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第一节　平面向量的概念及线性运算
[基础梳理]
1．向量的有关概念
(1)向量的定义：既有大小，又有方向的量叫向量，常用a或表示．
(2)向量的模：向量的大小，即表示向量的有向线段的长度叫作向量的模，记作|a|或||.
(3)几个特殊向量：
特点 名称　　 长度(模) 方向
零向量 0 任意
单位向量 1 任意
相等向量 相等 相同
相反向量 相等 相反
平行向量
相同或相反
2.向量的加法、减法与数乘
定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算　
三角形法则
平行四边形法则 (1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 向量a加上向量b的相反向量叫作a与b的差
三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa．
4．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.
6．平面向量的坐标运算
向量的加法、减法 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)
向量的数乘 设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)
向量坐标的求法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
7.向量共线的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.
1．与向量a共线的单位向量为±.
2．两非零向量不共线求和时，两个法则都适用；共线时，只适用三角形法则．
3．A，B，C三点共线，O为A，B，C所在直线外任一点，则＝λ＋μ且λ＋μ＝1.
4．若＝λ，则A，B，C三点共线．
5．P为线段AB的中点?＝(＋)．
6．G为△ABC的重心?＋＋＝0?＝(＋＋)(O是平面内任意一点)．
7．P为△ABC的外心?||＝||＝||.
8．||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
9．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
1．(基础点：向量共线与三点共线)已知＝(－m，－5n)，＝(－2m，8n)，＝(3m，－3n)，则(　　)
A．A，B，D三点共线　　 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点不共线
答案：A
2．(基础点：向量减法的坐标运算)已知向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，则|a－b|＝(　　)
A.　　　　　　　　 B．2
C．5 D．50
答案：A
3．(基础点：平面向量基本定理)已知△ABC，设D是BC边的中点，用与表示向量，则＝________.
答案：＋
4．(易错点：向量加减法的几何意义)在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________．
答案：矩形
考点一　向量的基本概念
挖掘　判断向量有关概念的正确性/自主练透
[例]　(1)给出下列五个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③在?ABCD中，一定有＝；
④若m＝n，n＝p，则m＝p；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中不正确的个数是(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5
[解析]　两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确；③、④正确；零向量与任一非零向量都平行，当b＝0时，a与c不一定平行，故⑤不正确．
[答案]　B
(2)给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．
②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．
③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.
④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．
[答案]　C
[破题技法]　把握向量有关概念的关键点
(1)定义，方向和长度，二者缺一不可．
(2)非零共线向量，方向相同或相反，长度没有限制，与直线平行不同；与起点无关；非零向量的平行也具有传递性．
(3)相等向量，方向相同且长度相等，与共线向量不同；相等向量具有传递性．
(4)单位向量，方向没有限制，但长度都是一个单位长度；是与a同方向的单位向量．
(5)零向量，方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．
(6)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等的向量．解题时，不要把它与函数图像的平移混淆．
考点二　共线向量定理及其应用
挖掘1　判定点或向量共线/ 自主练透
[例1]　(1)已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)
A．点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC外部
[解析]　由＋＋＝知：＋＋＝－，即＝－2，故点P在线段AC上．
[答案]　C
(2)已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a与向量b共线，则(　　)
A．λ＝0　　　　　　　　 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
[解析]　设a＝kb，
∴e1＋λe2＝2ke1，∴
当λ＝0时，a＝e1，∴b＝2e1.
a与b共线，
当e1∥e2时，a与b也共线．
[答案]　D
[破题技法]　两向量共线有两种应用形式：
(1)几何形式：a＝λb.
(2)代数形式：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．a∥b?x1y2－x2y1＝0，其实质都是等式关系．故a∥b等价于存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立．
挖掘2　应用向量共线求参数/ 互动探究
[例2]　(1)已知点M是△ABC所在平面内的一点，若点M满足|λ－－|＝0且S△ABC＝3S△ABM，则实数λ＝________．
[解析]　如图，设D为BC的中点，
则＋＝2，
因为|λ－－|＝0，
所以λ－－＝0，
所以λ＝＋＝2，
于是A，M，D三点共线，且＝，
又S△ABC＝3S△ABM，所以＝，
又因为S△ABD＝S△ABC，且＝＝，
所以＝＝×，解得λ＝±3.
[答案]　±3
(2)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　由O是BC的中点，可得＝＋，由题意知
＝m＋n，因为O，M，N三点共线，
所以m＋n＝1，则m＋n＝2.
(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
[解析]　2a＋b＝(4，2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝.
[答案]　
[破题技法]　共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具
解题过程中常用到结论：“P，A，B三点共线”等价于“对直线AB外任意一点O，总存在非零实数λ，使＝λ＋(1－λ)成立”．即与的系数和为1.
[拓展]　共线定比例
(1)坐标成比例，即若两向量共线，则它们的坐标对应成比例(假设其中一向量两坐标均不为零)；
(2)基底分解成比例，即已知a，b不共线，c＝pa＋qb，d＝ma＋nb，若c∥d，则＝(mn≠0)，即pn－mq＝0.
已知A1，A2，A3为平面上三个不共线的定点，平面上点M满足＝λ(＋)(λ是实数)，且＋＋是单位向量，则这样的点M有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：法一：由题意得，＝－λ(＋)，＝＋，＝＋，∴＋＋＝(1－3λ)(＋)，设D为A2A3的中点，∴(1－3λ)(＋)是与共起点且共线的一个向量，显然直线A1D与以A1为圆心的单位圆有两个交点，故λ有两个值，即符合题意的点M有两个，故选C.
法二：以A1为原点建立平面直角坐标系(图略)，设A2(a，b)，A3(m，n)，则＋＝(a＋m，b＋n)，∴M(λ(a＋m)，λ(b＋n))，
∴＝(－λ(a＋m)，－λ(b＋n))，＝(a－λ(a＋m)，b－λ(b＋n))，＝(m－λ(a＋m)，n－λ(b＋n))，
∴＋＋＝((1－3λ)(a＋m)，(1－3λ)(b＋n))．∵＋＋是单位向量，
∴(1－3λ)2[(a＋m)2＋(b＋n)2]＝1，
∵A1，A2，A3是平面上三个不共线的定点，∴(a＋m)2＋(b＋n)2＞0，所以关于λ的方程有两解，故满足条件的M有两个，故选C.
答案：C
考点三　平面向量的线性运算与基本定理
挖掘1　数形结合法解决基本定理的应用/自主练透
[例1]　(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－　　　　　　 B．－
C.＋ D．＋
[解析]　作出示意图如图所示．
＝＋＝＋
＝×(＋)＋(－)
＝－.故选A.
[答案]　A
(2)(2020·南昌模拟)如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
[解析]　如图所示，构造平行四边形，∵∠OCD＝90°，||＝2，∠COD＝30°，
∴||＝2×＝2＝||＝|μ|，||＝＝|λ|＝4，∴λ＋μ＝6.
[答案]　6
(3)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若＝x＋y，则x＋y的最大值是(　　)
A. B．1
C. D．2
[解析]　以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(1，0)，B，
C(cos θ，sin θ).
∵＝x＋y，
∴∴
∴x＋y＝sin θ＋cos θ＋sin θ＝ sin θ＋cos θ＝2sin.
又知0≤θ≤π，∴sin∈，∴当θ＝时，x＋y取最大值2，故选D.
[答案]　D
[破题技法]　数形结合法适用于已知平面几何图形或向量等式，利用向量的模的几何意义，求解模的最值或取值范围的问题．破解此类题的关键点：
(1)借形研究，即利用条件并结合图形，将相关向量用基底表示，确定相关向量的几何意义，或将相关向量坐标化，在平面直角坐标系中表示出相关向量．
(2)用形解题，即利用图形的直观性，运用向量的运算法则、运算律等进行计算，即可求出向量模的最值或取值范围．
挖掘2　代数法(方程)求解向量/互动探究
[例2]　(1)(2020·河北武邑中学期中测试)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A. B．
C．3 D．2
[解析]　
如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．
＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)?λ＝m，μ＝m，则＝.故选A.
[答案]　A
(2)如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.
[解析]　设＝ma＋nb，
则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.
＝－＝－＝－a＋b.
又∵A，M，D三点共线，∴与共线．
∴存在实数t，使得＝t，
即(m－1)a＋nb＝t.
∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.
∴消去t得，m－1＝－2n，
即m＋2n＝1.①
又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，
＝－＝b－a＝－a＋b.
又∵C，M，B三点共线，∴与共线．
∴存在实数t1，使得＝t1，
∴a＋nb＝t1，
∴
消去t1得，4m＋n＝1.②
由①②得m＝，n＝，
∴＝a＋b.
[破题技法]　方程法是指利用平面向量共线或垂直的线性运算或坐标运算，建立关于参数的方程，从而求出参数值的方法．破解此类题的关键点：
(1)向量问题代数化，即利用平面向量平行或垂直的线性运算或坐标运算进行转化，得到含参数的方程；
(2)解决直角三角形、等边三角形、矩形等特殊图形中的向量问题时，建立合适的平面直角坐标系可以快速打开思路．
挖掘3　直线的方向向量/互动探究
[例3]　求过点P0(x0，y0)与向量a＝(a1，a2)平行的直线方程．
[解析]　当a1≠0时，则a＝a1(1，)，
则所求直线的斜率k＝，
∴直线方程为y－y0＝(x－x0)，
即a2x－a1y＋a1y0－a2x0＝0.①
当a1＝0时，直线∥y轴，方程为x＝x0，适合①.
综上，所求直线方程为a2x－a1y＋a1y0－a2x0＝0.
[破题技法]　运算遵法则，基底定分解
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量归结到相关的三角形中，利用三角形法则列出三个向量之间的关系．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一组基底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．

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