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专题01
二次根式（专题检测卷）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·浙江八年级期中）下列各式一定是二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义解答即可．
【详解】解：A.
当x<0时，不是二次根式；B.
∵2>0，∴是二次根式；
C.
∵-4<0，∴不是二次根式；D.
∵根指数是3，∴不是二次根式；故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．
2．（2021·北京顺义区·八年级期末）下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则判断选项的正确性．
【详解】A选项错误，不是同类二次根式不可以相加；B选项错误，；
C选项错误，；D选项正确．故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的计算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
3．（2021·河北邯郸市·八年级期末）若化成最简二次根式后，能与合并，则的值不可以是（
）
A．
B．8
C．18
D．28
【答案】D
【分析】根据题意得到与是同类二次根式，将各选项数值代入化简后判断与是否为同类二次根式即可．
【详解】由题意得与是同类二次根式，
当a=时，，与是同类二次根式，故该项不符合题意；
当a=8时，，与是同类二次根式，故该项不符合题意；
当a=18时，，与是同类二次根式，故该项不符合题意；
当a=28时，，与不是同类二次根式，故该项符合题意；故选：D．
【点睛】此题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，化简二次根式，正确化简二次根式是解题的关键．
4．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）估计的值应在（
）
A．7和8之间
B．8和9之间
C．9和10之间
D．10和11之间
【答案】B
【分析】先根据二次根式的运算法则进行计算，再估算无理数的大小．
【详解】，
∵，∴，即，故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，无理数的大小估算，关键是正确掌握二次根式的运算法则．
5．（2021·上海市仙霞第二中学八年级期末）如为实数，在“□”的“□”中添
上一种运算符号（在“＋”、“－”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则不可能是（　　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可．
【详解】解：A、，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故选项C符合题意；
D、，故选项D不符合题意．故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则以及平方差公式是解答本题的关键．
6．（2020·浙江杭州市·九年级）已知：，，，则、、的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用平方差公式进行二次根式的运算，再比较大小即可．
【详解】
即故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式、二次根式的运算，掌握二次根式的运算是解题关键．
7．（2021·湖北省中考模拟）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，后再进行合并即可.
【解析】设，且，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴原式，故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.
8．（2021·讷河市初二期中）若化简|1-x|-的结果为2x﹣5，则x的取值范围是（　　）
A．
x为任意实数
B．1≤x≤4
C．x≥1
D．
x≤4
【答案】B
【分析】根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可．
【解析】原式可化简为|1-x|-|x-4|，当1-x≥0，x-4≥0时，可得x无解，不符合题意；
当1-x≥0，x-4≤0时，可得x≤1时，原式=1-x-4+x=-3；
当1-x≤0，x-4≥0时，可得x≥4时，原式=x-1-x+4=3；
当1-x≤0，x-4≤0时，可得1≤x≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5，
据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x-5，故选B．
【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·浙江九年级）把二次根式化简为
。
【答案】
【分析】根据二次根式有意义，先判断a的符号，再将二次根式化简．
【解析】∵﹣＞0，∴a＜0．原式＝．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，需注意二次根式的非负性：≥0，a≥0．
10．（2020·哈尔滨市第六十九中学校七年级月考）若，则__________．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法运算即可得．
【详解】因为，所以，，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
11．（2020·湖南省中考真题）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
2
1
6
3
【答案】
【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是，即可求解．
【解析】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：，
设第二行中间数为x，则，解得，
设第三行第一个数为y，则，解得，
∴2个空格的实数之积为．故答案为：．
【点睛】本题考查二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．
12．（2021·上海市仙霞第二中学八年级期末）若二次根式与是同类二次根式，则整数可以等于___________．（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【分析】根据同类二次根式的概念列式计算即可．
【详解】解：∵二次根式与是同类二次根式，∴可设，
则，∴，解得，故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
13．（2021·江苏泰州市·九年级期末）已知，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应y值的总和是__．
【答案】4054
【分析】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
【详解】解：
当时，；当时，
则所求的总和为
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．
14．（2020·浙江宁波市·七年级期中）把四张形状大小完全相同宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是_________．
【答案】16cm
【分析】根据题意分别列出关系式，得出关于图②中两块阴影部分的长和宽，再利用周长公式时行计算，去括号合并即可得到结果．
【详解】解：设小长方形卡片的长为xcm，小长方形卡片的宽为，
根据题意得：
x＝－2，
则图②中两块阴影部分的长分别为：－2和2，宽分别为：2和4－x＝6－，
∴图②中两块阴影部分的周长和是：2（－2＋2）＋2（2＋6－）＝2＋16－2＝16（cm）．故答案为：16cm．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，在解题时要根据题意结合图形得出两块阴影部分的长和宽是解题的关键．
15．（2021·望谟县第三中学初二月考）观察下列各式：
＝＝＝2，即＝2
＝＝＝3，即＝3，那么＝_____．
【答案】n．
【分析】根据已知等式，可以得出规律，猜想出第n个等式，写出推导过程即可．
【解析】解：＝n．故答案为：n．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键．
16．（2021·河北唐山市·八年级期末）观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，=）
（1）①当，时，______；②当，时，______；
③当，时，______；④当，时，______．
（2）写出关于与之间数量关系的猜想：______探究证明：（提示：）
（3）实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，写出镜框周长的最小值为______．
【答案】（1）①＝；②＝；③；④；（2），证明见解析；（3）4．
【分析】（1）①、②、③、④直接将a、b的值代入计算即可；
（2）由可得，最后移项即可说明；
（3）当镜框为正方形时，周长最小，即然后根据正方形的面积求出边长即可解答．
【详解】（1）①当，时，=2，=2，则=；
②当，时，=3，=3，则=；
③当，时，=2.5，=2，则＞；
④当，时，=4，=，则＞．故：①＝，②＝，③，④；
（2），理由如下：，∴，整理得，；
（3）当镜框为正方形时，周长最小∵镜框的面积为1∴镜框的边长为1，即周长为4．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，确定出两个算式的大小关系并灵活运用这种关系成为解答本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021·四川省成都实外初二月考）计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
【答案】（1）-5；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】（1）先算括号里的，再算乘法，最后算减法；（2）先用二次根式的性质化简各项，再作加减法；
（3）先去括号，再计算加减法；（4）利用乘法分配律计算即可；（5）先化简各项，再作加减法；
（6）利用多项式的乘法法则计算即可.
【解析】解：（1）原式====-5；
（2）原式===；
（3）原式==；
（4）原式===；
（5）原式==；
（6）原式===
=.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序，注意运算律和乘法公式的运用.
18.（2021?通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
【分析】先将x和y的值分母有理化后，计算xy和x+y的值，再分别代入（1）和（2）问代入计算即可．
【答案】解：∵x＝＝＝3+2，
y＝＝＝3﹣2，
∴xy＝＝1，x+y＝3+2+3﹣2＝6，
∴（1）x2y﹣xy2，＝xy（x﹣y），＝1×，＝4；
（2）x2﹣xy+y2，＝（x+y）2﹣3xy，＝62﹣3×1，＝36﹣3，＝33．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解答时应先化简x和y的值，并利用提公因式法和完全平方公式将所求式子进行变形是关键．
19．（2020·荆州市楚都中学初二月考）已知满足．
（1）有意义，的取值范围是
；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得
（2）根据（1）的分析，求的值．
【答案】（1）；；（2）2020
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，即可求出a的取值范围；根据a的取值范围，结合绝对值的意义，即可进行化简.（2）根据（1）的分析进行化简，求出，然后求出答案即可.
【解析】解：（1）∵有意义，∴，∴；
∴，∴；故答案为：；；
（2）由（1）可知，∵，∴，
∴，∴，∴.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，绝对值的意义，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义进行解题.
20．（2021·浙江全国·八年级单元测试）阅读下列材料，回答有关问题：在实数这章中，遇到过，，，，这样的式子，我们把这样的式子叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数．如果一个二次根式的被开方数中有的因数能开得尽方，可以利用＝
(a≥0，b≥0)；
(a≥0，b>0)将这些因数开出来，从而将二次根式化简．当一个二次根式的被开方数中不含开得尽方的因数或者被开方数中不含有分母时，这样的二次根式叫做最简二次根式，例如，化成最简二次根式是，化成最简二次根式是3，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，如上面的例子中的和就是同类二次根式．
(1)请判断下列各式中，哪些是同类二次根式？，，，，，.
(2)二次根式中的同类二次根式可以像整式中的同类项一样合并，请计算：＋－－＋－.
【答案】（1）是同类二次根式，是同类二次根式；（2）
【分析】（1）先将二次根式化简，然后根据同类二次根式的定义，被开方数相同即可判断；
（2）先化简二次根式，然后合并最简二次根式即可．
【解析】解：
(1)＝5，＝3，
＝，＝，∴，，是同类二次根式；，，是同类二次根式．
(2)原式＝＋5－3－＋－＝－＋.
故答案为（1）是同类二次根式，是同类二次根式；（2）.
【点睛】本题考查同类二次根式，二次根式的加减法.
21．（2020·沭阳县修远中学初二月考）观察下列等式：
回答下列问题：
（1）化简：
（无需化为最简二次根式）
（2）化简：
（为正整数）
（3）利用上面所揭示的规律计算（无需化为最简二次根式）：
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据已知得出式子变化规律写出答案即可；（2）进而由（1）的规律得出答案；
（3）利用发现的规律化简各式进而求出即可．
【解析】解：（1）；故答案为：；
（2）；为正整数）；故答案为：；
（3）
．
【点睛】此题主要考查了分母有理化，正确发现式子中变化规律是解题关键．
22．（2020·江苏省初二月考）甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1．
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
()2＋1＝2，S1＝；()2＋1＝3，S2＝；（）２＋1＝4，S3＝；…．
（1）请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律，并计算出OA10的长；
（2）求出的值．
【答案】（1）含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律为：，OA10的长为；
（2）
【分析】（1）根据勾股定理分别求出OA22、OA32，OA42及OA2、OA3、OA4得到OAn2及OAn对应的S值，再计算得到OA10；（2）由（1）知，分别求出S1、S2、S3、、S10，将结果代入代数式计算即可.
【解析】（1）∵OA1=1=，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，∴OA22==1+1=2，
∴OA2=，，
∵OA32==()2＋1＝3，∴，，
∵OA42==（）２＋1＝4，∴OA4=2，
，，
∴，，
∴OA102==10，∴OA10=
，
∴含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律为：，OA10的长为；
（2）由（1）知：，∴，
，
，，，
∴==.
【点睛】此题考查图形类规律的探究，勾股定理计算线段长度，能依据图形得到线段的计算方法，并总结规律运用解题是关键.
23．（2020·河南省王店一中初二月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝
，b＝
；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：
＋2
＝（
＋
）2；（答案不唯一）
（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【答案】（1）m2＋3n2，2mn；（2）4,，1
,（答案不唯一）；（3）7或13．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2=m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）取m=2，n=1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a=m2+3n2，2mn=4和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【解析】解：（1）（m+n）2=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn，故答案为：m2＋3n2，2mn；
（2）取m=2，n=1，则a=7，b=4，∴7+4=（2+）2，故答案为：4,，1
,（答案不唯一）；
（3）a=m2+3n2，2mn=4，∵a、m、n均为正整数，∴m=2，n=1或m=1，n=2，
当m=2，n=1时，a=4+3=7，当m=1，n=2时，a=1+3×4=13，∴a的值为7或13．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及阅读理解问题，正确理解题意并掌握基本运算法则是解题的关键．
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专题01
二次根式（专题检测卷）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·浙江八年级期中）下列各式一定是二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·北京顺义区·八年级期末）下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·河北·八年级期末）若化成最简二次根式后，能与合并，则的值不可以是（
）
A．
B．8
C．18
D．28
4．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）估计的值应在（
）
A．7和8之间
B．8和9之间
C．9和10之间
D．10和11之间
5．（2021·上海市仙霞第二中学八年级期末）如为实数，在“□”的“□”中添
上一种运算符号（在“＋”、“－”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则不可能是（　　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·浙江杭州市·九年级）已知：，，，则、、的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2021·湖北省中考模拟）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·讷河市初二期中）若化简|1-x|-的结果为2x﹣5，则x的取值范围是（　　）
A．
x为任意实数
B．1≤x≤4
C．x≥1
D．
x≤4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·浙江九年级）把二次根式化简为
。
10．（2020·哈尔滨市第六十九中学校七年级月考）若，则__________．
11．（2020·湖南省中考真题）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
2
1
6
3
12．（2021·上海市仙霞第二中学八年级期末）若二次根式与是同类二次根式，则整数可以等于___________．（写出一个即可）
13．（2021·江苏泰州市·九年级期末）已知，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应y值的总和是__．
14．（2020·浙江宁波市·七年级期中）把四张形状大小完全相同宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是_________．
15．（2021·望谟县第三中学初二月考）观察下列各式：
＝＝＝2，即＝2
＝＝＝3，即＝3，那么＝_____．
16．（2021·河北唐山市·八年级期末）观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，=）
（1）①当，时，______；②当，时，______；
③当，时，______；④当，时，______．
（2）写出关于与之间数量关系的猜想：______探究证明：（提示：）
（3）实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，写出镜框周长的最小值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021·四川省成都实外初二月考）计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
18.（2021?通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
19．（2020·荆州市楚都中学初二月考）已知满足．
（1）有意义，的取值范围是
；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得
（2）根据（1）的分析，求的值．
20．（2021·浙江全国·八年级单元测试）阅读下列材料，回答有关问题：在实数这章中，遇到过，，，，这样的式子，我们把这样的式子叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数．如果一个二次根式的被开方数中有的因数能开得尽方，可以利用＝
(a≥0，b≥0)；
(a≥0，b>0)将这些因数开出来，从而将二次根式化简．当一个二次根式的被开方数中不含开得尽方的因数或者被开方数中不含有分母时，这样的二次根式叫做最简二次根式，例如，化成最简二次根式是，化成最简二次根式是3，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，如上面的例子中的和就是同类二次根式．(1)请判断下列各式中，哪些是同类二次根式？，，，，，.
(2)二次根式中的同类二次根式可以像整式中的同类项一样合并，请计算：＋－－＋－.
21．（2020·沭阳县修远中学初二月考）观察下列等式：
回答下列问题：
（1）化简：
（无需化为最简二次根式）
（2）化简：
（为正整数）
（3）利用上面所揭示的规律计算（无需化为最简二次根式）：
22．（2020·江苏省初二月考）甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1．
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
()2＋1＝2，S1＝；()2＋1＝3，S2＝；（）２＋1＝4，S3＝；…．
（1）请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律，并计算出OA10的长；
（2）求出的值．
23．（2020·河南省王店一中初二月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝
，b＝
；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：
＋2
＝（
＋
）2；（答案不唯一）
（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
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专题01
二次根式（知识点精讲+重难点题型）
知识点精讲
知识点1
二次根式的概念
1）二次根式：形如（a≥0）叫做二次根式
注：①表示的是算术平方根
；②二次根式表示的是一个式子，而平方根表示的是一种运算
③“”中的“2”可以省略，“”表示三次根式，不可省略
1．（2020·浙江八年级期中）下列各式一定是二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义解答即可．
【详解】解：A.
当x<0时，不是二次根式；B.
∵2>0，∴是二次根式；
C.
∵-4<0，∴不是二次根式；D.
∵根指数是3，∴不是二次根式；故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．
2．（2020·涡阳县王元中学）在下列代数式中，不是二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义可得答案．
【解析】A、B、C均符合二次根式的定义，D中不含根号，不符合二次根式的定义，故选：D.
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义：式子(≥0)叫二次根式．
3．（2020·朝阳市第一中学初二期中）下列各式中不是二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义进行判断即可.
【解析】A、，∵x2+1≥1＞0，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；
B、∵﹣4＜0，∴不是二次根式；故本选项错误；
C、∵0≥0，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、符合二次根式的定义；故本选项正确．故选B．
知识点2
二次根式有意义的条件
1）二次根式（）有意义的条件：被开方数（式）为非负数（a≥0）
注：①a仅是一个表示式，可为常数、单项式、多项式等整式
②
不一定无意义。当a≤0时，-a≥0，有意义。关键是看被开方数这个整体是否非负
1．（2020·浙江杭州市·七年级期末）如果和都是有意义的，那么应该满足的条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可
【详解】解：∵和都有意义，∴a?0且?a?0，∴a?0且a?0，∴a=0，故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0是解题的关键．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）二次根式中，字母x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，x-2≥0，解得x≥2．故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3．（2020·浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级月考）已知点
P（x，y）在函数的图象上，那么点
P
应在平面直角坐标系中的（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】根据平方及二次根式的非负性可得函数值y大于0，由二次根式有意义的条件可得x为非负数，由此可得点P的位置．
【详解】解：由分式及二次根式有意义的条件可得x<0，
又∵＞0，∴点P应在平面直角坐标系中的第二象限．故选：B．
【点睛】本题考查函数值及分式、二次根式有意义的条件，属于基础题，注意数学知识的融会贯通．
4．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）若成立．则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的意义得到x-2≥0，3-x≥0，从而求出x的范围．
【详解】解：∵，
∴x-2≥0，3-x≥0，∴x≥2，x≤3，∴，故选D．
【点睛】本题主要考查对二次根式的定义，二次根式的乘法等知识点的理解和掌握，能根据法则得出x-2≥0和3-x≥0是解此题的关键．
知识点3
二次根式的性质
1）性质一：二次根式结果非负性，即≥0（a≥0）
注：“”表示的是算术平方根
2）性质二：非负数的算术平方根的平方等于它本身，即；=a。
（隐含条件：a大于等于0）
3）性质三：=
性质三即性质二的一般形式，必须同时符合性质一（非负性）
注：（）2与的区别
：（）2隐含a≥0的条件，结果为a；中a可正可负，结果为
1．（2020·浙江省初二期末）下列运算正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A选项，因为，所以A中计算错误；B选项，因为，所以B中计算错误；
C选项，因为，所以C中计算正确；D选项，因为中被开方数是负数，式子无意义，所以D中计算错误；故选C.
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）已知，则a的取值范围________．
【答案】a≤-3
【分析】根据二次根式的性质得到，再根据绝对值的意义得到a-3≤0，然后解不等式即可．
【详解】解：∵，∴，∴a≤-3，故答案为：a≤-3．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：．也考查了绝对值．
3．（2020·浙江温州市·实验中学八年级期中）已知，则2x﹣18y2＝_____．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】解：∵一定有意义，∴x≥11，∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，整理得：＝3y，∴x﹣11＝9y2，
则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案为：22．
【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．
4．（2020·浙江杭州市·杭州春蕾中学八年级月考）实数、在数轴上的位置，化简______．
【答案】
【分析】由数轴得：，，，根据二次根式的性质化简即可.
【详解】解：由数轴得：，，
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查利用数轴判断实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等基础知识，考查基本的代数运算能力．观察数轴确定a、b及a-b的符号是解答本题的关键，本题巧用数轴给出了每个数的符号，渗透了数形结合的思想，这也是中考时常考的知识点．
5．（2020·浙江宁波市·八年级期中）若，则________．
【答案】7
【分析】根据二次根式的非负性得到x-3≥0且3-x≥0，可得x值，从而可得y值，代入计算即可．
【详解】解：∵，∴x-3≥0且3-x≥0，∴x=3，∴y=4，∴x+y=7，故答案：7．
【点睛】本题考查了二次根式的非负性，掌握二次根式被开方数大于或等于0是解题的关键．
知识点4二次根式的乘法法则
1）二次根式乘法法则：=（a≥0，b≥0）
扩展：=（a≥0，b≥0，c≥0）
2)积的算术平方根：=（a≥0，b≥0）
积的算术平方根是二次根式乘法的逆运算，常用在化简当中。如：==3
注：若a≤0且b≤0，则=。
1．（2020·浙江杭州市·九年级学业考试）的计算结果估计在（
）
A．1至1.5之间
B．1.5至2之间
C．2至2.5之间
D．2.5至3之间
【答案】B
【分析】根据二次根式的乘法，可化简二次根式，根据2.25，3，4的关系，可得答案．
【详解】解：原式＝，，，故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，先化简二次根式，再比较二次根式的大小．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）计算：______．
【答案】
【分析】先算乘法，再算减法．
【详解】解：===
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
3．（2020·浙江金华市·八年级期末）对于实数、作新定义：，，在此定义下，计算：________．
【答案】
【分析】先将新定义的运算化为一般运算，再计算二次根式的混合运算即可．
【详解】
解：=
====．
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义的实数运算，二次根式的混合运算．能根据题意将新定义运算化为一般运算是解题关键．
4．（2020·河南郑州市·八年级期中）下列各数中，与的乘积是有理数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用平方差公式特征赛选即可．
【详解】A．是有理数；
B．
不是有理数；
C．不是有理数；
D．不是有理数．故选择：A．
【点睛】本题考查无理数的有理化因式问题，掌握有理化因式，会用公式进行有理化计算是解题关键．
知识点5
二次根式的除法
1)
二次根式的除法法则：=（a≥0，b＞0）
注：①=的前提条件是a≥0，b＞0
如：≠，应该为=
②当存在带分数时，应先化成假分数，再进行计算。
如：==
2)商的算术平方根：=（a≥0，b＞0）
商的算术平方根是二次根式除法的逆运算，常用在化简当中。如：=
注：若a≤0且b＜0，则=。
1．（2020·浙江杭州市·八年级期中）若，，则x与y的关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接将x分母有理化进而得出答案．
【详解】∵，，∴．故选：C．
【点睛】此题主要考查了分母有理化，正确得出有理化因式是解题关键．
2．（2020·杭州江南实验学校八年级开学考试）设，，，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先将a、b、c的值分子有理化，然后根据分数的比较大小方法即可得出结论．
【详解】解：=
∵＞＞∴＞＞∴故选A．
【点睛】此题考查的是二次根式比较大小，掌握分子有理化是解题关键．
3．（2020·浙江杭州市·九年级）已知：，，，则、、的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用平方差公式进行二次根式的运算，再比较大小即可．
【详解】
即故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式、二次根式的运算，掌握二次根式的运算是解题关键．
4．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）化简_________．
【答案】
【分析】利用分母有理化分别化简各项，再作加减法．
【详解】解：
=
==故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的法则．
5．（2021·湖南益阳市·八年级期末）化简题中，有四个同学的解法如下：
①
②
③
④
他们的解法，正确的是___________．(填序号)
【答案】①②④
【分析】对于分子分母都乘以分母的有理化因式，计算约分后可判断①，对于，把分子化为，再分解因式，约分后可判断②，对于，当时，分子分母都乘以分母的有理化因式，计算约分后可判断③，对于，把分子化为，再分解因式，约分后可判断④，从而可得答案．
【详解】解：，
故①符合题意；
，故②符合题意；
当时，，
故③不符合题意；
，故④符合题意；故答案为：①②④．
【点睛】本题考查的是分母有理化，掌握平方差公式的应用，分母有理化的方法是解题的关键．
知识点6
最简二次根式与同类二次根式
1)规定最简二次根式：①被开方数不含能开方得尽方的因数（式子）。如；②分母中不含被开方数。
③分母中含被开方数转化为整式。如==
注：分母中的被开方数去掉后，要注意分子二次根式是否还能被开方。如===
2）分母含有二次根式化简为最简二次根式步骤：①分母、分子同乘（分母的二次根式）；②分母去掉二次根式，并观察分子的形式，看能否在开方；③化简为最简二次根式
3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。
1．（2020·浙江杭州市·八年级月考）下列二次根式中，最简二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的概念逐一判断即可得．
【详解】解：A、是最简二次根式；B、，故不是最简二次根式；
C、，故不是最简二次根式；D、，故不是最简二次根式；故选A．
【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）在????中，最简二次根式有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分母），判断即可．
【详解】解：∵，?，
∴在????中，最简二次根式有，，共2个，故选：B．
【点睛】本题考查了对最简二次根式的理解，能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键．
3．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）下列二次根式中，能与合并的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先化成最简二次根式，再进行判断即可．
【详解】解：A、，B、，C、，D、，故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式的应用，主要考查学生的化简能力和理解能力．
4．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为_________．
【答案】±1
【分析】根据同类二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，解得：a=±1，故答案为：±1．
【点睛】本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础考点．
5．（2021·上海市仙霞第二中学八年级期末）若二次根式与是同类二次根式，则整数可以等于___________．（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【分析】根据同类二次根式的概念列式计算即可．
【详解】解：∵二次根式与是同类二次根式，∴可设，
则，∴，解得，故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
知识点7
二次根式的加减运算
1）二次根式的加减：先将二次根式化简为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行相加减
分析：①在进行二次根式加减运算时，要化简为最简二次根式
②类似于同类项合并。二次根式加减运算也是合并同类最简二次根式
③不是同类二次根式不能合并
注：+是可以合并的，因为不是最简二次根式，化简为二次根式为2，所以+=+=
1．（2020·江苏八年级月考）下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质和运算法则可以选出正确选项
．
【详解】解：∵，∴A错误；
∵被开方数不相同，不是同类二次根式，∴两者不能合并，B错误；
∵3为有理数，为无理数，两者不能合并，∴C错误；
∵，∴D正确，故选D．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简方法和合并方法是解题关键．
2．（2020·黑龙江省初二期末）计算：=_____________．
【答案】
【解析】根据二次根式的性质和二次根式的化简，可知==.
故答案为.
【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.
3．（2020·贵州兴仁·初二期末）下列计算正确的为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法以及混合运算的法则逐项进行判断即可．
【解析】A．，故A选项错误；B．与不能合并，故B选项错误；
C．，故C选项错误；D．，正确，故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
4．（2020·河北省中考真题）已知：，则_________．
【答案】6
【分析】根据二次根式的运算法则即可求解．
【解析】∵∴a=3,b=2∴6故答案为：6．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
5．（2020·浙江宁波市·七年级期中）把四张形状大小完全相同宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是_________．
【答案】16cm
【分析】根据题意分别列出关系式，得出关于图②中两块阴影部分的长和宽，再利用周长公式时行计算，去括号合并即可得到结果．
【详解】解：设小长方形卡片的长为xcm，小长方形卡片的宽为，
根据题意得：
x＝－2，
则图②中两块阴影部分的长分别为：－2和2，宽分别为：2和4－x＝6－，
∴图②中两块阴影部分的周长和是：2（－2＋2）＋2（2＋6－）＝2＋16－2＝16（cm）．
故答案为：16cm．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，在解题时要根据题意结合图形得出两块阴影部分的长和宽是解题的关键．
知识点8
二次根式的混合运算
与整式的混合运算一样（二次根式是一种特殊的整式）即先乘方，后乘除，最后加减，同级从左至右运算
1．（2021·浙江宁波市·八年级期末）下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】二次根式的加减法法则，乘除法法则计算并依次判断．
【详解】A选项：
与不能合并，∴A选项不符合题意；
B选项：与不能合并∴B选项不符合题意；
C选项：原式
==，∴C选项符合题意；
D选项：原式
=，∴D选项不符合题意．故选：C．
【点睛】此题考查二次根式的运算，掌握二次根式的加减法法则，乘除法法则是解题的关键．
2．（2021·北京顺义区·八年级期末）下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则判断选项的正确性．
【详解】A选项错误，不是同类二次根式不可以相加；B选项错误，；
C选项错误，；D选项正确．故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的计算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
3．（2021·上海市仙霞第二中学八年级期末）如为实数，在“□”的“□”中添
上一种运算符号（在“＋”、“－”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则不可能是（　　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可．
【详解】解：A、，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故选项C符合题意；
D、，故选项D不符合题意．故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则以及平方差公式是解答本题的关键．
4．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）分别化简各项，再作加减法；（2）先将分母有理化，同时计算乘法，再算加减法．
【详解】解：（1）
===；
（2）==
=
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
重难点题型
考点1
最简二次根式与同类二次根式的识别
【满分技巧】最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．
1．（2021·河南南阳市·九年级期末）下列二次根式中，与同类二次根式的是（　　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将每个选项化简成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐一判断即可．
【详解】解：A.，与不是同类二次根式；B.，与是同类二次根式；
C.与不是同类二次根式；D.与不是同类二次根式；故选：B．
【点睛】本题考查同类二次根式，利用二次根式的性质将每个选项化简成最简二次根式是解题的关键．
2．（2021·广西北海市·八年级期末）下列各式中，能与合并的二次根式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；
、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；
、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；
、是同类二次根式，能合并，故选项符合题意；故选：．
【点睛】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
3．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）下列根式中，最简二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】最简二次根式必须同时符合两个条件：①被开方数中不含能开的尽方的因数或因式；②被开方数中不含分母，根据最简二次根式的定义逐项判断即得答案．
【解析】解：A、，被开方数中含能开的尽方的因数与因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，被开方数中含能开的尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，属于基础考点，熟知最简二次根式的概念是关键．
4．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质先把各项中不是最简二次根式的化简，再根据同类二次根式的定义逐项判断即得答案．
【解析】解：A、，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意；B、不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、，所以是同类二次根式，故本选项符合题意；D、，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和同类二次根式的定义，属于基本考点，明确同类二次根式的概念、掌握化简的方法是解题的关键．
考点2
利用二次根式性质化简符号
【满分技巧】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．
1．（2020·浙江杭州市·九年级）化简（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质分别化简即可．
【详解】解：由题意可得：≥0，∴a≤0，
∴，故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，化简时要注意符号．
2．（2020·温州育英国际实验学校八年级月考）下列四个式子中，与的值相等的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件可得出，可得，由此可将变形得出答案．
【详解】由题意得：，可得，
∴．故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，关键是由等式可确定出．
3．（2020·浙江九年级）把二次根式化简为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义，先判断a的符号，再将二次根式化简．
【解析】∵﹣＞0，∴a＜0．原式＝．故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，需注意二次根式的非负性：≥0，a≥0．
4．（2021·深圳布心中学初二期中）化简二次根式
的结果是（
）
A．
B．－
C．
D．－
【答案】B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可
【解析】
故选B
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
考点3
利用二次根式的性质化简
【满分技巧】二次根式的性质：（1）（2）
1．（2020·浙江杭州市·八年级模拟）一次函数的图象如图所示，则化简的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用一次函数的性质得到a和b的符号，再将原式化简即可．
【详解】解：由图可知：一次函数经过一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴a-b＜0，
∴===，故选D．
【点睛】本题考查了一次函数图象和性质，二次根式的性质，一次函数y=kx+b的图象为直线，当k＞0，直线经过第一、三象限；当k＜0，直线经过第二次象限；直线与y轴的交点坐标为（0，b）．
2．（2021·讷河市初二期中）若化简|1-x|-的结果为2x﹣5，则x的取值范围是（　　）
A．
x为任意实数
B．1≤x≤4
C．x≥1
D．
x≤4
【答案】B
【分析】根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可．
【解析】原式可化简为|1-x|-|x-4|，
当1-x≥0，x-4≥0时，可得x无解，不符合题意；
当1-x≥0，x-4≤0时，可得x≤1时，原式=1-x-4+x=-3；
当1-x≤0，x-4≥0时，可得x≥4时，原式=x-1-x+4=3；
当1-x≤0，x-4≤0时，可得1≤x≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5，
据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x-5，故选B．
【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．
3．（2020·山东省烟台第十中学初三期中）阅读下列解题过程：
例：若代数式，求a的取值．
解：原式=，
当a<2时，原式＝(2-a)+(4-a)=6-2a=2，解得a＝2(舍去)；
当2≤a＜4时,原式＝(a-2)+(4-a)=2=2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝(a-2)+(a-4)=2a－6＝2，解得a=4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当3≤a≤7时，化简：＝_________；
(2)请直接写出满足＝5的a的取值范围__________；
(3)若＝6，求a的取值．
【答案】（1）4；（2）；（3）或4
【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案；（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；（3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
【解析】解：（1）∵时，∴，
∴===；故答案为：4；
（2）由题意可知，，∴，
当时，则，，∴原式=，解得：；
当时，则，，∴原式=，∴符合题意；
当时，则，，∴原式=，解得：；
∴满足＝5的a的取值范围是；故答案为：；
（3）∵，∴，
当时，则，，∴原式=，解得：；
当时，则，，∴原式=，∴不符合题意；
当时，则，，∴原式=，解得：；
∴a的值为：或4；
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质，化简绝对值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，绝对值的意义进行化简，本题属于中等考点．注意运用分类讨论的思想进行分析．
4．（2020·荆州市楚都中学初二月考）已知满足．
（1）有意义，的取值范围是
；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得
（2）根据（1）的分析，求的值．
【答案】（1）；；（2）2020
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，即可求出a的取值范围；根据a的取值范围，结合绝对值的意义，即可进行化简.（2）根据（1）的分析进行化简，求出，然后求出答案即可.
【解析】解：（1）∵有意义，∴，∴；
∴，∴；故答案为：；；
（2）由（1）可知，∵，∴，
∴，∴，∴.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，绝对值的意义，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义进行解题.
考点4.与关系的综合应用
【满分技巧】此类考点，需要关注2点：1）被开放数大于等于0；2）分母不能为0.
1．（2020·黄冈市蕲春县第二实验中学初二月考）已知：为实数，且，化简：．
【答案】-1.
【分析】根据所给的已知式子，由二次根式有意义的条件，可求x取值范围，得到x，然后求出y的取值范围，然后根据二次根式的性质求解即可.
【解析】由题意可知:
且
【点睛】本题考查二次根式的意义以及二次根式的化简求值，利用二次根式的意义求出字母数值是解题关键．
2．（2020·汕头市潮南区育才实验学校初二月考）已知：
【答案】1
【分析】由二次根式的意义可知1-8x≥0，8x-1≥0，解得x=，y=，再代入代数式求得数值即可．
【解析】解：，∴.
∴原式=
【点睛】本题考查二次根式的意义以及二次根式的化简求值，利用二次根式的意义求出字母数值是解题关键．
3．（2021·湖北应城·初二期中）已知a、b满足b＝，求的平方根．
【答案】的平方根为．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可以列出关于a的不等式组，解出a的值，舍去分母为0的值，代入所求式子化简整理即可．
【解析】由题意知：，∴a2﹣4＝0，∴a＝±2，
又a﹣2≠0，∴a＝﹣2，当a＝﹣2时，b＝＝﹣1，
∴，的平方根为，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的被开方数是非负数，列不等式组求解的问题，解不等式注意要验证取值是否符合题意，求平方根时注意所求数要化简后再求．
4．（2021·江苏建湖·汇文实验初中初二月考）已知x、y都是实数，且
（1）求的值.
（2）求x+4y的平方根.
【答案】（1），（2）
【分析】（1）题干要求的值，根据平方根被开方数大于等于0，求出x，进而求解.
（2）题干要求x+4y的平方根，根据二次根式被开方数大于等于0，求出x和y值代入即可求值.
【解析】解：（1）已知x、y都是实数，且，得到求得
，回代求得y=2，则=.
（2）由（1）知x=1，y=2，有x+4y=1+8=9，则x+4y的平方根为3.
【点睛】本题考查平方根的运算，结合被开方数大于等于0，进行分析求值,注意平方根为正负两种情况.
考点5
二次根式的混合运算
【满分技巧】二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；
1．（2020·山西省初二期中）为了打赢湖北保卫战、武汉保卫战，4万多名医护人员逆行出征，约4万名建设者从八方赶来，并肩奋战，抢建火神山和雷神山医院．他们日夜鏖战，与病毒竞速，创造了10天左右时间建成两座传染病医院的“中国速度”！他们不畏风险，同困难斗争，充分展现团结起来打硬仗的“中国力量”，在建设过程中，有一位木工遇到了这样一道数学题：
有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
（1）求剩余木料的面积？（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出_________块这样的木条．
【答案】（1）6；（2）2
【分析】（1）先利用正方形的面积公式求出两个正方形的边长，然后再根据矩形的面积公式计算即可；
（2）先估算出剩余木料的长和宽的范围，再进行计算即可得出答案．
【解析】（1）∵两个正方形的面积分别为和，
∴这两个正方形的边长分别为和，
∴剩余木料的面积为；
（2）∵剩余木料的长为，宽为，且，，
∴从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算的应用及无理数的估算，掌握二次根式混合运算的顺序和法则及无理数的估算方法是解题的关键．
2．（2021·山东济南市·八年级期末）计算下列各题：
（1）×－；
（2）
（＋3）（3－）－（－1）2.
【答案】（1）；（2）2
【分析】（1）先算二次根式的乘除法，再合并同类二次根式，即可求解；
（2）利用平方差和完全平方公式，即可求解．
【详解】（1）原式=－()=10－=；
（2）
原式=32－()2－(3－2+1)=9-5-3+2-1=2．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算和乘法公式，熟练掌握二次根式的运算法则，平方差和完全平方公式，是解题的关键．
3．（2021·四川省成都实外初二月考）计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
【答案】（1）-5；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】（1）先算括号里的，再算乘法，最后算减法；（2）先用二次根式的性质化简各项，再作加减法；
（3）先去括号，再计算加减法；（4）利用乘法分配律计算即可；（5）先化简各项，再作加减法；
（6）利用多项式的乘法法则计算即可.
【解析】解：（1）原式====-5；
（2）原式===；
（3）原式==；
（4）原式===；
（5）原式==；
（6）原式===
=.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序，注意运算律和乘法公式的运用.
4．（2020·河北省初二期末）阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，，所与，与互为有理化因式．
（1）的有理化因式是
；
（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
，
用上述方法对进行分母有理化．
（3）利用所需知识判断：若，，则的关系是
．
（4）直接写结果：
．
【答案】（1）；（2）；（3）互为相反数；（4）2019
【分析】（1）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出；
（2）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式，化简即可；
（3）将分母有理化，通过结果即可判断；
（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可．
【解析】解：（1）∵，∴的有理化因式是；
（2）=；
（3）∵，，∴a和b互为相反数；
（4）
=
===，故原式的值为.
【点睛】本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．
考点6
利用二次根式性质求代数式的值
1．（2020·遂昌锦绣育才教育集团学校八年级月考）已知，，求下列代数式的值．
（1）（2）
【答案】（1）6；（2）
【分析】（1）根据题意先计算与，然后把所求式子变形为，再整体代入计算即可；
（2）先根据分式的运算法则计算，再开平方即可．
【详解】解：∵，，∴，，
（1）=；
（2）∵，＞0，∴．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值与分式的运算，属于常考考点，正确变形、掌握解答的方法是关键．
2．（2020·四川省成都高新实验中学初二月考）若实数x，y满足（x﹣）（y﹣）＝2016．（1）求x，y之间的数量关系；（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．
【答案】（1）x=y；（2）-1.
【分析】（1）将式子变形后，再分母有理化得①式：x﹣＝y+，同理得②式：x+＝y﹣，将两式相加可得结论；
（2）将x=y代入①式得：x2=2016，再代入原式结合x2=2016，计算即可．
【解析】解：（1）∵（x﹣）（y﹣）＝2016，
∴x﹣＝＝＝y+①，
同理得：x+＝y﹣②，
①+②得：2x＝2y，∴x＝y，
（2）把x＝y代入①得：x－＝x+，∴x2＝2016，
则3x2－2y2+3x－3y－2017，＝3x2－2x2+3x－3x－2017，＝x2－2017，＝2016－2017，＝－1．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,
掌握分母有理化的方法是解题的关键.
3．（2020·武钢实验学校初二期中）已知，，求的值.
【答案】12.
【分析】先根据二次根式的运算，分别求出x+y、xy的值，然后把分式变形求解即可.
【解析】∵∴x+y=，xy=，
∴原式==12，.
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，利用二次根式的性质求出x+y、xy的值，然后根据配方法化简分式，再整体代入求解，注意完全平方公式的应用.
4．（2020·杭州江南实验学校八年级开学考试）（1）若，为实数，且，求的值；（2）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）18
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式即可求出a的值，从而求出b的值，然后代入求值即可；（2）先求出a＋b和ab的值，然后因式分解，并利用完全平方公式变形，最后代入求值即可．
【详解】解：（1）由题意可得解得：a=-2
将a=-2代入中，解得b=
=；
（2）∵，，∴a＋b=＋=＋=
ab=×=1
∴=====18
【点睛】此题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件、二次根式的运算、因式分解和完全平方公式，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件、二次根式的各个运算法则、因式分解和完全平方公式的变形是解题关键．
5.（2021?芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；（1）x2+y2；（2）．
【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，得到x＝﹣1，y＝+1，再求出x﹣y与xy的值，然后根据完全平方公式得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，再整体代入即可；
（2）将所求式子变形为，再整体代入即可．
【答案】解：（1）∵＝﹣1，＝+1，∴x﹣y＝﹣2，xy＝2﹣1＝1，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（﹣2）2+2×1＝6；
（2）∵x2+y2＝6，xy＝1，∴原式＝＝＝6．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础考点．
6.（2021?通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
【分析】先将x和y的值分母有理化后，计算xy和x+y的值，再分别代入（1）和（2）问代入计算即可．
【答案】解：∵x＝＝＝3+2，y＝＝＝3﹣2，
∴xy＝＝1，x+y＝3+2+3﹣2＝6，
∴（1）x2y﹣xy2，＝xy（x﹣y），＝1×，＝4；
（2）x2﹣xy+y2，＝（x+y）2﹣3xy，＝62﹣3×1，＝36﹣3，＝33．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解答时应先化简x和y的值，并利用提公因式法和完全平方公式将所求式子进行变形是关键．
考点7
复合二次根式的化简
【满分技巧】化简二次根式，关键是要化简出平方（偶次）项来，我们八年级上册学习的完全平方公式能够很好的完成这个任务。因此，在化简二次根式时，我们常用到乘法公式。
1．（2021·上海初二期中）化简：的结果是（
）
A．6
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用完全平方公式化简即可.
【解析】
故选D
【点睛】本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
2．（2020·山东省初二期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，使得，，那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于，即：，，
所以。
问题：
①
填空：，；
②
化简：（请写出计算过程）
【答案】（1），；（2）.
【分析】由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对的形式化简后就可以得出结论了．
【解析】解：（1）
；
（2）
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用．
3．（2020·河南省王店一中初二月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝
，b＝
；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：
＋2
＝（
＋
）2；（答案不唯一）
（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【答案】（1）m2＋3n2，2mn；（2）4,，1
,（答案不唯一）；（3）7或13．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2=m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）取m=2，n=1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a=m2+3n2，2mn=4和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【解析】解：（1）（m+n）2=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn，故答案为：m2＋3n2，2mn；
（2）取m=2，n=1，则a=7，b=4，∴7+4=（2+）2，故答案为：4,，1
,（答案不唯一）；
（3）a=m2+3n2，2mn=4，∵a、m、n均为正整数，∴m=2，n=1或m=1，n=2，
当m=2，n=1时，a=4+3=7，当m=1，n=2时，a=1+3×4=13，∴a的值为7或13．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及阅读理解问题，正确理解题意并掌握基本运算法则是解题的关键．
4．（2020·丹东市第七中学初二期中）求的值．
解：设x=，两边平方得：，即，x2=10
∴x=．
∵＞0，∴=．
请利用上述方法，求的值．
【答案】
【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可．
【解析】设x=+，
两边平方得：x2=（）2+（）2+2，
即x2=4++4﹣+6，x2=14∴x=±．∵+＞0，∴x=．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等考点．
考点8
含二次根式的规律探究
【满分技巧】规律探究，需要注意每个根式中分子、分母的关系或变化规律。
1．（2020·上海市市西初级中学初二期中）细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
；
；
；
（1）请用含（为正整数）的等式表示上述交化规律：______；
（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；
（3）利用上面的结论及规律，请在图中作出等于的长度；（4）若表示三角形面积，，，，计算出的值．
【答案】（1）；（2）直角边的平方和等于斜边的平方；
（3）见解析；（4）．
【分析】（1）观察已知各式，归纳总结规律即可得；（2）根据等式和图形即可得；
（3）先作的垂线，再在垂线上截取，连接，可得，同理可作出点，连接即为所求；（4）先分别求出的值，再归纳总结出一般规律得出的值，从而可得的值，然后代入求和即可．
【解析】（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为故答案为：；
（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方，故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；
（3）先作的垂线，再在垂线上截取，连接，即可得，同理可作点，连接，则即为所求，如图所示：
（4）
归纳类推得：
当时，，
则
．
【点睛】本题考查算术平方根、勾股定理等知识点，读懂题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
2．（2020·河南省初二期中）借助计算器可求得，，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】当根号内的两个平方的底数为1位数时，结果为5，当根号内的两个平方的底数为2位数时，结果为55，当根号内的两个平方的底数为3位数时，结果为555，据此即可找出规律，根据此规律作答即可．
【解析】解：∵，，，……
∴=．故选：D．
【点睛】本题主要考查了与算术平方根有关的数的规律探求问题，解题的关键是由前三个式子找到规律，再根据所找到的规律解答．
3．（2021·望谟县第三中学初二月考）观察下列各式：
＝＝＝2，即＝2
＝＝＝3，即＝3，那么＝_____．
【答案】n．
【分析】根据已知等式，可以得出规律，猜想出第n个等式，写出推导过程即可．
【解析】解：＝n．故答案为：n．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键．
4．（2020·广西壮族自治区初二期中）观察下列各式：，，，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来__________________．
【答案】
【分析】观察分析可得，，，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
【解析】由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
故答案为：
【点睛】本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n表示的等式即可．
5．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）
（1）①________；
②__________；
③_________．
（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．
【答案】（1）＞，＞，=；（2）．两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．
【分析】（1）分别计算各部分，再比较大小；（2）根据题意找到规律，并用式子表示．
【详解】解：（1），，
∴＞，
，，
∴＞，，，
∴=，故答案为：＞，＞，=；
（2）由题意可得：设两个实数a、b，则．
通过观察上述关系式发现，等式的左边都是两个数的平方和的形式，右边是前面两数不平方乘积的2倍，通过几个例子发现两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．
【点睛】本题考查二次根式的大小比较和混合运算，找到题中的规律，进行总结和描述是解题的关键．
考点9
二次根式的应用
1．（2021·河北唐山市·八年级期末）观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，=）
（1）①当，时，______；②当，时，______；
③当，时，______；④当，时，______．
（2）写出关于与之间数量关系的猜想：______探究证明：（提示：）
（3）实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，写出镜框周长的最小值为______．
【答案】（1）①＝；②＝；③；④；（2），证明见解析；（3）4．
【分析】（1）①、②、③、④直接将a、b的值代入计算即可；
（2）由可得，最后移项即可说明；
（3）当镜框为正方形时，周长最小，即然后根据正方形的面积求出边长即可解答．
【详解】（1）①当，时，=2，=2，则=；
②当，时，=3，=3，则=；
③当，时，=2.5，=2，则＞；
④当，时，=4，=，则＞．故：①＝，②＝，③，④；
（2），理由如下：，∴，整理得，；
（3）当镜框为正方形时，周长最小∵镜框的面积为1∴镜框的边长为1，即周长为4．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，确定出两个算式的大小关系并灵活运用这种关系成为解答本题的关键．
2．（2021·全国九年级）材料：海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：S＝（其中a，b，c为三角形的三边长，p＝，S为三角形的面积）．利用上述材料解决问题：当a＝，b＝3，c＝2时．（1）直接写出p的化简结果为　
　．（2）写出计算S值的过程．
【答案】（1）；（2）3
【分析】（1）根据根式的性质进行化简计算；（2）利用乘法公式进行二次根式的化简计算．
【详解】解：（1）∵a＝，b＝3，c＝2，
∴p＝＝＝；故答案为：．
（2）S＝
＝
＝
＝
＝3．
【点睛】本题考查了二次根式的应用以及二次根式的混合运算，利用乘法公式对二次根式进行化简计算是解决本题的关键．
3．（2021·全国九年级）人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么这个三角形的面积为
，如图，在中，，，．（1）求的面积；（2）设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值．
【答案】(1)
；(2)
．
【分析】(1)直接将三角形的三边代入计算，再根据根式的性质进行化简计算；
(2)通过三角形面积公式以及第一问求出来的结果进行计算，可分别得出三角形三边的高，最后求和即可得出最终结果．
【详解】解：(1)
，，在中，，，，
代入可得，；
(2)
设边上的高为，边上的高为，边上的高为，则=，
可得到，，，
．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，需要有较强的运算求解能力，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
4.（2020?嘉祥县期中）阅读理解：
对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2
（a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤　
　；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？
【分析】（1）根据a+b≥2
（a、b均为正实数），进而得出即可；
（2）根据a+b≥2
（a、b均为正实数），进而得出即可．
【答案】解：（1）∵a+b≥2
（a、b均为正实数），
∴a+b＝9，则a+b≥2，即≤；故答案为：；
（2）由（1）得：m+≥2，即m+≥2，当m＝时，m＝1（负数舍去），
故m+有最小值，最小值是2．
【点睛】此题主要考查二次根式的应用，根据题意结合a+b≥2
（a、b均为正实数）求出是解题关键．
5.（2021.成都市初二期中）斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数an可表示为[（）n﹣（）n]．（1）计算第一个数a1；（2）计算第二个数a2；（3）证明连续三个数之间an﹣1，an，an+1存在以下关系：an+1﹣an＝an﹣1（n≥2）；（4）写出斐波那契数列中的前8个数．
【分析】（1）（2）代入计算即可求解；（3）根据乘法分配律即可证明：an+1﹣an＝an﹣1（n≥2）；
（4）根据（3）的关系可求斐波那契数列中的前8个数．
【答案】解：（1）a1＝[（）﹣（）]＝×＝1；
（2）a2＝[（）2﹣（）2]＝×＝1；
（3）证明：an+1﹣an＝[（）n+1﹣（）n+1]﹣[（）n﹣（）n]
＝[（）n+1﹣（）n]﹣[（）n+1﹣（）n]
＝[（）n（﹣1）]﹣[（）n（﹣1）]
＝[（）n（）]﹣[（）n（﹣）]
＝[（）n﹣1﹣（）n﹣1]；
（4）斐波那契数列中的前8个数是1，1，2，3，5，8，13，21．
【点睛】此题考查了二次根式的应用，关键是熟悉斐波那契数列的规律．
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精品试卷·第
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专题01
二次根式（知识点精讲+重难点题型）
知识点精讲
知识点1
二次根式的概念
1）二次根式：形如（a≥0）叫做二次根式
注：①表示的是算术平方根
；②二次根式表示的是一个式子，而平方根表示的是一种运算
③“”中的“2”可以省略，“”表示三次根式，不可省略
1．（2020·浙江八年级期中）下列各式一定是二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·涡阳县王元中学）在下列代数式中，不是二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·朝阳市第一中学初二期中）下列各式中不是二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
知识点2
二次根式有意义的条件
1）二次根式（）有意义的条件：被开方数（式）为非负数（a≥0）
注：①a仅是一个表示式，可为常数、单项式、多项式等整式
②
不一定无意义。当a≤0时，-a≥0，有意义。关键是看被开方数这个整体是否非负
1．（2020·浙江杭州市·七年级期末）如果和都是有意义的，那么应该满足的条件是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）二次根式中，字母x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级月考）已知点
P（x，y）在函数的图象上，那么点
P
应在平面直角坐标系中的（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）若成立．则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
知识点3
二次根式的性质
1）性质一：二次根式结果非负性，即≥0（a≥0）
注：“”表示的是算术平方根
2）性质二：非负数的算术平方根的平方等于它本身，即；=a。
（隐含条件：a大于等于0）
3）性质三：=
性质三即性质二的一般形式，必须同时符合性质一（非负性）
注：（）2与的区别
：（）2隐含a≥0的条件，结果为a；中a可正可负，结果为
1．（2020·浙江省初二期末）下列运算正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）已知，则a的取值范围________．
3．（2020·浙江温州市·实验中学八年级期中）已知，则2x﹣18y2＝_____．
4．（2020·浙江杭州市·杭州春蕾中学八年级月考）实数、在数轴上的位置，化简______．
5．（2020·浙江宁波市·八年级期中）若，则________．
知识点4二次根式的乘法法则
1）二次根式乘法法则：=（a≥0，b≥0）
扩展：=（a≥0，b≥0，c≥0）
2)积的算术平方根：=（a≥0，b≥0）
积的算术平方根是二次根式乘法的逆运算，常用在化简当中。如：==3
注：若a≤0且b≤0，则=。
1．（2020·浙江杭州市·九年级学业考试）的计算结果估计在（
）
A．1至1.5之间
B．1.5至2之间
C．2至2.5之间
D．2.5至3之间
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）计算：______．
3．（2020·浙江金华市·八年级期末）对于实数、作新定义：，，在此定义下，计算：________．
4．（2020·河南郑州市·八年级期中）下列各数中，与的乘积是有理数的是（
）
A．
B．
C．
D．
知识点5
二次根式的除法
1)
二次根式的除法法则：=（a≥0，b＞0）
注：①=的前提条件是a≥0，b＞0
②当存在带分数时，应先化成假分数，再进行计算。
2)商的算术平方根：=（a≥0，b＞0）
商的算术平方根是二次根式除法的逆运算，常用在化简当中。
注：若a≤0且b＜0，则=。
1．（2020·浙江杭州市·八年级期中）若，，则x与y的关系是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·杭州江南实验学校八年级开学考试）设，，，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江杭州市·九年级）已知：，，，则、、的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）化简_________．
5．（2021·湖南益阳市·八年级期末）化简题中，有四个同学的解法如下：
①
②
③
④
他们的解法，正确的是___________．(填序号)
知识点6
最简二次根式与同类二次根式
1)规定最简二次根式：①被开方数不含能开方得尽方的因数（式子）。如；②分母中不含被开方数。
③分母中含被开方数转化为整式。如==
注：分母中的被开方数去掉后，要注意分子二次根式是否还能被开方。如===
2）分母含有二次根式化简为最简二次根式步骤：①分母、分子同乘（分母的二次根式）；②分母去掉二次根式，并观察分子的形式，看能否在开方；③化简为最简二次根式
3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。
1．（2020·浙江杭州市·八年级月考）下列二次根式中，最简二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）在????中，最简二次根式有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）下列二次根式中，能与合并的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为_________．
5．（2021·上海市仙霞第二中学八年级期末）若二次根式与是同类二次根式，则整数可以等于___________．（写出一个即可）
知识点7
二次根式的加减运算
1）二次根式的加减：先将二次根式化简为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行相加减
分析：①在进行二次根式加减运算时，要化简为最简二次根式
②类似于同类项合并。二次根式加减运算也是合并同类最简二次根式
③不是同类二次根式不能合并
注：+是可以合并的，因为不是最简二次根式，化简为二次根式为2，所以+=+=
1．（2020·江苏八年级月考）下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·黑龙江省初二期末）计算：=_____________．
3．（2020·贵州兴仁·初二期末）下列计算正确的为（
）．
A．
B．
C．
D．
4．（2020·河北省中考真题）已知：，则_________．
5．（2020·浙江宁波市·七年级期中）把四张形状大小完全相同宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是_________．
知识点8
二次根式的混合运算
与整式的混合运算一样（二次根式是一种特殊的整式）即先乘方，后乘除，最后加减，同级从左至右运算
1．（2021·浙江宁波市·八年级期末）下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·北京顺义区·八年级期末）下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·上海市仙霞第二中学八年级期末）如为实数，在“□”的“□”中添
上一种运算符号（在“＋”、“－”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则不可能是（　　　）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）计算：
（1）
（2）
重难点题型
考点1
最简二次根式与同类二次根式的识别
【满分技巧】最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．
1．（2021·河南南阳市·九年级期末）下列二次根式中，与同类二次根式的是（　　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·广西北海市·八年级期末）下列各式中，能与合并的二次根式是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）下列根式中，最简二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
考点2
利用二次根式性质化简符号
【满分技巧】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．
1．（2020·浙江杭州市·九年级）化简（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·温州育英国际实验学校八年级月考）下列四个式子中，与的值相等的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江九年级）把二次根式化简为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·深圳布心中学初二期中）化简二次根式
的结果是（
）
A．
B．－
C．
D．－
考点3
利用二次根式的性质化简
【满分技巧】二次根式的性质：（1）（2）
1．（2020·浙江杭州市·八年级模拟）一次函数的图象如图所示，则化简的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·讷河市初二期中）若化简|1-x|-的结果为2x﹣5，则x的取值范围是（　　）
A．
x为任意实数
B．1≤x≤4
C．x≥1
D．
x≤4
3．（2020·山东省烟台第十中学初三期中）阅读下列解题过程：
例：若代数式，求a的取值．
解：原式=，
当a<2时，原式＝(2-a)+(4-a)=6-2a=2，解得a＝2(舍去)；
当2≤a＜4时,原式＝(a-2)+(4-a)=2=2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝(a-2)+(a-4)=2a－6＝2，解得a=4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当3≤a≤7时，化简：＝_________；
(2)请直接写出满足＝5的a的取值范围__________；
(3)若＝6，求a的取值．
4．（2020·荆州市楚都中学初二月考）已知满足．
（1）有意义，的取值范围是
；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得
（2）根据（1）的分析，求的值．
考点4.与关系的综合应用
【满分技巧】此类考点，需要关注2点：1）被开放数大于等于0；2）分母不能为0.
1．（2020·黄冈市蕲春县第二实验中学初二月考）已知：为实数，且，化简：．
2．（2020·汕头市潮南区育才实验学校初二月考）已知：
3．（2021·湖北应城·初二期中）已知a、b满足b＝，求的平方根．
4．（2021·江苏建湖·汇文实验初中初二月考）已知x、y都是实数，且
（1）求的值.
（2）求x+4y的平方根.
考点5
二次根式的混合运算
【满分技巧】二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；
1．（2020·山西省初二期中）为了打赢湖北保卫战、武汉保卫战，4万多名医护人员逆行出征，约4万名建设者从八方赶来，并肩奋战，抢建火神山和雷神山医院．他们日夜鏖战，与病毒竞速，创造了10天左右时间建成两座传染病医院的“中国速度”！他们不畏风险，同困难斗争，充分展现团结起来打硬仗的“中国力量”，在建设过程中，有一位木工遇到了这样一道数学题：
有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．（1）求剩余木料的面积？（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出_________块这样的木条．
2．（2021·山东济南市·八年级期末）计算下列各题：
（1）×－；
（2）
（＋3）（3－）－（－1）2.
3．（2021·四川省成都实外初二月考）计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
4．（2020·河北省初二期末）阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，，所与，与互为有理化因式．（1）的有理化因式是
；
（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，
用上述方法对进行分母有理化．
（3）利用所需知识判断：若，，则的关系是
．
（4）直接写结果：
．
考点6
利用二次根式性质求代数式的值
1．（2020·遂昌锦绣育才教育集团学校八年级月考）已知，，求下列代数式的值．（1）（2）
2．（2020·四川省成都高新实验中学初二月考）若实数x，y满足（x﹣）（y﹣）＝2016．（1）求x，y之间的数量关系；（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．
3．（2020·武钢实验学校初二期中）已知，，求的值.
4．（2020·杭州江南实验学校八年级开学考试）（1）若，为实数，且，求的值；（2）已知，，求的值．
5.（2021?芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；（1）x2+y2；（2）．
6.（2021?通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
考点7
复合二次根式的化简
【满分技巧】化简二次根式，关键是要化简出平方（偶次）项来，我们八年级上册学习的完全平方公式能够很好的完成这个任务。因此，在化简二次根式时，我们常用到乘法公式。
1．（2021·上海初二期中）化简：的结果是（
）
A．6
B．
C．
D．
2．（2020·山东省初二期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，使得，，那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于，即：，，
所以。
问题：
①
填空：，；
②
化简：（请写出计算过程）
3．（2020·河南省王店一中初二月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝
，b＝
；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：
＋2
＝（
＋
）2；（答案不唯一）（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
4．（2020·丹东市第七中学初二期中）求的值．
解：设x=，两边平方得：，即，x2=10
∴x=．
∵＞0，∴=．
请利用上述方法，求的值．
考点8
含二次根式的规律探究
【满分技巧】规律探究，需要注意每个根式中分子、分母的关系或变化规律。
1．（2020·上海市市西初级中学初二期中）细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
；
；
；
（1）请用含（为正整数）的等式表示上述交化规律：______；
（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；
（3）利用上面的结论及规律，请在图中作出等于的长度；（4）若表示三角形面积，，，，计算出的值．
2．（2020·河南省初二期中）借助计算器可求得，，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想等于（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·望谟县第三中学初二月考）观察下列各式：
＝＝＝2，即＝2
＝＝＝3，即＝3，那么＝_____．
4．（2020·广西壮族自治区初二期中）观察下列各式：，，，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来__________________．
5．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）
（1）①________；
②__________；
③_________．
（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．
考点9
二次根式的应用
1．（2021·河北唐山市·八年级期末）观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，=）
（1）①当，时，______；②当，时，______；
③当，时，______；④当，时，______．
（2）写出关于与之间数量关系的猜想：______探究证明：（提示：）
（3）实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，写出镜框周长的最小值为______．
2．（2021·全国九年级）材料：海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：S＝（其中a，b，c为三角形的三边长，p＝，S为三角形的面积）．利用上述材料解决问题：当a＝，b＝3，c＝2时．（1）直接写出p的化简结果为　
　．（2）写出计算S值的过程．
3．（2021·全国九年级）人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么这个三角形的面积为
，如图，在中，，，．（1）求的面积；（2）设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值．
4.（2020?嘉祥县期中）阅读理解：
对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2
（a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤　
　；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？
5.（2021.成都市初二期中）斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数an可表示为[（）n﹣（）n]．（1）计算第一个数a1；（2）计算第二个数a2；（3）证明连续三个数之间an﹣1，an，an+1存在以下关系：an+1﹣an＝an﹣1（n≥2）；（4）写出斐波那契数列中的前8个数．
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精品试卷·第
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