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目 录

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 ..................................................................................................................................... 3
1．1 集合的概念及运算 ..................................................................................................................................................... 3
1．2 常用逻辑用语 ........................................................................................................................................................... 10
1．3 不等式的性质 ................................................................................................................................................................... 16
1．4 一元二次不等式及其解法 ....................................................................................................................................... 24
1．5 基本不等式 ............................................................................................................................................................... 31
................................ 39
第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ ................................................................................................................................... 43
2．1 函数的概念及其表示 ............................................................................................................................................... 44
2．2 函数的单调性与最值 ............................................................................................................................................... 53
2．3 函数的奇偶性与周期性 ........................................................................................................................................... 62
2．4 幂函数与二次函数 ................................................................................................................................................... 71
2．5 指数与指数函数 ....................................................................................................................................................... 81
2．6 对数与对数函数 ....................................................................................................................................................... 89
2．7 函数的图象 ............................................................................................................................................................... 97
2．8 函数与方程 ............................................................................................................................................................. 106
2．9 函数模型及其应用 ................................................................................................................................................. 114
.............................. 123
第三章 导数及其应用 ............................................................................................................................................................. 128
3．1 导数的概念及运算 ................................................................................................................................................. 129
3．2 利用导数研究函数的单调性 ................................................................................................................................. 136
3．3 利用导数研究函数的极值、最值 ......................................................................................................................... 144
综合突破一 导数的综合问 题 ......................................................................................................................................... 152
.............................. 167
第四章 三角函数与解三角形 ................................................................................................................................................. 172
4．1 弧度制及任意角的三角函数 ................................................................................................................................. 173
4．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式 ................................................................................................................. 181
4．3 三角恒等变换 ......................................................................................................................................................... 188
4．4 三角函数的图象与性质 ......................................................................................................................................... 195
4．5 函数 y＝Asin(ωx＋φ)及三角函数应用 .................................................................................................................. 206
4．6 解三角形 ................................................................................................................................................................. 218
综合突破二 三角函数与解三角形的综合问题 ............................................................................................................. 227
.............................. 236
第五章 平面向量与复数 ......................................................................................................................................................... 243
5．1 平面向量的概念及线性运算 ................................................................................................................................. 244
5．2 平面向量的基本定理及坐标表示 ......................................................................................................................... 254
5．3 平面向量的数量积及应用举例 ............................................................................................................................. 262
5．4 复数的概念及运算 ................................................................................................................................................. 272
.............................. 278
第六章 数 列 ..................................................................................................................................................................... 283
6．1 数列的概念与简单表示法 ..................................................................................................................................... 284
6．2 等差数列及其前 n项和 ......................................................................................................................................... 293
6．3 等比数列及其前 n项和 ......................................................................................................................................... 300
6．4 数列求和及应用 ..................................................................................................................................................... 308
1
综合突破三 数列综合问题 ............................................................................................................................................. 318
.............................. 326
第七章 立体几何 ....................................................................................................................................................................... 332
7．1 空间几何体的结构、表面积与体积 ..................................................................................................................... 333
7．2 空间点、直线、平面之间的位置关系 ................................................................................................................. 345
7．3 直线、平面平行的判定与性质 ............................................................................................................................. 353
7．4 直线、平面垂直的判定与性质 ............................................................................................................................. 364
7．5 空间直角坐标系、空间向量及其运算 ................................................................................................................. 375
综合突破四 立体几何综合问题 ..................................................................................................................................... 388
.............................. 403
第八章 平面解析几何 ............................................................................................................................................................... 412
8．1 直线与方程 ............................................................................................................................................................. 413
8．2 两条直线的位置关系 ............................................................................................................................................. 420
8．3 圆的方程 ................................................................................................................................................................. 428
8．4 直线与圆、圆与圆的位置关系 ............................................................................................................................. 435
8．5 椭圆 ......................................................................................................................................................................... 443
8．6 双曲线 ..................................................................................................................................................................... 454
8．7 抛物线 ..................................................................................................................................................................... 464
综合突破五 圆锥曲线的综合问题 ................................................................................................................................. 473
.............................. 489
第九章 计数原理、概率与统计 ............................................................................................................................................. 495
9．1 两个计数原理、排列与组合 ................................................................................................................................. 496
9．2 二项式定理 ............................................................................................................................................................. 504
9．3 随机事件的概率与古典概型 ................................................................................................................................. 511
9．4 离散型随机变量的分布列、均值与方差 ............................................................................................................. 521
9．5 二项分布与正态分布 ............................................................................................................................................. 531
9．6 抽样方法与总体分布的估计 ................................................................................................................................. 543
9．7 变量间的相关关系与统计案例 ............................................................................................................................. 554
综合突破六 概率与统计综合问题 ................................................................................................................................. 567
.............................. 578
2

第一章 集合与常 用逻辑用语、不等式
考点要求

1．集合的含义与表示 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 ．
(1)了解集合的含义 ，理解元素与集合的属于 关系 ． 5．全称量词与存在量词
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言 (列举法或描 (1)理解全称量词与存在量词的意义 ．
述法 )描述不同的具体问题 ． (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定 ．
2．集合间的基本关系 6．不等关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义 ，能识别给定集合 了解现实世界和日常生活中的不等关系 ，了解不等式
的子集 ． (组 )的实际背景 ．
(2)在具体情境中 ，了解全集与空集的含义 ． 7．一元二次不等式
3．集合的基本运算 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 ．
(1)理解两个集合的并集与交集的含义 ，能求两个集合 (2)通过一元二次函数图象了解一元二次不等式与相
的并集与交集 ． 应的二次函数、一元二次方程的联系 ．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义 ，能求给 (3)会解一元二次不等式 ．
定 子集的补集 ． a＋ b
8．基本不等式： ≥ ab(a≥0， b≥0)
(3)能使用韦恩 (Venn)图表达集合的基本关系及 基本 2
运算 ． (1)了解基本不等式的证明过程 ．
4．充要条件 (2)能用基本不等式解决简单的求最大 (小 )值问题 ．

1． 1 集合的概念及运算
中的元素 ，就说 a________集合 A，记作 ________；如果
必备知识
a 不是集合 A 中的元素 ，就说 a________集合 A，记作
【教材梳理】 ________．
1．集合的基本概念 (2)集合与集合之间的关系
(1)我们把研究对象统称为 ________，把一些元素组成
的总体叫做 ________． 表示 文字语言 符号语言
(2)集合中元素的三个特性： ______，______， 关系
_________________________________________________ 集合 A与集合 B中 __________?A
相等
_______________________． 的所有元素都相同 ＝B
(3)集合常用的表示方法： ________和 ________． A中任意一个元素 ________或
子集
2．常用数集的符号 均为 B中的元素 ________
自然 正整 整数 有理 实数 复数 A中任意一个元素
数集 数集 数集 集 数集 集 集 均为 B中的元素 ，且
真子集
B中至少有一个元 ________或
素不是 中的元素
符号 A ________
空集是任何集合的
??A，? B
3．元素与集合、集合与集合之间的关系 空集 子集 ，是任何 ______
(B≠?)
(1)元素与集合之间存在两种关系：如果 a 是集合 A 的真子集
3
4．两个集合 A与 B之间的运算
判断 下列命题是否 正确 ，正 确的在括号内 画
集合的并集 集合的交集 集合的补集 “√”，错误的画 “×”．
任何一个集合都至少有两个子集 ．
若全集为 (1) ( )
符号 (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋
U，则集合 A
．
表示 的补集记为 1} ( )
(3)若 {x2，1}＝{0，1}，则 x＝0，1． ( )
________
韦恩 (4)对于任意两个集合 A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成
(Venn)
立 ．
图表示 ( )
(阴
若 ∩ ＝ ∩ ，则 ＝ ．
影部分 (5) A B A C B C ( )
) 解：
意义 (1)×； (2)×； (3)×； (4)√； (5)×．

(2020全国卷 Ⅰ)已知集合 A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝
5． 集合运算中重要关系式
{－4，1，3，5}，则 A∩B＝ ( )
(1)①A∩B________A；②A∩B________B；
A．{－4，1} B．{1，5}
③A∩A＝________； ④A∩?＝________；
C．{3，5} D．{1，3}
⑤A∩B________B∩A．
解： 由 x2－ 3x－ 4<0 解得－ 1(2)①A∪B________A; ②A∪B________B；
1③A∪A＝________； ④A∪?＝________；
选 D．
⑤A∪B________B∪A．
( 2021届湖南省高三二模 ) 已知集合 A ＝
(3)①?U(?UA)＝________； ②?UU＝________；
{x∈N|ln2x<1}，则 A＝ ( )
③?U?＝________； ④A∩(?UA)＝________；
⑤ ? 1 ?
A∪(?UA)＝________． A．?x| ? e ?
(4)①A∩B＝A?________?A∪B＝B；
C．{2} D．{1，2}
②A∩B＝A∪B?____________．
【常用结论】 1
解： 由 ln2x<1， 可得－ 1e
6．集合 {a1，a2，…，an}的子集有 2n 个 ，非空子集
又因为 ∈ ， 所以 ＝ 1， 2 ． 故选 ．
有 2n－1个 ，非空真子集有 2n－2个 ． x N A { } D

(2021年新高考八省模拟演练 )已知 M，N均为 R的
7．记有限集合 A，B的元素个数为 card(A)，card(B)，
子集 ，且 ?RM?N，则 M∪(?RN)＝( )
则：
A．? B．M C．N D．R
card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；
解法一： 因为 ?RM?N， 所以 M??RN， 所以 M∪ (?RN)
card( ? U(A∪B)) ＝ card(U) － card(A) － card(B) ＋
＝ M．
card(A∩B)．
8．五个关系式： A?B，A∩B＝A，A∪B＝B，?UB
??UA以及 A∩(?UB)＝?是两两等价的 ．
【自查自纠】
解法二： 如图所示 ， 设矩形 ABCD表示全集 R， 矩形
1．(1)元素 集合 (2)确定性 互异性 无序性
区域 ABHE表示集合 M， 则矩形区域 CDEH表示集合 ?RM，
(3)列举法 描述法
矩形区域 CDFG 表示集合 N， 满足 ?RM?N， 结合图形可
2． N N*(N＋ ) Z Q R C
得 ， M∪ (?RN)＝ M． 故选 B．
3． (1)属于 a∈A 不属于 a?A
(2020届江苏泰州中学等三校 11月联考 )集合 A＝{x|
(2)A?B且 B?A A?B B?A A B B A
－1＜x＜0}，B＝{x|x≤a}，若 A∪B＝B，则实数 a的取值
非空集合
范围是 ________．
4． A∪B A∩B ?UA {x|x∈A或 x∈B}
解： 由 A∪B＝ B， 知 A?B，
{x|x∈ A且 x∈B} {x|x∈U且 x?A}
5． (1)①? ②? ③A ④? ⑤＝

(2)①? ②? ③A ④A ⑤＝
观察得 a≥0． 故填 [0， ＋ ∞)．
(3)①A ②? ③U ④? ⑤U

(4)①A?B ②A＝ B



4
① 当 m＝ 0时 ， 不满足元素的互异性 ， 舍去；
考点一 集合的含义与表示 ② 当 m＝ 3时 ， 此时集合 A＝ {0， 2， 3}， 符合题意 ．
故选 A．
(1)(2020全国卷 Ⅲ)已知集合 A＝{(x，y)|x，y∈
N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则 A∩B中元素的个数
为 ( ) 考点二 集合间的基本关系
A．2 B．3 C．4 D．6
??y≥x，
解： 由题意 ， A∩ B 中的元素满足 ? 且 x， y 1 －x
??x＋ y＝ 8， (2020湖北黄石期中 )设集合 A＝{x| ≤2 ≤4}，
32
2 2
∈ N*， 由 x＋ y＝ 8≥2x， 得 x≤4， 所以满足 x＋ y＝ 8的元 B＝{x|x －3mx＋2m －m－1<0}．
素 有 (1， 7)， (2， 6)， (3， 5)， (4， 4)， 故 A∩B 中元素的 (1)当 x∈Z时 ，求 A的非空真子集的个数；
个数为 4． 故选 C． (2)若 B＝?，求 m的取值范围；
(2)【多选题 】若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只 (3)若 A?B，求 m的取值范围 ．
有一个元素 ，则实数 a可能等于 ( ) 解： 集合 A＝ {x|－ 2≤x≤5}， 集合 B＝ {x|(x－ m＋ 1)(x
9 9 － 2m－ 1)<0}．
A． B． C．0 D．1
2 8 (1)因为 x∈Z， 所以 A＝ {－ 2， － 1， 0， 1， 2， 3， 4，
解： 若集合 A中只有一个元素 ， 则方程 ax2－ 3x＋ 2＝ 5}， 即 A 中含有 8 个元素 ， 故 A 的非空真子集的个数为
8
0只有一个实根或有两个相等实根 ． 2 － 2＝ 254．
2 (2)若 B＝ ?， 则 Δ＝ (－ 3m)2－ 4(2m2－ m－ 1)≤0， 得 (m
当 a＝ 0时 ， x＝ ， 符合题意；
3 ＋ 2)2≤0， 得 m＝－ 2．
9 (3)①当 m＝－ 2时 ， B＝ ??A；
当 a≠0 时 ， 由 Δ＝ (－ 3)2－ 8a＝ 0， 得 a＝ ， 所以 a
8 ② 当 m<－ 2时 ， 2m＋ 1－ (m－ 1)＝ 2＋ m<0， 所以 B＝
9
的取值为 0或 ． 故选 BC． ??2m＋ 1≥－ 2， 3
8 (2m＋ 1， m－ 1)， 因此 ， 若 B?A， 则 ? ?－
??m－ 1≤5， 2
【点拨】 用描述法表示集合 ， 先要弄清集合中代表
元素的含义 ， 再看元素的限制条件 ， 明确集合类型 ， 是数 ≤m≤6， 所以 m的值不存在；
集、点集还是其他类型的集合 ， 要知道 {x|y＝ f(x)}， {y|y＝ ③ 当 m>－ 2时 ， B＝ (m－ 1， 2m＋ 1)， 因此 ， 若 B?A，
f(x)}， {(x， y)|y＝ f(x)}三者是不同的 ． 弄清代表元素的含
??m－ 1≥－ 2，
义后 ， 再依据元素特征构造关系式解决问题 ． 题 (2)集合 A 则 ? ?－ 1≤m≤2．
??2m＋ 1≤5，
中只有一个元素 ， 要分 a＝ 0与 a≠0两种情况进行讨论 ．
(1)(2020 西安市长安区第五中学月考 )已知集 综上所述 ， m的取值范围是 {－ 2}∪[－ 1， 2]．
? 3 ? 【点拨】 ①判断集合关系主要 有两种方法：一是化
合 A＝?x|x∈N，且 ∈Z?，则集合 A 中的元素个数
? 2－x ? 简集合 ， 从表达式中寻找集合的关系；二是列举或数形结
为 ( ) 合 ， 从元素或图形中寻找两集合的关系 ． ②已知两个集合
A．2 B．3 C．4 D．5 之间的关系求参数时 ， 要根据集合间的关系来确定元素之
? 3 ? 间的关系 ， 须关注子集是否为空集 ． 一般地 ， 当集合为有
解： 因为 A＝ ?x|x∈ N， 且 ∈Z?， 所以 |2－ x|≤3，
? 2－ x ? 限集时 ， 往往通过列方程或方程组来处理 ， 此时需注意集
且 x≠2， 所以－ 1≤x<2或 23 数轴列不等式或 不等式组来求解 ， 要注意运用分类与整
1， 3， 4， 5， 当 x＝ 1， 3， 5时 ， ∈ Z成立 ， 故集合 A
2－ x 合、数形结合等思想方法 ， 尤其需注意端点值能否取到 ．
中的元素有 3个 ． 故选 B． (1)【多选题 】(2020－ 2021学年湖北天门市高
(2)(2019－ 2020学年福建南安一中高一上段考 )已知集 ? kπ π ?
一 10月考 )已知集合 M＝?x|x＝ ＋ ，k∈Z?，集合 N＝
合 A＝{0，m，m2－3m＋2}，且 2∈A，则实数 m的值为 ( ) ? 4 4 ?
A．3 B．2 C．0或 3 D．0或 2或 3 ? kπ π ?
?x|x＝ － ，k∈Z?，则 ( )
解： 由题意 ， 知 2∈A， 可得当 m＝ 2时 ， m2－ 3m＋ 2 ? 8 4 ?
＝ 0， 不满足集合元素的互异性 ， 舍去；当 m2－ 3m＋ 2＝ 2， A．M∩N≠? B．M?N
解得 m＝ 3或 m＝ 0． C．N M D．M∪N＝N
5
kπ π （ k＋ 1） π 1
解： 对集合 M， 有 x＝ ＋ ＝ ， k∈ Z， 对 解： 根据题意 ， U＝ {y|y＝ 2x， x≥－ 1}＝ ? ， ＋ ∞?， A
4 4 4 ?2 ?
kπ π （ k－ 2） π （ k＋ 1） π ? 1 ? 1
集合 N， 有 x＝ － ＝ ， k∈ Z， 由 ＝ ＝ ?x? ≥1?＝ (1， 2]， B＝ [1， 2]， 则 ?UA＝ ? ， 1?∪ (2，
8 4 8 4 ? ?x－ 1 ? ?2 ?
2（ k＋ 1） π 1
知集合 M 中的任意一个元素都在集合 N 中 ， ＋ ∞)， B∪ (?UA)＝ ? ， ＋ ∞?． 故选 D．
8 ?2 ?
3π
而 当 N中元素取 时 ， 集合 M中不存在该元素 ， 故 M∩N≠
8 命 题角度 2 由集合的运算求参数
?且 M?N， M∪ N＝ N． 故选 ABD．
(2)已知集合 A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋11}，若 B?A，则实数 m的取值范围是 ( ) {x|2x＋a≤0}，且 A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则 a＝ ( )
A．(－∞，2] B．(2，4] A．－4 B．－2 C．2 D．4
C．[2，4] D．(－∞，4] 解： 由 x2－ 4≤0， 可得 A＝ {x|－ 2≤x≤2}， 由 2x＋
解： 当 B＝ ?时 ， 有 m＋ 1≥2m－ 1， 则 m≤2； ? a?
a≤0， 可得 B＝ ?x|x≤－ ?． 因为 A∩B＝ {x|－ 2≤x≤1}，
? 2?
?m＋ 1≥－ 2，
? a
当 B≠?时 ， 若 B?A， 如图所示 ， 则 ?2m－ 1≤7， 故－ ＝ 1， 解得 a＝－ 2． 故选 B．
2
??m＋ 1<2m－ 1， 【点拨】 集合运算中的求参数问题 ， 首先要会化简集
合 ， 因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查 ，
以体现综合性 ， 其次注意数形结合 (包括用 Venn 图 )及端
解得 2 集合 P＝{x∈R||x－1|<1}，Q＝{x∈R||x－a|≤
1}，且 P∩Q＝?，则实数 a的取值范围为 ( )
考点三 集合的基本运算
A．{a|a≥3} B．{a|a≤－1}
命题角度 1 交、并、补运算 C．{a|a≤－1或 a≥3} D．{a|－1≤a≤3}
解： P＝ {x|0(2019届烟台市高三 5月适应性练习（二） )设集 ∩ Q＝ ?， 则 a＋ 1≤0或 a－ 1≥2， 解得 a≤－ 1或 a≥3． 故
合 A＝{x|y＝ x－3}，B＝{y|y＝2x，x≤3}，则集合 (?RA)∩B 选 C．
＝ ( )
A．{x|x<3} B．{x|x≤3} 考点四 韦恩 (Venn)图及其应用
C．{x|0解： 因为 A＝ {x|y＝ x－ 3}＝ {x|x≥3}， 所以 ?RA＝ (2019兰州高三月考 )设全集 U＝R，A＝{x|x2－x
{x|x<3}， 又 B＝ {y|y＝ 2x， x≤3}＝ {y|0所以 (?RA)∩B＝ {x|0【点拨】 ①集合的运算问题 ， 一般要先研究集合中
元素的构成 ， 能化简的要先化简 ， 同时注意数形结合 ， 即
借助数轴、坐标系、韦恩 (Venn)图等进行运算； ②注意延
伸知识的考查 ， 本题考查了集合的交集运算、补集运算 ， A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}
但正确求出函数 y＝ x－ 3的定义域 ， 函数 y＝ 2x(x≤3)的 C．{x|0值域才是解题的关键 ． 解： 由韦恩图知阴影部分表示的是 A∩(?UB)．
(2020湖南师大附中月考 )已知 U＝{y|y＝2x，x 因为 A＝ {x|x2－ x－ 2＜ 0}＝ {x|－ 1＜ x＜ 2}，
? 1 ? B＝ {x|y＝ ln(1－ x)}＝ {x|x＜ 1}，
≥－1}，A＝?x? ≥1?，B＝{x|x2＋2≤3x}，则 B∪(?UA)
? ?x－1 ? 所以 ?UB＝ {x|x≥1}， 所以 A∩(?UB)＝ {x|1≤x＜ 2}．
＝ ( ) 所以阴影部分对应的集合是 {x|1≤x＜ 2}． 故选 B．
1 【点拨】 ①韦恩 图能更直观地表示集合之间的
A．? ，2? (Venn)
B．[2，＋∞)
?2 ? 关系 ， 先分析集合关系 ， 化简集合 ， 再由韦恩 (Venn)图所
1 表示的集合 关系进行运算； ②对复杂的集合关系问题 ， 或
C．? ，1? 1
∪(2，＋∞) D．? ，＋∞?
?2 ? ?2 ? 相关的数学应用问题 ， 可通过构造韦恩 (Venn)图进行求解 ．
6
(原创改编 )“四书五经 ”是中国传统文化瑰 分明； (iii)能不分类的要尽量避免分类或尽量推迟分类 ，
宝 ，是儒家思想的核心载体 ，其中 “四书 ”指《大学》《中 具体方法大体有 “引入参数法 ”“分离参数反客为主
庸》《论语》《孟子》 ．某大学为了解本校学生阅读 “四书 ” 法 ”“整体化归法 ”等 ． ③分类问题的求解步骤： (i)确定
的情况 ，随机调查 200位学生 ，其中阅读过《大学》的有 分类与整合的对象； (ii)合理分类； (iii)逐类讨论； (iv)归纳
60位 ，阅读过 《论语》的有 160位 ，阅读过《大学》或《论 总结 ．
语》的有 180位 ，阅读过《大学》且阅读过《论语 》及《中
庸》的有 20 位 ．则该校阅读过《大学》及《论语》但未 已知集合 A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集
阅读过《中庸》的学生人数与该校学生总数比值的估计值 合 A有且仅有两个子集 ，则 a的值是 ________．
是 ( ) 解： 因为 A有且仅有两个子集 ， 所以 A仅有一个元素 ，
A．0．1 B．0．2 C．0．3 D．0．4 当 a＝ 0时 ， 方程化为 2x＝ 0， A＝ {0}， 符合题意；
解： 如图 ， 当 a≠ 0时 ， 方程 ax2＋ 2x＋ a＝ 0有两相等实根 ， Δ＝
4－ 4a2＝ 0， 解得 a＝ ±1， 此时 A＝ {－ 1}或 {1}， 符合题意 ．
综上所述 ， a＝ 0或 a＝ ±1． 故填 0或 ±1．



阅读过《大学》且阅读过《论语》的人数是 160＋ 60 【巩固强化】
－ 180＝ 40， 40－ 20＝ 20， 故由样本估计总体 ， 可得所求 1．(2020全国卷 Ⅲ)已知集合 A＝{1，2，3，5，7，11}，
20 B＝{x|3为 ＝ 0． 1． 故选 A．
200 A．2 B．3 C．4 D．5
解： 由题意 ， A∩ B＝ {5， 7， 11}， 故 A∩B中元素的
个数为 3． 故选 B．
2．(2020届湖北武汉市部分学校高三起点质监 )已知集
思想方法微专题 ·分类与整合思想在集合中 合 A＝{x|x2－x－2>0}，则 ?RA＝ ( )
的应用 A．{x|－1已知集合 A＝{x|1＜ax＜2}，B＝{x|－2＜x＜1}， C．{x|x<－1或 x＞2} D．{x|x≤－1或 x≥2}
若 A?B，则实数 a的取值范围为 ________． 解： 解不等式 x2－ x－ 2>0得 x＜－ 1或 x＞ 2， 所以 A
解： ①当 a＝ 0时 ， A＝ ?， 满足 A?B． ＝ {x|x<－ 1或 x>2}， 所以可以求得 ?RA＝ {x|－ 1≤x≤2}． 故
? 1 2? 选 B．
② 当 a＞ 0时 ， A＝ ?x ＜ x＜ ?．
? |a a? 3．(2019天津卷 )设集合 A＝{－1，1，2，3，5}，B
2 ＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则 (A∩C)∪B＝( )
因为 A?B， 所以 ≤1即 a≥2．
a A．{2} B．{2，3}
? 2 1? C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}
③ 当 a＜ 0时 ， A＝ ?x ＜ x＜ ?．
? |a a? 解： 因为 A∩C＝ {1， 2}， 所以 (A∩C)∪B＝ {1， 2， 3，
2 4}． 故选 D．
因为 A?B， 所以 ≥－ 2即 a≤－ 1．
a 4．(2020届海南东方市八所中学高三上第二次月考 )
综上 ， 实数 a的取值范围是 (－ ∞， － 1]∪{0}∪[2， ＋ 已知全集 U＝R，集合 A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥3}，
∞)． 则图中阴影部分所表示的集合为 ( )
故填 (－ ∞， － 1]∪{0}∪[2， ＋ ∞)．
【点拨】 ①本例是由目标的多种可能性引发的分类
与整合 ． 分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解
成若干个基础性问题 ， 通过对基础性问题的解答来实现原 A．{1，2}
问题的解决 ． 对问题实行分类与整合 ， 其分类标准等于增 B．{4，5}
加了一个已知条件 ， 实现了有效增设 ， 将大问题 (或综合性 C．{1，2，3}
问题 )分解成小问题 (或基础性问题 )， 优化了解题思路 ， 降 D．{3，4，5}
低了问题难度 ． 简而言之 ， 分类与整 合思想就是化整为零 ， 解： 图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合 A
各个击破 ， 再积零为整的数学思想 ． ②分类与整合的原则： 中 ， 但不在集合 B中的元素 ， 即阴影部分表示的集合为 (?
(i)不重复 ， 不遗漏； (ii)标准统一 ， 分类的对象确定 ， 层次 UB)∩A，
7
又 A＝ {1， 2， 3， 4， 5}， B＝ {x∈R|x≥3}． ?1 1? ? 1 1?
C．? ， ? D．?0， ， ?
因为 ?UB＝ {x|x＜ 3}， 所以 (?UB)∩A＝ {1， 2}． ?3 4? ? 3 4?
则图中阴影部分表示的集合是 {1， 2}． 故选 A． 解： 由 A∩B＝ A， 得 A?B． 因为 B＝ {x|15．(2018全国卷 Ⅱ )已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x x∈ N*}＝ {x|2∈Z，y∈Z}，则 A中元素的个数为 ( ) 程 ax－ 1＝ 0无实数解 ， 所以 a＝ 0， 此时显然有 A?B， 符
A．9 B．8 C．5 D．4 1
合题意；当 A≠?时 ， 则由方程 ax－ 1＝ 0， 得 x＝ ． 要使
a
1 1 1 1
A?B， 则 ＝ 3或 ＝ 4， 即 a＝ 或 ． 综上所述 ， a的所有
a a 3 4
? 1 1?
可能取值组成的集合 是 ?0， ， ?． 故选 D．
? 3 4?
解法一： 集合 A＝ {(－ 1， － 1)， (－ 1， 0)， (－ 1， 1)， 10．已知集合 A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{－1，0，
(0， － 1)， (0， 0)， (0， 1)， (1， － 1)， (1， 0)， (1， 1)}， 1}，设函数 f(x)是从 A 到 B 的函数 ，则函数 f(x)的值域的
共 9个元素 ． 可能情况的个数为 ( )
解法二： A 表示由圆 x2＋ y2＝ 3 内部及边界上所有整 A．1 B．3 C．7 D．8
数点构成的集合 ． 如图 ， 则圆内部共有 9 个满足题意的 解： 函数 f(x)的值域的可能情况有： {－ 1}， {0}， {1}，
点 ． 故选 A． {－ 1， 0}， {0， 1}， {－ 1， 1}， {－ 1， 0， 1}， 共 7 种不
6． 设集合 P＝{m|－1＜m≤0}，Q＝{m∈R|mx2＋4mx 同的情况 ． 故选 C．
－4＜0对 任意实数 x恒成立 }，则下列关系成立的是 ( ) 11．(2021北京东城区高三月考 )某单位周一、周二开
A．P Q B．P Q C．P＝Q D．P∩Q＝? 车上班的职工人数分别是 14，10．若这两天中至少有 一天
解： Q＝ {m∈R|mx2＋ 4mx－ 4＜ 0 对任意实数 x 恒成 开车上班的职工人数是 20，则这两天中一天开车一天不开
立 }， 对 m 分类： ①当 m＝ 0时 ， － 4＜ 0 恒成立； ②当 m 车上班的职工人数是 ( )
＜ 0时 ， Δ＝ (4m)2－ 4×m×(－ 4)＜ 0， 解得－ 1＜ m＜ 0． 综 A．4 B．5 C．16 D．15
合 ①②知－ 1＜ m≤0． 故选 C．
7．【多选题 】(2020－ 2021 学年广东深圳七中高一上
段考 )由 a2，2－a，4组成一个集合 A，且集合 A中含有 3
个元素 ，则实数 a的取值可以是 ( ) 解： 设仅第一天开车人数为 a， 仅第二天开车人数为
A．－1 B．－2 C．6 D．2 b， 两天都开车人数为 x， 则由图知 a＋ x＋ b＋ x＝ 14＋ 10，
2 ＋ ＋ ＝ ， 两式相减得 ＝ ， ＋ ＝ ． 故选 ．
?a ≠ 2－ a， a b x 20 x 4 a b 16 C
? 12 ．( 2021汉阳一中高三联考 ) 已 知 集 合 A ＝
解： 由题意 ， 只须 2
?a ≠ 4， 解得 a≠±2 且 a≠1， －
? x 4
2
?2－ a≠4， {x∈R| ≤0}，B＝{x∈R|(x－2a)(x－a －1)<0}，若 A∩B
x＋1
结合选项知 A， C符合 ． 故选 AC． ＝?，则实数 a的取值范围是 ( )
8．【多选题 】(2020－ 2021 学年山东济宁邹城一中高 A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
一 10月考 )如图所示 ，阴影部分表示的集合是 ( ) C．{1}∪[2，＋∞) D．(1，＋∞)
解： 由 A中不等式变形得 (x－ 4)(x＋ 1)≤0， 且 x＋ 1≠0，
解得－ 1 ＋ 1， 即 a＝ 1时 ， B＝ ?， 合要求 ， 当 a≠1时 ， 2aA．(?UB)∩A B．(?UA)∩B B＝ (2a， a2＋ 1)， 则有 2a≥4或 a2＋ 1≤－ 1， 解得 a≥2．
C．?U(A∩B) D．A∩?U(A∩B) 综上 ， 实数 a的取值范围为 {1}∪[2， ＋ ∞)． 故选 C．
解： 利用集合的运算结合阴影部分可知 ， (?UB)∩A， 13．设集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，
A∩ ?U(A∩B)即为所求 ． 故选 AD． 则 A∩B的子集的个数是 ________．
【综合运用】 解： 因为指数函数 y＝ 3x的图象与圆 x2＋ y2＝ 1有两个
9．(2019吉林长春检测 )已知集合 A＝{x|ax－1＝0}， 交点 ， 则 A∩B中含有 2个元素 ， 所以 A∩B有 22＝ 4个子
B＝{x|1能取值组成的集合是 ( ) 14．若集合 {a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：
?1? ①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个是正确的 ，则 100a
A．? B．? ?
?3? ＋10b＋c＝________．
8
解： 可分下列三种情形：若只有 ①正确 ， 则 a≠2， b ABD．
≠ 2， c＝ 0， 所以 a＝ b＝ 1， 这与集合中元素的互异性矛盾 ， 16．当两个集合中一个集合为另一集合的子集时 ，称
所以只有 ①正确是不可能的；若只有 ②正确 ， 则 b＝ 2， a 这两个集合构成 “全食对集 ”；当两个集合有公共元素 ，
＝ 2， c＝ 0， 这与集合中元素的互异性矛盾 ， 所以只有 ② 但互不为对方的子集时 ，称这两个集合构成 “偏食对
正 确是不可能的；若只有 ③ 正确 ， 则 c≠0， a＝ 2， b≠ 2， ? 1 ?
集 ”．对于集合 A＝?－1， ，1?，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，
所以 b＝ 0， c＝ 1， 所以 100a＋ 10b＋ c＝ 100×2＋ 10×0＋ ? 2 ?
1＝ 201． 故填 201． 若 A与 B构成 “全食对集 ”，则 a的取值集合为 ________；
【拓广探索】 若 A与 B构成 “偏食对集 ”，则 a的取 值集合为 ________．
15．【多选题 】(2020－ 2021学年重庆市高一上 10月 解： 因为 B＝ {x|ax2＝ 1， a≥0}， 所以当 a＝ 0 时 ， B
考 )定义 A－B＝{x|x∈A，且 x?B}，A*B＝(A－B)∪(B－A) 为空集 ， 此时满足 B?A， 所以集合 A与 B构成 “全食对
叫做集合的对称差 ．若集合 A＝{y|y＝x＋2，－1≤x≤3}， ? 1 1 ? 1 1
集 ”；当 a＞ 0时 ， B＝ ? ， － ?， 由题意令 ＝ 1或
? 2 1 ? ? a a? a a
B＝?y?y＝ ， ≤x≤1?，则以下说法正确的是 ( )
? ? x 5 ? 1
＝ ， 解得 a＝ 1 或 a＝ 4． 检验：当 a＝ 0 时 ， B＝ ?， 当 a
A．B＝[2，10] B．A－B＝[1，2) 2
C．A*B＝(1，2]∪(5，10] D．A*B＝B*A ＝ 1时 ， B＝ {－ 1， 1}， A与 B构成 “全食对集 ”；当 a＝
解： 因为 A＝ {y|y＝ x＋ 2， － 1≤x≤3}＝ [1， 5]， B＝ ? 1 1?
4时 ， B＝ ?－ ， ?， A与 B构成 “偏食对集 ”．故填 {0，
2 1 ? 2 2?
{y|y＝ ， ≤x≤1}＝ [2， 10]， 故 A 正确；依题意 ， A－ B
x 5 1}； {4}．
＝ [1， 2)， B－ A＝ (5， 10]， 故 B 正确； A*B＝ (A－ B)∪(B
－ A)＝ [1， 2)∪(5， 10]， 故 C 错误； B*A＝ (B－ A)∪(A－
B)＝ [1， 2)∪(5， 10]， 所以 A*B＝ B*A， 故 D 正确 ． 故选


9

1． 2 常用逻辑用语
至少有 n个 至多有一个 存在
【教材梳理】 至多有 n－1个 至少有两个 任意
1．充分条件与必要条件 (3)一些常见判断词的否定
(1)如果 p?q，则称 p 是 q 的 ______，q 是 p 的 不
都
_______________． 是 一定是 大于 小于 大
是
(2)如果 ________，且 ________，那么称 p是 q的充分 于
必要条件 ，简称 p是 q的 __________，记作 ________． 不
不 不一 小于 大于 大
(3)如果 p?q，但 q p，那么称
p 是 q 的 ________条 都
是 定是 或等于 或等于 于
件 ．
是
(4)如果 ________，但 ________，那么称 p是 q的必要 【自查自纠】
不充分条件 ． 1．(1)充分条件 必要条件
(5)如果 ________，且 ________，那么称 p是 q的既不 (2)p?q q?p 充要条件 p?q
充分也不必要条件 ． (3)充分不必要 (4)p q q?p
2．全称量词与存在量词 (5)p q q p
(1)全称量词 2． (1)全称量词 ? 全称命题
“所有的 ”“任意一个 ”“每一个 ”等短语在逻辑 (2)存在量词 ? 特称命题
中通常叫做 ____________，并用符号 “________”表示 ．含
有全称量词的命题称为 ____________，全称命题 “对 ?
M中 (3) x0∈ M， 綈 p(x0) ?x∈ M， 綈 p(x) 特称 全称
任意一个 x，有 p(x)成立 ”可用符号简记为： ?x∈M，p(x)．
(2)存在量词
“存在一个 ”“至少有一个 ”等短语在逻辑中通常 判断 下列命题是否 正确 ，正 确的在括号内 画
叫做 ______________，并用符号 “________”表示 ．含有存 “√”，错误的画 “×”．
在量词的命题称为 ______________，特称命题 “存在 M中 (1)当 q是 p的必要条件时 ，p是 q的充分条件 ． ( )
的元素 x0，使 p(x0)成立 ”可用符号简记为： ?x0∈M，p(x0)． (2)若 p?q，则 p是 q的充分不必要条件 ． ( )
注： 特称命 题也称存在性命题 ． (3)当 p是 q的充要条件时 ，也可说成 q成立当且仅当
(3)含有一个量词的命题的否定 p成立 ． ( )
命 题 命题的否定 (4)“长方形的对角线相等 ”是特称命题 ． ( )
?x∈M，p(x) (5)命题 “所有素数都是奇数 ”的否定是 “所有素数都
?x0∈M，p(x0) 不是奇数 ”． ( )
因此 ，全称命题的否定是 ________命题；特称命题的 解： (1)√； (2)×； (3)√； (4)×； (5)×．
2
否定是 ________命题 ． (2020天津卷 )设 a∈R，则 “a>1”是 “a >a”的 ( )
【常用结论】 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
3．以下说法等价 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2 2
(1)p?q． 解： 由 a >a可得 a>1或 a<0， 故 “a>1”是 “a >a”的充
(2)p是 q的充分条件 ． 分不必要条件 ． 故选 A．
(3)q是 p的必要条件 ． (2018北京卷 )设 a，b 均为单位 向量 ，则 “|a－3b|
(4)p的一个必要条件是 q． ＝|3a＋b|”是 “a⊥b”的 ( )
(5)q的一个充分条件是 p． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
4．关键量词的否定 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2 2
(1)常用全称量词的否定 解： |a－ 3b|＝ |3a＋ b|的两边平方得 |a| － 6a·b＋ 9|b| ＝
2 2
每一个 所有的 一个也没有 任意 9|a| ＋ 6a·b＋ |b| ， 所以 8|a|2＋ 12a·b－ 8|b|2＝ 0， 所以 2|a|2
2
存在一个 有的 至少有一个 存在 ＋ 3a·b－ 2|b| ＝ 0． 因为 |a|＝ |b|＝ 1， 所以 3a·b＝ 0， 所以 a·b
(2)常用存在量词的否定 ＝ 0， 所以 a⊥b． 反之 ， 步步可逆 ， 故是充分必要 条件 ． 故
10
选 C． 是 q的充分不必要条件； (iii)若 B?A， 则 p是 q的必要条
(2021四川绵阳期末 )设命题 p：?x∈R，x2＋x＋1>0， 件； (iv)若 B A， 则 p是 q的必要不充分条件； (v)若 A＝ B，
则 p是 q的充要条件； (vi)若 A B且 B A， 则 p是 q的既
则 綈 p为 ( ) 不充分也不必要条件 ． ③ 等价转化法：将命题转化为另一
A．?x0∈R，x20＋x0＋1>0 B．?x0∈R，x20＋x0＋1<0 个等价且容易判断真假的命题 ． 一般地 ， 这类问题由几个
C．?x0∈R，x02＋x0＋1≤0 D．?x0∈R，x20＋x0＋1≤0 充分必要条件混杂在一起 ， 可以画出关系图 ， 运用逻辑推
解： 全称命题的否定是特称命题 ， 命题 p： ?x∈ R， 理判断真假 ．
天津卷
x2 (1)(2019 )设 x∈R，则 “x2－5x<0”是
＋ x＋ 1>0， 则 綈 p为： ?x0∈ R， x20＋ x0＋ 1≤0． 故选 C． “|x－1|<1”的 ( )
π ．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件
若 “?x∈? A B
0， ?，2sinx≤m”是真命题 ，则实数 m
? 6? C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
的最小值为 ________． 解： 由 x2－ 5x<0可得 0π 由 (0， 2) (0， 5)得出为必要而不充分条件 ． 故选 B．
解： 因为 0≤x≤ ， 所以 0≤2sinx≤1． 因为 “?x∈
6 (2)(2019浙江卷 )若 a>0，b>0，则 “a＋b≤4”是
“ ≤ ”的
? π
0， ? ab 4 ( )
， 2sinx≤m”是真命题 ， 所以 m≥1， 所以实数 m
? 6? A．充分不 必要条件 B．必要不充分条件
的最小值为 1． 故填 1． C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解： 当 a>0， b>0时 ， a＋ b≥2 ab， 则当 a＋ b≤4时 ，
有 2 ab≤a＋ b≤4， 解得 ab≤4， 充分性成立；当 a＝ 1，
b＝ 4时 ， 满足 ab≤4， 但此时 a＋ b＝ 5>4， 必要性不成立 ．
综上所述 ， “a＋ b≤4”是 “ab≤4”的充分不必要条
考点一 充分、必要条件的判定
件 ．
故选 A．
(1)(2020四省八校联考 )等比数列 {an}中 ，a1＞0，
则 “a1＜a4”是 “a3＜a5”的 ( ) 考点二 充分、必要条件的综合应用
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充 要条件 D．既不充分也不必要条件
解： a1＞ 0， 则 a1＜ a4?a1＜ a1q3?q3＞ 1?q＞ 1． “直线 x－y－k＝0与圆 (x－1)2＋y2＝2有两个不
a1＞ 0， 则 a3＜ a5?a1q2＜ a1q4?q2(q2－ 1)＞ 0?q＞ 1或 同的交 点 ”的一个充分不必要条件可以是 ( )
q＜－ 1． (1， ＋ ∞) ((－ ∞， － 1)∪(1， ＋ ∞))． 故选 A． A．－1≤k<3 B．－1≤k≤3
(2)(2020北京卷 )已知 α，β∈R，则 “存在 k∈Z使得 C．03
α＝kπ＋(－1)kβ”是 “sinα＝sinβ”的 ( ) 解： 直线 x－ y－ k＝ 0与圆 (x－ 1)2＋ y2＝ 2有两个不同
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 |1－ 0－ k|
交点等价于 < 2， 解得 k∈(－ 1， 3)． 四个选项中
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2
解： ①当存在 k∈Z使得 α＝ kπ＋ (－ 1)kβ 时 ， 只有 (0， 3)是 (－ 1， 3)的一个真子集 ， 故充分不必要条件可
若 k为偶数 ， 则 sinα＝ sin(kπ＋ β )＝ sinβ ； 以是 “0若 k为奇数 ， 则 sinα＝ sin(kπ－ β)＝ sin[(k－ 1)π＋ π－ β] 【点拨】 ①求解充要条件的应用问题时 ， 一般是把
＝ sin(π－ β)＝ sinβ ； 充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系 ，
② 当 sinα＝ sinβ 时 ， α＝ β＋ 2mπ或 α＋ β＝ π＋ 2mπ， m 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 (组 )求
∈ Z， 即 α＝ kπ＋ (－ 1)kβ (k＝ 2m)或 α＝ kπ＋ (－ 1)kβ (k＝ 2m 解； ②求解参数的取值范围时 ， 一定要注意对区间端点值
＋ 1)， 即存在 k∈Z使得 α＝ kπ＋ (－ 1)kβ ． 进行检验 ， 尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取
所以 ， “存在 k∈Z使得 α＝ kπ＋ (－ 1)kβ ”是 “sinα＝ 值范围时 ， 不等式是否能够取等号决定端点值的取舍 ， 处
sinβ ”的充分必要条件 ． 故 选 C． 理不当容易出现错误 ．
【点拨】 充要条件的三种判断方法： ①定义法：分 (2019湖南师大附中 3月考 )设 p：ln(2x－1)≤0，
三步进行 ， 第一步 ， 分清条件与结论；第二步 ， 判断 p?q q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若 q是 p的必要而不充分条件 ，
及 q?p的真假；第三步 ， 下结论 ． ②集合法：写出集合 A 则实数 a的取值范围是 ( )
＝ {x|p(x)}及 B＝ {x|q(x)}， 利用集合之间的包含关系加以判 1
A．?0， ? 1
B．?0， ?
断： (i)若 A?B， 则 p 是 q 的充分条件； (ii)若 A B， 则 p ? 2? ? 2?
11
1 1 词 ． 全称命题的否定是特称命题 ， 特称命题的否定是全称
C．(－∞，0]∪? ，＋∞? D．(－∞，0)∪? ，＋∞?
?2 ? ?2 ? 命题 ．
1
解： 由 p得： 2 (1)命题 “?n∈N*，f(n)∈N*且 f(n)≤n”的否
1 定形式是 ( )
是 p 的必要而不充分条件 ， 所以 ? ， 1? [a， a＋ 1]， 所以
?2 ? A．?n∈N*，f(n)?N*且 f(n)＞n
1 1 B．?n∈N*，f(n)?N*或 f(n)＞n
a≤ 且 a＋ 1≥1， 所以 0≤a≤ ． 故选 A．
2 2 C．?n0∈N*，f(n0)?N*且 f(n0)＞n0
D．?n0∈N*，f(n0)?N*或 f(n0)＞n0
解： 全称命题的否定为特称命题 ， 因此原命题的否定
考点三 全称 命题与特称命题
形式是 “?n0∈ N*， f(n0)?N*或 f(n0)＞ n0”．故选 D．
(2)(2020年浙江高一练习 )命题 “存在一个三角形 ，内
命题角度 1 全称命题与特称命题的否定 角和不等于 180°”的否定为 ( )
(1)(2019合肥适应性考试 )已知 f(x)＝sinx－tanx， A．存在一个三角形 ，内角和等于 180°
π B．任意三角形 ，内角和都等于 180°
命题 p：?x0∈?0， ?，f(x0)<0，则 ( )
? 2? C．任意 三角形 ，内角和都不等于 180°
π D．很多三角形 ，内角和不等于 180°
A．p是假命题 ，綈 p：?x∈?0， ?，f(x)≥0
? 2? 解： 该命题是一个 “特称命题 ”， 于是 “存在 ”否定
π 为 “任意 ”； “不等于 ”否定为 “都等于 ”， 命题的否定
B．p是假命题 ，綈 p：?x0∈?0， ?，f(x0)≥0
? 2? 为 “任意三角形 ， 内角和都等于 180° ”．故选 B．
π
C．p是真命题 ，綈 p：?x∈?0， ?
，f(x)≥0
? 2? 命题角度 2 依据全称 (特称 )命题真假求参数取值范
π 围
D．p是真命题 ，綈 p：?x0∈?0， ?，f(x0)≥0
? 2? (2021陕西省高新学校期末 )若命题 “存在 x0∈
π 1 ， 2－
解： R x0 2ax0＋9<0”为假命题 ，则实数 a 的取值范围
x∈?0， ?时 ， sinx＞ 0， 0＜ cosx＜ 1， 则 ＞ 1，
? 2? cosx 是 ( )
sinx ． － ，－ ∪
＞ A ( ∞ 3) (3，＋∞) B．(－3，3)
sinx， 故 sinxcosx C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．[－3，3]
π π 解： 命题 “存在 ∈ ， 2－ ＋ ”为假命题 ，
取 x＝ 知 p为真 )， 排除 A， B； 綈 p： ?x∈ ?0， ?， x0 R x0 2ax0 9<0
f(x)≥0．故
4 ? 2? 等价于 “?x∈ R， 都有 x2－ 2ax＋ 9≥0”， 所以 (2a)2－
选 C． 4×9≤0?－ 3≤a≤3． 故选 D．
(2)(2020届山东新高考模拟 )设命题 p：所有正方形都 【点 拨】 已知命题真假求参数范围 ， 可根据命题的
含义 ， 利用函数值域 (或最值 )求解 ， 另外注意转换 ， 如本
是平行四边形 ，则 綈 p为 ( )
例 ， 将特称命题为假命题转换为全称命题为 真命题 ， 从而
A．所有正方形都不是平行四边形 转化为一元二次不等式恒成立问题 ．
B．有的平行四边形不是正方形 已知 “命题 p：?x0∈R，ax20＋2x0＋1<0”为
C．有的正方形不是平行四边形 真命题 ，则实数 a的取值范围是 ( )
D．不是正方形的四边形不是平行四边形 A．[0，1) B．(－∞，1)
解： 由全称命题的否定为特称命题可知 ， C正确 ． 故 C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
选 C． 1
【点拨】 解法一： 当 ＝ 时 ， ＋ ＜ ， 可得 ＜－ ， 此时
①全称命题与特称命题真假的判断： (i)要 a 0 2x 1 0 x 2
判断全称命题是真命题 ， 需要对集合 M中每个元素 x， 证 命题 p为真；当 a≠0时 ， 要使命题 p为真 ， 只要 Δ＝ 4－
明 p(x)成立 ， 如果在集合 M中找到一个元素 x0， 使得 p(x0) 4a＞ 0， 即 a＜ 1且 a≠0即可 ． 综上可知 ， a＜ 1．
不成立 ， 那么这个全称命题就是假命题； (ii)要判定一个特 解法二： 命题 p 的否定是 “?x∈ R， ax2＋ 2x＋
称命题是真命题 ， 只要在限定的集合 M中 ， 至少能找一个
x＝ x0， 使 p(x0)成立即可 ， 否则 ， 这一特称命题就是假命 1≥0”．当 a＝ 0时 ， 显然命题 綈 p为假；当 a≠0时 ， 命
题 ． ②否定全称 (特称 )命题分两步：第 一步 ， 改变量词；
第二步 ， 否定结论 ． 没有量词的要结合命题的含义加上量 题 綈 p 为真的充要条件是 a＞ 0 且 Δ＝ 4－ 4a≤0， 即
12
B．?x≥y，总有 x|x|＜y|y|
a≥1． 故 綈 p为真时 ， a的取值范围为 A＝ [1， ＋ ∞)， 故 p
C．?x＜y，使得 x|x|＜y|y|
为真时 ， a的取值范围为 ?RA＝ (－ ∞， 1)． 故选 B． D．?x＜y，总有 x|x|＜y|y|
解： 因为命题 p： ?x＜ y， 使得 x|x|≥y|y|， 所以命题
綈 p： ?x＜ y， 总有 x|x|＜ y|y|． 故选 D．
学科素养微专题 ·基于数学知识背景下的逻 2．(2020潜江市文昌高级中学期末 )王昌龄《从军行》
辑推理 中两句诗为 “黄沙百战穿金甲 ，不破楼兰终不还 ”，其中
(2021 年新高考八省模拟演练 )关于 x 的方程 x2 后一句中 “攻破楼兰 ”是 “返回家乡 ”的 ( )
＋ax＋b＝0，有下列四个命题： A．必要条件 B．充分条件
甲： x＝1是该方程的根； C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
乙： x＝3是该方程的根； 解： 由题 ， “不破楼兰终不还 ”意味着如果 “返回家
丙：该方程两根之和为 2； 乡 ”， 则一定 “攻破楼兰 ”；但 “攻破楼兰 ”后 ， 是否还
丁：该方程两根异号 ． 有其他任务 ， 诗句中并未提及 ， 无法判断此时可否 “返回
如果只有一个假命题 ，则该命题是 ( ) 家乡 ”， 所以前者是 后者的必要条件 ． 故选 A．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．(2020－ 2021学年长春外校高一月考 )已 知命题 p：
解： 因为 1×3>0， 1＋ 3≠2， 又四个命题三真一假 ，
某班所有的男生都爱踢足球 ，则命题 綈 p为 ( )
故甲、乙必有一个是假 ， 由甲为假易知 ， 符合题意 ， 由乙
为假推出矛盾 ． 故选 A． A．某班至多有一个男生爱踢足球
【点拨】 此题是基于数学知识背景下的逻辑推理问 B．某班至少有一个男生不爱踢足球
题 ， 实际考查中 ， 也可能基于数学文化 ， 生活生产等 ， 体 C．某班所有的男生都不爱踢足球
现对逻辑推理素养及批判性思维能力的考查 ． 逻 辑推理是 D．某班所有的女生都爱踢足球
指从一些事实和命题出发 ， 依据规则推出其他命题的素 解： 命题 p是一个全称命题 ， 它的否定是一个特称命
养 ． 主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理 ， 推理形 题 ， 结合选项知 ， B正确 ． 故选 B．
式主要有归纳、类比 ， 一类是从一般到特殊的推理 ， 推理 4．【多选题 】(2020－ 2021 学年江苏扬州市公道中学
形式主要有演绎 ． 高二上测试 )下列命题中 ，是存在性命题且是真命题的
是 ( )
数学老师给出一个定义在 R上的函数 f(x)，甲、 A．至少有一个实数 x，使得 x3＝1
乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质： B．菱形的对角线互相垂直
甲：在 (－∞，0]上函数单调递减； 1
C．?x∈R，x2＋x＋ ≤0
乙：在 [0，＋∞)上函数单调递增； 4
丙 ：函数 f(x)的图象关于直线 x＝1对称； D．?x∈R，－x2＋x－2>0
丁： f(0)不是函数的最小值 ． 解： 对于 A， 命题是 存在性命题 ， ?x＝ 1， 使得 x3＝ 1，
老师说：你 们四个同学中恰好有三个人说的正确 ，那 所以 A是真命题；对于 B， 命题是全称命题 ， 所以不满足
么 ，你认为说法错误的同学是 ________． 2
1 1
条件；对于 C， 命题是存在性命题 ， x2＋ x＋ ＝ ?x＋ ? ≥0，
解： 假设甲 ， 乙两个同学回答正确 ， 因为在 [0， ＋ ∞) 4 ? 2?
上函数单调递增 ， 所以丙说 “函数 f(x)的图象关于直线 x 1 1
所以 ?x＝－ ， 使 x2＋ x＋ ＝ 0， 所以 C 是真命题；对于
＝ 1 对称 ”错误 ． 此时 f(0)是函数的最小值 ， 所以丁的回 2 4
答也是错误的 ， 这与 “四个同学中恰好有三个人说的正 D， 命题是存在性命题 ， 但 ?x∈ R， 都有－ x2＋ x－ 2＝－
确 ”矛盾 ， 所以只有乙回答错误 ． 故填乙 ． 2
? 1 7
x－ ? － <0， 所以 D是假命题 ． 故选 AC．
? 2? 4
x
5．【多选题 】(2021届福建厦门一中高三 10月考 )2 >1
【巩固强化】 的充分不必要条件是 ( )
A．x<0 B．x>0 C．01
1．(2020届河南八市重点高中 9月联考 )已知命题 p： 解： 由 2x>1， 得 2x>20， 即 x>0．
对于 A， 是既不充分 也不必要条件；对于 B， 是充要
?x＜y，使得 x|x|≥y|y|，则 綈 p为 ( ) 条件；由 00， 反之不能推出 ， 故 C正确；由 x>1
A．?x≥y，使得 x|x|≥y|y| ?x>0， 反之不能推出 ， 故 D正确 ． 故选 CD．
13
6．【多选题 】下列叙述正确的是 ( ) 椭圆 ”的必要不充分条件 ． 故选 C．
A．已知 a，b∈R，则 “a>b”是 “a2>b2”的充分不必要 11．(2020届甘肃天水市一中高三模拟 )设函数 f(x)＝
条件 ex2－3x(e 为自然对数的底数 )，则使 f(x)<1 成立的一个充
B．命题 p：?x>0，都有 ex 分不必要条件是 ( )
>1，则 綈 p：?x0>0，使
A．0得 ex0≤1 C．01 π 解： f(x)<1?ex2－ 3x<1?x2－ 3x<0， 解得 0C．“sinx＝ ”的一个充分不必要条件是 “x＝ ”
2 6 “0D．若函数 f(x)可导 ，则 “f′(x0)＝0”是 “x0是函数 f(x) 所以 “0的极值点 ”的 必要不充分条件 A．
解： A 应为既不充分也不必要条件 ． 易知 B， C， D 12．(2019届北京市朝阳区高三二模 )已知等差数列 {an}
均正确 ． 故选 BCD． 的首项为 a1，公差 d≠0，则 “a1，a3，a9成等比数列 ”是
7．已知集合 M＝{x|1＝3”是 “M?N”的 ________条件 ． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
解： a＝ 2时亦有 M?N． 故填充分不必要 ． C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．(2019届上海虹口区高一上期末改编 )若命题 “存在 解： 若 a1， a3， a9成等比数列 ， 则 a23＝ a1a9，
x∈R，使得 ax2＋2x＋a≤0”为假命题 ，“?x≥2，x－a≥0 即 (a1＋ 2d)2＝ a1(a1＋ 8d)， 变形可得 a1＝ d，
恒成立 ”是真命题 ，则实数 a的取值范围为 ________． 则 “a1， a3， a9成等比数列 ”是 “a1＝ d”的充分条件；
解： 命题 “?x∈ R， 使得 ax2＋ 2x＋ a≤0”是假命题 ， 若 a1＝ d， 则 a3＝ a1＋ 2d＝ 3d， a9＝ a1＋ 8d＝ 9d， 则有
则命题 “?x∈ R， 使得 ax2＋ 2x＋ a＞ 0”是真命 题 ， 所以 a23＝ a1a9， 则 “a1， a3， a9 成等比数列 ”是 “a1＝ d”的必
① a＝ 0， x＞ 0不恒成立； 要条件 ．
综上可得 ， “a1， a3， a9 成等比数列 ”是 “a1＝ d”的
??a＞ 0，
② ? ?a＞ 1． 充要条件 ． 故选 C．
??Δ＝ 22－ 4a2＜ 0
→ →
北京卷
又 x≥2且 x≥a恒成立 ， 故 a≤2． 13．(2019 )设点 A，B，C不共线 ，则 “AB与 AC
所以 1＜ a≤2． 故填 {a|1＜ a≤2}． → → →
【综合运用】 的夹角为锐角 ”是 “
|AB＋AC|>|BC|”的 ( )
9．(2020届湖北武汉 市部分学校高三起点质监 )已知 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
α，β是两个不重合的平面 ，直线 a?α，p：a∥β，q：α∥β， C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
则 p是 q的 ( ) 解： 因为 A， B， C三点不共线 ，
A．充分 不必要条件 B．必要不充分条件 → → → → → → →
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 所以 ＋
|AB AC|>|BC|?|AB＋ AC|>|AC－ AB|
解： 一个面上有两相交直线都和另一个面平行 ， 则这 → →
2 → →
2 → → → →
两个面平行 ， 所以 ? ＋ － ? · ? 与 的夹角
p： a∥β不能推出 q： α∥β． 两个平面 |AB AC| >|AC AB| AB AC>0 AB AC
平行 ， 其中一个面上的任何一条直线都和另一个平面平 → → → → →
行 ， 所以 q： α∥β可以推出 p： a∥β， 所以 为锐角 ， 故 “ 与 的夹角为锐角 ”是 “ ＋ ”
p是 q的必要 AB AC |AB AC|>|BC|
不充分条件 ． 故选 B． 的充分必要条件 ． 故选 C．
10．(2019届郑州市高三第三次质检 )“0x2 y2 1
程 ＋ ＝1表示椭圆 ”的 ( ) ∈? ， ?，使得 2－ ＋ ＜ 成立 ”是假命题 ，则实数
m 2－ 2 2x λx 1 0
m 0 0
?2 ?
A．充要条件 B．充分不必要条件 λ的 取值范围是 ( )
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A．(－∞，2 2] B．(2 2，3]
?m>0， C．? 9
2 2， ? D．{3}
x2 y2 ? ? 2?
解： 方程 ＋ ＝ 1表示椭圆 ， 即 ?2－ m>0， 解得
m 2－ m ? 1
?m≠ 2－ m， 解： 因为 ?x0∈ ? ， 2?， 使得 2x20－ λx0＋ 1＜ 0 成立是
?2 ?
x2 y2 1
0m 2－ x 2 2x λx 1 0
m ?2 ?
14
－
题 ， 当 x>1时 ， xm p>1， xp>xn， 所以 xm＋ xn>xp＋ xq；
m n
1 当 ＝ 时 ， ＋ ＝ p＋ q；
即 ?x∈ ? 1 x 1 x x x x
， 2?， λ≤2x＋ 恒成立是真命题 ， －
?2 ? x 当 0xp＋ xq． 综
1 1 1 上知 ， 当 mn当 x∈? ， 2?时 ， 由基本不等式得 2x＋ ≥2 2x·
?2 ? x x 故 “am＋ an≥ap＋ aq”是 “mn2 1 件 ． 故选 B．
＝ 2 2， 当且仅当 x＝ ∈ ? ， 2?时 ， 等号成立 ， 所以
2 ?2 ? x2－x＋1
16．(改编题 )已知函数 f(x)＝ (x≥2)，g(x)＝
λ≤2 2， 因此 ， 实数 λ的取值范围是 (－ ∞， 2 2]． 故选 A． x－1
【拓广探索】 ax(a>1，x≥2)．
15．(2020浙江高三模拟 )已知正项等比数列 {an}，m (1)若 ?x0∈[2，＋∞)，使 f(x0)＝m成 立 ，求实数 m的
＋n＝p＋q，则 “am＋an≥ap＋aq”是 “mnA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 (2)若 ?x1∈[2，＋∞)，?x2∈[2，＋∞)使得 f(x1)＝g(x2)，
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 求实数 a的取值范围 ．
解： 设正项等比数列 {an}的公比为 x(x>0)． 因为 m＋ n x2－ x＋ 1 1 1
解： (1)因为 f(x)＝ ＝ x＋ ＝ x－ 1＋ ＋
＝ p＋ q， 当 am＋ an≥ap＋ aq时 ， 令 m＝ n＝ p＝ q， 不等式 x－ 1 x－ 1 x－ 1
成立 ， 但是 mn当 mn－ － － －
ap＋ aq等价于 xm 1＋ xn 1≥xp 1＋ xq 1， 即 xm＋ xn≥xp＋ xq， (2)因为当 x≥2 时 ， f(x)≥3， g(x)≥a2， 若 ?x1∈ [2，
因为 m＋ n＝ p＋ q， mn??a2≤3，
－ p)·(m－ q)>0， 不妨设 m最大 ， 则 n最小 ， 所以 m－ p＝ q ＋ ∞)， ?x2∈ [2， ＋ ∞)使得 f(x1)＝ g(x2)， 则 ? 解得
－ － － ??a＞ 1，
－ n>0， xm＋ xn－ (xp＋ xq)＝ xp(xm p－ 1)－ xn(xq n－ 1)＝ (xm p
－ 1)(xp－ xn)， a∈(1， 3]．


15
1．3 不等式的性质
a
(1)若 >1，则 a>b． ( )
b
【教材梳理】 (2)一个不等式的两边加上或乘以同一个实数 ，不等号
1．两个实数大小的比较 方向不变 ． ( )
(1)a＞b?a－b________． (3)一个非零实数越大 ，则其倒数就越大 ． ( )
(2)a＝b?a－b________． a b
(4)a>b>0，c>d>0? > ． ( )
(3)a＜b?a－b________． d c
2．不等式的性质 (5)若 a>b>c，且 a＋b＋c＝0，则 a>0，b<0，c<0．( )
(1)对称性 ：a>b?__________． 解： (1)×； (2)×； (3)×； (4)√； (5)×．
(2)传递性： a>b，b>c?__________．
(3)不等式加等量： a>b?a＋c______b＋c． (2019全国卷 Ⅱ)若 a＞b，则 ( )
(4)不等式乘正量： a>b，c>0?__________； A．ln(a－b)＞0 B．3a＜3b
不等式乘负量： a>b，c<0?__________． C．a3－b3＞0 D．|a|＞|b|
(5)同向不等式相加： a>b，c>d?__________． 解： a＞ b?a3＞ b3， 故 C正确 ， 易知 A， B， D错误 ． 故
(6)同向不等式相乘： a>b>0，c>d>0?__________． 选 C．
(7)不等式的乘方： a>b>0?______________． (2021届江苏启东中学期初考试 )设 a，b，c为实数
(8)不等式的开方： a>b>0?______________． 且 a>b，则下列不等式一定 成立的是 ( )
【常用结论】 1 1 －
A．a－ >b－ B．2 020a b<1
3．不等式相减、相除及取倒数 a b
(1)异向不等式相减： a>b，csinb D．a(c2＋1)>b(c2＋1)
a b 解： 由 a＝ 1， b＝－ 1知 A不正确；由 a>b得 a－ b>0，
(2)异向不等式相除： a>b>0，0c d －
则 2 020a b>1， B不正确；取 a＝ 2π， b＝ 0知 C不正确；
2
1 1 c ＋ 1>0， 由不等式性质知 D正确 ． 故选 D．
(3)不等式取倒数： a>b，ab>0? ＜ ．
a b (2020年广东珠海高一下期末 )已知 a>0，b>0，则 p
4．分数性质 b2 a2
＝ －a与 q＝b－ 的大小关系是 ( )
若 a>b>0，m>0，则 a b
b b＋m b b－m A．p>q B．p≥q
(1)真分数性质： < ； > (b－m>0)．
a a＋m a a－m C．p≤q D．无法确定
a a＋m a a－m 解： 因为 a>0， b>0，
(2)假分数性质： > ； < (b－m>0)．
b b＋m b b－m b2－ a2 b2－ a2 （ b2－ a2）（ b－ a）
所以 p－ q＝ － ＝ ＝
【自查自纠】 a b ab
1．＞ 0 ＝ 0 ＜ 0 （ b－ a） 2（ b＋ a）
≥0， 当且仅当 b＝ a 时取等号 ， 所以
2． (1)bc (3)> (4)ac>bc ac(5)a＋ c>b＋ d (6)ac>bd p≥q．
(7)an>bn(n∈N且 n≥2) 故选 B．
(2021届江苏淮阴中学月 考 )若 1n n
(8) a> b(n∈N且 n≥2) a－|b|的取值范围是 ________．
解： 若 1 － |b|<3． 故填 (－ 3， 3)．

判断 下列命题是否 正确 ，正 确的在括号内 画
“√”，错误的画 “×”．
16
题和不等式性质联系起来考虑 ， 找到与命题相近的性质 ，
考点一 不等式的基本性质 并应用性质判断命题真假 ， 判断的同时常常还要用到其他
知识 ， 比如对数函数、指数函数的性质等； ③一般数学结
论都有前提 ， 不等式性质也是如此 ， 在运用不等 式性质之
(1)【多选题 】设 a，b，c，d均为非零 实数 ，则 前 ， 一定要准确把握前提条件 ， 一定要注意不可随意放宽
下列命题中正确的为 ( ) 其成立的前提条件； ④不等式性质包括 “充分条件 (或者是
c d 必要条件 )”和 “充要条件 ”两种 ， 前者一般是证明不等式
A．若 bc－ad>0， － >0，则 ab>0
a b 的理论基础 ， 后者 一般是解不等式的理论基础 ．
1 1 (1)已知实数 a，b，c满足 a>b>0>c，则下列不
B．若 a
a－b b 等式中所有成立的序号为 ________．
C．若 a>b，c>d，则 a－c>b－d ①a2c>b2c； ②a＋cab3；
D．若 a>b>1>d＋1，则 loga(b－d)④ > ； ⑤a＋ >b＋ ．
c d bc－ ad b a b a
解： A正确 ， 因为 － ＝ >0， bc－ ad>0， 所以
a b ab 解： ①不成立 ， 因为 a>b>0， 所以 a2>b2， 又因为 c<0，
ab>0； 所以 a2cb＋ c；
B错误 ， 因为 ab>0， 所以 a2>b2， ab>0， 所以 a2· ab>b2· ab，
1 1 1 1 1 1
－ b＝－ 1， ＝－ 1， ＝－ 1， 所以 ＝ ， 所以 > 即 3 3 1 1
； ④不成立 ， 因为 ， 所以 ， 又因为 ，
a－ b b a－ b b a－ b b a b>ab a>b>0 > c<0
b a
不一定成立； c c 1 1 1
所以 < ； ⑤成立 ， 因为 a>b>0， 所以 > ， 所以 a＋ >b
C错误 ， 因为 a>b， c>d， 所以令 a＝ 3， b＝ 1， c＝ 2， b a b a b
d＝ 0， 则 a－ c＝ b－ d， 所以 a－ c>b－ d不一定成立； 1
＋ ． 故填 ③⑤．
D正确 ， 因为 a>b>1>d＋ 1， 所以 a－ d>b－ d＞ 1， a
所以 loga(b－ d)又因为 loga(a－ d)所以 loga(b－ d)bc2，则必有 a>b
1 1
(2)【多选题 】(2021届陕西西安中学月考 1 1
)若 < <0， ．若 与 同时成立 ，则
a b B a>b > ab<0
a b
给出下列不等式 ，其中正确的是 ( ) C．若 a>b，则 lna2>lnb2
1 1 a b
A． < B．|a|＋b>0 ．若 ， ，则
a＋b ab D a>b>0 cd c
1 1 解： 对于 A， 若 ac2>bc2， 则必有 c2>0， 由不等式的性
C．a－ >b－ D．lna2>lnb2
a b 1 1 1 1 b－ a
质可得 a>b， 故正确；对于 B， 由 > 可得 － ＝ >0，
1 1 a b a b ab
解： 由 < <0， 可知 ba b 因为 a>b， 所以 b－ a<0， 所以 ab<0， 故正确；对于 C，
1 1 取 a＝－ 1， b＝－ 2， 满足 a>b， 但 a2A 中 ， 因为 a＋ b<0， ab>0， 所以 <0， >0． 故
a＋ b ab 1 1
故错误；对于 D， 因为 c > ， 两边同乘－ 1，
1 1 c d
有 < ， A正确； B中 ， 因为 b－ a>0． 故
a＋ b ab 1 1 a
得－ >－ >0， 又 a>b>0， 故由不等式的性质可知－ >－
1 1 d c d
－ b>|a|， 即 |a|＋ b<0， B错误； C中 ， 因为 ba b b a b
>0， 两边相乘－ 1， 得 < ， 故正确 ． 故选 ABD．
1 1 1 1 c d c
则－ >－ >0， 所以 a－ >b－ ， C正确； D中 ， 因为 ba b a b
根据 y＝ x2在 (－ ∞， 0)上为减函数 ， 可得 b2>a2>0， 而 y＝ 考点二 利用不等式性质求代数式的取值
lnx 在 (0， ＋ ∞)上为增函数 ， 所以 lnb2>lna2， D 错误 ． 由
以上分析 ， 知 AC正确 ． 故选 AC． 范围
【点拨】 利用不等式性质进行命题的判断时： ①判
断不等式是否成立 ， 需要逐一给出推理判断或反例说明；
②在判断一个关于不等式的命题真假时 ， 先把要判断的命 (1【) 多选题 】(2021届辽宁辽阳市九月联考 )设 x，
17
y 为实数 ，满足－ 1≤x≤2，0＜y≤1，则下列说法正确的 27．
是 ( ) m
x3 x2
解法二： 设 ? ? 2 n
4＝ · (xy ) ，
A．x＋y的取值范围是 (－1，3] y ?y?
－ ＋ －
B．x－y的取值范围是 [－2，2) 则 x3y 4＝ x2m ny2n m，
C．xy的取值范围是 [－1，2]
?2m＋ n＝ 3， ?m＝ 2，
x2 ? ?
所以 ? 即 ?
D． 的取值范围是 [1，＋∞) ? － ＝－ ， ? ＝－ ．
y ?2n m 4 ?n 1
解： 由于－ 1≤x≤2， 0＜ y≤1， 所以－ 1x2 1
又因为 16≤? ? － 1
≤81， ≤(xy2) 1≤ ，
正确 ． 由于－ 1≤x≤2， － 1≤－ y＜ 0， 所以－ 2≤x－ y＜ 2， ?y? 8 3
B 正确 ． 当－ 1≤x＜ 0， 0＜ y≤1 时 ， － 1≤－ y＜ 0， 则 0 x3 x3
所以 2≤ 4≤27， 故 4的 最大值为 27． 故填 27．
＜－ xy≤1， 则－ 1≤xy＜ 0， 所以 xy 的 取值范 围是 [－ 1， y y
0)；当 x＝ 0时 ， xy＝ 0；当 0＜ x≤2， 0x2 y)的取值范围 ， 可利用待定系数法解决 ， 即设 F(x， y)＝
值范围是 (0， 2]， C正确 ． 当 x＝ 0时 ， ＝ 0， D错误 ． 故
y mf(x， y)＋ ng(x， y)(或其他形式 )， 通过恒等变形求得 m， n
选 ABC． 的值 ， 再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求
(2)已知－ 1围是 ________． 用方法 ． ②题 (2)极易分别求出 x， y 的取值范围再通过不
解法一： 设 2x－ 3y＝ λ(x＋ y)＋ μ(x－ y) 1 7
等式同向可加性求 2x－ 3y 的范围 ， 即由题得 ＝ (λ＋ μ)x＋ (λ－ μ)y， 2 2
1 2＝－ ，
??λ＋ μ＝ 2， ?λ 2 误的原因是忽略变量 x， y 相互制约的关系 ， 导致所求范
则 ? ?
??λ－ μ＝－ 3 ?
5 围扩大 ． ③对于积、商、幂的形式 ， 除了用待定系数法外 ，
μ＝ ．
? 2 也常采用取 对数的方法 ， 通过对数把乘除问题转化为加减
1 5 问题 ， 进而利用不等式性质求解 ．
所以 2x－ 3y＝－ (x＋ y)＋ (x－ y)，
2 2 (1)(2020山东泰安模拟 )已知点 M(x0，y0)在直线
1 1 5 15 y0
而－ 2<－ (x＋ y)< ， 5< (x－ y)< ， 3x＋y＋2＝0上 ，且满足 x0>y0－1，则 的取值范围为 ( )
2 2 2 2 x0
所以 3<2x－ y<8， 即 2x－ y∈(3， 8)． 1
A．?－3，－ ?
a＋ b ? 3?
x＝ ，
??a＝ x＋ y， ? 2 1
解法二： 令 ? 则 B．(－∞，－3)∪?－ ，＋∞?
??b＝ x－ y， ?
a－ b ? 3 ?
y＝ ，
? 2
C．? 1
－3，－ ?
且－ 1a＋ b a－ b a 5 1
所以 2x－ 3y＝ 2· － 3· ＝－ ＋ b， D．(－∞，－3]∪?－ ，＋∞?
2 2 2 2 ? 3 ?
因为－ 1y0
a 1 5 15 3
所以－ 2<－ < ， 5< b< ， － 1， 所以 x0>－ 3x0－ 2－ 1， 解得 x0>－ ，
2 2 2 2 4
a 5 y0 － 3x0－ 2 2 3 1 4
所以 3<－ ＋ b<8， 即 2x＋ y∈(3， 8)． ＝ ＝－ － ， 因为 － ， 所以 － 或
2 2 3 x0> <
x0 x0 x0 4 x0 3
故填 (3， 8)． 1 2 2 1 y0
>0， 所以－ 3－ <－ 3 或－ 3－ >－ ， 所以 ∈ (－ ∞，
x2 x3 x0 x0 x0 3 x0
(3)若实数 x，y 满足 3≤xy2≤8，4≤ ≤9，则 的最
y y4 1
－ 3)∪ ?－ ， ＋ ∞?．
大值是 ________． ? 3 ?
x2
解法一： 由 3≤xy2 另解：数形结合 ． 故选 B．
≤8， 4≤ ≤9， 可知 x>0， y>0，
y π π α－β
(2)已知－ <α<β< ，则 一定不属于 ( )
1 1 1 x4 x3 x3 2 2 2
且 ≤ ≤ ， 16≤ ≤81， 得 2≤ ≤27， 故 的最大值是
8 xy2 3 y2 y4 y4
18
a－ b
π π a
A．(－π，π) B．?－ ， ? 由指数函数的性质知 ? ? 2 ．
? 2 2? >1
?b?
C．(－π，0) D．(0，π) aabb a＋ b a＋ b
综上知 ， ， 又 ( 2 ， 所以 a b 2 ．
π π π π a＋ b>1 ab) >0 a b >(ab)
解： 因为－ <α<β < ， 所以－ － <α－ β<0， 即－ π<α 2
2 2 2 2 （ ab）
π α－ β α－ β 【点拨】 作差 (商 )比较法的步骤是： ①作差 (商 )； ②
－ β<0， － < <0， 所以 一定不属于 (0， π)． 故选 D．
2 2 2 变形：配方、因式分解、通分、分母 (分子 )有理化等； ③
x x2 判断符号 (判断商和 “1”的大小关系 )； ④给出结论 ．
(3)若－ 1≤lg ≤2，1≤lg(xy)≤4，则 lg 的取值范围
y y (1)(2019甘肃兰州模拟 )设 0是 ________． 1
＝1＋x，c＝ ，则 a，b，c中最大的一个是 ________．
x 1－x
解： 由 1≤lg(xy)≤4， － 1≤lg ≤2，
y 解法一： 因为 0＜ x＜ 1， 所以 b－ a＝ 1＋ x－ 2x>1＋ x
得 1≤lgx＋ lgy≤4， － 1≤lgx－ lgy≤2， 1
－ 2 x＝ ( x－ 1)2＞ 0， 所以 b>a， c－ b＝ － (1＋ x)＝
x2 1 3 1－ x
则 lg ＝ 2lgx－ lgy＝ (lgx＋ lgy)＋ (lgx－ lgy)，
y 2 2 x2
， 所以 ， 所以 ． 所以 最大 ．
x2 >0 c>b c>b>A c
1－ x
所以－ 1≤lg ≤5． 故填 [－ 1， 5]．
y 1 1 1 8 1
解法二： 取 x＝ ， 则 a＝ ， b＝ 1＋ ， c＝ ＝ 1＋ ，
8 2 8 7 7
考点三 作差或作商比较大小 显然 c最大 ． 故填 c．
b2 a2 ＋ ＋ ＋
(2)已知 a>b>c>0，求证： a2ab2bc2c>ab cbc aca b．
(1)若 a<0，b<0，则 p＝ ＋ 与 q＝a＋b的大小
a b a2ab2b a－ b b－ c a－ c
c2c a b a
证明： b＋ c c＋ ? ? ? ? ? ?
a a＋ b＝ ，
关系为 ( ) a b c ?b? ?c? ?c?
A．pq D．p≥q a b a
b2 a2 因为 a>b>c>0， 所以 >1， >1， >1， a－ b>0， b－ c>0，
b c c
解： p－ q＝ ＋ － a－ b
a b a－ c>0．
b2－ a2 a2－ － － －
b2 1 1 a b 0 b c a c
a a b a
＝ ＋ ＝ (b2－ a2)? － ? 所以 ? ? >? ? ＝ 1， 同理得 ? ? >1， ? ? >1， 所
a b ?a b? ?b? ?b? ?c? ?c?
（ b2－ a2）（ b－ a） （ b－ a） 2（ b＋ a） a－ b b－ c a－ c
a b a
＝ ＝ ， 以 ? ? ? ? ? ? >1．
ab ab ?b? ?c? ?c?
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
因为 a<0， b<0， 所 以 a＋ b<0， ab>0． 又因为 ab cbc aca b>0， 所以 a2ab2bc2c>ab cbc aca b．
若 a＝ b， 则 p－ q＝ 0， 即 p＝ q；
若 a≠b， 则 p－ q<0， 即 p综上 ， p≤q． 故选 B．
a＋b 思想方法微专题 ·函数思想在比较大小中的
2
(2)已知 a>0，b>0，且 a≠b，试比较 aabb与 (ab) 的 应用
大小 ． (1)【多选题 】(2021届唐山市高三摸底 )设
解： 因为 a>0， b>0， 0a－ b b－ a
aabb a＋ b a＋ b
所以
a＋ b＝ a(a－ 2 2
)b(b－ )＝ a b ＝ a b
2 2 A．c （ 2
ab） C．aca－ b 解： 因为 0?a? 2 ，
?b? 为 (0， ＋ ∞)上的减函数 ， 又 0cb，
a logca>logcb>0， 则 logac若 a>b>0， 则 >1， a－ b>0，
b 由 y＝ xα(α>0)在 (0， ＋ ∞)上为增函数及 0a－ b
a 故 C正确 ． 故选 CD．
由指数函数 的性质知 ? ? 2 >1；
?b? (2)(2020全国卷 Ⅰ)若 2a＋ log2a＝ 4b＋ 2log4b，
a 则 ( )
若 b>a>0， 则 0< <1， a－ b<0，
b A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2
19
解： 因为 2a＋ log2a＝ 4b＋ 2log4b＝ 22b＋ log2b， 22b＋ 1 1 1
＋ ， 即 a－ >b－ ， 故错误 ． 故选 C．
log2b＝ 22b＋ log22b－ 1， 即 2a＋ log2a＝ 22b＋ log22b－ 1， 所 a a b
以 2a＋ log2a<22b＋ log22b， 设 f(x)＝ 2x＋ log2x， 因为 f(x)＝ (2)【多选题 】下列说法正确的是 ( )
－ －
2x＋ log2x在 (0， ＋ ∞)上单调递增 ， 所以 a<2b． 故选 B． A．若 3x－3y<4 x－4 y，则 x(3)(2021 年新高考八省模拟演练 )已知 a<5 且 ae5＝ B．sin3<1＋sin4
5ea，b<4且 be4＝4eb，c<3且 ce3＝3ec，则 ( ) C．3lnπ<πln3
．
A．cC．a－ －
解： 因为 ae5＝ 5ea， a<5， 故 a>0， 同理 b>0， c>0， 解： 对于 A， 整理为 3x－ 4 x<3y－ 4 y， 构造 f(x)＝ 3x
ex ex － x
（ x－ 1） － 4 ， 为增函数 ， 故由 f(x)令 f(x)＝ ， x>0， 则 f′(x)＝ ，
x x2 对于 B， 等价变形为 3＋ sin3<4＋ sin4， 构造 f(x)＝ x
当 01时 ， f′ (x)>0， ＋ sinx， f′ (x)＝ 1＋ cosx≥0， 为增函数 ， 故 f(3)故 f(x)在 (0， 1)为减函数 ， 在 (1， ＋ ∞)为增函数 ， 确；
e5 ea lnπ ln3 lnx 1－ lnx
因为 ae5＝ 5ea， a<5， 故 ＝ ， 即 f(5)＝ f(a)， 而 05 a C < f(x) f′(x)
π 3 x x2
故 0同理 0因为 f(5)>f(4)>f(3)， 故 f(a)>f(b)>f(c)， lne ln2． 5
对于 D， 两边取对数 ， 得 2．5lne所以 0【点拨】 ①函数思想是运用运动和变化的观点 ， 集 由 C的判断过程知错误 ． 故选 ABC．
合与对应的思想 ， 去分析和研究所涉及问题中的数量关
系 ， 建立函数关系或构造函数 ， 再利用函数的图象或性质
去分析问题 ， 转化问题 ， 从而使问题获得解决 ， 其关键是
构造函数 ． ②在比较大小的问题中 ， 有些问题并不能直接 【巩固强化】
解决 ， 而应从已知条件和结构入手 ， 构造相应的函数 ， 利 1．下列命题中 ，正确的是 ( )
用函数 的单调性解决问题 ． ③指、对、幂及三角等混合型 A．若 a>b，c>d，则 ac>bd
大小比较问题 ， 常观察、变形、再构造函数 ， 变形 主要有 B．若 ac>bc，则 a>b
移项、添加项、取对数、分式整式互化等 ． a b
C．若 2< 2，则 a(1)(2021 届江西景德镇一中 8 月考 )若 a>b>1， c c
则 ( ) D．若 a>b，c>d，则 a－c>b－d
－ －
A．ln(a－b)>0 B．2a b>3a b 解： 选项 A：取 a＝ 2， b＝ 1， c＝－ 1， d＝－ 2， 可知
1 1 1 1 A错误； 选项 B：当 c<0时 ， ac>bc?aC．a＋ >b＋ D．a－ a b a b a b
选项 C：因为 2< 2， 所以 c≠0， 又 c2>0， 所以 a解法一： 因为 a－ b>0， 故对四 个选项依次构造函数 y c c
－ 1 1 确； 选项 D：取 a＝ c＝ 2， b＝ d＝ 1， 可知 D错误 ． 故选 C．
＝ lnx， y＝ xa b， y＝ x＋ ， y＝ x－ ， 易知均在 (1， ＋ ∞)上
x x 2． (2021届湖北荆州中学月考 )设 b>a>0，c∈R，则
单调递增 ， 又 a－ b>0 a－ b>1， 从而可得仅 C正确 ． 下列不等式中不恒成立的是 ( )
解法二： 对于 A， 取 a＝ 3， b＝ 2， 则 ln(a－ b)＝ ln1＝ 1 1 1 1
A． 2 2
a －c
0， 故错误； a b
对于 B， 取 a＝ 3， b＝ 2， 则 21<31， 故错误； a＋2 a
C． > D．ac21 1 （ ab－ 1）（ a－ b） b＋2 b
对于 C， a＋ － ?b＋ ?＝ ， 由
a ? b? ab 1
2
a>b>1 可知 ab － 1>0 ， a － b>0 ， ab>0 ， 故 解： 当 b>a>0时 ， 因为 y＝ x 在 (0， ＋ ∞)上是增函数 ，
（ ab－ 1）（ a－ b） 1 1
1 1 1
>0， 故 2 2
a＋ >b＋ ， 故正确；对于 D， 所以 a ab a b x
1 1 1 1 1 a＋ 2 a
由 a>b>1可知 > ， 由同向不等式相加的性质可得 a＋ >b 数 ， 所以 － c> － c， 故 B 正 确 ； 因 为 － ＝
b a b a b b＋ 2 b
20
2（ b－ a） a＋ 2 a 即 4a－ 2b＝ (m＋ n)a＋ (n－ m)b．
>0， 所以 > ， 故 C正确；当 c＝ 0时 ， ac2b（ b＋ 2） b＋ 2 b
??m＋ n＝ 4， ??m＝ 3，
不成立 ， 所以 D不正确 ． 故选 D． 则 ? 解得 ?
??n－ m＝－ 2， ??n＝ 1，
3．(2019山东德州模拟 )已知 a则下列不等式恒成立的是 ( ) 所以 f(－ 2)＝ 3f(－ 1)＋ f(1)．
A．a2C．ac解法一： 因为 a0，