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第6课时 探索三角形全等的条件(4)
预学目标
1．通过课本P117“想一想”了解角尺的作用，尝试探索利用角尺确定角平分线的基本原理．
2．按角平分线的画法步骤操作，进一步体会三角形全等的条件“SSS”的应用．
3．阅读课本中的例题，认真观察“分析”过程，感受几何分析的思维方式．
知识梳理
1．角平分线的画法
如图1，已知∠AOB，画∠AOB的平分线OE．
(1)如图2，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
(2)如图3，分别以点C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧相交于点E；
(3)如图4，连接OE并延长，则射线OE为∠AOB的平分线．
说明：“大于CD长”是为了避免两弧之间没有交点（如图5）；“以点C、D为圆心”所画的弧要具有相等的半径（如图6）．
2．确定角平分线的几何原理
连接EC、ED，根据图7可知：
因为OC＝________，_________＝ED，且OE＝OE，所以△_______≌△_______．所以∠COE________∠DOE．所以OE是∠________的平分线．
例题精讲
例1 没有量角器，利用刻度尺也能画出一个角的平分线吗？
下面是小兵的作法：如图，①利用刻度尺在∠AOB的两边上，分
别取OD＝OC；②连接CD，利用刻度尺画出CD的中点E；③画
射线OE．所以射线OE为∠AOB的平分线，他的作法对吗？请
说明理由．
提示：观察作法中具备的条件是否能得到两个三角形全等，如果能判断出两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，可以得到作出的射线是角平分线的结论．
解答：小兵的作法是正确的．理由：根据小兵的作法，因为E是CD的中点，所以CE＝DE．在△OCE与△ODE中，因为CE＝DE，OC＝OD，OE＝OE，所以△OCE≌△ODE( SSS)．根据全等三角形的对应角相等，可以得到∠COE＝∠DOE，即OE为∠AOB的平分线．
点评：通常情况下，我们作图都要有理论依据，在学习了三角形全等的条件后，我们可以用所学过的知识来解释我们的作图是否正确．
例2 如图，AB⊥AC，AB＝AC，BD＝CE，AD＝AE，那么AD⊥AE吗？
请说明理由，
提示：题目中已直接给出三角形全等的条件，利用条件可得△ABD≌
△ACE，从而可得∠BAD＝∠CAE，进而得到∠BAC＝∠DAE．又因为AB
⊥AC，所以∠BAC＝90?，故∠DAE＝90?，即可得到AD⊥AE．
解答：AD⊥AE．理由：在△ABD和△ACE中，AB＝AC，BD＝CE，AD
＝AE，所以△ABD≌△ACE(SSS)．所以∠BAD＝∠CAE．所以∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD．所以∠BAC＝∠DAE．又因为AB⊥AC，即∠BAC＝90?，所以∠DAE＝90?．所以AD⊥AE．
点评：解决全等三角形的相关问题时，公共角、公共边常常是思路的突破口．
热身练习
1．用尺规作∠AOB的平分线，方法如下：以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是 ( )
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列结论错误的是 ( )
A．DE＝DF B．AD上任意一点到点E、F的距离相等
C．AE＝AF D．BD＝DC
3．如图，在△ABC中，∠C＝90?，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是 ( )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
4．如图，已知∠AOB．
(1)求作∠AOB及其邻补角的平分线OC、OD．
(2)猜想OC、OD有何特殊的位置关系，并说明理由．
5．如图，AB＝AC，D是BC的中点，AB平分∠DAE．AE⊥BE，垂足为E．试说明AD＝AE．
6．架设电线杆时，小明说：“如果我们先剪4根无弹性的绳索，将长度不等的两根绳索的一端分别重合打结，然后将长度相等的两根绳索的另一端也分别重合打结（如图），将结点C、D放在架设点两侧的地面上，并使它们距架设点的距离相等（三点在同一直线上），最后将结点A、B分别系在电线杆上，调节电线杆的倾斜度和结点A、B的位置，使绳索充分拉紧．这样，从现在这个方向看，电线杆垂直于地面，”你认为他说得有道理吗？请说明理由．
参考答案
1．D 2．D 3．A 4．(1)略 (2)OC⊥OD．理由略 5．略 6．有道理，理由略
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