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3．牛顿第二定律
[核心素养·明目标]
核心素养 学习目标
物理观念 1．掌握牛顿第二定律的内容和数学表达式。
2．知道国际单位制中力的单位是怎样定义的。
科学探究 通过分析探究实验的数据，能够得出牛顿第二定律的数学表达式F＝kma，培养学生分析数据、从数据获取规律的能力。
科学思维 1．能够从合力与加速度的同时性、矢量性等方面理解牛顿第二定律，理解牛顿第二定律是连接运动与力之间关系的桥梁。
2．会运用牛顿第二定律分析和处理实际生活中的简单问题。
科学态度与责任 通过牛顿第二定律的应用能够体会物理的实用价值、培养学生关注生活、关注实际的态度。
知识点一　牛顿第二定律的表达式
1．内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。
2．表达式：F＝kma，式中k是比例系数，F是物体所受的合力。
3．意义：牛顿第二定律不仅阐述了力、质量和加速度三者数量间的关系，还明确了加速度的方向与力的方向一致。
　实际物体所受的力往往不止一个，式中F指的是物体所受的合力。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)牛顿第二定律既明确了力、质量、加速度三者的数量关系，也明确了加速度与力的方向关系。 (√)
(2)由F＝kma可知，物体所受的合外力与物体的质量成正比，与物体的加速度成反比。 (×)
(3)加速度的方向决定了合外力的方向。 (×)
　“由F＝ma可知，当F＝0时a＝0，即物体静止或做匀速直线运动，所以牛顿第一定律是牛顿第二定律的特例。”这种说法正确吗，为什么？
提示：不正确，因为物体所受合力为零和不受任何外力作用是两种不同的状态。
知识点二　力的单位
1．比例系数k的意义：F＝kma中k的数值由F、m、a三个物理量的单位共同决定，若三量都取国际单位，则k＝1，所以牛顿第二定律的表达式可写成F＝ma。
2．力的单位：牛顿，符号是N。
3．1 N的物理意义：使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力，称为1 N，即1 N＝1 kg·m/s2。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)使质量是1 g的物体产生1 cm/s2的加速度的力叫作1 N。 (×)
(2)公式F＝ma中，各量的单位可以任意选取。 (×)
(3)牛顿第二定律表达式F＝kma中的系数k总等于1。 (×)
考点1　对牛顿第二定律的理解
如图所示，小明用力拉地面上的箱子，但箱子没动，请思考：
(1)根据牛顿第二定律，有力就能产生加速度，但为什么箱子一直没动呢？
(2)如果箱底光滑，当拉力作用在箱子上的瞬间，箱子是否立刻获得加速度？是否立刻获得速度？
提示：(1)牛顿第二定律F＝ma中的力F指的是物体受的合力，尽管小明对箱子有一个拉力作用，但箱子受的合力为零，所以不能产生加速度。
(2)加速度与力之间是瞬时对应关系，有力就立刻获得加速度，但速度的获得需要一段时间，故不能立刻获得速度。
1．对牛顿第二定律的理解
(1)公式F＝ma中，若F是合力，加速度a为物体的实际加速度；若F是某一个力，加速度a为该力产生的加速度。
(2)a＝是加速度的决定式，它揭示了物体产生加速度的原因及影响物体加速度的因素。
(3)F、m、a三个物理量的单位都为国际单位制时，才有公式F＝kma中k＝1，即F＝ma。
2．牛顿第二定律的六个性质
性质 理解
因果性 力是产生加速度的原因，只要物体所受的合力不为0，物体就具有加速度
矢量性 F＝ma是一个矢量式。物体的加速度方向由它受的合力方向决定，且总与合力的方向相同
瞬时性 加速度与合外力是瞬时对应关系，同时产生、同时变化、同时消失
同体性 F＝ma中F、m、a都是对同一物体而言的
独立性 作用在物体上的每一个力都产生加速度，物体的实际加速度是这些加速度的矢量和
相对性 物体的加速度是相对于惯性参考系而言的，即牛顿第二定律只适用于惯性参考系
3．力与运动的关系
【典例1】　(多选)下列对牛顿第二定律的表达式F＝ma及其变形公式的理解，正确的是(　　)
A．由F＝ma可知，物体所受的合外力与物体的质量成正比，与物体的加速度成正比
B．由m＝可知，物体的质量与其所受的合外力成正比，与其运动的加速度成反比
C．由a＝可知，物体的加速度与其所受的合外力成正比，与其质量成反比
D．由m＝可知，物体的质量可以通过测量它的加速度和它所受的合外力而求出
CD　[注意物理公式不同于数学公式，不能单从形式上判断正比和反比关系，要从物理量之间的数量关系，即已知两个量，可求第三个量。作用在物体上的合外力，可由物体的质量和加速度计算，但并不由它们决定，A项错误；质量是物体的属性，由物体本身决定，与物体是否受力无关，B项错误；由牛顿第二定律知，加速度与合外力成正比，与质量成反比，m可由其他两个量求得，C、D两项正确。]
(1)不能由m＝得出m∝F，m∝的结论，因为物体的质量与受力和加速度无关，而是由m＝ρV决定。
(2)不能由F＝ma得到F∝m，F∝a的结论，因为F是物体受到的合力，与质量m和加速度a无关。合力F由物体实际受到的力决定。
1．(多选)关于速度、加速度、合力的关系，下列说法正确的是(　　)
A．原来静止在光滑水平面上的物体，受到水平推力的瞬间，物体立刻获得加速度
B．加速度的方向与合力的方向总是一致的，但与速度的方向可能相同，也可能不同
C．在初速度为0的匀加速直线运动中，速度、加速度与合力的方向总是一致的
D．合力变小，物体的速度一定变小
ABC　[由牛顿第二定律可知选项A、B正确；初速度为0的匀加速直线运动中，v、a、F三者的方向相同，选项C正确；合力变小，加速度变小，但速度是变大还是变小取决于加速度与速度的方向关系，选项D错误。]
考点2　牛顿第二定律的简单应用
行车时驾驶员及乘客必须系好安全带，以防止紧急刹车时造成意外伤害。请思考：
(1)汽车突然刹车，要在很短时间内停下来，会产生很大的加速度，这时如何知道安全带对人的作用力大小呢？
(2)汽车启动时，安全带对驾驶员产生作用力吗？
提示：(1)汽车刹车时的加速度可由刹车前的速度及刹车时间求得，由牛顿第二定律F＝ma可求得安全带产生的作用力大小。
(2)汽车启动时，有向前的加速度，此时座椅的后背对驾驶员产生向前的作用力，安全带不会对驾驶员产生作用力。
1．牛顿第二定律在定性分析问题中的应用
(1)物体的运动情况由其受力情况决定。分析运动过程要由分析受力入手，再根据牛顿第二定律分析物体的运动情况和加速度变化情况。
(2)应用牛顿第二定律的一般步骤
①确定研究对象。
②进行受力分析和运动情况分析，作出受力和运动的示意图。
③求合力F或加速度a。
④根据F＝ma列方程求解。
2．求解加速度的两种方法
(1)合成法：若物体只受两个力作用时，应用平行四边形定则求这两个力的合力的大小，再应用牛顿第二定律求加速度的大小，物体所受合外力的方向即为加速度的方向。
(2)正交分解法：当物体受多个力作用处于加速状态时，常用正交分解法求物体所受的合力，再应用牛顿第二定律求加速度。为减少矢量的分解以简化运算，建立坐标系时，可有如下两个角度：
分解力 通常以加速度a的方向为x轴正方向，建立直角坐标系，将物体所受的各个力分解在x轴和y轴上，分别得x轴和y轴的合力Fx和Fy，得方程
分解加速度 若物体所受各力都在互相垂直的方向上，但加速度却不在这两个方向上，这时可以力的方向为x轴、y轴正方向，只需分解加速度a，得ax和ay，根据牛顿第二定律得方程
【典例2】　如图所示，沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中，悬挂小球的悬线偏离竖直方向的夹角θ＝37°，小球和车厢相对静止，小球的质量为1 kg。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2。求：
(1)车厢运动的加速度并说明车厢的运动情况；
(2)悬线对小球的拉力大小。
思路点拨：①小球所受合外力的方向与加速度的方向相同。②小球受两个力作用，可用力的合成法或正交分解法求解。③小球与小车相对静止，则小球的加速度就是小车的加速度。
[解析]　解法一：合成法
(1)由于车厢沿水平方向运动，所以小球有水平方向的加速度，所受合力F沿水平方向。
选小球为研究对象，受力分析如图甲所示。
甲
由几何关系可得F＝mgtan θ，
小球的加速度a＝＝gtan θ＝7.5 m/s2，方向向右，
则车厢做向右的匀加速直线运动或向左的匀减速直线运动。
(2)悬线对小球的拉力大小为
FT＝＝ N＝12.5 N。
解法二：
正交分解法
以水平向右为x轴正方向建立坐标系，并将悬线对小球的拉力FT正交分解，如图乙所示。
乙
则沿水平方向有FTsin θ＝ma
竖直方向有FTcos θ－mg＝0
联立解得a＝7.5 m/s2，FT＝12.5 N，
且加速度方向向右，故车厢做向右的匀加速直线运动或向左的匀减速直线运动。
[答案]　(1)见解析　(2)12.5 N
正交分解法
物体在三个或三个以上的力作用下做匀变速直线运动时往往采用正交分解法解决问题。
(1)正交分解的方法是常用的矢量运算方法，其实质是将复杂的矢量运算转化为简单的代数运算，常见的是沿加速度方向和垂直加速度方向建立坐标系。
(2)坐标系的建立并不一定必须沿加速度方向，应以解题方便为原则，在建立直角坐标系时，不管选取哪个方向为x轴正方向，最后得到的结果都应该是一样的。
2．(2020·山东师范大学附属中学高一上月考)某一水平恒力能使质量为m1的物体在光滑水平面上产生大小为a1的加速度，也能使质量为m2的物体在光滑水平面上产生大小为a2的加速度，若此水平恒力作用在质量为(m1＋m2)的物体上，使其在光滑水平面上产生的加速度为a，则a与a1、a2之间满足的关系为(　　)
A．a＝a1＋a2　　　　　　 B．a＝
C．a＝ D．a＝
B　[设水平恒力大小为F，将质量为m1、m2的物体看成一个整体，根据牛顿第二定律可得F＝(m1＋m2)a，分别以两物体为研究对象，根据牛顿第二定律可得F＝m1a1，F＝m2a2，联立解得a＝，故B正确。]
考点3　用牛顿第二定律求瞬时加速度
合力随时间改变时，加速度也随时间改变。如图所示，篮球离开手后的瞬间，请问：这样画篮球的受力和加速度对吗？(不计空气阻力)
提示：受力正确，加速度错误，加速度方向应竖直向下。
1．瞬时加速度问题：牛顿第二定律是力的瞬时作用规律，加速度和力同时产生、同时变化、同时消失。分析物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析该时刻前后物体的受力情况及其变化。
2．两种基本模型
刚性绳模型(细钢丝、细线、轻杆等) 此类形变属于微小形变，其发生和变化过程时间极短，在物体的受力情况改变(如某个力消失)的瞬间，其形变可随之突变，弹力可以突变
轻弹簧模型(轻弹簧、橡皮绳、弹性绳等) 此类形变属于明显形变，其发生改变需要一段的时间，在瞬时问题中，其弹力的大小不能突变，可看成是不变的
【典例3】　(多选)如图所示，质量为m的小球被一根橡皮筋AC和一根绳BC系住，当小球静止时，橡皮筋处在水平方向上。下列判断正确的是(　　)
A．在AC被突然剪断的瞬间，BC对小球的拉力不变
B．在AC被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为gsin θ
C．在BC被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为
D．在BC被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为gsin θ
思路点拨：解答本题应把握以下两点：
(1)在AC被突然剪断的瞬间，BC对小球的拉力发生突变。
(2)在BC被突然剪断的瞬间，橡皮筋AC的弹力不能突变。
BC　[设小球静止时绳BC的拉力为F，橡皮筋AC的拉力为T，由平衡条件可得：Fcos θ＝mg，Fsin θ＝T，解得：F＝，T＝mgtan θ。在AC被突然剪断的瞬间，BC上的拉力F发生了突变，小球的加速度方向沿与BC垂直的方向且斜向下，大小为a＝＝gsin θ，B正确，A错误；在BC被突然剪断的瞬间，橡皮筋AC的拉力不变，小球的合力大小与BC被剪断前的拉力大小相等，方向沿BC方向斜向下，故加速度a＝＝，C正确，D错误。]
[母题变式]　
如果将[典例3]中的BC绳换成轻弹簧，橡皮筋AC换成细线，如图所示。求剪断细线AC的瞬间小球的加速度。(重力加速度为g)
[解析]　水平细线AC剪断瞬间，小球所受重力mg和弹簧弹力FT不变，小球的加速度a方向水平向右，如图所示，则
mgtan θ＝ma，所以a＝gtan θ。
[答案]　gtan θ，方向水平向右
解决瞬时性问题的基本思路
(1)分析原状态(给定状态)下物体的受力情况，求出各力大小(①若物体处于平衡状态，则利用平衡条件；②若处于加速状态，则利用牛顿第二定律)。
(2)分析当状态变化时(剪断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等)，哪些力变化，哪些力不变，哪些力消失(被剪断的绳、弹簧中的弹力，发生在被撤去物接触面上的弹力都立即消失)。
(3)求物体在状态变化后所受的合外力，利用牛顿第二定律，求出瞬时加速度。
3．如图所示，物块1、2间用刚性轻质杆连接，物块3、4间用轻质弹簧相连，物块1、3的质量均为m，物块2、4的质量均为M，两个系统均置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。现将两木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，物块1、2、3、4的加速度大小分别为a1、a2、a3、a4。重力加速度大小为g，则有(　　)
A．a1＝a2＝a3＝a4＝0
B．a1＝a2＝a3＝a4＝g
C．a1＝a2＝g，a3＝0，a4＝g
D．a1＝g，a2＝g，a3＝0，a4＝g
C　[在抽出木板的瞬间，物块1、2与刚性轻杆接触处的形变立即消失，受到的合力均等于各自重力，所以由牛顿第二定律知a1＝a2＝g；而物块3、4间的轻弹簧的形变还来不及改变，此时弹簧对物块3向上的弹力大小和对物块4向下的弹力大小仍为mg，因此物块3满足mg＝F，a3＝0；由牛顿第二定律得物块4满足a4＝＝g，所以C正确。]
1．(多选)下列对牛顿第二定律的理解正确的是(　　)
A．由F＝ma可知，F与a成正比，m与a成反比
B．牛顿第二定律说明当物体有加速度时，物体才受到外力的作用
C．加速度的方向总跟合外力的方向一致
D．当外力停止作用时，加速度随之消失
CD　[物体所受外力和物体的质量与加速度无关，故选项A错误；B项违反了因果关系；选项C、D符合牛顿第二定律的矢量性和瞬时性关系，故选项C、D正确。]
2．力F1作用在物体上产生的加速度a1＝3 m/s2，力F2作用在该物体上产生的加速度a2＝4 m/s2，则F1和F2同时作用在该物体上，产生的加速度a的大小不可能为(　　)
A．7 m/s2　　　 B．5 m/s2
C．1 m/s2 D．8 m/s2
D　[加速度a1、a2的方向不确定，故合加速度a的范围为|a1－a2|≤a≤a1＋a2，即1 m/s2≤a≤7 m/s2，故D错误。]
3．A、B两球用细线悬挂于天花板上且静止不动，两球质量之比mA∶mB＝5∶3，两球间连接一个轻弹簧(如图所示)，如果突然剪断细线，则在剪断细线瞬间，A球、B球的加速度分别为(已知重力加速度为g)(　　)
A．g，g B．1.6g,0
C．0.6g,0 D．0，g
B　[由于在剪断细线的瞬间，A、B仍在原来的位置，所以轻弹簧的形变量还未发生变化，即轻弹簧中的弹力大小、方向均未发生变化，由系统原来静止可知，轻弹簧弹力大小为mBg，所以剪断细线瞬间B球的合外力仍为零，加速度也为零，而A球所受的合外力大小为mBg，所以A球加速度为1.6g，故B正确。]
4．有经验的司机能通过控制油门使汽车做匀加速直线运动，某品牌轿车连同司机在内总质量为m＝1 500 kg，当轿车受到大小为F1＝500 N的牵引力时恰好在水平路面上匀速行驶。现司机通过控制油门使轿车受到F2＝2 000 N的牵引力，从v0＝5 m/s开始加速，假设汽车运动时所受的阻力保持不变，试求：
(1)轿车运动过程中所受到的阻力大小；
(2)轿车做加速运动时的加速度大小；
(3)轿车开始加速后3 s内通过的位移大小。
[解析]　(1)轿车匀速运动时受力平衡，则Ff＝F1＝500 N。
(2)由牛顿第二定律：F2－Ff＝ma，
则a＝
代入数据得a＝1 m/s2。
(3)轿车做匀加速运动的位移为x＝v0t＋at2
代入数据得x＝19.5 m。
[答案]　(1)500 N　(2)1 m/s2　(3)19.5 m
5．情境火箭起源于中国，是我国古代的重大发明之一。在航天技术中，火箭是把航天器送入太空的运载工具之一。在航天器发射的初始阶段，火箭通过燃烧消耗燃料向后吐着长长的“火舌”，推动着航天器竖直上升。设“火舌”产生的推动力大小保持不变且不计空气阻力。问题：
(1)则在这个过程中，航天器的加速度将如何变化？
(2)速度将如何变化？
[解析]　(1)由于推动力F不变，不计空气阻力，随着燃料燃烧消耗，航天器质量减小，根据航天器所受合外力
F合＝F－f－mg增大
由牛顿第二定律可得
a＝
故加速度变大。
(2)对航天器，由运动学公式
v＝at
可知速度变大。
[答案]　(1)变大　(2)变大
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．牛顿第二定律的内容是怎样表述的？
提示：牛顿第二定律的内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。
2．牛顿第二定律的比例式如何表示？
提示：a∝，也可以写成等式：F＝kma。
3．式中各物理量的单位是什么，其中力的单位“牛顿”是怎样定义的？
提示：F的单位：N；m的单位：kg；a的单位：m/s2；能使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力定义为1牛顿。
4．当物体受到几个共点力的作用时，式中的F指什么？此时的比例式如何表示？
提示：F指合外力，m＝。
用动力学方法测质量
大家知道，质量可以用天平来测量。但是在太空，物体完全失重，用天平无法测量质量，那么应该如何测量呢？
图　太空中质量的测量
由牛顿第二定律F＝ma可知，如果给物体施加一个已知的力，并测得物体在这个力作用下的加速度，就可以求出物体的质量。这就是动力学测量质量的方法。
北京时间2013年6月20日上午10时，我国航天员在天宫一号空间实验室进行了太空授课，演示了包括质量的测量在内的一系列实验。
质量的测量是通过舱壁上打开的一个支架形状的质量测量仪完成的。测量时，航天员把自己固定在支架的一端，
另外一名航天员将支架拉开到指定的位置。松手后，支架拉着航天员从静止返回到舱壁(图)。支架能够产生一个恒定的拉力F；用光栅测速装置能够测量出支架复位的速度v和时间t，从而计算出加速度a。这样，就能够计算出航天员的质量m。
　你能设计出一种在太空中测量质量的方法吗？
提示：用弹簧测力计匀加速拉动物体，从静止开始前进位移x，所用时间为t，则x＝at2，F＝ma，得m＝。

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