资源简介

第六节　二项分布、超几何分布与正态分布
一、教材概念·结论·性质重现
1．n重伯努利试验与二项分布
(1)n重伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)．
在n重伯努利试验中，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
二项分布与两点分布的联系
由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布．
2．超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布．
超几何分布的特征
(1)考察对象分两类；
(2)已知各类对象的个数；
(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体数X的概率分布．
超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
3．正态分布
(1)正态曲线
函数f(x)＝e)，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称函数f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
③曲线在x＝μ处达到峰值.
④曲线与x轴围成的面积为1.
⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图(1)所示．
⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图(2)所示．
(3)正态分布的定义及表示
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝e)，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值．
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布． (√)
(2)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布． (×)
(3)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布． (√)
(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一个球．若是白球，则取出来，若是黑球，则放回盒中，直到把白球全部取出来．设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布． (×)
(5)二项分布是一个概率分布，其公式相当于二项式(a＋b)n展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p. (×)
(6)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布密度函数，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差． (√)
2．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是(　　)
A． B． C． D．
A　解析：用X表示发芽的粒数，则X～B，则P(X＝3)＝C××＝，故播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为.
3．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，则理论上在80分到90分的人数是(　　)
A．32 B．16 C．8 D．20
B　解析：因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.682 7.根据正态曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，所以理论上在80分到90分的人数是×0.682 7×48≈16.
4．设随机变量X～B，则P(X＝3)等于(　　)
A． B． C． D．
A　解析：因为X～B，所以由二项分布可得，P(X＝3)＝C＝.
5．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X　解析：因为X～N(3,1)，所以正态曲线关于直线x＝3对称，且P(X>2c－1)＝P(X6．已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(X>0)＝0.8，则P(X≥2)＝________.
0.2　解析：随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，所以正态曲线关于x＝1对称，所以P(X≥2)＝P(X≤0)＝1－P(X>0)＝0.2.
考点1　n重伯努利试验与二项分布——综合性
考向1　n重伯努利试验及其概率
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率．
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．
(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？
解：(1)记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，则事件A1的对立事件1为“甲射击4次，全部击中目标”．由题意可知，射击4次相当于做了4次独立重复试验，
故P(1)＝C×＝.
所以P(A1)＝1－P(1)＝1－＝.
所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为.
(2)记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，
则P(A2)＝C××＝，
P(B2)＝C××＝.
由于甲、乙射击相互独立，
故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝×＝.
所以两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为.
(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i＝1,2,3,4,5)，
则A3＝D5D43(2 1∪2D1∪D21)，
且P(Di)＝.
由于各事件相互独立，故
P(A3)＝P(D5)P(D4)P(3)P(21＋2D1＋D21)＝×××＝.
所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为.
n 重伯努利试验概率求解的策略
(1)首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是否相互独立的，并且每次试验的结果是否只有两种，在任何一次试验中，某一事件发生的概率是否都相等，全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解．
(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．
考向2　二项分布
某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立．
(1)求某应聘人员被录用的概率；
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．
解：设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C．
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，
则D＝A∪BC．
因为P(A)＝×＝，
P(B)＝2××＝，
P(C)＝，
所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝.
(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，且X～B，
Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0,1,2,3,4)．
因为P(A0)＝C×＝，
P(A1)＝C××＝，
P(A2)＝C××＝，
P(A3)＝C××＝，
P(A4)＝C××＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P




二项分布概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．
为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥－80)＝________.
　解析：由题意得该产品能销售的概率为＝.易知X的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160.
设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B，
所以P(ξ＝k)＝C .
所以P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝C·＝，
P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝C＝，
P(X＝160)＝P(ξ＝4)＝C·＝.
故P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)＝.
考点2　超几何分布——综合性
在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P(M)＝＝.
(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P




(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征：
①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
1．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ.已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　)
A．10% B．20% C．30% D．40%
B　解析： 设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，所以x＝2或x＝8.
因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为＝20%.
2．(2020·贵阳市四校高三联考)高新区某高中德育处为了调查学生对“国安法”的关注情况，在全校组织了“国家安全知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩(百分制)如下：
52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94.
(1)写出该样本的中位数，若该校共有3 000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；
(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布列和数学期望．
解：(1)由已知数据可得中位数为76，样本中70分以上的所占比例为＝，
故可估计该校测试成绩在70分以上的约为
3 000×＝2 000(人)．
(2)由题意可得ξ的可能取值为0,1,2,3,4.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，
P(ξ＝3)＝＝＝，P(ξ＝4)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P




E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
考点3　正态分布——应用性
(1)(多选题)(2020·本溪高级中学期末)若随机变量ξ～N(0,1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0.下列等式成立的有(　　)
A．φ(－x)＝1－φ(x)
B．φ(2x)＝2φ(x)
C．P(|ξ|D．P(|ξ|>x)＝2－φ(x)
AC　解析：因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，所以正态曲线关于ξ＝0对称，如图．
φ(－x)＝φ(ξ≥x)＝1－φ(x)，所以A项正确；
φ(2x)＝φ(ξ≤2x)，2φ(x)＝2φ(ξ≤x)，
所以φ(2x)≠2φ(x)，B项错误；
P(|ξ|P(|ξ|>x)＝P(ξ>x或ξ<－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝1－φ(x)＋1－φ(x)＝2－2φ(x)，所以D项错误．故选AC．
(2)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为(　　)
A．0.977 25 B．0.841 35
C．0.997 3 D．0.954 5
A　解析：因为X～N(800,502)，
所以P(700≤X≤900)≈0.954 5，
所以P(X>900)≈＝0.022 75，
所以P(X≤900)≈1－0.022 75＝0.977 25.
(3)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：
①求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
②由频率分布直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在[14.55,38.45]内的概率．
附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝≈11.95.
解：①所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.
②因为Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，
所以P(14.55≤Z≤38.45)＝P(26.5－11.95≤Z≤26.5＋11.95)≈0.682 7，
所以Z落在[14.55,38.45]内的概率是0.682 7.
(1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个．
(2)利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意活用下面两个结论：
①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
②P(X＜μ－σ)＝P(X>μ＋σ)．
(2020·安庆二模)为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值的范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次，每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量(单位：mg)．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品中其主要药理成分含量服从正态分布N(μ，σ2)．
(1)假设生产状态正常，记X表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的药品件数，求P(X＝1)(精确到0.001)及X的数学期望．
(2)在一天内的四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果在一天中，有连续两次检测出现了主要药理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测．
(i)下面是检验员在某一次抽取的20件药品的主要药理成分含量：
10.02 9.78 10.04 9.92 10.14 10.04 9.22 10.13 9.91 9.95
10.09 9.96 9.88 10.01 9.98 9.95 10.05 10.05 9.96 10.12
经计算得＝i＝9.96，s＝＝≈0.19.
其中xi为抽取的第i件药品的主要药理成分含量(i＝1,2，…，20)．用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查；
(ii)试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率．(精确到0.001)
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3,0.997 319≈0.949 9，0.997 320≈0.947 4.
解：(1)抽取的一件药品的主要药理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之内的概率为0.997 3，
从而主要药理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.002 7，
故X～B(20,0.002 7)．
因此P(X＝1)≈C(0.997 3)19×0.002 7≈0.051，
X的数学期望E(X)≈20×0.002 7＝0.054.
(2)(i)由＝9.96，s＝0.19，得μ的估计值＝9.96，σ的估计值＝0.19.
由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分含量9.22在[μ－3σ，μ＋3σ]＝[9.39，10.53]之外，因此需对本次的生产过程进行检查．
(ii)设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件A，则P(A)＝1－[P(X＝0)]20≈1－(0.997 3)20≈1－0.947 4＝0.052 6；
如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的药品，
故概率p＝3[P(A)]2×[1－P(A)]2≈3×(0.052 6)2×(0.947 4)2≈0.007.
故确定一天中需对原材料进行检测的概率为0.007.

展开更多......

收起↑