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第三章　空间向量与立体几何
§1　空间直角坐标系
必备知识·自主学习
导思
1.什么是空间直角坐标系？2．怎样确定空间直角坐标系中点的坐标？3．怎样求两点间的距离？
1.空间直角坐标系
定义
以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系O?xyz，其中点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴．通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面
画法
在平面上画空间直角坐标系O?xyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°
图示
说明
一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面，它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向，我们也称这样的坐标系为右手系
非右手系对点的坐标、距离和角的求值有影响吗？
提示：非右手系会影响点的坐标，不影响距离和角的求值，只要计算准确，结果是相同的，但高考中对非右手系没有中间的步骤分，即如果结果对了也得满分，结果错误就是零分，所以建议同学严格按照右手系建立坐标系．
2．空间中一点的坐标
空间一点P的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标．
3．空间两点间的距离公式
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0，0，0)的距离|OP|＝．
(2)任意两点P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)间的距离|PQ|＝．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c).(　　)
(2)在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c).(　　)
(3)在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0，0，c).(　　)
(4)在空间直角坐标系中，在zOx平面上的点的坐标是(a，0，c).(　　)
提示：(1)×.Ox轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为0.
(2)√.在yOz平面上的点的横坐标一定是零．
(3)√.在Oz轴上的点的横、纵坐标均为零．
(4)√.在zOx平面上的点的纵坐标为零．
2．点P(－1，2，0)位于(　　)
A．y轴上
B．z轴上
C．xOy平面上
D．xOz平面上
【解析】选C.点P(－1，2，0)位于xOy平面上．
3．在空间直角坐标系中，A(－1，2，3)，B(2，1，m)，若|AB|＝，则m的值为________.
【解析】|AB|＝
＝，所以(3－m)2＝100，3－m＝±10，所以m＝－7或13.
答案：－7或13
关键能力·合作学习
类型一　空间中点的坐标的确定(直观想象)
【典例】在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别是D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD，点H为C1G的中点，试建立适当的空间直角坐标系，写出E，F，G，H的坐标．
【思路导引】要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所求点的坐标．
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为.
由点F作FM⊥AD，FN⊥DC，由平面几何知FM＝，FN＝，则F点坐标为.
点G在y轴上，其x，z坐标均为0，又GD＝，
故G点坐标为.由点H作HK⊥CG于点K，
由于H为C1G的中点，故HK＝，CK＝.
所以DK＝.故H点坐标为.
确定点的坐标的方法
(1)建立空间直角坐标系的原则
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
②充分利用几何图形的对称性．
(2)求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．
长方体ABCD?A′B′C′D′如图所示，长，宽，高分别为|AB|＝4
cm，|AD|＝
3
cm，|AA′|＝5
cm，点N是线段CC′的中点．分别以AB，AD，AA′所在的直线为x轴、y轴、z轴，以1
cm为单位长，建立空间直角坐标系．
(1)求A，B，C，D，A′，B′，C′，D′的坐标；
(2)求N的坐标．
【解析】(1)A，B，C，D都在平面xOy内，点的竖坐标都为0，它们在x轴、y轴所组成的直角坐标系中的坐标分别是(0，0)，(4，0)，(4，3)，(0，3)，因此空间坐标分别是A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，3，0).
A′，B′，C′，D′同在一个垂直于z轴的平面内，这个平面与z轴的交点A′在z轴上的坐标是5，故这四点的z的坐标都是5.从这四点作xOy平面的垂线交xOy平面于A，B，C，D四点，故A′，B′，C′，D′的x，y坐标分别与A，B，C，D相同，由此可知它们的空间坐标分别是A′(0，0，5)，B′(4，0，5)，
C′(4，3，5)，D′(0，3，5).
(2)点N是线段CC′的中点，有向线段CN的方向与z轴正方向相同，|CN|＝2.5，因此N的z坐标为2.5，C在xOy平面内的平面坐标为(4，3)，这就是N的x，y坐标，故N的空间坐标为(4，3，2.5).
类型二　求空间对称点的坐标(直观想象)
【典例】在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4).
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
【思路导引】对照空间点的对称的规律直接写出各点的坐标．
【解析】(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4).
(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为
P2(－2，1，－4).
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12).
空间点的对称规律
(1)口诀：求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆．
(2)任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是P1(－x，－y，－z)；关于x轴(横轴)对称的点是P2(x，－y，－z)；关于y轴(纵轴)对称的点是P3(－x，y，
－z)；关于z轴(竖轴)对称的点是P4(－x，－y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，－z)；关于yOz平面对称的点是P6(－x，y，z)；关于zOx平面对称的点是P7(x，－y，z).
1．在空间直角坐标系中，点(－2，1，4)关于x轴对称的点的坐标是(　　)
A．(－2，1，4)
B．(－2，－1，－4)
C．(2，－1，4)
D．(2，1，－4)
【解析】选B.点(－2，1，4)关于x轴对称的点的坐标是(－2，－1，－4).
2．点(1，1，－2)关于yOz平面的对称点的坐标是________．
【解析】点(1，1，－2)关于yOz平面的对称点的坐标是(－1，1，－2).
答案：(－1，1，－2)
3．在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在zOx平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称点的坐标是______．
【解析】M在zOx平面上的射影为M′(－2，0，－3)，
所以M′关于原点对称点的坐标为(2，0，3).
答案：(2，0，3)
类型三　空间两点间的距离(数学运算)
【典例】如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，点N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度．
【思路导引】先建立空间直角坐标系，求出点M，N的坐标，然后利用两点间的距离公式求解．
【解析】如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，
因为|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，
所以C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，
因为N为CD1的中点，所以N.
M是A1C1的三等分点且靠近A1点，
所以M(1，1，2).由两点间的距离公式，得
|MN|＝＝.
　利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的步骤
如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
【解析】以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，
由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，
所以|DE|＝＝，
|EF|＝＝.
课堂检测·素养达标
1．在空间直角坐标系O?xyz中，点(3，4，－5)关于z轴对称的点的坐标
是(　　)
A．(－3，－4，5)
B．(－3，－4，－5)
C．(－3，4，5)
D．(3，4，5)
【解析】选B.在空间直角坐标系中，点关于哪个轴对称时，哪个坐标不变，其余坐标变为原来的相反数，所以点(3，4，－5)关于z轴对称的点的坐标是(－3，－4，－5).
2．空间直角坐标系中，点M(2，5，8)关于xOy平面对称的点N的坐标为(　　)
A．(－2，5，8)
B．(2，－5，8)
C．(2，5，－8)
D．(－2，－5，8)
【解析】选C.点M(2，5，8)关于xOy平面对称的点N的坐标为(2，5，－8).
3．在空间直角坐标系中，点P(1，3，4)到x轴的距离是(　　)
A．5
B．
C．
D．
【解析】选A.点P在x轴上的射影Q的坐标为(1，0，0)，所以点P到x轴的距离为|PQ|＝＝5.
4．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|＝______．
【解析】因为AB的中点M，C(0，1，0)，
所以|CM|＝＝.
答案：
5．若点A(－1，2，－3)关于y轴的对称点为B，则AB的长为________．
【解析】因为A(－1，2，－3)关于y轴的对称点B(1，2，3)，
所以|AB|＝＝2.
答案：2
PAGE§2　空间向量与向量运算
第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算
必备知识·自主学习
1.空间向量的概念
(1)在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量，空间向量的大小叫作空间向量的长度或模.
空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模．向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||.
(2)几类特殊的空间向量：
名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫作零向量，记为0
单位向量
模为1的向量叫作单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，叫作a的相反向量，记为－a
相等向量
方向相同且模相等的向量叫作相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
共线向量(平行向量)
当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，那么这两个向量互为共线向量(或平行向量)
2.空间向量的加、减、数乘运算及其运算律
空间向量的运算
加法
a＋b＝＋＝
减法
a－b＝－＝
数乘
当λ＞0时，λa＝＝λ，当λ＝0时，λa＝0，当λ＜0时，λa＝＝λ
线性运算的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb．(λ，μ∈R)
空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法有没有区别？
提示：没有区别．
3．共线向量基本定理
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
4．共面向量
(1)定义：
平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
(2)充要条件：
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
若对任意一点O和不共线的三点A，B，C，且＝x＋y＋z
，则x＋y＋z＝1是四点P，A，B，C共面的充要条件吗？为什么？
提示：是．因为P，A，B，C共面的充要条件是存在m，n使＝m＋n，即－＝m(－)＋n(－)?
＝(1－m－n)
＋m＋n.令x＝1－m－n，y＝m，z＝n.
则＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同．(　　)
(2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量．(　　)
(3)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．(　　)
(4)空间中方向相反的两个向量是相反向量．(　　)
(5)若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件．(　　)
提示：(1)√.相等向量，起点相同，终点必相同．
(2)×.向量有公共终点，但起点不同，就可能不是共线向量．
(3)×.空间的所有向量都是自由的，可以平行移动，空间中的任意两个向量一定共面．
(4)×.相反向量不仅要求方向相反，而且模长必须相等．
(5)√.首先A，B，C，D不共线，而＝说明AB与CD平行且相等，于是四边形ABCD是平行四边形，反之亦成立，故为充要条件．
2．在平行六面体ABCD?A1B1C1D1顶点连线构成的向量中，与向量相等的向量共有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】选C.与向量相等的向量有，，，共3个．
3．空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－等于(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选C.利用向量运算法则即可得出：＋－＝＋＋＝＋＝.
关键能力·合作学习
类型一　空间向量的概念(数学抽象)
1．给出以下结论：
①空间中任意两个单位向量必相等；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD?A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
2．在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与．其中互为相反向量的有n对，则n等于(　　)
A.4
B．3
C．2
D．1
3．下列命题中正确的个数是(　　)
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；
②向量a，b，c共面即它们所在的直线共面；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】1.选B.因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同，故①不正确；若空间向量a，b满足|a|＝|b|，方向不确定，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD?A1B1C1D1中，必有＝成立，故③正确；④显然正确．
2．选C.对于①与，③与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②与长度相等，方向不相反；对于④与长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．
3．选A.①中，b＝0时，则a与c不一定共线；②中，由共面向量的定义：平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；③中，当b＝0，a≠0时，λ不存在，故①②③均错．
　空间向量与平面向量的一致性
(1)在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致；
(2)两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等；
(3)两向量互为相反向量的充要条件是模相等，方向相反．
【补偿训练】
如图，在长方体ABCD?A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出模为的所有向量；
(3)试写出与向量相等的所有向量；
(4)试写出向量的所有相反向量．
【解析】(1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，,,，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．
(2)由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
(3)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及.
(4)向量的相反向量有，，，.
类型二　空间向量的线性运算(直观想象，数学运算)
【典例】在如图所示的平行六面体中，
求证：＋＋＝2.
四步
内容
理解题意
条件：①平行六面体；②平行四边形法则．结论：＋＋＝2.
思路探求
将式子左边的向量都用从A点出发的向量代替，最后转化为对角线上的向量．
书写表达
因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以＝＋，＝＋，＝＋，所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝2(＋＋).又因为＝，＝，所以＋＋＝＋＋＝＋＝.所以＋＋＝2.
题后反思
由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，因此空间向量也满足交换律、结合律，应用这些运算律可以实现多个向量运算结果的化简．
　运用法则进行向量的线性运算的关键要素
(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；
(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；
(3)平行四边形法则：“起点重合”；
(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”．
1．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，N分别是BC，CD的中点，如图所示，则＋(＋)等于(　　)
A.
B．
C.
D．
【解析】选A.＋(＋)＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝.
2．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　)
①－－；
②＋－；
③－－；
④－＋．
A．①④
B．②③
C．③④
D．①②
【解析】选D.①－－＝－＝；
②＋－＝＋＝；
③－－＝－＝－＝≠；
④－＋＝＋＋＝＋≠．
类型三　空间向量的共面(数学运算，逻辑推理)
角度1
向量共线
【典例】已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
【思路导引】观察已知三个向量中a与b的系数，通过加减获得能够成倍数关系的向量．
【解析】选A.＝＋＋＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b，所以＝3，又直线AB，AD有公共点A，故A，B，D三点共线．
将条件中＝a＋2b改为＝a＋kb，其他不变，增加条件“且A，C，D三点共线”，则实数k＝________.
【解析】＝＋＋＝(a＋kb)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋(k＋4)b，
设＝λ，则3a＋(k＋4)b＝λ(7a－2b)，
所以，解得k＝－.
答案：－
角度2
向量共面
【典例】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.
求证：向量，，共面．
【思路导引】可通过证明＝x＋y得结论．
【证明】因为点M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝＋.
同理＝＋.
所以＝＋＋
＝＋＋
＝＋＝＋.
又与不共线，所以向量，，共面．
　证明空间向量共面的方法
(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．
(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．
1．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.
【解析】＝＋＋＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2，设＝λ，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，所以解得k＝1.
答案：1
2．已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面．
【解析】设p＝xm＋yn，
即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.
因为a，b，c不共面，所以
而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，
即p，m，n不共面．
【补偿训练】
已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的任意一点，若点P分别满足下列关系：
(1)＋2＝6－3；(2)＋＝4－.
试判断点P是否与点A，B，C共面．
【解析】方法一：(1)因为3－3＝＋2－3＝(－)＋(2－2)，所以3＝＋2，即＝－2－3.所以点P与点A，B，C共面．
(2)设＝＋x＋y(x，y∈R)，则
＋x＋y＋＝4－，
所以＋x(－)＋y(－)＋＝4－，
所以(1－x－y－4)＋(1＋x)＋(1＋y)＝0，
由题意知，，均为非零向量，所以x，y满足：
显然此方程组无解，故点P与点A，B，C不共面．
方法二：(1)由题意，＝＋＋，
因为＋＋＝1，所以点P与点A，B，C共面．
(2)因为＝4－－，而4－1－1＝2≠1，
所以点P与点A，B，C不共面．
课堂检测·素养达标
1．下列说法正确的是(　　)
A．如果两个空间向量不相等，那么它们的长度不相等
B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．空间向量模的大小与方向有关
D．空间向量的模可以比较大小
【解析】选D.两个空间向量不相等，但它们的长度可能相等，A不正确．任何两个空间向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，B不正确．空间向量模的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C不正确．由于空间向量的模是一个实数，故可以比较大小，只有D正确．
2．如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2，给出以下结论：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0.其中正确结论的个数是(　　)
A.0
B．1
C．2
D．3
【解析】选B.因为－＋－＝＋＝＋＝0.故③正确，同理可得①②不正确．
3．在平行六面体ABCD?EFGH中，若＝x－2y＋3z，则x＋y＋z等于(　　)
A.
B．
C．
D．1
【解析】选C.＝＋＋，则x＝1，
y＝－，z＝，则x＋y＋z＝.
4．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________.
【解析】因为A，B，C三点共线，所以存在唯一实数k使＝k，即－＝k(－)，
所以(k－1)＋－k＝0.
又λ＋m＋n＝0，
令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0.
答案：0
5．空间中把所有单位向量的起点移到同一点，则这些向量的终点组成的图形是________.
【解析】单位向量的长度都相等，起点移到同一点，则终点在以单位长度为半径的球面上．
答案：球面
PAGE第2课时　空间向量的数量积
必备知识·自主学习
导思
1.什么是空间向量的夹角？什么是空间向量的数量积？2．空间向量的数量积运算有哪些性质？遵循哪些运算律？
1.空间向量的夹角
(1)夹角的定义：
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)夹角的范围：
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π].特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b．
零向量与其他向量之间有夹角吗？
提示：零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a都共线，即0∥a.
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)数量积的运算律：
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)
交换律
a·b＝b·a
分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
(3)空间两向量的数量积的性质：
数量积运算满足结合律、消去律吗？
提示：数量积运算不满足结合律，也不满足消去律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，a·b＝a·cD?/b＝c.
3．投影向量与投影数量
(1)投影向量：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点A作直线OB的垂线，垂足为A1，则向量OA1叫作向量a在向量b方向上的投影向量．
(2)投影数量：用b0表示与向量b(b≠0)同方向的单位向量，(1)图中向量的长度为＝，把称作向量a在向量b方向上的投影数量．
投影数量的符号由什么确定？
提示：由向量a在向量b方向上的投影数量的定义知，投影数量的符号由向量a与向量b的夹角确定，若〈a，b〉为锐角或零角，则投影数量为正值；若〈a，b〉为钝角或平角，则投影数量为负值；若〈a，b〉为直角，则投影数量为0.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)向量与的夹角等于向量与的夹角．(　　)
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)
(3)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈－a，－b〉相等．(　　)
(4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(　　)
(5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．(　　)
提示：(1)×.与互为相反向量，所以向量与的夹角和向量与的夹角互补．
(2)×.a·b＝0，a与b都可能是零向量，也可能是a与b都不是零向量，但a与b垂直．
(3)√.a与－a，b与－b分别互为相反向量，所以〈a，b〉与〈－a，－b〉相等．
(4)×.由a·b＝b·c，可得(a－c)·b＝0，所以a－c可能为零向量，但也可能a－c不是零向量，而是a－c与b垂直．
(5)×.a与b共线包括a与b同向和反向两种情况，当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
2．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　　)
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【解析】选B.设向量a，b的夹角为θ，则cos
θ＝
＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.
3．已知|a|＝3，向量a与b的夹角θ为，则a在b方向上的投影数量为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
【解析】选D.向量a在b方向上的投影数量
为|a|cos
θ＝3×cos
＝.
4．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)
A．a2
B．a2
C．a2
D．a2
【解析】选C.·＝(＋)·＝(·＋·)＝＝a2.
关键能力·合作学习
类型一　空间向量的数量积运算(数学运算)
1．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　)
A．12
B．8＋
C．4
D．13
【解析】选D.(2a－b)·a＝2a2－b·a
＝2|a|2－|a||b|·cos
120°＝2×4－2×5×＝13.
2．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】选A.由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1，
所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1.
3．已知长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：(1)·；
(2)·；(3)·．
【解析】如图，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝b·＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)·＝·
＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2.
1．空间向量的数量积运算方法
(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算．
(2)如果求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．
2．在几何体中求空间向量的数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积．
(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模．
(4)代入公式a·b＝|a||b|cos
〈a，b〉求解．
【补偿训练】
1.下列命题中正确的有(　　)
①p2·q2＝(p·q)2；
②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；
③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直．
A．①③　　　B．②③　　　C．②　　　D．③
【解析】选D.①此命题不正确，因为p2·q2＝|p|2·|q|2，
而(p·q)2＝(|p|·|q|·cos
〈p，q〉)2
＝|p|2·|q|2·cos
2〈p，q〉，
所以当且仅当p∥q时，p2·q2＝(p·q)2.
②此命题不正确，因为|p2－q2|＝|(p＋q)·(p－q)|
＝|p＋q|·|p－q|·|cos
〈p＋q，p－q〉|，所以当且仅当(p＋q)∥(p－q)时，|p2－q2|＝|p＋q|·|p－q|.
③此命题正确，因为a·[(a·b)·c－(a·c)·b]＝a·(a·b)·c－a·(a·c)·b＝(a·b)(a·c)－(a·b)(a·c)＝0，且a与(a·b)·c－(a·c)·b均为非零向量，
所以a与(a·b)·c－(a·c)·b垂直．
2．如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　)
A.2·
B.2·
C.2·
D.2·
【解析】选B.2·＝－2a2cos
60°＝－a2，
2·＝2·＝2a2cos
60°＝a2，
2·＝·＝－a2，2·＝·＝－·＝－a2.
类型二　数量积的应用(数学运算)
【典例】已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？
【思路导引】由条件计算a·b，当c⊥d时，c·d＝0列方程求解m.
【解析】由已知得a·b＝3×2×cos
60°＝3.
由c⊥d，知c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，
所以m＝，即m＝时，c与d垂直．
(1)已知非零向量a，b，若a⊥b，则a·b＝0，反之也成立．
(2)设a与b夹角为θ，利用公式cos
θ＝可求夹角θ，求解时注意向量夹角θ的取值范围θ∈[0，π].
1．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________.
【解析】设a与b夹角为θ，因为|a|＝3|b|，
所以|a|2＝9|b|2，
又|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b
＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|·cos
θ＝13|b|2＋12|b|2cos
θ，
即9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cos
θ，故有cos
θ＝－.
答案：－
2．已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，a与b的夹角为120°，求向量b的模．
【解析】因为a2＝4，所以|a|2＝4，即|a|＝2，
将x＝1代入原方程可得1＋2×1＋a·b＝0，所以a·b＝－3，所以a·b＝|a||b|cos
〈a，b〉＝2|b|cos
120°＝－3，所以|b|＝3.
类型三　投影数量的计算(数学运算)
【典例】已知＝1，＝2，〈a，b〉＝60°，则a＋b在a上的投影数量是
(　　)
A．1
B．
C．2
D．
【思路导引】根据平面向量数量积的定义及运算律求出a·b，·a，再根据a＋b在a上的投影数量等于计算．
【解析】选C.因为＝1，＝2，〈a，b〉＝60°，所以a·b＝cos
〈a，b〉＝1×2×cos
60°＝1，所以·a＝a2＋b·a＝12＋1＝2，
所以a＋b在a上的投影数量为＝2.
求一个向量在另一个向量方向上的投影数量的方法
(1)根据向量夹角公式求得夹角的余弦值．
(2)根据所求投影数量为cos
〈a，b〉求得结果．
1．已知＝，＝3，＝3，则向量a在向量b方向上的投影数量为(　　)
A．1
B．－1
C．3
D．－3
【解析】选A.由题意，向量＝，＝3，＝3可得2＝a2＋b2＋2a·b＝3＋9＋2a·b＝18，解得a·b＝3，所以向量a在向量b方向上的投影数量为＝＝1.
2．在△ABC中，＝，AB＝3，AC＝4，则在方向上的投影数量为(　　)
A．4
B．3
C．－4
D．5
【解析】选A.在△ABC中，因为＝，
所以2＋2·＋2＝2－2·＋2，
所以·＝0，所以⊥.
又AB＝3，AC＝4，所以＝5，
所以在方向上的投影数量为·cos
∠ACB＝＝4.
【补偿训练】
设e1，e2为单位向量．且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影数量为________.
【解析】设a与b夹角为θ，向量a在b方向上的投影数量为cos
θ＝·＝＝＝＝1＋3cos
＝.
答案：
备选类型　用数量积求距离(数学运算)
【典例】如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
【思路导引】→
得到||2的值，注意对〈，〉的讨论→
【解析】因为∠ACD＝90°，所以·＝0，
同理可得·＝0.因为AB与CD成60°角，
所以〈，〉＝60°或〈，〉＝120°.又＝＋＋，所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋
2·＋2·＝3＋2×1×1×cos
〈，〉．
所以当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；
当〈，〉＝120°时，||2＝2，此时B，D间的距离为.
利用向量的数量积求两点间的距离
可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
1．正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱长均为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为(　　)
A．2
B．
C．
D．
【解析】选C.如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝90°，〈b，c〉＝90°.
又因为＝＋
＝－＋＋＝－a＋c＋b，所以||2＝a2＋c2＋b2＋2×＝×4＋4＋×4＋2×＝1＋4＋1－1＝5.
所以||＝.即EF的长为.
2．如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.则线段AC1的长为______．
【解析】因为＝＋＋＝＋＋，
所以||＝
＝
＝
＝＝.
答案：
课堂检测·素养达标
1．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列各对向量的夹角为135°的是(　　)
A．〈，〉
B．〈，〉
C．〈，〉
D．〈，〉
【解析】选B.〈，〉＝45°，〈，〉＝135°，〈，〉＝90°，〈，〉＝180°.
2．下列结论中正确的是(　　)
A．(a·b)·c＝(b·c)·a
B．若a·b＝－|a||b|，则a∥b
C．若a，b，c为非零向量，且a·c＝b·c，则a∥b
D．若a2＝b2，则a＝b
【解析】选B.若a，b至少有一个为零向量时，a∥b成立，当a，b都不为零向量时，由a·b＝－|a||b|得cos
〈a，b〉＝＝－1.
又因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝180°，所以a∥b，B正确．
3．(教材例题改编)如图，一个结晶体的形状是平行六面体ABCD?A1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱长均是1，且它们彼此的夹角都是，则对角线AC1的长度是(　　)
A.
B．2
C．
D．
【解析】选D.|
|＝＝
＝.
4．已知平面向量a，b满足＝1，a·＝5，则b在a方向上的投影数量为________.
【解析】设a，b的夹角为α，
由题得a2－2a·b＝5，
所以1－2|b|cos
α＝5，所以|b|cos
α＝－2，
所以b在a方向上的投影数量为－2.
答案：－2
5．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________.
【解析】(a＋2b)·(a－b)＝－6，则a2＋a·b－2b2＝－6，
即12＋a·b－2×22＝－6，a·b＝1，
所以cos
〈a，b〉＝＝，
所以〈a，b〉＝60°.
答案：60°
PAGE§3　空间向量基本定理及向量的直角坐标运算
3.1　空间向量基本定理
【必备知识·自主学习】
导思
1.什么是空间向量基本定理？2．什么样的向量可以作为空间的基？
1.空间向量基本定理
条件
三个不共面的向量a，b，c和空间任一向量p
结论
存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc
2.基和基向量
条件：三个向量a，b，c不共面．
结论：{a，b，c}叫作空间的一组基．
基向量：基中的向量a，b，c都叫作基向量．
　空间向量的分解式是唯一的吗？
提示：基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示．所以如果选用不同的正交基，同一向量的分解式也会不同．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基．(　　)
(2)若{a，b，c}为空间的一组基，则{－a，b，2c}也可构成空间的一组基．(　　)
(3)若向量a⊥b，则a，b与任何一个向量都不能构成空间的一组基．(　　)
(4)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一组基，则a，b，c共面．(　　)
提示：(1)×.只要三个向量不共面，它们就能作为空间向量的一组基．
(2)√.{a，b，c}为空间的一组基，就说明a，b，c不共面，所以－a，b，2c也不共面，故它们可以构成空间的一组基．
(3)×.只要a，b，c不共面，即使a⊥b，a，b，c仍然可以构成空间的一组基．
(4)√.作为空间的一组基的条件是不共面，所以非零向量a，b，c既然不能构成空间的一组基，那么a，b，c必定是共面的．
2．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，可以作为空间的一组基的是(　　)
A．{，，}
B．{，，}
C．{，，}
D．{，，}
【解析】选C.在长方体ABCD?A1B1C1D1中，只有C中的三个向量，，不共面，可以作为空间的一组基．
3．(教材例题改编)在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则可表示为(　　)
A．a＋b＋c
B．a－b＋c
C．－a－b＋c
D．－a＋b＋c
【解析】选D.由于＝＋＝＋(＋)
＝－a＋b＋c.
【关键能力·合作学习】
类型一　空间向量基的条件(数学抽象)
1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间的一组基的向量是(　　)
A．
B．
C．
D．或
2．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的一组基的向量组有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．已知{e1，e2，e3}是空间的一组基，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，则{，，}__(填“能”或“不能”)作为空间的一组基．
【解析】1.选C.因为＝a－b且a，b不共线，所以a，b，共面，所以与a，b不能构成空间的一组基．
2．选C.如图所示，令a＝，b＝，c＝，
则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝AC1.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．
3．设＝x＋y，则e1＋2e2－e3
＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3
由于此方程组无解．
即不存在实数x，y使得＝x＋y，所以，，不共面．所以{，，}能作为空间的一组基．
答案：能
　空间向量构成基的判断方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基；若不共面，则能构成基．
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基；②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基；若无解，则不共面，能作为基．
类型二　用基表示向量(直观想象)
【典例】如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)
；(3)＋．
四步
内容
理解题意
条件：①ABCD?A1B1C1D1是平行六面体；②M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点；③＝a，＝b，＝c结论：用a，b，c表示相关向量．
思路探求
先利用封口向量表示，再替换为指定向量．
书写表达
(1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.(2)因为N是BC的中点，所以＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.(3)因为M是AA1的中点，所以＝＋＝＋＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c.又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，所以＋＝＋(a＋c)＝a＋b＋c.
题后反思
用已知向量表示所求向量时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量，在化简过程中要有目标意识，多运用特殊点如中点的性质以简化运算．
　用基表示向量的方法
用已知向量表示未知向量，一定要结合图形进行求解．
(1)如果要表示的向量与已知向量起点相同，一般用加法，否则用减法．
(2)如果此向量与一个易求的向量共线，则用数乘．将所求向量反复分拆，直到全部可以用基表示为止．
(3)通常情况下尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基．
　如图所示，在平行六面体ABCD?A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用a，b，c表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4).
【解析】(1)因为P是CA′的中点，所以＝(＋)
＝(＋＋)＝(a＋b＋c).
(2)因为M是CD′的中点，
所以＝(＋)＝(＋2＋)
＝(a＋2b＋c).
(3)因为N是C′D′的中点，
所以＝(＋)
＝[(＋＋)＋(＋)]
＝(＋2＋2)＝a＋b＋c.
(4)因为CQ∶QA′＝4∶1，
所以＝＋＝＋(－)
＝＋＝＋＋
＝a＋b＋c.
类型三　几何体中的平行、垂直与夹角(数学运算、逻辑推理)
角度1　证明平行
【典例】在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS.
【思路导引】先证向量与共线，再说明不在同一直线上．
【证明】设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＋＝c－a＋b，
＝＋＋＝b－a＋c.
所以＝，所以∥.又RMN，所以MN∥RS.
角度2　证明垂直
【典例】如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G⊥平面DEF.
【思路导引】用数量积证明A1G与平面DEF内的两条相交直线垂直．
【证明】设正方体的棱长为a，
因为·＝(＋＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·＋·＋·＝·＋·＝a2－a2＝0，
所以A1G⊥DF，同理可证A1G⊥DE，又DF∩DE＝D，
所以A1G⊥平面DEF.
角度3　求夹角
【典例】如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．求cos
〈，〉的值．
【思路导引】按照夹角公式，需计算向量与的模长和数量积．
【解析】由已知得||＝||＝1，||＝||＝2，＝＝
．〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝90°，
所以·＝·＝·＝0.
因为＝－＝＋－，＝＋，
所以||2＝2＝(＋－)2＝2＋CC12＋2＝12＋22＋12＝6，||＝，||2＝2＝(＋)2＝2＋2＝12＋22＝5，||＝，·＝(＋－)·(＋)＝2－＝22－12＝3，
所以cos
〈，〉＝＝＝.
1．证明平行与垂直的方法
(1)证明直线的方向向量共线，并说明不在同一条直线上，即可说明线线平行；
(2)由数量积的性质a⊥b?a·b＝0(a，b≠0)可知，要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．
2．求两个向量的夹角的两种方法
(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；
(2)先求a·b，再利用公式cos
〈a，b〉＝求cos
〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．
1．如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________.
【解析】不妨设棱长为2，则＝－，
＝＋，cos
〈，〉＝
＝＝0，所以〈，〉＝90°.
答案：90°
2．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.
【解析】设＝a，＝b，＝c，则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.
而＝＋＝＋(＋)＝c＋(a＋b)，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)－c，
所以·＝·(b－a)
＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)
＝c·b－c·a＋(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0，所以⊥，所以A1O⊥BD，
同理可证⊥，所以A1O⊥OG，
又OG∩BD＝O且A1O平面BDG，所以A1O⊥平面GBD.
【课堂检测·素养达标】
1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一组基，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选B.当三个非零向量a，b，c共面时不能作为基，正推不成立；反过来，若{a，b，c}是一组基，必有a，b，c都是非零向量，逆推成立．
2．在正方体ABCD?A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是
(　　)
A．x＝y＝z＝1
B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝
D．x＝y＝z＝2
【解析】选A.
＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋＝＋＋，
由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.
3．(教材练习改编)已知{a，b，c}是空间的一组基，下列向量可以与p＝2a－b，q＝a＋b构成空间的另一组基的是______．(填序号).
①2a；
②－b；
③c；
④a＋c.
【解析】向量p与q都是用a和b表示的，
所以只含a和b的向量式必定与p，q共面，
要构成空间的另一组基，必须含有向量c.
答案：③④
4．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则＝______．
【解析】2＝2＋2＋2
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋，所以＝(＋＋).
答案：(＋＋)
5．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基，则＝________.
【解析】设AC的中点为F，则＝＋＝＋＝－×(＋)＋＝－(－2)＋(－)＝－－＋.
答案：－－＋
PAGE3．2　空间向量运算的坐标表示及应用
第1课时　空间向量运算的坐标表示、
空间向量平行(共线)和垂直的条件
必备知识·自主学习
导思
1.怎样用坐标进行向量的线性运算和数量积运算？2．怎样通过坐标反映向量的平行与垂直？
1.空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
②a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
③λa＝(λa1，λa2，λa3)，
④a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．
2．空间向量的平行、垂直
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
①a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
②a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．
　已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，能否用＝＝表示a∥b的条件？为什么？
提示：不能．无法保证b1b2b3≠0，故不能用＝＝表示a∥b的条件．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b＝(－2，4，－2).(　　)
(2)若a＝(0，0，1)，b＝(1，0，0)，则a⊥b.(　　)
(3)在空间直角坐标系中，若A(1，2，3)，B(4，5，6)，则＝(－3，－3，－3).(　　)
(4)若向量＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1).(　　)
提示：(1)√.b＝a＋b－a＝(－1，2，－1)－(1，－2，1)＝(－2，4，－2).
(2)√.由a·b＝0，得a⊥b.
(3)×.由A(1，2，3)，B(4，5，6)，得＝(4－1，5－2，6－3)＝(3，3，3).
(4)×.向量＝(x1，y1，z1)，只有当点A在原点时，点B的坐标才是(x1，y1，z1).
2．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于(　　)
A．(16，0，4)
B．(8，－16，4)
C．(8，16，4)
D．(8，0，4)
【解析】选D.4a＝(12，－8，4)，2b＝(－4，8，0)，
所以4a＋2b＝(8，0，4).
3．(教材练习改编)已知a＝(2，－3，1)，b＝(4，－6，x)，若a⊥b，则x等于(　　)
A．－26
B．－10
C．2
D．10
【解析】选A.由于a＝(2，－3，1)，b＝(4，－6，x)，且有a⊥b，所以a·b＝2×4＋(－3)×(－6)＋1×x＝0，解得x＝－26.
关键能力·合作学习
类型一　用坐标表示空间向量(直观想象)
【典例】(1)已知点A在基{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基{i，j，k}下的坐标是(　　)
A．(12，14，10)
B．(10，12，14)
C．(14，12，10)
D．(4，3，2)
(2)在棱长为1的正方体ABCD?A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{，，}为基，求向量，，的坐标．
【思路导引】(1)按坐标写出；(2)用基向量表示再代入坐标．
【解析】(1)选A.＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k.
所以点A在基{i，j，k}下的坐标为(12，14，10).
(2)＝＋＝＋＝＋＝，＝＋＝＋＝，
＝＋＋＝＋＋＝.
1．本例(2)题设条件不变，求向量，，的坐标．
【解析】＝－＝(＋＋)－(＋)＝＋＝，＝－
＝(＋)－(＋)＝－－＝，
＝－＝＋－＝－＝.
2．本例(2)题设条件“以{，，}为基”变为“若以{，，}为基”，试写出，，的坐标．
【解析】＝＋＝－＋＝，＝＋＝＋＝－＋＝，＝＋＝.
　用坐标表示空间向量的步骤
　如图所示，在棱长为1的正方体OABC?O1A1B1C1中，M，N分别是平面OAA1O1和平面O1A1B1C1的中心．
试建立适当的空间直角坐标系，并求向量，，的坐标．
【解析】如图在空间直角坐标系O?xyz中，＝i，＝j，＝k，
则＝i＋k＝.
＝i＋j＋k＝.
所以＝－＝i＋j＋k－＝.
类型二　空间向量的坐标运算(数学运算)
1．(2020·扬州高二检测)若向量a＝，b＝，则2a－3b＝(　　)
A．
B．
C．
D．
2．若a＝，b＝，c＝，则a·的值为(　　)
A．
B．5
C．7
D．36
3．若向量a，b的坐标满足a＋b＝，a－b＝，则a·b等于(　　)
A．5
B．－5
C．7
D．－1
【解析】1.选C.因为a＝，b＝，所以2a－3b＝2－3＝.
2．选B.b＋c＝＋＝，a·＝2×2＋2×3＋(－1)×5＝5.
3．选B.因为a＋b＝，a－b＝，
两式相加得2a＝，解得a＝，b＝
，所以a·b＝1×＋×1＋0×2＝－5.
　空间向量坐标运算方法
一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
类型三　用向量运算解决平行与垂直(数学运算、逻辑推理)
【典例】已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2).
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)已知向量a＝(2，0，1)，b＝(－1，2，0)，且ka＋b与2a－b互相垂直，求k的值．
【思路导引】(1)由向量平行得出(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，列出方程组，即可得出λ与m的值；
(2)写出ka＋b与2a－b，令其数量积为零得关于k的方程．
【解析】(1)由a∥b得(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)
所以解得
所以λ＝，m＝3.
(2)ka＋b＝k(2，0，1)＋(－1，2，0)＝(2k－1，2，k)，
2a－b＝2(2，0，1)－(－1，2，0)＝(5，－2，2)，
所以5(2k－1)－4＋2k＝0，解得k＝.
　向量平行与垂直问题主要有两种题型
(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．
解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
　设x，y∈R，向量a＝，b＝，c＝，且a⊥b，b∥c，则a＋b＝________．
【解析】因为b∥c，所以2y＝－4，
所以y＝－2，所以b＝，
因为a⊥b，所以a·b＝x－2＋1＝0，
所以x＝1，所以a＝，
所以a＋b＝.
答案：
备选类型　向量法解决存在性问题(数学运算、逻辑推理)
【典例】如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为AB和BC的中点，在棱B1B上是否存在一点M，使得D1M⊥平面EFB1.若存在，求出该点；若不存在，说明理由．
【思路导引】根据图形特征建立坐标系，设出点M的坐标，利用D1M⊥平面EFB1建立方程组，考察方程组的解的情况．
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，E，设M(1，1，m).连接AC，则＝(－1，1，0).
而E，F分别为AB，BC的中点，
所以＝＝.
又因为＝，＝(1，1，m－1)，而⊥平面EFB1，所以D1M⊥EF，且D1M⊥B1E，即·＝0，且·＝0.
所以
解得m＝，即M为B1B的中点．
　立体几何开放性问题的解法
存在性问题通常都是假设存在，即设出点的坐标，运用题目条件建立方程或不等式，有解说明存在，无解说明不存在，即要把立体几何的存在性问题转化为方程或不等式解的问题．
　已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2).
(1)若∥，∥，求点D的坐标．
(2)问是否存在实数α，β，使得＝α＋β成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)设D(x，y，z)，则＝(－x，1－y，－z)，＝(－1，0，2)，＝(－x，－y，2－z)，＝(－1，1，0).
因为∥，∥，所以存在实数m，n，
使得＝m，＝n，
所以
解得即D(－1，1，2).
(2)依题意，得＝(－1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(0，－1，2).假设存在实数α，β，使得＝α＋β成立，则有(－1，0，2)＝α(－1，1，0)＋β(0，－1，2)＝(－α，α－β，2β)，
所以故存在α＝β＝1使得＝α＋β成立．
课堂检测·素养达标
1．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·2b＝－2，则x的值为(　　)
A．2
B．－2
C．0
D．1
【解析】选A.因为c－a＝(1，1，1)－(1，1，x)＝(0，0，1－x)，
2b＝2(1，2，1)＝(2，4，2)，
所以(c－a)·(2b)＝2－2x＝－2.所以x＝2.
2．向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是(　　)
A．a∥b，a⊥b
B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b
D．以上都不对
【解析】选C.因为a·b＝(－2，－3，1)·(2，0，4)＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a⊥b.
又因为a＝(－2，－3，1)＝(－4，－6，2)＝c，所以a∥c.
3．(教材练习改编)已知空间的一组基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y等于(　　)
A．2
B．－2
C．1
D．0
【解析】选D.因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c).
所以所以所以x＋y＝0.
4．在直三棱柱ABO?A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，的坐标是______，的坐标是______．
【解析】＝－＝－－－＝－2i－j－4k；＝＋＋＝－4k－4i＋2j.
所以＝(－2，－1，－4)，＝(－4，2，－4).
答案：(－2，－1，－4)　(－4，2，－4)
5．与a＝(2，－1，2)共线且满足a·x＝－18的向量x＝________.
【解析】设x＝λa＝(2λ，－λ，2λ)，a·x＝4λ＋λ＋4λ＝9λ＝－18，所以λ＝－2，所以x＝(－4，2，－4).
答案：(－4，2，－4)
PAGE第2课时　空间向量长度与夹角的坐标表示
必备知识·自主学习
导思
1.怎样用坐标求向量的模和夹角？2．怎样计算几何体中的线段和夹角？
1.空间向量的模与夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称
满足条件
向量表示形式
坐标表示形式
模
|a|=
QUOTE
eq
\r(a·a)
|a|=
QUOTE
eq
\r(a＋a＋a)
夹角
cos=
QUOTE
eq
\f(a·b,|a||b|)
(a≠0，b≠0)
cos=
eq
\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a＋a＋a)\r(b＋b＋b))
2.空间两点间的距离
已知点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)，A，B两点间的距离dAB＝||＝．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a＝(x，y，z)，则|a|＝x2＋y2＋z2.(　　)
(2)若a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，则|a|＝|b|.(　　)
(3)已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则a与b的夹角为90°.(　　)
(4)若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量．(　　)
提示：(1)×.|a|＝.
(2)√.＝＝，＝＝，所以＝.
(3)√.因为a·b＝0，所以a与b的夹角为90°.
(4)×.若x1＝y1＝z1＝1，则＝＝，所以a不是单位向量．
2．已知：A(1，2，2)，B(2，－2，1)，则|
|＝(　　)
A．18
B．12
C．3
D．2
【解析】选C.|
|＝＝＝3.
3．(教材例题改编)已知A点的坐标是(－1，－2，6)，B点的坐标是(1，2，－6)，O为坐标原点，则向量与的夹角是______．
【解析】cos
〈，〉
＝＝＝－1，
所以〈，〉＝π.
答案：π
4．已知a＝(1－t，2t－1，0)，b＝(2，t，t)，t∈R，则|b－a|的最小值为________.
【解析】因为b－a＝(1＋t，1－t，t)，
所以|b－a|＝≥.
答案：
关键能力·合作学习
类型一　用向量运算求夹角和距离(数学运算)
角度1　求夹角
【典例】已知向量a＝，则下列向量中与a成60°的是(　　)
A．
B．
C．
D．
【思路导引】用夹角公式计算夹角余弦，进一步求角．
【解析】选B.对于A选项中的向量a1＝，cos
〈a，a1〉＝＝＝－，则〈a，a1〉＝120°；
对于B选项中的向量a2＝，cos
〈a，a2〉
＝＝＝，则〈a，a2〉＝60°；
对于C选项中的向量a3＝，cos
〈a，a3〉＝＝＝－，则〈a，a3〉＝120°；
对于D选项中的向量a4＝，此时a4＝－a，两向量的夹角为180°.
角度2　求距离
【典例】ABC?A1B1C1是正三棱柱，若AB＝1，AB1⊥BC1，则AA1＝(　　)
A．
B．
C．
D．
【思路导引】由题意画出图形，取AB的中点O，连接OC，以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系，设AA1＝a，再由AB1·BC1＝0列式求解a的值，则答案可求．
【解析】选B.如图，取AB的中点O，连接OC，以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系．
设AA1＝a，则A，B1，B，
C1(0，，a)，则AB1＝，BC1＝.
由AB1⊥BC1，得AB1·BC1＝－＋a2＝0，即a＝.
所以AA1＝.
　利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；
(4)转化：转化为夹角与距离问题．
1．在空间直角坐标系O?xyz中，O(0，0，0)，E(2，0，0)，F(0，2，0)，B为EF的中点，C为空间一点且满足||＝||＝3，若cos
〈，〉＝，则·＝(　　)
A．9　　　B．7　　　C．5　　　D．3
【解析】选D.设C(x，y，z)，B(，，0)，
＝(x，y，z)，＝(x－，y－，z)，＝(－2，2，0)，由cos
〈，〉＝
＝＝，
整理可得：x－y＝－，由||＝||＝3，
得＝，
化简得x＋y＝，
以上方程组联立得x＝，y＝，
则·＝(x，y，z)·＝2y＝3.
2．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为______．
【解析】设BC边的中点为D，
则＝(＋)＝(－1，－2，2)，
所以||＝＝3.
答案：3
3．已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1，1，－4).
(1)计算2a－3b和.(2)求〈a，b〉．
【解析】(1)因为向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1，1，－4)
所以2a－3b＝2(2，－1，－2)－3(1，1，－4)
＝(4，－2，－4)－(3，3，－12)＝(1，－5，8)，
所以＝＝3.
(2)cos
〈a，b〉＝＝＝，
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
类型二　立体图形中的角与距离(直观想象，数学运算)
【典例】已知正三棱柱ABC?A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求三棱柱的侧棱长．
(2)M为BC1的中点，试用基向量，，表示向量.
(3)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．
【思路导引】设棱长，写点的坐标，利用与垂直，数量积为零获得侧棱长．
【解析】(1)设侧棱长为b，则A(0，－1，0)，B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，
所以＝(，1，b)，＝(－，1，b).
因为AB1⊥BC1，所以·＝(，1，b)·(－，1，b)＝－()2＋12＋b2＝0，解得b＝.
(2)因为M为BC1的中点，
所以＝(＋)
＝(＋＋).
(3)由(1)知＝(，1，)，＝(－，1，0)，
因为|
|＝＝，
||＝＝2，
·＝(，1，)·(－，1，0)
＝－()2＋1×1＝－2，
所以|cos
〈，〉|＝＝＝.
所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.
　运用向量坐标运算解决几何问题的方法
1．如图，四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°.设AB＝AP，在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．
【解析】因为PA⊥平面ABCD，且AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.
又AB⊥AD，所以AP，AB，AD两两垂直．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz.
假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．连接GB，GC，GP，
设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，
P(0，0，t)，D(0，4－t，0).
因为∠CDA＝45°，所以C(1，3－t，0).
所以＝(1，3－t－m，0)，
＝(0，4－t－m，0)，
＝(0，－m，t).
由||＝||，
得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m.①
由||＝||，
得(4－t－m)2＝m2＋t2.②
由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③
由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．
2．如图，在长方体OABC?O1A1B1C1中，||＝2，||＝3，|
|＝2，E为BC的中点．
(1)求与所成角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求O1D的长．
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)由已知得A(2，0，0)，O1(0，0，2)，B1(2，3，2)，E(1，3，0)，
所以＝(－2，0，2)，＝(－1，0，－2)，
所以cos
〈，〉
＝＝＝－.
(2)因为⊥，∥，而C(0，3，0)，设D(x，y，0)，
则O1D＝(x，y，－2)，＝(x－2，y，0)，＝(－2，3，0)，
所以?
所以D，
所以O1D＝|O1D|＝.
课堂检测·素养达标
1．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于(　　)
A．3
B．2
C．
D．5
【解析】选A.a－b＋2c＝(9，3，0)，
|a－b＋2c|＝3.
2．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2，1)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
【解析】选A.＝(3，4，2)，＝(5，1，3)，＝(2，－3，1).
由·＞0，得A为锐角；
由·＞0，得C为锐角；
由·＞0，得B为锐角．所以△ABC为锐角三角形．
3．(教材习题改编)若点A(0，1，2)，B(1，0，1)，则＝______，＝______．
【解析】＝(1，－1，－1)，||＝＝.
答案：(1，－1，－1)　
4．若向量a＝，b＝，则＝____．(　　)
A．
B．2
C．3
D．3
【解析】选D.由于向量a＝，b＝，所以2a＋b＝.
故＝＝＝3.
5．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则与的夹角的大小是______．
【解析】因为＝(－2，－1，3)，＝(－1，3，－2)，
cos
〈，〉
＝＝
＝－，
所以〈，〉＝120°.
答案：120°
PAGE§4　向量在立体几何中的应用
4.1　直线的方向向量与平面的法向量
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　必备知识·自主学习
导思
什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？
1.直线的方向向量
(1)在直线l上任取不同的两点A，B，则称为直线l的方向向量．
(2)一条直线有无数个方向向量，与平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量．
　直线l的方向向量所在直线一定与直线l重合吗？
提示：直线l的方向向量所在直线可能与直线l重合，也可能与直线l平行．
2．直线的向量表示
在直线l上给定一个点A和它的一个方向向量a，对于直线l上的任意一点P，有＝ta或＝＋ta或＝(1－t)＋t(＝a)，上面三个向量等式都是空间直线l的向量表示式．
　线段AB的中点M怎样用向量表示？
提示：线段AB的中点M的向量表达式为＝(＋).
3．平面的法向量
如果直线l与平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫做平面α的法向量，即n⊥α.
4．平面的向量表示
设M是平面α内给定的一点，向量n为平面α的一个法向量，则对平面α内任意一点A，都有·n＝0，这个式子通常称为平面α的一个向量表示式．
　平面的法向量有何作用？是否唯一？
提示：平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系．平面的法向量不唯一，它们都是共线的．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．(　　)
(2)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(　　)
(3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．(　　)
(4)直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行．(　　)
(5)已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的一个法向量．(　　)
提示：(1)√.两条直线平行，它们的方向向量就是共线的，所以方向要么相同，要么相反．
(2)×.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取．
(3)×.两直线的方向向量平行，说明两直线平行或者重合．
(4)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面可能平行，也可能在平面内．
(5)×.不一定．当a＝0时，也满足a∥l，尽管l垂直于平面α，a也不是平面α的法向量．
2．若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　)
A．(2，2，6)
B．(－1，1，3)
C．(3，1，1)
D．(－3，0，1)
【解析】选A.＝(1，1，3)，所有与共线的向量都可以充当直线l的方向向量，经验证，选项A符合题意．
3．(教材练习改编)从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为(　　)
A．(－9，－7，7)
B．(18，17，－17)
C．(9，7，－7)
D．(－14，－19，31)
【解析】选B.设B(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，λ>0.故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，
又(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－7)2＝342，
得(17λ)2＝342，因为λ>0，所以λ＝2.
所以x＝18，y＝17，z＝－17，即B(18，17，－17).
关键能力·合作学习
类型一　确定直线上点的位置(数学运算)
【典例】已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5).
(1)若＝(－)，求P点的坐标；
(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标．
【思路导引】(1)由条件先求出，的坐标，再利用向量的运算求P点的坐标．
(2)先把条件AP∶PB＝1∶2转化为向量关系，再运算．
【解析】(1)＝(－1，1，5)，＝(－3，－1，5).
＝(－)＝(2，2，0)＝(1，1，0).所以P点的坐标为(1，1，0).
(2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，
知＝.
设点P的坐标为(x，y，z)，
则＝(x－3，y－4，z)，＝(2－x，5－y，5－z)，
故(x－3，y－4，z)＝(2－x，5－y，5－z)，
即得
因此P点的坐标为.
　确定直线上点的位置的方法
此类问题常转化为解决向量的共线、向量的相等问题，设出要求点的坐标，利用已知条件得出关于要求点的坐标的方程或方程组求解即可．
1．已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选C.设C(x，y，z)，
因为C为线段AB上一点且＝，
所以||＝||，即＝，
即(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)，
所以x＝，y＝－1，z＝.
所以C.
2．已知直线l的方向向量v＝(2，－1，3)，且过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y＝________，z＝________.
【解析】由题意知，＝(－1，2－y，z－3)，v∥，
所以＝＝，
所以y＝，z＝.
答案：　
类型二　求平面的法向量(数学运算)
【典例】如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
【思路导引】由题知，AB，AP，AD两两垂直，以A为原点建系，根据长度写出与的坐标，计算和它们都垂直的向量．
【解析】因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则P(0，0，1)，D(0，，0)，E，B(1，0，0)，C(1，，0)，
于是＝，＝(1，，0).
设n＝(x，y，z)为平面ACE的一个法向量，
则即所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，).
　本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．
【解析】以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，，0)，所以＝(1，，－1)，即为直线PC的一个方向向量．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z).
因为D(0，，0)，
所以＝(0，，－1).
由得
所以
令y＝1，则z＝.
所以平面PCD的一个法向量为(0，1，).
　待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z).
(2)选向量：在平面内选取两个不共线的向量，.
(3)列方程组：由列出方程组．
(4)解方程组：
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论：得到平面的一个法向量．
1．若直线l∥平面α，直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，则下列结论成立的是(　　)
A．s＝(－1，0，2)，n＝(1，0，－1)
B．s＝(－1，0，1)，n＝(1，2，－1)
C．s＝(－1，1，1)，n＝(1，2，－1)
D．s＝(－1，1，1)，n＝(－2，2，2)
【解析】选C.直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量一定垂直，经检验只有选项C中s·n＝0.
2．在△ABC中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点．
(1)求平面ABC的一个法向量；
(2)求x，y，z满足的关系式．
【解析】(1)设平面ABC的一个法向量为n＝(a，b，c).
因为＝(2，4，－1)，＝(2，2，1)，
所以所以
令b＝2，则a＝－3，c＝2.
所以平面ABC的一个法向量为n＝(－3，2，2).
(2)因为点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点，所以⊥n，
所以－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0，
所以3x－2y－2z－1＝0.
故x，y，z满足的关系式为3x－2y－2z－1＝0.
类型三　利用法向量证明线面位置关系(数学运算，直观想象)
【典例】如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．
证明：(1)C1M∥平面ADE；
(2)平面ADE⊥平面A1D1F.
【思路导引】建立空间直角坐标系，求出平面ADE与平面A1D1F的法向量求解．
【证明】(1)以D为原点，向量，，DD1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1.
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，E，C1(0，1，1)，
M，＝(1，0，0)，＝，C1M＝.
设平面ADE的一个法向量为m＝(a，b，c)，
则所以
取c＝2得m＝(0，－1，2)，
因为m·C1M＝(0，－1，2)·＝0＋1－1＝0，
所以C1M⊥m.又C1M?平面ADE，
所以C1M∥平面ADE.
(2)由D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，F，
得D1A1＝(1，0，0)，D1F＝，
设平面A1D1F的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则?
令y＝2，则n＝(0，2，1).
因为m·n＝(0，－1，2)·(0，2，1)＝0－2＋2＝0，
所以m⊥n.所以平面ADE⊥平面A1D1F.
　在本例中设D1B1的中点为N，其他条件不变．试证：EN⊥平面B1AC.
【证明】根据例题中所建坐标系得，E，N，A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0).
所以＝，AB1＝(0，1，1)，＝(－1，1，0)，
所以·AB1＝0，·＝0，
所以⊥AB1，⊥，即EN⊥AB1，EN⊥AC.
又AB1∩AC＝A，所以EN⊥平面B1AC.
　用向量法证明空间中的位置关系的关键
利用向量法证明空间中的位置关系，关键是建立坐标系，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算．解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示．
　在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.
求证：(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
【证明】建立如图所示的空间直角坐标系．
D是坐标原点，设DC＝a.
(1)连接AC交BD于G，连接EG，
依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，C(0，a，0)，E.
因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，所以＝.
又＝(a，0，－a)，所以＝2，
所以PA∥EG.而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a，0)，＝(a，a，－a)，＝，所以·＝0＋－＝0，
所以⊥，即PB⊥DE.
又已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.
课堂检测·素养达标
1．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　)
A．(0，－3，1)
B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1)
D．(－2，3，－1)
【解析】选D.问题即为求与n共线的一个向量．又n＝(2，－3，1)＝－(－2，3，－1)，故D选项符合题意．
2．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是(　　)
A．(－1，－1，－1)
B．(1，－1，1)
C．(－1，1，1)
D．(1，1，－1)
【解析】选A.＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1).
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则有取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.
故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1).
3．已知平面α∥平面β，n＝(1，－1，1)是平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的法向量的是(　　)
A．(1，1，1)
B．(－1，1，－1)
C．(－1，－1，－1)
D．(1，1，－1)
【解析】选B.因为α∥β，所以两个平面的法向量应共线，只有B选项符合．
4．对于任意空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，给出下列三个命题：
①a∥b?＝＝；
②若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量；
③a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
其中真命题的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】选B.由＝＝?a∥b，反之不一定成立，故①不正确；
若a1＝a2＝a3＝1，则|a|＝，故②不正确；③正确．
5．(教材例题改编)若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.
【解析】由题意，知＝，＝.
由于a为平面α的法向量，所以a·＝0，a·＝0，
即
所以
所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4).
答案：2∶3∶(－4)
PAGE4.2　用向量方法讨论立体几何中的位置关系　
必备知识·自主学习
导思
1.怎样用向量判断线线平行、垂直？2．怎样用向量判断线面平行、垂直？3．怎样用向量判断面面平行、垂直？
1.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合?v1∥v2.
(2)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l在α内?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合?v1∥β且v2∥β.
若a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4，2－2m，2－2m)分别为直线l1，l2的方向向量，则实数m取哪些值时有l1∥l2？
提示：要使l1∥l2，需a∥b，即＝，从而m＝3.另外当m＝1时，显然也适合题意符合条件，所以当m＝1或3时有l1∥l2.
2．空间中垂直关系的向量表示
线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
线面垂直
设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥u?a＝ku?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R).
面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面有怎样的位置关系？
提示：这两个平面是垂直关系．直线l的方向向量与平面β的法向量共线，说明直线l垂直于平面β，又直线l在平面α内，所以平面α和平面β垂直．
3．三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直．
(2)三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(　　)
(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直．(　　)
(3)两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(　　)
(4)若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直．(　　)
提示：(1)√.直线的方向向量与平面的法向量共线(方向相同或相反)时，直线与平面垂直．
(2)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线与平面平行或者在平面内．
(3)√.两个平面的法向量垂直，这两个平面就垂直．
(4)×.当平面内两条直线的方向向量共线时，直线不一定和平面垂直．
2．(教材练习改编)若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　)
A．l∥α
B．l⊥α
C．l?α
D．l与α斜交
【解析】选B.因为n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，
所以n∥a，所以l⊥α.
3．若直线l1的方向向量为u1＝(1，3，2)，直线l2上有两点A(1，0，1)，B(2，－1，2)，则两直线的位置关系是______．
【解析】＝(1，－1，1)，u1·＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此l1⊥l2.
答案：l1⊥l2
4．已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1，0，1)，u2＝(0，2，0)，则平面α，β的位置关系为________.
【解析】u1·u2＝0，则α⊥β.
答案：α⊥β
关键能力·合作学习
类型一　向量法证线线平行、垂直(数学运算、逻辑推理)
1．已知直线l1的一个方向向量为(－7，3，4)，直线l2的一个方向向量为(x，y，8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
2．设l1的方向向量为a＝(1，2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，则m＝(　　)
A．
B．1
C．2
D．3
3．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则CE垂直于(　　)
A．AC
B．BD
C．A1D
D．AA1
4．如图，在四棱锥P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
求证：EF⊥CD.
【解析】1.因为l1∥l2，所以＝＝(x≠0，y≠0)，
所以x＝－14，y＝6.
答案：－14　6
2．选C.由题意可得a⊥b，所以a·b＝0，
所以1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，所以m＝2.
3．选B.建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，E，
B(1，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1).
则＝(1，1，0)，＝，
所以·＝－＋0＝0，所以⊥.所以DB⊥CE.
＝(－1，1，0)，＝(－1，0，－1)，＝(0，0，1)，
·＝－－＋0＝－1≠0，
·＝－＋0－1＝－≠0，
·＝1≠0，
所以ACD项不符合．
4．以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，
设AD＝a，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，
E，P(0，0，a)，F，
所以＝，＝(0，a，0)，
因为·＝·(0，a，0)＝0，
所以EF⊥DC.
用向量判断两条直线是否平行、垂直的方法
(1)两直线的方向向量共线，则两直线平行，检查两直线的方向向量共线一般看其对应坐标是否成比例．
(2)在两直线上分别取两点A，B与C，D，计算向量与的坐标，若·＝0，则两直线垂直，否则不垂直．
类型二　向量法证线面平行、垂直(数学运算，逻辑推理)
角度一　向量法证线面平行
【典例】在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
【思路导引】
【解析】方法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，
M，N，
于是＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，＝.
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝－1，
所以平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1).
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
所以⊥n.所以MN∥平面A1BD.
方法二：＝－＝－＝(－)＝，所以∥，又?平面ABCD，
所以MN∥平面A1BD.
方法三：＝－＝－＝－
＝－(＋)＝－．
即可用A1B与线性表示，故与，是共面向量，故MN∥平面A1BD.
　利用空间向量证明线面平行一般有三种方法
方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．
方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直．
1．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，则实数m的值是________.
2．如图所示，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：FC1∥平面ADE.
【解析】1.＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1).
因为l∥平面ABC，所以存在实数λ，μ，使a＝λ＋μ，
即(2，m，1)＝λ(1，0，－1)＋μ(0，1，－1).
所以解得m＝－3.
答案：－3
2．如图所示，建立空间直角坐标系D?xyz，
则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1).
所以FC1＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1)，
所以＝，所以FC1∥AE，因为AE?平面ADE，FC1?平面ADE，
所以FC1∥平面ADE.
角度2　向量法证线面垂直
【典例】如图所示，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD.
1．坐标法证明线面垂直的两种思路
方法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
方法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决．
　如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥平面BEF.
【证明】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
因为AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四边形ABCD是矩形．
所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).
又E，F分别是AD，PC的中点，
所以E(0，，0)，F(1，，1).
所以＝(2，2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1，0，1).
所以·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0.
所以⊥，⊥.
所以PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F，所以PC⊥平面BEF.
类型三　向量法证面面平行、垂直(数学运算、逻辑推理)
角度1　向量法证面面平行
【典例】如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO.
【思路导引】建立空间直角坐标系，找两对向量共线得两对相交的平行直线．
【解析】如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D?xyz，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.
设正方体的棱长为1，则O，P，
A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，Q(0，1，z)，
则＝，＝(－1，－1，1)，
所以＝，
所以∥，即OP∥BD1.
＝，＝(－1，0，z)，
当z＝时，＝，
即AP∥BQ，又AP∩OP＝P，BQ∩BD1＝B，
则有平面PAO∥平面D1BQ，
所以当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
　向量证明面面平行的方法
利用空间向量证明面面平行通常可以有两个途径：一是找两对向量共线得两对相交的平行直线，用面面平行的判定定理证明；二是求出两平面的法向量，若两法向量是共线向量，则可判定两平面平行．
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.
【解析】如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则C(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，
所以＝(0，－1，1)，＝(1，1，0)，
设平面CB1D1的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则
即
令y1＝1，可得平面CB1D1的一个法向量为m＝(－1，1，1)，
同理可求平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1).
所以m＝－n，所以m∥n，
故平面A1BD∥平面CB1D1.
角度2　向量法证面面垂直
【典例】如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
【思路导引】要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量的数量积为零．
【证明】由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E，
则＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，
＝.
设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1).
则?
令x1＝1，得y1＝1.所以n1＝(1，1，0).
设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2).
则?
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.所以n2＝(1，－1，4).
因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.
所以n1⊥n2，所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.
　利用向量证明面面垂直的方法
利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.
【证明】设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，1)，
E.
方法一：连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为.易知＝(0，0，1)，＝，
所以＝，所以OE∥AS.
又AS⊥底面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.
又OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.
方法二：设平面BDE的一个法向量为n1＝(x，y，z).
易知＝(－1，1，0)，＝，
所以即
令x＝1可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0).
因为AS⊥底面ABCD，
所以设平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0，0，1).
因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.
备选类型　向量法解立体几何问题(数学运算、逻辑推理)
【典例】如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝AA1＝2，N，M分别是AB，C1D的中点．
(1)求证：NM∥平面A1ADD1；
(2)求证：NM⊥平面A1B1M.
【思路导引】(1)建立坐标系证明向量与平面A1ADD1的法向量垂直；(2)证明向量与平面A1B1M内的两个向量垂直．
【证明】(1)以D为原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
因为在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝AA1＝2，N，M分别是AB，C1D的中点，
所以M(0，1，1)，N(1，1，0)，＝(1，0，－1)，
因为平面A1ADD1的一个法向量n＝(0，1，0)，
所以·n＝0，因为MN?平面A1ADD1，
所以MN∥平面A1ADD1.
(2)A1(1，0，2)，B1(1，2，2)，＝(0，2，0)，＝(－1，1，－1)，
所以·＝0，·＝0，
所以MN⊥A1B1，MN⊥A1M，
因为A1B1∩A1M＝A1，所以NM⊥平面A1B1M.
　利用向量法解立体几何问题的步骤
建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量和平面的法向量→证明向量垂直→得到线线、线面、面面垂直．利用向量法解决立体几何问题的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．
1.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为三角形A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC.A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．
求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
【证明】如图，建立空间直角坐标系．
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，1，)，
因为D为BC的中点，所以D点坐标为(1，1，0)，
所以＝(－2，2，0)，＝(1，1，0)，＝(0，0，)，
因为·＝－2＋2＋0＝0，·＝0＋0＋0＝0，
所以⊥，⊥，
即BC⊥AD，BC⊥AA1，
又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面A1AD，
而BC?平面BCC1B1，
所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
课堂检测·素养达标
1．l1的方向向量为v1＝(1，2，3)，l2的方向向量v2＝(λ，4，6)，若l1∥l2，则λ＝(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】选B.因为l1∥l2，
所以v1∥v2，则＝，所以λ＝2.
2．如图所示，PO⊥平面ABC，且O为△ABC的垂心，则AB与PC的关系是________.
【解析】因为O为△ABC的垂心，所以CO⊥AB.
又因为OC为PC在平面ABC内的射影，
所以由三垂线定理知AB⊥PC.
答案：垂直
3．(教材练习改编)设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　)
A．－2
B．2
C．6
D．10
【解析】选D.因为l1⊥l2，所以a·b＝0，
所以－2×3－2×2＋m＝0，
所以m＝10.
4．如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上结论中正确的是________．(填写所有正确的序号)
【解析】因为＝－
＝－＝，
所以A1M∥D1P.
因为D1P?平面D1PQB1，A1M?平面D1PQB1，
所以A1M∥平面D1PQB1.
又D1P?平面DCC1D1，A1M?平面DCC1D1，
所以A1M∥平面DCC1D1.
因为B1Q为平面DCC1D1的斜线，
所以B1Q与D1P不平行，所以A1M与B1Q不平行．
答案：①③④
5．如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________.
【解析】以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则E，
F，
所以＝，
设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，又B(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，
所以＝(1，1，－1)，＝(－1，0，0)，所以
即令y＝1，则z＝1，x＝0，
所以平面PBC的一个法向量为n＝(0，1，1)，
所以＝－n，
所以∥n，所以EF⊥平面PBC.
答案：垂直
PAGE4．3　用向量方法研究立体几何中的度量关系
第1课时　两条直线所成的角、直线与平面所成的角
必备知识·自主学习
导思
1.怎样求异面直线所成的角？2．怎样求直线与平面所成的角？
空间角的向量求法
角的分类
向量求法
范围
两异面直线l1与l2所成的角θ
设l1与l2的方向向量分别为a，b，则cos
θ＝|cos
〈a，b〉|＝
直线l与平面α所成的角θ
设l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin
θ＝|cos
〈a，n〉|＝
直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？
提示：设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则
θ＝
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　)
(2)直线与平面所成的角不是锐角就是直角．(　　)
(3)斜线和它在平面内的射影所成的角是锐角．(　　)
(4)若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2所成的角的余弦值等于－.(　　)
提示：(1)×.两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等或互补．
(2)×.角的度数还可以是零度．
(3)√.斜线和平面不垂直，也不在平面内或与平面平行，所以和它的射影所成的角一定是锐角．
(4)×.|a|＝，|b|＝2，a·b＝(0，－2，－1)·(2，0，4)＝－4，所以cos
〈a，b〉＝＝－，但异面直线夹角的范围是，故夹角余弦值应为.
2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos
〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　　)
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【解析】选A.设直线l与平面α所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos
〈m，n〉|＝，
所以θ＝30°.
3．已知两异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，若cos
〈v1，v2〉＝－，则l1与l2所成角为________.
【解析】由cos
〈v1，v2〉＝－，
则〈v1，v2〉＝120°，l1，l2所成角为其补角60°.
答案：60°
关键能力·合作学习
类型一　向量法求异面直线所成的角(数学运算、直观想象)
【典例】如图，在直三棱柱A1B1C1?ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．
四步
内容
理解题意
条件：①直三棱柱A1B1C1?ABC②AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4③点D是BC的中点结论：异面直线A1B与C1D所成角的余弦值
思路探求
利用直三棱柱的特征建立空间直角坐标系，由长度得到点和向量的坐标，应用公式计算．
书写表达
以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，则B(2，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4).因为cos
〈，〉＝＝＝，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
题后反思
当几何体适合建立空间直角坐标系时，一般建系，写点，写向量，代入公式计算，关键是正确写出各点坐标．
　利用向量求异面直线所成角的方法
(1)基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用基底的方法，在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别作为a，b的方向向量，则cos
θ＝，根据条件可以把与用基底表示，再进行计算．
(2)坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单．
如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC?A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.设CB＝1，则A(2，0，0)，B1(0，2，1)，C1(0，2，0)，B(0，0，1)，＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1).cos
〈，〉＝＝＝.
类型二　向量法求线面角(数学运算、直观想象)
【典例】已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．
【思路导引】建立坐标系，求平面AMC1的法向量，计算法向量与向量的夹角余弦，再转化为线面角的正弦．
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，M，C1，B(0，a，0)，故＝，＝，＝.
设平面AMC1的法向量为n＝(x，y，z).
则所以
令y＝2，则z＝－，x＝0.所以n＝.
又＝，
所以cos
〈，n〉＝＝＝－.
设BC1与平面AMC1所成的角为θ，则sin
θ＝|cos
〈，n〉|＝.
向量法求线面角的步骤
(1)分析图形关系，建立空间直角坐标系．
(2)求出直线的方向向量a和平面的法向量n.
(3)求出夹角〈a，n〉．
(4)判断直线和平面所成的角θ和〈a，n〉的关系，求出角θ.
　在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解析】选A.建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，1)，C(1，，0)，＝(1，，－1)，
平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
所以cos
〈，n〉＝＝－，所以〈，n〉＝120°，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，
所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.
备选类型　高考中的立体几何(直观想象、数学运算、逻辑推理)
【典例】(2020·新高考全国Ⅱ卷)如图，四棱锥P?ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【思路导引】(1)过P在平面PAD内作直线l∥AD，推得l为平面PAD和平面PBC的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；
(2)以D为坐标原点，直线DC，DA，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D?xyz，设Q(0，m，1)，(m＞0)，运用向量法，求得平面QCD的法向量，结合向量的夹角公式，以及基本不等式可得所求最大值．
【解析】(1)过P在平面PAD内作直线l∥AD，
由AD∥BC，可得l∥BC，即l为平面PAD和平面PBC的交线．
因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC，
又BC⊥CD，CD∩PD＝D，所以BC⊥平面PDC，
因为l∥BC，所以l⊥平面PDC；
(2)如图，以D为坐标原点，直线DC，DA，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D?xyz，
则D(0，0，0)，C(1，0，0)，A(0，1，0)，P(0，0，1)，B(1，1，0)，
设Q(0，m，1)(m>0)，＝(0，m，1)，＝(1，1，－1)，＝(1，0，0)，设平面QCD的法向量为n＝(a，b，c)，
则所以取c＝1，可得n＝(0，－，1)，
所以cos
〈n，〉＝＝，
所以PB与平面QCD所成角的正弦值为
＝·＝·≤·
＝，当且仅当m＝1时取等号，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.
高考中的立体几何问题解法
高考中的立体几何问题通常需要证明平行、垂直关系，求直线与平面所成的角或者两个平面的夹角，一般平行、垂直关系使用几何的方法推理证明，各种角的计算则运用向量的方法，一般是在几何图形中建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量的坐标，通过向量的夹角获得待求的各种角．
已知△ABC的各边长为3，点D，E分别是AB，AC上的点，且满足＝，D为AB的三等分点(靠近点A)，(如图(1))，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1?DE?B的平面角为90°，连接A1B，A1C(如图(2)).
(1)求证：A1D⊥平面BCED；
(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)由题干图(1)可得：AE＝2，AD＝1，A＝60°.
从而DE＝＝，
故得AD2＋DE2＝AE2，所以AD⊥DE，BD⊥DE.
所以A1D⊥DE，BD⊥DE，
所以∠A1DB为二面角A1?DE?B的平面角，
又二面角A1?DE?B为直二面角，
所以∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB，
因为DE∩DB＝D且DE，DB?平面BCED，
所以A1D⊥平面BCED.
(2)存在．由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.
以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D?xyz，如图，
过P作PH∥DE交BD于点H，
设PB＝2a(0≤2a≤3)，则BH＝a，PH＝a，DH＝2－a，
易知A1(0，0，1)，P(2－a，a，0)，E(0，，0)，
所以＝(a－2，－a，1).
因为ED⊥平面A1BD，所以平面A1BD的一个法向量为＝(0，，0).
因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，
所以sin
60°＝＝＝，
解得a＝.
所以PB＝2a＝，满足0≤2a≤3，符合题意．
所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB＝.
课堂检测·素养达标
1．平面α的斜线l与它在这个平面上的射影l′的方向向量分别为a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，则斜线l与平面α所成的角为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解析】选C.因为直线与平面所成角的范围是，
所以l与α所成的角为a与b所成的角(或其补角)，
因为cos
〈a，b〉＝＝，所以〈a，b〉＝60°.
2．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选C.如图所示，
直线l与平面α所成的角θ＝－＝.
3．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为(　　)
A.
B．
C．
D．
【解析】选B.以D为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，E，
所以＝(1，1，0)，＝，
易得平面BDE的法向量n＝(1，－1，2)，而＝(0，－1，1)，
所以cos
〈n，〉＝＝，所以〈n，〉＝.
所以直线A1B与平面BDE所成的角为＝.
4．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成的角的余弦值为________．
【解析】以D为坐标原点，建系如图，
则B(1，2，0)，C1(0，2，2)，A(1，0，0)，E(0，2，1)，
所以＝(－1，0，2)，＝(－1，2，1).
则cos
〈，〉＝，
所以异面直线BC1与AE所成的角的余弦值为.
答案：
PAGE第2课时　两平面所成的角、空间中的距离问题
新课程标准
学业水平要求
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题和简单夹角问题．2．体会向量方法在解决几何问题中的作用．
1.理解点线距、线线距、线面距、面面距的概念和向量表示．(直观想象、数学抽象)2．理解两平面所成的角的向量表示．(直观想象、数学抽象)3．掌握利用向量法求空间距离问题．(直观想象、数学运算)4．会用向量方法求两平面所成的角．(直观想象、数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.怎样求点到直线、点到平面的距离？2．怎样求平行直线、平行平面间的距离？
1.空间距离的向量求法
(1)点到平面的距离
点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即．
(2)点到直线的距离
若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为．
点线距、点面距、面面距之间有什么关系？
提示：若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．
2．用向量的夹角度量二面角
一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α?l?β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉相等(如图(1))或互补(如图(2)).
cos
〈n1，n2〉＝.
根据两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，能确定两平面所成的二面角的大小吗？
提示：不能确定．因为两平面所成的二面角可能是锐角，也可能是钝角，即由已知的法向量可求得二面角为45°或135°.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离．(　　)
(2)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所成向量的长度．(　　)
(3)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．(　　)
(4)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos
〈n1，n2〉＝.(　　)
提示：(1)√.过直线外一点作直线的垂线，该点与垂足间的距离叫点到直线的距离．
(2)×.点A与其在平面α内的射影点的距离是点A到平面α的距离．
(3)√.直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离都相等．
(4)×.二面角的平面角的余弦值与二面角的两半平面的法向量夹角余弦值的绝对值是相等的．
2．(教材例题改编)如图，二面角α?l?β的平面角为120°，A，B∈l，AC?α，BD?β，AC⊥l，BD⊥l，若AB＝AC＝BD＝1，则CD＝(　　)
A．
B．
C．2
D．
【解析】选C.因为＝＋＋，
所以CD2＝1＋1＋1＋2·，
所以CD2＝3＋2×1×1·cos
60°＝4，所以||＝2.
3．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为(　　)
A．10
B．3
C．
D．
【解析】选D.点P到平面α的距离，
d＝＝＝.
关键能力·合作学习
类型一　用空间向量求距离(数学运算、直观想象)
1.若三棱锥P?ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　)
A．
B．
C．
D．
2．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD?A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，则点B到直线A′C的距离为________．
3．如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
则点D到平面PEF的距离为________；直线AC到平面PEF的距离为________．
【解析】1.选D.分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，则d＝＝.
2．因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，所以直线A′C的方向向量＝(1，2，－3).
又＝(0，2，0)，所以在上的投影数量为＝，
所以点B到直线A′C的距离
d＝＝＝.
答案：
3．建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，＝，＝，＝(0，0，1).
设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即解得x＝y，令x＝y＝2，得n＝(2，2，3)，因此，点D到平面PEF的距离为＝＝.
由题＝(－1，0，1)，因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥AC，
又EF?平面PEF，AC?平面PEF，所以AC∥平面PEF，所以AC到平面PEF的距离为＝＝.
答案：
1．用向量法求点线距离的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量；
(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的射影长；
(4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．
2．用向量法求点面距离的步骤
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标；
(3)求向量：求出相关向量的坐标；
(4)求距离．
【补偿训练】
已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝(1，0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4，3，2)到l的距离为________．
【解析】因为＝(－2，0，－1)，又n与l垂直，
所以点P到l的距离为＝＝.
答案：
类型二　向量法求两平面所成的角(数学运算、直观想象)
【典例】如图，四棱柱ABCD?A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1?OB1?D的余弦值．
【思路导引】(1)证AC、BD都与OO1垂直；(2)建立空间直角坐标系，计算平面OC1B1的法向量，求平面BDD1B1的法向量与平面OC1B1的法向量的夹角余弦值．
【解析】(1)因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD.
(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．
如图，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，
所以O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)，平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0，1，0)，
设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，
则m⊥，m⊥，所以x＋2z＝0，y＋2z＝0，取z＝－，则x＝2，y＝2，所以m＝(2，2，－)，
所以cos
〈m，n〉＝＝＝.
由图形可知二面角C1?OB1?D的大小为锐角，所以二面角C1?OB1?D的余弦值为.
本例(2)条件不变，求二面角B?A1C?D的余弦值．
【解析】如图建立空间直角坐标系．设棱长为2，则A1(0，－1，2)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0).
所以＝(－，1，0)，＝(0，2，－2)，＝(－，－1，0).设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即取x1＝，
则y1＝z1＝3，故n1＝(，3，3).
设平面A1CD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则则取x2＝，
则y2＝z2＝－3，故n2＝(，－3，－3).
所以cos
〈n1，n2〉＝＝－＝－.
由图形可知二面角B?A1C?D的大小为钝角，
所以二面角B?A1C?D的余弦值为－.
利用坐标法求二面角的步骤
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的大小，如图．用坐标法解题的步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量n1，n2.
(3)计算：求n1与n2所成角θ的余弦值的绝对值，cos
θ＝.
(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.
如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC.点F为PC的中点，则二面角C?BF?D的正切值为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选D.如图，连接OF，因为四边形ABCD为菱形，所以O为AC的中点，AC⊥BD.因为F为PC的中点，所以OF∥PA.因为PA⊥平面ABCD，所以OF⊥平面ABCD.以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O?xyz，设PA＝AD＝AC＝1，
则BD＝，所以B，F，C，D，结合图形可知，＝，且为平面BDF的一个法向量．由＝，＝，可求得平面BCF的一个法向量n＝(1，，).
所以cos
〈n，〉＝，sin
〈n，〉＝，
所以tan
〈n，〉＝.
备选类型　高考中的立体几何(直观想象，数学运算，逻辑推理)
【典例】(2020·全国Ⅰ卷)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO
＝DO.
(1)证明：PA⊥平面PBC；
(2)求二面角B?PC?E的余弦值．
【思路导引】(1)要证明PA⊥平面PBC，只需证明PA⊥PB，PA⊥PC即可；
(2)以O为坐标原点，的方向为y轴正方向建立空间直角坐标系，分别算出平面PCB的法向量为n，平面PCE的法向量为m，利用公式cos
＝计算即可得到答案．
【解析】(1)设DO＝a，由题设可得PO＝a，AO＝a，AB＝a，PA＝PB＝PC＝a.
因此PA2＋PB2＝AB2，从而PA⊥PB.
又PA2＋PC2＝AC2，从而PA⊥PC.
所以PA⊥平面PBC.
(2)以O为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.
由题设可得E(0，1，0)，A(0，－1，0)，C，P.
所以＝，＝.
设m＝(x，y，z)是平面PCE的法向量，则，
即，可取m＝.
由(1)知＝是平面PCB的一个法向量，
记n＝，则cos
〈n，m〉＝＝.
所以二面角B?PC?E的余弦值为.
如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D?AF?E与二面角C?BE?F都是60°.
(1)证明：平面ABEF⊥EFDC；
(2)求二面角E?BC?A的余弦值．
【解析】(1)由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC，又AF?平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.
(2)过D点作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G?xyz.由(1)知∠DFE为二面角D?AF?E的平面角，故∠DFE＝60°，则|DF|＝2，|DG|＝，可得A(1，4，0)，B(－3，4，0)，E(－3，0，0)，D(0，0，).
由已知，AB∥EF，又EF?平面EFDC，AB?平面EFDC，所以AB∥平面EFDC，又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF，
由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角C?BE?F的平面角，∠CEF＝60°，从而可得C(－2，0，).
所以＝(1，0，)，＝(0，4，0)，＝(－3，－4，)，
＝(－4，0，0).
设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则
即所以可取n＝(3，0，－).
设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m＝(0，，4)，
则cos
〈n，m〉＝＝－.
故二面角E?BC?A的余弦值为－.
课堂检测·素养达标
1．已知平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝(1，－1，1)，则平面α与β所成的角为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解析】选D.因为n1·n2＝0，所以α⊥β，所以α与β所成的角为90°.
2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　)
A．
B．
C．
D．3
【解析】选B.两平面的一个法向量为n＝，故两平面间的距离为d＝＝.
3．在一个二面角的两个半平面内部，和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为(　　)
A．
B．－
C．
D．或－
【解析】选D.因为＝，
所以这个二面角的余弦值为或－.
4．在空间中，已知二面角α?l?β的大小为，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则〈n1，n2〉的大小为________．
【解析】因为二面角α?l?β的大小是它们两个半平面的法向量夹角或夹角的补角．当二面角α?l?β的大小为时，则〈n1，n2〉的大小为π或π－.
答案：或
5．已知点A(－1，1，－1)，平面α经过原点O，且垂直于向量n＝(1，－1，1)，则点A到平面α的距离为________．
【解析】因为＝(－1，1，－1)，n＝(1，－1，1)，所以点A到平面α的距离为d＝＝＝.
答案：
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