资源简介

第七章　统
计
案
例
§1　一元线性回归
必备知识·自主学习
导思
1.什么是散点图？2．如何求线性回归方程？
1.散点图
每个点对应的一对数据(xi，yi)，称为成对数据．这些点构成的图称为散点图．
任意两个统计数据是否均可以画出散点图？
提示：可以，不管这两个统计量是否具备相关性，以一个变量值作为横坐标，另一个作为纵坐标，均可画出它的散点图．
2．曲线拟合
从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述．这样近似描述的过程称为曲线拟合．若在两个变量X和Y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合．
3．最小二乘法
对于给定的两个变量X和Y，可以把其成对的观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示为平面直角坐标系中的n个点．现在希望找到一条直线Y＝a＋bX，使得对每一个xi(i＝1，2，…，n)，由这个直线方程计算出来的值a＋bxi与实际观测值yi的差异尽可能小．为此，希望[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到最小．换句话说，我们希望a，b的取值能使上式达到最小，这个方法称为最小二乘法．
4．一元线性回归方程
直线方程Y＝＋X称作Y关于X的线性回归方程，相应的直线称作Y关于X的回归直线，，是这个线性回归方程的系数．
＝
eq
\f(x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n\x\to(x)\x\to(
y),x＋x＋…＋x－n\x\to(x)2)
＝－
其中＝i，＝i.
任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗？
提示：用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的回归方程是无意义的．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)回归直线方程中，由x的值得出的y值是准确值．(　　)
(2)回归直线方程一定过点(，).(　　)
(3)回归直线方程一定过样本中的某一个点．(　　)
(4)选取一组数据中的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程是同一个方程．(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．已知X，Y的对应值表为：
X
0
1
3
4
5
6
Y
y1
y2
y3
y4
y5
y6
且X，Y线性相关，由于表格污损，Y的对应值看不到了，若i＝19.2，且线性回归直线方程为Y＝0.6X＋，则X＝8时，Y的预报值为(　　)
A．6.1
B．22.1
C．12.6
D．3.5
【解析】选A.由表格知＝，
因为i＝19.2，
所以＝3.2，代入Y＝0.6X＋得3.2＝0.6×＋，
所以＝1.3，
则回归方程为Y＝0.6X＋1.3，
当X＝8时，Y＝0.6×8＋1.3＝6.1.
3．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为y＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．
【解析】令两人的总成绩分别为x1，x2，
则对应的数学成绩估计为y1＝6＋0.4x1，y2＝6＋0.4x2，
所以|y1－y2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.
答案：20
关键能力·合作学习
类型一　散点图(直观想象)
【典例】5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：
A
B
C
D
E
数学成绩
80
75
70
65
60
物理成绩
70
66
68
64
62
判断它们是否具有线性相关关系．
【思路导引】结合题中数据画出散点图直观判断．
【解析】以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示．
由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系．
线性相关关系的判断方法
(1)判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
(2)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．
　某男孩的年龄与身高的统计数据如下．
年龄(岁)
1
2
3
4
5
6
身高(cm)
78
87
98
108
115
120
画出散点图，并判断它们是否有相关关系？
【解析】散点图如图：
由图可见，具有线性相关关系．
类型二　求回归直线方程(数学运算)
【典例】一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：
零件数X(个)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间Y(分)
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
(1)Y与X是否具有线性相关关系？
(2)如果Y与X具有线性相关关系，求Y关于X的回归直线方程．
【思路导引】―→―→―→
【解析】(1)画散点图如下：
由上图可知Y与X具有线性相关关系．
(2)列表、计算：
＝
eq
\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(
y),\i\su(i＝1,10,x)－10\x\to(x)2)
＝≈0.668，
＝－＝91.7－0.668×55＝54.96.
即所求的回归直线方程为：Y＝0.668X＋54.96.
1．求回归直线方程的一般步骤
(1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)(数据一般由题目给出).
(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．
(3)把数据制成表格，计算出x，xiyi.
(4)计算，，，iyi.
(5)代入公式计算，，
公式为
eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(
y),\i\su(i＝1,n,x)－n\x\to(x)2)，,＝\x\to(y)－\x\to(x)．))
(6)写出回归直线方程Y＝bX＋a.
2．回归直线方程必过点(，).
某种产品的广告费支出X(单位：百万元)与销售额Y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
X
2
4
5
6
8
Y
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；
(2)求回归方程．
【解析】(1)散点图如图所示．
(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算．
于是可得，＝
eq
\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)－5\x\to(x)2)
＝＝6.5，
＝－＝50－6.5×5＝17.5.
于是所求的回归方程是Y＝6.5X＋17.5.
课堂检测·素养达标
1．下面是四个散点图中的点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是(　　)
【解析】选C.散点图A中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；B中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；C中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；D中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系．
2．设一个回归方程Y＝3＋1.2X，则变量X增加一个单位时(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．Y平均增加1.2个单位
B．Y平均增加3个单位
C．Y平均减少1.2个单位
D．Y平均减少3个单位
【解析】选A.由＝1.2>0可知Y平均增加1.2个单位．
3．已知变量X与Y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　)
A．Y＝0.4X＋2.3
B．Y＝2X－2.4
C．Y＝－2X＋9.5
D．Y＝－0.3X＋4.4
【解析】选A.因为变量X与Y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为点(，)在回归直线上，把点(3，3.5)的坐标分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B.
4．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱．戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[40，44]，[45，49]，[50，54]，[55，59]的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30.现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[40，44].由此求得爱看人数比Y关于年龄段X的线性回归方程为Y＝kX－0.418
8.那么，年龄在[60，64]的爱看人数比为(　　)
A．0.42
B．0.39
C．0.37
D．0.35
【解析】选D.由题意，对数据进行处理，得出表格：
年龄段X
42
47
52
57
爱看人数比Y
0.10
0.18
0.20
0.30
求得＝49.5，＝0.195，因点(，)过线性回归方程，将(，)代入Y＝kX－0.418
8，得k＝0.012
4，
即Y＝0.012
4X－0.418
8，年龄在[60，64]对应的X为62，将X＝62代入Y＝0.012
4X－0.418
8得：Y＝0.012
4×62－0.418
8＝0.35，对应的爱看人数比为：0.35.
5．(教材二次开发：练习改编)正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重Y(kg)对身高X(cm)的回归方程为Y＝0.72X－58.2，张明同学(20岁)身高178
cm，他的体重应该在__________kg左右．
【解析】用回归方程对身高为178
cm的人的体重进行预测，当X＝178时，Y＝0.72×178－58.2＝69.96(kg).
答案：69.96
PAGE§2　成对数据的线性相关性
必备知识·自主学习
导思
1.什么叫样本的线性相关系数？2．相关系数的大小与线性相关之间有怎样的联系？
　相关系数
一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，记r＝，称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数．
为了计算方便，我们再给出如下式子：
r＝．
相关系数有哪些性质？
提示：1.样本(线性)相关系数r的取值范围为[－1，1].
2．|r|值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；|r|值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱．
3．当r>0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相同，此时两个随机变量正相关；
当r<0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相反，此时两个随机变量负相关；
当r＝0时，此时称两个随机变量线性不相关．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)求线性回归方程前可以不进行相关性检验．(　　)
(2)相关系数为0时，两个变量的相关性最强．(　　)
(3)相关系数的取值范围为[0，1].(　　)
提示：(1)×.因为如果两个变量之间不具有线性相关关系，就不用求线性回归方程了，求出的回归直线方程当然也不能很好地反映两变量之间的关系．
(2)×.当相关系数r＝0时，两个随机变量不线性相关．
(3)×.相关系数r的取值范围为[－1，1].
2．为了比较甲、乙、丙三组数据的线性相关性的强弱，小郑分别计算了甲、乙、丙三组数据的线性相关系数，其数值分别为0.939，0.937，0.948，则(　　)
A．甲组数据的线性相关性最强，乙组数据的线性相关性最弱
B．乙组数据的线性相关性最强，丙组数据的线性相关性最弱
C．丙组数据的线性相关性最强，甲组数据的线性相关性最弱
D．丙组数据的线性相关性最强，乙组数据的线性相关性最弱
【解析】选D.因为线性相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，所以丙组数据的线性相关性最强，乙组数据的线性相关性最弱．
3．已知数据点(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)在一条直线上，则相关系数r＝________．
【解析】由题意知，相关系数r＝±1.
答案：±1
关键能力·合作学习
类型一　相关关系的判断(逻辑推理)
　1.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)
A．－1
B．0
C．
D．1
2．(2020·西安高二检测)变量y与x的回归模型中，它们对应的相关系数r的值如下，其中拟合效果最好的模型是(　　)
模型
1
2
3
4
r
0.48
0.15
0.96
0.30
A.模型1
B．模型2
C．模型3
D．模型4
3．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(　　)
A．r2＜r1＜0
B．0＜r2＜r1
C．r2＜0＜r1
D．r2＝r1
【解析】1.选D.所有点均在直线y＝x＋1上且斜率大于0，则样本相关系数为1.
2．选C.线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大；越小，相关程度越小，因为模型3的|r|最大，所以模拟效果最好．
3．选C.对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X呈正相关，即r1＞0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U呈负相关，即r2＜0.
判定两个变量正、负相关性的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
(2)相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关．
(3)线性回归方程中：当>0时，正相关；当<0时，负相关．
类型二　相关系数的综合应用(数学运算)
【典例】(2021·南昌高二检测)随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，如表是某购物网站2018年1－8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
促销费用x
2
3
6
10
13
21
15
18
产品销量y
1
1
2
3
3.5
5
4
4.5
(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型y与x的关系，请用相关系数r加以说明(系数精确到0.001)；
(2)建立y关于x的线性回归方程＝x＋(系数精确到0.001)；如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需要投入促销费用多少万元(结果精确到0.01).
参考数据：=74.5，=340，=16.5，≈18.44，≈4.06，其中xi，yi分别为第i个月的促销费用和产品销量，i=1，2，3，…，8.
参考公式：①样本(i=1，2，…，n)相关系数r=；
②对于一组数据，，…，，其回归方程=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=-.
【思路导引】(1)根据数据绘制散点图，从散点图看出这些点是否大致分布在一条直线附近即可；计算，，求出相关系数，判断两变量线性相关性的强弱；
(2)计算求出回归方程，利用方程求出对应x的取值范围即可．
【解析】(1)根据数据绘制散点图如图，
从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系；计算＝×(2＋3＋6＋10＋13＋21＋15＋18)＝11，＝×(1＋1＋2＋3＋3.5＋5＋4＋4.5)＝3，
所以相关系数r＝＝＝≈0.995，因为相关系数的值接近于1，所以变量y与x的线性相关性很强；
(2)计算＝＝≈0.219，
＝－＝3－0.219×11＝0.591，
所以y关于x的回归方程为＝0.219x＋0.591.
令＝0.219x＋0.591≥6，解得x≥24.70，
即实现产品销量超6万件，预测至少需要投入促销费用24.70万元．
线性回归分析的关注点
(1)回归直线＝x＋必过样本点的中心(，).
(2)正确运用计算，的公式和准确地计算，是求线性回归方程的关键．
(3)分析两变量的相关关系，可由散点图或相关系数公式作出判断，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．
(2021·成都高二检测)某中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x)和物理成绩(y)，绘制成如图散点图：
根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B.经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：xi=4
620，yi=3
108，xiyi=350
350，=16
940，=5
250，其中xi，yi分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i＝1，2，3，…，42，y与x的相关系数r＝0.82.
(1)若不剔除A，B两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为r0.试判断r0与r的大小关系(不必说理由)；
(2)求y关于x的线性回归方程，并估计如果B考生参加了这次物理考试(已知B考生的数学成绩为125分)，物理成绩是多少？
附：回归方程=+x中==，＝－.
【解析】(1)由题意y与x成正相关关系，异常点A，B会降低变量之间的线性相关程度，所以r0(2)由题中数据可得=xi=110，=yi=74，所以
=xiyi-42·＝350
350－42×110×74＝8
470.
又因为＝16
940，
所以＝＝＝0.5，＝－＝74－0.5×110＝19，所以＝0.5x＋19，将x＝125代入，得y＝81.5，所以估计B同学的物理成绩为81.5分．
课堂检测·素养达标
1．在一组数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若这组样本数据的相关系数为－1，则所有的样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)满足的方程可以是(　　)
A．y＝－x＋1
B．y＝x－1
C．y＝x＋1
D．y＝－x2
【解析】选A.若这组样本数据的相关系数为－1，则样本数据为线性相关，排除D，又相关系数为－1，所以样本数据为负相关，排除B，C(B，C为正相关).
2．对于相关系数r，下列描述正确的是(　　)
A．r>0表明两个变量线性相关性很强
B．r<0表明两个变量无关
C．越接近1，表明两个变量线性相关性越强
D．r越小，表明两个变量线性相关性越弱
【解析】选C.相关系数r为正，两个变量呈正相关，r为负，两个变量呈负相关；越接近1，表明两个变量线性相关性越强；越接近0，表明两个变量线性相关性越弱，所以只有C正确．
3．变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的样本相关系数r最接近的值为(　　)
A.1
B．－0.5
C．0
D．0.5
【解析】选C.根据变量x，y的散点图，得x，y之间的样本相关关系非常不明显，所以相关系数r最接近的值应为0.
4．第一组样本点为(－5，－8.9)，(－4，－7.2)，(－3，－4.8)，(－2，－3.3)，(－1，－0.9)，第二组样本点为(1，8.9)，(2，7.2)，(3，4.8)，(4，3.3)，(5，0.9)，第一组变量的线性相关系数为r1，第二组变量的线性相关系数为r2，则(　　)
A．r1＞0＞r2
B．r2＞0＞r1
C．r1＜r2＜0
D．r2＞r1＞0
【解析】选A.根据题意，第一组样本点为(－5，－8.9)，(－4，－7.2)，
(－3，－4.8)，(－2，－3.3)，(－1，－0.9)，可得：两个变量之间具有正相关关系，因此r1＞0；第二组样本点为(1，8.9)，(2，7.2)，(3，4.8)，(4，3.3)，(5，0.9)，可得：两个变量之间具有负相关关系，因此r2＜0，故r1＞0＞r2.
5．如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是________．
【解析】由于点E到回归直线的距离最大，所以去掉点E后，剩下的5个点对应的相关系数会最大．
答案：E
PAGE§3　独立性检验
必备知识·自主学习
导思
1.什么是2×2列联表？2．什么叫作独立性检验？
1.2×2列联表
设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，
变量A：A1，A2＝A1；变量B：B1，B2＝B1．
2×2列联表如表：
B1
B2
总计
A1
a
b
a＋b
A2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据；b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据．
2．独立性检验
(1)定义：利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
(2)χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
(3)在统计中，用以下结果对变量的独立性进行检验，
①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
②当χ2>2.706时，有90%的把握判断变量A，B有关联；
③当χ2>3.841时，有95%的把握判断变量A，B有关联；
④当χ2>6.635时，有99%的把握判断变量A，B有关联．
　有人说：“我们有99%的把握认为吸烟和患肺癌有关，是指每100个吸烟者中就会有99个患肺癌的．”你认为这种观点正确吗？为什么？
提示：观点不正确.99%的把握说明的是吸烟与患肺癌有关的程度，不是患肺癌的百分数．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)在独立性检验中，若χ2越大，则两个分类变量有关系的可能性越大．(　　)
(2)2×2列联表是借助两个分类变量之间频率大小差异说明两个变量之间是否有关联关系．(　　)
(3)应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的．(　　)
提示：(1)√　(2)√　(3)×
2．下面2×2列联表的χ2的值为________．
B
总计
A
8
4
12
2
16
18
总计
10
20
30
【解析】χ2＝＝10.
答案：10
3．有甲、乙两个班级进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表．班级与成绩列联表：
优秀
不优秀
总计
甲班
10
35
45
乙班
7
38
45
总计
17
73
90
由上表提供的数据可知，学生的成绩与班级之间________．(填“有关系”或“没有关系”)
【解析】由公式得χ2＝≈0.653.
因为0.653<2.706，所以我们没有理由说成绩与班级有关系．
答案：没有关系
关键能力·合作学习
类型一　用2×2列联表分析两变量间的关系(数学运算)
【典例】在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人．六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主．请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用与判断二者是否有关系．
【思路导引】结合题干数据写出列联表求解和.
【解析】2×2列联表如下：
年龄在六十岁以上
年龄在六十岁以下
总计
饮食以蔬菜为主
43
21
64
饮食以肉类为主
27
33
60
总计
70
54
124
将表中数据代入公式得＝＝0.671
875.
＝＝0.45.显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系．
　2×2列联表的应用
(1)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．注意应该是4行4列，计算时要准确无误．
(2)利用2×2列联表分析两变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将与的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣．
　假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：
y1
y2
x1
10
18
x2
m
26
则当m取下面何值时，X与Y的关系最弱(　　)
A．8
B．9
C．14
D．19
【解析】选C.由10×26≈18m，解得m≈14.4，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱．类型二　用χ2进行独立性检验(数学运算)
【典例】随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n个人，其中男性占调查人数的.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性中只有的人的休闲方式是运动．
(1)完成下列2×2列联表：
运动
非运动
总计
男性
女性
总计
n
(2)若有95%的把握认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？
【思路导引】(1)依据2×2列联表的定义填表；
(2)计算χ2，利用临界值建立不等关系，求n的值．
【解析】(1)补全2×2列联表如表：
运动
非运动
总计
男性
n
n
n
女性
n
n
n
总计
n
n
n
(2)若有95%的把握认为“性别与休闲方式有关”，
则χ2＞3.841.
由于χ2＝＝，
故＞3.841，即n＞138.276.又由n∈Z，故n≥140.
故若有95%的把握认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的人数至少有140人．
　解决一般的独立性检验问题的步骤
　　　【变式训练】
　近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：
愿意参与管理
不愿意参与管理
男性村民
150
50
女性村民
50
(1)求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？
(2)是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？
参考公式：
土地使用面积x(单位：亩)
1
2
3
4
5
管理时间y(单位：月)
8
10
13
25
24
r＝，
χ2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.临界值表：
P(χ2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考数据：≈25.2.
【解析】依题意：＝＝3，＝＝16，故(xi－)(yi－)＝(－2)×(－8)＋(－1)×(－6)＋1×9＋2×8＝47，
(xi－)2＝4＋1＋1＋4＝10，
(yi－)2＝64＋36＋9＋81＋64＝254，
则r＝＝＝≈0.933，
故管理时间y与土地使用面积x线性相关．
(2)依题意，完善表格：
愿意参与管理
不愿意参与管理
总计
男性村民
150
50
200
女性村民
50
50
100
总计
200
100
300
计算得χ2＝＝
＝18.75>10.828，故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．
课堂检测·素养达标
1．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力(　　)
A．平均数与方差
B．回归分析
C．独立性检验
D．概率
【解析】选C.判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验．
2．(教材二次开发：练习改编)在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是(　　)
A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾
B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾
C．100个心脏病患者中一定有打鼾的人
D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有
【解析】选D.这是独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.
3．已知变量X，Y，由它们的样本数据计算得到χ2的观测值k≈4.328，χ2的部分临界值表如表：
P(χ2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
以下判断正确的是(　　)
A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量X，Y有关系
B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量X，Y没有关系
C．有97.5%的把握说变量X，Y有关系
D．有97.5%的把握说变量X，Y没有关系
【解析】选A.因为观测值k≈4.328>3.841，
而在观测值表中对应于3.841的是0.05，
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量X，Y有关系．
4．为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如表的列联表：
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
附：
P(χ2≥k0)
0.10
0.05
0.025
k0
2.706
3.841
5.024
χ2＝
参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到′光盘′与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到′光盘′与性别无关”
C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到′光盘′与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到′光盘′与性别无关”
【解析】选C.由表计算得χ2＝≈3.03，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到′光盘′与性别有关”．
5．某次国际会议为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，在如表“性别与会外语”的2×2列联表中，a＋b＋d＝________．
会外语
不会外语
总计
男
a
b
20
女
6
d
总计
18
50
【解析】由题意有
所以a＝12，b＝8，d＝24，a＋b＋d＝12＋8＋24＝44.
答案：44
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