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难题分析-万有引力定律
我国史记《宋会要》记载：我国古代天文学家在公元1054年就观察到超新星爆炸。这一爆炸后的超新星在公元1731年被英国一天文爱好者用望远镜观测到,是一团云雾状的东西，外形象一个螃蟹，人们称为“蟹状星云”。它是超大行星爆炸后向四周抛出的物体形成的。在1920年它对地球上的观察者张开的角度为360″。由此推断：“蟹状星云”对地球上的观察者所张开角度每年约增大0.24″，合2.0×10-6rad,它到地球距离约为5000光年。请你估算出此超新星爆炸发生于在公元前 年,爆炸抛射物的速度大约为 m/s 。
3946 ±10年 ，1.5×106
海洋占地球面积的71，它接受来自太阳的辐射能比陆地要大得多。根据联合国教科文组织提供的材料，全世界海洋能的可再生量，从理论上说近800亿千瓦。其中海洋潮汐能含量巨大.海洋潮汐是由于月球和太阳引力的作用而引起的海水周期性涨落现象。
理论证明：月球对海水的引潮力与成反比，即
。同理可证 。
潮汐能的大小随潮汐差而变，潮汐差越大则潮汐能越大。加拿大的芬迪湾，法国的塞纳河口，我国的钱塘江，印度和孟加拉国的恒河口等等，都是世界上潮汐差大的地区。1980年我国建成的浙江温岭江厦潮汐电子工业站，其装机容量为3000kW，规模居世界第二，仅次于法国的浪斯潮汐电站。已知地球的半径为6.4×106m.月球绕地球可近似看着圆周运动。通过估算再根据有关数据解释为什么月球对潮汐现象起主要作用？
（
答案：
由以下两式：
不难发现月球与地球的距离未知，可以把月球绕地球的运转近似的看着圆周运动，月球的公转周期约29d. ┄┄┄①1/则有┄┄┄┄②1/
和┄┄┄┄┄③1/得┄④1/
代入数据得┄┄┄┄┄┄┄┄┄⑤1/
再根据所给的理论模型有： ┄┄┄┄⑥1/
即月球的引力是太阳潮力的2.18倍，因此月球对潮汐起主要作用.┄┄⑦1/
来源：
题型：计算题，难度：综合
（10.浙江）宇宙飞船以周期为T绕地地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0。太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出的张角为α，则
A．飞船绕地球运动的线速度为
B．一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0
C．飞船每次“日全食”过程的时间为αT0/(2π)
D．飞船周期为T=
神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。
（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m’的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m’（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率v＝2.7×105m/s，运行周期T＝4.7π×104s，质量m1＝6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G＝6.67×10－11N·m2/kg2，ms＝2.0×1030kg）
答案：
（1）设A、B的圆轨道半径分别为、，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛顿运动定律，有
设A、B之间的距离为，又，由上述各式得 ①
由万有引力定律，有，将①代入得
令 比较可得 ②
（2）由牛顿第二定律，有 ③又可见星A的轨道半径 ④
由②③④式解得 ⑤
（3）将代入⑤式，得
代入数据得 ⑥
设，将其代入⑥式，得 ⑦
可见，的值随的增大而增大，试令，得 ⑧
若使⑦式成立，则必大于2，即暗星B的质量必大于2，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。
来源：2006年高考天津
题型：计算题，难度：应用
经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形势和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。 现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是，两者相距。他们正绕两者连线的中点作圆周运动。
(1) 试计算该双星系统的运动周期T1 ；
(2)若实验上观测到的运动周期为T2，且T2:T1=1: (N>1)。为了解释T2与T1的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其它暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。
答案：
（1）双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，则有
得
（2）根据观测结果，星体的运动周期
这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其他指向中心的作用力，按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量位于中点处的质量点相同.考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度，则有
得 将解得的T1、T2代入T2:T1=1:
得
设所求暗物质的密度为，则有 故
来源：
题型：计算题，难度：应用
1.若近似认为月球绕地公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29．5 天（图示是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图）。求：月球绕地球转一周所用的时间T（因月球总是一面朝向地球，故T恰是月球自转周期）。（提示：可借鉴恒星日、太阳日的解释方法）。
【解析】用物理角速度、线速度原理解答，
地球绕太阳公转每天的角速度ω=2π/365（取回归年365天）。从上次满月到下次满月地球公转了θ角，用了29．5天。
所以，θ＝ω·29．5=2π/365×29．5（天）。
月球在两满月之间转过（2π＋θ），用了29．5天，所以月球每天的角速度ω/=
根据周期公式T=2π/ω/（即月球3600除以每天角速度所花的时间）得：
T＝2π/，因为θ=2π/365×29．5 所以T=27.3天
2.地球赤道上的N城市想实施一个“人造月亮”计划，在地球同步卫星上用一面平面镜将太阳光射到地球上，使这座城市在午夜时分有“日出”时的效果，若此时的N城市正值盛夏季节，地球的半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，太阳在非常遥远的地方．求
（1)地球同步卫星离地心的距离
(2)悬挂平面镜的同步卫星所在经度平面的经度与N城的经度差α。
（3)此时平面镜与卫星所在经度平面的夹角θ
解析：（1)设地球及同步卫星的质量分别为M,m，则
又：g＝GM/R2，可得：
(2)过赤道平面的截面图如图所示，水平入射光线MA经反射后的反射光线AN与地球相切，故∠MAN＝900
卫星所在经线在平面内的投影为OA,N城市所在经线在平面内的投影为ON,
所以：α＝arccos ( R/r)
θ＝450＋arcsin（R/r）
3.早在19世纪,匈牙利物理学家厄缶就明确指出:“沿水平地面向东运动的物体、其重量(即:列车的视重或列车对水平轨道的压力)一定要减轻”.后来,人们常把这类物理现象称之为“厄缶效应”.如图所示:我们设想,在地球赤道附近的地平线上,有一列质量是M的列车,正在以速率v沿水平轨道匀速向东行驶.已知①地球的半径R;②地球的自转周期T.今天我们像厄缶一样,如果仅仅考虑地球的自转影响(火车随地球做线速度为的圆周运动)时,火车对轨道的压力为N;在此基础上,又考虑到这列火车相对地面又附加了一个线速度v做更快的匀速圆周运动,并设此时火车对轨道的压力为N′,那么,单纯地由于该火车向东行驶而引起火车对轨道的压力减轻的数量(N-N′)为(B )
A. B.M［］
C.M D.M［］
4．我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影）。
解：如图，O和O′分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，A是地月连心级OO′与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点，根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点。卫星在上运动时发出的信号被遮挡。
设探月卫星的质量为m0,万有引力常量为G，根据万有引力定律有
①
②
式中，T1是探月卫星绕月球转动的周期。由①②式得 ③
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应有
④
式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B。由几何关系得
⑤ ⑥
由③④⑤⑥式得 ⑦
评分参考：①②式各4分，④式5分，⑤⑥式各2分，⑦式3分。得到结果
的也同样给分。
10．假设太阳系内某行星和地球的公转轨道均为圆形，且在同一平面内，如图所示，半径较小的轨道是某行星公转的轨道，半径较大的轨道是地球公转的轨道。在地球上观测，发现该行星与太阳可呈现的视角（太阳与行星均看成质点，它们与眼睛连线的夹角）有最大值，并且最大视角的正弦值为。则该行星的公转周期为多少年？
10．解：设太阳的质量为M，地球质量为m0，地球轨道半径为r0，公转周期为T0，该行星质量为m，轨道半径为r，公转周期为T。当眼睛和该行星的连线与行星公转轨道相切时，视角最大，此时有
，
， ，
联立解得 。
5.设A、B为地球赤道圆的一条直径的两端，利用地球同步卫星将一电磁波信号由A传播到B，至少需要几颗同步卫星？这几颗同步卫星间的最近距离是多少？用这几颗同步卫星把电磁波信号由A传播到B需要的时间是多少？已知地球半径R，地表面处的重力加速度g，地球自转周期T。不考虑大气层对电磁波的影响，且电磁波在空气中的传播速度为c。
【解析】由图可明显地看出，为实现上述目的，至少需要两颗同步卫星，其位置在P1、P2；且这两颗同步卫星的最近距离是。
设同步卫星的轨道半径为，则有
又在地表面处，有
解得
由图可见，此时通过这两颗同步卫星由A到B传播电磁波信号经过的路程为
而根据勾股定理，有
故 电磁波信号由A传播到B需要的时间
6. 地球质量为M，半径为R，自转角速度为。万有引力恒量为G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的万有引力势能可表示为。国际空间站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大气层上空绕地球飞行的一个巨大人造天体，可供宇航员在其上居住和科学实验。设空间站离地面高度为h，如果杂该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行，由该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？
解析：由得，卫星在空间站上动能为
卫星在空间站上的引力势能为
机械能为
同步卫星在轨道上正常运行时有 故其轨道半径
由上式可得同步卫星的机械能
卫星运动过程中机械能守恒，故离开航天飞机的卫星的机械能应为E2设离开航天飞机时卫星的动能为 则＝.
例4、（2004年广西物理试题）某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。
分析与解：设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离.有
春分时，太阳光直射地球赤道，如图6所示，图中圆E表示赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心. 由图6可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它. 据此再考虑到对称性，有
由以上各式可解得
7．如图所示为宇宙中一恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O运行轨道近似为圆，天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R0，周期为T0。
（1）中央恒星O的质量是多大？
（2）长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且周期性的每隔t0时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离。根据上述现象和假设，你能对未知行星B的运动得到哪些定量的预测？
解：设中央恒星质量为M，A行星质量为m，则由万有引力定律和牛顿第二定律得
①
解得 ②
（2）由题意可知，A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔t0时间相距最近。
设B行星周期为TB，则有： ③
解得： ④
设B行星的质量为mB，运动的轨道半径为RB，则有
⑤
由①④⑤得： ⑥
8.如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为；石油密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。
设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常
若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在与（k>1）之间变
化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。
答案（1）
（2）,
【解析】本题考查万有引力部分的知识.
(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力………①来计算,式中的m是Q点处某质点的质量,M是填充后球形区域的质量,……………②
而r是球形空腔中心O至Q点的距离………③在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小.Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向,重力加速度反常是这一改变在竖直方向上的投影………④联立以上式子得
,…………⑤
(2)由⑤式得,重力加速度反常的最大值和最小值分别为……⑥
……………⑦由提设有、……⑧
联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为
,
O
R
A
α
O
α
θ
第10题图
图6
太阳光
E
O
S
A
R
r
θ

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