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专题07
分式的相关性质与运算
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·苏州新草桥中学八年级期中）在代数式、、、，分式的个数有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】A
【分析】形如：且为整式，中含有字母，这样的代数式是分式，根据分式的定义逐一判断即可得到答案．
【详解】解：分式有：，，共有两个，故选：．
【点睛】本题考查的是分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
2．（2021·江苏省江阴市第一中学八年级期中）若把，的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】A、=，故A的值保持不变．B、，故B的值不能保持不变．C、，故C的值不能保持不变．D、，故D的值不能保持不变．故选：A．
【点睛】本题考查了分式，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．
3．（2020·平南县官成镇第三初级中学八年级月考）如果把分式中的x和y都缩小到原来的一半，则分式的值（
）
A．缩小到原来的
B．缩小到原来的
C．不变
D．扩大到原来的2倍
【答案】D
【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数或者整式，分式的值不变，可得答案．
【详解】解：分式中的x、y都缩小到原来的一半，
即所以扩大到原来的2倍，故选：D．
【点睛】本题考查了分式基本性质，分时分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．
4．（2020·浙江杭州市·七年级期末）下列各分式一定有意义的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零分别进行分析即可．
【详解】解：A、，当x=-1时，分母为0，此时无意义；
B、，当x=时，分母为0，此时无意义；
C、，则分式一定有意义；
D、，当x=时，分母为0，此时无意义；故选C．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，完全平方公式的应用，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
5．（2020·浙江宁波市·七年级期末）已知分式（m，n为常数）满足下列表格中的信息：则下列结论中错误的是（
）
x的取值
﹣1
1
p
q
分式的值
无意义
1
0
﹣1
A．m＝1
B．n＝8
C．p＝
D．q＝﹣1
【答案】D
【分析】将表格中的数据依次代入已知分式中进行计算即可．
【详解】由表格中数据可知：A、当x＝﹣1时，分式无意义，∴﹣1+m＝0，∴m＝1．故A不符合题意；
B、当x＝1时，分式的值为1，∴，∴n＝8，故B不符合题意；
C、当x＝p时，分式的值为0，∴，∴p＝，故C不符合题意；
D、当x＝q时，分式的值为﹣1，∴，∴q＝，故D错误，从而D符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查分式无意义的条件，分式的值，可利用直接代入法进行求解．
6．（2020·河北初三其他）已知，这是一道分式化简题，因为一不小心一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据整式的概念，将各选项依次代入判断即可．
【解析】A、=
不是整式，此选项符合题意；
B、=是整式，此选项不符合题意；
C、=是整式，此选项不符合题意；
D、=是整式，此选项不符合题意，故选：A．
【点睛】本题考查了分式的运算、平方差公式、整式的判断，熟练掌握分式的除法运算法则及平方差公式是解答的关键．
7．（2020·浙江绍兴市·诸暨市暨阳初级中学七年级期中）已知代数式的值是一个整数，则整数x有（　　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．无数个
【答案】C
【分析】由是整数，代数式的值是一个整数，可得是的因数，从而可得答案．
【详解】解：是整数，代数式的值是一个整数，是的因数，
或或或
当，解得：或
当，解得：或，不合题意，舍去，
当，解得：或，当，解得：或，不合题意，舍去，
综上：符合条件的的值有个．故选：
【点睛】本题考查的是代数式中分式的值，掌握分式的值是整数的特点是解题的关键．
8．（2020·湖北广水·期末）已知，则分式的值为（
）
A．1
B．5
C．
D．
【答案】A
【分析】由，得x﹣y＝﹣5xy，进而代入求值，即可．
【解析】∵，∴，即x﹣y＝﹣5xy，∴原式=，
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的求值，掌握等式的基本性质以及分式的约分，整体代入是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·湖南岳阳·期中）等式成立的条件是____________．
【答案】x≠2
【分析】根据分母不为0得出结论．
【解析】因为等式成立，所以=0，所以且．故答案为：且
【点睛】考查了分式有意义的条件．解题关键是得出分母不能为0．
10．（2020·江苏昆山·期末）分式，，的最简公分母是____．
【答案】6a2b2．
【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解析】分式，，的分母分别为：ab，3b2，6a2b，
故最简公分母是：6a2b2．故答案为：6a2b2．
【点睛】此题考查最简公分母的定义，解题关键在于掌握取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
11．（2020·江苏南通市·南通田家炳中学八年级月考）计算=__________．
【答案】
【分析】结合平方差公式，首先通分，再把分子相加减，最后经约分计算，即可得到答案．
【详解】
，故答案为：．
【点睛】本题考查了分式运算的知识；解题的关键是熟练掌握分式混合运算的性质，从而完成求解．
12．（2020·浙江杭州市·九年级）要使分式有意义，则字母x的取值范围是____________．
【答案】x≠0且x≠1
【分析】根据分式的有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：=，∴x≠0且x≠1，故答案为：x≠0且x≠1．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．
13．（2020·江苏泰州市·泰州中学附属初中八年级期中）分式的值为0时，x＝_____．
【答案】2．
【分析】先根据分式的值为0的条件及分式有意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．
【详解】解：∵分式的值为0，∴，，解得，x＝2，故答案为：2．
【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
14．（2020·平南县官成镇第三初级中学八年级月考）已知：，则的值__________．
【答案】8
【分析】将已知各等式两边取倒数，，整理得，，，再将这三个等式相加整理后，得，最后，代入到式子中即可求解
【详解】解：∵，∴，，
∴，∴，∴
∵，∴，∴，故答案为：8
【点睛】本题考查了分式的运算，分式的化简求值，正确的运用倒数的运算是解题的关键．
15．（2021·辽宁抚顺市·八年级期末）已知y1＝，且y2＝，y3＝，y4＝，…，yn＝，请计算y2021＝_____．（用含x在代数式表示）
【答案】
【分析】根据题意分别求出y2，y3，y4，…，yn，得出一般性规律，即可确定出所求．
【详解】解：∵y1＝，∴，，
，
…依此类推，每隔3就循环一次，
∵2021÷3＝673余数为2，∴．故答案为：．
【点睛】本题借助分式的四则运算考查了找规律问题，本题的关键是熟练掌握分式的四则运算法则，计算过程中细心即可．
16．（2020·湖南茶陵·零模）2010年8月19日第26届国际
数学家大会在印度的海德拉巴市举行，并首次颁出陈省身奖，该奖项是首个以中国人名字命名的国际主要科学奖，根据蔡勒公式可以得出中华人民共和国成立100周年纪念日（2049年10月1日）是星期_______________.
（注：蔡勒（德国数学家）公式：
其中：W——所求的日期的星期数(如大于7，就需减去7的整数倍)，c——所求年份的前两位，y——所求年份的后两位，m——月份数(若是1月或2月，应视为上一年的13月或14月，即)，d——日期数，——表示取数a的整数部分，如：［15.6］=15）．
【答案】五
【分析】由代数式的运算法则，结合参数对应的数值，即可求得答案．
【解析】
∴∴故答案为：五．
【点睛】本题考察了代数式和分式的知识；求解的关键是熟练掌握代数式和分式的性质，结合实际问题的特点，从而完成求解．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·江苏苏州市·八年级期中）若，求、的值．
【答案】
【分析】已知等式右边通分利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可求出A与B的值．
【详解】解：∵，∴x-5=(A+B)x+(-A+B)，∴，得：．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式运算法则，本题属于基础题型．
18．（2020·江苏海陵·泰州中学附属初中期中）先化简，再选择一恰当的a的值代入求值．
【答案】；a=0时，原式=0
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解析】解：原式=（+）?=?=
∵，∴a≠±1，
∴把a=0代入得：原式=0．
【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
19．（2020·晋州市第三中学月考）小军解答：“化简”
的过程如图．试指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：
=………………………①
=2x-x+2
………………………②
=x+2
………………………③
【答案】第②步错误，见解析
【分析】第②步错误，分式化简不应该去掉分母．按照分式的加减法运算法则改正即可．
【解析】第②步错误.正确解答如下：
解：====．
【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式运算的相关法则是解题的关键．
20．（2020·江苏苏州市·八年级月考）化简求值
（1），其中，．
（2），其中．
【答案】（1），3；（2），．
【分析】（1）先将化简为，再根据同分母分式加减法法则进行化简，再将a、b的值代入化简结果计算即可；（2）根据异分母分式加减的运算法则进行计算，再将m的值代入化简结果进行计算即可．
【详解】解：（1）
当，时，原式．
（2）
当时，原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的加减运算的运算法则是解题的关键．
21．（2021·全国九年级）阅读下面材料：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题：
将分式，化为带分式．当x取什么整数值时，分式的值也为整数？
【答案】（1），；（2），3，，时，分式的值也为整数．
【分析】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值．
【详解】解：（1），
；
（2），
当，即；当，即；当，即；当，即，
综上，，3，，时，分式的值也为整数．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（2020·浙江杭州市·七年级期中）（1）已知，求分式的值；
（2）已知，求分式的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）将已知等式变形为，代入中即可；
（2）由已知可知x-y=-5xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．
【详解】解：（1）∵，∴，
∴=；
（2）∵，∴，∴，
∴====．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（2021·云南临沧市·八年级期末）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；……
（1）写出第5个等式：________________；
（2）探究规律：猜想第个等式，并证明；
（3）问题解决：一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，……，第次倒出的水量是升的，如果不考虑实际操作因素，按照这种倒水的方法，这1升水能倒完吗？为什么？
【答案】（1）
（2）；证明见解析
（3）不能；见解析
【分析】（1）观察各等式，找出分子分母中的数与序号的关系即可写出第五个等式；
（2）根据题目中的式子，可以写出生意人猜想，并验证猜想是否正确；
（3）根据题意求出前n次倒水量之和，再与1进行比较即可．
【详解】解：（1）第5个等式：；故答案为：；
（2）猜想：，证明：
等式右边等式左边，∴猜想成立；
（3）由题意可得：第次倒出水量：，
∴前次总共倒出水量：
，∵，∴这1L水不能倒完．
【点睛】本题主要考查了数字变化规律的问题，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解题的关键是发现分子分母中的数与序号的关系．
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精品试卷·第
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专题07
分式的相关性质与运算
知识点精讲
知识点1
分式的定义
分式：一般地，整式A除以整式B，表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
分式中，A叫做分子，B叫做分母．
注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。②整式B作为分母，则整式B0.
③只要最终能转化为形式即可.④B中若无字母，则为整式.
1．（2020·浙江宁波市·）代数式的意义是（
）
A．除以加
B．加除
C．与的和除以
D．除以与的和所得的商
2．（2020·浙江杭州市·）下列各式中，，，，，，，，是分式的有（
）
A．7个
B．6个
C．5个
D．4个
3．（2020·浙江七年级期末）以下代数式①；②；③；④；⑤中，分式的是______（填序号）
4．（2020·浙江杭州市·七年级月考）已知（且），，……
，则（
）
A．
B．
C．
D．
知识点2
分式的相关概念
1）分式有意义的条件：分母不为0，即B0
2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B0
3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0
4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0
1．（2021·浙江杭州市·九年级二模）若分式的值不存在，则__________．
2．（2021·浙江九年级专题练习）已知分式，若x=3时，分式无意义，则a=______．
3．（2020·浙江七年级期末）已知分式，当时，分式的值为零；当时，分式没有意义，则分式有意义时，的值为______．
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）当时，下列各式的值为零的分式是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·浙江杭州市·七年级期末）下列各分式一定有意义的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）下列说法正确的是（
）
A．是分式
B．不是分式
C．若分式有意义，则
D．分式的值为0，则
知识点3
分式的基本性质
1）分数的性质（特点）如下：
①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）.
2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）：
①分式分母也不能为零
②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即：
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解.
1．（2020·南通市启秀中学初二期末）若分式的值为整数，则__________．
2．（2020·江苏南通市·南通第一初中八年级月考）若分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（
）
A．扩大为原来的2倍
B．不变
C．缩小为原来的2倍
D．扩大为原来的4倍
3．（2020·南通市通州区兴仁中学八年级月考）已知，则代数式的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·江苏苏州市·八年级月考）下列各式，从左到右变形正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·江苏扬州市·南海中学）若，则=________.
知识点4
分式的约分与通分
1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）.
注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。
2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。
步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数.
4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
1．（2021·江苏九年级专题练习）在下列分式中，是最简分式的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·盐城市初级中学八年级月考）化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·江苏南通市·八年级期末）分式，的最简公分母是_______．
4．（2021·江苏九年级专题练习）计算：__________．
5．（2020·江苏苏州市·八年级期中）若，求、的值．
知识点5分式的混合运算
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．
3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．
5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
1．（2021·江苏九年级专题练习）计算：__．
2．（2020·河北初三其他）已知，这是一道分式化简题，因为一不小心一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·盐城市初级中学八年级期末）先化简，再求值：，其中．
4．（2020·南通市启秀中学八年级月考）当取什么整数时，的值是整数．
5．（2020·江苏海陵·泰州中学附属初中期中）先化简，再选择一恰当的a的值代入求值．
重难点题型
考点1
分式的识别
满分技巧：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
1．（2020·福建省泉州第一中学月考）下列各式：，，，，（x+y）中，是分式的共有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．（2020·晋州市第三中学月考）下列代数式属于分式的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·湖南岳阳·期中）对于式子：其中是分式是
A．①②③④⑤
B．①③④⑤
C．①④⑤
D．②③
4．（2020·贵州铜仁伟才学校初二月考）若是分式，则□可以是（
）
A．2
B．3
C．
D．
考点2
分式有意义和无意义的条件
满分技巧：分式有意义的条件：分母不为0，即B0；反之为无意义。因此，解此类题型，我们只需要列写B≠0的不等式，并求解出取值范围即可。
1．（2021·浙江九年级专题练习）要使分式有意义，的取值应满足（
）
A．
B．
C．或
D．且
2．（2020·浙江宁波市·七年级期末）已知分式（m，n为常数）满足下列表格中的信息：则下列结论中错误的是（
）
x的取值
﹣1
1
p
q
分式的值
无意义
1
0
﹣1
A．m＝1
B．n＝8
C．p＝
D．q＝﹣1
3．（2020·浙江温州市·七年级开学考试）当时，下列分式没有意义的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）当___时，分式无意义．
考点3
分式值为零
满分技巧：分式值为0的条件：分母不为0，且分子为0，即B0，且A=0。因此，解此类题型，我们往往先求解A=0的条件，在判断A=0的条件下，是否满足B≠0.若满足，则此条件成立，若不满足，则这个解舍去。
1．（2021·浙江八年级期中）若分式的值为0，则x的值是（
）
A．2
B．
C．
D．0
2．（2021·浙江温州市·九年级其他模拟）分式的值是零，则x的值为（
）
A．2
B．3
C．
D．
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）当时，下列分式的值为0的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·浙江杭州市·七年级期中）如果分式的值等于0，则x的值是_____________．
考点4
分式值为整数的相关问题
满分技巧：根据分式值为整数的条件和试值法逐一检验即可。
1．（2020·浙江绍兴市·诸暨市暨阳初级中学七年级期中）已知代数式的值是一个整数，则整数x有（　　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．无数个
2．（2020·浙江杭州市·九年级期末）若为整数，则能使也为整数的的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）定义运算“※”：，若的值为整数，则整数x的值为_______．
4．（2020·江苏九年级专题练习）若分式的值是负整数，则整数m的值是__________．
5．（2020·微山县鲁桥镇第一中学八年级月考）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像，，……这样的分式是假分式；像，，……这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：；；
（1）分式是
分式（填“真”或“假”）（2）将分式化为整式与真分式的和的形式
（3）如果分式的值为整数，求的整数值
考点5分式的求值（整体法）
满分技巧：分式的求值，一般有两种形式：
（1）对于未直接给出字母取值，而是告知某个算式的值时：我们往往用整体代入的思想，将分式边形成告知的条件形式或变形形式，整体代入求值。
（2）对于末给出单个字母取值的化简问题，将分式变形为已知条件的形式，再利用整体法求值。
1．（2020·沙坪坝·重庆一中月考）若，且a、b、k满足方程组，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．1
2．（2020·浙江瑞安·初一期末）若，且，则的值为（
）
A．1
B．2
C．0
D．不能确定
3．（2020·湖北广水·期末）已知，则分式的值为（
）
A．1
B．5
C．
D．
4．（2020.江苏太仓·初二期中）如果，那么的值等于
A．
B．
C．
D．
5．（2020·湖南茶陵·零模）2010年8月19日第26届国际
数学家大会在印度的海德拉巴市举行，并首次颁出陈省身奖，该奖项是首个以中国人名字命名的国际主要科学奖，根据蔡勒公式可以得出中华人民共和国成立100周年纪念日（2049年10月1日）是星期_______________.
（注：蔡勒（德国数学家）公式：
其中：W——所求的日期的星期数(如大于7，就需减去7的整数倍)，c——所求年份的前两位，y——所求年份的后两位，m——月份数(若是1月或2月，应视为上一年的13月或14月，即)，d——日期数，——表示取数a的整数部分，如：［15.6］=15）．
考点6
分式的规律探索
1．（2020·山东东平县江河国际实验学校初二月考）已知y1＝2x，y2＝，y3＝，…，y2006＝，则y1?y2006的值为______．
2．（2019·贵州印江·初三期末）已知一列分式，，，，,,…，观察其规律，则第n个分式是_______．
3．（2020·宁夏盐池·初三二模）一组按规律排列的式子：，﹣，，﹣，…（a≠0），其中第10个式子是_____．
4．（2020·广西岑溪·初三二模）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律，这列数中的第2020个数是____．
5．（2020·山东滨州·初三学业考试）观察下列各式：，
根据其中的规律可得________（用含n的式子表示）．
考点7
分式的基本性质
1）利用分式的基本性质、改变分子、分母的系数
满分技巧：（1）此类题型，常要求讲分子和分母都变为整数。因此，解决这类问题，我们通常把分子、分母各项系数同乘一个非零常数，使各项系数变为整数。
（2）还有些题型，要求处理分子分母之间正负号的关系，我们有：
（相当于分子分母同乘-1）；
即：分式分子、分母、分式3个符号中，同时改变其中2个符号，分式值不变。
1．（2020·晋州市第三中学月考）根据分式的基本性质，分式可以变形为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·湖南澧县·月考）对于分式下列变形正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江长兴·初二开学考试）分式可变形为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·内蒙古凉城·期末）下列运算中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2）分式值得扩大和缩小
1．（2021·湖北武汉市·八年级期末）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级月考）若将分式中的x与y的值都扩大为原来的2倍，则这个分式的值将（
）
A．扩大为原来的2倍
B．不变
C．扩大为原来的4倍
D．无法确定
3．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级月考）若x，y（x，y均为正）的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·广东深圳市·龙华新区实验学校八年级期中）把分式中的a，b的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．不变
B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的3倍
D．扩大为原来的6倍
3）分式变形成立的条件
1．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学八年级开学考试）若成立，则x的取值范围是_____．
2．（2020·湖南岳阳市·八年级期中）等式成立的条件是____________．
3．（2020·全国初一单元测试）使等式自左到右变形成立的条件是（
）.
A．
B．
C．
D．且
4．（2020·全国初二单元测试）使分式自左向右变形成立的条件（　　）
A．x＞﹣3
B．x＜﹣3
C．x≠﹣3
D．x≠3
考点8
最简分式
1．（2021·江苏省江阴市第一中学八年级月考）下列分式中，属于最简分式的个数是（　　）
①，②，③，④，⑤，⑥．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．（2021·湖北武汉市·八年级期末）下列分式是最简分式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学八年级月考）下列分式中，是最简分式的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·全国八年级课时练习）下列分式中是最简分式的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·山东长清·期中）下列各式中最简分式是　　
A．
B．
C．
D．
考点9
最简公分母
1．（2020·贵州铜仁伟才学校初二月考）分式和的最简公分母（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江瑞安·初一期末）分式与的最简公分母是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·江苏滨湖·初二期中）分式的最简公分母是____________________．
4．（2020·青岛超银中学）把分式与进行通分时，最简公分母为_____．
5．（2020·四川渠县·初二期末）对分式和进行通分，它们的最简公分母是________．
考点10
分式的混合运算
满分技巧：与实数运算类似，分式的混合运算应先乘方、后乘除、最后加减，有括号时，先算括号里面的，并恰当运用运算律简化运算。一个分式与一个整式相加减时，可以把整式视为分母为1的分式，以免通分漏项。
1．（2020·湖北黄石·初二期末）化简的结果是
（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·中北大学附属学校初二期末）计算÷的结果为（　　）
A．
B．5﹣a
C．
D．5+a
3．（2020·南通市通州区兴仁中学八年级月考）计算：__________．
4．（2020·灌南县新知双语学校八年级月考）化简的结果是________．
5．（2020·晋州市第三中学月考）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
考点11
分式的化简求值
对于直接给出字母取值的，可先化简，再代入求值：将分式通过约分、通分等方式，化简为最简分式，再代入字母的值计算。
1．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）先化简，再求的值，其中．
2．（2020·郑州一中国际航空港实验学校三模）先化简，再求值：÷（﹣1﹣x），其中x的值是方程x2﹣x﹣7＝0的根．
3．（2020·晋州市第三中学月考）小军解答：“化简”
的过程如图．试指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：
=………………………①
=2x-x+2
………………………②
=x+2
………………………③
4．（2020·海东市教育研究室初二期末）先化简，再求值：，其中，．
5．（2020·辽宁灯塔·初二期末）先化简，再求值：，其中．
6．（2020·江苏苏州市·八年级月考）化简求值
（1），其中，．
（2），其中．
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专题07
分式的相关性质与运算
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·苏州新草桥中学八年级期中）在代数式、、、，分式的个数有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
2．（2021·江苏省江阴市第一中学八年级期中）若把，的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·平南县官成镇第三初级中学八年级月考）如果把分式中的x和y都缩小到原来的一半，则分式的值（
）
A．缩小到原来的
B．缩小到原来的
C．不变
D．扩大到原来的2倍
4．（2020·浙江杭州市·七年级期末）下列各分式一定有意义的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·浙江宁波市·七年级期末）已知分式（m，n为常数）满足下列表格中的信息：则下列结论中错误的是（
）
x的取值
﹣1
1
p
q
分式的值
无意义
1
0
﹣1
A．m＝1
B．n＝8
C．p＝
D．q＝﹣1
6．（2020·河北初三其他）已知，这是一道分式化简题，因为一不小心一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·浙江绍兴市·诸暨市暨阳初级中学七年级期中）已知代数式的值是一个整数，则整数x有（　　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．无数个
8．（2020·湖北广水·期末）已知，则分式的值为（
）
A．1
B．5
C．
D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·湖南岳阳·期中）等式成立的条件是____________．
10．（2020·江苏昆山·期末）分式，，的最简公分母是____．
11．（2020·江苏南通市·南通田家炳中学八年级月考）计算=__________．
12．（2020·浙江杭州市·九年级）要使分式有意义，则字母x的取值范围是____________．
13．（2020·江苏泰州市·泰州中学附属初中八年级期中）分式的值为0时，x＝_____．
14．（2020·平南县官成镇第三初级中学八年级月考）已知：，则的值__________．
15．（2021·辽宁抚顺市·八年级期末）已知y1＝，且y2＝，y3＝，y4＝，…，yn＝，请计算y2021＝_____．（用含x在代数式表示）
16．（2020·湖南茶陵·零模）2010年8月19日第26届国际
数学家大会在印度的海德拉巴市举行，并首次颁出陈省身奖，该奖项是首个以中国人名字命名的国际主要科学奖，根据蔡勒公式可以得出中华人民共和国成立100周年纪念日（2049年10月1日）是星期_______________.
（注：蔡勒（德国数学家）公式：
其中：W——所求的日期的星期数(如大于7，就需减去7的整数倍)，c——所求年份的前两位，y——所求年份的后两位，m——月份数(若是1月或2月，应视为上一年的13月或14月，即)，d——日期数，——表示取数a的整数部分，如：［15.6］=15）．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·江苏苏州市·八年级期中）若，求、的值．
18．（2020·江苏海陵·泰州中学附属初中期中）先化简，再选择一恰当的a的值代入求值．
19．（2020·晋州市第三中学月考）小军解答：“化简”
的过程如图．试指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：
=………………………①
=2x-x+2
………………………②
=x+2
………………………③
20．（2020·江苏苏州市·八年级月考）化简求值
（1），其中，．
（2），其中．
21．（2021·全国九年级）阅读下面材料：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题：
将分式，化为带分式．当x取什么整数值时，分式的值也为整数？
22．（2020·浙江杭州市·七年级期中）（1）已知，求分式的值；
（2）已知，求分式的值．
23．（2021·云南临沧市·八年级期末）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；……
（1）写出第5个等式：________________；
（2）探究规律：猜想第个等式，并证明；
（3）问题解决：一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，……，第次倒出的水量是升的，如果不考虑实际操作因素，按照这种倒水的方法，这1升水能倒完吗？为什么？
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专题07
分式的相关性质与运算
知识点精讲
知识点1
分式的定义
分式：一般地，整式A除以整式B，表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
分式中，A叫做分子，B叫做分母．
注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。②整式B作为分母，则整式B0.
③只要最终能转化为形式即可.④B中若无字母，则为整式.
1．（2020·浙江宁波市·）代数式的意义是（
）
A．除以加
B．加除
C．与的和除以
D．除以与的和所得的商
【答案】D
【分析】根据分式的定义，即可得到答案．
【详解】∵=，∴代数式的意义是：除以与的和所得的商．故选D．
【点睛】本题考查分式的定义，掌握分式是两个整式相除，且分母中含有字母的代数式，是解题关键．
2．（2020·浙江杭州市·）下列各式中，，，，，，，，是分式的有（
）
A．7个
B．6个
C．5个
D．4个
【答案】C
【分析】根据分式的定义对上式逐个进行选择，得出正确答案．
【详解】分式有：，，，，共5个，故选：C．
【点睛】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．
3．（2020·浙江七年级期末）以下代数式①；②；③；④；⑤中，分式的是______（填序号）
【答案】①⑤
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：①；②；③；④；⑤中，
分式有①；⑤共2个，故答案为：①⑤．
【点睛】本题考查了分式的定义，能熟记分式定义的内容是解此题的关键，注意：判断一个式子是否是分式，看分母中是否含有字母．
4．（2020·浙江杭州市·七年级月考）已知（且），，……
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先计算出a1、a2、a3、a4的值，即可发现规律，即可求解．
【详解】解：∵，∴，，，...，
∴x-1，，循环出现，∵2020÷3=673…1，∴a2020的值与a1的值相同，∴a2020=x-1，选：B．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题是解答此题的关键．
知识点2
分式的相关概念
1）分式有意义的条件：分母不为0，即B0
2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B0
3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0
4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0
1．（2021·浙江杭州市·九年级二模）若分式的值不存在，则__________．
【答案】-1
【分析】根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．
【详解】∵分式的值不存在，∴x+1=0，解得：x=-1，故答案为：-1．
【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．
2．（2021·浙江九年级专题练习）已知分式，若x=3时，分式无意义，则a=______．
【答案】3或﹣3．
【分析】把x=3代入分式，根据分式无意义得出关于a的方程，求出即可．
【详解】解：把x=3代入得：，
∵此时分式无意义，∴9﹣a2=0或a﹣3=0，解得：a=3或﹣3，故答案为：3或﹣3．
【点睛】本题考查了分式的加减和分式无意义的条件，能得出关于a的方程是解此题的关键．
3．（2020·浙江七年级期末）已知分式，当时，分式的值为零；当时，分式没有意义，则分式有意义时，的值为______．
【答案】6
【分析】根据分式的值为0，即分子等于0，分母不等于0，从而求得b的值；根据分式没有意义，即分母等于0，求得a的值，从而求得a+b的值．
【详解】解：∵x=2时，分式的值为零，∴2-b=0，解得b=2．
∵x=-2时，分式没有意义，∴2×（-2）+a=0，解得a=4．∴a+b=4+2=6．故答案为：6．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件，注意：分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0；分式无意义，则分母等于0．
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）当时，下列各式的值为零的分式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将x=2逐一代入四个选项中求值，由此即可得出结论．
【详解】解：A、当x=2时，分母x2-4x+4=0，∴当x=2时，分式无意义，A不符合题意；
B、当x=2时，分母x-2=0，∴当x=2时，分式无意义，B不符合题意；
C、当x=2时，分子2x-4=0，此时分母x2+4=8，∴当x=2时，=0，符合题意；
D、当x=2时，2x-4=0，∴当x=2时，分式无意义，D不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，牢记“分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零”是解题的关键．
5．（2020·浙江杭州市·七年级期末）下列各分式一定有意义的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零分别进行分析即可．
【详解】解：A、，当x=-1时，分母为0，此时无意义；
B、，当x=时，分母为0，此时无意义；
C、，则分式一定有意义；
D、，当x=时，分母为0，此时无意义；故选C．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，完全平方公式的应用，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
6．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）下列说法正确的是（
）
A．是分式
B．不是分式
C．若分式有意义，则
D．分式的值为0，则
【答案】D
【分析】根据分式的定义、分式有意义的条件、分式的值为零的条件分别判断即可．
【详解】解：A、不是分式，故本选项不符合；B、是分式，故本选项不符合；
C、若分式有意义，则，故本选项不符合；D、分式的值为0，则，故本选项符合；故选D．
【点睛】本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式的值为零的条件，是基础知识，需熟练掌握．
知识点3
分式的基本性质
1）分数的性质（特点）如下：
①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）.
2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）：
①分式分母也不能为零
②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即：
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解.
1．（2020·南通市启秀中学初二期末）若分式的值为整数，则__________．
【答案】或或
【分析】在分式有意义的前提下,将分式化简再根据题意得出整数.
【解析】分式的值为整数,即分式有意义.
可知若要分式为整数,x+1需要被2整除.则x+1=±1或±2,x可为0,-2,1,-3.
∵分式有意义x不能为±1,∴x为:
0,-2,-3.故答案为:
或或.
【点睛】本题考查分式的化简,关键在于对分式化简.
2．（2020·江苏南通市·南通第一初中八年级月考）若分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（
）
A．扩大为原来的2倍
B．不变
C．缩小为原来的2倍
D．扩大为原来的4倍
【答案】A
【分析】将式子中的x，y都扩大2倍代入，即用2x，2y进行整体替换，化简与原式对比即可求解．
【详解】解：将x和y都扩大为原来的2倍，原式变形为：；
∴分式的值扩大为原来的2倍．故选：A．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，属于基础题型．
3．（2020·南通市通州区兴仁中学八年级月考）已知，则代数式的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先由已知条件得到和的关系，再把所求的代数式中的用表示，最后约分即可．
【详解】由得，再得
把它代入到所求值的代数式中得：原式=．故选：A．
【点睛】此题考查分式求值和整体代入．其关键是要观察已知条件和所求值的式子，找出那个“整体”，并正确代换．
4．（2020·江苏苏州市·八年级月考）下列各式，从左到右变形正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质逐项判断即可得．
【详解】A、变形不符合分式的基本性质，此项错误；B、，此项错误；
C、，此项正确；D、，此项错误；故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
5．（2020·江苏扬州市·南海中学）若，则=________.
【答案】
【分析】先根据完全平方公式的变形求出:
的值,然后将所求分式的分子、分母同时除以，然后代入求值即可.
【详解】解:∵∴
故答案为:
.
【点睛】此题考查的是完全平方公式和求分式的值，掌握完全平方公式的变形和分式的基本性质是解决此题的关键.
知识点4
分式的约分与通分
1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）.
注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。
2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。
步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数.
4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
1．（2021·江苏九年级专题练习）在下列分式中，是最简分式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义即可求出答案．
【详解】A、原式，故A不是最简分式；C、原式，故C不是最简分式；
D、原式，故D不是最简分式；故选：B．
【点睛】本题考查最简分式，解题的关键是正确理解最简分式的定义，本题属于基础题型．
2．（2020·盐城市初级中学八年级月考）化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，分子和分母同时约去5mx即可．
【详解】解：，故选：D．
【点睛】本题考查分式的约分，掌握分式的基本性质是解题的关键．
3．（2020·江苏南通市·八年级期末）分式，的最简公分母是_______．
【答案】x2-4
【分析】首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母．
【详解】∵=，∴，的最简公分母是：x2-4，故答案是：x2-4．
【点睛】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握“如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
4．（2021·江苏九年级专题练习）计算：__________．
【答案】1
【分析】先通分，把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，进而求解即可；
【详解】解：原式
，故答案为1．
【点睛】本题主要考查了分式的加减法，解题时注意：分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
5．（2020·江苏苏州市·八年级期中）若，求、的值．
【答案】
【分析】已知等式右边通分利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可求出A与B的值．
【详解】解：∵，∴x-5=(A+B)x+(-A+B)，∴，得：．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式运算法则，本题属于基础题型．
知识点5分式的混合运算
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．
3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．
5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
1．（2021·江苏九年级专题练习）计算：__．
【答案】．
【分析】根据分式的乘除法运算的计算法则计算即可求解．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】解答时，要注意如下几点：①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
2．（2020·河北初三其他）已知，这是一道分式化简题，因为一不小心一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据整式的概念，将各选项依次代入判断即可．
【解析】A、=
不是整式，此选项符合题意；
B、=是整式，此选项不符合题意；
C、=是整式，此选项不符合题意；
D、=是整式，此选项不符合题意，故选：A．
【点睛】本题考查了分式的运算、平方差公式、整式的判断，熟练掌握分式的除法运算法则及平方差公式是解答的关键．
3．（2021·盐城市初级中学八年级期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再把a的值代入计算即可．
【详解】解：
；当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
4．（2020·南通市启秀中学八年级月考）当取什么整数时，的值是整数．
【答案】
【分析】将原式化简变形为，得出
或，即x=0或-2或1或-3，又根据分式有意义得到
，据此可得到答案．
【详解】解：原式===
==
∴当或时，分式的值为整数，∴x=0或-2或1或-3，
∵分式有意义时有：，
∴，∴x=-3，所以当x=-3时，分式运算的结果是整数．
【点睛】本题考察分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．
5．（2020·江苏海陵·泰州中学附属初中期中）先化简，再选择一恰当的a的值代入求值．
【答案】；a=0时，原式=0
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解析】解：原式=（+）?=?=
∵，∴a≠±1，
∴把a=0代入得：原式=0．
【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
重难点题型
考点1
分式的识别
满分技巧：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
1．（2020·福建省泉州第一中学月考）下列各式：，，，，（x+y）中，是分式的共有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解析】，，分母中含有字母，因此是分式；
，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．故分式有3个．故选C．
【点睛】本题主要考查了分式的定义，注意判断一个式子是否是分式的条件是：分母中是否含有未知数，如果不含有字母则不是分式．
2．（2020·晋州市第三中学月考）下列代数式属于分式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】形如（A、B均为整式，B中有字母，）的式子是分式，根据分式的定义解答.
【解析】根据分式的定义得到：是分式，、、均不是分式，故选：A.
【点睛】此题考查分式的定义，熟记定义掌握定义中的A及B的要求是解答问题的关键.
3．（2020·湖南岳阳·期中）对于式子：其中是分式是
A．①②③④⑤
B．①③④⑤
C．①④⑤
D．②③
【答案】C
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解析】解：中，
分母含有字母，是分式，故选C．
【点睛】本题主要考查分式的定义．在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
4．（2020·贵州铜仁伟才学校初二月考）若是分式，则□可以是（
）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】D
【分析】根据分式的定义即可得．
【解析】由分式的定义可知，只有选项D符合，故选：D．
【点睛】本题考查了分式的定义，掌握理解分式的概念是解题关键．
考点2
分式有意义和无意义的条件
满分技巧：分式有意义的条件：分母不为0，即B0；反之为无意义。因此，解此类题型，我们只需要列写B≠0的不等式，并求解出取值范围即可。
1．（2021·浙江九年级专题练习）要使分式有意义，的取值应满足（
）
A．
B．
C．或
D．且
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件得出x+2≠0且x-1≠0，再求出即可．
【详解】解：要使分式有意义，必须x+2≠0且x-1≠0，解得：x≠-2且x≠1，故选：D．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，能根据分式有意义的条件得出x+2≠0且x-1≠0是解此题的关键．
2．（2020·浙江宁波市·七年级期末）已知分式（m，n为常数）满足下列表格中的信息：则下列结论中错误的是（
）
x的取值
﹣1
1
p
q
分式的值
无意义
1
0
﹣1
A．m＝1
B．n＝8
C．p＝
D．q＝﹣1
【答案】D
【分析】将表格中的数据依次代入已知分式中进行计算即可．
【详解】由表格中数据可知：A、当x＝﹣1时，分式无意义，∴﹣1+m＝0，∴m＝1．故A不符合题意；
B、当x＝1时，分式的值为1，∴，∴n＝8，故B不符合题意；
C、当x＝p时，分式的值为0，∴，∴p＝，故C不符合题意；
D、当x＝q时，分式的值为﹣1，∴，∴q＝，故D错误，从而D符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查分式无意义的条件，分式的值，可利用直接代入法进行求解．
3．（2020·浙江温州市·七年级开学考试）当时，下列分式没有意义的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据分式无意义的条件，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】∵当时，x-1=0，∴没有意义，故A符合题意，
∵当时，x≠0，∴有意义，故B不符合题意，
∵当时，x+1≠0，∴有意义，故C不符合题意，
∵当时，x≠0，∴有意义，故D不符合题意．故选A．
【点睛】本题主要考查分式无意义的条件，掌握分式的分母等于零，是解题的关键．
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）当___时，分式无意义．
【答案】
【分析】根据分母等于0时分式无意义求解即可．
【详解】解：由题意得2x-5=0，解得x=．故答案为：．
【点睛】本题考查了分式无意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．
考点3
分式值为零
满分技巧：分式值为0的条件：分母不为0，且分子为0，即B0，且A=0。因此，解此类题型，我们往往先求解A=0的条件，在判断A=0的条件下，是否满足B≠0.若满足，则此条件成立，若不满足，则这个解舍去。
1．（2021·浙江八年级期中）若分式的值为0，则x的值是（
）
A．2
B．
C．
D．0
【答案】A
【分析】根据分式的值为0的条件可直接进行求解．
【详解】解：∵分式的值为0，∴且，解得：；故选A．
【点睛】本题主要考查分式的值为零，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
2．（2021·浙江温州市·九年级其他模拟）分式的值是零，则x的值为（
）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，得x+3=0且x-2≠0解答即可．
【详解】∵分式的值是零，∴x+3=0且x-2≠0，∴x=
-3，故选D．
【点睛】本题考查了分式的值为零，熟记分式的值为零的基本条件是解题的关键．
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）当时，下列分式的值为0的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【详解】解：A、当x=2时，该分式无意义，故选项A不选；
B、当x=2时，原式=，故选项B不选；C、当x=2时，原式=0，故选选项C；
D、当x=2时，该分式无意义，故选项D不选；故选：C．
【点睛】本题考查分式，解题的关键正确理解分式的值为零的条件，本题属于基础题型．
4．（2020·浙江杭州市·七年级期中）如果分式的值等于0，则x的值是_____________．
【答案】2
【分析】分式的值为零：分子为零，且分母不为零．据此求解可得．
【详解】解：由题意知|x|-2=0且x2+2x≠0，解得x=2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
考点4
分式值为整数的相关问题
满分技巧：根据分式值为整数的条件和试值法逐一检验即可。
1．（2020·浙江绍兴市·诸暨市暨阳初级中学七年级期中）已知代数式的值是一个整数，则整数x有（　　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．无数个
【答案】C
【分析】由是整数，代数式的值是一个整数，可得是的因数，从而可得答案．
【详解】解：是整数，代数式的值是一个整数，是的因数，
或或或
当，解得：或
当，解得：或，不合题意，舍去，
当，解得：或，当，解得：或，不合题意，舍去，
综上：符合条件的的值有个．故选：
【点睛】本题考查的是代数式中分式的值，掌握分式的值是整数的特点是解题的关键．
2．（2020·浙江杭州市·九年级期末）若为整数，则能使也为整数的的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【分析】先把原分式进行变形，分离出一个常数，结合原分式的值为整数，n为整数，即可得到答案．
【详解】∵为整数，也为整数，又∵=，∴n-1=±1，±2，即：n=0，2，3，-1．
∴能使也为整数的的个数有4个．故选D．
【点睛】本题主要考查分式的值和分式的加法运算法则，掌握分式的加法运算法则，把原分式化为一个整数和一个分式的和，是解题的关键．
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）定义运算“※”：，若的值为整数，则整数x的值为_______．
【答案】0或4或6或10
【分析】根据题中的新定义可分若5＞x，若5＜x，两种情况分别求解，最后合并结果．
【详解】解：若5＞x，则=为整数，则x=0或4或6（舍）或10（舍），
若5＜x，则=为整数，则x=0（舍）或4（舍）或6或10，
综上：整数x的值为：0或4或6或10，故答案为：0或4或6或10．
【点睛】此题主要考查了分式的值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是理解题中的新定义．
4．（2020·江苏九年级专题练习）若分式的值是负整数，则整数m的值是__________．
【答案】4
【分析】根据分式的加法法则把原式变形，根据题意计算即可．
【详解】解：1，是负整数，
则m﹣5=﹣1，解得：m=4．故答案为：4.
【点睛】本题考查的是求分式的值，把分式化为整数与分式的和的形式是解题的关键．
5．（2020·微山县鲁桥镇第一中学八年级月考）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像，，……这样的分式是假分式；像，，……这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：；；
（1）分式是
分式（填“真”或“假”）（2）将分式化为整式与真分式的和的形式
（3）如果分式的值为整数，求的整数值
【答案】（1）真；（2）1；（3）x=2或0．
【分析】（1）根据所给定义进行判定即可；
（2）根据题意把分式化成整式和真分式和的形式，即可求出结论；
（3）根据题中所给的例子把原分式化为整式和真分式和的形式，再根据分式的值为整数即可求出x的值．
【详解】解：（1）因为分子次数小于分母次数，我们称之为真分数，分式分子零次，分母1次，所以分式是真分式；故答案为：真；
（2）=；
（3）=；
∵分式的值为整数，且x为整数，∴x-1=±1，∴x=2或x=0∴x的整数值为2或0．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答关键．
考点5分式的求值（整体法）
满分技巧：分式的求值，一般有两种形式：
（1）对于未直接给出字母取值，而是告知某个算式的值时：我们往往用整体代入的思想，将分式边形成告知的条件形式或变形形式，整体代入求值。
（2）对于末给出单个字母取值的化简问题，将分式变形为已知条件的形式，再利用整体法求值。
1．（2020·沙坪坝·重庆一中月考）若，且a、b、k满足方程组，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．1
【答案】D
【分析】先把k看作常数，解二元一次方程组可得，，代入化简即可．
【解析】解：，由②可得：
③，把③代入①得：，
解得，把代入③可得：，∴，故选：D．
【点睛】本题考查解带参数的二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
2．（2020·浙江瑞安·初一期末）若，且，则的值为（
）
A．1
B．2
C．0
D．不能确定
【答案】A
【分析】根据得到，再进行通分求解.
【解析】∵，∴
∴===1故选A.
【点睛】此题主要考查分式的求值，解题的关键是熟知分式的加减运算法则.
3．（2020·湖北广水·期末）已知，则分式的值为（
）
A．1
B．5
C．
D．
【答案】A
【分析】由，得x﹣y＝﹣5xy，进而代入求值，即可．
【解析】∵，∴，即x﹣y＝﹣5xy，∴原式=，
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的求值，掌握等式的基本性质以及分式的约分，整体代入是解题的关键．
4．（2020.江苏太仓·初二期中）如果，那么的值等于
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据已知条件x2-4xy+4y2=0，求出x与y的关系，再代入所求的分式中进行解答．
∵x2-4xy+4y2=0，∴（x-2y）2=0，∴x=2y，∴．故选C．
考点：分式的基本性质．
5．（2020·湖南茶陵·零模）2010年8月19日第26届国际
数学家大会在印度的海德拉巴市举行，并首次颁出陈省身奖，该奖项是首个以中国人名字命名的国际主要科学奖，根据蔡勒公式可以得出中华人民共和国成立100周年纪念日（2049年10月1日）是星期_______________.
（注：蔡勒（德国数学家）公式：
其中：W——所求的日期的星期数(如大于7，就需减去7的整数倍)，c——所求年份的前两位，y——所求年份的后两位，m——月份数(若是1月或2月，应视为上一年的13月或14月，即)，d——日期数，——表示取数a的整数部分，如：［15.6］=15）．
【答案】五
【分析】由代数式的运算法则，结合参数对应的数值，即可求得答案．
【解析】
∴∴故答案为：五．
【点睛】本题考察了代数式和分式的知识；求解的关键是熟练掌握代数式和分式的性质，结合实际问题的特点，从而完成求解．
考点6
分式的规律探索
1．（2020·山东东平县江河国际实验学校初二月考）已知y1＝2x，y2＝，y3＝，…，y2006＝，则y1?y2006的值为______．
【答案】2
【分析】求出y1＝2x代入y2＝，得y2＝，同样得出y3＝2x，…，找出规律即可求出y2006的值，进而得出结果．
【解析】先把y1＝2x代入y2＝，得y2＝，同样得出y3＝2x，…，得出规律当为奇数时值为2x，当为偶数是值为，所以y2006＝，所以y1?y2006＝2x?＝2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的化简和数字类的规律问题，熟练进行分式化简是关键．
2．（2019·贵州印江·初三期末）已知一列分式，，，，,,…，观察其规律，则第n个分式是_______．
【答案】
【分析】分别找出符号，分母，分子的规律，从而得出第n个分式的式子．
【解析】观察发现符号规律为：正负间或出现，故第n项的符号为：
分母规律为：y的次序依次增加2、3、4等等，故第n项为：=
分子规律为：x的次数为对应项的平方加1，故第n项为：
故答案为：．
【点睛】本题考查找寻规律，需要注意，除了寻找数字规律外，我们还要寻找符号规律．
3．（2020·宁夏盐池·初三二模）一组按规律排列的式子：，﹣，，﹣，…（a≠0），其中第10个式子是_____．
【答案】
【分析】根据题意可得式子的第奇数个数为正，第偶数个数为负，分子为序号的平方，分母中a的指数为：序号三倍减1.据此规律可得结果．
【解析】∵,，=（﹣1）3+1·，…
第n个式子应为：∴第10个式子是（﹣1）10+1?=，故答案是：．
【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．本题的关键是准确找到分子的规律．
4．（2020·广西岑溪·初三二模）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律，这列数中的第2020个数是____．
【答案】
【分析】根据按一定规律排列的一列数依次为：，，，，，，，可得第n个数为，据此可得第2020个数．
【解析】按一定规律排列的一列数依次为：，，，，，，，
观察得到：分母为连续的奇数，后一个分子比前一个分子多3，按此规律，第n个数为，
∴当n=2020时，，故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律探究题，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
5．（2020·山东滨州·初三学业考试）观察下列各式：，
根据其中的规律可得________（用含n的式子表示）．
【答案】
【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解．
【解析】解：由分析得，故答案为：
【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
考点7
分式的基本性质
1）利用分式的基本性质、改变分子、分母的系数
满分技巧：（1）此类题型，常要求讲分子和分母都变为整数。因此，解决这类问题，我们通常把分子、分母各项系数同乘一个非零常数，使各项系数变为整数。
（2）还有些题型，要求处理分子分母之间正负号的关系，我们有：
（相当于分子分母同乘-1）；
即：分式分子、分母、分式3个符号中，同时改变其中2个符号，分式值不变。
1．（2020·晋州市第三中学月考）根据分式的基本性质，分式可以变形为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解析】解：=故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
2．（2020·湖南澧县·月考）对于分式下列变形正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质解答即可．无论把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．
【解析】解：A、是分子分母同时加上1，不符合分式的基本性质，故该选项错误；
B、是分子分母同时减去2，不符合分式的基本性质，故该选项错误；
C、分子乘以x-1，分母乘以x+1，不符合分式的基本性质，故该选项错误；
D、分子和分母同时乘以x-1，且x-1≠0，符合分式的基本性质，故该选项正确．故选D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
3．（2020·浙江长兴·初二开学考试）分式可变形为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据分式的性质逐项进行化简即可，注意负号的作用．
【解析】故选项A、B、C均错误，选项D正确，故选：D．
【点睛】本题考查分式的性质，涉及带负号的化简，是基础考点，亦是易错点，掌握相关知识是解题关键．
4．（2020·内蒙古凉城·期末）下列运算中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质、同底数幂的除法、乘法公式判断即可．
【解析】解：A、，故选项错误；B、，故选项正确；
C、，故选项错误；D、，故选项错误；故选B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，涉及到分式的基本性质、同底数幂的除法、乘法公式，解题的关键是要掌握基本知识．
2）分式值得扩大和缩小
1．（2021·湖北武汉市·八年级期末）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：A、，故A的值有变化．B、，故B的值有变化．
C、，故C的值不变．D、，故D的值有变化．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
2．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级月考）若将分式中的x与y的值都扩大为原来的2倍，则这个分式的值将（
）
A．扩大为原来的2倍
B．不变
C．扩大为原来的4倍
D．无法确定
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质判断即可；
【详解】；故答案选B．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，准确分析判断是解题的关键．
3．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级月考）若x，y（x，y均为正）的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．
【详解】解：根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，
A、，不符合题意；B、，不符合题意；
C、，不符合题意；D、，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟悉相关性质是解题的关键．
4．（2020·广东深圳市·龙华新区实验学校八年级期中）把分式中的a，b的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．不变
B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的3倍
D．扩大为原来的6倍
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：；与原式相等；故选：A．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．
3）分式变形成立的条件
1．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学八年级开学考试）若成立，则x的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据分式的性质及成立的条件可直接进行求解．
【详解】解：若成立，则有，∴，故答案为．
【点睛】本题主要考查分式成立的条件及性质，熟练掌握分式的成立的条件及性质是解题的关键．
2．（2020·湖南岳阳市·八年级期中）等式成立的条件是____________．
【答案】x≠2
【分析】根据分母不为0得出结论．
【详解】因为等式成立，所以=0，
所以且．故答案为：且
【点睛】考查了分式有意义的条件．解题关键是得出分母不能为0．
3．（2020·全国初一单元测试）使等式自左到右变形成立的条件是（
）.
A．
B．
C．
D．且
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式值不变，判断即可
【解析】解：由变形可知，分式的分子和分母同时乘，根据分式的基本性质，可得故选C.
【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键.
4．（2020·全国初二单元测试）使分式自左向右变形成立的条件（　　）
A．x＞﹣3
B．x＜﹣3
C．x≠﹣3
D．x≠3
【答案】C
【分析】利用分式方程基本性质判断即可．
【解析】解：当x+3≠0即,x≠?3时,，故选C
【点睛】考查分式的基本性质，分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.
考点8
最简分式
1．（2021·江苏省江阴市第一中学八年级月考）下列分式中，属于最简分式的个数是（　　）
①，②，③，④，⑤，⑥．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义判断即可．
【详解】①，③，④，⑤，可约分，不是最简分式；
②，⑥分子分母没有公因式，是最简分式，一共有二个；故选：B．
【点睛】本题考查了最简分式，解题关键是明确最简分式的定义，准确判断分子分母是否含有公因式．
2．（2021·湖北武汉市·八年级期末）下列分式是最简分式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可．
【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、是最简分式，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．
3．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学八年级月考）下列分式中，是最简分式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分式的分子分母若没有公因式，这样的分式叫最简分式，根据最简分式的概念判断即可．
【详解】A选项是最简分式，故正确；B选项分子分母有公因式5，不是最简分式，故不正确；
C选项分子分母有公因式a，不是最简分式，故不正确；
D选项分子分母有公因式a+b，不是最简分式，故不正确．故选：A．
【点睛】本题考查最简分式的概念，当分式的分子分母是多项式时，要分别分解因式，再判断有无公因式．
4．（2021·全国八年级课时练习）下列分式中是最简分式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可．
【详解】解：∵，，，∴A、D、C三个选项都不是最简分式；
分子分母不含公因式，是最简分式；故选：B．
【点睛】本题考查了最简分式的定义，解题关键是明确最简分式的定义，准确运用分式基本性质进行约分．
5．（2020·山东长清·期中）下列各式中最简分式是　　
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式．
【解析】解：A.
=
,不是最简分式；
B.
，是最简分式；
C.
,不是最简分式；
D.
=5，,不是最简分式．故选B．
【点睛】本题考核知识点：最简分式.解题关键点：理解最简分式的条件．
考点9
最简公分母
1．（2020·贵州铜仁伟才学校初二月考）分式和的最简公分母（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据最简公分母的定义即可得．
【解析】因为，，
所以分式和的最简公分母为，故选：C．
【点睛】本题考查了最简公分母，掌握理解最简公分母的定义是解题关键．
2．（2020·浙江瑞安·初一期末）分式与的最简公分母是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据最简公分母的定义求解．
【解析】分式与的分母分别是、，故最简公分母是；故选：B．
【点睛】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
3．（2020·江苏滨湖·初二期中）分式的最简公分母是____________________．
【答案】
【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解析】解：分式的最简公分母为，故答案是：．
【点睛】本题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
4．（2020·青岛超银中学）把分式与进行通分时，最简公分母为_____．
【答案】(x﹣y)2(x+y)
【分析】根据因式分解可得，
，然后根据最简公分母的定义进行分析即可得出答案.
【解析】解：把分式
与
进行通分时，x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)，
故最简公分母为：(x﹣y)2(x+y)．故答案为：(x﹣y)2(x+y)．
【点睛】本题主要考察了最简公分母的定义，解题的关键是对分母进行因式分解.
5．（2020·四川渠县·初二期末）对分式和进行通分，它们的最简公分母是________．
【答案】
【分析】根据确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母即可得出答案．
【解析】解：分式和的最简公分母是，故答案为：.
【点睛】本题考查了最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
考点10
分式的混合运算
满分技巧：与实数运算类似，分式的混合运算应先乘方、后乘除、最后加减，有括号时，先算括号里面的，并恰当运用运算律简化运算。一个分式与一个整式相加减时，可以把整式视为分母为1的分式，以免通分漏项。
1．（2020·湖北黄石·初二期末）化简的结果是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先化除为乘，然后按照分式乘法法则进行计算即可．
【解析】解：==m．故答案为A．
【点睛】本题考查了分式的的乘除运算，掌握分式乘除运算法则是解答本题的关键．
2．（2020·中北大学附属学校初二期末）计算÷的结果为（　　）
A．
B．5﹣a
C．
D．5+a
【答案】C
【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简得出答案．
【解析】解：原式＝?（5﹣a）＝．故选：C．
【点睛】此题考查了分式除法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2020·南通市通州区兴仁中学八年级月考）计算：__________．
【答案】
【分析】根据异分母分式的加减法则解答即可．
【详解】解：原式=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减，属于基础题目，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
4．（2020·灌南县新知双语学校八年级月考）化简的结果是________．
【答案】a+b
【分析】首先通分运算，再利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式===a+b，故答案为：a+b．
【点睛】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（2020·晋州市第三中学月考）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】B
【分析】根据分式的运算法则逐步计算分析即可．
【解析】（正确）
（错误）
．故选B．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式．
考点11
分式的化简求值
对于直接给出字母取值的，可先化简，再代入求值：将分式通过约分、通分等方式，化简为最简分式，再代入字母的值计算。
1．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）先化简，再求的值，其中．
【答案】，
【分析】原式先根据分式的乘除运算法则化简，再把x的值代入化简后的式子计算即可．
【解析】解：原式===．
当时，原式=．
【点睛】本题考查分式的乘除与代数式求值，属于常考题型，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．
2．（2020·郑州一中国际航空港实验学校三模）先化简，再求值：÷（﹣1﹣x），其中x的值是方程x2﹣x﹣7＝0的根．
【答案】，
【分析】先化简原分式，再求得x2﹣x＝7，最后整体代入求解即可．
【解析】解：原式＝
＝﹣
∵x的值是方程x2﹣x﹣7＝0的根，∴x2﹣x＝7，当x2﹣x＝7时，原式＝．
【点睛】本题主要考查了分式方程的化简求值以及整体思想的运用，根据题意化简原分式是正确解答本题的关键．
3．（2020·晋州市第三中学月考）小军解答：“化简”
的过程如图．试指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：
=………………………①
=2x-x+2
………………………②
=x+2
………………………③
【答案】第②步错误，见解析
【分析】第②步错误，分式化简不应该去掉分母．按照分式的加减法运算法则改正即可．
【解析】第②步错误.正确解答如下：
解：====．
【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式运算的相关法则是解题的关键．
4．（2020·海东市教育研究室初二期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】对原式分母平方差公式变形后通分、约分化简原式，再代值求解即可．
【解析】解：原式，
当，时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值、异分母的分式加减法，借助平方差公式变形找最简公分母是解答的关键．
5．（2020·辽宁灯塔·初二期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】先计算括号内的加减法，再把除法转化为乘法，再约分可得结果，再把代入求值即可得到答案．
【解析】解：
∴当x=4时，原式=
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算是解题的关键．
6．（2020·江苏苏州市·八年级月考）化简求值
（1），其中，．
（2），其中．
【答案】（1），3；（2），．
【分析】（1）先将化简为，再根据同分母分式加减法法则进行化简，再将a、b的值代入化简结果计算即可；（2）根据异分母分式加减的运算法则进行计算，再将m的值代入化简结果进行计算即可．
【详解】解：（1）
当，时，原式．
（2）
当时，原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的加减运算的运算法则是解题的关键．
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