)＝－x2－3x＋4ln
x在(t，t＋1)上不单调，
∴f′(x)＝－x－3＋在(t，t＋1)上有变号零点，
∴＝0在(t，t＋1)上有解，
∴x2＋3x－4＝0在(t，t＋1)上有解，
由x2＋3x－4＝0得x＝1或x＝－4(舍去)．
∴1∈(t，t＋1)，∴t∈(0,1)，
故实数t的取值范围是(0,1)．
名师讲坛·素养提升
构造法在导数中的应用
　　例6
f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)>f(x)，对任意正实数a，下列式子成立的是(　B　)
A．f(a)B．f(a)>eaf(0)
C．f(a)<
D．f(a)>
[解析]　令g(x)＝，
∴g′(x)＝＝>0.
∴g(x)在R上为增函数．又∵a>0，
∴g(a)>g(0)，即>，即f(a)>eaf(0)．
例7
(2015·课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　A　)
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
[解析]　令F(x)＝，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于f′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以F(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，可得F(x)的大致图象，如图．数形结合可知，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．故选A.
名师点拨
(1)对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；
(2)对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；亦可构造f(x)＝；
特别地，对于不等式f′(x)>k(或(3)对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；
(4)对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(g(x)≠0)；
(5)对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)；
(6)对于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)．
〔变式训练3〕
(1)若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为
(2，＋∞)
.
(2)函数f(x)的导函数f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，若f(ln
2)＝2，则满足不等式f(x)>ex的x的范围是(　C　)
A．x>1
B．0C．x>ln
2
D．02
[解析]　(1)令g(x)＝f(x)－x，
∴g′(x)＝f′(x)－1.
由题意知g′(x)>0，∴g(x)为增函数．
∵g(2)＝f(2)－2＝0，∴g(x)>0的解集为(2，＋∞)．
(2)由题意，对任意x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，
即f′(x)－f(x)>0，令g(x)＝，
则g′(x)＝＝>0，所以函数g(x)为单调递增函数，
又因为不等式f(x)>ex，即g(x)>1，因为f(ln
2)＝2，所以g(ln
2)＝1，
所以不等式的解集为x>ln
2，故选C.
PAGE第七讲　对数与对数函数
知识梳理·双基自测
ZHI
SHI
SHU
LI
SHUANG
JI
ZI
CE知识梳理
知识点一　对数与对数运算
1．对数的概念
(1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为a(a>0，且a≠1)
logaN
常用对数
底数为10
lg_N
自然对数
底数为e
ln_N
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质：
①loga1＝0；
②logaa＝1(其中a>0且a≠1)．
(2)对数恒等式：
alogaN＝N．(其中a>0且a≠1，N>0)
(3)对数的换底公式：
logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)．
(4)对数的运算法则：
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
知识点二　对数函数的图象与性质
1．对数函数的定义、图象和性质
定义
函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数
图象
a＞1
0＜a＜1
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：(－∞，＋∞)
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当0＜x＜1时，y<0；当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数
在(0，＋∞)上为减函数
2．反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
重要结论
1．指数式与对数式互化
2．换底公式的两个重要结论
①logab＝；
②logambn＝logab.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
双基自测
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则logaM＝logaN(a>0，a≠1)．(　×　)
(2)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)
(3)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)
(4)y＝log2x2不是对数函数，而y＝log2(－x)是对数函数．(　×　)
(5)函数y＝ln
与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　√　)
(6)2lg
3≠3lg
2.(　×　)
[解析]　(4)y＝log2(－x)不是对数函数．
(6)设2lg
3＝M，3lg
2＝N，则lg
M＝lg
2lg
3＝lg
3lg
2＝lg
3lg
2＝lg
N，∴M＝N.
题组二　走进教材
2．(必修1P75T11改编)写出下列各式的值：
(1)log2＝－；
(2)log53＋log5＝0；
(3)lg
＋2lg
2－＝－1；
(4)(log29)·(log34)＝4．
[解析]　(1)log2＝log22－＝－；
(2)log53＋log5＝log51＝0；
(3)lg
＋2lg
2－＝lg
＋lg
4－＝lg
10－2＝－1；
(4)解法一：原式＝·＝＝4.
解法二：原式＝2log23·＝2×2＝4.
3．(必修1P74AT4改编)若lg
2＝a，lg
3＝b，则lg
12的值为(　C　)
A．a
B．b
C．2a＋b
D．2ab
[解析]　因为lg
2＝a，lg
3＝b，所以lg
12＝lg(4×3)＝2lg
2＋lg
3＝2a＋b.故选C．
4．(必修1P74AT7改编)函数y＝的定义域是.　
[解析]　log(2x－1)≥0，即0<2x－1≤1，
解得5．(必修1P75AT10改编)已知图中曲线C1，C2，C3，C4是函数y＝logax的图象，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次为(　B　)
A．3，2，，
B．2，3，，
C．2，3，，
D．3，2，，
[解析]　解法一：因为C1，C2为增函数，可知它们的底数都大于1，又当x>1时，图象越靠近x轴，其底数越大，故C1，C2对应的a值分虽为2，3.又因为C3，C4为减函数，可知它们的底数都小于1，此时x>1时，图象越靠近x轴，其底数越小，所以C3，C4对应的a分别，.综上可得C1，C2，C3，C4的a值依次为2，3，，.
解法二：可以画直线y＝1，看交点的位置自左向右，底数由小到大．
题组三　走向高考
6．(2020·课标Ⅲ，10，5分)
设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　A　)
A．aB．aC．bD．c[解析]　因为a＝log32＝log3b＝log53＝log5>log5＝＝c，所以a7．(2017·全国卷Ⅱ，5分)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　D　)
A．(－∞，－2)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(4，＋∞)
[解析]　由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D．
考点突破·互动探究
KAO
DIAN
TU
PO
HU
DONG
TAN
JIU　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一
对数与对数运算——自主练透　
例1　(1)＝．
(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)＝．
(3)(2021·保定模拟)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则
m＝．
(4)若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝12，用m，n表示log46为．
[解析]　(1)解法一：原式＝＝＝＝.
解法二：原式＝＝＝.
(2)原式＝·＝·＝·＝.
(3)因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m，
所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝.
(4)因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，a2m＋n＝(am)2×an＝22×3＝12，log46＝＝＝.故填12；.
考点二
对数函数的图象与性质
考向1　对数函数的图象及其应用——师生共研
例2　(1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　D　)
(2)(2020·合肥月考)当00且a≠1)，则实数a的取值范围是(　B　)
A．
B．
C．(1，)
D．(，2)
[解析]　(1)解法一：当a>1时，函数y＝ax的图象过定点(0，1)，在R上单调递增，
于是函数y＝的图象过定点(0，1)，在R上单调递减，
函数y＝loga的图象过定点，在上单调递增．
显然A、B、C、D四个选项都不符合．
当0于是函数y＝的图象过定点(0，1)，在R上单调递增，
函数y＝loga的图象过定点，在上单调递减．
因此，选项D中的两个图象符合，故选D．
解法二：易知a与必有一个大于1，一个小于1，则f(x)＝与g(x)＝loga在各自定义域内单调性相反，可排除B；由g＝0可排除A、C．故选D．
(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0，所以a的取值范围为.
本题还有以下解法：
因为0所以logax>4x>1，
所以0则有4＝2，log＝1，显然4x名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
应用对数型函数的图象可求解的问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
〔变式训练1〕
(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0(2)若不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为．
[解析]　(1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A．
(2)由x2－logax<0
得x2设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，
要使x∈时，不等式x2只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a>1时，显然不成立；
当0要使x2需f1≤f2，
所以有≤loga，解得a≥，所以≤a<1.
即实数a的取值范围是.
考向2　对数函数的性质及其应用——多维探究
角度1　比较对数值的大小
例3　(2020·课标Ⅲ，12，5分)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　A　)
A．aB．bC．bD．c[解析]　a＝log53∈(0，1)，b＝log85∈(0，1)，则＝＝log53·log58<＝<1，∴a又∵134<85，∴135<13×85，两边同取以13为底的对数得log13135，∴c>.
又∵55<84，∴8×55<85，两边同取以8为底的对数得log8(8×55)综上所述，c>b>a，故选A．
角度2　利用对数函数单调性求参数的取值范围
例4　(2021·华南师大附中模拟)已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　D　)
A．(－∞，4]
B．[4，＋∞)
C．[－4，4]
D．(－4，4]
[分析]　函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，说明在[2，＋∞)上，函数t＝x2－ax＋3a>0成立，且为增函数．
[解析]　函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减?函数t＝x2－ax＋3a在[2，＋∞)上单调递增，且t>0??－4角度3　简单对数不等式的解法
例5　设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　C　)
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，1)
[解析]　由题意得
或
解得a>1或－1另解：令a＝2，由f(2)＝1>f(－2)＝－1，排除A、D．
令a＝－2，由f(－2)＝－1名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
1．比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．
2．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2020·天津，6，5分)设a＝30.7，b＝，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　D　)
A．aB．bC．bD．c(2)(角度2)若函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　C　)
A．
B．
C．
D．
(3)(角度3)(2021·河南信阳质量检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若实数a满足f(log4a)＋f(log0.25a)≤2f(1)，则a的取值范围是(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　(1)由函数y＝3x单调递增，函数y＝log0.7x(x>0)单调递减，可知a＝30.7>30＝1，b＝＝30.8>30.7＝a，c＝log0.70.8(2)由题意得：y＝log(－x2＋4x＋5)增区间为(2，5)，
所以，解得m∈，故选C．
(3)∵log0.25a＝loga＝－log4a且f(x)为偶函数，
∴f(log4a)＋f(log0.25a)≤2f(1)可化为f(log4a)≤f(1)，
又f(x)在[0，＋∞)内单调递增，∴|log4a|≤1，
∴log4＝－1≤log4a≤1≤log44，∴≤a≤4，故选B．
名师讲坛·素养提升
MING
SHI
JIANG
TAN
SU
YANG
TI
SHENG
有关对数运算的创新应用问题
例6　(2020·全国新高考Ⅰ，6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0
＝1＋rT有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln
2≈0.69)(　B　)
A．1.2天
B．1.8天
C．2.5天
D．3.5天
[解析]　因为R0＝3.28，T＝6，T0＝1＋rT，
所以r＝＝0.38，
所以I(t)＝ert＝e0.38t，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，
则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，
所以0.38t1＝ln
2，
所以t1＝≈≈1.8天．故选B．
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和数学运算能力．
〔变式训练3〕
　里氏震级M的计算公式为M＝lg
A－lg
A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1
000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为6级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10_000倍．
[解析]　根据题意，由lg
1
000－lg
0.001＝6得此次地震的震级为6级，因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lg
A9－lg
0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震的最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10
000倍．
PAGE第九讲　函数与方程
知识梳理·双基自测
ZHI
SHI
SHU
LI
SHUANG
JI
ZI
CE知识梳理
知识点一　函数的零点
1．函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．
2．几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
知识点二　二分法
1．对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c
(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c
(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(3)(4)．
重要结论
1．有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．
(5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0?函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
两个零点
一个零点
无零点
双基自测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　)
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac<0时没有零点．(　√　)
(3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　×　)
(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(　×　)
(5)函数y＝2x与y＝x2只有两个交点．(　×　)
[解析]　(1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．
(2)当b2－4ac<0时，抛物线与x轴无交点，故没有零点．
(3)函数图象若没有穿过x轴，则f(a)·f(b)>0.
(4)若在区间[a，b]内有多个零点，f(a)·f(b)>0也可以．
(5)y＝x2与y＝2x在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如在x＝2和x＝4处都有交点．
题组二　走进教材
2．(必修1P92AT2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
f(x)
－4
－2
1
4
7
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　B　)
A．(1，2)
B．(2，3)
C．(3，4)
D．(4，5)
[解析]　由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点，故选B．
3．(必修1P92AT1改编)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　C　)
[解析]　A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．故选C．
4．(必修1P92AT4改编)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：
x
1.25
1.312
5
1.375
1.437
5
1.5
1.562
5
f(x)
－0.871
6
－0.578
8
－0.281
3
0.210
1
0.328
43
0.641
15
则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为(　C　)
A．1.32
B．1.39
C．1.4
D．1.3
[解析]　通过上述表格得知函数唯一的零点x0在区间(1.375，1.437
5)内，故选C．
题组三　走向高考
5．(2015·安徽，5分)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　A　)
A．y＝cos
x
B．y＝sin
x
C．y＝ln
x
D．y＝x2＋1
[解析]　y＝cos
x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin
x为奇函数，y＝ln
x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，故选A．
6．(2019·全国卷Ⅲ，5分)函数f(x)＝2sin
x－sin
2x在[0，2π]的零点个数为(　B　)
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析]　f(x)＝2sin
x－2sin
xcos
x＝2sin
x(1－cos
x)，令f(x)＝0，则sin
x＝0或cos
x＝1，所以x＝kπ(k∈Z)，又x∈[0，2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B．
考点突破·互动探究
KAO
DIAN
TU
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DONG
TAN
JIU　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一,函数的零点
考向1　确定函数零点所在区间——自主练透
例1　(1)若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是(　D　)
A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点
(2)(2021·开封模拟)函数f(x)＝x＋ln
x－3的零点所在的区间为(　C　)
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
(3)(多选题)若aA．(－∞，a)
B．(a，b)
C．(b，c)
D．(c，＋∞)
[解析]　(1)因为f(1)·f(2)·f(4)<0，所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于0.
若f(1)<0，则在(0，1)内有零点，在(0，4)内必有零点；
若f(2)<0，则在(0，2)内有零点，在(0，4)内必有零点；
若f(4)<0，则在(0，4)内有零点．故选D．
(2)解法一：利用零点存在性定理
因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln
2－1<0，f(3)＝ln
3>0，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故选C．
解法二：数形结合
函数f(x)＝x＋ln
x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln
x，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f(x)的零点在(2，3)内．
(3)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)·(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选B、C．
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
确定函数零点所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
考向2　函数零点个数的确定——师生共研
例2　(1)函数f(x)＝的零点个数为(　B　)
A．3
B．2
C．7
D．0
(2)已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数为5．
[解析]　(1)解法一：(直接法)由f(x)＝0得
或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
解法二：(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．
(2)令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝，作出f(x)的简图：
由图象可得当f(x)＝1或f(x)＝时，分别有3个和2个交点，则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为5.
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)数形结合法：利用函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
〔变式训练1〕
(1)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　C　)
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　C　)
A．1
B．2
C．3
D．4
(3)(2020·河南名校联考)函数f(x)＝则函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4的零点个数是(　A　)
A．5
B．4
C．3
D．6
[解析]　(1)由已知得y＝f(x)＋3x＝
令x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.令1＋＋3x＝0(x>0)可得3x2＋x＋1＝0.因为Δ＝1－12<0，所以方程3x2＋x＋1＝0无实根．所以y＝f(x)＋3x的零点个数是2.
(2)f(x)＝ex＋x－3在(0，＋∞)上为增函数，f＝e－<0，f(1)＝e－2>0，∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，由奇函数性质得f(x)在(－∞，0)上也有一个零点，又f(0)＝0，所以f(x)有三个零点，故选C．
(3)本题考查函数的零点与方程根的个数的关系．
函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4＝[3f(x)－2][f(x)－2]的零点，即方程f(x)＝和f(x)＝2的根．
函数f(x)＝的图象如图所示，
由图可得方程f(x)＝和f(x)＝2共有5个根，
即函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4有5个零点．
考向3　函数零点的应用——多维探究
角度1　与零点有关的比较大小
例3　已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－logx，h(x)＝log2x－的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为(　D　)
A．x1>x2>x3
B．x2>x1>x3
C．x1>x3>x2
D．x3>x2>x1
[解析]　由f(x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－logx＝0，h(x)＝log2x－＝0，得2x＝－x，x＝logx，log2x＝，在平面直角坐标系中分别作出y＝2x与y＝－x的图象；y＝x与y＝logx的图象；y＝log2x与y＝的图象，由图可知：－11.所以x3>x2>x1.
角度2　已知函数的零点或方程的根求参数
例4　(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝
g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　C　)
A．[－1，0)
B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
[解析]　
令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点．
由图知－a≤1，∴a≥－1.
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
1．比较零点大小常用方法：
(1)确定零点取值范围，进而比较大小；
(2)数形结合法．
2．已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2021·安徽蚌埠月考)已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　B　)
A．aB．aC．a>b>c
D．c>a>b
(2)(角度2)(2021·杭州学军中学月考)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　D　)
A．(－∞，－1)
B．(－∞，－1]
C．[－1，0)
D．(0，1]
[分析]　(1)解法一：依据零点存在定理，确定a，b，c所在区间，进而比较大小；解法二：分别作出y＝3x、y＝log3x、y＝x3与y＝－x的图象，比较其交点横坐标的大小即可．
[解析]　
(1)解法一：∵f(－1)＝3－1－1＝－，f(0)＝1，∴a∈，又g＝log3＋＝－，g(1)＝1，∴b∈，显然c＝0，∴a解法二：数形结合法，在同一坐标系中分别作出y＝3x、y＝log3x、y＝－x的图象，结合图象及c＝0可知a解法三：由概念知b>0，a<0，c<0，∴b最大，选B．
(2)∵当x>0时，f(x)＝2x－1，
由f(x)＝0得x＝，
∴要使f(x)在R上有两个零点，
则必须2x－a＝0在(－∞，0]上有解．
又当x∈(－∞，0]时，2x∈(0，1]．
故所求a的取值范围是(0，1]．
考点二
二分法及其应用——自主练透　　
例5　(1)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈(0，0.5)，第二次应计算f(0.25)．
(2)在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可判定该根所在的区间为．
(3)在用二分法求方程x2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是7．
[解析]　(1)因为f(0)<0，f(0.5)>0，由二分法原理得一个零点x0∈(0，0.5)；第二次应计算f＝f(0.25)．
(2)区间(1，2)的中点x0＝，令f(x)＝x3－2x－1，f＝－4<0，f(2)＝8－4－1>0，则根所在区间为.
(3)设至少需要计算n次，由题意知<0.001，即2n>100.由26＝64，27＝128，知n＝7.
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
1．用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．
2．利用二分法求近似解需注意的问题
(1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0；
(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的．
(3)虽然二分法未单独考过，但有可能像算法中的“更相减损术”一样，嵌入到程序框图中去考查．
名师讲坛·素养提升
MING
SHI
JIANG
TAN
SU
YANG
TI
SHENG
函数零点的综合问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例6　(2021·山西五校联考)已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－a恰有三个互不相同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　解法一：显然x≤0时，－2x＝a，有一根不妨记为x1，则x1＝－(a≥0)，当x>0时－x2＋x＝a即x2－x＋a＝0有两个不等正根，不妨记为x2，x3，则Δ＝1－4a>0，即a<，从而－a2∈且x2x3＝a.∴x1x2x3＝－∈，故选A．
解法二：作出y＝f(x)及y＝a的图象，显然00，x3>0，∴x1x2x3<0排除C、D，又当x2趋近x3时，x2x3趋近，x1趋近－，故x1x2x3趋近－.故选A．
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数学知识及其联系，快速解决该问题．
〔变式训练3〕
　(2021·东北三省四市模拟)已知函数f(x)＝若f(x)＝a(a∈R)有四个不等实根，则所有实根之积的取值范围是(　B　)
A．(－∞，1)
B．[0，1)
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
[解析]　本题考查已知方程根的个数求根的乘积的取值范围．
设四个根依次为x1，x2，x3，x4(x1则－2≤x1<－1，－1由|lg
x3|＝|lg
x4|，
得－lg
x3＝lg
x4，
则lg
x3＋lg
x4＝lg(x3x4)＝0，
∴x3x4＝1，∴x1x2x3x4＝x1x2＝(－2－x2)x2＝－(x2＋1)2＋1∈[0，1)．
故选B．
PAGE第八讲　函数的图象
知识梳理·双基自测
ZHI
SHI
SHU
LI
SHUANG
JI
ZI
CE知识梳理
知识点　函数的图象
1．利用描点法作函数图象的流程
2．平移变换
y＝f(x)y＝f(x－a)；
y＝f(x)y＝f(x)＋b.
3．伸缩变换
4．对称变换
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(－x)．
5．翻折变换
y＝f(x)y＝f(|x|)；
y＝f(x)y＝|f(x)|．
重要结论
1．函数对称的重要结论
(1)若f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，则y＝
f(x)的图象关于直线x＝m对称．
(2)设函数y＝f(x)定义在实数集上，则函数y＝f(x－m)与y＝f(m－x)(m>0)的图象关于直线x＝m对称．
(3)若f(a＋x)＝f(b－x)，对任意x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(4)函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．
(5)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(6)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．
2．函数图象平移变换八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．
(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
双基自测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(x＋1)是由y＝f(2x)左移1个单位得到．(　×　)
(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(　×　)
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　×　)
(4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　×　)
(5)若函数y＝f(x＋2)是偶函数，则有f(x＋2)＝f(－x－2)．(　×　)
(6)若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　×　)
题组二　走进教材
2．(必修1P73T1改编)函数y＝logax与函数y＝logx的图象关于x轴对称；函数y＝ax与y＝的图象关于y轴对称；函数y＝log2x与函数y＝2x的图象关于y＝x对称．
3．(必修4P55T2(1)改编)为了得到函数f(x)＝log2x的图象，只需将函数g(x)＝log2的图象向上平移3个单位．将函数f(x)＝log2x左移2个单位得到解析式为y＝log2(x＋2).
4．(必修1P36T2改编)已知图甲中的图象对应的函数y＝f(x)，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是(　C　)
A．y＝f(|x|)
B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|)
D．y＝－f(|x|)
[解析]　由图可知当x≤0时，y＝f(x)，故选C．
题组三　走向高考
5．(2020·浙江，4)函数y＝xcos
x＋sin
x在区间[－π，π]上的图象可能是(　A　)
[解析]　本题考查函数图象的识别．设f(x)＝xcos
x＋sin
x，f(x)的定义域为R.因为f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除选项C，D．又f(π)＝πcos
π＋sin
π＝－π<0，排除选项B，故选A．
6．(2015·北京，7，5分)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　C　)
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1D．{x|－1[解析]　作出函数
y＝log2(x＋1)的图象，
如图所示：
其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象的交点为D(1，1)，结合图象可知f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1考点突破·互动探究
KAO
DIAN
TU
PO
HU
DONG
TAN
JIU　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点
函数的图象
考向1　作函数的图象——自主练透
例1　作出下列函数的图象：
(1)y＝；
(2)y＝|x－2|·(x＋1)；
(3)y＝；
(4)y＝|log2(x＋1)|.
[分析]　(1)先由函数的奇偶性画出y轴右侧图象，再画左侧；
(2)先对绝对值分类讨论，将原函数化成分段函数的形式，再分段作图即可；
(3)先化简解析式，分离常数，再利用图象变换画出图象；
(4)将y＝log2x的图象向左平移1个单位→y＝log2(x＋1)的图象→将y＝log2(x＋1)的图象位于x轴下方的部分向上翻折→y＝|log2(x＋1)|的图象．
[解析]　
(1)先作出函数y＝的图象，保留函数y＝的图象中x≥0的部分，再作出函数y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得函数y＝的图象，如图实线部分．
(2)先化简，再作图．
y＝图象如图实线所示．
(3)∵y＝＝＝2＋，∴其图象可由y＝的图象沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向上平移2个单位得到，其图象如图所示．
(4)利用函数y＝log2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．
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函数图象的画法
(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称等变换得到，可利用图象变换作出．
注：y＝(c≠0)的图象是以为对称中心以直线x＝－，y＝为渐近线的双曲线．
易错提醒：(1)画函数的图象一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
考向2　识图与辨图——师生共研
例2　(1)(2019·课标Ⅰ，5，5分)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　D　)
(2)下图可能是下列哪个函数的图象(　C　)
A．y＝2x－x2－1
B．y＝
C．y＝(x2－2x)ex
D．y＝
(3)(2021·荆州质检)若函数y＝f(x)的曲线如图所示，则函数y＝f(2－x)的曲线是(　C　)
[解析]　(1)∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
又∵f(π)＝＝>0，∴选D．
(2)函数图象过原点，所以D排除；当x>0开始时函数值是负数，而B项原点右侧开始时函数值为正数，所以B排除；当x<0时，2x<1，∴2x－x2－1<0，所以A排除；而C都满足，故选C．
(3)解法一：先关于y轴对称，得到y＝f(－x)的图象，再向右平移两个单位，即可得到y＝f[－(x－2)]＝f(2－x)的图象．所以答案为C．(注意，左右平移是针对字母x变化，上下平移是针对整个式子变化)．
解法二：由f(0)＝0知y＝f(2－x)的图象过点(2，0)，排除B、D．又f(1)＝f(2－1)>0即y＝f(2－x)在x＝1处的函数值大于0，排除A，故选C．
名师点拨　　　　　MING
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DIAN
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函数图象的识辨可从以下几方面入手
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
〔变式训练1〕
(1)(2019·课标Ⅲ，7，5分)函数y＝在[－6，6]的图象大致为(　B　)
(2)设函数f(x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是(　C　)
A．y＝f(|x|)
B．y＝－|f(x)|
C．y＝－f(－|x|)
D．y＝f(－|x|)
(3)已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是(　D　)
[解析]　(1)设f(x)＝(x∈[－6，6])，则f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除选项C；当x＝－1时，f(－1)＝－<0，排除选项D；当x＝4时，f(4)＝≈7.97，排除选项A．故选B．
(2)题图中是函数y＝－2－|x|的图象，
即函数y＝－f(－|x|)的图象，故选C．
(3)解法一：先画出函数f(x)＝的草图，令函数f(x)的图象关于y轴对称，得函数f(－x)的图象，再把所得的函数y＝f(－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f(1－x)的图象，故选D．
解法二：由已知函数f(x)的解析式，得y＝f(1－x)＝故该函数图象过点(0，3)，排除A；过点(1，1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C．选D．
考向3　函数图象的应用——多维探究
角度1　函数图象的对称性
例3　(1)(2018·课标全国Ⅲ，7)下列函数中，其图象与函数y＝ln
x的图象关于直线x＝1对称的是(　B　)
A．y＝ln(1－x)
B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x)
D．y＝ln(2＋x)
(2)已知函数f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)的图象关于下列哪个点成中心对称？(　C　)
A．(1，0)
B．(－1，0)
C．
D．
[解析]　(1)本题考查函数图象的对称性．
解法一：y＝ln
x图象上的点P(1，0)关于直线x＝1的对称点是它本身，则点P在y＝ln
x图象关于直线x＝1对称的图象上，结合选项可知，B正确．故选B．
解法二：设Q(x，y)是所求函数图象上任一点，则其关于直线x＝1的对称点P(2－x，y)在函数y＝ln
x图象上．
∴y＝ln(2－x)．故选B．
(2)f(2x＋1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移个单位得到的，故关于点成中心对称．
[小题巧解]　用特殊点的对称性解决函数图象的对称性问题．
角度2　利用函数图象研究函数性质
例4　(多选题)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　AB　)
A．函数f(x)的图象关于点(1，2)中心对称
B．函数f(x)在(－∞，1)上是减函数
C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴
D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
[解析]　因为y＝＝＝＋2.所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1，2)中心对称，在(－∞，1)上为减函数，A、B正确，D错误；易知函数f(x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误．故选A、B．
角度3　利用函数图象研究不等式
例5　设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　D　)
A．(－1，0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1，0)∪(0，1)
[解析]　f(x)为奇函数，<0?<0?xf(x)<0，由题意可知f(x)的大致图象如图所示，所以所求不等式的解集为(－1，0)∪(0，1)．
[引申]若将“奇函数f(x)”改为“偶函数f(x)”，不等式<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．
名师点拨　　　　　MING
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(1)利用函数的图象研究函数的性质
对于已知解析式，易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
(2)利用函数的图象研究不等式思路
当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1，0)对称，则g(x)的解析式为g(x)＝－ln(x－1).　
(2)(角度1)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于(　D　)
A．直线y＝0对称
B．直线x＝0对称
C．直线y＝1对称
D．直线x＝1对称
(3)(角度2)(多选题)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，则下列说法正确的是(　ABD　)
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数
C．f(x)没有最小值
D．f(x)没有最大值
(4)(角度3)函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为∪.
[解析]　(1)设P(x，y)为函数y＝g(x)上任意一点，则点P(x，y)关于点(1，0)的对称点Q(2－x，－y)在函数y＝f(x)图象上，即－y＝f(2－x)＝ln(x－1)，所以y＝－ln(x－1)，所以g(x)＝－ln(x－1)．
(2)解法一：设t＝x－1，则y＝f(t)与y＝f(－t)，关于t＝0对称，即关于x＝1对称．故选D．
解法二：y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象分别由y＝f(x)与y＝f(－x)的图象同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，所以y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选D．
(3)对于A，f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数；对于B，当x∈(－∞，2)时，f(x)＝lg(3－x)是减函数，当x∈(2，＋∞)时，f(x)＝lg(x－1)是增函数；对于C，f(x)＝lg(|x－2|＋1)≥0有最小值0；对于D，没有最大值．故选A、B、D．
(4)在上，y＝cos
x>0，在上，y＝cos
x<0.由f(x)的图象知，在上，<0.因为f(x)为偶函数，y＝cos
x也是偶函数，所以y＝为偶函数，所以<0的解集为.
名师讲坛·素养提升
MING
SHI
JIANG
TAN
SU
YANG
TI
SHENG
利用数形结合思想解题
　　例6　(2016·课标Ⅱ，12，5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝(　B　)
A．0
B．m
C．2m
D．4m
[分析]　分析出函数y＝f(x)和y＝的图象都关于点(0，1)对称，进而得两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0，1)对称，从而得出结论．
[解析]　解法一：由f(－x)＝2－f(x)可知f(x)的图象关于点(0，1)对称，又易知y＝＝1＋的图象关于点(0，1)对称，所以两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0，1)对称，∴(xi＋yi)＝0×＋2×＝m.故选B．
解法二：特例：令f(x)＝x＋1，则m＝2，又y1＋y2＝2，∴选B．
名师点拨　　　　　MING
SHI
DIAN
BO
求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程一般是：
〔变式训练3〕
函数y＝ln|x－1|的图象与函数y＝－2cos
πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　B　)
A．3
B．6
C．4
D．2
[解析]　由图象变换的法则可知，y＝ln
x的图象关于y轴对称后的图象和原来的一起构成y＝ln
|x|的图象，向右平移1个单位长度得到y＝ln|x－1|的图象；y＝－2cos
πx的周期T＝2.如图所示，两函数的图象都关于直线x＝1对称，且有3对交点，每对交点关于直线x＝1对称，故所有交点的横坐标之和为2×3＝6.
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