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第三节　函数的奇偶性与周期性
[基础梳理]
1．函数的奇偶性
奇偶性
条件
图像特点
偶函数
对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)
关于y轴对称
奇函数
对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．
1．奇、偶函数的一个必要不充分条件
奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．奇偶性的两个等价定义在定义域内恒有若f(－x)＋f(x)＝0或＝－1(f(x)≠0)，则f(x)为奇函数，
若f(－x)－f(x)＝0或＝1(f(x)≠0)，则f(x)为偶函数．
3．奇偶性的六个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
(6)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
4．函数周期性常用的结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x，
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a≠0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a≠0)．
5．函数对称性问题的结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称；
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称；
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．
1．(基础点：函数奇偶性判断)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)
A．y＝x＋1　　　　　　　
B．y＝－x3
C．y＝
D．y＝x|x|
答案：D
2．(基础点：奇函数定义)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则f(－1)＝________．
答案：1－e
3．(易错点：奇函数)(2018·高考全国卷Ⅰ改编)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，则a＝________．
答案：1
4．(基础点：奇函数图像对称性)函数f(x)＝的对称中心为________．
答案：(0，0)
考点一　函数奇偶性的判断
挖掘1　判断具体函数的奇偶性/
自主练透
[例1]　(1)已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在R上是增函数
B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数
D．是奇函数，且在R上是减函数
[解析]　x∈R，f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，f(x)为奇函数，又因y1＝3x为增函数，y2＝－为增函数，故y＝3x－为增函数，故选B.
[答案]　B
(2)函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的奇偶性是(　　)
A．奇函数　　　　　　　　　
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
[解析]　由，知x＞1，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．
[答案]　C
(3)函数f(x)＝＋，则f(x)为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．非奇非偶函数
[解析]　由得x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1，1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，故f(x)既是奇函数，又是偶函数，故选C.
[答案]　C
[破题技法]　1.函数y＝f(x)具有奇偶性，首先其定义域必须关于原点对称，这样f(x)与f(－x)才有意义．
2．对一个函数而言，其奇偶性结果为：是偶函数，是奇函数，既是奇函数又是偶函数，是非奇非偶函数，必具其一．
挖掘2　判断非具体函数的奇偶性/
互动探究
[例2]　(1)已知y＝f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是(　　)
A．f(x－1)＋1是偶函数　
B．f(－x＋1)－1是奇函数
C．f(x＋1)＋1是偶函数
D．f(x＋1)－1是奇函数
[解析]　根据题中条件可知函数f(x)的图像关于点(1，1)中心对称，故f(x＋1)的图像关于点(0，1)中心对称，则f(x＋1)－1的图像关于点(0，0)中心对称，所以f(x＋1)－1是奇函数．故选D.
[答案]　D
(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
[解析]　由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|·g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)·|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.
[答案]　C
[破题技法]　判定奇偶性的方法
(1)定义法：
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)图像法：
(3)性质法：利用奇偶性的运算关系．
考点二　函数的周期性及应用
挖掘　利用周期求值/
互动探究
[例]　(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知?(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足?(1－x)＝?(1＋x)．若?(1)＝2，则?(1)＋?(2)＋?(3)＋…＋?(50)＝(　　)
A．－50　　
B．0　　　
C．2　　　
D．50
[解析]　∵?(x)是奇函数，∴?(－x)＝－?(x)，
∴?(1－x)＝－?(x－1)．由?(1－x)＝?(1＋x)，
∴－?(x－1)＝?(x＋1)，∴?(x＋2)＝－?(x)，
∴?(x＋4)＝－?(x＋2)＝－[－?(x)]＝?(x)，
∴函数?(x)是周期为4的周期函数．
由?(x)为奇函数得?(0)＝0.
又∵?(1－x)＝?(1＋x)，
∴?(x)的图像关于直线x＝1对称，
∴?(2)＝?(0)＝0，∴?(－2)＝0.
又?(1)＝2，∴?(－1)＝－2，
∴?(1)＋?(2)＋?(3)＋?(4)＝?(1)＋?(2)＋?(－1)＋?(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴?(1)＋?(2)＋?(3)＋?(4)＋…＋?(49)＋?(50)＝0×12＋?(49)＋?(50)＝?(1)＋?(2)＝2＋0＝2.
故选C.
[答案]　C
(2)已知函数y＝f(x)，满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝(　　)
A.
B．
C．π
D．
[解析]　y＝f(－x)为偶函数，则y＝f(x)为偶函数，
关于x＝0对称，
y＝f(x＋2)为偶函数，关于x＝2对称，
∴T＝4，
∴F(x)＝f(x)＋f(－x)＝2f(x)，
∴F(3)＝2f(3)．
而f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝f(1)＝，
∴F(3)＝.故选B.
[答案]　B
[破题技法]　1.若函数的最小正周期为T，在图像上表现为每隔T单位，图像相同，只是位置不同，在函数值上表现为f(x＋T)＝f(x)．
2．求函数周期的方法
方法
解读
适合题型
定义法
具体步骤为：对于函数y＝f(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期
非零常数T容易确定的函数
递推法
采用递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期
含有f(x＋a)与f(x)的关系式
换元法
通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，则x＝t＋a，则f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期
f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式
考点三　函数性质的综合应用
挖掘1　利用性质求解析式/
互动探究
[例1]　(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A．e－x－1　　　　　　
B．e－x＋1
C．－e－x－1
D．－e－x＋1
[解析]　当x<0时，－x>0，
∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
故选D.
[答案]　D
(2)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[1，2]上的解析式是________．
[解析]　令x∈[－1，0]，则－x∈[0，1]，结合题意可得f(x)＝f(－x)＝log2(－x＋1)，
令x∈[1，2]，则x－2∈[－1，0]，故f(x)＝log2[－(x－2)＋1]＝log2(3－x)．
故函数f(x)在[1，2]上的解析式是f(x)＝log2(3－x)．
[答案]　f(x)＝log2(3－x)
挖掘2　求函数值/
互动探究
[例2]　(1)对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图像关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2
019)＋f(2
020)＝(　　)
A．0　　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
[解析]　y＝f(x－1)的图像关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图像关于x＝0对称，∴函数f(x)是偶函数，对于f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，则f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0，则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)的周期是2，又f(0)＝2，则f(2
019)＋f(2
020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故选B.
[答案]　B
(2)已知函数f(x)＝x3＋sin
x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为(　　)
A．3
B．0
C．－1
D．－2
[解析]　设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin
x，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，所以f(－a)＝0.故选B.
[答案]　B
挖掘3　求参数/
互动探究
[例3]　(1)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________．
[解析]　∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，e－x＋aex＝－ex－ae－x，∴(1＋a)e－x＋(1＋a)ex＝0，∴a＝－1.
[答案]　－1
(2)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln
2)＝8，则a＝________．
[解析]　设x＞0，则－x＜0.
∵当x＜0时，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax.
∵f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝e－ax，
∴f(ln
2)＝e－aln
2＝(eln
2)－a＝2－a.
又∵f(ln
2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.
[答案]　－3
(3)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝__________．
[解析]　由题意得f(x)＝xln(x＋)＝f(－x)＝－xln(－x)，所以＋x＝，解得a＝1.
[答案]　1
挖掘4　解不等式、比较大小/
互动探究
[例4]　(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[－2，2]　　　　　　　
B．[－1，1]
C．[0，4]
D．[1，3]
[解析]　∵函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，
得－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故选D.
[答案]　D
(2)已知函数f(x)＝|x|(10x－10－x)，不等式f(1－2x)＋f(3)＞0的解集为(　　)
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(1，＋∞)
[解析]　∵f(－x)＝|－x|(10－x－10x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
当x＞0时，f(x)＝x(10x－10－x)为增函数，
∴f(x)在R上是递增函数，故f(1－2x)＋f(3)＞0?f(1－2x)＞－f(3)＝f(－3)，所以1－2x＞－3，解得x＜2，故选A.
[答案]　A
(3)已知定义在R上的奇函数满足f(x＋4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
[解析]　∵f(x＋4)＝－f(x)，
∴f(x＋8)＝－f(x＋4)，
∴f(x＋8)＝f(x)，
∴f(x)的周期为8，
∴f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，
f(11)＝f(3)＝f(－1＋4)＝－f(－1)＝f(1)，
又∵奇函数f(x)在区间[0，2]上是增函数，
∴f(x)在区间[－2，2]上是增函数，
∴f(－25)＜f(80)＜f(11)，故选D.
[答案]　D
[破题技法]　1.奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反．
2．对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
将例4(2)的函数变为f(x)＝10x＋10－x，求不等式f(1－2x)－f(3)＞0的解集．
解析：f(x)＝10x＋10－x，f(x)为偶函数，
当x∈(0，＋∞)，f(x)为增函数，
原不等式f(1－2x)＞f(3)，
得|1－2x|＞3，得1－2x＞3或1－2x＜－3，
∴x＞2或x＜－1.
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