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第六章　概率
§1　随机事件的条件概率
1.1　随机事件的条件概率
必备知识·自主学习
导思
1．什么是条件概率？2．条件概率的性质主要有哪些？
1.条件概率的概念
(1)定义：设A，B是两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．
(2)读法：P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．
2．条件概率的性质
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若事件A与B互斥，则P(B|A)＝0.(　　)
(2)若事件A等于事件B，则P(B|A)＝1.(　　)
(3)P(B|A)与P(A|B)相同．(　　)
提示：(1)√.因为事件A与B互斥，所以在事件A发生的条件下，事件B不会发生．
(2)√.因为事件A等于事件B，所以事件A发生，事件B必然发生．
(3)×.由条件概率的概念知该说法错误．
2．(教材练习改编)若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
【解析】选B.由公式得P(B|A)＝＝＝.
3．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．
【解析】设A为“活到20岁”，B为“活到25岁”，
则P(A)＝0.8，P(B)＝P(AB)＝0.4，P(B|A)＝＝＝0.5.
答案：0.5
关键能力·合作学习
类型一　利用定义求条件概率(数学运算)
1．(2020·重庆高二检测)一盒中装有5张彩票，其中2
张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则P(B|A)＝(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
2．(2020·菏泽高二检测)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的两个数之和为偶数”，事件B＝“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)
A．
B．
C．
D．
3．(2020·威海期末)甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A为“四名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选羽毛球”，由P(A|B)＝(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】1.选D.由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，所以P(B|A)＝.
2．选B.P(A)＝
eq
\f(C＋C,C)
＝＝，P(AB)＝
eq
\f(C,C)
＝，
故P(B|A)＝＝＝.
3．选D.甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A为“四名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选羽毛球”，则P(B)＝＝，P(AB)＝
eq
\f(A,44)
＝，所以P(A|B)＝＝＝.
用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意，弄清概率模型；
(2)计算P(A)，P(AB)；
(3)代入公式求P(B|A)＝.
类型二　求互斥事件的条件概率(数学运算)
【典例】在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.
【思路导引】将所求事件分解为几个简单的事件，然后利用互斥事件的加法公式及条件概率公式求解．
【解析】设“摸出第一个球为红球”为事件A，
“摸出第二个球为黄球”为事件B，
“摸出第二个球为黑球”为事件C.
则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝.
所以P(B|A)＝＝÷＝，P(C|A)＝＝÷＝.
所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
所以所求的条件概率为.
复杂事件概率的求法
(1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．
(2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．
在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
【解析】设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题而另1道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝
eq
\f(C,C)
＋
eq
\f(CC,C)
＋
eq
\f(CC,C)
＝
eq
\f(12
180,C)
，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝＋＝
eq
\f(\f(210,C),\f(12
180,C))
＋
eq
\f(\f(2
520,C),\f(12
180,C))
＝，即所求概率为.
备选类型　缩小样本空间求条件概率(逻辑推理)
【典例】一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的的概率.
【思路导引】本题可以用公式求解，也可以用缩小样本空间的方法直接求解．
【解析】方法一：(定义法)设Ai＝{第i只是好的}(i＝1，2).
由题意知要求出P(A2|A1).
因为P(A1)＝＝，P(A1A2)＝＝，
所以P(A2|A1)＝＝.
方法二：(直接法)因事件A1已发生(已知)，故我们只研究事件A2发生便可，
在A1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，
所以P(A2|A1)＝＝.
利用缩小样本空间的观点计算条件概率：
首先明确是求“在谁发生的前提下谁的概率”，其次转换样本空间，即把给定事件A所含的基本事件定义为新的样本空间，显然待求事件B便缩小为事件AB，如图所示，从而P(B|A)＝.
课堂检测·素养达标
1．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)等于(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
【解析】选B.由P(B|A)＝＝＝.
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是(　　)
A．
B．
C．
D．1
【解析】选B.因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是.
3．某地区空气质量检测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.9，连续两天为优良的概率是0.75，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.设“某天的空气质量为优良”是事件A，“
随后一天的空气质量为优良”是事件B，
由题意可得P(A)＝0.9，P(AB)＝0.75，所以某天的空气质量为优良，
则随后一天的空气质量也为优良的概率为P(B|A)＝＝＝.
4．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________．
【解析】因为P(AB)＝，P(A)＝，所以P(B|A)＝.
答案：
5．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________．
【解析】方法一(定义法)设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，
则P(A)＝
eq
\f(C,C)
，P(AB)＝
eq
\f(1,C)
，故P(B|A)＝＝.
方法二(直接法)由题意知本题是一个等可能事件的概率，一周晚上值班2次，已知他周日一定值班，则还剩下6天，那么周六晚上值班的概率为.
答案：
PAGE1.2　乘法公式与事件的独立性
必备知识·自主学习
导思
1．什么叫相互独立事件？2．独立事件的概率公式是什么？
1.乘法公式
P(AB)＝P(B|A)P(A)(其中P(A)>0)　
①
P(AB)＝P(A|B)P(B)(其中P(B)>0)　
②
公式①②称为乘法公式．
2．相互独立事件的定义和性质
(1)定义：如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫作相互独立事件．
(2)性质：①如果A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
②如果A与B相互独立，那么P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．
互斥事件与相互独立事件的区别是什么？
提示：
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号
相互独立事件A，B同时发生，记作：AB
互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)
计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
3.n个事件相互独立
对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
4．独立事件的概率公式
(1)事件A，B相互独立?P(AB)＝P(A)P(B)；
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An).
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立．(　　)
(2)若事件A，B相互独立，则P(
)＝P()×P().(　　)
(3)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B).(　　)
(4)若事件A与B相互独立，则B与相互独立．(　　)
提示：(1)√.若P(B|A)＝P(B)，则P(AB)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以(1)正确．
(2)√.若事件A，B相互独立，则，也相互独立，故(2)正确．
(3)√.若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故(3)正确．
(4)×.B与相互对立，不是相互独立，故(4)错误．
2．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该生各项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
【解析】选B.由独立事件概率公式计算可得：该生各项均合格的概率为××＝.
3．(教材练习改编)某工厂生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01与0.03，每道工序生产废品相互独立，那么经过两道工序后得到的零件是合格品的概率等于________．(精确到0.01)
【解析】由第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01与0.03，且每道工序生产废品相互独立可得，经过两道工序后得到的零件是合格品的概率为
(1－0.01)(1－0.03)＝0.960
3≈0.96.
答案：0.96
关键能力·合作学习
类型一　相互独立事件的判断(逻辑推理)
【典例】判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)不透明容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
【思路导引】(1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义判断．
【解析】(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，
AB＝{6}，
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝.
所以P(AB)＝P(A)·P(B)，所以事件A与B相互独立．
判断事件是否相互独立的方法
1．定义法：事件A，B相互独立?P(AB)＝P(A)·P(B).
2．直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
3．条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
类型二　相互独立事件同时发生的概率(数学运算)
【典例】甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和.求：
(1)两人都能破译的概率；
(2)两人都不能破译的概率；
(3)恰有一人能破译的概率；
(4)至多有一人能够破译的概率.
【思路导引】根据相互独立事件的概率公式与互斥事件的概率公式求解．
【解析】设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，则A，B相互独立，从而A与，与B，与均相互独立．
(1)“两人都能破译”为事件AB，则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)“两人都不能破译”为事件
，
则P(
)＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝×＝.
(3)“恰有一人能破译”为事件(A)∪(
B)，
又A与B互斥，所以P[(A)∪(B)]＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
(4)“至多一人能破译”为事件(A)∪(B)∪(
)，
而A，B，
互斥，
故P[(A)∪(B)∪(
)]＝P(A)＋P(B)＋P(
)
＝P(A)P()＋P()·P(B)＋P()P()
＝×＋×＋×＝.
求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件是相互独立的；
(2)再确定各事件会同时发生；
(3)先求每个事件发生的概率，再求其积．
某街在甲、乙、丙三个地方设有交通信号灯，汽车在甲、乙、丙三个地方通过(即通过绿灯)的概率分别是，，，对于该街上行驶的汽车，求：(1)在三个地方都不停车的概率；
(2)在三个地方都停车的概率；
(3)只在一个地方停车的概率．
【解析】记汽车在甲地遇到绿灯为事件A，
汽车在乙地遇到绿灯为事件B，
汽车在丙地遇到绿灯为事件C，
则P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝，P(C)＝，P()＝.
(1)在三个地方都不停车的概率为
P(ABC)＝
P(A)P(B)P(C)＝××＝；
(2)在三个地方都停车的概率为
P(
)＝P()P()P()＝××＝；
(3)只在一个地方停车的概率为
P(BC＋AC＋AB)＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝××＋××＋××＝.
备选类型　事件的相互独立性与互斥性(逻辑推理)
【典例】小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率．
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
【思路导引】(1)这三列火车之间是否正点到达互不影响，因此本题是相互独立事件同时发生的概率问题，注意两列正点到达所包含的情况．
(2)这三列火车至少有一列正点到达的对立事件是三列火车都没正点到达，这种情况比正面列举简单些，因此利用对立事件的概率公式求解．
【解析】用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，
所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P(
)＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
与相互独立事件有关的概率问题求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.
(2)A，B都发生为事件AB.
(3)A，B都不发生为事件
.
(4)A，B恰有一个发生为事件A＋B.
(5)A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋
.
本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．
【解析】恰有一列火车正点到达的概率为
P3＝P(A
)＋P(
B)＋P(
C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.
课堂检测·素养达标
1．不透明袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是(　　)
A．互斥事件　　　　B．相互独立事件
C．对立事件
D．不相互独立事件
【解析】选D.事件A的结果对事件B有影响．根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．
2．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，则其中恰有一人击中目标的概率为(　　)
A．0.64　　　B．0.32　　　C．0.56　　　D．0.48
【解析】选B.设事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”．“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A)，另一种是甲未击中乙击中(即B)，根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A与B是互斥的，所以所求概率为P＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.32.
3．(教材练习改编)甲、乙两学生独立地解答同一道数学问题，甲生解答正确的概率是0.9，乙生解答正确的概率是0.8，那么至少有一学生解答正确的概率是(　　)
A．0.26
B．0.28
C．0.72
D．0.98
【解析】选D.记“甲解答数学问题正确”为事件A，“乙解答数学问题正确”为事件B，由题意可得P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，则至少有一学生解答正确的概率是P＝1－(1－P(A))(1－P(B))＝0.98.
4．(2020·重庆高二检测)如图所示的电路有a，b，c，d四个开关，每个开关断开与闭合的概率均为且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为(　　)
A.
B．
C．
D．
【解析】选C.记c，d通路为事件M，则P(M)＝1－＝，所以灯泡亮的概率为P＝××＝.
5．(2020·雅安高二检测)甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则p值为________．
【解析】甲、乙两人各射击一次得分之和为2，可能是甲击中乙未击中，或者乙击中甲未击中，故·(1－p)＋p·＝，解得p＝.
答案：
PAGE1.3　全概率公式
必备知识·自主学习
导思
1.
全概率公式是什么？2．贝叶斯公式与全概率公式有什么联系？
1.全概率公式
设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)>0(i＝1，2，…，n)，则对任意一个事件A有P(A)＝称上式为全概率公式．
在全概率公式的推导过程中，用到了哪些概率公式？
提示：互斥事件概率的加法公式与条件概率的乘法公式．
2.贝叶斯公式
设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)>0，
若P(Bi)>0(i＝1，2，…，n)，则P(Bi|A)＝
称上式为贝叶斯公式．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为＝Ω.(　　)
(2)
贝叶斯公式是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率．(　　)
提示：(1)×.需满足的条件为AiAj＝?(i≠j)，＝Ω且P(Ai)>0.
(2)√.
2．已知A，B为样本空间为Ω中的事件，BA与B是互斥的，B＝BA＋B，且P(AB)＝，P(B)＝，则P(B)＝(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选D.由互斥事件概率的加法公式得，
P(B)＝P(AB)＋P(B)＝＋＝.
3．设一仓库中有10
箱同种规格的产品，
其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱
，
3箱，
2
箱，三厂产品的废品率依次为
0.1，
0.2，
0.3
从这10箱产品中任取一箱
，
再从这箱中任取一件产品，则取得正品的概率为________．
【解析】设A为事件“取得的产品为正品”，
B1，B2，B3分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”，
由题设知P(B1)＝，P(B2)＝，P(B3)＝，
P(B1)＝0.9，P(B2)＝0.8，P(B3)＝0.7，
所以P(A)＝＝×＋×＋×＝0.83.
答案：0.83
关键能力·合作学习
类型一　利用全概率公式求概率(数学运算)
【典例】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3
个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，求从2号箱取出红球的概率．
【思路导引】弄清题意，用全概率公式求解．
【解析】设A：最后从2号箱取出的是红球，B：从1号箱取出的是红球，则：
P(B)＝＝，P＝1－P(B)＝；
P＝＝，P＝＝；
所以P＝P＋P＝PP(B)＋
PP＝×＋×＝.
　全概率公式求概率的关注点
(1)实质：为了求复杂事件的概率，往往可以把它分解成若干个互斥的简单事件之和，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率可加性，得到最终结果．
(2)应用：把事件B看作某一过程的结果，把A1，A2，…，An
…看作该过程的若干个原因，根据历史资料，每一原因发生的概率(即P
())已知，而且每一原因对结果的影响程度(即P(B|))已知，则可用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B)).
【补偿训练】
有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占
30%
，二厂生产的占
50%
，三厂生产的占
20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%
，
1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？
【解析】设事件A
为“任取一件为次品”，
事件Bi：任取一件为i厂的产品，i＝1，2，3.
B1∪B2∪B3＝Ω，BiBj＝?，i，j＝1，2，3，i≠j；
P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(B1)＝0.02，P(B2)＝0.01，P(B3)＝0.01，由全概率公式得，P(A)＝P(B1)P(B1)＋P(B2)P(B2)＋P(B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
(选学)类型二　利用贝叶斯公式求概率(数学运算)
【典例】三部自动的机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占40%，机器乙生产的占25%，机器丙生产的占35%，已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有10%、5%和
1%不合格，现从总产品中随机地抽取一个零件，发现是不合格品，求：
(1)它是由机器甲生产出来的概率；
(2)它是由哪一部机器生产出来的可能性大．
【思路导引】利用贝叶斯公式分别求出不合格产品是由哪一部机器产出的概率，比较大小即可．
【解析】设B1，B2，B3分别表示事件：任取的零件为甲、乙、丙机器生产的，
A：抽取的零件是不合格品，由条件知，
P(B1)＝0.40，P(B2)＝0.25，P(B3)＝0.35，
P(A|B1)＝0.10，P(A|B2)＝0.05，P(A|B3)＝0.01，
(1)所求概率为P(B1|A)，P(B1|A)＝≈0.714.
(2)类似(1)的计算可得P≈0.223，P≈0.063，比较可知是机器甲生产出来的可能性大．
贝叶斯公式的应用
把事件B看作某一过程的结果，把A1，A2，…，An
…看作该过程的若干个原因，根据历史资料，每一原因发生的概率即P已知，而且每一原因对结果的影响程度(即P)已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第
i个原因引起的概率，则用贝叶斯公式(即求P).
用血清诊断肝癌，临床实践表明，患肝癌的病人中有95%试验呈阳性，也有2%的非肝癌患者化验呈阳性．若将此法用于人群肝癌普查，设人群中肝癌患病率0.2%，现某人在普查中化验结果呈阳性，求此人确患肝癌的概率．
【解析】设A：被化验者确患肝癌症，B：被化验者结果呈阳性，
则P(B|A)＝0.95，P(B|)＝0.02，P(A)＝0.002，P()＝1－P(A)＝0.998，
P(A|B)＝＝
＝≈0.087.
课堂检测·素养达标
1．(2020·潍坊高二检测)甲袋中有5只白球，7只红球；乙袋中有4只白球，2只红球．从两个袋中任取一球，则取到的球是白球的概率为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
【解析】选D.设事件A表示“取到的是甲袋”，B表示“取到的是乙袋”，C表示“最后取到的是白球”，则A与B是对立事件．根据题意：P(C|
A)＝，
P(C|
B)＝，P(A)＝.
所以P(C)＝
P(C|
A)P(A)＋
P(C|
B)P(B)＝×＋×＝.
2．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为(　　)
A．0.6
B．0.85
C．0.868
D．0.88
【解析】选C.设B：从仓库中随机提出的一台是合格品，Ai：提出的一台是第i车间生产的，i＝1，2，
则有B＝A1B∪A2B，由题意，P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.85，
P(B|A2)＝0.88，
由全概率公式P(B)＝
P(A1)
P(B|A1)＋
P(A2)
P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.
3．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为________．
【解析】设B：中途停车修理，A1：经过的是货车，A2：经过的是客车，则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式有
P(A1)＝＝＝0.8.
答案：0.8
4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球．随机取一个袋子，再从该袋中随机取一球，该球是红球的概率为________．
【解析】记B：该球是红球，A1：取自甲袋，A2：取自乙袋，
已知P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，
所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝.
答案：
PAGE§2　离散型随机变量及其分布列
必备知识·自主学习
导思
1．什么叫随机变量？2．如何求离散型随机变量的分布列？
1.随机变量
(1)定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示．在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化．像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量．
(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
2．离散型随机变量
(1)定义：取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量．
(2)特征：
①可用数值表示．
②试验之前可以判断其出现的所有值．
③在试验之前不能确定取何值．
④试验结果能一一列出．
离散型随机变量的取值必须是有限个吗？
提示：离散型随机变量的取值可以是有限个，例如取值为1，2，…，n；也可以是无限个，如取值为1，2，…，n，….
3．离散型随机变量的分布列
(1)定义：若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…).
以表格的形式表示如下：
xi
x1
x2
…
xn
…
P(X＝xi)
p1
p2
…
pn
…
这个表格称为离散型随机变量X的分布列，
简称为X的分布列．
(2)性质
①pi＞0，i＝1，2，…，n，…；
②p1＋p2＋…＋pn＋…＝1．
求离散型随机变量的分布列应按几步进行？
提示：求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)找出随机变量所有可能的取值xi(i＝1，2，3，…，n，…)；
(2)求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，3，…，n，…)；
(3)列成表格形式．
4．两点分布
如果随机变量X的分布列如表：
X
1
0
P
p
q
其中01．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　　)
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．(　　)
(3)离散型随机变量的取值是任意的实数．(　　)
(4)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究．(　　)
提示：(1)√.因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．
(2)√.因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1.
(3)×.由离散型随机变量的定义可知它的取值能够一一列出，因此离散型随机变量的取值是任意的实数的说法错误．
(4)√.根据两点分布的概念知，该说法正确．
2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　)
A．1，2，3，…，6　　　B．1，2，3，…，7
C．0，1，2，…，5
D．1，2，…，5
【解析】选B.由于取到白球游戏结束，由题意可知X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7.
3．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
2a
3a
则a＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
【解析】选A.由离散型随机变量分布列的性质可知，2a＋3a＝1，所以a＝.
4．(教材二次开发：例题改编)设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，则P＝__________．
【解析】
P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，得a＝10，所以，P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝.
答案：
关键能力·合作学习
类型一　随机变量的可能取值及试验结果(逻辑推理)
【典例】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.
(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.
【思路导引】→→
【解析】(1)X可取0，1，2，3.
X＝0表示取5个球全是红球；
X＝1表示取1个白球，4个红球；
X＝2表示取2个白球，3个红球；
X＝3表示取3个白球，2个红球．
(2)X可取3，4，5.
X＝3表示取出的球编号为1，2，3.
X＝4表示取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4.
X＝5表示取出的球编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5.
在本例(1)条件下，规定取出一个红球赢2元，而每取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？
【解析】ξ可取10，7，4，1.
ξ＝10表示取5个球全是红球；
ξ＝7表示取1个白球，4个红球；
ξ＝4表示取2个白球，3个红球；
ξ＝1表示取3个白球，2个红球．
用随机变量表示随机试验的结果的关键点和注意点
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
【补偿训练】
写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)在北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示.
【解析】(1)X可能取值为0，1，2，3，4，5，
X=i表示面试通过的有i人，其中i=0，1，2，3，4，5.
(2)ξ可能取值为0，1，
当ξ=0时，表明该射手在本次
类型二　分布列的性质及应用(数学运算)
【典例】设随机变量X的分布列P＝ak
(k＝1，2，3，4，5).
(1)求常数a的值；
(2)求P.
【解析】分布列可改写为：
X
P
a
2a
3a
4a
5a
(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2)P＝P＋P＋
P＝＋＋＝，或P
＝1－P＝1－＝.
利用离散型分布列的性质解题时要注意以下两个问题
(1)X＝Xi的各个取值表示的事件是互斥的．
(2)不仅要注意p1＋p2＋…＋pn＋…＝1而且要注意pi＞0，i＝1，2，…，n，….
若离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
4a－1
3a2＋a
求常数a及相应的分布列．
【解析】由分布列的性质可知：3a2＋a＋4a－1＝1，
即3a2＋5a－2＝0，解得a＝或a＝－2，
又因为4a－1>0，即a>，故a≠－2.
所以a＝，此时4a－1＝，3a2＋a＝.
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
【知识拓展】求离散型随机变量y=f(ξ)的分布列
(1)若ξ是一个随机变量，a，b是常数，则η=aξ+b也是一个随机变量，推广到一般情况有：若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则η=f(ξ)也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若ξ为离散型随机变量，则η=f(ξ)也为离散型随机变量.
(2)已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η=f(ξ)的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可.
【补偿训练】
已知随机变量ξ的分布列为
ξ
-2
-1
0
1
2
3
P
分别求出随机变量η1=ξ，η2=ξ2的分布列.
【解析】由η1=ξ知，对于ξ取不同的值-2，-1，0，1，2，3时，η1的值分别为-1，-，0，，1，，
所以η1的分布列为
η1
-1
-
0
1
P
由η2=ξ2知，对于ξ的不同取值-2，2及-1，1，η2分别取相同的值4与1，
即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率与的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率与的和，所以η2的分布列为
η2
0
1
4
9
P
【拓展训练】
设离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．
【解析】由分布列的性质知：
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3.
首先列表为
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
从而由表得两个分布列为
(1)2X＋1的分布列：
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)|X－1|的分布列：
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
类型三　利用排列组合求分布列(逻辑推理、数学运算)
【典例】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．
(1)求袋中所有的白球的个数．
(2)求随机变量ξ的分布列．
(3)求甲取到白球的概率．
【思路导引】
可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．
【解析】(1)设袋中原有n个白球，由题意知＝
eq
\f(C,C)
＝＝.
可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球．
(2)由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5.
P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝＝；
P(ξ＝3)＝＝；P(ξ＝4)＝＝；
P(ξ＝5)＝＝.所以ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
P
(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，
则P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝.
求离散型随机变量分布列时应注意的问题
(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．
(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可以验证分布列是否正确．
【补偿训练】
口袋中有6个同样大小的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列.
【解析】随机变量X的可能取值为3，4，5，6.
从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为，事件“X=3”包含的基本事件总数为，事件“X=4”包含的基本事件总数为，事件“X=5”包含的基本事件总数为，事件“X=6”包含的基本事件总数为.
从而有P(X=3)=
，P(X=4)=
，
P(X=5)=
，P(X=6)=
，所以随机变量X的分布列为
X
3
4
5
6
P
备选类型　离散型随机变量的判定(逻辑推理)
【典例】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某教学资源网站一天内的点击量．
(2)你明天上学进入校门的时间．
(3)某市明年下雨的次数．
(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差．
【思路导引】根据随机变量的实际背景，判断随机变量的取值是否可以一一列出，从而判断是否为离散型随机变量．
【解析】(1)某教学资源网站一天内的点击量可以一一列出，是离散型随机变量．
(2)你明天上学进入校门的时间，可以是某区间内任意实数，不能一一列出，不是离散型随机变量．
(3)某市明年下雨的次数可以一一列出，是离散型随机变量．
(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．
离散型随机变量判定的关键及方法
(1)关键：判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出．
(2)具体方法：
①明确随机试验的所有可能结果；
②将随机试验的试验结果数量化；
③确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
给出下列四种变量
(1)某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X.
(2)某人射击2次，击中目标的环数之和记为X.
(3)测量一批电阻，在950
Ω和1
200
Ω之间的阻值记为X.
(4)一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中离散型随机变量的个数是(　　)
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
【解析】选B.(1)某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X，X是离散型随机变量；
(2)某人射击2次，击中目标的环数之和记为X，X是离散型随机变量；
(3)测量一批电阻，阻值在950
Ω～1
200
Ω之间，是连续型随机变量；
(4)一个在数轴上运动的质点，它在数轴上的位置记为X，X不是随机变量．
故离散型随机变量个数是2个．
课堂检测·素养达标
1．随机变量X是某城市1天之中发生的火警次数，随机变量Y是某城市1天之内的温度，随机变量ξ是某火车站1小时内的旅客流动人数．这三个随机变量中不是离散型随机变量的是(　　)
A．X和ξ　　B．只有Y　　C．Y和ξ　　D．只有ξ
【解析】选B.某城市1天之内的温度不能一一列举，故Y不是离散型随机变量．
2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)
A．0
B．
C．
D．
【解析】选B.设P(X＝1)＝p，则P(X＝0)＝1－p.
依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝.
故P(X＝0)＝1－p＝.
3．(2020·福州高二检测)设离散型随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P
1－2q
q2
则q＝(　　)
A．
B．1－
C．1＋
D．1±
【解析】选B.由题意得＋1－2q＋q2＝1，1－2q∈(0，1)，q2∈(0，1)?q＝1－.
4．(2020·南昌高二检测)一袋中装有5个球，编号分别为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(　　)
A．
ξ
1
2
3
P
B.
ξ
1
2
3
4
P
C.
ξ
1
2
3
P
D.
ξ
1
2
3
P
【解析】选C.随机变量ξ的可能值为1，2，3，P(ξ＝1)＝
eq
\f(C,C)
＝，P(ξ＝2)＝
eq
\f(C,C)
＝，P(ξ＝3)＝
eq
\f(C,C)
＝.
5．(教材二次开发：练习改编)设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝，k＝0，1，2，3，则P(ξ＝2)＝________．
【解析】因为所有事件发生的概率之和为1，
即P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，
所以c＋＋＋＝1，所以c＝，所以
P(ξ＝k)＝
，
所以P(ξ＝2)＝.
答案：
PAGE§3　离散型随机变量的均值与方差
3.1　离散型随机变量的均值
必备知识·自主学习
导思
1．怎样求随机变量X的均值？2．均值的性质主要有哪些？
1.离散型随机变量的均值
设离散型随机变量X的分布列如表：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．
(1)数学期望的意义是什么？
提示：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)随机变量的均值与样本平均值有什么区别？
提示：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．
2．均值的性质
(1)如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量，并且有EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b．
(2)对于任意实数a，b，X，Y都是随机变量，一定有E(aX＋bY)＝aEX＋bEY.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化．(　　)
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平．(　　)
(3)若随机变量X的数学期望EX＝2，则E(2X)＝4.(　　)
(4)随机变量X的均值EX＝.(　　)
提示：(1)×.随机变量的数学期望EX是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．
(2)×.随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．
(3)√.由均值的性质可知．
(4)×.因为EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
2．已知某一随机变量ξ的分布列如表所示，若Eξ＝6.3，则a的值为(　　)
ξ
a
7
9
P
b
0.1
0.4
A.4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7
【解析】选A.根据随机变量ξ的分布列的性质，可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5，又Eξ＝ab＋7×0.1＋9×0.4＝6.3.所以a＝4.
3．(教材例题改编)若随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
a
b
a
则X的数学期望EX＝(　　)
A．2a＋b
B．a＋2b
C．2
D．3
【解析】选C.由EX＝X1P(X1)＋X2P(X2)＋…＋XnP(Xn)，
所以EX＝1×a＋2×b＋3×a＝2(2a＋b)，而2a＋b＝1，所以EX＝2.
4．设EX＝10，则E(3X＋5)＝________．
【解析】E(3X＋5)＝3EX＋5＝3×10＋5＝35.
答案：35
5．盒子里有4个球，其中1个红球、1个绿球、2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________；Eξ＝________．
【解析】因为ξ＝0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球、第二次拿红球，所以P(ξ＝0)＝＋×＝，
随机变量ξ＝0，1，2，
P(ξ＝1)＝×＋××＋××＝，
P(ξ＝2)＝1－－＝，
所以Eξ＝0×＋1×＋2×＝1.
答案：　1
关键能力·合作学习
类型一　求离散型随机变量的均值(数学运算)
1．(2021·武汉高二检测)某篮球运动员每次投篮未投中的概率为0.3，投中2分球的概率为0.4，投中3分球的概率为0.3，则该运动员投篮一次得分的数学期望为(　　)
A．1.5　　　　B．1.6　　　　C．1.7　　　　D．1.8
2．已知离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
m
则X的数学期望EX＝(　　)
A．
B．1
C．
D．2
3．某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．
【解析】1.选C.由已知得EX＝0×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝1.7.
2．选B.由＋＋m＋＝1，得m＝，
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
3．X的取值分别为1，2，3，4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
所以李明实际参加考试次数X的分布列为
k
1
2
3
4
P(X＝k)
0.6
0.28
0.096
0.024
所以X的均值为EX＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
求离散型随机变量X的均值的步骤
(1)理解X的实际意义，并写出X的全部取值．
(2)求出X取每个值的概率．
(3)写出X的分布列(有时也可省略).
(4)利用定义公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．
类型二　离散型随机变量均值的性质(逻辑推理、数学运算)
【典例】1.(2021·合肥高二检测)已知随机变量X的分布列如表所示，则E(2X－5)的值等于(　　)
X
1
2
3
4
5
P
0.1
0.2
b
0.2
0.1
A.1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4
2．(2021·太原高二检测)随机变量ξ的分布列如下，且满足Eξ＝2，则E(aξ＋b)的值(　　)
ξ
1
2
3
P
a
b
c
A.等于0
B．等于1
C．等于2
D．无法确定，与a，b有关
【解析】1.选A.由题得0.1＋0.2＋b＋0.2＋0.1＝1，所以b＝0.4，
所以EX＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝3，
所以E(2X－5)＝2EX－5＝2×3－5＝1.
2．选B.由随机变量ξ的分布列得到：a＋2b＋3c＝2，又a＋b＋c＝1，解得a＝c，所以2a＋b＝1，所以E(aξ＋b)＝aEξ＋b＝2a＋b＝1.
aX＋b型的随机变量均值的求法
对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aEX＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．
(2021·天津高二检测)已知离散型随机变量ξ的分布列如下，若随机变量η＝3ξ＋1，则η的数学期望为(　　)
ξ
0
1
2
P
0.4
2k
k
A.3.2　　　B．3.4　　　C．3.6　　　D．3.8
【解析】选B.由题意，根据离散型随机变量的分布列的性质，可得0.4＋2k＋k＝1，解得k＝0.2，所以数学期望为Eξ＝0×0.4＋1×0.4＋2×0.2＝0.8，
又由随机变量η＝3ξ＋1，所以Eη＝3Eξ＋1＝3×0.8＋1＝3.4.
类型三　离散型随机变量均值的实际应用(数据分析)
【典例】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
【思路导引】→→→
【解析】(1)X的所有可能取值为6，2，1，－2.
P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，P(X＝1)＝＝0.1，
P(X＝－2)＝＝0.02.故X的分布列为：
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)EX＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为EX＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29).
依题意，EX≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
概率模型的三个解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士中获胜希望较大的是谁？
【解析】设这次射击比赛战士甲得X1分，战士乙得X2分，则分布列分别如下：
X1
1
2
3
P
0.4
0.1
0.5
X2
1
2
3
P
0.1
0.6
0.3
根据均值公式得EX1＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1；
EX2＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2；
因为EX2＞EX1，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，
所以战士乙获胜的希望较大．
备选类型　利用基本不等式解决与离散型随机变量有关的最值问题(数学运算)
【典例】一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0，1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
【解析】选D.3a＋2b＋0·c＝2，即3a＋2b＝2，所以6ab≤＝1，
因此ab≤，当且仅当3a＝2b时取等号．
本典例中条件不变，求＋的最小值．
【解析】＋＝＝(6＋＋＋)≥＝，当且仅当＝时取等号．
所以＋的最小值为.
先根据数学期望公式得等量关系，再根据基本不等式求最值
课堂检测·素养达标
1．已知Y＝5X＋1，EY＝6，则EX的值为(　　)
A．　　　　B．5　　　　C．1　　　　D．31
【解析】选C.因为EY＝E(5X＋1)＝5EX＋1＝6，所以EX＝1.
2．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则EX为(　　)
A．0.765
B．1.75
C．1.765
D．0.22
【解析】选B.X的取值为0，1，2，所以P(X＝0)＝0.1×0.15＝0.015，
P(X＝1)＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，
EX＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
3．已知0ξ
－1
0
1
P
a
b
A．Eξ增大
B．Eξ减小
C．Eξ先增后减
D．Eξ先减后增
【解析】选B.由题意可知?Eξ＝－＋－a＝－a，
所以当a增大时，ξ的期望Eξ减小．
4．某船队若出海后天气好，可获得5
000元；若出海后天气坏，将损失2
000元；若不出海也要损失1
000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是(　　)
A．2
000元　　B．2
200元　　C．2
400元　　D．2
600元
【解析】选B.出海的期望效益Eξ＝5
000×0.6＋(1－0.6)×(－2
000)
＝3
000－800＝2
200(元).
5．某射手射击所得环数X的分布列如下：
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知X的均值EX＝8.9，则y的值为________．
【解析】由题意得
即解得
答案：0.4
PAGE　　3.2　离散型随机变量的方差　
【必备知识·自主学习】
导思
1.什么是离散型随机变量的方差？2．离散型随机变量的方差与随机变量的波动性之间有何关系？
1.离散型随机变量的方差、标准差
若离散型随机变量X的分布列如表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则(xi－EX)2描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值EX的偏离程度，而DX＝E(X－EX)2＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．称DX为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差，记作σX.
　(1)服从两点分布的随机变量的方差是什么？
提示：若X服从两点分布，则DX＝p(1－p).
　(2)随机变量的方差与样本方差之间有什么关系？
提示：随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．
2．离散型随机变量方差的线性运算性质
设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2DX．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值．(　　)
(2)离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平．(　　)
(3)离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的波动水平．(　　)
(4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　　)
提示：(1)×.因为离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平．
(2)×.因为离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了随机变量偏离于期望的平均程度．
(3)√.由方差的意义可知．
(4)×.离散型随机变量的方差越大，说明随机变量的稳定性越差，方差越小，稳定性越好．
2．若随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，则EX和DX分别为
(　　)
A．0.25　0.5　　　　　　　　
B．0.5　0.75
C．0.5　0.25
D．1　0.75
【解析】选C.EX＝0.5，DX＝0.5×(1－0.5)＝0.25.
3．已知随机变量ξ，Dξ＝，则ξ的标准差为________．
【解析】ξ的标准差＝＝.
答案：
4．(教材练习改编)已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
－1
0
1
P
则ξ的均值为________，方差为________．
【解析】均值Eξ＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝(－1)×＋0×＋1×＝－；方差Dξ＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋(x3－Eξ)2·p3＝.
答案：－　
【关键能力·合作学习】
类型一　求随机变量的方差与标准差(数学运算)
1．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝，i＝1，2，3，则DX等于(　　)
A．　　　B．　　　C．1　　　D．2
2．(2021·连云港高二检测)设随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P
a
则DX等于(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
3．(2021·黄山高二检测)已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
若Eξ＝，则Dξ＝(　　)
A．
B．
C．1
D．
【解析】1.选B.因为P(X＝i)＝，i＝1，2，3，
所以EX＝1×＋2×＋3×＝2，
DX＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(3－2)2＝.
2．选B.由题知：＋a＋＝1，解得a＝.
EX＝0＋＋2×＝，
DX＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝
3．选B.由数学期望计算公式有：－1×＋0×a＋1×b＝－＋b＝，所以b＝，
由＋a＋b＝1可得：a＝1－－b＝，
则Dξ＝(－1－)2×＋(0－)2×＋(1－)2×＝.
求离散型随机变量均值与方差的基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．
(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性质求解．
(3)如果所给随机变量是两点分布，利用它们的均值、方差公式求解．
【补偿训练】
已知X的分布列如下：
X
-1
0
1
P
a
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y=4X+3，求Y的均值和方差.
【解析】(1)由分布列的性质，知++a=1，故a=，从而X2的分布列为
X2
0
1
P
(2)方法一：(直接法)由(1)知a=，所以X的均值EX=(-1)×
故X的方差DX=
方法二：(公式法)由(1)知a=，所以X的均值EX=(-1)×X2的均值EX2=0×，所以X的方差DX=EX2-(EX)2=.
(3)因为Y=4X+3，所以EY=4EX+3=2，DY=42DX=11.
类型二　均值、方差的实际应用(数据分析)
【典例】(2021·哈尔滨高二检测)甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.
【思路导引】(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．
(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的均值，然后再看其方差值．
【解析】(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)由(1)得：
Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；
Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；
Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；
Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于Eξ>Eη，Dξ利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤
1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．
　(2021·泰安高二检测)某投资公司在2021年年初准备将1
000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利40%，也可能亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
【解析】由题意知，项目一：到年底可能获利40%，也可能亏损10%，
且这两种情况发生的概率分别为和，
若按“项目一”投资，设获利ξ1万元，
所以ξ1的分布列为
ξ1
400
－100
P
所以Eξ1＝400×＋(－100)×＝200(万元)；
而项目二：到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，
且这三种情况发生的概率分别为，和，
若按“项目二”投资，设获利ξ2万元，则ξ2的分布列为：
ξ2
500
－300
0
P
所以Eξ2＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)又Dξ1＝(400－200)2×＋(－100－200)2×＝60
000，
Dξ2＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140
000，所以Eξ1＝Eξ2，Dξ1备选类型　均值、方差与函数的综合问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】(2021·临汾高二检测)今年情况特殊，小王在居家自我隔离时对周边的水产养殖产业进行了研究．A，B两个投资项目的利润率分别为投资变量X和Y.根据市场分析，X和Y的分布列分别为
X
5%
10%
P
0.8
0.2
Y
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
(1)若在A，B两个项目上各投资100万元，ξ和η分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差Dξ，Dη；
(2)若在A，B两个项目上共投资200万元，那么如何分配，能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和最小，最小值是多少？
(注：D(aX＋b)＝a2DX)
【思路导引】(1)根据题意列出分布列，运用期望、方差公式计算即可；
(2)设在A、B两个项目上分别投资x万元，(200－x)万元，利润的方差和为f(x)＝D＋D，化简函数即可求出最小值．
【解析】(1)由题知，ξ，η的分布列分别为
ξ
5
10
P
0.8
0.2
η
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
所以Eξ＝5×0.8＋10×0.2＝6，
Dξ＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4.
Eη＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
Dη＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)设在A，B两个项目上分别投资x万元，(200－x)万元，利润的方差和为f(x).
则f(x)＝D＋D＝Dξ＋Dη＝4×＋12×
＝×(4x2－1200x＋120
000)
＝，
可见当x＝150时，f(x)＝12为最小值．
所以，在A，B两个项目分别投资150万元，50万元时，能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和最小，最小值是12.
本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差的计算，考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了学生的运算求解能力．其中利用二次函数配方法是求最值的关键．
　(2021·吉林高二检测)设0ξ
0
1
2
P
A.Dξ减小　　　　　　　　　B．Dξ增大
C．Dξ先减小后增大
D．Dξ先增大后减小
【解析】选D.因为Eξ＝0×＋1×＋2×＝p＋，
所以Dξ＝＋＋
＝－p2＋p＋，
因为∈(0，1)，所以Dξ先增大后减小．
【课堂检测·素养达标】
1．(教材练习改编)已知X的分布列为
X
－1
0
1
P
0.5
0.3
0.2
则DX等于(　　)
A．0.7
B．0.61
C．－0.3
D．0
【解析】选B.EX＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，DX＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.
2．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如表．表中射击比较稳定的运动员是(　　)
环数k
8
9
10
P(ξ＝k)
0.3
0.2
0.5
P(η＝k)
0.2
0.4
0.4
A.甲　　　B．乙　　　C．一样　　　D．无法比较
【解析】选B.Eξ＝9.2，Eη＝9.2，所以Eη＝Eξ，Dξ＝0.76，Dη＝0.563．随机变量X的分布列如表所示，若EX＝－，则D(3X＋1)＝(　　)
X
－1
0
1
p
a
b
A.4
B．5
C．6
D．7
【解析】选B.根据题意，可知：＋a＋b＝1，则a＋b＝，因为EX＝－，即－＋b＝－，解得b＝，所以a＝，所以DX＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝，则D(3X＋1)＝9DX＝9×＝5，所以D(3X＋1)＝5.
4．随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
－1
0
1
P
a
b
若Eξ＝0，则Dξ＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
【解析】选A.因为Eξ＝0，由表中数据可知Eξ＝(－1)×＋0×a＋1×b＝0，解得：b＝.又＋a＋b＝1，b＝，所以a＝.所以Dξ＝(－1－0)2×＋0×＋(1－0)2×＝.
5．随机变量X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝0.2，DX＝0.4，则EX＝________．
【解析】设P(X＝2)＝x，其中0≤x≤0.8，可得出P(X＝1)＝0.8－x，所以EX＝0×0.2＋1×(0.8－x)＋2x＝x＋0.8，DX＝(0－x－0.8)2×0.2＋(1－x－0.8)2×(0.8－x)＋(2－x－0.8)2×x＝0.4，解得x＝0.2(x＝1.2舍去)，因此EX＝0.6＋0.4＝1.
答案：1
PAGE§4　二项分布与超几何分布
4.1　二
项
分
布
【必备知识·自主学习】
导思
1.什么是二项分布？2．如何求二项分布与两点分布的期望与方差？
1.n重伯努利试验
一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验．
　怎样正确理解n重伯努利试验？
提示：(1)n重伯努利试验满足的条件：
第一：每次试验是在同样条件下进行的；
第二：各次试验中的事件是相互独立的；
第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
(2)n重伯努利试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛．
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n).
若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．
　二项分布与两点分布有什么关系？
提示：(1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X＝1)或不发生(X＝0)；二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，…，n次．
(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布．
3．两点分布和二项分布的均值与方差
(1)一般地，若随机变量X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)；
(2)若随机变量X服从参数p的两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p)．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)n重伯努利试验每次试验之间是相互独立的．(　　)
(2)n重伯努利试验每次试验只有发生与不发生两种结果．(　　)
(3)n重伯努利试验各次试验发生的事件是互斥的．(　　)
提示：(1)√.在n重伯努利试验中，试验是“在相同的条件下”进行的，各次试验的结果不会受其他试验结果的影响，彼此相互独立．
(2)√.n重伯努利试验的结果只有两种，即事件要么发生，要么不发生．
(3)×.n重伯努利试验中，各次试验中的事件相互独立，故说试验事件互斥是错误的．
2．(教材例题改编)某学校成立了A，B，C三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习．申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A学习小组的概率是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
【解析】选D.设每位学生申请课外学习小组为一次试验，这是4次独立重复试验，记“申请A学习小组”为事件A，则P(A)＝，由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式可知，恰有2人申请A学习小组的概率是P＝
C＝.
3．已知X～B，则EX，DX的值依次为(　　)
A．3，2
B．2，3
C．6，2
D．2，6
【解析】选A.X～B，则EX＝9×＝3，DX＝9××＝2.
4．姚明在比赛时罚球命中率为90%，则他在3次罚球中罚失1次的概率是________.
【解析】设随机变量X表示“3次罚球，中的次数”，则X～B(3，0.9)，所以他在3次罚球中罚失1次的概率为P(X＝2)＝C0.92×(1－0.9)＝0.243.
答案：0.243
【关键能力·合作学习】
类型一　n重伯努利试验概率的求法(数据分析、数学运算)
1．(2021·武汉高二检测)甲、乙两人进行羽毛球比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用5局3胜制，那么乙以3∶1战胜甲的概率为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
2．(2021·宁波高二检测)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中有放回地随机抽取5次，每次抽取1张，则恰好有2次抽到奇数的概率是(　　)
A．
B．C
C．
D．C
3．(2021·沈阳高二检测)某射击运动员射击一次命中目标的概率为p，已知他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率为，则p为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】1.选B.由乙以3∶1战胜甲，知第四局乙获胜，则乙以3∶1战胜甲的概率P＝C××＝.
2．选B.每次抽到奇数的概率都相等，为，故恰好有2次抽到奇数的概率是C··.
3．选A.因为射击一次命中目标的概率为p，所以射击一次未命中目标的概率为1－p，因为每次射击结果相互独立，所以三次都未命中的概率为(1－p)3，因为连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，所以连续射击三次，至少有一次命中的概率为1－(1－p)3＝，解得p＝.
n重伯努利试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．
(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
类型二　二项分布(数学运算)
【典例】某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立．
(1)求某应聘人员被录用的概率．
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列.
【思路导引】解答本题可根据二项分布的概率计算方法解答，同时注意互斥事件概率公式的应用．
【解析】设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，
则D＝A∪BC，因为P(A)＝×＝，
P(B)＝2××＝，P(C)＝，
所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝.
(2)根据题意，X＝0，1，2，3，4，且X～B(4，)，
Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0，1，2，3，4)，因为P(A0)＝C×
＝，
P(A1)＝C××＝，P(A2)＝C××＝，P(A3)＝C××＝，
P(A4)＝C××＝.所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n).必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
　袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，求取到黑球的个数X的分布列．
【解析】有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0，1，2，3.又每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X～B.
所以P(X＝0)＝C＝，
P(X＝1)＝C＝，
P(X＝2)＝C＝，
P(X＝3)＝C＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
类型三　n重伯努利试验与二项分布综合应用(逻辑推理、数学运算)
角度1　两点分布与二项分布均值与方差
【典例】某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的均值；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值.
【思路导引】(1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望公式求解．
【解析】(1)投篮1次，命中次数X的分布列如表：
X
0
1
P
0.4
0.6
则EX＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，
即Y～B(5，0.6)，则EY＝np＝5×0.6＝3.
　求本例(2)中命中次数Y的方差．
【解析】DY＝np(1－p)＝5×0.6×0.4＝1.2.
角度2　概率与统计的综合应用
【典例】冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战．全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对近期事故暴露出来的问题，强薄弱、补短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定．据此，某网站推出了关于交通道路安全情况的调查，通过调查年龄在[15，65)的人群，数据表明，交通道路安全仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占80%，现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65)，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求这100人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；
(2)现在要从年龄较大的第4，5组中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行问卷调查，求第4组恰好抽到2人的概率；
(3)若从所有参与调查的人(人数很多)中任意选出3人，设其中关注交通道路安全的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
【思路导引】(1)由频率分布直方图能求出a，由此能求出这100人年龄的样本平均数和中位数；
(2)第4，5组抽取的人数分别为6人，2人，设第4组中恰好抽取2人的事件为A，利用排列组合能求出事件A的概率；
(3)从所有参与调查的人中任意选出1人，关注交通道路安全的概率为p＝，X的所有可能取值为0，1，2，3，
X～B，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
【解析】(1)由10×(0.010＋0.015＋a＋0.030＋0.010)＝1，得a＝0.035，平均数为20×0.1＋30×0.15＋40×0.35＋50×0.3＋60×0.1＝41.5岁；
设中位数为x，则10×0.010＋10×0.015＋(x－35)×0.035＝0.5，所以x≈42.1岁．
(2)第4，5组抽取的人数分别为6人，2人．
设第4组中恰好抽到2人的事件为A，则P(A)＝
eq
\f(CC,C)
＝.
(3)从所有参与调查的人中任意选出1人，关注交通道路安全的概率为p＝，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
所以P(X＝0)＝C＝，
P(X＝1)＝C＝，
P(X＝2)＝C＝，
P(X＝3)＝C＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
因为X～B，所以EX＝3×＝.
概率综合问题的求解策略
(1)要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种．
(2)要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式．
(3)选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．
【补偿训练】
(2021·福州高二检测)一款小游戏的规则如下：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分，若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分，若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分(即获得－10分).
(1)设每轮游戏中出现“两个都是红球”的次数为X，求X的分布列；
(2)玩过这款游戏的许多人发现，若干轮游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了，请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．
【解析】(1)每次游戏，出现“两个都是红球”的概率为P＝
eq
\f(C,C)
＝.X可能的取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝C＝，
P(X＝1)＝C×＝，
P(X＝2)＝C×＝，
P(X＝3)＝C＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)设每轮游戏得分为Y.
由(1)知，Y的分布列为
Y
－10
20
200
P
Y的数学期望为EY＝－10×＋20×＋200×＝－1.69.
这表明，获得分数Y的期望为负．因此，多次游戏之后大多数人的分数减少了．
备选类型　概率的实际应用(数学建模)
【典例】习总书记在十九大报告中提出乡村振兴战略，厦门市政府贯彻落实实施这一战略，形成了“一村一品一业”的新格局．同安区郭山村是全国科教兴村计划试点村，也是厦门市第一批科技示范村，全村从事以紫长茄为主的蔬菜种植，受种植条件、管理水平、市场等因素影响，每年紫长茄的平均亩产量和统一收购价格会有波动，亩产量与收购价格互不影响．根据以往资料预测，该村紫长茄今年的平均亩产量X(单位：吨)的分布列如表：
X
10
12
P
0.5
0.5
紫长茄今年的平均统一收购价格Y(单位：万元/吨)的分布列如表：
Y
0.5
0.6
P
0.8
0.2
(1)某农户种植三个大棚紫长茄，每个大棚1亩，每个大棚产量相互独立，求这三个大棚今年总产量不低于34吨的概率；
(2)紫长茄今年每亩种植成本约1.5万元，设Z表示该村紫长茄今年平均每亩的利润(单位：万元)，求Z的分布列和数学期望．
【思路导引】(1)先判断随机变量服从二项分布，再根据二项分布概率公式求结果；
(2)先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列分布列表，最后根据数学期望公式得结果．
【解析】(1)设事件A表示一个大棚亩产量为12吨，事件A发生的次数为ξ，因为每个大棚产量相互独立，
所以ξ～B(3，0.5)，这三个大棚总产量不低于34吨的概率P＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝C×0.52×(1－0.5)＋C×0.53＝0.5.
(2)设事件B表示亩产量为10吨，事件C表示市场价格为0.5万元/吨，则P(B)＝0.5，P(C)＝0.8，每亩利润Z的所有可能取值为10×0.5－1.5＝3.5，10×0.6－1.5＝12×0.5－1.5＝4.5，12×0.6－1.5＝5.7，
P(Z＝3.5)＝P(B)P(C)＝0.5×0.8＝0.4，
P(Z＝4.5)＝P(B)P()＋P()P(C)＝0.5×0.2＋0.5×0.8＝0.5，
P(Z＝5.7)＝P()P()＝0.5×0.2＝0.1，
所以Z的分布列为
Z
3.5
4.5
5.7
P
0.4
0.5
0.1
利润Z的数学期望EZ＝3.5×0.4＋4.5×0.5＋5.7×0.1＝4.22(万元).
　本题主要考查独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识．熟记各种模型的概率公式及均值公式是解题的关键．
　“一带一路”近年来成为了人们耳熟能详的热门词汇，对于旅游业来说，“一带一路”倡议的提出，让“丝路之旅”超越了旅游产品、旅游线路的简单范畴，赋予了旅游促进跨区域融合的新理念.
而其带来的设施互通、经济合作、人员往来、文化交融更是将为相关区域旅游发展带来巨大的发展机遇．为此，旅游企业们积极拓展相关线路；各地旅游主管部门也在大力打造丝路特色旅游品牌和服务．某市旅游局为了解游客的情况，以便制定相应的策略.
在某月中随机抽取甲、乙两个景点10天的游客人数，统计得到茎叶图如图：
(1)若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据，以每天游客人数频率作为概率．今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过130人的天数为ξ，求概率P(ξ≤2)；
(2)现从图中20天的数据中任取2天的数据(甲、乙两景点中各取1天)，记其中游客数不低于125人且不高于135人的天数为η，求η的分布列和数学期望．
【解析】(1)由题意知，景点甲的每一天的游客数超过130人的概率为＝.
任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有ξ次发生，则随机变量ξ服从二项分布ξ～B，
所以P(ξ≤2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝C＋C＋C＝.
(2)从图中看出，景点甲的数据中符合条件的只有1天，景点乙的数据中符合条件的有4天，所以在景点甲中被选出的概率为，在景点乙中被选出的概率为.由题意知η的所有可能的取值为0，1，2，则P(η＝0)＝×＝；P(η＝1)＝×＋×＝；
P(η＝2)＝×＝.
所以η的分布列为
η
0
1
2
P
所以Eη＝0×＋1×＋2×＝.
【课堂检测·素养达标】
1．已知X～B(6，0.6)，则EX＝(　　)
A．0.6　　　B．3.6　　　C．2.16　　　D．0.216
【解析】选B.因为X～B(6，0.6)，所以EX＝6×0.6＝3.6.
2．同时抛掷三枚硬币，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.每枚硬币正面向上的概率都等于，故恰好有两枚正面向上的概率为C·＝.
3．某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次(各次测试互不影响)，那么其中恰有1次通过的概率是(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选C.因为某人通过普通话二级测试的概率是，他连续测试3次，所以其中恰有1次通过的概率是P＝
C＝.
4．已知X～B，则P＝(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选C.P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝
C＋C＝.
5．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为________．
【解析】每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A片区房源记为A，则P(A)＝，所以恰有2人申请A片区的概率为C··
＝.
答案：
PAGE4．2　超几何分布
【必备知识·自主学习】
导思
1.什么是超几何分布？2．如何求超几何分布的均值？
1.超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝
eq
\f(CC,C)
，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}，其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.
若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布．
　如何正确理解超几何分布？
提示：在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等．
(1)在应用超几何分布解题时，应首先明确随机变量的取值是否满足超几何分布的使用范围．
(2)在产品抽样中，一般采用不放回抽样．
2．超几何分布的均值
一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从超几何分布．(　　)
(2)某贫困县辖15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便．现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，则P(X＝4)的概率为
eq
\f(CC,C)
.(　　)
(3)有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品件数的数学期望值是.(　　)
提示：(1)√.X的可能取值为0，1，2，3，可求得P(X＝k)＝
eq
\f(CC,C)
(k＝0，1，2，3)，是超几何分布．
(2)√.X服从超几何分布，因为有6个小镇交通不太方便，所以从6个不方便小镇中取4个，P(X＝4)＝
eq
\f(CC,C)
.
(3)×.设抽到的次品件数为随机变量ξ，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，则ξ服从超几何分布，所以Eξ＝n·.
2．有8件产品，其中3件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的件数，则P(X≤1)＝(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.根据题意P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝
eq
\f(C,C)
＋
eq
\f(CC,C)
＝＋＝.
3．(教材例题改编)在含有3件次品的20件产品中，任取2件，则取到的次品数恰有1件的概率是________．
【解析】由题意得：20件产品中，有3件次品，17件正品，故任取2件，恰有1件是次品的概率P＝
eq
\f(CC,C)
＝＝.
答案：
【关键能力·合作学习】
类型一　超几何分布(数学运算)
【典例】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
【思路导引】(1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～N(0，1).(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1，2)服从超几何分布．
【解析】(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝
eq
\f(C,C)
＝＝，
则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
因此X的分布列为
X
0
1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：
抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝
eq
\f(CC＋CC,C)
＝＝.
②Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，
且P(Y＝0)＝
eq
\f(CC,C)
＝＝，P(Y＝10)＝
eq
\f(CC,C)
＝＝，
P(Y＝20)＝
eq
\f(CC,C)
＝＝，P(Y＝50)＝
eq
\f(CC,C)
＝＝，
P(Y＝60)＝
eq
\f(CC,C)
＝＝.
因此随机变量Y的分布列为
Y
0
10
20
50
60
P
解决超几何分布问题的两个关键点
　(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．
　老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布列；
(2)他能及格的概率．
【解析】(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，
则P(X＝r)＝
eq
\f(CC,C)
(r＝0，1，2，3).
所以P(X＝0)＝
eq
\f(CC,C)
＝，P(X＝1)＝
eq
\f(CC,C)
＝，
P(X＝2)＝
eq
\f(CC,C)
＝，P(X＝3)＝
eq
\f(CC,C)
＝.
所以X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)他能及格的概率P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
类型二　超几何分布的均值(数学运算)
【典例】甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选．
(1)求甲恰有2个题目答对的概率；
(2)求乙答对的题目数X的分布列；
(3)试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由．
【思路导引】(1)根据二项分布概率计算公式，计算出所求概率．
(2)利用超几何分布的分布列计算公式，计算出分布列．
(3)由(2)计算出乙平均答对题目数的期望值．利用二项分布期望计算公式，计算出甲平均答对题目数的期望值．由此得到两人平均答对的题目数的大小相等．
【解析】(1)因为甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是，
所以选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率
P＝C＝.
(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，
P(X＝2)＝
eq
\f(CC,C)
＝＝，
P(X＝3)＝
eq
\f(CC,C)
＝＝，
P(X＝4)＝
eq
\f(C,C)
＝＝，X的分布列为：
X
2
3
4
P
(3)因为乙平均答对的题目数EX＝2×＋3×＋4×＝，
甲答对题目Y～B，
甲平均答对的题目数EY＝4×＝.
因为EX＝EY
所以甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数．
超几何分布均值的求法
(1)利用超几何分布的均值公式求解；
(2)列出相应的概率分布列，根据均值公式求解．
【补偿训练】
　从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X表示所选3人中女生的人数，则EX为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】选B.由题意，X的可能取值为0，1，2，
由题中数据可得P(X＝0)＝
eq
\f(C,C)
＝＝＝，
P(X＝1)＝
eq
\f(CC,C)
＝＝＝，
P(X＝2)＝
eq
\f(CC,C)
＝＝＝，
所以EX＝0×＋1×＋2×＝1.
备选类型　概率统计的综合应用(逻辑推理)
【典例】(2021·北京高二检测)为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动．为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试．下表是高二年级的5名学生的测试数据(单位：个/分钟)：
学生编号
1
2
3
4
5
跳绳个数
179
181
168
177
183
踢毽个数
85
78
79
72
80
(1)求高一、高二两个年级各有多少人？
(2)设某学生跳绳m个/分钟，踢毽n个/分钟．当m≥175，且n≥75时，称该学生为“运动达人”．
①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；
②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望．
【思路导引】(1)按照比例求解即可；
(2)①根据题意找出高二学生中“运动达人”的人数，根据概率公式即可求解；
②找出ξ可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到ξ的期望．
【解析】(1)设高一年级有a人，高二年级有b人．
采用分层抽样，有＝，＝.
所以高一年级有196人，高二年级有140人．
(2)①由表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”．
故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为.
②ξ的所有可能取值为1，2，3.
P(ξ＝1)＝
eq
\f(CC,C)
＝，
P(ξ＝2)＝
eq
\f(CC,C)
＝，
P(ξ＝3)＝
eq
\f(C,C)
＝.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
故ξ的期望Eξ＝1×＋2×＋3×＝.
超几何分布应用范围
　超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N－M个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题．
【课堂检测·素养达标】
1．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为(　　)
A．1－
eq
\f(C,C)
B．
eq
\f(CC＋CC,C)
C．
eq
\f(C,C)
D．
eq
\f(CC,C)
【解析】选D.由超几何分布概率公式可知，所求概率为
eq
\f(CC,C)
.
2．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取出产品中无次品的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.依题意可知，产品总数为13＋2＝15件，由超几何分布概率计算公式得取出产品中无次品的概率为
eq
\f(C,C)
＝＝＝.
3．袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，则Eξ等于(　　)
A．4
B．4.5
C．4.75
D．5
【解析】选B.因为袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，
所以ξ的可能取值为3，4，5，
P(ξ＝3)＝
eq
\f(C,C)
＝，
P(ξ＝4)＝
eq
\f(CC,C)
＝，
P(ξ＝5)＝
eq
\f(CC,C)
＝，
所以Eξ＝3×＋4×＋5×＝4.5.
4．一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是________；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望EX＝________．
【解析】一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．
现从中任意取出3个小球，
基本事件总数n＝C＝10，
其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数m＝CC＝3，所以其中恰有2个小球颜色相同的概率是p＝＝；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝
eq
\f(C,C)
＝，
P(X＝1)＝
eq
\f(CC,C)
＝，
P(X＝2)＝
eq
\f(CC,C)
＝，
所以数学期望EX＝0×＋1×＋2×＝.
答案：　
PAGE§5　正
态
分
布
【必备知识·自主学习】
导思
1.什么叫正态曲线与正态分布？2．正态曲线的性质有哪些？
1.正态曲线
φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
如果随机变量X服从正态分布，且其总体密度曲线对应的函数是φ(x)＝
(x∈R)，那么EX等于多少？
提示：2
2．正态分布
(1)正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，因此也称为误差模型．
(2)如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ>0)确定，记为X～N(μ，σ2).其中EX＝μ，DX＝σ2.
3．正态曲线的特点
(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称；
(3)曲线的最高点位于x＝μ处；
(4)当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．
P(X≥μ)和P(X≤μ)有什么关系？各等于多少？
提示：P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5
4．3σ原则
(1)正态分布在三个特殊区间内取值的概率：
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ(2)通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为3σ原则．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)正态分布变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　　)
(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．(　　)
(3)正态曲线是一条钟形曲线．(　　)
提示：(1)×.因为正态分布变量函数表达式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．
(2)√.因为离散型随机变量最多取可列出的不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．
(3)√.由正态分布曲线的形状可知该说法正确．
2．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体均值为(　　)
A．1
B．－1
C．0
D．不确定
【解析】选C.由正态曲线性质知均值为0.
3．某年级有100名学生，一次数学测试成绩ξ～N(105，102)，P(95≤ξ≤105)＝0.34，则该年级学生数学成绩在115分以上的人数大约为________．
【解析】由于ξ满足正态分布，
故P(ξ>115)＝＝＝0.16
所以人数大约为100×0.16＝16.
答案：16
【关键能力·合作学习】
类型一　正态曲线及其性质(直观想象)
【典例】某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的分布密度曲线如图所示(由于人数众多，可视为正态分布)，则由如图所示曲线可得下列说法中正确的一项是(　　)
A.甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同
【思路导引】观察图象结合正态曲线的性质进行判断．
【解析】选A.由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．
利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.
(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦．
　(2021·郑州高二检测)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是(　　)
A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4
kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从正态分布的参数σ2＝1.99
【解析】选D.由图象可知，甲类水果的平均质量μ1＝0.4
kg，乙类水果的平均质量μ2＝0.8
kg，故A，B，C正确；乙类水果的质量服从的正态分布，＝1.99，所以σ2≠1.99，故D不正确．
类型二　正态分布下的概率计算(数学运算)
1．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(　　)
A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2
2．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，4)，求正态总体X在(－1，1)内取值的概率．
3．设随机变量X～N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X(1)求c的值；
(2)求P(－4【解析】1.选C.因为随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，
所以μ＝2，对称轴是x＝2.
因为P(ξ<4)＝0.8，
所以P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，
所以P(0<ξ<4)＝0.6，
所以P(0<ξ<2)＝0.3.
2．由题意得μ＝1，σ＝2，
所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)≈0.682
6.
又因为正态曲线关于x＝1对称，
所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X≤3)＝P(－1＜X≤3)＝0.341
3.
3．(1)由X～N(2，9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X>c＋1)＝P(X所以c＝2.
(2)P(－44.
正态变量在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
(2)注意概率值的求解转化：
①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
②P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)；
③若b＜μ，则P(X＜b)＝.
(3)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．
类型三　正态分布的实际应用(数学运算)
【典例】设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分及以上)的人数和130分及以上的人数．
【思路导引】将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.682
6＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．
【解析】μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，
因为P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682
6＝1，
所以P(X－μ≤－σ)＝0.158
7，
所以P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.158
7＝0.841
3.
所以54×0.841
3≈45(人)，即及格人数约为45人．
因为P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，
所以P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝0.682
6＋2P(X－μ≥σ)＝1，
所以P(X－μ≥σ)＝0.158
7，
即P(X≥130)＝0.158
7.
所以54×0.158
7≈9(人)，
即130分及以上的人数约为9人．
　如果把题设条件“这个班的学生共54人”换成“现已知该班同学中不及格的人数有9人”，求相应结论．
【解析】因为X～N(110，202)，所以μ＝110，σ＝20，
所以P(110－20＜X≤110＋20)≈0.682
6，
所以X＜90的概率为×(1－0.682
6)＝0.158
7.
设该班学生共有x人，则0.158
7x＝9，
即x≈57(人)，所以P(X≥90)＝1－0.158
7＝0.841
3，
所以这个班这次数学考试中及格的人数为0.841
3×57≈48(人)，
又P(X≤90)＝P(X≥130)，
所以130分及以上的人数有9人．
正态分布的实际应用题的求解策略
　解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
【补偿训练】
　在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布，即X～N(90，100).
(1)试求考试成绩X位于区间(70，110)上的概率是多少？
(2)若这次考试共有2
000名学生，试估计考试成绩在(70，110)间的考生大约有多少人？
【解析】因为X～N(90，100)
所以μ＝90，σ＝＝10.
(1)由于X在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954
4，
又该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，
于是考试成绩X位于区间(70，110)内的概率就是0.954
4.
(2)由(1)知P(704，
所以估计成绩在(70，110)间的考生大约为2
000×0.954
4≈1
909(人).
备选类型　正态分布与概率的综合问题(数学运算)
【典例】(2021·潍坊高二检测)有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量(均在1至11
kg)频数分布表如下(单位：kg)：
分组
[1，3)
[3，5)
[5，7)
[7，9)
[9，11]
频数
10
30
40
15
5
以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率．
(1)由种植经验认为，种植园内的水果质量X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2≈4.请估计该种植园内水果质量在(5.5，9.5)内的百分比；
(2)现在从质量为[1，3)，[3，5)，[5，7)的三组水果中，用分层随机抽样方法抽取8个水果，再从这8个水果中随机抽取2个．若水果质量在[1，3)，[3，5)，[5，7)的水果每销售一个所获得的利润分别为2元，4元，6元，记随机抽取的2个水果总利润为Y元，求Y的分布列和数学期望．
附：若ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682
6，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954
4.
【思路导引】第(1)问先求平均值，再分析数据所在范围，求正态分布概率；
第(2)问由分层随机抽样求出抽取的样本，再确定总利润Y的取值，求出对应的概率即可．
【解析】(1)＝(2×10＋4×30＋6×40＋8×15＋10×5)＝5.5，
由正态分布知，P(5.54＝0.477
2.该种植园内水果质量在(5.5，9.5)内的百分比为47.72%.
(2)由题意知，从质量为[1，3)，[3，5)，[5，7)的三组水果中抽取的个数分别为1，3，4，Y的取值为6，8，10，12.
则P(Y＝6)＝
eq
\f(CC,C)
＝；
P(Y＝8)＝
eq
\f(C＋CC,C)
＝＝；
P(Y＝10)＝
eq
\f(CC,C)
＝＝；
P(Y＝12)＝
eq
\f(C,C)
＝＝.
所以Y的分布列为
Y
6
8
10
12
P
EY＝6×＋8×＋10×＋12×＝＝9.5.
　本题主要考查正态分布及随机变量的分布列和数学期望．本题有两个易错点，一是正态分布的三个概率公式中数据的范围是由平均值与标准差确定，注意不是方差；二是列分布列时应全面考虑，把所有可能情况都列出来，再求出对应的概率．
　某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2
000名．其评估成绩Z近似地服从正态分布N(μ，σ2).现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了频率分布直方图：
(1)求样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加A、B、C三家公司的面试．
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值．请利用估计值判断这2
000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数．
附：≈12.7若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)≈0.682
6，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)≈0.954
4.
【解析】(1)由所得数据绘制的频率直方图，得：
样本平均数＝45×0.05＋55×0.18＋65×0.28＋75×0.26＋85×0.17＋95×0.06＝70；
样本方差s2＝(45－70)2×0.05＋(55－70)2×0.18＋(65－70)2×0.28＋(75－70)2×0.26＋(85－70)2×0.17＋(95－70)2×0.06＝161；
(2)由(1)可知，＝70，2＝161，故评估成绩Z服从正态分布N(70，161)，所以P(Z>82.7)＝P(Z>＋)＝＝0.158
7，在这2
000名毕业生中，能参加三家公司面试的估计有2
000×0.158
7≈317人．
【课堂检测·素养达标】
1．设随机变量X的正态密度函数为f(x)＝·，x∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是(　　)
A．3，2
B．－3，2
C．3，
D．－3，
【解析】选D.由正态密度函数表达式知μ＝－3，σ＝.
2．设随机变量X～N(3，1)，若P(X>4)＝p，则P(2A．＋p
B．1－p
C．1－2p
D．－p
【解析】选C.由X～N(3，1)得μ＝3，
所以P(3即P(23．(教材练习改编)设随机变量X～N(3，1.52)，P(X≤4)＝0.7，则P(X≤2)＝
(　　)
A．0.3
B．0.4
C．0.2
D．0.1
【解析】选A.由于P(X≤4)＝0.7，故P(X≥4)＝0.3则P(X≤2)＝P(X≥4)＝0.3.
4．设X～N，则P(－1＜X≤1)＝________．
【解析】因为X～N，
所以μ＝0，σ＝，
所以P(－1＜X≤1)＝P(0－2σ＜X≤0＋2σ)＝0.954
4.
答案：0.954
4
5．某校1
000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N(90，σ2).若分数在(70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70的人数为________．
【解析】由题意可知正态分布N(90，σ2)的对称轴为x＝90，据此可估计这次考试分数不超过70的人数为：1
000×＝150.
答案：150
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