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第六章 不等式(一)
●知识网络
●范题精讲
【例1】 试问:与(a、b＜0)的大小关系，并说明理由.
分析:两个数(或式)进行大小比较时，通常用作差法，它的一般步骤是:(1)作差；(2)变形；(3)定号.
作差的依据是:实数大小顺序与实数运算性质间的关系，即a＞ba－b＞0；a=b a－b=0；a＜ba－b＜0.
变形的方法是:采用配方法、因式分解法将差式化为若干个因式连乘积的形式或完全平方式的和的形式.
定号:由各因式的符号判断差的符号.
解:－
=
=
=.
由于a＜0,b＜0,∴ab＞0,a+b＜0,a2＞0,b2＞0.
∴a2+b2＞0并且有2ab＞0.
则(a2+b2)(a+b)＜0.
要判断与0的关系，需对a－b与0的关系分类:
(1)若0＞a＞b，则a－b＞0，则2ab(a－b)＞0，于是＜0.
此时，＜.
(2)若0＞b＞a，则a－b＜0，则2ab(a－b)＜0，于是＞0.
此时，＞.
(3)若0＞a=b，则a－b=0,则2ab(a－b)=0,于是
=0.
此时，= .
点评:此题在判断符号时，要分类讨论.分类讨论是重要的数学思想，要知道为什么分类，怎样分类.分类时，要做到不重不漏.
【例2】 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(km/h)之间的函数关系为y=(v>0).
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大 最大车流量为多少 (精确到0.1千辆/小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内
分析:本题主要考查函数、不等式等基本知识,考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.
解:(1)依题意,y=≤=,
当且仅当v=,即v=40时,上式等号成立.
所以ymax=≈11.1(千辆/小时).
(2)由条件得>10,
整理得v2－89v+1600<0,
即(v－25)(v－64)<0.
解得25答:当v=40 km/h时,车流量最大,最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应大于25 km/h且小于64 km/h.
【例3】 求证:≥(a＞0,b＞0).
思路一:从结论入手，探求、分析上一步成立的充分条件.
证法一:(分析法)要证≥，
只要证a+b≥a+b，
即证+≥().
需证()(a－+b)≥()，
即a－+b≥，
也就是要证a+b≥2成立.a+b≥2显然成立，∴原不等式成立.
思路二:从条件入手，利用已知不等式，逐次推理.
证法二:(综合法)∵a、b为正实数，∴a+b≥2.
又+≥2, ①
+≥2， ②
①+②得+++≥2+2，
即≥成立.
证法三:(作差比较法)
()－()
=(－)+(－)=+
=
=.
∵a、b为正实数，
∴＞0,＞0,(－)2≥0.
于是有≥0.
∴≥.
●试题详解
高中同步测控优化训练(一)
第六章 不等式(一)(A卷)
说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.若a、b、c为实数，则下列命题正确的是
A.若a＞b，则ac2＞bc2
B.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C.若a＜b＜0，则＜
D.若a＜b＜0，则＞
解析:A.因为c2≥0,所以只有c≠0时才正确.c=0时，ac2=bc2，所以A是假命题.
变式:若ac2＞bc2,则a＞b，命题是真命题.
B.a＜b,a＜0a2＞ab,a＜b,b＜0ab＞b2，B是真命题.
C.由性质定理a＜b＜0＞,C是假命题.
D.例如－3＜－2＜0,＜,D是假命题.
答案:B
2.若<<0,则下列不等式:①a+b|b|；③a2.正确的不等式有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
分析:本题主要考查不等式的性质及均值不等式的适用条件.
解:由<<0可知b∴a+b<0,ab>0.∴a+b由>0, >0,而a≠b,∴+>2,④正确.
答案:B
3.若a＞b＞1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),则
A.R＜P＜Q B.P＜Q＜R C.Q＜P＜R D.P＜R＜Q
分析:本题主要考查均值不等式与对数函数的单调性.
解:a＞b＞1lga＞0,lgb＞0.
R＞Q＞P.
答案:B
4.角x,y满足－＜x＜y＜,则x－y的取值范围是
A.(－π,0) B.(－π,π)
C.(－,0) D.(－,)
分析:本题主要考查负数在不等式中的变化，不等式的性质.
解:由x＜y，得x－y＜0.又－π＜x－y＜π，
∴－π＜x－y＜0.
答案:A
5.下列命题中，真命题有
①若a+b＞0且ab＞0,则a＞0且b＞0
②若a＞b且ab＞0,则a＞b＞0
③若＞ad＞bc
④a＞b是＞成立的必要条件
A.①③ B.②③
C.②④ D.①④
分析:本题主要考查不等式的性质，用排除法.
解:∵ab＞0,∴a、b同号.又a+b＞0,
∴a＞0且b＞0.①正确，排除B、C.
由③－＞0，得＞0，不能保证ad＞bc.③不正确.故应选D.
答案:D
6.两次购买同一种物品,可以有两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品时价格不相同,则两种策略中比较经济的情况为
A.第一种策略经济 B.第二种策略经济
C.两种策略同样经济 D.不能判断
分析:本题主要考查不等式的应用.本题关键是比较两种不同的购买方式的平均价格的 大小.
解:(1)按第一种策略购物,设第一次购物时价格为p1,购n(kg),第二次购物时价格为p2,仍购n(kg).按这种策略购物时两次购物的平均价格为=.
(2)若按第二种策略购物,第一次花m元钱,能购(kg)物品,第二次仍花m元钱,能购(kg)物品,两次购物的平均价格为=.
比较两次购物的平均价格－=－
==>0(∵p1≠p2),
∴第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格.
因而,用第二种策略比较经济.
答案:B
7.函数f(x)=x++3在(－∞，－2］上
A.无最大值，有最小值7
B.无最大值，有最小值－1
C.有最大值7，有最小值－1
D.有最大值－1，无最小值
解析:f(x)=x++3=－(－x+)+3≤－4+3=－1.
故选D.
答案:D
8.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h速度匀速直达灾区，已知两地公路线长 400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于()2 km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要
A.5 h B.10 h
C.15 h D.20 h
解析:时间t=［400+25()2］÷v=+
≥2=10.
答案:B
9.已知h＞0，设甲:两实数a、b满足|a－b|＜2h；乙:两实数a、b满足|a－1|＜h且 |b－1|＜h,则
A.甲是乙的充分但不必要条件
B.甲是乙的必要但不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
分析:本题主要考查含绝对值不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|，充要条件.
解:|a－b|=|(a－1)－(b－1)|≤|a－1|+|b－1|＜2h.故应选B.
答案:B
10.若x＞0,y＞0且≤a·(+)成立，则a的最小值是
A. B.
C.2 D.2
分析:本题主要考查≥()2,参数隔离法.
解:由≥()2，
∴≥,即a≥,amin=.故应选A.
答案:A
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
11.设0＜x＜1，则a=2,b=1+x,c=中最大的一个是__________.
解析:∵b－c=(1+x)－=
=－＜0，
∴b＜c.又b=1+x＞2=a,∴c最大.
答案:c
12.已知不等式:①a2+3＞2a(a∈R)；②≥2；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a2+b2≥2(a－ b－1)(a,b∈R).其中正确的不等式的序号是__________.
分析:本题考查比较法，综合法证明不等式，凑平方.
解:①a2+3－2a=(a－1)2+2＞0.
②a为负值不正确.
③a5+b5－a3b2－a2b3=a3(a2－b2)－b3(a2－b2)=(a3－b3)(a2－b2)=(a+b)(a－b)2(a2+ab+b2)，其值大于零不一定成立.当a≠b且均为负值或一负值一零值时，其值为负值，当a=b时其值为零.不正确.
④a2+b2－2a+2b+2=(a－1)2+(b+1)2≥0.
答案:①④
13.b g糖水中有a g糖(b>a>0),若再添上m g糖(m>0),则糖水就变甜了.试根据这个事实,提炼一个不等式:__________.
分析:本题主要考查应用数学知识解决实际问题的能力.加糖以后,糖水变甜了,说明浓度变大了.
解:加糖以前,糖水的浓度为,而加入m g糖以后,糖水浓度为,糖水变甜了,说明浓度变大了,即>.
答案: >
14.已知三个不等式:①ab＞0；②－＜－；③bc＜ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成__________个正确的命题.
分析:本题考查综合运用不等式的性质，证明不等式.
解:由②，＞0,又ab＞0bc－ad＞0，
即bc＞ad，说明由①②③.同理可证明其他情况.
答案:0
三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分8分)设x、y、z∈R,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z－2的大小.
分析:本题考查不等式的性质与比较法.
解:(5x2+y2+z2)－(2xy+4x+2z－2)=(x－y)2+(2x－1)2+(z－1)2≥0.
∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z－2
(当且仅当x=y=且z=1时等号成立).
16.(本小题满分10分)比较下列两个数的大小:
(1) －1与2－；
(2)2－与－；
(3)从以上两小题的结论中，你能否得出更一般的结论？并加以证明.
解法一:(变形后利用平方求差)
(1)( +)2－(2+1)2=2－4＞0.
故+＞2+1，即－1＞2－.
(2)(2+)2－(+)2=4－2=2－2＞0.
故2+＞+ ,即2－＞－.
(3)一般结论:若n是正整数，
则有－＞－.
证明过程与(1)(2)类似，从略.
解法二:(利用分子有理化)
(1)∵－1=,2－=，而＞，故－1＞2－.
(2)∵2－=, －=，
而＞,故2－＞－.
(3)同解法一.
注:本题的结论可推广到对一切n∈R+都成立.
17.(本小题满分12分)已知a>b>0,求证:<－<.
分析:本题主要考查利用分析法证明不等式.
证明:要证原不等式,只需证
()2<(－)2<()2
<－<
<1<
1+<2<+1
<1<
<1<. (*)
由题设知不等式(*)成立,以上过程可逆,原不等式成立.
18.(本小题满分12分)某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，试算:仓库底面积S的最大允许值是多少？此时铁栅长为多少？
分析:本题考查不等式在实际中的应用.
解:设铁栅长x m，一堵墙长y m，则有S=xy.
由题意得40x+2×45y+20xy=3200.
应用二元均值不等式，得3200≥2+20xy=120+20xy=120+20S.
∴S+6≤160.
∴(－10)(+16)≤0.
由于+16＞0,∴－10≤0，即S≤100.
因此S的最大允许值是100 m2，当且仅当40x=90y,
而xy=100,解得x=15，
即铁栅的长应为15 m.
19.(本小题满分12分)设f(x)=x2－x+B,实数a满足|x－a|＜1,求证:|f(x)－f(a)|＜2(|a|+1).
分析:本题考查绝对值不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的应用.
证明:∵f(x)－f(a)=x2－x+B－a2+a－B=x2－a2－(x－a)=(x－a)(x+a－1)，
又∵|x－a|＜1,
∴|f(x)－f(a)|=|x－a|·|x+a－1|＜|x+a－1|
=|x－a+2a－1|≤|x－a|+|2a－1|＜1+|2a|+1=2(|a|+1).
∴|f(x)－f(a)|＜2(|a|+1).

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