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2020-2021学年人教版七年级下册：第5章相交线与平行线
综合培优练习（三）
1．已知：AB∥CD，点P是直线AB与CD外一点，连接AP，CP．
（1）若点P在直线AB与直线CD之间．
①如图1，求证：∠A+∠APC+∠C＝360°；
②如图2，过点A作∠BAP的角平分线AE，过点C作∠PCD的角平分线CG，过P作PF∥AE交直线CG于点F，探索∠APC和∠PFC的数量关系，并说明理由；
（2）若点P在直线CD的下方，（1）②中的其它条件不变，请直接写出∠APC与∠PFC的数量关系．
32．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）∠ABN＝　 　；∠CBD＝　 　；
（2）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数．
（3）当点P运动时，求∠BPA和∠CBA满足的数量关系，并说明理由．
3．完成下面推理过程．在括号内的横线上填上推理依据．
如图，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵AB∥EF，
∴∠APE＝∠PEF（　 　）．
∵EP⊥EQ，
∴∠PEQ＝　 　（垂直的定义）．
即∠QEF+∠PEF＝90°．
∴∠APE+∠QEF＝90°．
∵∠EQC+∠APE＝90°，
∴∠EQC＝　 　（　 　）．
∴EF∥CD（　 　）．
∴AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
4．如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．
（1）若∠BOD＝∠COD，求∠BON的度数；
（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．
5．（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．
已知：如图①，AB∥CD，　 　．
求证：　 　．
证明：
（2）如图②，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥FN，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O．求证：EO⊥FO．
（3）如图③，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥PN，MP∥NF，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O，∠P＝102°，求∠O的度数．
6．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝32°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数
7．已知直线AM、CN和点B在同一平面内，且AM∥CN，AB⊥BC．
（1）如图1，求∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，若BD⊥AM，垂足为D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，已知点D、E、F都在直线AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，请直接写出∠EBC的度数．
8．如图，已知直线AB∥CD，M，N分别是直线AB，CD上的点．
（1）在图①中，若∠BME＝20°，∠DNE＝15°，则∠MEN＝　 　；
（2）在图②中，请判断∠BMF，∠DNF，∠MFN之间的关系，并说明理由；
（3）在图③中，MB平分∠FME，NE平分∠DNF，且∠F+2∠E＝180°，求∠FME．
9．已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点．
（1）如图1，∠AME，∠E，∠ENC的数量关系是　 　．
（2）利用（1）的结论解决何题：如图2，已知∠AME＝30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度数．
（3）如图3，点G为CD上一点，∠AMN＝m∠EMN，∠GEK＝m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，直接写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含m的式子表示）．
10．如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒30°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒15°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝15°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，求t的值．
11．完成下面的推理填空：
如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：∠D＝∠DCE．
证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BAE（　 　）．
∵∠BAE＝∠3+　 　，
∴∠2＝∠3+　 　，
∵∠3＝∠4，
∴∠2＝∠CAD，
又∵∠2＝　 　，
∴∠CAD＝　 　，
∴AD∥　 　（　 　）．
∴∠D＝∠DCE．（　 　）．
12．已知：直线l1∥l2，A为直线l1上的一个定点，过点A的直线交l2于点B，点C在线段BA的延长线上．D，E为直线l2上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED＝∠DAE．点M在l2上，且在点B的左侧．
（1）如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出∠ABM的度数　 　；
（2）射线AF为∠CAD的角平分线．
①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；
②当点D与点B不重合，且∠ABM+∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数　 　．
13．已知AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P．
（1）如图1所示时，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系？请画图并证明；
（3）当∠EPF满足0°＜∠EPF＜180°，且QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝　 　°．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系．（直接写出结论）
14．已知直线l1∥l2，且l3与l1，l2分别交于A，B两点，l4与l1，与l2相交于C，D两点，点P在直线AB上运动．
（1）如图1，当点P在A，B两点间运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系，并说明；
（2）如图2，A点在B处北偏东32°方向，A点在C处的北偏西56°方向，应用探究（1）的结论求出∠BAC的度数；
（3）如果点P在A，B两点外侧运动时，画出相应图形并直接写出∠ACP，∠BDP，∠CPD之间的关系．
15．已知点B，D分别在AK和CF上，且CF∥AK．
（1）如图1，若∠CDE＝25°，∠DEB＝80°，则∠ABE的度数为　 　；
（2）如图2，BG平分∠ABE，GB延长线与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．
（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
16．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，点B为直线AM上方一点，且∠A＝35°，求∠C的度数；
（2）如图2，点B为直线AM与CN之间一点，且BD⊥AM．求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E，F在DM上，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若∠FCB＝∠DFC，∠BFC＝3∠DBE，求∠DBE的度数．
参考答案
1．解：（1）①如图1，过P作PQ∥AB，
∴∠A+∠1＝180°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠2＝180°，
∴∠A+∠C+∠APC＝360；
②图2，
因为AE、CG分别是∠PAB、∠PCD的角平分线，
故∠PCG＝∠PCD，∠PAE＝∠PAB，
∵∠PCG是△PCF的外角，
∴∠PCG＝∠PFC+∠FPC＝∠PCD，
∴∠FPC＝∠PCD﹣∠PFC，
∵AE∥PF，
∴∠PAE+∠APF＝180°，
即∠PAB+∠APC+∠FPC＝180°，
∠PAB+∠APC+∠PCD﹣∠PFC＝180°，
∠APC﹣∠PFC＝（360°﹣∠PAB﹣∠PCD）＝∠APC，
∴∠PFC＝∠APC；
（2）如图3，过P点作PO∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PO，
∴∠PAB+∠APC+∠CPO＝180°，
∵∠PCD+∠CPO＝180°，
∴∠APC＝∠PCD﹣∠PAB，
在△PCF中，∠PCF＝∠PCD＝180°﹣（∠CPF+∠PFC），
∵AE∥PF，
∴∠PAE+∠APF＝180°，
即∠PAB+∠APC+∠CPF＝180°，
将∠CPF＝180°﹣∠PCD﹣∠PFC代入上式，
（∠PAB﹣∠PCD）+180°+∠APC﹣∠PFC＝180°，
∴∠PFC＝∠APC．
2．解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝120°
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠PBD，
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°．
故答案为120°，60°．
（2）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，
∴∠ABC+∠DBN＝60°，
∴∠ABC＝30°．
（3）∵AM∥BN，∠A＝60°，
∴∠ABN＝∠PBA+∠PBN＝180°﹣60°＝120°，∠PBN＝∠BPA，
∵BC分别平分∠PBA，
∴∠PBA＝2∠CBA，
∴∠BPA＝120°﹣2∠CBA．
3．解：∵AB∥EF，
∴∠APE＝∠PEF（两直线平行，内错角相等）．
∵EP⊥EQ，
∴∠PEQ＝90°（垂直的定义）．
即∠QEF+∠PEF＝90°．
∴∠APE+∠QEF＝90°．
∵∠EQC+∠APE＝90°，
∴∠EQC＝∠QEF（同角的余角相等）．
∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；90°；∠QEF；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
4．解：（1）∵∠MON＝70°，
∴∠COD＝∠MON＝70°，
∴∠BOD＝∠COD＝，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°；
（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，
∵∠COD＝∠MON＝70°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°，
∵∠AOD＝2∠BOD，
∴x+70＝2（3x﹣70），
解得x＝42，
∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°．
5．（1）已知：如图①，AB∥CD，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F
求证：OE⊥OF；
证法1：∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，
∴∠OEF+∠OFE＝∠AEF+∠CFE＝90°．
∵∠OEF+∠OFE+∠EOF＝180°，
∴∠EOF＝90°．
∴OE⊥OF；
证法2：如图，过点O作OP∥CD交直线MN于点P．
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，
∴∠AEO+∠CFO＝∠AEF+∠CFE＝90°．
∵OP∥CD，AB∥CD，
∴OP∥AB．
∴∠EOF＝∠EOP+∠POF＝∠AEO+∠CFO＝90°．
∴OE⊥OF；
故答案为：直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE⊥OF；
（2）证明：如图，延长EM交CD于点G，过点O作OP∥CD交ME于点P，
∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°，
∵EM∥FN，
∴∠CGE＝∠CFN．
∵OE、OF分别平分∠AEM、∠CFN，
∴∠AEO+∠CFO＝∠AEM+∠CFN＝∠AEM+∠CGE＝90°，
∵OP∥CD，AB∥CD，
∴OP∥AB．
∴∠EOF＝∠EOP+∠POF＝∠AEO+∠CFO＝90°．
∴OE⊥OF；
（3）解：如图，延长EM、FN交于点Q，过点O作OG∥CD交ME于点G．
∵EM∥PN，FN∥MP，
∴∠EQF＝∠EMP＝∠P＝102°，
由（1）证法2可知∠AEM+∠CFN＝∠EQF＝102°，
∵OE、OF分别平分∠AEM、∠CFN，
∴∠EOF＝∠AEO+∠CFO
＝∠AEM+∠CFN＝×102°＝51°．
6．解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝α，
∵GK∥AB，∠BMG＝32°，
∴∠MGK＝∠BMG＝32°，
∵MG平分∠BMP，
∴∠GMP＝∠BMG＝32°，
∴∠BMP＝60°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝2∠BMG＝64°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝α，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD∥GK，
∴∠QPN＝∠DNP＝∠KGN＝α，
∴∠MGN＝∠MGK+∠KGN＝32°+α，∠MPN＝∠MPQ﹣∠QPN＝64°﹣α，
∴∠MGN+∠MPN＝32°+α+64°﹣α＝96°；
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠AME＝2x，
∵CD∥AB，AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，
∵ET∥AB，AB∥CD，
∴ET∥CD，
∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，
∵2∠MEN+∠MGN＝105°，
∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，
∴x＝25°，
∴∠AME＝2x＝50°．
7．解：（1）如图1，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∠A+∠C＝90°，
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG＝90°，
∴∠ABD+∠ABG＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C．
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵AM∥CN，
∴CN∥BG，
∴∠CBG＝∠BCN，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
∵∠ABD＝∠NCB，
∴∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，
则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，
∠GBF＝∠AFB＝β，
∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∵BG∥DM，
∴∠DFB＝∠GBF＝β，
∴∠AFC＝∠BFC+∠DFB＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°得：
2α+β+3α+3α+β＝180°，
∵AB⊥BC，
∴β+β+2α＝90°，
∴α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
8．解：（1）过点E作直线EF∥AB．
∵EF∥AB，
∴∠BME＝∠MEF，
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FEN＝∠DNE
∴∠MEN＝∠MEF+∠FEN＝∠BME+∠DNE，
∵∠BME＝20°，∠DNE＝15°，
∴∠MEN＝20°+15°＝35°．
故答案为：35°；
（2）结论：∠MFN＝∠BMF﹣∠DNF．
理由：如图2中，过点E作直线EF∥AB．
∵EF∥AB，
∴∠BMF＝∠MFE，
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠EFN＝∠DNF，
∴∠MFN＝∠MFE﹣∠EFN＝∠BMF﹣∠DNF．
（3）∵MB平分∠EMF，
∴∠BMF＝∠BME，
∵NE平分∠DNF，
∴∠DNF＝2∠DNE，
设∠DNF＝2∠DNE＝2∠a，
由（1），得∠E＝∠BME+∠DNE＝∠a+∠BME，
由（2），得∠F＝∠BMF﹣∠DNF＝∠BMF﹣2∠α，
又∵∠F+2∠E＝180°，
∴∠BMF﹣2∠a+2（∠a+∠BME）＝180°，
∴3∠BMF＝180°，
即∠BMF＝60°．
∴∠FME＝2∠BMF＝120°．
9．解：（1）如图1，过点E作EE′∥AB，
∵AB∥CD，
∴EE′∥AB∥CD，
∴∠1＝∠AME，∠2＝∠CNE，
∵∠MEN＝∠1+∠2，
∴∠MEN＝∠AME+∠ENC；
故答案为：∠MEN＝∠AME+∠ENC；
（2）∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠NEF＝∠MEN，∠ENP＝∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠QEN＝∠ENP＝∠ENC，
∵∠MEN＝∠AME+∠ENC，
∴∠MEN﹣∠ENC＝∠AME＝30°，
∴∠FEQ＝∠NEF﹣∠NEQ＝∠MEN﹣∠ENC＝×30°＝15°；
（3）∵∠AMN＝m∠EMN，∠GEK＝m∠GEM，
∴∠EMN＝∠AMN，∠GEM＝∠GEK，
∵EH∥MN，
∴∠HEM＝∠EMN＝∠AMN，
∵∠GEH＝∠GEM﹣∠HEM＝∠GEK﹣∠AMN，
∴m∠GEH＝∠GEK﹣∠AMN，
∵∠AMN＝180°﹣∠BMN，
∴m∠GEH＝∠GEK﹣（180°﹣∠BMN），
∴∠BMN+∠GEK﹣m∠GEH＝180°．
10．解：（1）延长FP与AB相交于点G，
如图1，
∵PF⊥CD，
∴∠PFD＝∠PGE＝90°，
∵∠EPF＝∠PGE+∠AEP，
∴∠AEP＝∠EPF﹣∠PGE＝120°﹣90°＝30°；
（2）①Ⅰ如图2，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝15°，
∴∠AEM＝15°，
∴射线ME运动的时间t＝＝1秒，
∴射线PN旋转的角度∠FPN＝1×30°＝30°，
又∵∠EPF＝120°，
∴∠EPN＝∠EPF﹣∠EPN＝120°﹣30°＝90°；
Ⅱ如图3所示，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝15°，
∴∠AEM＝45°，
∴射线ME运动的时间t＝＝3秒，
∴射线PN旋转的角度∠FPN＝3×30°＝90°
又∵∠EPF＝120°，
∴∠EPN＝∠EPF﹣∠FPN＝120°﹣90°＝30；
∴∠EPN的度数为 90°或30°；
②Ⅰ当PN由PF运动如图4时EM∥PN，
PN与AB相交于点H，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝15t°，∠FPN＝30t°，
∵EM∥PN，
∴∠AEM＝∠AHP＝15t°，
又∵∠FPN＝∠EGP+∠AHP，
∴30t°＝90°+15t°，
解得t＝6（秒）；
Ⅱ当PN运动到PG，再由PG运动到如图5时EM∥PN，
PN与AB相交于点H，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝15t°，
∵EM∥PN，
∴∠GHP＝15t°，∠GPH＝90°﹣15t°，
∴PN运动的度数可得，180°+∠GPH＝30t°，
解得t＝6（秒）；
Ⅲ当PN由PG运动如图6时，EM∥PN，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝15t°，∠GPN＝30（t﹣6）°，
∵∠AEP＝30°，∠EPG＝60°，
∴∠PEM＝15t°﹣30°，∠EPN＝30（t﹣6）°﹣60°，
又∵EM∥PN，
∴∠PEM+∠EPN＝180°，
∴15t°﹣30°+30（t﹣6 ）°﹣60°＝180°，
解得t＝10（秒），
当t的值为6秒或10秒时，EM∥PN．
11．证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BAE（两直线平行，同位角相等）．
∵∠BAE＝∠3+∠CAE，
∴∠2＝∠3+∠CAE，
∵∠3＝∠4，
∴∠2＝∠CAD，
又∵∠2＝∠1，
∴∠CAD＝∠1，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
∴∠D＝∠DCE（ 两直线平行，内错角相等）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；∠CAE；∠CAE；∠1；∠1；BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
12．解：（1）∵l1∥l2，
∴∠ABM＝∠BAN，∠NAE＝∠AED＝50°，
∵∠BAD＝25°，∠DAE＝∠AED＝50°，
∴∠ABM＝∠BAN＝∠BAD+∠DAE+∠NAE＝25°+50°+50°＝125°，
故答案为：125°；
（2）①∠ABD＝2∠EAF，
证明：∵l1∥l2，
∴∠CAN＝∠ABD，∠NAE＝∠AED，
又∵AF平分∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAF＝∠CAD，
∵∠DAE＝∠AED＝∠NAE，
∴∠DAE＝∠NAE＝（∠DAE+∠NAE）＝∠DAN，
∴∠EAF＝∠DAF﹣∠DAE＝∠CAD﹣∠DAN＝∠CAN＝∠ABD．
即∠ABD＝2∠EAF；
②Ⅰ、如图所示：
点D在点B右侧，此时有∠EAF＝∠ABD，
∵∠ABM+∠EAF＝150°，
∴∠ABM+∠ABD＝150°，
又∵∠ABM+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠EAF＝30°；
Ⅱ如图所示，点D在点B左侧，点E在点B右侧，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAD，
∵l1∥l2，
∴∠AED＝∠NAE，∠CAN＝∠ABE，
∵∠DAE＝∠AED＝∠NAE，
∴∠DAE＝（∠DAE+∠NAE）＝∠DAN，
∴∠EAF＝∠DAF+∠DAE＝（∠CAD+∠DAN）＝×（360°﹣∠CAN）＝180°﹣∠ABE，
∵∠ABE+∠ABM＝180°，
∴∠EAF＝180°﹣（180°﹣∠ABM）＝90°+∠ABM，
又∵∠EAF+∠ABM＝150°，
∴∠EAF＝90°+（150°﹣∠EAF）＝165°﹣∠EAF，
∴∠EAF＝110°；
Ⅲ如图，D、E均在B点左侧，
此时，∠DAE＝∠DAN，∠DAF＝∠CAD，
∠EAF＝∠DAE+∠DAF＝（360°﹣∠CAN）＝180°﹣∠ABG＝180°﹣（180°﹣∠ABM）＝90°+∠ABM，
∴EAF＝110°．
综上所述：∠EAF＝30°或∠EAF＝110°．
故答案为：∠EAF＝30°或∠EAF＝110°．
13．解：（1）如图1，过点P作PG∥AB，
∵PG∥AB，
∴∠EPG＝∠AEP，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠FPG＝∠PFC，
∴∠AEP+∠PFC＝∠EPF；
（2）如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
过点P作PG∥AB，
∵PG∥AB，
∴∠EPG+∠AEP＝180°，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠FPG+∠PFC＝180°，
∴∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（3）①如图3，若当P点在EF的左侧时，
∵∠EPF＝60°，
∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣60°＝300°，
∵EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ＝PEB，∠QFD＝PFD，
∴∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝300°＝150°；
如图4，当P点在EF的右侧时，
∵∠EPF＝60°，
∴∠PEB+∠PFD＝60°，
∴∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝60°＝30°；
故答案为：150°或30；
②由①可知：∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝（360°﹣∠EPF），
∴∠EPF+2∠EQF＝360°；
∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝∠EPF，
∴∠EPF＝2∠EQF．
综合以上可得∠EPF与∠EQF的数量关系为：∠EPF+2∠EQF＝360°或∠EPF＝2∠EQF．
14．解：（1）当点P在A、B两点间滑动时，∠2＝∠1+∠3保持不变．
理由：过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图1所示，
∵PQ∥AC，
∴∠1＝∠CPQ，
又∵PQ∥AC，BD∥AC，
∴PQ∥BD，
∴∠3＝∠DPQ，
∴∠1+∠3＝∠CPQ+∠DPQ，
即∠1+∠3＝∠2．
（2）分别在B点和A点处画方位图，如图2所示，
由（1）知：∠2＝∠1+∠3
∴∠BAC＝32°+56°＝88°．
（3）∠CPD＝|∠ACP﹣∠BDP|．
分两种情况：
①当点P在A点上方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图3所示．
∵PQ∥AC，
∴∠QPC＝∠ACP．
又∵PQ∥AC，BD∥AC，
∴PQ∥BD，
∴∠QPD＝∠BDP．
又∵∠CPD＝∠QPD﹣∠QPC，
∴∠CPD＝∠BDP﹣∠ACP；
②当点P在B点下方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图4所示．
同理可得：∠CPD＝∠ACP﹣∠BDP．
综上所述：∠CPD＝|∠ACP﹣∠BDP|．
15．解：（1）如图1，延长DE交AK于点F，
∵CF∥AK，
∴∠DFB＝∠CDE＝25°，
∵∠DFB+∠ABE＝∠DEB，∠DEB＝80°，
∴∠ABE＝80°﹣25°＝55°，
故答案为：55°；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥HN∥CD，
∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，
∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG＝∠ABE，
∵AB∥HN，
∴∠2＝∠ABG，
∵CF∥HN，
∴∠2+∠β＝∠3，
∴∠ABE+∠β＝∠3，
∵DH平分∠EDF，
∴∠3＝∠EDF，
∴∠ABE+∠β＝∠EDF，
∴∠β＝（∠EDF﹣∠ABE），
∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，
设∠DEB＝∠α，
∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β，
∵∠DEB比∠DHB大60°，
∴∠α﹣60°＝∠β，
∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°），
解得∠α＝100°．
∴∠DEB的度数为100°；
（3）∠PBM的度数不变，理由如下：
如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，
∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴∠EBM＝∠MBK＝∠EBK，
∠CDN＝∠EDN＝∠CDE，
∵ES∥CD，AB∥CD，
∴ES∥AB∥CD，
∴∠DES＝∠CDE，
∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，
∠G＝∠PBK，
由（2）可知：∠DEB＝100°，
∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，
∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，
∵BP∥DN，
∴∠CDN＝∠G，
∴∠PBK＝∠G＝∠CDN＝∠CDE，
∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK
＝∠EBK﹣∠CDE
＝（∠EBK﹣∠CDE）
＝×80°
＝40°．
∴∠PBM的度数不变，∠PBM＝40°．
16．（1）解：∵∠A＝35°，∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝90°﹣35°＝55°，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AEB＝55°．
（2）证明：过B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠ABD+∠ABG＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C．
（3）解：过B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）得∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
在△BCF中，∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°①，
∴2α+β+3α+3α+β＝180°，
∵AB⊥BC，
∴β+β+2α＝90°②，
联立①②得，α＝15°，
∴∠DBE＝α＝15°．

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