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期末重难考点专题训练: 考点05 矩形、菱形、正方形
-2020-2021学年下学期八年级数学（苏科版）
一、选择题
1、如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
2、如图，已知菱形的周长为24，对角线、交于点，且，
则该菱形的面积等于　　
A．6 B．8 C．14 D．28
3、如图，四边形是菱形，，，于，则等于　　
A． B．4 C． D．5
4、如图，矩形对角线、相交于点0，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，若，，则的值为　　

A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4
5、如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
6、如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，若，则　　

A． B． C． D．
7、正方形的边长为2，在其的对角线上取一点，使得，以为边作正方形，如图所示，若以为原点建立平面直角坐标系，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，则点的坐标为　　

A．， B．， C．， D．，
8、如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE⊥CF于点G．若BC＝4，AF＝1，
则CE的长为（　　）

A．3 B． C． D．
9、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
10、如图，设四边形是边长为的正方形，以正方形的对角线为边作第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边作第三个正方形，如此下去…，记正方形的边长，依上述方法所作的正方形的边长依次为，，，…，，根据上述规律，则第个正方形的边长的表达式为（ ）

A. B. C. D.
二、填空题
11、矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝120°，AC＝6，则△ABO的周长为　 　．
12、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC＝3：2，
则∠BDF＝___________

13、如图，四边形是正方形，延长到，使，则__________°．

14、如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，
则AC的长为__________.

15、如图，平行四边形是对角线互相垂直的四边形，请你添加一个适当的条件________，使成为正方形（只需添加一个即可）．

16、如图所示，点是正方形的对角线上一点，于，于，连接，给出下列四个结论：①；?②一定是等腰三角形；??③；?
?④， 其中正确结论的序号是________．

17、如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为(8，4)，P是对角线OB上的一个动点，点
D(0，1)在y轴上，当PC＋PD最短时，点P的坐标为________．

18、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，
BD＝8，则经过________秒后，四边形BEDF是矩形．

19、点是菱形的对角线上的一个动点，已知，，点，分别是，边上的中点，则的周长最小值是　　．

20、如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若BE=2，DF=3，则AH的长为______．

三、解答题
21、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若AD＝5，BE＝3，求线段OE的长．

22、如图，是的中线，，交于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）当、之间满足什么条件时，四边形是矩形．
23、已知：如图，在?ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．

24、如图，在?ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）若EG平分∠HEF，请判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
25、如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交BA、DC的延长线于
点E、F，且AE=CF，连接DE、BF．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若∠ABD=30°，AB⊥AC．
①当AE与AB的数量关系为时，四边形BEDF是矩形；
②当AE与AB的数量关系为时，四边形BEDF是菱形．
26、如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD=12cm，AC=6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度向点D运动。
(1)若点E.?F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形。
(2)在(1)的条件下，当AB为何值时，?AECF是菱形；
(3)求(2)中菱形AECF的面积。
27、如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，，，且平分．
（1）求证：．
（2）若．求证：四边形是正方形．

28、已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、，于点，如图，，求的长．

29、如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
期末重难考点专题训练（解析）考点05：矩形、菱形、正方形
-2020-2021学年下学期八年级数学（苏科版）
一、选择题
1、如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E＝∠DAE、BD＝AC＝CE，知∠E＝∠CAE，而∠ADB＝∠CAD＝40°，可得∠E度数．
【答案】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝40°，∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E＝40°，即∠E＝20°．故选：A．
2、如图，已知菱形的周长为24，对角线、交于点，且，
则该菱形的面积等于　　
A．6 B．8 C．14 D．28
【分析】首先根据题意求出AD的长度，然后利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出AO?BO的值，最后结合三角形的面积公式即可求出答案．
【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AD＝AB＝6，
∵AC+BD＝16，
∴AO+BO＝8，
∴AO2+BO2+2AO?BO＝64，
∵AO2+BO2＝AB2，
∴AO?BO＝14，
∴菱形的面积＝4×三角形AOD的面积＝4××14＝28，
故选：D．
3、如图，四边形是菱形，，，于，则等于　　
A． B．4 C． D．5
【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度．
【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，
∴BC＝5，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝×6×8＝24，
∵S菱形ABCD＝BC×AH，
∴BC×AH＝24，
∴AH＝
故选：C．
4、如图，矩形对角线、相交于点0，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，若，，则的值为　　

A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4
【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，可求得OA＝OD＝，然后由S△AOD
＝S△AOP+S△DOP求得答案．
【答案】解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝5，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OD＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝3，
∴PE+PF＝＝2.4．
故选：D．
5、如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
【分析】连接OE，由AC，BD互相平分得出四边形ABCD是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线性质推出AC＝BD，则四边形ABCD是矩形，再由勾股定理即可得出结果．
【解答】解：连接OE，如图所示：
∵2AB＝BC＝4，∴AB＝2，
∵AC，BD互相平分，∴OA＝OC，OB＝OD，四边形ABCD是平行四边形，
∵以AC为斜边作Rt△ACE，∴OE＝OA＝OC＝AC，
∵BE⊥DE，∴OE＝OB＝OD＝BD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝2，
故选：A．
6、如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，若，则　　

A． B． C． D．
【分析】先证明△ABE≌△ADE，得到∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°，在△ADE中利用三角形内角和180°可求∠AED度数．
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．
又AD＝AD，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°．
∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．
故选：C．
7、正方形的边长为2，在其的对角线上取一点，使得，以为边作正方形，如图所示，若以为原点建立平面直角坐标系，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，则点的坐标为　　

A．， B．， C．， D．，
【分析】作辅助线，根据正方形对角线平分内角的性质可证明△AGH是等腰直角三角形，计算GH和BH的长，可解答．
【答案】解：过G作GH⊥x轴于H，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，
∵四边形AEFG是正方形，AE＝AB＝2，∴∠EAG＝90°，AG＝2，∴∠HAG＝45°，
∵∠AHG＝90°，∴AH＝GH＝，∴G（，2+），故选：D．
8、如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE⊥CF于点G．若BC＝4，AF＝1，
则CE的长为（　　）

A．3 B． C． D．
【分析】先根据同角的余角相等得∠CBE＝∠DCF，再证明△BCE≌△CDF，得CE＝DF，便可求得结果．
【答案】解：正方形ABCD中，∵BC＝4，∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵BE⊥CF于点G．∴∠CBG+∠BCG＝∠BCG+∠DCF＝90°，∴∠CBE＝∠DCF，
在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（ASA），∴CE＝DF，
∵DF＝AD﹣AF＝4﹣1＝3，∴CE＝3．故选：A．
9、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
【答案】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，∴GH=BF，
∵BC＝4、CF＝CD﹣DF＝4﹣1＝3，

故选：B．

10、如图，设四边形是边长为的正方形，以正方形的对角线为边作第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边作第三个正方形，如此下去…，记正方形的边长，依上述方法所作的正方形的边长依次为，，，…，，根据上述规律，则第个正方形的边长的表达式为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求a2的长即AC的长，根据直角△ABC中AB2＋BC2＝AC2可以计算，同理计算a3、a4．由求出的a2＝a1，a3＝a2…，an＝an?1可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式．
【详解】∵a2＝AC，且在直角△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，
∴a2＝a1＝，
同理a3＝a2＝()2a1＝2，
a4＝a3＝()3a1＝2；
由此可知：
a2＝a1＝，a3＝a2＝()2a1＝2，a4＝a3＝()3a1＝2?；…
故找到规律an＝()n?1＝. 故选D．
二、填空题
11、矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝120°，AC＝6，则△ABO的周长为　 　．
【分析】根据矩形的性质得出OA＝OB＝3，再证明△OAB是等边三角形，即可求出结果．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=AC＝3，OB=BD，AC＝BD＝6，∴OA＝OB＝3，
∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝OA＝3，∴△ABO的周长＝OA+AB+OB＝3OA＝9；
故答案为：9．
12、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC＝3：2，
则∠BDF＝___________

【分析】根据∠ADC＝90°，求出∠CDF和∠ADF，根据矩形性质求出OD＝OC，推出∠BDC＝∠DCO，求出∠BDC，即可求出答案．
【答案】解：设∠ADF＝3x，∠FDC＝2x，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴2x+3x＝90°，∴x＝18°，即∠FDC＝2x＝36°，
∵DF⊥AC，∴∠DMC＝90°，∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2OC，BD＝2OD，AC＝BD，∴OD＝OC，
∴∠BDF＝∠BDC﹣∠FDC＝54°﹣36°＝18°，
13、如图，四边形是正方形，延长到，使，则__________°．

【答案】22.5
【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=∠ACB=45°，再根据AC=AE求出∠ACE=67.5°，
由此即可求出答案.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠DCB=90°，
∵AC是对角线，∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵AC=AE,∴∠ACE=67.5°，∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°，
故答案为：22.5°.
14、如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，
则AC的长为__________.

【答案】6
【解析】∵菱形ABCD中，AB=4，AD的垂直平分线交AC于点N，∴CD=AB=4，AN=DN，
∵△CDN的周长=CN+CD+DN=10，∴CN+4+AN=10，
∴CN+AN=AC=6. 故答案为6.
15、如图，平行四边形是对角线互相垂直的四边形，请你添加一个适当的条件________，使成为正方形（只需添加一个即可）．

【答案】
【分析】由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出四边形ABCD菱形，再由∠ABC＝90°，即可判定四边形ABCD是正方形．
【详解】添加条件：∠ABC＝90°；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形．
16、如图所示，点是正方形的对角线上一点，于，于，连接，给出下列四个结论：①；?②一定是等腰三角形；??③；?
?④， 其中正确结论的序号是________．

【答案】①③④
【分析】连接PC，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABP＝∠CBP＝45°，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP＝PC，对应角相等可得∠BAP＝∠BCP，再根据矩形的对角线相等可得EF＝PC，对边相等可得PF＝EC，再判断出△PDF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答即可．
【详解】解：如图，连接PC，
在正方形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝45°，AB＝CB，
∵在△ABP和△CBP中，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，
又∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形PECF是矩形，∴PC＝EF，∠BCP＝∠PFE，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①③正确；
∵PF⊥CD，∠BDC＝45°，∴△PDF是等腰直角三角形，∴PD＝PF，
又∵矩形的对边PF＝EC，∴PD＝EC，故④正确；
只有点P为BD的中点或PD＝AD时，△APD是等腰三角形，故②错误；
综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为①③④．

17、如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为(8，4)，P是对角线OB上的一个动点，点
D(0，1)在y轴上，当PC＋PD最短时，点P的坐标为________．

【答案】（，）
【分析】如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．首先说明点P就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线OB、DA，列方程组即可解决问题．
【详解】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．

在Rt△OBK中，OB===4，
∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2，
设OA=AB=x，
在Rt△ABK中，∵AB2=AK2+BK2，∴x2=（8-x）2+42，∴x=5， ∴A（5，0），
∵A、C关于直线OB对称，∴PC+PD=PA+PD=DA，∴此时PC+PD最短，
∵直线OB解析式为y=x，直线AD解析式为y=-x+1，
由 解得，∴点P坐标（，），
故答案为（，）.
18、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，
BD＝8，则经过________秒后，四边形BEDF是矩形．

【答案】2或8
【解析】
【分析】设经过t秒后，四边形BPDE是矩形；由平行四边形的性质得出OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=4，得出OE=OF，证出四边形BFDE是平行四边形，当EF=BD，即OE=OD时，四边形BFDE是矩形，得出6-t=4，或t-6=2，解方程即可．
【详解】解：设经过t秒后，四边形BPDQ是矩形；则AE=CF=t，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=4，
∴OE=OF，∴四边形BFDE是平行四边形，
当EF=BD，即OE=OD时，四边形BFDE是矩形，
此时6-t=4，或t-6=2，解得：t=2，或t=8，
即经过2秒或8秒后，四边形BPDE是矩形. 故答案为: 2或8.
19、点是菱形的对角线上的一个动点，已知，，点，分别是，边上的中点，则的周长最小值是　　．

【分析】作M关于AC的对称点M'，连接M'N，则△MPN的周长最小值为MN+M'N；MN＝AC＝，M'N＝CD＝1，即可求解；
【答案】解：作M关于AC的对称点M'，连接M'N，
则△MPN的周长最小值为MN+M'N；
∵菱形ABCD，点M，N分别是AB，BC边上的中点，∴MN＝AC，
∵AB＝1，∠ADC＝120°，∴AC＝，∴MN＝，
∵M'N∥CD，∴M'N＝CD＝1，∴MN+M'N＝1+，
∴△MPN的周长最小值为1+，故答案为1+；

20、如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若BE=2，DF=3，则AH的长为______．

【答案】6．
【解析】由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．
∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°．
又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE．
在△GAE和△FAE中 ，∴△GAE≌△FAE．
∵AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB=AH，GE=EF=5．
设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．解得：x=6．
∴AB=6．∴AH=6．
三、解答题
21、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若AD＝5，BE＝3，求线段OE的长．

【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理求出AE，求得AC＝4，由直角三角形的性质即可得到结论．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，即AF∥EC，
∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，四边形AECF为矩形，且BE＝3，AD＝5
∴OA＝OC，AB＝BC＝AD＝5 DF＝EB＝3，∠AEC＝90°，

∵OA＝OC，∠AEC＝90°，

22、如图，是的中线，，交于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）当、之间满足什么条件时，四边形是矩形．
【分析】（1）由“AAS”可证△AFE≌△DFB；
（2）由全等三角形的性质和中线性质可得AE＝CD，且AE∥BC，可证四边形ADCE是平行四边形；
（3）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，即可得四边形ADCE是矩形．
【答案】证明：（1）∵AE∥BC，∴∠AEF＝∠DBF，且∠AFE＝∠DFB，AF＝DF
∴△AFE≌△DFB（AAS）
（2）∵△AFE≌△DFB，∴AE＝BD，
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴AE＝CD
∵AE∥BC， ∴四边形ADCE是平行四边形；
（3）当AB＝AC时，四边形ADCE是矩形；
∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°
∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是矩形
∴当AB＝AC时，四边形ADCE是矩形．
23、已知：如图，在?ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．

解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：四边形BEDF是菱形；
理由如下：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，∴DE=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，∴OB=OD，
∵DG=BG，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．

24、如图，在?ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）若EG平分∠HEF，请判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△AEH≌△CGF，得EH＝GF，同理△BEF≌△DGH（SAS），得EF＝GH，即可得出四边形EFGH是平行四边形；
（2）由（1）知四边形EFGH是平行四边形，再证得该平行四边形的邻边相等即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH＝GF，
同理：△BEF≌△DGH（SAS），∴EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：四边形EFGH是菱形，理由如下：
由（1）得：四边形EFGH为平行四边形．∴EH∥FG，∴∠HEG＝∠FGE．
∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，
∴EF＝GF，∴EFGH是菱形．
25、如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交BA、DC的延长线于
点E、F，且AE=CF，连接DE、BF．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若∠ABD=30°，AB⊥AC．
①当AE与AB的数量关系为时，四边形BEDF是矩形；
②当AE与AB的数量关系为时，四边形BEDF是菱形．
解析：（1）证明：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BA∥DC，BO=DO，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（SAS）；
（2）解：①当AB=AE时，四边形BEDF是矩形；
理由：∵△AOE≌△COF，∴EO=FO，
又∵BO=DO，∴四边形BEDF是平行四边形，
∵AB⊥AC，AB=AE，∴BO=EO，∴BD=EF，
∴平行四边形BEDF是矩形；
故答案为：AB=AE；
②当AE与AB的数量关系为 3AE=AB时，四边形BEDF是菱形，
理由：∵∠ABD=30°，AB⊥AC，∴设AO=x，则AB=x，BO=2x，
∵3AE=AB，∴AE=x，由AO=x，故EO=x，
∵（x）2+（2x）2=（x+x）2，
∴△BOE是直角三角形，即∠BOE=90°，
∴平行四边形BEDF是菱形．
故答案为：AB=3AE．

26、如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD=12cm，AC=6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度向点D运动。
(1)若点E.?F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形。
(2)在(1)的条件下，当AB为何值时，?AECF是菱形；
(3)求(2)中菱形AECF的面积。
解析：（1）若四边形AECF为平行四边形，∴AO=OC，EO=OF，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO=OD=6cm，
∴EO=6-t，OF=2t，∴6-t=2t，∴t=2s，
∴当t为2秒时，四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD，
∴AO2+BO2=AB2，∴AB=3；
∴当AB为3时，?AECF是菱形；
（3）∵四边形AECF是菱形，∴BO⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，∴BE=DF，∴t=6-2t，∴t=2，
∴BE=DF=2，∴EF=8，
∴菱形AECF的面积=AC?EF=×6×8=24．
27、如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，，，且平分．
（1）求证：．
（2）若．求证：四边形是正方形．

【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明有一组邻边相等，然后结合∠EFG＝90°，即可证得该平行四边形是正方形．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C．
在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D．
∵AE＝CG，AH＝CF，∴EB＝DG，HD＝BF．
∴△BEF≌△DGH（SAS），∴EF＝HG．
又∵△AEH≌△CGF，∴EH＝GF．
∴四边形HEFG为平行四边形．∴EH∥FG，∴∠HEG＝∠FGE．
∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，
∴EF＝GF，∴四边形EFGH是菱形．
又∵∠EFG＝90°，∴平行四边形EFGH是正方形．

28、已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、，于点，如图，，求的长．

【分析】延长CB至E，使BE＝DN，推出Rt△AEB≌Rt△AND，△AEM≌△ANM，得到AB＝AH，根据全等三角形的性质得到BM＝HM＝2，同理DN＝HN＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【答案】解：延长CB至E，使BE＝DN，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，
在Rt△AEB和Rt△AND中，，∴Rt△AEB≌Rt△AND，
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，
在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM，∴S△AEM＝S△ANM，EM＝MN，
∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB＝AH，∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD，
在Rt△ABM与Rt△AHM中，，∴Rt△ABM≌Rt△AHM，∴BM＝HM＝2，
同理DN＝HN＝3，
设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，
∴52＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，
解得x1＝6，x2＝﹣1（不符合题意，舍去），∴AH＝6．

29、如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，即可得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF即可；
（2）同（1）的方法证出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，得出CE+CG＝CE+AE＝AC＝8即可．
【答案】解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，
（2）CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，
∴CE+CG＝8是定值．

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