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第一章　直
线
与
圆
§1　直线与直线的方程
1．1　一次函数的图象与直线的方程
1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系
必备知识·自主学习
导思
1.什么是直线的倾斜角？其范围是什么？2．什么是直线的斜率？所有直线都有斜率吗？
1.直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角，通常倾斜角用α表示．
(2)特例：若直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为0．
(3)范围：[0，π).
(1)如图：直线l的倾斜角是30°吗？
提示：不是，直线l的倾斜角为150°.
(2)倾斜角相等的直线的倾斜程度是否相同？
提示：倾斜角相等的直线的倾斜程度相同．
2．斜率的概念
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值．
(2)记法：k＝tan
α.
斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？
提示：当k＝tan
α＜0时，倾斜角α是钝角；
当k＝tan
α＞0时，倾斜角α是锐角；
当k＝tan
α＝0时，倾斜角α是0°.
3．经过不同两点的直线的斜率公式
经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率：k＝．
提醒：斜率的大小与两点在直线上的位置无关．
利用过两点的直线的斜率公式能求任意一条直线的斜率吗？为什么？
提示：不能，当直线与x轴垂直时，k＝无意义．
4．直线的斜率与倾斜角的关系
(1)当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大；
(2)当α∈时，斜率k＜0，且k随倾斜角α的增大而增大；
(3)α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在．
5．直线的方向向量
若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)下图中标的α都不是对应直线的倾斜角．(　　)
(2)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．(　　)
(3)倾斜角为135°的直线的斜率为1.(　　)
(4)若直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan
α.(　　)
(5)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　　)
提示：(1)√.x轴的正向与直线向上的方向之间所成的角是直线的倾斜角，所以图中的四个α都不是对应直线的倾斜角．
(2)×.倾斜角为90°的直线不存在斜率．
(3)×.倾斜角为135°的直线的斜率为－1.
(4)×.倾斜角α不等于90°时，它的斜率才是k＝tan
α.
(5)√.若两条直线平行，则它们的方向向量也平行，故它们的方向向量的方向相同或相反．
2．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为(　　)
A．45°
B．135°
C．0°
D．无法计算
【解析】选B.根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.
3．(教材二次开发：例题改编)已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是(　　)
A．5
B．8
C．
D．7
【解析】选C.由斜率公式可得＝1，
解得m＝.
4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　)
A．
B．
C．1
D．
【解析】选A.由题意可知直线l的斜率k＝tan
30°＝.
5．已知直线l经过两点P(1，2)，Q(－2，1)，那么直线l的一个方向向量为________；斜率为________．
【解析】由已知可得＝(－2，1)－(1，2)＝(－3，－1)是直线l的一个方向向量．则(－1，3)是直线l的一个法向量，直线l的斜率k＝＝.
答案：(－3，－1)(答案不唯一)　
关键能力·合作学习
类型一　直线的倾斜角、斜率的概念(数学抽象)
1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
2．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　)
A．α
B．180°－α
C．180°－α或90°－α
D．90°＋α或90°－α
3．已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为(　　)
A．(2，0)或(0，－4)
B．(2，0)或(0，－8)
C．(2，0)
D．(0，－8)
【解析】1.选D.因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
2．选D.如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.
3．选B.设B(x，0)或(0，y)，因为kAB＝或kAB＝，所以＝4或＝4，所以x＝2，y＝－8，所以点B的坐标为(2，0)或(0，－8).
1．求直线的倾斜角的方法及两点注意事项
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意事项：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
2．解决斜率问题的方法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式k＝tan
α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合求解．
【补偿训练】
已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A．(－1，0]　　　　　
B．[0，1]
C．[1，2]
D．[0，2]
【解析】选D.由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.
类型二　直线的倾斜角、斜率的计算(数学运算)
1．若A(1，0)，B(－3，m)，直线AB的斜率为－，则m＝(　　)
A．－8
B．－2
C．2
D．8
2．若直线过点C(1，3)，D(4，3＋)，则此直线的一个方向向量为________；倾斜角为________．
3．已知点M(0，b)与点N(－，1)连成直线的倾斜角为120°，则b＝________．
【解析】1.选C.A(1，0)，B(－3，m)，直线AB的斜率为－，
所以－＝，解得：m＝2.
2．直线过点C(1，3)，D(4，3＋)，得＝(4，3＋)－(1，3)＝(3，)是直线l的一个方向向量，则直线的斜率k＝＝，所以此直线的倾斜角是.
答案：(3，)(答案不唯一)　
3．k＝＝tan
120°，解得b＝－2.
答案：－2
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
(3)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
【补偿训练】
1.直线经过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率为(　　)
A．
B．
C．－
D．－
【解析】选C.斜率k＝＝－.
2．若直线经过两点A(m，2)，B，且倾斜角为45°，则m的值为
(　　)
A．2
B．1
C．
D．
【解析】选A.经过两点A(m，2)，B的直线的斜率为k＝，又直线的倾斜角为45°，所以＝tan
45°＝1，即m＝2.
3．已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－1，1)，B(1，1)，C(1，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率．
【解析】已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等．
kAB＝＝0，kAC＝＝－1.
因为B，C两点的横坐标相等，所以直线BC的斜率不存在．
类型三　直线的倾斜角、斜率的应用(数学运算，逻辑推理)
角度1　求斜率的范围　
【典例】已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
【思路导引】作图，让直线与线段有公共点，可得倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，进一步获得斜率取值范围．
【解析】如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
角度2　三点共线问题　
【典例】若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，则实数k＝________．
【思路导引】利用AB和AC的斜率相等，或利用三点共线的充要条件．
【解析】方法一：因为A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，所以kAB＝kAC，
kAB＝＝3，kAC＝＝，
所以3＝，即k＝6.
方法二：因为＝(4，3)－(2，－3)＝(2，6)，＝(5，k)－(2，－3)＝(3，k＋3)，又因为与共线，
所以2(k＋3)＝18，解得k＝6.
答案：6
1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．
2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线?kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在．
3.的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．
1．若三点A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于(　　)
A．2
B．3
C．9
D．－9
【解析】选D.方法一：因为三点A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直线上，所以kAC＝kAB，即＝，解得b＝－9.
方法二：因为＝(－5，b－1)，＝(5，10)，又因为与共线，所以－5×10＝5(b－1)，所以b＝－9.
2．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，则直线AD的斜率的变化范围是______．
【解析】如图所示．当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
又kAB＝＝，kAC＝＝，
所以直线AD的斜率的变化范围是.
答案：
【补偿训练】
已知坐标平面内两点M(m＋3，2m＋5)，N(m－2，1).
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？
【解析】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，
即k＝＝>0，解得m>－2.
即当m>－2时，直线MN的倾斜角为锐角．
(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，
即k＝＝<0，解得m<－2.
即当m<－2时，直线MN的倾斜角为钝角．
(3)当直线MN垂直于x轴时，直线的倾斜角为直角，
此时m＋3＝m－2，此方程无解，
故直线MN的倾斜角不可能为直角．
课堂检测·素养达标
1．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角θ是(　　)
A．0°
B．45°
C．60°
D．90°
【解析】选A.因为k＝＝0，所以θ＝0°.
2．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于(　　)
A．－
B．
C．－1
D．1
【解析】选C.kAB＝＝tan
45°＝1，即＝1，
所以y＝－1.
3．(教材二次开发：练习改编)已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是________.
【解析】依题意：kAB＝kAC，即＝，
解得a＝.
答案：
4．已知倾斜角为45°的直线经过点A(2m，3)，B(2，－3)，则m的值为________；直线的方向向量为________．
【解析】由题意可得tan
45°＝kAB＝＝1，解得m＝4.
所以＝(2，－3)－(8，3)＝(－6，－6)是直线的一个方向向量．
答案：4　(－6，－6)(答案不唯一)
5．已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．
【解析】由题意可知kAB＝＝2，kAC＝＝，kAD＝＝，所以k＝2＝＝，解得a＝4，b＝－3，所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.
PAGE1．3　直线的方程
第1课时　直线方程的点斜式
必备知识·自主学习
导思
1.什么是直线的点斜式方程？2．什么是直线的斜截式方程？
1.直线的点斜式方程和斜截式方程
点斜式
斜截式
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程形式
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
适用条件
斜率存在
直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
提示：不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示．
2．直线在y轴上的截距
方程y＝kx＋b中的b为直线l在y轴上的截距．
符号：可正，可负，也可为零．
直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗？
提示：不是，直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个实数，可正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1，3).(　　)
(2)直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3.(　　)
(3)直线的点斜式方程也可写成＝k.(　　)
提示：(1)√.根据点斜式的特征可知正确．
(2)√.在直线y＝2x＋3中令x＝0即得y轴上的截距为3.
(3)×.方程写成＝k需满足x≠x0，所以会少一个点．
2．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(　　)
A．y＋3＝x－2
B．y－3＝x＋2
C．y＋2＝x－3
D．y－2＝x＋3
【解析】选A.因为直线l的斜率k＝tan
45°＝1，
所以直线l的方程为y＋3＝x－2.
3．(教材二次开发：例题改编)在y轴上的截距为2，且斜率为－3的直线的斜截式方程为________.
【解析】由斜截式方程可得y＝－3x＋2.
答案：y＝－3x＋2
关键能力·合作学习
类型一　直线的点斜式方程(数学运算)
1．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　)
A．x＝－1
B．y＝1
C．y－1＝(x＋1)
D．y－1＝2(x＋1)
【解析】选C.由条件知已知直线的斜率为，
故所求直线的斜率是，因此所求直线的方程为y－1＝(x＋1).
2．已知三角形三顶点A(4，0)，B(8，10)，C(0，6)，
求过A点且倾斜角等于直线BC的倾斜角的点斜式方程．
【解析】设所求直线的方程为y＝k，由题意得：k＝kBC＝＝，所以所求方程：y＝.
利用点斜式求直线方程的方法
(1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标．注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程；
(2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程．
提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0.
类型二　直线的斜截式方程(数学运算)
【典例】根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【思路导引】先确定斜率和截距，再写方程．
【解析】(1)由直线方程的斜截式可知，
所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)由于倾斜角α＝150°，所以斜率
k＝tan
150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan
60°＝.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
求直线的斜截式方程的策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可．
(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理，如果已知截距b，只需引入参数k.
过点P(6，－1)的直线l与x轴、y轴的正方向分别交于点A，B，且△AOB的面积为4，则l的方程是________.
【解析】设直线l的方程为y＝kx＋b(k<0，b>0)，
则直线l与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，b)，
因为△AOB的面积为4，直线l过点P(6，－1)，
所以解得或(舍去)，所以直线l的方程为y＝－x＋2.
答案：y＝－x＋2
备选类型　直线方程的应用(数学运算，直观想象)
【典例】已知直线l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k，则它们的图象可能为(　　)
【思路导引】根据直线的倾斜方向和纵截距的正负确定两个直线方程k，b的正负后可得正确的选项．
【解析】选C.对于A，直线l1方程中的k<0，b>0，直线l2方程中的k>0，b>0，矛盾；
对于B，直线l1方程中的k>0，b<0，直线l2方程中的k>0，b>0，矛盾；
对于C，直线l1方程中的k>0，b>0，直线l2方程中的k>0，b>0，符合；
对于D，直线l1方程中的k<0，b>0，直线l2方程中的k<0，b<0，矛盾．
如果直线方程的形式是斜截式y＝kx＋m，则可以根据直线不同的倾斜程度确定它们斜率的大小(也可以确定它们的符号)，一般地，如果直线经过第一、三象限，则斜率为正；如果直线经过第二、四象限，则斜率为负．
直线y＝ax－的图象可能是(　　)
【解析】选B.由y＝ax－可知，斜率和截距必须异号，故B正确．
课堂检测·素养达标
1．方程y－y0＝k(　　)
A．可以表示任何直线
B．不能表示过原点的直线
C．不能表示与y轴垂直的直线
D．不能表示与x轴垂直的直线
【解析】选D.因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以y－y0＝k不能表示与x轴垂直的直线．
2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)
A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
【解析】选C.直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝
－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.
3．(教材二次开发：练习改编)直线y＝－3x－6的斜率为k，在y轴上的截距为b，则(　　)
A．k＝3，b＝6
B．k＝－3，b＝－6
C．k＝－3，b＝6
D．k＝3，b＝－6
【解析】选B.直线y＝－3x－6的斜率为k，在y轴上的截距为b，可得斜率k＝－3，在y轴上的截距为b＝－6.
4．给出下列四个结论：①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；
②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1；
③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1；
④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．
其中正确结论的序号为________.
【解析】①不正确．方程k＝不含点(－1，2)；②正确；③正确；④只有k存在时成立．
答案：②③
5．已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________.
【解析】令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，
则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2.
由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，
所以k的取值范围是k≥1或k≤－1.
答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)
PAGE第2课时　直线方程的两点式
必备知识·自主学习
导思
1.直线的两点式方程怎样表示？2．直线的截距式方程怎样表示？
直线的两点式、截距式方程
名称
两点式
截距式
条件
两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)
两点A(a，0)，B(0，b)，ab≠0
方程
(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示？
提示：与x轴、y轴平行的直线，x轴，y轴．
(2)什么样的直线的方程不能用截距式表示？
提示：与x轴、y轴平行或重合及过原点的直线．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．(　　)
(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)
(3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．(　　)
(4)一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程可以写成两点式或斜截式．(　　)
提示：(1)×.若直线垂直于坐标轴，此时a或b不存在，不能用＋＝1表示．
(2)√.方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)能表示包含点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在内的直线上所有点．
(3)√.能用两点式方程表示说明直线一定有斜率，所以可用点斜式方程表示．
(4)√.直线不与坐标轴平行或重合，说明直线有斜率，有截距，所以方程可以写成两点式或斜截式．
2．在x轴和y轴上的截距分别为－2，3的直线方程是(　　)
A．＋＝1　　　　　
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
【解析】选C.由直线的截距式方程可得＋＝1.
3．直线＋＝1过第一、三、四象限，则(　　)
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
C．a<0，b>0
D．a<0，b<0
【解析】选B.因为直线过第一、三、四象限，所以它在x轴上的截距为正，在y轴上的截距为负，所以a>0，b<0.
4．(教材二次开发：例题改编)已知点A(3，2)，B(－1，4)，则经过点C(2，5)且经过线段AB的中点的直线方程为________.
【解析】AB的中点坐标为(1，3)，由直线的两点式方程可得＝，即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
关键能力·合作学习
类型一　直线的两点式方程(数学运算)
1．过，的直线方程是(　　)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
【解析】选B.所求直线过点，，
将两点坐标代入两点式得＝.
2．已知三角形三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在直线方程是(　　)
A．x－13y＋5＝0
B．x－13y－5＝0
C．x＋13y＋5＝0
D．x＋13y＝0
【解析】选C.因为B，C，
所以BC中点的坐标为，即.
则BC边上的中线应过A，两点，
由两点式得：＝，
整理得x＋13y＋5＝0.
3．已知点A，B，则直线AB的方程是________.
【解析】因为直线的两点式方程为＝，
将点A，B代入，得＝，
整理得直线AB的方程是2x－y＝0.
答案：2x－y＝0
由两点式求直线方程的步骤
(1)设出直线所经过点的坐标．
(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．
(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．
提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．
【补偿训练】
已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为(　　)
A．－　　B．　　C．－　　D．
【解析】选A.由两点式方程＝，知直线l过点(－5，0)，(3，－3)，
所以l的斜率为＝－.
类型二　直线的截距式方程(数学运算)
【典例】已知直线l过点，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l的方程为(　　)
A．2x－y＝0
B．2x＋y－4＝0
C．2x－y＝0或x＋2y－2＝0
D．2x－y＝0或2x＋y－4＝0
【思路导引】直线l在两坐标轴上的截距成倍数关系，应考虑直线过原点和不过原点两类，分别设出方程，再由直线l过点求得直线方程．
【解析】选D.根据题意，直线l分2种情况讨论：
①当直线过原点时，又由直线经过点，
所以所求直线方程为y＝2x，整理得2x－y＝0，
②当直线不过原点时，设直线l的方程为＋＝1，
代入点的坐标得＋＝1，解得a＝2，
此时直线l的方程为＋＝1，整理为2x＋y－4＝0.
故直线l的方程为2x－y＝0或2x＋y－4＝0.
用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．
(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．
(3)当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．
过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线条数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】选B.由题意知直线在两坐标轴上的截距互为相反数．当直线过原点时直线方程为y＝2x；
当直线不过原点时设直线方程为＋＝1，
又因为截距互为相反数，则b＝－a，
将点代入有＋＝1，
解得a＝－1，此时直线方程为：x－y＋1＝0.
综上，满足过点且在两坐标轴上截距互为相反数的直线有2条．
备选类型　直线方程的应用(数学运算)
角度1　对称问题　
【典例】已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1，2)处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上的一点C，最后从C点反射回A点，求直线BC的方程．
【思路导引】入射光线和反射光线是关于镜面的法线对称的．
【解析】作点A关于x轴的对称点A2，则A2(1，－2).
设点A关于l：x－y＋3＝0的对称点为A1(x0，y0)，
则解得
即A1点坐标为(－1，4).由已知条件知点A1，A2均在直线BC上，
所以由直线的两点式方程，得＝，
即3x＋y－1＝0.
故直线BC的方程为3x＋y－1＝0.
角度2　最值问题　
【典例】如图，已知直线l过点P(2，1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为________.
【思路导引】利用直线l过点P(2，1)得到直线在两个坐标轴上截距的关系，由均值不等式得解．
【解析】设直线l为＋＝1(a>0，b>0)，
因为直线l过点P(2，1)，则有＋＝1，
三角形OAB的面积为S＝ab.对＋＝1，
利用均值不等式得1＝＋≥2＝，
即ab≥8.于是，三角形OAB的面积为S＝ab≥4.
当且仅当a＝4，b＝2时等号成立．
答案：4
1．解决对称问题的方法
两点关于直线对称，则两点连线必定垂直于对称轴，并且对称两点的中点一定在对称轴上，简称为“一中点二垂直”，这是解决对称问题通用的工具．
2．计算最值问题的方法
对于三角形、四边形等图形的面积，获得对应的表达式后，可以结合式子特征，应用均值不等式、二次函数等方法，求得最大(或)最小值，需注意变量的限制条件．
1．入射光线从P(2，1)出发，经x轴反射后，通过点Q(4，3)，则入射光线所在直线的方程为________.
【解析】利用反射定理可得，点Q(4，3)关于x轴的对称点Q′(4，－3)在入射光线所在直线上，
故入射光线所在的直线PQ′的方程为＝，
化简得2x＋y－5＝0.
答案：2x＋y－5＝0
2．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________.
【解析】直线AB的方程为＋＝1，
设P(x，y)，则x＝3－y，
所以xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3.即当P点坐标为时，xy取得最大值3.
答案：3
课堂检测·素养达标
1．过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为(　　)
A．y＝x＋3
B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2
D．y＝－x－2
【解析】选A.由两点式方程可得，＝，即y＝x＋3.
2．直线－＝1在y轴上的截距是(　　)
A．|b|
B．－b2
C．b2
D．±b
【解析】选B.令x＝0，得y＝－b2.
3．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为(　　)
A．1
B．－1
C．7
D．－7
【解析】选B.直线－＝1的横截距为3，纵截距为－4，
所以直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为－1.
4．经过两点M(4，3)，N(1，5)的直线交x轴于点P，则点P的坐标是________.
【解析】由直线的两点式方程，得MN所在直线的方程为＝，
即y＝－x＋.
令y＝0，得x＝，
故P点坐标为.
答案：
5．(教材二次开发：练习改编)直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则直线l的方程为________.
【解析】设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为a－1，
由截距式可得：＋＝1，
将代入直线方程，解得：a＝2或3，
所以代入直线方程可得，＋y＝1或＋＝1.
答案：＋y＝1或＋＝1
PAGE第3课时　直线方程的一般式
必备知识·自主学习
导思
1.什么是直线的一般式方程？2．一般式方程与其他四种方程有什么关系？
直线的一般式方程
(1)方程：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0
(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)本质：直线的一般式方程是直线的定量刻画，直线是二元一次方程的几何意义．
(3)应用：直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化为一般式，用一般式表示直线方程．
(1)方程y－y0＝0是二元一次方程吗？
提示：是，是A为0的二元一次方程．
(2)直线与二元一次方程的关系是什么？
提示：直线的方程都可以化为二元一次方程；二元一次方程都表示直线．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．(　　)
(2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点．(　　)
(3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．(　　)
(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(　　)
(5)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A·B≠0.(　　)
提示：(1)√.二元一次方程能表示所有直线．
(2)√.C＝0时，点(0，0)满足方程Ax＋By＝0，说明直线过原点．
(3)×.当C＝0时，直线与y轴重合．
(4)×.当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式．
(5)×.方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件是A，B不同时为0，若A＝0，B≠0，或A≠0，B＝0时，方程也表示直线．
2．直线－2x＋y＋3＝0的斜率k＝(　　)
A．2
B．－2
C．
D．－
【解析】选A.直线方程化为斜截式为y＝2x－3，
所以斜率k＝2.
3．若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3，4)的线段的中点，则m＝________.
【解析】线段AB的中点坐标为(1，1)，代入直线方程得m＋3－5＝0，所以m＝2.
答案：2
4．(教材二次开发：例题改编)已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＝c通过第______象限．
【解析】直线ax＋by＝c，即y＝－x＋，
因为ab＜0，bc＜0，所以斜率k＝－＞0，
直线在y轴上的截距＜0.
故直线过第一、三、四象限．
答案：一、三、四
关键能力·合作学习
类型一　直线的一般式方程(数学运算)
1．下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　)
A．3x＋4y＋7＝0
B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0
D．3x＋4y－42＝0
2．直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于(　　)
A．
B．－5
C．
D．－3
3．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4).
【解析】1.选B.将一般式化为斜截式，斜率为－的有B、C两项．又y＝－x＋14过点(0，14)，即直线过第一象限，所以只有B项符合题意．
2．选D.令y＝0，可得x＝－3，所以直线在x轴上的截距等于－3.
3．(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0.
(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.
(3)由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0.
(4)由两点式得＝，即x＋y－1＝0.
求直线的一般式方程的方法
1．当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
2．在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
提醒：在利用直线方程的四种特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件．
【补偿训练】
直线＋＝1，化成一般式方程为(　　)
A．y＝－x＋4
B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0
D．4x＋3y＝12
【解析】选C.直线＋＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0.
类型二　含参数的直线的一般式方程(数学运算)
【典例】1.设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R).若直线l不过第三象限，则a的取值范围为________.
2．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：
①直线l的斜率为－1；
②直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.
【思路导引】1.由方程获得斜率和截距后，通过限制斜率和截距的符号，即可限制直线的位置．
2．分别将直线l的方程化为斜截式和截距式求解．
【解析】1.把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．即解得a≥1.所以a的取值范围为[1，＋∞).
答案：[1，＋∞)
2．①因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2.
由题意得－＝－1，解得k＝5.
②直线l的方程可化为＋＝1.
由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
1．典例1中若将方程改为“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他条件不变，则a的取值范围为________．
【解析】(1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不过第三象限，符合．
(2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．即解得a＞1.由(1)(2)可知a≥1.
答案：a≥1
2．若典例1中的方程不变，将“直线l不过第三象限”改为“直线l不过第二象限”，则a的取值范围为________．
【解析】把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，
因为直线l不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y轴上的截距小于等于零．
即解得a≤－2.
答案：a≤－2
含参数的一般式的处理方法
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距；令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
1．若直线(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x轴上的截距为3，则实数m的值为
(　　)
A．
B．－6
C．－
D．6
【解析】选B.依题意知直线过点(3，0)，
代入直线方程得3(m＋2)＝2m，解得m＝－6.
2．直线(2a2－7a＋3)x＋(a2－9)y＋3a2＝0的倾斜角为45°，则实数a＝________.
【解析】依题意可知k＝tan
45°＝1，所以－＝1，且a2－9≠0.
解得a＝－或a＝3(舍去).
答案：－
课堂检测·素养达标
1．直线3x＋4y＋5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为(　　)
A．，
B．－，－
C．－，－
D．，
【解析】选C.直线3x＋4y＋5＝0可化为y＝－x－.
所以直线3x＋4y＋5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为－，－.
2．若方程(m2－m)x＋(2m2＋m－3)y＋4m－2＝0表示一条直线，则实数m满足
(　　)
A．m≠0
B．m≠－
C．m≠1
D．m≠－，m≠0，m≠1
【解析】选C.根据题意，若方程(m2－m)x＋(2m2＋m－3)y＋4m－2＝0表示一条直线，则m2－m＝0与2m2＋m－3＝0不同时成立，由m2－m＝0可得m＝0或1，
由2m2＋m－3＝0得m＝1或－；故m≠1.
3．(教材二次开发：练习改编)已知直线mx＋ny＝－1的斜率为－，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为(　　)
A．4和3　
B．－4和3
C．－4和－3
D．4和－3
【解析】选C.由题意得n≠0，于是直线可化为y＝－x－.
由－＝－，－＝，
得m＝－4，n＝－3.
4．若直线mx－y＋(2m＋1)＝0恒过定点，则此定点是________.
【解析】直线方程可化为y－1＝m(x＋2).
由直线的点斜式可知直线过定点(－2，1).
答案：(－2，1)
5．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为________.
【解析】由2x－3y＋12＝0知，斜率为，在y轴上的截距为4.
根据题意，直线l的斜率为，在y轴上的截距为8，
所以直线l的方程为x－3y＋24＝0.
答案：x－3y＋24＝0
PAGE1.4　两条直线的平行与垂直
必备知识·自主学习
导思
1.怎样判断两条直线是否平行？2．怎样判断两条直线是否垂直？
1.两条直线的平行
(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：
l1与l2平行?k1＝k2且．
(2)直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0平行的充要条件是．
2．两条直线的垂直
(1)若已知平面直角坐标系中的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2?．
(2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2?．
两直线互相垂直，一定能得到两直线的斜率之积等于－1吗？
提示：不一定，因为两直线互相垂直，可能其中一条直线的斜率不存在．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．(　　)
(2)若l1∥l2，则k1＝k2.(　　)
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．(　　)
(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．(　　)
提示：(1)×.两条直线的斜率相等，这两条直线可能平行，也可能重合．
(2)×.两条直线平行，也可能两条直线都不存在斜率．
(3)×.两条直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，这两条直线才垂直．
(4)√.两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都垂直于x轴，所以一定平行．
2．(教材二次开发：例题改编)已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　)
A．－3
B．3
C．－
D．
【解析】选B.kAB＝＝3，
因为l∥AB，所以k＝3.
3．直线y＝2与直线x＝0的位置关系是(　　)
A．平行
B．垂直
C．重合
D．以上都不对
【解析】选B.直线y＝2与直线x＝0垂直．
关键能力·合作学习
类型一　两条直线平行的判定与应用(数学运算)
【典例】(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　)
A．1或3　
B．1或5　
C．3或5　
D．1或2
(2)过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(　　)
A．2x＋y－1＝0　
B．2x＋y－5＝0
C．x－2y＋7＝0　
D．x－2y＋5＝0
【思路导引】(1)根据斜率存在不存在分类讨论，若存在斜率，则斜率相等．
(2)显然斜率存在，两直线平行斜率相等，由点斜式求出直线方程，再化为一般式．
【解析】(1)选C.由两直线平行得，
①当k－3＝0时，两直线的方程分别为y＝－1和y＝，显然两直线平行．
②当k－3≠0时，由＝≠，可得k＝5.
综上，k的值是3或5.
(2)选C.由已知，所求直线的斜率是k＝，由点斜式方程可得y－3＝(x＋1)，即x－2y＋7＝0.
判断两条直线是否平行的步骤
直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，求m的值．
【解析】(1)当l1，l2斜率都存在时，
所以m≠0且m≠3.
由l1∥l2，得－＝－，解得m＝－4.
此时l1：x－14y－2＝0，l2：x－14y－＝0，
显然，l1与l2不重合，满足条件．
(2)当l1，l2斜率不存在时，
解得m＝3.
此时l1：x＝－，l2：x＝，满足条件．
综上所述，m＝－4或m＝3.
类型二　两条直线垂直的判定与应用(数学运算)
【典例】(1)已知直线l1：x＋ay＋1＝0与l2：x－y＋1＝0垂直，则a＝________．
(2)△ABC的三个顶点分别为A(2，0)，B(4，4)，C(0，3)，求：
①AC边所在直线的方程．
②AC边的垂直平分线DE所在直线的方程．
【思路导引】(1)两直线垂直，斜率乘积为－1或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在．
(2)显然所求直线斜率存在，由垂直关系可求出斜率，由点斜式求出直线方程，再化为一般式．
【解析】(1)显然l2斜率存在且为1，又因为两直线垂直，所以l1斜率为－1，即－＝－1，解得a＝1.
答案：1
(2)①直线AC的斜率为k＝－，
由点斜式得直线方程为y－0＝－(x－2)，
即3x＋2y－6＝0，
②由①知，直线AC的斜率为k＝－，AC⊥DE，
直线DE斜率为，线段AC的中点坐标为，
由点斜式可得直线DE的方程为y－＝(x－1)，
即4x－6y＋5＝0.
判断两直线垂直的方法
(1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：
l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0判断．
(2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：
l1⊥l2?k1·k2＝－1判断．
(3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断．
已知直线l1：(1－a)x＋ay－2＝0，l2：ax＋(2a＋1)y＋3＝0，若l1⊥l2，则a的值为(　　)
A．0或2
B．0或－2
C．2
D．－2
【解析】选B.根据直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的等价条件是：A1A2＋B1B2＝0，根据题意得到：(1－a)a＋a(2a＋1)＝0整理为：a2＋2a＝0，解得a＝0或－2.
【补偿训练】已知直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，求实数a的值．
【解题指南】已知l1的斜率存在，又l1⊥l2，所以l2的斜率也存在，设为k2，则由k1·k2＝－1，可得关于a的方程，解方程即可．
【解析】设直线l2的斜率为k2，
则k2＝＝－.
因为l1⊥l2，且k1＝，
所以k1·k2＝－1，
所以×＝1，即a2－4a＋3＝0，
解得a＝1或a＝3.
课堂检测·素养达标
1．若直线l1：x＋y－a－b＝0与直线l2垂直，则l2的倾斜角为(　　)
A．135°
B．45°
C．30°
D．60°
【解析】选B.kl1＝－1，kl1·kl2＝－1，
所以直线l2的斜率为1，倾斜角为45°.
2．若直线2x＋3y－1＝0与直线4x＋my＋11＝0平行，则m的值为(　　)
A．　
B．－　
C．－6　
D．6
【解析】选D.直线2x＋3y－1＝0的斜率为－，直线4x＋my＋11＝0的斜率为－，因为两直线平行，所以－＝－，则m＝6.
3．已知A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.
【解析】设点D(x，0)，因为kAB＝＝4≠0，
所以直线CD的斜率存在．
则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，
所以4·＝－1，解得x＝－9.
答案：(－9，0)
4．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________.
【解析】由题意得l1∥l2，所以kAB＝kMN.
因为kAB＝＝－，kMN＝＝3，
所以－＝3，所以a＝－6.
答案：－6
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