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不等式的证明的方法介绍
新疆奎屯市第一高级中学　王新敞 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、数学归纳法等. 要明确分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围. 若能够较灵活的运用常规方法(即通性通法)、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题.
一、不等式的证明方法
（1）比较法：作差比较：.
作差比较的步骤：
①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.
②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和.
③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.
（2）综合法：由因导果.
（3）分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证……
①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.
②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达.
（4）反证法：正难则反.
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.
放缩法的方法有：
①添加或舍去一些项，如：；；
②将分子或分母放大（或缩小）；
③利用基本不等式，如：；
；
④利用常用结论：
；
； （程度大）
； （程度小）
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.
如：已知，可设；
已知，可设()；
已知，可设；
已知，可设；
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
⑻数学归纳法法：数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究.
二、题型示例
例1 若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之.
分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知 .
解：由题意得.
证法一：（比较法）.
，，
.
证法二：（放缩法）
，
.
证法三：（数形结合法）如图，在RtABC及RtADF中，
AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD.
，
.
例2 已知a，b∈R，且a+b=1. 求证：.
证法一：（比较法）
即（当且仅当时，取等号）.
证法二：（分析法）
因为显然成立，所以原不等式成立.
点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.
证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）.
证法四：（反证法）假设，则 .
由a+b=1，得，于是有.
所以，这与矛盾.
所以.
证法五：（放缩法）∵
∴左边＝＝右边.
点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式.
证法六：（均值换元法）∵，
所以可设，，
∴左边＝
＝右边.
当且仅当t=0时，等号成立.
点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元.
证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）
设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，
所以，
因为，所以，即.
故.
例3 设实数x，y满足y+x2=0，0证明：（分析法）要证，
，只要证：，
又，
只需证：.
∴只需证，
即证，此式显然成立.
∴原不等式成立.
例4 设m等于，和1中最大的一个，当时，求证：.
分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于，和1中最大的一个”翻译为符号语言“，，”，从而知.
证明：（综合法），.
.
例5 已知，，求证：
解 ( http: / / wxc. )　∵ ∴ 1= ∴
又 ∵
∴ .
用同样的思路可以推证关于三个正数和为1时各数与其倒数和的平方和的最值问题：
已知，，求证：
证明 ( http: / / wxc. )　∵
∴ 1=
∴
又 ∵
∴
∴ ( http: / / wxc. / )
猜想关于n个正数和为1时各数与其倒数和的平方和的最值如何？
证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面.如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点.
在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等.
比较法是证明不等式最常用最基本的方法.
分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：正难则反原则，即若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯；简单化原则，即寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式.
凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.
换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题.
含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件.
有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度.

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