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范围、最值问题
考点1　范围问题——综合性
(2021·威海模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
解：(1)由题意，得c＝1，所以a2＝b2＋1.
因为点P在椭圆C上，
所以＋＝1，所以a2＝4，b2＝3.
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0.
因为Δ＝48(4k2－1)＞0，所以k2＞.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.
因为∠AOB为锐角，所以·＞0，即x1x2＋y1y2＞0.
所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＞0，即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＞0，
所以(1＋k2)·＋2k·＋4＞0，
即＞0，
所以k2＜.
综上可知＜k2＜，
解得－＜k＜－或＜k＜.
所以直线l的斜率k的取值范围为∪.
圆锥曲线中的取值范围问题的解题策略
(1)利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点．若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围．
解：(1)由题意知e＝＝，2b＝2.
又a2＝b2＋c2，所以b＝1，a＝2.
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程
得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，
化简得m2<4k2＋1.①
x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.
若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2.
所以(4k2－5)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝0.
所以(4k2－5)·＋4km·＋4m2＝0，
即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0，
化简得m2＋k2＝.②
由①②得0≤m2<，因为原点O到直线l的距离d＝，
所以d2＝＝＝－1＋.
又所以原点O到直线l的距离的取值范围是.
考点2　最值问题——综合性
考向1　利用几何性质求最值
在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
　解析：直线x－y＋1＝0与双曲线x2－y2＝1的一条渐近线x－y＝0平行，这两条平行线之间的距离为.又P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则c≤，即实数c的最大值为.
考向2　利用函数、导数法求最值
如图，已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
解：由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M.
联立方程
消去y，得x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①
则x1＋x2＝，y1＋y2＝.
(1)将AB中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－.②
由①②得m＜－或m＞.故实数m的取值范围为∪.
(2)令t＝∈∪，则t2∈.
则|AB|＝·，
点O到直线AB的距离为d＝.
设△AOB的面积为S(t)，
则S(t)＝|AB|·d
＝≤.
当且仅当t2＝时，等号成立．
故△AOB面积的最大值为.
考向3　利用均值不等式求最值
(2020·汉中市模拟)圆O的方程为：x2＋y2＝9，P为圆上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为D，点Q在PD上，且＝.
(1)求点Q的轨迹C的方程；
(2)过点F(－，0)的直线与曲线C交于A，B两点，点M的坐标为(3,0)，△MAB的面积为S，求S的最大值，及直线AB的方程．
解：(1)设P(x1，y1)，Q(x，y)，则D(x1，0)，＝(0，y1)，＝(0，y)．
因为＝，所以
把P(x1，y1)代入圆的方程得x2＋y2＝9，
所以Q的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)由题意易知直线的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝ty－，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立?消去x得(4t2＋9)y2－8ty－16＝0.
由根与系数的关系，得y1＋y2＝，y1y2＝，
S△MAB＝×(3＋)×|y1－y2|
＝×
＝
＝12(3＋)·
≤12(3＋)×
＝＝.
当且仅当t＝±时取等号，
所以△MAB的面积有最大值为.
当△MAB的面积为最大时，直线AB的方程为
y＝2x＋2或y＝－2x－2.
最值问题的2种基本解法
几何法
根据已知的几何量之间的相互关系，利用平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)
代数法
建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决(一般方法、均值不等式法、导数法等)
(2020·泸州市高三三模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过点F2且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长为1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线y＝kx＋m(k>0)交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，且|CM|＝|DN|，求|CD|的最小值．
解：(1)由题意可知e＝＝＝，且＝1，
解得a＝2，b＝1，c＝.
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)把y＝kx＋m(k>0)代入＋y2＝1得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.又M，N(0，m)，
|CM|＝|DN|，所以xM－x1＝x2－xN，即xM＋xN＝x1＋x2.
所以x1＋x2＝－＝－.
因为y＝kx＋m(k>0)与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，
所以m≠0.
又k>0，则k＝，
故x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.
因为直线y＝kx＋m(k>0)与线段F1F2及椭圆的短轴分别交于不同两点，
所以－≤－2m≤，即－≤m≤，且m≠0，
所以|CD|＝|x1－x2|
＝
＝
＝.
因为－≤m≤，且m≠0，
所以，当m＝或m＝－时，|CD|的最小值为.
在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆C：＋y2＝1，A为椭圆C的右顶点，过原点且异于x轴的直线与椭圆C交于M，N两点，M在x轴的上方，直线AM与圆O的另一交点为P，直线AN与圆O的另一交点为Q.
(1)若＝3，求直线AM的斜率；
(2)设△AMN与△APQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．
[四字程序]
读
想
算
思
已知圆的方程和椭圆的方程，直线与圆、椭圆都相交
1.向量＝3如何转化？2．如何表示三角形的面积？
把用直线AM的斜率k来表示
转化与化归
求直线AM的斜率，求△AMN与△APQ的面积之比
1.用A，P，M的坐标表示；2．利用公式S＝absin
C表示并转化
＝进而用均值不等式求其最大值
把面积之比的最大值转化为一个变量的不等式
思路参考：设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k<0，利用yp＝3yM求解．
解：(1)设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k<0，将y＝k(x－2)与椭圆方程＋y2＝1联立，得k2(x－2)2＝(2＋x)(2－x)．
求得点M的横坐标为xM＝，
纵坐标为yM＝.
将y＝k(x－2)与圆方程x2＋y2＝4联立，得k2(x－2)2＝(2＋x)(2－x)．
求得点P的横坐标为xP＝，
纵坐标为yP＝.
由＝3得yP＝3yM，
即＝.
又k<0，解得k＝－.
(2)由M，N关于原点对称，得点N的坐标为xN＝，yN＝，
所以直线AN的斜率为kAN＝＝－.
于是＝＝，
同理＝＝.
所以＝＝·＝＝＝≤＝，
当且仅当16k2＝，即k＝－时等号成立，所以的最大值为.
思路参考：设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k<0，由＝3转化为xp－xA＝3(xM－xA)求解．
解：(1)设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k<0，代入椭圆方程，整理得(4k2＋1)x2－16k2x＋4(4k2－1)＝0.由根与系数的关系得xAxM＝，而xA＝2，所以xM＝.
将y＝k(x－2)代入圆的方程，整理得(k2＋1)x2－4k2x＋4(k2－1)＝0.由根与系数的关系得xAxP＝，而xA＝2，所以xP＝.
由＝3，得xP－xA＝3(xM－xA)，
即－2＝3，解得k2＝2.
又k<0，所以k＝－.
(2)因为MN是椭圆的直径，直线AM，AN斜率均存在，所以kAMkAN＝－，即kkAN＝－，所以kAN＝－.下同解法1(略)．
思路参考：设直线AM的方程为x＝my＋2，利用yp＝3yM求解．
解：(1)设直线AM的方程为x＝my＋2(m≠0)，将其代入椭圆方程，整理得(m2＋4)y2＋4my＝0，得点M的纵坐标为yM＝.
将x＝my＋2代入圆的方程，整理得(m2＋1)y2＋4my＝0，得点P的纵坐标为yp＝.
由＝3，得yP＝3yM，即＝.
因为m≠0，解得m2＝，即m＝±.
又直线AM的斜率k＝<0，所以k＝－.
(2)因为MN是椭圆的直径，直线AM，AN斜率均存在，又kAMkAN＝－，由(1)知kAM＝，所以有kAN＝－，则kAN＝－.
又yM＝，yP＝，所以＝＝.
同理＝＝.
所以＝＝·.下同解法1(略)．
1．本题考查三角形面积之比的最大值，解法较为灵活，其基本策略是把面积的比值表示为斜率k的函数，从而求其最大值．
2．基于新课程标准，解答本题一般需要掌握数学阅读技能，运算求解能力，体现了数学运算的核心素养．
已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
解：(1)设F(c,0)，由题意知＝，解得c＝.
因为e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)(方法一)显然直线l的斜率存在．设直线l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且P在线段AQ上．
由得(4k2＋1)x2－16kx＋12＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
由Δ＝(16k)2－48(4k2＋1)>0，得k2>.
则S△OPQ＝S△AOQ－S△AOP＝×2×|x2－x1|＝＝.
令＝t，则4k2＝t2＋3且t>0，于是S△OPQ＝＝≤1，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，所以l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
(方法二)依题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx－2.将其代入椭圆方程，整理得(4k2＋1)x2－16kx＋12＝0，则Δ＝(16k)2－48(4k2＋1)＝16(4k2－3)>0，即k2>.
由弦长公式得|PQ|＝·.
由点到直线的距离公式得点O到直线l的距离d＝，
所以S△OPQ＝|PQ|×d＝××＝.
设＝t(t>0)，则4k2＝t2＋3，所以S△OPQ＝＝≤1，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立．
故所求直线l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.　复数
一、教材概念·结论·性质重现
1．复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的定义
一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数，其中实部为a，虚部为b，i称为虚数单位
a＋bi为实数?b＝0；a＋bi为虚数?b≠0；a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0
复数相等
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
z＝a＋bi，＝a－bi(a，b∈R)
复数a(a∈R)的共轭复数是a
复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数
向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，记作|z|或|a＋bi|
|z|＝|a＋bi|＝
(1)复数构成的集合叫做复数集，记为C.
(2)in(n∈N
)具有周期性，且最小正周期为4，其性质如下：
①i4n＝1(n∈N
)，i4n＋1＝i(n∈N)，i4n＋2＝－1(n∈N)，i4n＋3＝－i(n∈N)；
②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.
2．复数的几何意义
(1)复数加法的几何意义
若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．
(2)复数减法的几何意义
复数z1－z2是－＝所对应的复数．
3．复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
4．常用结论
(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i，z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　×　)
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　)
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　)
(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　√　)
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　√　)
2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．－1或1
A　解析：因为z为纯虚数，所以所以x＝－1.
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
C　解析：因为A(6,5)，B(－2,3)，所以线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.
4．若复数z满足iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B　解析：由题意，因为z＝＝＝－2－2i，所以＝－2＋2i，则z的共轭复数对应的点在第二象限．
5．设z＝＋2i，则|z|＝________.
1　解析：因为z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝1.
考点1　复数的有关概念——基础性
1．(多选题)下面关于复数的四个命题中，真命题是(　　)
A．若复数z∈R，则∈R
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z满足∈R，则z∈R
D．若复数z1，z2的满足z1z2∈R，则z1＝
AC　解析：设z＝a＋bi，
对于A项，若z∈R，则b＝0，此时＝a∈R，所以A正确；
对于B项，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，则ab＝0，所以a＝0或b＝0，则z不一定为实数，所以B错误；
对于C项，＝＝∈R，则b＝0，所以z∈R，所以C正确；
对于D项，设z1＝－1＋i，z2＝2＋2i，则z1z2＝－4∈R，但z1≠，D错误．故选AC.
2．(2020·潍坊一模)已知z为复数，i为虚数单位．若复数为纯虚数，则|z|＝(　　)
A．2　　　
B.　　　
C．1　　　
D.
C　解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
所以复数＝＝
＝.
因为复数为纯虚数，所以a2＋b2＝1，a≠0.
所以|z|＝＝1.
3．(2020·青岛二模)若复数z满足(－i)z＝|＋i|(其中i是虚数单位)，则复数z的共轭复数的虚部为(　　)
A．
B．i
C．－
D．－i
C　解析：由(－i)z＝|＋i|得(－i)z＝＝2，
所以z＝＝＝＝＋i，
所以＝－i，所以的虚部为－.
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是不是a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
考点2　复数的几何意义——应用性
(2020·嘉祥模拟)欧拉公式eix＝cos
x＋isin
x(i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，ei表示的复数位于复平面中的(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A　解析：根据题意eix＝cos
x＋isin
x，故ei＝cos＋isin＝＋i，表示的复数在第一象限．
1．本例若把条件改为“已知复数z满足z(1＋2i)＝4＋3i(i为虚数单位)”，求复数在复平面内对应的点所在的象限．
解：因为z(1＋2i)＝4＋3i，
则z＝＝＝＝2－i，
故＝2＋i，对应的点在第一象限．
2．本例若把条件改为“设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)”，求x，y满足的关系式．
解：由题意可得：
z＝x＋yi，z－i＝x＋(y－1)i，
|z－i|＝＝1，故x2＋(y－1)2＝1.
3．本例若把条件改为“△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|”，z对应的点是否为△ABC的外心？
解：是．由复数的几何意义知，复数z对应的点到△ABC三个顶点距离都相等，故z对应的点是△ABC的外心．
与复数几何意义相关的问题的一般解法
第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．
若复数z＝在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
解：z＝＝＝＋i，所以所以－1考点3　复数的运算——综合性
考向1　复数的乘法运算
(1)(2020·山东省实验高考预测)已知复数z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，则实数a＝(　　)
A．
B．－
C．2
D．－2
D　解析：因为z＝(1＋2i)(1＋ai)＝(1－2a)＋(a＋2)i，又因为z∈R，所以a＋2＝0，解得a＝－2.
(2)(2020·柳州一模)若复数z满足＝i，其中i为虚数为单位，则z＝(　　)
A．1－i
B．1＋i
C．－1－i
D．－1＋i
A　解析：因为＝i，所以＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i.
复数乘法运算的要点
复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i2换成－1.
考向2　复数的除法运算
(1)(2020·毕节一诊)已知i为虚数单位，若z(1＋i)2＝2＋i，则z＝(　　)
A．－i
B．－＋i
C．－－i
D．＋i
A　解析：由z(1＋i)2＝2＋i得
z＝＝＝＝＝－i.
(2)已知a∈R，i是虚数单位，若复数z＝∈R，则复数z＝________.
　解析：因为复数z＝＝＝＝＋i∈R，
所以＝0，即a＝3.
则复数z＝＝＝.
求解复数除数问题的注意点
除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
考向3　复数运算的综合应用
(1)(2020·银川三模)若复数z与其共轭复数满足z－2＝1＋3i，则|z|＝(　　)
A.
B.
C．2
D.
A　解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－2＝a＋bi－2a＋2bi＝－a＋3bi＝1＋3i，故a＝－1，b＝1，z＝－1＋i，|z|＝.
(2)已知复数z＝－1＋i(i是虚数单位)，则＝(　　)
A．－1
B．1
C．－i
D．i
A　解析：因为z＝－1＋i，所以z2＝(－1＋i)2＝－2i，则z2＋z＝－1－i，
所以＝＝＝＝－1.故选A.
(1)先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关知识解答．
(2)运用复数的法则进行运算时，要注意运算顺序，先算乘除，后算加减，有括号的要先算括号里面的．
1.等于(　　)
A．－－i
B．－＋i
C．－－i
D．－＋i
D　解析：＝＝＝＝－＋i.
2．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝＋ai，z·＝4，则a为(　　)
A．1或－1
B．1
C．－1
D．不存在的实数
A　解析：由题意得＝－ai，
故z·＝3＋a2＝4?a＝±1.
3．若复数z满足z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)，则|z|等于(　　)
A．
B．3
C．5
D．25
C　解析：由题意z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)＝10－5i，
则z＝＝＝5，所以|z|＝5.

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