资源简介

利用三角形全等测距离
学案
【学习目标】利用三角形全等测距离
【重点难点】[w^&#w~w.zzs@]
全等三角形的应用（利用三角形全等测距离）
情境导入
如右图所示，A，B两点位于一个池塘的两端，现准备测量AB间的距离(我们不能直接测得)．测量方法如下：
(1)首先选取一点C，C点可以直接到达A点和B点；
(2)连接AC并延长到D，使CD＝AC．连接BC延长到[www&.z#^zstep.
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E，使CE＝BC；[来&源~:
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(3)连接DE，并测量DE的长度，则DE的长度即为AB间的距离．
【问题探究】分析上面的测量方法，你知道测量的数学依据吗?[中国~@^#教&育出版网]
自主学习：
一、利用三角形全等测距离
　　1.利用三角形全等可以测量不能到达或不能直接测量的两点之间的距离.
　　2.利用三角形全等测距离的关键是构造全等三角形，其根据是全等三角形的对应边相等.
　　3.利用三角形全等测距离的一般方法有：
　　（1）延长全等法.
如图6，在池塘的一侧取一点C，连接AC，BC，并延长AC到点D，延长BC到点E，使CD＝AC，CE＝BC，连接ED，则ED的长度就是池塘两端A，B间的距离.[中国#~教育出
版@%网]
　　（2）平行全等法.
如图7，在池塘的一侧取一点D，连接AD，过点B作BC∥AD，且使BC＝AD，连接DC，则DC的长度就是池塘两端A，B间的距离.[www.zz&^st#ep.co
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　　（3）垂直全等法.
如图8，在池塘的一侧取一点D，连接AD与BD，此处需满足AD⊥BD，延长AD到点C，使CD＝DA，连接CB，则CB的长度就是池塘两端A，B间的距离.
导学解疑：
一、展示点拨，归纳新知：[来源~:zzs^
te%@p.com]
二、典例分析[来源:@中教
网&#%]
1、如图5—10l(1)所示，小明为了测量河的宽度，他先站在河边的C点面向河对岸，压低帽檐，使目光正好落在河对岸的A点，然后他姿态不变，原地转了一个角度，正好看见厂他所在岸上的一块石头B点，他测量了BC＝30米，你能猜出河有多宽吗?说说理由．
三、巩固练习
1、如图5—102所示，要测量一个水潭的宽度，现在由于不能直接测量，小华是这样操作的：他在平地上选取一点C，该点可以直接到达A点与B点，接着他量出AC和BC的距离，并找出AC与BC的中点E，F，连接EF，测量EF的长，于是他便知道了水潭AB的长度为2EF，小华的做法有道理吗?说明理由．你还有比小华更简单的方法吗?
[来~
源:中国教育&出^版@网]
2、(1)如图5—104所示．两根长为12米的绳子，一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面的木桩上，两根木桩与旗杆底部的距离相等吗?
(2)若两根长度相等的绳子，一端系在旗杆上，另一端固定在
地面的两根木桩上，木桩与旗杆底部的距离相等，且两根木桩与旗
杆底部在同一条直线上，旗杆与地面是否垂直?
(3)若两根绳子一端系在旗杆上，另一端固定在地面的两根木桩上，两根木桩与旗杆底部的距离相等，且旗杆与地面是垂直的，则两根绳子的长度是否一样?[来源:中%@国教育出~&版网#]
[来^
源:%zzstep.&com@]
成果检验：
一、达标测评
二、总结延伸:
1.
本节课的收获：先由学生总结，老师启发补充
2.
本节课渗透的数学思想方法
3.
关于这一课的知识你还有不明白的地方吗？如果有请提出来，让老师和同学帮你解决。
[来&源@:~中教^#网]
答案：[中#国%^@教育出版网~]
典例分析：[来源%:#zzstep.&c^om
]
1、【分析】把实际问题转化为几何问题，如图5—101(2)所示，由题意知，∠DAC＝∠DBC，小明竖直站立得∠DCA＝∠DCB＝90°，可用三角形的全等得到河的宽度等于BC的长．
解：河的宽度为30米．理由：在ΔACD和ΔBCD中，
所以ΔACD≌ΔBCD(AAS)，所以AC＝BC＝30米．[中国教育出&版
^#@网]
【解题策略】
利用全等三角形知识解决实际问题．
巩固练习：
1、【分析】要想说明小华的做法正确，其实质就是说明这样一个问题：在ΔABC中，E，F分别是AC，BC的中点，则AB＝2EF.
解：小华的做法是有道理的，其理由如下：
如图5—102所示，过点B作BG∥AC交EF的延长线于G点，连接BE．
因为BG∥AC，所以∠C＝∠CBG，∠AEB＝∠GBE．[中国#教^
~育出&版网]
在ΔCEF和ΔBGF中，
所以ΔCEF≌ΔBGF(ASA)．
所以EF=FG，BG＝CE＝AE，所以EF＝EG．
在ΔABE和ΔGEB中，
所以ΔABE≌ΔGEB(SAS)，所以EG＝AB．
又因为EG＝2EF，所以AB＝2EF．故小华的做法是有道理的．
还可以用其他方法来测量AB的距离．
方法1：如图5—103(1)所示，取直接能到A，B两点的C点，延长BC，AC，使
CE＝AC，CD＝BC，连接DE，得DE＝AB.
方法2：如图5—103(2)所示，取直接能到A，B两点的C点，以CB为一边在
∠ACB外部作∠BCD＝∠ACB，即∠2＝∠1，在∠2的另一条边上截取CD＝CA，连接BD．则BD＝AB．
【解题策略】
此题为全等三角形的实际应用问题，利用全等三角形对应边相等的性质，将不可到达的距离转化为可到达并能测量的距离
2、【分析】(1)由题意知∠ADC＝∠ADB＝90°，由条件知RtΔABD≌RtΔACD，可推出BD＝CD；(2)由已知易得ΔADB和ΔADC三边分别对应相等，易得全等，可得到角的相等，再依据邻补角关系求垂直；(3)可用SAS推得ΔADB≌ΔADC，可得AB＝AC．
解：(1)相等．理由如下：
在RtΔADB和RtΔADC中，
所以RtΔADB≌RtΔADC(HL)，
所以BD＝CD．(直角三角形全等的判定下节学习)
(2)在ΔABD和ΔACD中，
所以ΔABD≌ΔACD(SSS)，所以∠ADB＝∠ADC．
又因为点B，D，C在同一直线上，所以∠ADB+∠ADC＝180°，[来%源:@~z&z#]
所以∠ADB＝∠ADC＝90°，所以AD⊥BC，即旗杆与地面垂直．
(3)在ΔADB和ΔADC中，
所以ΔADB≌ΔADC(SAS)，所以AB＝AC.
【解题策略】不管条件如何变化，根据题目条件推出三角形全等，进一步得出边、角关系是解题的关键.

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