资源简介

核心素养统领下的
数学教学变革
一、如何理解数学核心素养
十八大提出的“教育的根本任务在于立德树人”就是整个教育改革的核心任务。
如何落实“立德树人”的根本任务？抓手在哪里？
教育部的顶层设计是“以学生发展核心素养为统领”，各学科教学都要为学生核心素养的发展作出独特的贡献，从而实现“立德树人”根本任务。
数学教育中的“立德树人”，以数学核心素养为统领。
数学核心素养是通过数学学习而逐步形成的具有数学特征的关键能力、必备品格与价值观念。
高中课标修订组提炼了六个数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。
理解数学核心素养的几个角度
数学教育中“立德树人”的内涵；
从数学学科特点出发；
从与学生发展核心素养关系的角度；
数学课程目标的发展角度。
——数学核心素养“是什么”？有什么“历史渊源”？能否“举例子”？
数学教育“立德树人”的基本内涵
帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法；
提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界；
促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展；
在学生形成正确人生观、价值观、世界观等方面发挥独特作用。
数学的特点与核心素养
数学核心素养与学生发展核心素养
中国学生发展核心素养：文化基础（人文底蕴、科学精神）、自主发展（学会学习、健康生活）、社会参与（责任担当、实践创新）
数学教育对发展学生核心素养的独特贡献，主要体现在科学精神（理性思维、批判质疑、勇于探究）、学会学习（乐学善学、勤于反思、信息意识）和实践创新（劳动意识、问题解决、技术应用）上。
数学课程目标的发展
与“三维目标”的关系；
与义教的八个“核心概念”（ 数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想）的关系；
与“四基”“四能”的关系；
与“双基”“三大能力”的关系。
——万变不离其宗！双基、三大能力是内核！
新一轮数学课改的核心任务是提升学生的数学学科核心素养，为学生发展核心素养作出独特贡献。
要有具体措施，要把数学学科核心素养落实在数学教育的各个环节。
二、关于落实核心素养的思考
“学科育人”要依靠学科的内在力量。
“数学育人”要用数学的方式，在数学内部挖掘育人资源，并使它们在数学教育的各个环节中发挥作用。
增强课程意识，把握教改方向，明确数学育人目标，提升数学育人的实效性，提高教育教学质量。
问题思考
一线教师该从哪些方面增强课程意识？
数学课程的育人力量是什么？
什么叫“数学的方式”？
一线教师的课程意识
（1）我教的是一门怎样的课——课程性质
（2）这门课能发挥怎样的育人功能，在学生发展中的不可替代作用是什么——课程目标
（3）如何教这门课——课程实施
（4）这样教在多大程度上实现了它的育人功能——课程评价
数学是一门怎样的课程？
数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等理解和表达现实世界中事物的本质、关系与规律。——课标如是说。
数学是思维的科学，具有“追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向”，有一套具有普适性的思考结构和交流的符号形式，这种结构和符号形式是强大的，富有逻辑，简明而且精确，是人们可以借助于理解和处理周围环境的一种思维方式，包括：抽象化、运用符号、建立模型、逻辑分析、推理、计算，不断地改进、推广，更深入地洞察内在的联系，在更大范围内进行概括，建立更为一般的统一理论等一整套严谨的、行之有效的科学方法，这是在获得数学结论、建立数学知识体系的过程中必须使用的思维方式。
推理是数学的命根子，运算是数学的“童子功”。
陈建功：片段的推理，不但见诸任何学科，也可以从日常有条理的谈话得之。但是，推理之成为说理的体系者，限于数学一科……忽视数学教育论理性的原则，无异于数学教育的自杀。
数学育人的基本途径是对学生进行系统的（逻辑）思维训练，训练的基本载体是逻辑推理和数学运算。
数学是一门语言，与语文有相似的特性，它有自己的一套独立的符号系统和严谨的表达方式——阅读、表达、交流的工具。
数学学科的独特育人功能
数学在形成人的理性思维、科学精神，促进人的智力发展中发挥着不可替代的作用。数学的独特育人功能主要在培养学生的思维特别是逻辑思维上，要使学生学会思考，特别是学会“有逻辑地思考”、创造性思考，使学生成为善于认识问题、善于解决问题的人才。
学会严格的逻辑推理，学会运算的方法和技巧。
学会使用数学语言，能用数学的方式阅读、表达和交流。
例1 怎样阅读这段教材
人教版七年级上册4.3 角
（1）对一个几何图形——角的完整研究。
一般而言，研究一个几何图形的基本结构是：背景——抽象概念——研究性质（判定）——建构体系（联系与综合）
从定性到定量，与线段、面积、体积等一样，需要解决角的度量与计算问题。
数学抽象素养的渗透
（2）定义一个几何对象需要做哪些事？
观察与分析：典型、丰富的具体事例的共同特征；
归纳与概括：本质特征、概念内涵、要素等，下定义；
表示：图形表示、符号表示、语言表示；
分类——思考：为何要分类？如何分类？
分类——理解数学结构的关键一环
一个数学结构的具体例子不胜枚举，按照某种条件（如何找到这个条件？）对它们分类，可以确定一种研究这个结构的逻辑顺序（按类各个击破），形成一个新方法来证明关于这个结构的结果。
有时，某种结果就是通过分类来证明的，例如正多面体只有五类：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
（3）关于角的度量
认识几何度量的五个阶段
①量的初步认识（直观感知“量”，直观或直接比较“量”的大小）；
②量的间接比较（用非标准单位或用另一个量为“中介”比较）；
③认识国际通用单位并用其描述大小；
④国际通用单位体系的认识与换算；
⑤利用公式求量的大小（只有面积和体积有此阶段）。
之所以有相同的认识过程，是因为这些几何量的数学结构相同，核心要素是：
①度量单位（从不标准单位到标准单位，并形成单位体系）；
②单位的个数就是量的大小。
度量的性质是：
①运动不变性；
②叠合性；
③有限可加（减）性；
④不可公度性。
在这些“量”中，“长度”（一维空间的延展）是最基本也是最简单的，其次就是面积（二维空间的延展）。因此，解决几何度量问题，核心思想是把研究对象看成一个“量”，并用一个数来描述它。而学习的五个阶段， 就是从定性到定量，最终用一个数来描述几何量，或建立一个公式来求几何量的数值。
这里是衔接小学阶段，完善角度制，同时提及弧度制；介绍角的测量工具。
（4）关于角的性质
思考：什么叫角的性质？如何研究角的性质？
几何学研究几何图形的形状、大小和位置关系，大小关系是最基本的性质；特殊的大小关系也是性质；等。于是有：
角的大小关系——如何比大小？定性、定量
角的特殊关系——相等，引申出角的平分线、三等分线，如何作图？（尺规作图不能问题）
特殊的大小关系：余角、补角。
对于特殊的图形、关系，一般有两个互逆问题：性质、判定。所以，这里有进一步的问题是：
角平分线的性质与判定，余角、补角的性质与判定。
（5）关于角的计算
主要是两类：
和、差、倍、半等的作图问题，注意：作图也属于计算；
度分秒的换算问题。
教好数学就是落实数学核心素养
其内涵是：引导学生通过对现实问题的数学抽象获得数学对象，构建研究数学对象的基本路径，发现值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，获得有价值的数学结论，建立数学模型解决现实问题。
要把如何抽象数学对象、如何发现和提出数学问题作为教学的关键任务，以实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越。
以数学知识为载体发展学生的核心素养
离开了知识载体，任何育人目标都会落空。
在完整的数学学习过程中落实数学核心素养：
*数学研究对象的获得
*研究数学对象
*应用数学知识解决问题
数学对象的获得，要注重数学与现实之间的联系，也要注重数学内在的前后一致、逻辑连贯性，从“事实”出发，让学生经历归纳、概括事物本质的过程，提升数学抽象、直观想象等素养；
对数学对象的研究，要注重以“一般观念”为引导发现规律、获得猜想，通过数学的推理、论证证明结论（定理、性质等）的过程，提升推理、运算等素养；
应用数学知识解决问题，要注重利用数学概念原理分析问题，体现建模的全过程，学会分析数据，从数据中挖掘信息等。
例2 有理数加法法则的获得过程
——推理、抽象、运算、直观
加法法则中的“事实”有哪些（类型）？
如何发现和提出需要研究的问题？
如何引导学生归纳运算法则？
从“事实”到“法则”是一个“数学化”的过程：赋予实际问题数学意义——借助实际意义列算式（需要多少算式？）——归纳共性（从哪些角度归纳？如何安排归纳过程？）——给出法则。
“两个过程”的合理性
从数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素养的关键点。
前一个的核心是数学的学科思想问题，后一个是学生的思维规律、认知特点问题。
以发展学生数学素养为追求，根据学生的认知规律，螺旋上升地安排教学内容，特别是要让重要的（往往也是难以一次完成的）数学概念、思想方法得到反复理解的机会。
以“事实——概念——性质（关系）——结构（联系）——应用”为明线；
以“事实——方法——方法论——数学学科本质观”为暗线。
从数学思维、思想或核心素养角度看
“事实——概念”主要是“抽象”（对典型而丰富的具体事例进行观察、比较、分析，归纳共性，抽象出共同本质特征，并推广到同类事物中去而得出概念）；
“概念——性质”主要是“推理”，包括通过归纳推理发现性质，通过（逻辑）演绎推理证明性质；
“性质——结构”主要也是“推理”，是建立相关知识之间的联系而形成结构功能良好、迁移能力强大的数学认知结构的过程；
“概念、性质、结构——应用”主要是“建模”，是用数学知识解决数学内外的问题。
强调获得“事实”的教育价值
“数学事实”是数学学习的“原材料”，也是数学育人的首要素材；
真正的学习必须经历“感知—感悟—知识”的过程；
以“事实”为支撑的概念理解才是真理解，才能形成对概念本质的深刻体悟，教学应从让学生获得数学事实开始。
增加概括概念、发现性质所需的素材，提供丰富的、真实的应用问题；
调动所有感官参与学习，安排动眼观察、动手操作、动脑思考的实践活动，使学生通过自主活动获取理解概念所需的“事实”；
增加“悟”的时间，长时间的“悟”，然后是有所体验、有所心得、有所发现。
在整个教学过程中，都要发挥“一般观念”的作用，加强“如何思考”、“如何发现”的启发和引导，特别是在概念的抽象要做什么、“几何性质”“代数性质”“函数性质”指什么等问题上要及时引导，以使学生明确思考方向。
小结
无论数学课改如何发展，其核心问题都不会改变，即：数学、学生，教学研究和实践总是在反映这两者的规律上不断前行，没有最好只有更好。当前还要关注教学手段问题。
符合时代要求的形式变化要为内容的改革服务，改革是为了让学生享受更好的数学教育，让学生把数学学得更好。
把数学教好就是落实核心素养的教学！
教师的专业发展水平和育人能力
是落实核心素养的关键
理解数学
理解学生
理解教学
当前的主要问题是教师在“理解数学”上不用功，数学水平不高导致数学课教不好数学，甚至数学课不教数学，机械解题训练成为课堂主旋律，而大量题目又不能反映数学内容和思维的本质，使数学学习越来越枯燥无趣、艰涩难学，大量学生的感受是“数学不好玩”，越学越糊涂。
三、在理解数学上狠下功夫
理解数学知识的三重境界
知其然
知其所以然
何由以知其所以然
——启发学生，示以思维之道耳！
在“本源性问题”上加强思考
对中学数学中的本源性问题加强思考是提高理解数学的水平、提升教师专业化水平和教学能力的有效途径。
中学数学的研究对象有哪些？
刻画数学对象的基本方法是什么？
数学研究对象的逻辑关系（哪个更基本）？
研究数学对象的基本套路是什么？
……
例3 一些“简单”、基本而重要的问题
空间中的“位置”差异用什么表示？
空间中的“方向”差异用什么表示？
如何刻画直线的“直”？
如何刻画平面的“平”？
你认为平面几何中哪个图形最重要？
如果让你选一个平面几何的定理，你会选哪一条？为什么？
为什么只学平行四边形而不学梯形？
哪几类三角形最重要，为什么？
圆的性质中，最重要的是什么？
四、如何“示以学生思维之道”
使学生明白数学思维之道的关键点：
（1）明确研究对象；
（2）明确研究目标（性质、判定、公式、法则等等）；
（3）明确到达目标的思路概要——发挥一般观念的引领作用。
例4 几何教材呈现的“研究之道”
一般按“背景（实际背景、数学背景）——定义（内含、表示）——分类（为什么要分类？如何分类？）——性质——特例（性质和判定）——联系和应用”的逻辑展开，在定性研究的基础上进行定量研究。这个系统具有一般意义，是科学研究的“基本之道”。
以此为基本依据设计课堂教学，并让学生反复经历这个逻辑过程，是“使学生学会思考”的关键。
如何让学生明确研究对象？
“明确研究对象”的重要性：明确研究对象是“数学化”的关键一步，是后续一切学习的基础，对数学学习具有基本的重要性。
要让学生在具体情境中展开认识活动，在“什么是几何对象的基本要素”、“如何观察”、“如何归纳”等方面加强引导，使学生经历完整的数学抽象过程获得研究对象。
例5 定义三角形要做哪些事？
观察三角形的具体例子——如何观察？
观察组成几何图形的元素的特征，三角形是平面图形，所以从组成它的点、线的特征入手。
“特征”指什么？
组成元素的形状、大小、位置关系。
如何分析“不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形”？
接下来做什么？
要素的定义和表示：边—顶点—内角—三角形。
三角形的分类——为什么要分类？如何分类？
三角形的基本性质：组成要素的相互关系
三角形的其他性质：高、中线、角平分线，外角等相关要素的关系，与要素的相互关系。
两个三角形的关系：大小关系——相等最重要；形状关系——相似。
特例：等腰三角形、等边三角形——性质、判定。
从定性到定量：边长、角度、面积等之间的定量关系。
例6 关于几何图形的性质
什么叫“几何图形的性质”？
只有明白了这个问题，才能使学生在独立面对一个数学对象时知道从哪里下手研究性质，才能使学生自主探究，才能使发现问题、提出问题的能力的培养落在实处。这样，核心素养的落实也就自然而然、水到渠成。
“性质就是一类事物共有的特性”之类的说法过于宏观，在具体思考中没有可操作性，需要针对具体内容进行归纳。例如：
要素和要素之间确定的关系就是性质——观察几何图形的构成要素之间的相互关系（位置关系、大小关系等）是研究几何性质的基本方法；
运算中的不变性（规律性）就是性质——研究代数性质，“算算看”是基本方法；
变化中的不变性（规律性）就是性质——研究函数的性质，在运动变化中进行观察是基本方法；
……
几何性质的分类
几何学的基本研究对象可分为两类：物体的形状、物体的位置，它们的特征就是性质。
物体的形状：反映在结构特征上，是一类几何图形的组成要素及其相互之间确定的关系（定性、定量）；
物体的位置：点、直线、平面的位置关系是基础，核心是平行（空间的平直性）、垂直（空间的对称性），距离、角度等可以把位置关系定量化。
三角形性质的研究思路和方法
以三角形的要素（三条边、三个内角）、相关要素（高、中线、角平分线、外角等）以及几何量（边长、角度、面积等）之间的相互关系为基本问题，从“形状、大小和位置关系”等角度展开研究。
“形状”中，“特例”是重点——等腰三角形和直角三角形，凡事“特例”都有性质和判定两个基本问题。
显然，这是一般观念指导下的研究。
如何让学生发现三角形的性质
问题1：什么叫三角形的性质？
问题2：“三条边的关系”指什么？“三个角的关系”又指什么？
问题3：边和角之间有确定的关系吗？
问题4：高、角平分线、中线的性质是怎么表现的？外角呢？
……
从三角形的“内角和为180°”、“两边之和大于第三边”、“大边对大角”、“等边对等角”等你想到了什么？
抽象：三角形的角、边之间的稳定的联系、确定的关系就是性质。
某一类几何对象组成要素之间确定的关系（任意一个对象都具有的关系）就是性质。
从“外角等于不相邻两内角的和”、“三条高交于一点”、“等腰三角形三线合一”等又想到了什么？
把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素，这些“相关要素”之间的位置关系就是性质。
要素、相关要素之间确定的关系（不随具体事物的变化而变化）也是性质。
位置关系的性质如何表现？
例如：两条直线平行，从“同位角相等”、“内错角相等”以及“同旁内角互补”可以想到，这时的“性质”是与“第三条直线”构成某种关系——平行、相交，相交时又形成一些角，然后看由两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系。
从方法论的高度，研究两个几何元素（两条直线）的某种位置关系（平行）的性质，就是探索在这种位置关系下的两个几何元素与同类几何元素之间是否形成确定的关系。
具体方法是让“同类元素”动起来，看“变化中的不变性”。——这就是教学设计的源头
五、教之道在于“度”学之道在于“悟”
为了发展学生创新智慧，需要思考一些基本问题，例如：
如何用有趣的问题引发学生兴趣，用恰时恰点、直击要害反映本质、简明易懂的问题引发学生思考、讨论？
如何不急不躁，给学生充分的时间思考、讨论，自然而然地为学生构建数学研究路径？
如何提高解题的层次，使学生通过解题认识一般的数学原理，并且让学生体会“如何做研究”，使思维的训练、创造力的培养蕴涵其中？
教学中应多问“你是怎么想的？”“你是怎么想到的？”“还有别的想法吗？”少问“是不是？”“对不对？”更不要“我已经给大家准备好了，下面开始算吧！”
通过技巧训练迅速提高分数，与通过思维训练全面提升能力，是两个完全不同的追求！
结束语
数学育人——使学生在数学学习中
树立自信，坚定正念，
增强定力，激励精进，
启迪智慧，净化心灵。
谢谢倾听
请提宝贵意见

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