资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题02
二元一次方程组
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·浙江湖州市·七年级期中）下到方程组中，属于二元一次方程组的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可．
【详解】解：A、属于二元一次方程组，符合题意；
B、有三个未知数，不属于二元一次方程组，不符合题意；
C、属于二元二次方程组，不符合题意；
D、属于二元二次方程组，不符合题意，故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．
2．（2020·山东期末）方程组的解为，则和的值分别为（
）
A．1，2
B．5，1
C．2，3
D．2，4
【答案】B
【分析】把x=2代入方程组的第二个方程即可求得y即的值，再将x和y的值代入第一个方程即可求得．
【解析】解：将x=2代入得y=1，所以
再将代入得，故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解．使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
3．（2020·浙江杭州市·七年级期中）解方程组①②，比较简便的方法是（　　　）
A．均用代入消元法
B．均用加减消元法
C．①用代入消元法，②用加减消元法
D．①用加减消元法，②用代入消元法
【答案】C
【分析】根据方程组的特点，选择加减法或代入法即可．
【详解】解：方程组①有用x表示y的方程，适合用代入法；方程组②未知数x的系数相同，y的系数互为相反数，适合用加减消元法，故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法选择，解题关键是明确适合用代入消元法和加减消元法方程组的特征．
4．（2020·重庆梁平·初一期末）方程组的解是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】①+②+③得出x+y+z=0④，④-①、④-②、④-③，即可求出z、y、x的值．
【解析】，①+②+③得：2x+2y+2z=0，x+y+z=0④，
④-①得：z=1，④-②得：y=0，④-③得：x=-1，所以原方程组的解为：．故选：D．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法正确消元是解此题的关键．
5．（2020·浙江长兴·期中）已知x，y满足方程组则无论m取何值，x，y恒有的关系式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由方程组消去m，得到一个关于x，y的方程，化简这个方程即可．
【解析】解：将代入，得，所以.故选C.
【点睛】解二元一次方程组的基本思想是“消元”，基本方法是代入法和加减法，此题实际是消元法的考核．
6．（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程，当取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意先给a值随便取两个值，然后代入方程，从而能够求出x、y的值，然后把x、y的值代入方程进行验证，能使左边和右边相等就是方程的解．
【详解】解：∵当a每取一个值时就得到一个方程，而这些方程有一个公共解，
∴a值随便取两个值，a=1，方程为
y+1=0，a=2，方程为
x+4y+1=0，解得
x=3，y=-1，
把x=3，y=-1，代入（a-1）x+（a+2）y+5-2a=0，可得
3×（a-1）-1×（a+2）+5-2a=（3-1-2）×a-3-2+5=0，
∴这个公共解是，故选C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解的定义，要会用代入法判断二元一次方程的解．该题主要用的是代入法．
7．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①是方程组的一个解；②当时，的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x与y之间的数量关系是．其中正确的是（
）
A．②③
B．①②③
C．②③④
D．①③④
【答案】B
【分析】①将x＝5，y＝-1代入检验即可做出判断；②将a＝-2代入方程组求出方程组的解即可做出判断；③将a＝1代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；④消去a得到关于x与y的方程，即可做出判断．
【详解】解：①将x＝5，y＝-1代入方程组得：，解得：a＝2，本选项正确；
②将a＝-2代入方程组得：，
①-②得：4y＝12，即y＝3，将y＝3代入②得：x＝-3，则x与y互为相反数，本选项正确；
③将a＝1代入方程组得：，解得：，
将x＝3，y＝0代入方程x+y＝3的左边得：3+0＝3，是方程x+y＝3的解，本选项正确；
④，由①得：a＝4-x-3y，代入②得：x-y＝3（4-x-3y），
整理得：x+2y＝3，本选项错误，则正确的选项为①②③．故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
8．（2019?武汉模拟）我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝10的正整数解得组数是（　　）
A．34
B．35
C．36
D．37
【分析】先把x+y看作整体t，得到t+z＝10的正整数解有7组；再分析x+y分别等于2、3、4、……9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．
【答案】解：令x+y＝t（t≥2），则t+z＝10的正整数解有8组（t＝2，t＝3，t＝4，……t＝9）
其中t＝x+y＝2的正整数解有1组，t＝x+y＝3的正整数解有2组，t＝x+y＝4的正整数解有3组，……t＝x+y＝9的正整数解有8组，∴总的正整数解组数为：1+2+3+……+8＝36故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，可三元方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·浙江长兴·期中）如果方程组的解为，那么被“△”遮住的数是______．
【答案】4
【分析】根据已知条件可得x＝6是方程2x+y＝16的解，进而可得y的值．
【解析】解：将x＝6代入2x+y＝16，得y＝4，故答案为：4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是掌握二元一次方程组的解法．
10．（2020·江苏海州·初一期末）已知:
5xm7
2y2n1
4
是二元一次方程，则
mn=
_____．
【答案】-6
【分析】如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项的次数都为1次，那么这个整式方程就叫做二元一次方程.
【解析】∵5xm7-2y2n14是二元一次方程∴m+7=1；2n-1=1
解得m=-6；n=1∴mn=-6×1=-6
【点睛】本题考查二元一次方程的定义，解题关键是根据未知数系数为1可求出m，n.
11．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）已知
xyz≠0，且，则
x：y：z
等于
.
【答案】1：2：3
【分析】由，①×3+②×2，得出x与y的关系式，①×4+②×5，得出x与z的关系式，从而算出xyz的比值即可．
【解析】∵，∴①×3+②×2，得2x=y，①×4+②×5，得3x=z，
∴x：y：z=x：2x：3x=1：2：3．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，用含有x的代数式表示y与z是解此题的关键．
12．（2020·江苏东海·期末）如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b的值为______．
【答案】1
【分析】根据题意，把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b的值．
【解析】解：根据题意把代入方程组，得，
①+②，得：7（a+b）=7，则a+b=1，故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及加减消元法解方程组．一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．注意两个方程组有相同的解时，往往需要将两个方程组进行重组解题．
13．（2020·全国课时练习）解方程组时先消去未知数_____________比较方便，具体做法如下：先由①+②得方程______________________，再由①+③得方程_________________．
【答案】
【分析】利用解三元一次方程组的基本思想-消元的思想，即运用消元法先消去其中一个未知数，转化二元一次方程组，然后解这个方程组，本题因为z的系数比较简单，故选择先消去z，根据以上思路即可得各空答案．
【解析】解：由①+②得：5x+3y=-4
④由①+③得：6x+7y=-11
⑤
故答案为：，5x+3y=-4，6x+7y=-11．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
14．（2020·永城市实验中学期末）若方程组的解为x、y，且x＋y＞0，则k的取值范围是______．
【答案】k＞-3
【分析】本题可将两式相加，得到6x+6y=k+3，根据x+y的取值，可得出k的值．
【解析】两式相加得：6x+6y=k+3，
∵x+y＞0∴6x+6y=6（x+y）＞0，即k+3＞0，∴
k＞-3，故答案为：k＞-3．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解的性质，通过化简得到x+y的形式，再根据x+y＞0求得k的取值．
15．（2020·绍兴市长城中学期中）已知方程组的解是．利用这一结果，观察、比较可知方程组的解为_____．
【答案】
【分析】通过比较可以分别得到关于x的一元一次方程和关于y的一元一次方程，解方程可以分别得到x和y的值．
【解析】解：令x﹣1＝a，y+1＝b
∴x﹣1＝8.3，y+1＝1.2，∴x=9.3，y=0.2．故答案为
【点睛】本题考查二元一次方程组与一元一次方程的综合应用，由题意通过观察与比较建立关于x的一元一次方程和关于y的一元一次方程是解题关键．
16．（2020·长沙湘一立信实验学校月考）要使方程组有正整数解，则整数a的值是_______．
【答案】-3或9
【分析】根据题意用a表示出y的值，进而得出符合题意的值．
【解析】解：，由②得：x＝2y，故4y＋ay＝13，则y＝，
∵方程组有正整数解，∴当a＝?3时，y＝13，此时x＝26，
当a＝9时，y＝1，此时x＝2，都符合题意，故答案为：-3或9．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，正确表示出y的值是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·江苏沭阳·期中）解方程组：（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用带入消元法求解即可；（2）利用加减消元法求解即可．
【解析】解：（1）将①代入②中，得：x=1，解得：y=3，
∴方程组的解为：；
（2），①-②得：2y=4，解得：y=2，代入①中，解得：x=1，
∴方程组的解为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是掌握带入消元法和加减消元法．
18．（2020·江苏海安·初一期中）解下列方程组：
（1）（用代入法）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可；
（3）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解析】（1），由②得：y=﹣2x+3③，
把③代入①得：3x﹣2（﹣2x+3）=8，解得：x=2，
把x=2代入②得：y=﹣1，则方程组的解为；
（2），①×3+②×2得：19x=114，解得：x=6，
把x=6代入①得：y=﹣，则方程组的解为；
（3），①+②得：5x+2y=16④，②+③得：3x+4y=18⑤，
④×2﹣⑤得：7x=14，解得：x=2，把x=2代入④得：y=3，把x=2，y=3代入③得：z=1，
则方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．（2020·长沙市中雅培粹学校月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为．（1）求a、b的值；（2）求原方程组的解．
【答案】（1）b＝﹣2，a＝3；（2）．
【分析】（1）将甲得到的方程组的解代入②求出b的值，将乙得到方程组的解代入①求出a的值；
（2）加减法解方程组即可．
【解析】解：（1）将x＝﹣1，y＝1代入方程组中的②得：﹣4﹣b＝﹣2，解得：b＝﹣2，
将x＝6，y＝﹣3代入方程组中的①得：6a﹣9＝9，解得：a＝3；
（2）方程组为，①×2﹣②×3得：﹣6x＝24，
解得：x＝﹣4，将x＝﹣4代入①得：y＝7，则原方程组的解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组，根据甲、乙未看错的方程得到方程组各项的系数是解题关键．
20．（2020·山东期末）先阅读材料，然后解方程组．
材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了如下方法：
解：将②变形，得4x+10y+y＝5
即2（2x+5y）+y＝5③
把①代入③，得2×3+y＝5，解得y＝﹣1．
把y＝﹣1代入①，得2x+5×（﹣1）＝3，解得x＝4．
∴原方程组的解为．
这种方法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组：．
【答案】
【分析】仿照小军的方法将方程②变形，把方程①代入求出y的值，即可确定出x的值．
【解析】解：，将②变形，得，
即，把①代入③，得3×5+y＝12，解得，
把代入①，得，解得，则原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的求解方法，根据题意熟练掌握整体代入消元法是解决本题的关键．
21．（2021·浙江全国·初一单元测试）已知关于x，y的方程组
(1)请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解；(2)若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值；
(3)无论实数m取何值时，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，求出这个解．
(4)若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．
【答案】（1），
（2）m=（3）（4）
【分析】（1）先对方程变形为x=6-2y，然后可带入数值求解；（2）把已知的x+y=0和方程x+2y-6=0组合成方程组，求解方程组的解，然后代入方程x-2y+mx+5=0即可求m的值；
（3）方程整理后，根据无论m如何变化，二元一次方程组总有一个固定的解，列出方程组，解方程组即可；
（4）先把m当做已知求出x、y的值，然后再根据整数解进行判断即可.
【解析】（1）
;
（2）
解得
把代入，解得m=
（3）
（4）①+②得：
解得，
∵x恰为整数，m也为整数，∴2+m=1或2+m=-1,解得
22．（2020·湖北期末）阅读下列解方程的解法，然后解决有关问题．
解方程组时，如果考虑常规的消元法（即代入消元法和加减消元法），那将非常麻烦！若用下面的方法非常规的解法，则轻而易举
，得，即
，得
，得
把代入（3）得，即
所以原方组的解是
以上的解法的技巧是根据方程的特点构造了方程（3）．我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方程组
【答案】
【分析】②?①得出6x＋6y＝6，求出x＋y＝1③，①?③×7求出y＝2，把y＝2代入③求出x即可．
【解析】解：②?①得：6x＋6y＝6，即：x＋y＝1③，
①?③×7得：4y＝8，解得：y＝2，把y＝2代入③得：x＝?1，
所以原方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组的应用，能根据方程组的特点选择简单的方法解方程组是解此题的关键．
23．（2020·内蒙古乌兰浩特·初一期末）三位同学对下面这个问题提出了自己的看法：
若关于x，y的方程组的解是，求方程组的解．
甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；
乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；
丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，将方程组化为，然后通过换元替代的方法来解决？”
你认为这个方程组有解吗？如果认为有，求出它的解．
【答案】有解；．
【分析】方程组有解，理由为：根据已知方程组的解，将所求方程组变形后仿照解的规律求出x与y的值即可．
【解析】方程组有解，∵方程组的解是，
∴方程组解为，解得：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题02
二元一次方程组
知识点精讲
知识点1
二元一次方程（组）
1）二元一次方程：含有两个未知数，且
所含未知数的次数项的次数都是1的方程。
注：所有未知数项的次数必须是1
2）将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组。
注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量。
②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个。
3）判断二元一次方程组的方法：
①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成.
1．（2020·浙江杭州市·七年级期末）下列各式中，属于二元一次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江杭州市·七年级期中）下列方程中，属于二元一次方程组的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江金华市·七年级期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（　　　）
A．
B．3
C．
D．9
4．（2020·浙江嘉兴市·七年级期末）若关于x，y的方程是一个二元一次方程，则m的值为_____________．
知识点2
二元一次方程（组）的解
1）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）
2）二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解。
3）检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解。
注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解。
1．（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知二元一次方程，请写出它的一个整数解为_______．
2．（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知二元一次方程的解为正整数，则满足条件的解共有______对．
3．（2020·浙江杭州市·七年级期中）己知是方程的一个解，则a的值为_____．
4．（2020·浙江杭州市·七年级期末）下列数值中，可作为二元一次方程的解的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程，当取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（
）
A．
B．
C．
D．
知识点3代入消元法
1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法。
2)代入消元法的步骤：
①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程。
③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解。
知识点4
加减消元法
1）消元法的目的：消去一个未知数，转化为方便求解的一元一次方程
2）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法。
注：①当两个方程中，同一个未知数的系数成倍数关系时，将某一个方程扩大相应倍数，使两个方程中某个未知数的系数相同或相反，然后再利用加减消元法。
②若两个方程中两个未知数的系数不相等且不成倍数关系时，则应选取一组系数，求出其对应最小公倍数，对方程组变形（系数变形成对应最小公倍数），再利用加减消元法。（此种情况，加减消元法与代入消元法难易程度差不多，随意选取）。
3）加减消元法步骤：
①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；
②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；
③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值。
1．（2020·浙江杭州市·七年级期中）解方程组①②，比较简便的方法是（　　　）
A．均用代入消元法
B．均用加减消元法
C．①用代入消元法，②用加减消元法
D．①用加减消元法，②用代入消元法
2．（2020·浙江杭州市·七年级期末）解方程组：（1）
（2）
3．（2020·浙江杭州市·七年级期末）解方程组：（1）
（2）
4．（2020·浙江杭州市·七年级期末）选择合适的方法解下列方程组
（1）；
（2）．
知识点5
三元一次方程组的概念
1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组。
1．（2020·全国课时练习）下列方程组是三元一次方程组的是（
）
A．
B．
C．
D．
知识点6
解三元一次方程组的方法和步骤
1）步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元
1．（2020·全国课时练习）解方程组．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）已知
xyz≠0，且，则
x：y：z
等于（
）
A．3：2：1
B．1：2：3
C．4：5：3
D．3：4：5
3．（2020·重庆梁平·初一期末）方程组的解是（
）
A．
B．
C．
D．
重难点题型
考点1
二元一次方程（组）的概念和判断
满分技巧：二元一次方程的判断主要注意以下几点：
①含有2个未知数，即未知数前的系数不为0；②未知数的次数为1
二元一次方程组的判断需要注意以下几点：
①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成.
1．（2020·江苏沭阳·期中）下列方程是二元一次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江杭州市·七年级期末）下列是二元一次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·浙江瑞安·开学考试）下列方程组中是二元一次方程组的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·浙江长兴·期中）下到方程组中，属于二元一次方程组的是（
）
A．
B．
C．
D．
考点2
利用二元一次方程的概念求参数
满分技巧：利用二元一次方程的特征（①含有2个未知数，即未知数前的系数不为0；②未知数的次数为1），建立方程（组）解得参数即可。
1．（2020·珠海市九洲中学期中）若是关于x、y的二元一次方程，则m的值是（　　）
A．1
B．任何数
C．2
D．1或2
2．（2020·湖北荆州·月考）若是关于的二元一次方程，则的值分别是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江杭州市·七年级期中）方程是关于、的二元一次方程，则（
）
A．；
B．，
C．，
D．，
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若是关于，的二元一次方程，则的值是________．
考点3运用方程组的解的定义
满分技巧：寻找二元一次方程，重点是观察并发现解中x，y之间的特征。
1．（2020·浙江萧山·期末）若二元一次方程组的解为，则a+b的值是(　　　)
A．9
B．6
C．3
D．1
2．（2020·河北永年·期末）若是关于x、y的方程组的解，则(a+b)(a﹣b)的值为(??
)
A．15
B．﹣15
C．16
D．﹣16
3．（2020·河南洛宁·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则a﹣2b的值是（　　）
A．﹣2
B．2
C．3
D．﹣3
4．（2020·永城市实验中学期末）已知是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（
）
A．-6
B．-5
C．4
D．5
考点4
代入消元法和加减消元法比较
满分技巧：代入消元法和加减消元法是2种基础的消元法，各有优劣：
1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数时（或易于转化为该形式时），用代入消元法。
例：
2）当方程组中，某一个未知数在两个方程中的系数相同或互为相反数时（或成倍数时），用加减消元法。
例：
3）无上述两种特征，依据个人喜好定方法。
例：
注意：当二元一次方程系数比较复杂时，应先化简（去分母、去括号、移项、合并同类项等）。通常要把每个方程整理成含有未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再利用消元法解方程。
1．（2020·抚顺市抚顺矿区工学院附中初一期中）解下列方程组
（1）；
（2）；
2．（2020·江苏海安·初一期中）解下列方程组：
（1）（用代入法）；
（2）；
3．（2020·全国课时练习）解方程组，先消去未知数________________比较方便，即：①+②得：____________________，②+③得：_____________________．
4．（2020·鸡东县第三中学期中）三元一次方程组的解是
A．
B．
C．
D．
考点5
整体构造法求代数式的值
满分技巧：
某些代数式无需把每个未知数都求出来，而是通过观察各方程的系数关系，利用整体构造法直接求出代数式的值。
1．（2020·永城市实验中学期末）若方程组的解为x、y，且x＋y＞0，则k的取值范围是______．
2．（2020·山东五莲·初一期末）若方程组的解中，则k等于_____．
3．（2020·深圳市罗湖外语学校初中部期中）若方程组的解满足x＋y＝0，则k的值是_______．
4．（2020·石家庄市第二十七中学期中）已知关于、的方程组以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③当时，；④不论取什么实数，的值始终不变，其中正确的是（
）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
考点6
整体消元法解方程组
1)整体代入消元法
满分技巧：代入消元法常规作法是当未知数系数为±1时，进行代入从而起到消元的目的。我们可以从整体入手，当两个方程中都存在相同的部分时，可以把它们视作一个整体。这样的话，就符合代入消元法的特征，从而实现消元。具体见下列实例：
1．（2020·山东期末）先阅读材料，然后解方程组．
材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了如下方法：
解：将②变形，得4x+10y+y＝5
即2（2x+5y）+y＝5③
把①代入③，得2×3+y＝5，解得y＝﹣1．
把y＝﹣1代入①，得2x+5×（﹣1）＝3，解得x＝4．
∴原方程组的解为．
这种方法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组：．
2．（2020·珠海市九洲中学期中）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②8x+20y+2y=10，变形为
2（4x+10y）+2y=10③，把方程①代入③得，2×6+2y=10，则
y=﹣1；把
y=﹣1
代入①得，x=4，所以方程组的解为：
请你解决以下问题：
（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组
（2）已知
x、y、z，满足试求
z
的值．
3．（2020·江苏丹阳·初一期中）[阅读材料]
善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程变形：，
即，
把方程代入得：，所以，
将代入得，所以原方程组的解为．
[解决问题]（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组，
（2）已知x，y满足方程组，求的值．
2)
整体加减消元法
满分技巧：当两个方程之间有的字母系数有一定的规律，可以尝试用整体加减消元法，会得到一个比较特殊的式子，将这个式子和原来的式子在进行加减消元会比较容易。该方法技巧性比较强，读者需注意平时多积累尝试。
1．（2020·湖北期末）阅读下列解方程的解法，然后解决有关问题．
解方程组时，如果考虑常规的消元法（即代入消元法和加减消元法），那将非常麻烦！若用下面的方法非常规的解法，则轻而易举
，得，即
，得
，得
把代入（3）得，即
所以原方组的解是
以上的解法的技巧是根据方程的特点构造了方程（3）．我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方程组
2.解方程组：
3.解方程组：
3)
整体换元法
满分技巧：把某一部分看作一个整体进行消元，达到转化为一元一次方程的方法
1．（2020·北京理工大学附属中学分校初一期末）若方程组的解是，则方程组的解是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·绍兴市长城中学期中）已知方程组的解是．利用这一结果，观察、比较可知方程组的解为_____．
3．（2020·绍兴市昌安实验学校期中）如果关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是______．
4．（2020·内蒙古乌兰浩特·初一期末）三位同学对下面这个问题提出了自己的看法：
若关于x，y的方程组的解是，求方程组的解．
甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；
乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；
丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，将方程组化为，然后通过换元替代的方法来解决？”
你认为这个方程组有解吗？如果认为有，求出它的解．
考点7
二元一次方程组同解问题
满分技巧：两种方法。
方法一：将不含参数的方程组组成新的方程组，求解方程的解；在将方程解代入含有参数方程中，组成另一组方程。若2组方程组中，都存在无参数的方程，则该方法比较简单。
方法二：将参数看做常数，直接求解出方程组的解。因为两个方程组同解，所以所得含参数的解相同。利用这个条件，再来求解参数。方法二相对比较麻烦，若2组方程组中的方程都含有参数，则只能用该方法。
1．（2020·莆田擢英中学月考）已知关于的方程组和有公共解，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·贵州紫云·期末）已知方程组与的解相同，那么________．
3．（2020·湖北期末）若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·南阳市油田教育教学研究室期末）已知方程组的解满足，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
考点8
运用错解求正解（将错就错）
满分技巧：将方程中没错的部分挑选出来，得到参数的值；再把参数代入得到正确解。
1．（2020·北京八中乌兰察布分校期末）甲、乙同时解方程组，由于甲看错了方程中m的值，得到方程组的解，乙看错了方程中n的值，得到方程组的解为，你能求出原来的方程组的解吗？
2．（2020·北京八中乌兰察布分校期末）甲、乙同时解方程组，由于甲看错了方程中m的值，得到方程组的解，乙看错了方程中n的值，得到方程组的解为，你能求出原来的方程组的解吗？
3．（2020·江苏句容·期末）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．若按正确的a、b计算，求原方组的解．
4．（2020·绍兴市长城中学期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，求a+b的值是多少？
考点9
二元一次不定方程的整数解问题
1．（2020·河北昌黎·期末）方程在自然数范围内的解有（
）
A．只有1组
B．只有4组
C．无数组
D．以上都不对
2．（2019?宜宾期末）二元一次方程2x+3y＝11的正整数解有（　　）
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
3.（2019?西湖区月考）二元一次方程2x+3y＝15的非负整数解有（　　）个．
A．2
B．3
C．4
D．5
4．（2019?西湖区月考）如果x，y取0，1，2，…9中的数，且3x﹣2y＝11，则10x+y的值可以有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题02
二元一次方程组
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·浙江湖州市·七年级期中）下到方程组中，属于二元一次方程组的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·山东期末）方程组的解为，则和的值分别为（
）
A．1，2
B．5，1
C．2，3
D．2，4
3．（2020·浙江杭州市·七年级期中）解方程组①②，比较简便的方法是（　　　）
A．均用代入消元法
B．均用加减消元法
C．①用代入消元法，②用加减消元法
D．①用加减消元法，②用代入消元法
4．（2020·重庆梁平·初一期末）方程组的解是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·浙江长兴·期中）已知x，y满足方程组则无论m取何值，x，y恒有的关系式是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程，当取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①是方程组的一个解；②当时，的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x与y之间的数量关系是．其中正确的是（
）
A．②③
B．①②③
C．②③④
D．①③④
8．（2019?武汉模拟）我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝10的正整数解得组数是（　　）
A．34
B．35
C．36
D．37
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·浙江长兴·期中）如果方程组的解为，那么被“△”遮住的数是______．
10．（2020·江苏海州·初一期末）已知:
5xm7
2y2n1
4
是二元一次方程，则
mn=
_____．
11．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）已知
xyz≠0，且，则
x：y：z
等于
.
12．（2020·江苏东海·期末）如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b的值为______．
13．（2020·全国课时练习）解方程组时先消去未知数_____________比较方便，具体做法如下：先由①+②得方程______________________，再由①+③得方程_________________．
14．（2020·永城市实验中学期末）若方程组的解为x、y，且x＋y＞0，则k的取值范围是______．
15．（2020·绍兴市长城中学期中）已知方程组的解是．利用这一结果，观察、比较可知方程组的解为_____．
16．（2020·长沙湘一立信实验学校月考）要使方程组有正整数解，则整数a的值是_______．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·江苏沭阳·期中）解方程组：（1）
（2）
18．（2020·江苏海安·初一期中）解下列方程组：
（1）（用代入法）；（2）；（3）．
19．（2020·长沙市中雅培粹学校月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为．（1）求a、b的值；（2）求原方程组的解．
20．（2020·山东期末）先阅读材料，然后解方程组．
材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了如下方法：
解：将②变形，得4x+10y+y＝5
即2（2x+5y）+y＝5③
把①代入③，得2×3+y＝5，解得y＝﹣1．
把y＝﹣1代入①，得2x+5×（﹣1）＝3，解得x＝4．
∴原方程组的解为．
这种方法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组：．
21．（2021·浙江全国·初一单元测试）已知关于x，y的方程组
(1)请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解；(2)若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值；
(3)无论实数m取何值时，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，求出这个解．
(4)若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．
22．（2020·湖北期末）阅读下列解方程的解法，然后解决有关问题．
解方程组时，如果考虑常规的消元法（即代入消元法和加减消元法），那将非常麻烦！若用下面的方法非常规的解法，则轻而易举
，得，即
，得
，得
把代入（3）得，即
所以原方组的解是
以上的解法的技巧是根据方程的特点构造了方程（3）．我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方程组
23．（2020·内蒙古乌兰浩特·初一期末）三位同学对下面这个问题提出了自己的看法：
若关于x，y的方程组的解是，求方程组的解．
甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；
乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；
丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，将方程组化为，然后通过换元替代的方法来解决？”
你认为这个方程组有解吗？如果认为有，求出它的解．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题02
二元一次方程组
知识点精讲
知识点1
二元一次方程（组）
1）二元一次方程：含有两个未知数，且
所含未知数的次数项的次数都是1的方程。
注：所有未知数项的次数必须是1
2）将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组。
注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量。
②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个。
3）判断二元一次方程组的方法：
①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成.
1．（2020·浙江杭州市·七年级期末）下列各式中，属于二元一次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案．
【详解】解：A、中不是整式，不是二元一次方程，故不符合；
B、中有三个未知数，不是二元一次方程，故不符合；
C、中x的指数为2，不是二元一次方程，故不符合；
D、
是二元一次方程，故符合；故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型．
2．（2020·浙江杭州市·七年级期中）下列方程中，属于二元一次方程组的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【详解】解：A、xy=3不是一次，故此选项错误；B、x2是二次的，故该选项错误；
C、符合二元一次方程组的定义；D、是分式，故该选项错误．故选：C．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的定义，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
3．（2020·浙江金华市·七年级期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（　　　）
A．
B．3
C．
D．9
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义可得且，即可求出m．
【详解】根据题意可知，即．故选：C．
【点睛】此题考查二元一次方程的定义，解题关键在于掌握二元一次方程的定义．
4．（2020·浙江嘉兴市·七年级期末）若关于x，y的方程是一个二元一次方程，则m的值为_____________．
【答案】-1
【分析】根据二元一次方程定义可得：|m|=1，且m-1≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：|m|=1，且m-1≠0，解得：m=
-1，故答案为：-1．
【点睛】本题考查了二元一次方程，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
知识点2
二元一次方程（组）的解
1）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）
2）二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解。
3）检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解。
注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解。
1．（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知二元一次方程，请写出它的一个整数解为_______．
【答案】
【分析】先用x的代数式表示y，再得出整数解即可．
【详解】解：3x-5y=10，-5y=3x-10，y=2-x，
方程的一个整数解是，故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能理解二元一次方程的解的定义是解此题的关键．
2．（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知二元一次方程的解为正整数，则满足条件的解共有______对．
【答案】2
【分析】将二元一次方程2x+3y=18变形，用含x的式子表示出y，从而根据解为正整数，可得答案．
【详解】解：二元一次方程2x+3y=18可化为：y==6-x，
∵二元一次方程2x+3y=18的解为正整数，且x必为3的倍数，
∴当x=3时，y=4；x=6时，y=2；∴符合题意的解只有2对．故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的正整数解，将所给方程恰当变形，使得讨论的类型减少，是简便解题的关键．
3．（2020·浙江杭州市·七年级期中）己知是方程的一个解，则a的值为_____．
【答案】3
【分析】把x与y代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：把代入方程2x+3y=5得：-4+3a=5，
解得：a=3，故答案为：3．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，解题关键是正确理解二元一次方程的解的概念，本题属于基础题型．
4．（2020·浙江杭州市·七年级期末）下列数值中，可作为二元一次方程的解的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】二元一次方程-x-2y=5的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
【详解】解：A、把x=1，y=2代入方程，左边=-5≠右边，所以不是方程的解；
B、把x=1，y=-3代入方程，左边=5=右边，所以是方程的解；
C、把x=-1，y=2代入方程，左边=-3≠右边，所以不是方程的解；
D、把x=-1，y=-3代入方程，左边=7≠右边，所以不是方程的解．故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．
5．（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程，当取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意先给a值随便取两个值，然后代入方程，从而能够求出x、y的值，然后把x、y的值代入方程进行验证，能使左边和右边相等就是方程的解．
【详解】解：∵当a每取一个值时就得到一个方程，而这些方程有一个公共解，
∴a值随便取两个值，a=1，方程为
y+1=0，a=2，方程为
x+4y+1=0，解得
x=3，y=-1，
把x=3，y=-1，代入（a-1）x+（a+2）y+5-2a=0，可得
3×（a-1）-1×（a+2）+5-2a=（3-1-2）×a-3-2+5=0，
∴这个公共解是，故选C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解的定义，要会用代入法判断二元一次方程的解．该题主要用的是代入法．
知识点3代入消元法
1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法。
2)代入消元法的步骤：
①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程。
③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解。
知识点4
加减消元法
1）消元法的目的：消去一个未知数，转化为方便求解的一元一次方程
2）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法。
注：①当两个方程中，同一个未知数的系数成倍数关系时，将某一个方程扩大相应倍数，使两个方程中某个未知数的系数相同或相反，然后再利用加减消元法。
②若两个方程中两个未知数的系数不相等且不成倍数关系时，则应选取一组系数，求出其对应最小公倍数，对方程组变形（系数变形成对应最小公倍数），再利用加减消元法。（此种情况，加减消元法与代入消元法难易程度差不多，随意选取）。
3）加减消元法步骤：
①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；
②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；
③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值。
1．（2020·浙江杭州市·七年级期中）解方程组①②，比较简便的方法是（　　　）
A．均用代入消元法
B．均用加减消元法
C．①用代入消元法，②用加减消元法
D．①用加减消元法，②用代入消元法
【答案】C
【分析】根据方程组的特点，选择加减法或代入法即可．
【详解】解：方程组①有用x表示y的方程，适合用代入法；方程组②未知数x的系数相同，y的系数互为相反数，适合用加减消元法，故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法选择，解题关键是明确适合用代入消元法和加减消元法方程组的特征．
2．（2020·浙江杭州市·七年级期末）解方程组：（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用代入消元法解答即可；（2）利用加减消元法解答即可．
【详解】解：（1），
将①代入②，得y+2（y-3）=6，
解得：y=4，代入①中，解得：x=1，
所以方程组的解为；
（2）方程组化简为，
①-②，得3x=3，
解得：x=1，代入①中，解得：y=2，
所以方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组有代入消元法和加减消元法两种方法，两种方法的目的都是把方程中的一个未知数消去，转化为一元一次方程来求解．
3．（2020·浙江杭州市·七年级期末）解方程组：（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用代入消元法解答即可；（2）原方程组整理后，再利用加减消元法解答即可．
【详解】解：（1），
把②代入①得：2（y-1）+y=4，解得：y=2，
把y=2代入①，得：x=2-1=1，
∴原方程组的解为：；
（2）原方程组整理得：，
①+②×2，得：11x=22，解得x=2，
把x=2代入②，得：8-y=5，解得：y=3，
故原方程组的解为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．
4．（2020·浙江杭州市·七年级期末）选择合适的方法解下列方程组
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：（1），
把①代入②得：3x+4x-6=8，解得：x=2，
把x=2代入①得：y=1，
则方程组的解为；
（2），
①+②×2得：13x=39，解得：x=3，
把x=3代入②得：y=，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
知识点5
三元一次方程组的概念
1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组。
1．（2020·全国课时练习）下列方程组是三元一次方程组的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证．
【解析】A、满足三元一次方程组的定义，故A选项正确；
B、含未知数项的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项错误；
C、未知数的次数为2次，∴不是三元一次方程，故C选项错误；
D、含有四个未知数，不满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；故选：A．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的定义，清楚三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素是关键．
知识点6
解三元一次方程组的方法和步骤
1）步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元
1．（2020·全国课时练习）解方程组．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；过程见解析．
【分析】（1）利用三元一次方程组的解法求解即可；（2）利用三元一次方程组的解法求解即可；
（3）利用三元一次方程组的解法求解即可；（4）利用三元一次方程组的解法求解即可；
（5）利用三元一次方程组的解法求解即可；（6）利用三元一次方程组的解法求解即可．
【解析】解：（1）
①-②得：④，①-③得：⑤，
联立④⑤解得，把代入②得：，方程组的解为；
（2）①+②得：④，①+③得：⑤
联立④⑤解得，把代入②得：，方程组的解为；
（3）①-②得：④
联立③④得：，把代入②得：，方程组的解为；
（4）
得：④②-③得：⑤
联立④⑤解得，把代入②得：，方程组的解为；
（5）①-②得：④
联立③④得：，把代入②得：，方程组的解为；
（6）③-①得：④
得：⑤
联立④⑤解得，把代入②得：，方程组的解为．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的解法，熟练掌握运算方法是解题的关键．
2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）已知
xyz≠0，且，则
x：y：z
等于（
）
A．3：2：1
B．1：2：3
C．4：5：3
D．3：4：5
【答案】B
【分析】由，①×3+②×2，得出x与y的关系式，①×4+②×5，得出x与z的关系式，从而算出xyz的比值即可．
【解析】∵，∴①×3+②×2，得2x=y，①×4+②×5，得3x=z，
∴x：y：z=x：2x：3x=1：2：3，故选B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，用含有x的代数式表示y与z是解此题的关键．
3．（2020·重庆梁平·初一期末）方程组的解是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】①+②+③得出x+y+z=0④，④-①、④-②、④-③，即可求出z、y、x的值．
【解析】，①+②+③得：2x+2y+2z=0，x+y+z=0④，
④-①得：z=1，④-②得：y=0，④-③得：x=-1，所以原方程组的解为：．故选：D．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法正确消元是解此题的关键．
重难点题型
考点1
二元一次方程（组）的概念和判断
满分技巧：二元一次方程的判断主要注意以下几点：
①含有2个未知数，即未知数前的系数不为0；②未知数的次数为1
二元一次方程组的判断需要注意以下几点：
①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成.
1．（2020·江苏沭阳·期中）下列方程是二元一次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用二元一次方程的定义分析得出答案．
【解析】解：A、是三元一次方程，不符合题意；
B、是二元一次方程，符合题意；C、是分式方程，不符合题意；
D、是二元二次方程，不符合题意；故选B．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握相关定义是解题关键．
2．（2020·浙江杭州市·七年级期末）下列是二元一次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C、是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D、是二元一次方程，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫二元一次方程．
3．（2021·浙江瑞安·开学考试）下列方程组中是二元一次方程组的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可．
【解析】A、不是整式方程，故此选项错误；B、符合二元一次方程组的定义，故此选项正确；
C、含有三个未知数，故此选项错误；D、未知数的次数是2，故此选项错误；故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
4．（2020·浙江长兴·期中）下到方程组中，属于二元一次方程组的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可．
【解析】解：A、属于二元一次方程组，符合题意；B、有三个未知数，不属于二元一次方程组，不符合题意；C、属于二元二次方程组，不符合题意；
D、属于二元二次方程组，不符合题意，故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．
考点2
利用二元一次方程的概念求参数
满分技巧：利用二元一次方程的特征（①含有2个未知数，即未知数前的系数不为0；②未知数的次数为1），建立方程（组）解得参数即可。
1．（2020·珠海市九洲中学期中）若是关于x、y的二元一次方程，则m的值是（　　）
A．1
B．任何数
C．2
D．1或2
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的概念直接列式求解即可．
【解析】解：由题意得：2m﹣3＝1，解得：m＝2，故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，正确理解概念是解题的关键．
2．（2020·湖北荆州·月考）若是关于的二元一次方程，则的值分别是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义，列式求出m和n的值．
【解析】解：根据二元一次方程的定义，列式，解得．故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程的定义．
数的项的次数是1的整式方程．
3．（2020·浙江杭州市·七年级期中）方程是关于、的二元一次方程，则（
）
A．；
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【分析】依据二元一次方程的定义得到m-1009≠0，n+3≠0，|m|-1008=1，|n|-2=1，依此求解即可．
【详解】解：∵（m-1009）x|m|-1008+（n+3）y|n|-2=2018是关于x、y的二元一次方程，
∴m-1009≠0，n+3≠0，|m|-1008=1，|n|-2=1，解得：m=-1009，n=3．故选：D．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．依据二元一次方程的定义求解即可．
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若是关于，的二元一次方程，则的值是________．
【答案】-1
【分析】根据二元一次方程定义可得：m2=1，且m-1≠0，再解即可．
【详解】解：依题意得：m2=1，且m-1≠0，解得m=﹣1．故答案为：-1．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
考点3运用方程组的解的定义
满分技巧：寻找二元一次方程，重点是观察并发现解中x，y之间的特征。
1．（2020·浙江萧山·期末）若二元一次方程组的解为，则a+b的值是(　　　)
A．9
B．6
C．3
D．1
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的解及解二元一次方程组即可解答．
【解析】解：将代入方程组得解得：
∴a+b=1+2=3．故选：C．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，正确理解二元一次方程组的解和灵活选择消元法解二元一次方程组是解题关键．
2．（2020·河北永年·期末）若是关于x、y的方程组的解，则(a+b)(a﹣b)的值为(??
)
A．15
B．﹣15
C．16
D．﹣16
【答案】B
【分析】把方程组的解代入方程组可得到关于a、b的方程组，解方程组可求a，b，再代入可求（a+b）（a-b）的值．
【解析】解：∵是关于x、y的方程组的解，∴
解得
∴（a+b）（a-b）=（-1+4）×（-1-4）=-15．故选B．
【点睛】本题考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题关键．
3．（2020·河南洛宁·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则a﹣2b的值是（　　）
A．﹣2
B．2
C．3
D．﹣3
【答案】B
【解析】把代入方程组得：，
解得：，所以a?2b=?2×()=2.故选B.
【点睛】本题考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题关键．
4．（2020·永城市实验中学期末）已知是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（
）
A．-6
B．-5
C．4
D．5
【答案】D
【分析】直接把代入方程即可得到结果．
【解析】将代入二元一次方程，得，解得：，故选：D．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解的定义，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义验算即可．方程的解：使方程左右两边都相等的未知数的值，叫方程的解．
考点4
代入消元法和加减消元法比较
满分技巧：代入消元法和加减消元法是2种基础的消元法，各有优劣：
1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数时（或易于转化为该形式时），用代入消元法。
例：
2）当方程组中，某一个未知数在两个方程中的系数相同或互为相反数时（或成倍数时），用加减消元法。
例：
3）无上述两种特征，依据个人喜好定方法。
例：
注意：当二元一次方程系数比较复杂时，应先化简（去分母、去括号、移项、合并同类项等）。通常要把每个方程整理成含有未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再利用消元法解方程。
1．（2020·抚顺市抚顺矿区工学院附中初一期中）解下列方程组
（1）；
（2）；
【答案】（1）；（2）；
【分析】（1）首先由方程①求出x的值，然后将x的值代入②中，即可求出y的值.
(2)
方程组利用代入消元法求出解即可；
【解析】解：（1）由①得：x＝2，把x＝2代入②得：y＝5，则方程组的解为；
（2），①+②×4得：9x＝54，解得：x＝6，
把x＝6代入②得：y＝﹣1，则方程组的解为；
【点睛】此题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
2．（2020·江苏海安·初一期中）解下列方程组：
（1）（用代入法）；
（2）；
【答案】（1）；（2）；
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可；
【解析】（1），由②得：y=﹣2x+3③，
把③代入①得：3x﹣2（﹣2x+3）=8，解得：x=2，
把x=2代入②得：y=﹣1，则方程组的解为；
（2），①×3+②×2得：19x=114，解得：x=6，
把x=6代入①得：y=﹣，则方程组的解为；
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3．（2020·全国课时练习）解方程组，先消去未知数________________比较方便，即：①+②得：____________________，②+③得：_____________________．
【答案】
【分析】根据题意先利用加减消元法消去y，转化为关于x、z的二元方程组即可解决．
【解析】解：，因为y的系数故先消去未知数y，
①+②得：，②+③得：．
故答案为：，，．
【点睛】本题考查三元方程组，解题的关键是三元方程组转化为二元方程组，学会转化的数学思想．
4．（2020·鸡东县第三中学期中）三元一次方程组的解是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】观察方程组的特点，可以让三个方程相加，得到x+y+z=6．然后将该方程与方程组中的各方程分别相减，可求得．故选A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
考点5
整体构造法求代数式的值
满分技巧：
某些代数式无需把每个未知数都求出来，而是通过观察各方程的系数关系，利用整体构造法直接求出代数式的值。
1．（2020·永城市实验中学期末）若方程组的解为x、y，且x＋y＞0，则k的取值范围是______．
【答案】k＞-3
【分析】本题可将两式相加，得到6x+6y=k+3，根据x+y的取值，可得出k的值．
【解析】两式相加得：6x+6y=k+3，
∵x+y＞0∴6x+6y=6（x+y）＞0，即k+3＞0，∴
k＞-3，故答案为：k＞-3．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解的性质，通过化简得到x+y的形式，再根据x+y＞0求得k的取值．
2．（2020·山东五莲·初一期末）若方程组的解中，则k等于_____．
【答案】2020
【分析】将方程组的两个方程相加，可得，再根据，即可得到，进而求出的值．
【解析】解：，①②得，，即：，
，，故答案为：2020．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，整体代入是求值的常用方法．
3．（2020·深圳市罗湖外语学校初中部期中）若方程组的解满足x＋y＝0，则k的值是_______．
【答案】1
【分析】方程组中的两个方程相加并化简可得，进而可得，进一步可求出答案．
【解析】解：方程组中的两个方程相加得：，∴，
∵x＋y＝0，∴，解得：k=1．故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、掌握求解的方法是关键．
4．（2020·石家庄市第二十七中学期中）已知关于、的方程组以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③当时，；④不论取什么实数，的值始终不变，其中正确的是（
）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】B
【分析】①把k=0代入方程组求出解，代入方程检验即可；②方程组消元k得到x与y的方程，检验即可；③表示出y-x，代入已知不等式求出k的范围，判断即可；④方程组整理后表示出x+3y，检验即可．
【解析】解：①把k=0代入方程组得：，解得：，
代入方程得：左边=-2-2=-4，右边=-4，左边=右边，此选项正确；
②由x+y=0，得到y=-x，代入方程组得：，即k=3k-1，解得：，
则存在实数，使x+y=0，本选项正确；
③，解不等式组得：，
∵，∴，解得：，此选项错误；
④x+3y=3k-2+3-3k=1，本选项正确；∴正确的选项是①②④；故选：B.
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点6
整体消元法解方程组
1)整体代入消元法
满分技巧：代入消元法常规作法是当未知数系数为±1时，进行代入从而起到消元的目的。我们可以从整体入手，当两个方程中都存在相同的部分时，可以把它们视作一个整体。这样的话，就符合代入消元法的特征，从而实现消元。具体见下列实例：
1．（2020·山东期末）先阅读材料，然后解方程组．
材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了如下方法：
解：将②变形，得4x+10y+y＝5
即2（2x+5y）+y＝5③
把①代入③，得2×3+y＝5，解得y＝﹣1．
把y＝﹣1代入①，得2x+5×（﹣1）＝3，解得x＝4．
∴原方程组的解为．
这种方法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组：．
【答案】
【分析】仿照小军的方法将方程②变形，把方程①代入求出y的值，即可确定出x的值．
【解析】解：，将②变形，得，
即，把①代入③，得3×5+y＝12，解得，
把代入①，得，解得，则原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的求解方法，根据题意熟练掌握整体代入消元法是解决本题的关键．
2．（2020·珠海市九洲中学期中）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②8x+20y+2y=10，变形为
2（4x+10y）+2y=10③，把方程①代入③得，2×6+2y=10，则
y=﹣1；把
y=﹣1
代入①得，x=4，所以方程组的解为：
请你解决以下问题：
（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组
（2）已知
x、y、z，满足试求
z
的值．
【答案】（1）；（2）z=2.
【分析】（1）将②变形后代入方程解答即可；（2）将原方程变形后利用加减消元解答即可．
【解析】（1）将②变形得
3（2x﹣3y）+4y=11④
将①代入④得3×7+4y=11
y=-
把
y=-代入①得x=-，∴方程组的解为
（2）由①得,3（x+4y）﹣2z=47③
由②得，2（x+4y）+z=36④
③×2﹣④×3
得
z=2
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想．
3．（2020·江苏丹阳·初一期中）[阅读材料]
善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程变形：，
即，
把方程代入得：，所以，
将代入得，所以原方程组的解为．
[解决问题]（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组，
（2）已知x，y满足方程组，求的值．
【答案】（1）原方程组的解为；（2）
【分析】（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案；
（2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案．
【解析】解：将方程变形得:
把方程代入得:，
所以将代入得，所以原方程组的解为；
，
把方程变形，得到，
然后把代入，得，∴，∴；
【点睛】本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数．
2)
整体加减消元法
满分技巧：当两个方程之间有的字母系数有一定的规律，可以尝试用整体加减消元法，会得到一个比较特殊的式子，将这个式子和原来的式子在进行加减消元会比较容易。该方法技巧性比较强，读者需注意平时多积累尝试。
1．（2020·湖北期末）阅读下列解方程的解法，然后解决有关问题．
解方程组时，如果考虑常规的消元法（即代入消元法和加减消元法），那将非常麻烦！若用下面的方法非常规的解法，则轻而易举
，得，即
，得
，得
把代入（3）得，即
所以原方组的解是
以上的解法的技巧是根据方程的特点构造了方程（3）．我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方程组
【答案】
【分析】②?①得出6x＋6y＝6，求出x＋y＝1③，①?③×7求出y＝2，把y＝2代入③求出x即可．
【解析】解：②?①得：6x＋6y＝6，即：x＋y＝1③，
①?③×7得：4y＝8，解得：y＝2，把y＝2代入③得：x＝?1，
所以原方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组的应用，能根据方程组的特点选择简单的方法解方程组是解此题的关键．
2.解方程组：
【答案】
【解析】
两个方程的系数有明显的特征，即：方程中字母前的系数比方程中字母前的系数都小2，
∴考虑用整体消元法
②－①得：2x－2y=2
化简得：x－y=1，③
将③×2012-①得：y=2011
x=2012
【点睛】本题考查了解二元一次方程组的应用，能根据方程组的特点选择简单的方法解方程组是解此题的关键．
3.解方程组：
【答案】
【解析】
两个方程的系数有明显的特征，即：方程中字母前的系数比方程中字母前的系数都大1，
∴考虑用整体消元法
①－②得：x+y=3，③
将③×3－①得：－5y=－5
解得：y=1，代入③得：x=2
【点睛】本题考查解二元一次方程组的应用，根据方程组的特点选择简单的方法解方程组是解此题的关键．
3)
整体换元法
满分技巧：把某一部分看作一个整体进行消元，达到转化为一元一次方程的方法
1．（2020·北京理工大学附属中学分校初一期末）若方程组的解是，则方程组的解是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知方程组结构可知，，求出和的值，即可得出答案；
【解析】解：得依题意得：，，解得：，，故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和换元法．掌握整体思想是解题关键．
2．（2020·绍兴市长城中学期中）已知方程组的解是．利用这一结果，观察、比较可知方程组的解为_____．
【答案】
【分析】通过比较可以分别得到关于x的一元一次方程和关于y的一元一次方程，解方程可以分别得到x和y的值．
【解析】解：令x﹣1＝a，y+1＝b
∴x﹣1＝8.3，y+1＝1.2，∴x=9.3，y=0.2．故答案为
【点睛】本题考查二元一次方程组与一元一次方程的综合应用，由题意通过观察与比较建立关于x的一元一次方程和关于y的一元一次方程是解题关键．
3．（2020·绍兴市昌安实验学校期中）如果关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是______．
【答案】
【分析】先将所求的方程组变形为，然后根据题意可得，进一步即可求出答案．
【解析】解：
由方程组可得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解是，∴，解得，故答案为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、合理变形、得出是解本题的关键．
4．（2020·内蒙古乌兰浩特·初一期末）三位同学对下面这个问题提出了自己的看法：
若关于x，y的方程组的解是，求方程组的解．
甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；
乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；
丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，将方程组化为，然后通过换元替代的方法来解决？”
你认为这个方程组有解吗？如果认为有，求出它的解．
【答案】有解；．
【分析】方程组有解，理由为：根据已知方程组的解，将所求方程组变形后仿照解的规律求出x与y的值即可．
【解析】方程组有解，∵方程组的解是，
∴方程组解为，解得：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
考点7
二元一次方程组同解问题
满分技巧：两种方法。
方法一：将不含参数的方程组组成新的方程组，求解方程的解；在将方程解代入含有参数方程中，组成另一组方程。若2组方程组中，都存在无参数的方程，则该方法比较简单。
方法二：将参数看做常数，直接求解出方程组的解。因为两个方程组同解，所以所得含参数的解相同。利用这个条件，再来求解参数。方法二相对比较麻烦，若2组方程组中的方程都含有参数，则只能用该方法。
1．（2020·莆田擢英中学月考）已知关于的方程组和有公共解，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】联立不含m与n的两个方程组成方程组，求出x与y的值，进而求出m与n的值，代入m-n，计算即可．
【解析】解：联立得：，①×3+②得：7x=42，解得：x=6，
把x=6代入②得：y=-2，把
代入得：，
解得：m=3，n=2，则m-n=3-2=1．故选A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．利用两个方程组有公共解得出x，y的值是解题关键．
2．（2020·贵州紫云·期末）已知方程组与的解相同，那么________．
【答案】
【分析】重新组合方程组，解得x，y的值，再代入，求出a，b的值，进而即可求解
【解析】∵方程组与的解相同，
∴方程组与的解相同，由①②得：，
代入，得，解得：∴故答案是：
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的加减消元法，是解题的关键．
3．（2020·湖北期末）若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先解关于x的方程组，求得x，y的值，然后代入方程2x＋3y＝6，即可得到一个关于k的方程，从而求解．
【解析】解得，由题意知2×7k＋3×（?2k）＝6，解得k＝．故选：B
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．
4．（2020·南阳市油田教育教学研究室期末）已知方程组的解满足，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将方程组中两方程相减可得x-y=1-k，根据x-y=3可得关于k的方程，解之可得．
【解析】解：
②-①，得：x-y=1-k，
∵x-y=3，∴1-k=3，解得：k=-2，故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及解法：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．本题用整体代入的方法达到了简便计算的目的．
考点8
运用错解求正解（将错就错）
满分技巧：将方程中没错的部分挑选出来，得到参数的值；再把参数代入得到正确解。
1．（2020·北京八中乌兰察布分校期末）甲、乙同时解方程组，由于甲看错了方程中m的值，得到方程组的解，乙看错了方程中n的值，得到方程组的解为，你能求出原来的方程组的解吗？
【答案】．
【分析】根据“将错就错”进行代值求解m、n的值，然后再代入求解即可．
【解析】解：把??代入，得，解得；
把??代入，得，解得；
原方程组为，解得．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
2．（2020·北京八中乌兰察布分校期末）甲、乙同时解方程组，由于甲看错了方程中m的值，得到方程组的解，乙看错了方程中n的值，得到方程组的解为，你能求出原来的方程组的解吗？
【答案】．
【分析】根据“将错就错”进行代值求解m、n的值，然后再代入求解即可．
【解析】解：把??代入，得，解得；
把??代入，得，解得；原方程组为，解得．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
3．（2020·江苏句容·期末）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．若按正确的a、b计算，求原方组的解．
【答案】
【分析】将甲的解代入②中，乙的解代入①中，联立方程组即可求出a和b的值，然后利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解析】将甲的解代入②中，得a＋2b=-5③，将乙的解代入①中，得a－b=4④
③－④，得3b=-9
解得b=-3
将b=-3代入④中，解得：a=1
则原方程组为
①＋②，得2x=-1解得：x=
将x=代入①，得y=
∴
原不等式组的解为．
【点睛】此题考查的是解二元一次方程组和错中求解问题，掌握利用加减消元法解二元一次方程组是解决此题的关键．
4．（2020·绍兴市长城中学期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，求a+b的值是多少？
【答案】-45
【分析】根据题意将错接错，确定出a与b的值，即可求出a+b的值．
【解析】解：把代入4x﹣by=﹣2得：42+b=﹣2，解得：b=﹣44，
把代入ax+5y=15得：5a+20=15，解得：a=﹣1，则a+b=﹣1﹣44=﹣45．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
考点9
二元一次不定方程的整数解问题
【满分技巧】解决此类问题，通常用一个未知数来表示另外一个未知数，再将其符合条件的特殊值逐个代入，即可求解特殊解的个数.
1．（2020·河北昌黎·期末）方程在自然数范围内的解有（
）
A．只有1组
B．只有4组
C．无数组
D．以上都不对
【答案】B
【分析】用y表示出x，令y为自然数求出x的值，即可确定出方程的自然数解．
【解析】方程变形得：x＝7－2y，当y＝0时，x＝7；y＝1时，x＝5；y＝2时，x＝3；y＝3时，x＝1，
则方程在自然数范围内的解为，，，．故选B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，将y看做已知数求出x是解本题的关键．
2．（2019?宜宾期末）二元一次方程2x+3y＝11的正整数解有（　　）
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
【分析】把x看做已知数求出y，即可确定出正整数解．
【答案】解：方程2x+3y＝11，解得：y＝，
当x＝1时，y＝3；x＝4时，y＝1，则方程的正整数解有2组，故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
3.（2019?西湖区月考）二元一次方程2x+3y＝15的非负整数解有（　　）个．
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】要求二元一次方程2x+3y＝15的非负整数解，可先从y＝0开始，分别把y＝0，1，2，3，4，5代入方程，求出对应的x的值，然后进行判断．
【答案】解：当y＝0，x＝7.5，当y＝1，x＝6，当y＝2，x＝4.5，当y＝3，x＝3，当y＝4，x＝1.5，
当y＝5，x＝0，所以二元一次方程2x+3y＝15的非负整数解有3个，故选：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程：二元一次方程有无数组解，但可求出它的有限的某些特殊的解．
4．（2019?西湖区月考）如果x，y取0，1，2，…9中的数，且3x﹣2y＝11，则10x+y的值可以有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】要求10x+y的值，就必须先求出x，y的值，所以首先要用方程表示其中一个未知数，然后根据式子分析x，y的取值，再代入10x+y求值．
【答案】解：由题意，得．
∵x和y的值取0到9的正整数，∴2y+11＞0，且是3的倍数．
根据以上条件可假设当y＝0时，2y+11＝11，当y＝9时，2y+11＝29，
∴2y+11的值就是11到29之间的所有3的倍数，即是12，15，18，21，24，27，再解这个方程取整数值．
得y的整数值只能是y＝2，5，8，相应的x值为x＝5，7，9．
把分别代入10x+y，则有52，75，98三个值．故选：C．
【点睛】解题关键是把方程3x﹣2y＝11的符合条件的x和y的值求出，分别计算代入10x+y后的值．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑