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第二课　圆与圆的方程　
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考点整合·素养提升
题组训练一　求圆的方程?
1．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋2)2＋y2＝9
B．(x－2)2＋y2＝9
C．(x＋2)2＋y2＝8
D．(x－2)2＋y2＝8
【解析】选B.设圆C：(x－a)2＋y2＝r2，a>0.
把点M(0，)代入得，a2＋5＝r2.
圆心到直线2x－y＝0的距离为＝，解得a＝2，r＝3.所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
2．圆在x，y轴上分别截得的弦长为14和4，且圆心在直线2x＋3y＝0上，则此圆的方程是________．
【解析】设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则解得或
圆的方程为＋＝85或＋＝85.
答案：＋＝85或＋＝85
　
求圆的方程的方法
求圆的方程主要应用待定系数法：
(1)设出圆的一般方程或标准方程，利用条件构造方程组，通过解方程组求系数．
(2)利用圆的几何性质，如弦的垂直平分线过圆心等，构造条件求系数．
题组训练二　直线与圆的位置关系?
1．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)
A．
B．1
C．
D．
【解析】选D.因为圆心(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝，
因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于＝，所以弦长为.
2．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1
B．2
C．
D．3
【解析】选C.切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝.
3．已知P为直线x＋y－2＝0上的点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点P有(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
【解析】选B.连接OM，ON，(图略)
则OM＝ON，∠MPN＝∠ONP＝∠OMP＝90°，
所以四边形OMPN为正方形，
因为圆O的半径为1，所以|OP|＝，
因为原点(圆心)O到直线x＋y－2＝0的距离为，
所以符合条件的点P只有一个．
　
直线与圆的位置关系
(1)位置关系的判断：一般利用几何法判断，即判断圆心到直线的距离与半径的关系．
(2)弦长公式：直线与圆相交时，圆的弦长l，半径r，弦心距d之间满足r2＝d2＋.
题组训练三　圆与圆的位置关系?
1．如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是________．
【解析】圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.
依题意得0＜＜4，所以0＜|a|＜2.
所以a∈(－2，0)∪(0，2).
答案：(－2，0)∪(0，2)
2．要在一个矩形纸片上画出半径分别是4
cm和1
cm的两个外切圆，该矩形面积的最小值是(　　)
A．36
cm2
B．72
cm2
C.
80
cm2
D．100
cm2
【解析】选B.如图，作WG⊥SC，则四边形WDCG是矩形，
因为两圆相切，所以WS＝SC＋WD＝1＋4＝5，
因为SG＝SC－GC＝4－1＝3，
所以WG＝4，
所以矩形QHBA的长AB＝AD＋CD＋CB＝1＋4＋4＝9，宽BH＝4＋4＝8，
所以矩形纸片面积的最小值＝8×9＝72
cm2.
3．已知两个圆C1，C2与两坐标轴都相切，且都过点(1，－2)，则|C1C2|＝________．
【解析】由题意，得圆C1，C2的圆心在射线y＝－x，x>0上．
设圆的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，a>0，
因为圆过点(1，－2)，所以(1－a)2＋(－2＋a)2＝a2，解得a＝1或a＝5，即C1(1，－1)，C2(5，－5)，则|C1C2|＝4.
答案：4
　
1．关于两圆的位置关系
一般利用代数法判断两圆的位置关系，即判断圆心距与两圆半径的和差的关系，另外注意圆的位置关系与其公切线的条数是对应的，可以利用位置关系判断公切线的条数，反之亦然．
2．两圆的公共弦长
将两圆的方程作差，即可得到公共弦的方程，再利用其中一个圆，构造弦长、半径、圆心距的关系求弦长．
题组训练四　与圆有关的最值问题?
已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).
(1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率．
(2)求|MQ|的最大值和最小值．
(3)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
【解析】(1)由点P(a，a＋1)在圆C上，可得a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，解得a＝4，所以P(4，5).
所以|PQ|＝＝2，kPQ＝＝.
(2)圆的方程变为(x－2)2＋(y－7)2＝8.所以圆心C坐标为(2，7)，半径r＝2.可得|QC|＝＝4，因此|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.
(3)可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为：y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k，由直线MQ与圆C相切时，＝2，可得k＝2＋或k＝2－，所以2－≤k≤2＋，所以的最大值为2＋，最小值为2－.
　
与圆有关的最值问题常见的类型
(1)求圆O上一点到圆外一点P的最大、最小距离：
dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r.
(2)求圆上的点到与圆相离的某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝m－r.
(3)已知某点的运动轨迹是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求，，x2＋y2等式子的最值，一般运用几何法求解．
PAGE阶段提升课第六课　概　　率
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题组训练一　随机事件的条件概率
1．抛掷5枚硬币，在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下，问：正面朝上数恰好是3枚的条件概率是多少？
【解析】方法一(直接法)：记至少出现2枚正面朝上为事件A，恰好出现3枚正面朝上为事件B，所求概率为P(B|A)，事件A包含的基本事件的个数为n(A)＝C＋C＋C＋C＝26，事件B包含的基本事件的个数为n(B)＝C＝10，P(B|A)＝＝＝＝.
方法二(定义法)：事件A，B同上，
则P(A)＝
eq
\f(C＋C＋C＋C,25)
＝，P(AB)＝P(B)＝
eq
\f(C,25)
＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
2．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
【解析】设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n(Ω)＝A＝20.根据分步乘法计数原理，n(A)＝A×A＝12.
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝6，
所以P(AB)＝＝＝.
(3)方法一(定义法)：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率P(B|A)＝＝＝.
方法二(直接法)：因为n(AB)＝6，n(A)＝12，
所以P(B|A)＝＝＝.
条件概率的两个求解策略
　(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝
求解．
(2)缩小样本空间法(直接法)：利用P(B|A)＝求解．其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．
题组训练二　相互独立事件的概率与二项分布
1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P(ξ≤1).
【解析】(1)设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，
则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立事件的概率公式，知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有DE，DF，EF，DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
(2)由题意，知ξ的可能取值为0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝P()＝0.4×0.5×0.5＝0.1，
P(ξ＝1)＝P(F)＋P(E)＋P(D)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，
所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.45.
2．一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．
(1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率．
(2)有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率．
(3)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数ξ的分布列和期望．
【解析】设事件A为“第1次取出的是白球，第3次取到黑球”，B为“第2次取到白球”，C为“第3次取到白球”，
(1)P(A)＝
eq
\f(C（CC＋CC）,CA)
＝.
(2)因为每次取出之前暗箱的情况没有变化，所以每次取球互不影响，
所以P()＝＝.
(3)设事件D为“取一次球，取到白球”，则P(D)＝，P()＝，这3次取出球互不影响，则ξ～N，
所以P(ξ＝k)＝C(k＝0，1，2，3).
则ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
Eξ＝3×＝.
求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
　(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．
(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．
(3)公式“P(A＋B)＝1－P()”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．
题组训练三　离散型随机变量的分布列、均值和方差
1．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
【解析】(1)由已知，有P(A)＝
eq
\f(CC＋CC,C)
＝.
所以，事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.
P(X＝k)＝
eq
\f(CC,C)
(k＝1，2，3，4).
所以，随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
4
P
随机变量X的数学期望EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
2．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：
(1)ξ所取各值的分布列；
(2)随机变量ξ的数学期望与方差．
【解析】(1)随机变量ξ的可能取值有0，1，2，4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为P(ξ＝0)＝1－×＝；
“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为P(ξ＝1)＝×＝；
“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P(ξ＝2)＝2××＝；
“ξ＝4”是指两次取的卡片上都标有2，其概率为P(ξ＝4)＝×＝.
则ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
4
P
(2)Eξ＝0×＋1×＋2×＋4×＝1，Dξ＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝.
求离散型随机变量的期望与方差的步骤
题组训练四　正态分布的概率
1．(2021·潍坊高二检测)已知随机变量X服从正态分布N(1，4)，若P(X≥2)＝0.2，则P(0≤X≤1)为(　　)
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.6
【解析】选B.因为随机变量X服从正态分布N(1，4)，
所以μ＝1，σ＝2，又P(X≥2)＝0.2，
所以P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－0.2＝0.3.
2．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2
000名，考试满分为400分．(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布．)考试后考试成绩的部分统计结果如下：
考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．
(1)最低录取分数是多少？(结果保留为整数)
(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．
参考资料：(1)当X～N(μ，σ2)时，令Y＝，则Y～N(0，1).
(2)当Y～N(0，1)时，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85.
【解析】(1)设考生成绩为X，则依题意X应服从正态分布，
即X～N(180，σ2).
令Y＝，则Y～N(0，1).
由360分及其以上的高分考生30名可得P(X≥360)＝，
即P(X<360)＝1－＝0.985，
亦即P≈0.985.
则＝2.17，解得σ≈83，所以X～N(180，832)，
设最低录取分数线为xo，
则P(X≥x0)＝P＝，
则P＝1－＝0.85，
所以＝1.04，
所以x0＝266.32.
即最低录取分数线为266分或267分．
(2)考生甲的成绩286>267，所以能被录取．
P(X<286)＝P＝
P(Y<1.28)≈0.90，
表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的1－0.90＝0.10，2
000×0.1≈200，
即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以他能获得高薪职位．
正态分布的概率求法
　(1)注意“3σ”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．
(2)注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．
PAGE第七课　统
计
案
例
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题组训练一　线性回归分析
1．以下是东北某县城收集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积x/m2
115
110
80
135
105
销售价格y/万元
24.8
21.6
18.4
29.2
22
(1)画出数据对应的散点图；
(2)若线性相关，求线性回归方程；
(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150
m2时的销售价格．
【解析】(1)数据对应的散点图如图所示．
(2)由散点图知y与x具有线性相关关系．由表中数据知＝xi＝109，
＝yi＝23.2，x＝60
975，
xiyi＝12
952.设所求回归直线方程为＝x＋，则＝
eq
\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)
\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)－5\x\to(x)2)
≈0.196
2，＝－＝1.814
2，故所求回归直线方程为＝0.196
2x＋1.814
2.
(3)根据(2)，当x＝150时，销售价格的估计值为＝0.196
2×150＋1.814
2＝31.244
2(万元).
2．已知某连锁经营公司的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称
A
B
C
D
E
销售额x(千万元)
3
5
6
7
9
利润额y(千万元)
2
3
3
4
5
(1)画出散点图；
(2)根据如下的参考公式与参考数据，求利润额y与销售额x之间的线性回归方程；
(3)若该公司还有一个零售店某月销售额为10千万元，试估计它的利润额是多少．
(参考公式：＝
eq
\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)
\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)－n\x\to(x)2)
，＝－.
其中，iyi＝112，＝200)
【解析】(1)散点图．
(2)由已知数据计算得n＝5，＝＝6，＝＝3.4，＝＝0.5，＝3.4－0.5×6＝0.4.
则线性回归方程为＝0.5x＋0.4.
(3)将x＝10代入线性回归方程中得到＝0.5×10＋0.4＝5.4(千万元).
即估计该零售店的利润额约为5.4千万元．
回归直线方程及应用
在散点图中样本点大致分布在一条直线附近，则利用线性回归模型进行研究，可近似地利用回归直线方程＝x＋来预报，利用公式求出回归系数，，即可写出回归直线方程，并用回归直线方程进行预测说明．
题组训练二
　独立性检验
1．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
总计
男生
5
女生
10
总计
50
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为0.6.
(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；
(2)能否有99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．
(参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
【解析】(1)依题意可知喜爱打篮球的学生的人数为50×0.6＝30.列联表补充如下：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
总计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
总计
30
20
50
(2)因为χ2＝≈8.333>6.635，所以，有99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．
2．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．
(1)根据以上数据列出2×2列联表；
(2)判断40岁以上的人患胃病与生活规律是否有关．
【解析】(1)由已知可列2×2列联表如下：
患胃病
未患胃病
总计
生活规律
20
200
220
生活不规律
60
260
320
总计
80
460
540
(2)根据列联表得
χ2＝≈9.638.
因为9.638>7.879，因此我们在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为40岁以上的人患胃病与生活规律有关．
独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据制成2×2列联表．
(2)根据公式计算χ2的值．
(3)比较χ2的值与临界值的大小关系作统计推断．
PAGE　第三课　圆
锥
曲
线
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题组训练一
圆锥曲线的定义及应用
1．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹
是(　　)
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．以上都不对
【解析】选C.把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝.
所以动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．
所以点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．
【解析】设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
因为AB过点F1且A，B在椭圆上，如图所示，
则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，所以a＝4.
又离心率e＝＝，
所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝8，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
　“回归定义”解题的三点应用
应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
题组训练二
圆锥曲线的方程
1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　　)
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
【解析】选D.由题意得，解得，
则b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.
2．抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P在l上，线段PF与抛物线C交于点A，若＝，点A到y轴的距离为1，则抛物线C的方程为(　　)
A．x2＝4y
B．x2＝3y
C．x2＝2y
D．x2＝y
【解析】选C.由题可知点F，P，
因为点A到y轴的距离为1，且A在抛物线上，
所以不妨设点A，
因为＝，
所以－＝，
解得p＝或－(舍去).
所以抛物线的方程为x2＝2y.
3．已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
【解析】由题意得，解得，
则b2＝c2－a2＝3，因此双曲线方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
　求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定型，后定式，再定量”的步骤．
(1)定型——二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“型”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0).
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
题组训练三
圆锥曲线的几何性质
1．如图所示，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别
是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率
是(　　)
A.
B．
C．
D．
【解析】选D.由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，
所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，
所以|AF2|－|AF1|＝2，
因此对于双曲线有a＝，c＝，所以C2的离心率e＝＝.
2．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．
【解析】设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝，e2＝.
因为e1·e2＝，所以＝，
即＝，所以＝.
故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.
答案：x±y＝0
　求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
题组训练四
直线与圆锥曲线的位置关系
1．若点A为抛物线y＝x2的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B，C两点，则·＝(　　)
A．－3
B．3
C．－4
D．4
【解析】选A.由题意可得A(0，0)，抛物线的焦点为(0，1)，所以直线BC的方程为：y＝kx＋1，
联立
可得x2－kx－1＝0，设B，C，
则x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4，
所以y1y2＝
＝k2x1x2＋k＋1，
所以·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋k＋1
＝×＋4k2＋1＝－3.
2．(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8，P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
【解析】(1)依据题意作图如图所示：
由题设得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1).
则＝(a，1)，＝(a，－1).
由·＝8得a2－1＝8，即a＝3.
所以E的方程为＋y2＝1.
(2)设P，
则直线AP的方程为：y＝，
即：y＝，
联立直线AP的方程与椭圆方程可得：
整理得：
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋9))
x2＋6yx＋9y－81＝0，
解得：x＝－3或x＝
eq
\f(－3y＋27,y＋9)
，
将x＝
eq
\f(－3y＋27,y＋9)
代入直线y＝
可得：y＝
eq
\f(6y0,y＋9)
，
所以点C的坐标为
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3y＋27,y＋9)，\f(6y0,y＋9)))
.
同理可得：点D的坐标为
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3y－3,y＋1)，\f(－2y0,y＋1)))
，
所以直线CD的方程为：
y－
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2y0,y＋1)))
＝
eq
\f(\f(6y0,y＋9)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2y0,y＋1))),\f(－3y＋27,y＋9)－\f(3y－3,y＋1))
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3y－3,y＋1)))
，
整理可得：y＋
eq
\f(2y0,y＋1)
＝
eq
\f(8y0\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋3)),6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－y)))
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3y－3,y＋1)))
＝
eq
\f(8y0,6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－y)))
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3y－3,y＋1)))
，
整理得：y＝
eq
\f(4y0,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－y)))
x＋
eq
\f(2y0,y－3)
＝
eq
\f(4y0,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－y)))
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))
故直线CD过定点.
　直线与圆锥曲线的三种位置关系
将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：
(1)相交：Δ>0?直线与椭圆相交；Δ>0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．
(2)相切：Δ＝0?直线与椭圆相切；Δ＝0?直线与双曲线相切；Δ＝0?直线与抛物线相切．
(3)相离：Δ<0?直线与椭圆相离；Δ<0?直线与双曲线相离；Δ<0?直线与抛物线相离．
PAGE阶段提升课第四课　空间向量与立体几何
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
题组训练一　空间向量的运算
1．已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝(　　)
A．(0，3，－6)
B．(0，6，－20)
C．(0，6，－6)
D．(6，6，－6)
【解析】选B.由b＝x－2a得x＝4a＋2b，
又4a＋2b＝4(2，3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0，6，－20)，
所以x＝(0，6，－20).
2．如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，点M在AC上，且AM＝MC，点N在A1D上，且A1N＝2ND.设＝a，＝b，
＝c，则＝(　　)
A．－a＋b＋c
B．a＋b－c
C．a－b－c
D．－a＋b＋c
【解析】选A.因为M在AC上，且AM＝MC，N在A1D上，且A1N＝2ND，
所以＝，＝．
又ABCD?A1B1C1D1为平行六面体，且＝a，＝b，＝c，
所以＝a＋b，＝b－c，
所以＝＋＋＝－＋＋
＝－(a＋b)＋c＋(b－c)＝－a＋b＋c.
3．已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求a＋c与b＋c所成角的余弦值．
【解析】(1)因为向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，
且a∥b，b⊥c，
所以解得
所以向量a＝(－1，1，2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3，1，1).
(2)因为a＋c＝(2，2，3)，b＋c＝(4，0，－1)，
所以(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
|a＋c|＝＝，|b＋c|＝＝，
所以a＋c与b＋c所成角的余弦值为＝.
　空间向量的运算
(1)坐标运算应熟记运算公式．
(2)向量运算：用已知向量表示未知量时，通常借助图形的几何性质，利用空间向量基本定理及向量的平行四边形法则和三角形法则．
题组训练二　空间向量与线面位置关系
1．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是(　　)
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ与平面A1BD垂直
【解析】选D.以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，
C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D，P(0，2，0)，＝(1，0，1)，
＝，＝(－1，2，0)，＝.
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则
取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2，1，－2).
假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，
则＝＋＝，
因为也是平面A1BD的法向量，
所以n＝(2，1，－2)与＝共线，
于是有＝＝＝成立，但此方程关于λ无解．
故不存在DQ与平面A1BD垂直，故选D.
2．已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC.
【证明】(1)由题意得AB，AD，AP两两垂直．如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A?xyz.
设PA＝AD＝a，AB＝b，则有P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0)，
C(b，a，0)，B(b，0，0)，
因为M，N分别为AB，PC的中点，所以M，N，
所以＝，＝(0，0，a)，＝(0，a，0)，
所以＝＋，所以，，共面，
又因为MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD.
(2)由(1)可知＝(b，a，－a)，＝，
＝(0，a，－a).设平面PMC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
所以令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b).
设平面PDC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
所以令z2＝1，则n2＝(0，1，1).
因为n1·n2＝0－b＋b＝0，所以n1⊥n2.
所以平面PMC⊥平面PDC.
　利用空间向量证明空间中的位置关系
(1)线线平行
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
(2)线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直．
(3)线面平行
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．
(4)线面垂直
①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
(5)面面平行
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
②转化为线面平行、线线平行问题．
(6)面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题．
题组训练三　空间向量与空间角
1．已知在正四面体A?BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设AB＝2，则O(0，0，0)，A，C，
E，
所以＝，＝，
所以cos
〈，〉＝＝＝.
所以CE与平面BCD的夹角的正弦值为.
2．(2020·温州高二检测)如图，等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C?AB?D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值为________．
【解析】如图所示，过点C作CO⊥平面ABDE，垂足为O，取AB的中点F，连接CF，OF，OA，OB，则∠CFO为二面角C?AB?D的平面角，所以cos
∠CFO＝.
设AB＝1，则CF＝，OF＝，OC＝，所以O为正方形ABDE的中心．
如图建立空间直角坐标系，则E，A，M，N，
所以＝，＝，
所以cos
〈，〉＝＝.
答案：
3．在底面为正三角形的直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC?A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，点D为棱BC的中点，点E为A1C上的点，且满足A1E＝mEC(m∈R)，当二面角E?AD?C的余弦值为时，实数m的值为(　　)
A．1
B．2
C．
D．3
【解析】选A.由题意知m>0，过点A在平面ABC内作Ox⊥AC，
则以A为原点O，分别以Ox，OC，OA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O?xyz，如图所示，则A1(0，0，3)，C(0，2，0)，B(，1，0)，D，
则E，＝，
＝，设平面ADE的法向量为n＝（x，y，z），
则，即，
令x＝，则y＝－1，z＝，所以n＝，
取平面ADC的法向量为m＝（0,0,1），由二面角E?AD?C的余弦值为，
得cos
〈n，m〉＝＝，解得m＝1.
　用向量法求空间角应注意的问题
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cos
〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－或者－〈n，a〉．
(3)二面角：如图，
有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．
题组训练四　空间向量与距离
1．已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为直线l的一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.＝(－2，0，－1)，||＝，·＝－，则点P到直线l的距离为＝＝.
2．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，则平面A1BC1与平面ACD1的距离是________．
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz.
则A(3，0，0)，A1(3，0，2)，B(3，4，0)，C1(0，4，2)，
所以＝(－3，4，0)，＝(0，4，－2).
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则得
令z＝2，得n＝.又＝(0，0，2)，
所以点A到平面A1BC1的距离为d＝＝＝.
易知平面A1BC1∥平面ACD1，所以两平面之间的距离为.
答案：
　向量法求距离的步骤
建立恰当的空间直角坐标系；写出(求出)相关点的坐标；求出相关向量的坐标；代入对应的距离公式计算．所有的距离最后都可以归结为空间两点的距离和点到面的距离．
PAGE阶段提升课第五课　计
数
原
理
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
题组训练一
数学思想方法在求解计数问题中的应用
1．设集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1A．78
B．76
C．83
D．84
2．车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？
【解析】1.选C.若从正面考虑，当a3＝9时，a2可以取8，7，6，5，4，3，共6类；当a3＝8时，a2可以取7，6，5，4，3，2，共6类；…分类较多，而其对立面a3－a2>6包含的情况较少，当a3＝9时，a2取2，a1取1，只有这一种情况，利用正难则反思想解决.
集合S含有三个对象的子集的个数为C＝84.在这些含有三个对象的子集中能满足a16的集合只有{1，2，9}，故满足题意的集合A的个数为84－1＝83.
2．方法一：设A，B代表2位老师傅．
A，B都不在内的选派方法有CC＝5种，
A，B都在内且当钳工的选派方法有CCC＝10种，
A，B都在内且当车工的选派方法有CCC＝30种，A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有ACC＝80种，
A，B有一人在内且当钳工的选派方法有CCC＝20种，
A，B有一人在内且当车工的选派方法有CCC＝40种，
所以共有CC＋CCC＋CCC＋ACC＋CCC＋CCC＝185种．
方法二：5名男钳工有4名被选上的方法有CC＋CCC＋CCC＝75种，5名男钳工有3名被选上的方法有CCC＋CCA＝100种，
5名男钳工有2名被选上的方法有CCC＝10种，
所以共有75＋100＋10＝185种．
方法三：4名女车工都被选上的方法有CC＋CCC＋CCC＝35种，4名女车工有3名被选上的方法有CCC＋CCA＝120种，
4名女车工有2名被选上的方法有CCC＝30种，
所以共有35＋120＋30＝185种．
　计数问题中的数学思想方法
(1)对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考．
(2)解含有约束条件的排列、组合问题，应按对象的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏).
【补偿训练】
现有6个人排成一排照相，由于甲乙性格不合，所以要求甲乙不相邻，丙最高，要求丙站在最中间的两个位置中的一个位置上，则不同的站法有________种．(　　)
A．84　　　B．90　　　C．168　　　D．180
【解题指南】分两类情况讨论：
若甲乙在丙的两侧：首先丙从中间两个位置任意挑一个，有C种站法，然后甲从丙的一侧，随机挑一个位置，同时乙从甲的另一侧挑一个位置，有2
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C·C))
种站法，最后剩下的三人，随机排列即可，有A种站法；
若甲乙在丙的同侧：首先丙从中间两个位置任意挑一个，有C种站法，然后甲、乙不相邻，只有A种站法，最后剩余三人，随机排列即可，有A种站法．
【解析】选C.已知丙在中间两个位置上选一个，若甲、乙在丙的两边，则有站法：
C·2
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C·C))
·A＝144种，
若甲、乙在丙的同侧，且不相邻，则有站法：C·A·A＝24
种，则不同站法有144＋24＝168种．
题组训练二
排列与组合的综合应用
1．在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取三个不同的数字，则组成的三位数中是3的倍数的有________个．
2．在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．
(1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？
(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？
(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？
【解析】1.若组成的三位数能被3整除，则先把0，1，2，3，…，9，这十个自然数分为三组：(0369)；(147)；(258).若每组中各取一个数，含0，共有CCCA＝36种；若每组中各取一个数不含0，共有CCCA＝162种；若从每组中各取三个数，
共有3A＋CAA＝30种．综上组成的三位数能被3整除，共有36＋162＋30＝228种．
答案：228
2．(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5
040种方法；第二步再松绑，给4个节目排序，有A＝24种方法．
根据分步乘法计数原理，一共有5
040×24＝120
960种安排顺序．
(2)第一步将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A＝720种方法．
×□×□×□×□×□×□×
第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即□中“×”的位置)这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A＝840种方法．
根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604
800种安排顺序．
(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有
eq
\f(A,A)
＝A＝132种排列．
　解决排列组合应用题的常用问题及方法
(1)相邻问题捆绑法；(2)不相邻问题插空法；(3)等可能问题对等法；(4)定序问题倍缩法；(5)定位问题优先法；(6)选排问题先选后排法；(7)有序分配问题分步法；(8)多元问题分类法；(9)交叉问题集合法；(10)正难则反剩余法；(11)复杂问题转化法；(12)知多知少问题排除法．
【补偿训练】
已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出4件次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
【解析】(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C·A＝A种测法，再排余下4件的测试位置有A种测法．
所以共有不同测法A·A·A＝103
680种．
(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．所以共有不同测试方法C·(C·C)A＝576种．
题组训练三
两个二项式积的问题
1．(1－)8(1＋)5的展开式中x2的系数是(　　)
A．－5
B．10
C．－15
D．25
2．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________．
【解析】1.选A.(1－)8(1＋)5＝(1－)3[(1－)(1＋)]5＝(1－)3(1－x)5，(1－)3的通项公式为C(－)r，其中r＝0，1，2，3，(1－x)5的通项公式为Cr，其中r＝0，1，2，3，4，5，所以展开式中x2的系数是C0×C2＋
C2×C1＝10－15＝－5.
2．(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5.
所以x2的系数为C＋aC，则10＋5a＝5，解得a＝－1.
答案：－1
　两个二项式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．
(3)分别求解再相乘，求和即得．
【补偿训练】
已知(1＋x＋x2)n的展开式中没有常数项，n∈N
，且2≤n≤8，则n＝(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5
【解题指南】先将问题转化成二项式的展开式中没有常数项，利用二项展开式的通项公式求出第r＋1项，令x的指数为0得常数项．转化成方程无解．
【解析】选D.依题意(1＋x＋x2)(x＋)n对n∈N
，2≤n≤8中，展开式中没有常数项，
所以(x＋)n不含常数项，不含x－1项，不含x－2项，展开式的通项为Tr＋1＝Cxn－rx－3r＝Cxn－4r，根据题意知n－4r＝0，n－4r＝－1，n－4r＝－2，当n∈N
，2≤n≤8时无解，通过检验得n＝5.
题组训练四
三项展开式问题
1．在的展开式中常数项为(　　)
A．28
B．－28
C．－56
D．56
2．求(x2＋3x－4)4的展开式中x的一次项的系数．
【解析】1.选A.因为x3－2x＋＝＝，故4＝，又8的展开式中x4的系数为C6＝28.
2．方法一：(x2＋3x－4)4＝[(x2＋3x)－4]4＝C(x2＋3x)4－C(x2＋3x)3·4＋C(x2＋3x)2·42－C(x2＋3x)·43＋C·44，显然，上式中只有第四项中含x的一次项，所以展开式中含x的一次项的系数是－C·3·43＝－768.
方法二：(x2＋3x－4)4＝[(x－1)(x＋4)]4＝(x－1)4·(x＋4)4＝(Cx4－Cx3＋Cx2－Cx＋C)(Cx4＋Cx3·4＋Cx2·42＋Cx·43＋C·44)，所以展开式中含x的一次项的系数是－C44＋C43＝－768.
三项展开式的指定项的系数，可以利用二项式定理的推导方法求出指定项的系数，也可以把三项代数式变形为二项代数式，再利用二项式定理求出指定项的系数．
【补偿训练】
　的展开式中x的一次项系数为________．
【解析】的展开式为
C·20＋C4·2＋C3·22＋C2·23＋C(＋x)·24＋C0·25.
C展开式中通项为C5－r·xr，
即C·35－rx3r－10，不存在x的一次项，
C4·2展开式中通项为10C·34－rx3r－8，
令3r－8＝1，解得r＝3，此时x的一次项系数为120，同理
C3·22中不含x的一次项，
在C2·23中不含x的一次项，
在C·24中，x的一次项系数为80.
综上，的展开式中x的一次项系数为120＋80＝200.
答案：200
题组训练五
整除和余数问题
1．设a∈Z，且0≤a<13，若512
015＋a能被13整除，则a＝________．
2.的展开式中的常数项等于的展开式中的二项式系数和．
(1)求的展开式的各项系数和；
(2)求55n除以8的余数．
【解析】1.因为512
015＋a＝(52－1)2
015＋a＝C522
015－
C522
014＋C522
013－…＋C521－1＋a，能被13整除，0≤a<13.故－1＋a能被13整除，故a＝1.
答案：1
2.的展开式中的通项公式为
Tr＋1＝C(4)5－r＝Cr45－rb－r，
所以当r＝2时取得常数项，
常数项T3＝C243＝27，
因为n的展开式中的二项式系数和为2n，
所以2n＝27，即n＝7.
(1)令a＝1，可得n展开式的各项系数和为27＝128.
(2)557＝(56－1)7＝C·567－C·566＋…＋C·56－C
.
所以其除以8的余数为7.
1．利用二项式定理处理整除问题
通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了．
2．解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
【补偿训练】
230＋3除以7的余数是________．
【解析】230＋3＝10＋3＝10＋3，对于10，
其展开式的通项为C·7r，
当r＝0时，不能被7整除，此时项为C·70＝1，故余数为1＋3＝4.
答案：4
题组训练六
二项式定理的综合应用
1．(2021·昆明高二检测)若1717＋a(a∈Z，0≤a<4)能被3整除，则a＝(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
2．487被7除的余数为a(0≤a<7)，则的展开式中x－3的系数为(　　)
A．4
320
B．－4
320
C．20
D．－20
【解析】1.选B.1717＋a＝(18－1)17＋a＝C1817－C·1816＋C·1815－C·1814＋…＋C·18－C＋a(a∈Z，0≤a<4)能被3整除，
则－C＋a＝0，
则a＝1.
2．选B.因为487＝(49－1)7＝C·497－C·496＋…＋C·49－1，所以487被7除的余数为6，所以a＝6.所以的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(－6)k·x6－3k，
令6－3k＝－3，得k＝3，所以的展开式中x－3的系数为C·(－6)3＝－4
320.
　二项式定理中赋值法的应用
(1)解决的问题：与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和．
(2)应用技巧：通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果．
提醒：求各项系数的绝对值的和时，要先根据绝对值里面数的符号赋值求解．
【补偿训练】
已知f(x)＝(2x－3)n展开式的二项式系数和为512，且(2x－3)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n.
(1)求a2的值．
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋an的值．
【解析】(1)由二项式的系数和为512知2n＝512，
所以n＝9.
(2x－3)9＝[2(x－1)－1]9，
所以a2＝C22(－1)7＝－144.
(2)令x＝1，得a0＝(2×1－3)9＝－1，
令x＝2，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝(2×2－3)9＝1.
所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)－a0＝2.
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题组训练一　倾斜角与斜率　
1．若三点A(－1，－2)，B(4，8)，C(5，x)在同一条直线上，则实数x的值为(　　)
A．10　　　B．－10　　　C．5　　　　D．－5
【解析】选A.依题意，kAB＝kAC，
即＝，解得x＝10.
2．如果直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________.
【解析】因为直线l1的倾斜角为150°，
所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°.
答案：30°
3．已知点A(1，2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________．
【解析】由题意知kPA＝－1，
若P点在x轴上，则设P(m，0)，则＝－1，
解得m＝3；若P点在y轴上，
则设P(0，n)，则＝－1，解得n＝3，
故P点的坐标为(3，0)或(0，3).
答案：(3，0)或(0，3)
　
求直线的倾斜角与斜率注意点
(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．
(2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大．
题组训练二　直线的方程　
1．已知直线l1：y＝－x＋与直线l2：y＝x＋垂直，垂足为H(1，p)，则过点H且斜率为的直线方程为(　　)
A．y＝－2x＋2
B．y＝4x－2
C．y＝－4x＋2
D．y＝－2x－2
【解析】选C.由题意可得解得
所以＝＝－4，
则所求直线方程为y＋2＝－4(x－1)，即y＝－4x＋2.
2．过l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0的直线方程为________．
【解析】由得交点为，
又l3的斜率为－，
所以所求直线方程为y＋＝－，
得8x＋16y＋21＝0.
答案：8x＋16y＋21＝0
3．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为________．
【解析】设直线l的方程为＋＝1，
所以|ab|＝3，且－＝，
解得a＝－6，b＝1或a＝6，b＝－1，
所以直线l的方程为＋y＝1或－y＝1，即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
答案：x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0
　
求直线方程的方法
(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．
(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单．
题组训练三　直线的位置关系　
1．经过点A(1，1)和点B(－3，2)的直线l1与过点C(4，5)和点D(a，－7)的直线l2平行，则a＝(　　)
A．1
B．4
C．52
D．44
【解析】选C.因为k1＝＝－，
又l1∥l2，
所以k2＝＝－，故a＝52.
2．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝
(　　)
A．－4　
B．－1　
C．1　
D．4
【解析】选C.k1＝，k2＝－，因为直线互相垂直，所以k1·k2＝－1，即·＝－1，所以m＝1.
　
直线的位置关系的判断方法及注意点
(1)方法：两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系．
(2)注意点：解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况．
题组训练四　距离公式　
1．已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是，则m＋n＝(　　)
A．0
B．1
C．－1
D．2
【解析】选A.由题意，所给两条直线平行，
所以n＝－2.
由两条平行直线间的距离公式，得d＝
＝＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝0.
2．已知△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，则点C的坐标为________.
【解析】设C(x，y)，由|AB|＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4，
又线段AB所在直线方程为3x＋4y－17＝0.
所以解得或
所以点C的坐标为(－1，0)或.
答案：(－1，0)或
　
距离公式的运用
(1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离．
(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合．
题组训练五　对称问题　
1．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为(　　)
A．3x＋4y＋5＝0
B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0
D．－3x＋4y＋5＝0
【解析】选A.设所求直线上的任一点为(x，y)，
则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，
因为点(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，
所以3x＋4y＋5＝0.
2．光线通过点A(2，3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1，1)，则反射光线所在直线的方程为________．
【解析】设点A(2，3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，
则
解之得，A′(－4，－3).
由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1，1)，
所以反射光线所在直线的方程为y－1＝(x－1)·，
即4x－5y＋1＝0.
答案：4x－5y＋1＝0
1．点关于直线对称的点的求法
点N(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)，可由方程组求得．
2．直线关于直线对称的直线的求法
求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程．
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