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高中学数学竞赛决赛（自主招生）必备的高等数学知识
高中学数学竞赛决赛（自主招生）必备的高等数学知识
集
合
集合的概念
：我们把所要研究的事物全体称为集合，构成集合的事物称为元素，集合一般用大写字母A、B、C……表示，元素一般用小写字母a、b、c……表示。
如果元素是集合A中的元素，记，否则记
有限集：只有有限个元素的集合。
无限集：有无穷多个元素的集合。
空集：不含有任何元素的集合叫空集，记
集合的表示方法
列举法：如
，
描述法：如
，
子集：如果集合A中的元素都是B的元素，称A是B的子集（或称A包含于B），记
如：,,则。
并集：集合A与集合B的元素放在一起构成的集合，称为A与B的并集。记，即
如：
则:
交集：记集合A与集合B的公共元素构成的集合，称为A与B的交集，
记
。
如：，
则:
绝对值与绝对值不等式
(?javascript:onclick=gohref('129','1','1','2','0','0')"
\o
"第1章1节2点-绝对值与绝对值不等式
-
(时长:0时9分59秒)?)
几何意义：点到原点的距离。
几何意义：点到点的距离。
性质：
1）
，
2）
，
3）
；
4）设
，
；
5）
；6）
7）
例1：解下列不等式
1）
，
2）
，
3）
4）
，
5）
解：1）
2）
3）
或
或
4）
5）
或
区间与邻域
(?javascript:onclick=gohref('129','1','1','3','0','0')"
\o
"第1章1节3点-区间与邻域
-
(时长:0时6分20秒)?)
设
为实数，
，
称为以
、
为端点的开区间，
称为以
、
为端点的闭区间，
?，
以上为有限区间
?，
?
以上为无穷区间
称为
点的
邻域，
为对称中心，
为半径。
称为
点的去心邻域。
函数的定义
(?javascript:onclick=gohref('129','1','1','4','0','0')"
\o
"第1章1节4点-函数的定义
-
(时长:0时19分51秒)?)
设有两个变量
与
，当变量在实数某范围任取一值时，变量按确定的规则有确定的值与之对应，那么称是的函数，记。叫自变量，叫因变量，的取值范围称为函数的定义域，记。对称为函数在点的函数值，所有函数值的集合称为值域。记。
说明：
（1）定义中的记号
表示自变量与因变量的对应法则。
（2）函数的两要素：定义域与对应法则。
与表示同一函数；
与表示同一函数；
与表示不同的函数；
与表示不同函数。
（3）单值函数与多值函数
对于函数
，如果对自变量
的一个取值，函数
只有一个数值与之对应，则称函数
是单值函数；如果对自变量
的一个取值，函数
有两个或更多个数值与之对应，则称函数
是多值函数；如：
是单值函数，
是多值函数。
（4）定义域
实际问题中建立的函数关系，其定义域要根据实际问题来确定，而用数学式表达的函数，当不表示任何实际意义时，其定义域由函数表达式来确定。
??定义域求法
（i）分母不能为零；
（ii）偶次根号内部分不能小于零；
（iii）对数函数中，真数部分要大于零；
（iv）反三角函数
中要
。
??例2
求下列函数的定义域
1）
2)
3)
4）
解：（1）
定义域为：
（2）
定义域为：（2，3]
（3）定义域为：
（4）
所以定义域为：
例3
已知
的定义域为
，求
的定义域。
解
的定义域为（0，1）
例4
设
,求
。
解
例5
设
满足
，求
。
解
设
，则
，
，即
。
例6
已知
，求
。
解
令
，则
，
?
函数的表示方法
(?javascript:onclick=gohref('129','1','1','5','0','0')"
\o
"第1章1节5点-函数的表示方法
-
(时长:0时12分52秒)?)
公式法，表格法，图示法。
分段函数：在不同区间上用不同的解析式表示的函数
如：
符号函数：
?
?
例7设
求（1）
的定义域；
（2）
；（3）
时，
解
（1）定义域为：
（2）
，
，
?，
（3）
例8将函数
写成分段函数的形式。
解
例9设
，
则
时，
的表达式为
。
函数的简单性质
(?javascript:onclick=gohref('129','1','1','6','0','0')"
\o
"第1章1节6点-函数的简单性质
-
(时长:0时39分26秒)?)
单调性
设
在
内有定义,如果对于
且
，
有
,则称
在
内单调增加；
如果有
，则称
在
内单调减少。
单调增加、单调减少统称单调。
如果
在整个定义域内单调，称
为单调函数。
如：
在
单调减，在
单调增，所以不是单调函数。
?都是单调函数。
有界性
设
在区间
有定义，如果存在数
，使对于一切
，有
成立，则称
在区间
有上界，
是
在区间
的一个上界。如果存在数
，使对于一切
，有
，则称
在区间
有下界，
是
在区间
的一个下界。
设
在区间
有定义，如果存在正数
，使对于一切
，有
成立，则称
在区间
有界，否则称在
为无界。
如果
在它的整个定义域内有界，称
为有界函数。
如：
在区间[1，2]有界，在（0，1）无界，它不是有界函数。
是有界函数，因为对一切
有
。
?是有界函数。
显然，函数
在区间
有界的充分必要条件是：它在区间
既有上界又有下界。
奇偶性
设
的定义域关于原点对称，如果对定义域中任何
，有
，称
为偶函数，如果有
，称
为奇函数。
偶函数的图形关于
轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
例10
判断下列函数的奇偶性
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解（1）
所以是奇函数；
（2）是偶函数；
（3）是非奇非偶函数；
（4）
?
所以是奇函数；
（5）是偶函数
奇函数×奇函数为偶函数，奇函数×偶函数为奇函数，偶函数×偶函数为偶函数。
例11设
在
内有定义，
，则
为奇函数，
为偶函数，
。
周期性
对函数
，如果存在正数
，使对于定义域中的
有
，称
为周期函数，使此式成立的最小正数
，称为最小正周期。
如：
是周期为
的周期函数，
?是周期为
的周期函数。
如果
是以T为最小正周期的函数，则
的最小正周期为
。
如：
的最小正周期是
。
反函数
给定函数
，如果变量
在值域内每取定一值时，
在定义域内有一值与之对应，则得到一个定义域为
的值域，
为自变量，
为因变量的函数
，称其为
的反函数，记
习惯上用
作自变量，
作因变量，所以
的反函数记作
图形特点：
的图形与其反函数
的图形关于直线
对称。
例12求下列函数的反函数
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：（1）
，所以反函数为
。
（2）
，所以反函数为
。
（3）
，所以反函数为
。
（4）
，
，
，
所以反函数为
。
（5）
，
，
所以反函数为
。
基本初等函数
(?javascript:onclick=gohref('129','1','2','1','0','0')"
\o
"第1章2节1点-基本初等函数
-
(时长:0时19分38秒)?)
幂函数
(a为实数)
要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形
.
指数函数
定义域：
，
值域：
，
图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；a时，单调减少。今后
用的较多
对数函数
定义域：
，
值域：，
与指数函数互为反函数，图形过（1，0）点，a>1时，单调增加；a<1时，单调减少。
三角函数
，奇函数、有界函数、周期函数
；
，偶函数、有界函数、周期函数
；
?，
的一切实数，奇函数、
周期函数
?，
的一切实数，奇函数、
周期函数
；
，
反三角函数
?；
；
；
以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握。
注：（1）指数式与对数式的性质
?
?
?
?由此可知
，今后常用关系式
，
如：
（2）常用三角公式
?
?
?
?
复合函数
(?javascript:onclick=gohref('129','1','2','2','0','0')"
\o
"第1章2节2点-复合函数
-
(时长:0时10分4秒)?)
设y是u的函数
，
，而u是x的函数
，如果
，则
称为由
和
复合而成的复合函数，u叫中间变量。
注：（1）
的定义域或者和
的定义域相同，或者只是
的定义域的一部分，并且不是任何两个函数都可以构成复合函数
如：
,则
的定义域是
,是
的定义域的一部分，
不能构成复合函数。
例1设
的定义域是[0，1]，求
的定义域。
解
所以
的定义域为
（2）复合函数也可以由更多个函数复合而成
如：
，则
要求：能够判断一个复合函数是由哪些简单函数符合而成的，这一点对今后的学习非常重要，方法是：从外向里，层层剥皮。
例2判断下列函数是由那些简单函数复合而成的
（1）
（2）
（3）
（4）
解
（1）
（2）
（3）
（4）
初等函数
(?javascript:onclick=gohref('129','1','2','3','0','0')"
\o
"第1章2节3点-初等函数
-
(时长:0时2分19秒)?)
由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算及有限次复合构成的能用一个解析式表出的函数叫初等函数。
说明：一般情况下，大多数分段函数不是初等函数，但能用一个解析式表达的分段函数仍为初等函数。
双曲函数与反双曲函数
(?javascript:onclick=gohref('129','1','2','4','0','0')"
\o
"第1章2节4点-双曲函数与反双曲函数
-
(时长:0时2分40秒)?)
双曲正弦：
，奇函数，单调增函数；
双曲余弦：
，偶函数，
时，单调减，
时，单调增；
双曲正切：
，奇函数，单调增函数。
函数的图形见书P27~P28。
下面公式成立
，
，
，
。
反双曲正弦
反双曲余弦
，
反双曲正切
函数图形的变换
(?javascript:onclick=gohref('129','1','2','5','0','0')"
\o
"第1章2节5点-函数图形的变换
-
(时长:0时4分37秒)?)
平
移
①
由
的图形，作
的图形。
图形右移，
，图形左移。如：由
图形作
的图形。由
的图形作
的图形。
②
由
的图形作
的图形。
，图形上移，
，图形下移。如：由
的图形作
的图形
翻转
①
由
图形作
的图形。（以
轴为对称轴翻
）
如：由
的图形作
的图形
②
由
图形作
的图形。（以
轴为对称轴翻
）
如：由
的图形作
的图形
迭加与放缩（略）
函数关系的建立
(?javascript:onclick=gohref('129','1','2','6','0','0')"
\o
"第1章2节6点-函数关系的建立
-
(时长:0时10分33秒)?)
例3把半径为
的一圆形铁片自中心处剪去中心角为
的一扇形后，围成一无底圆锥，将这圆锥的体积表为
的函数。
解
设圆锥底面半径为
，高为
，则
=
例4有一重量为G的物体放在水平的桌面上，用力F使它由静止开始移动（见图），已知物体与桌面间的摩擦系数是
，试将力F的大小表示为它与桌面所成的角度
的函数
解:
显然，使物体开始移动所用的力F的大小随着它与桌面所成的角度
的大小而定，因此F与
间存在函数关系。重量G与摩擦系数
是常数。
将力F分解成与桌面平行和垂直的的两个分力
，则物体对桌面的压力
。设摩擦力为R，由物理学知道：摩擦力=摩擦系数×压力，所以
要使物体开始移动，水平分力必须与摩擦力相等，即
，
因此
所以，
（
）
第四节
矢量的数量积与矢量积
一、
数量积（点积）
设一物体在常力作用下沿直线从点O移动到点P，则物体的位移
，力所做的功
定义：两个矢量
与的模与其夹角
的余弦之积称为
与
的数量积（或称内积、点积），记作
既
或
运算性质：
（1）交换律
（2）结合律
（3）分配律??
其中
为常数
两个结论：（1）
（2）两个非零矢量与相互垂直的充要条件是
既
注：规定零矢量与任何矢量垂直，所以两矢量?与
垂直的充要条件是
.
数量积的坐标表达式
设
；
则
两矢量夹角的余弦为(
,
均为非零矢量)
或
其中
为
的方向角，
为
的方向角。
例1
设，
，求
。
解
例2
已知三点
求矢量
和
的夹角
。
解
???????
所以
例3
证明：矢量
垂直于矢量
解?
垂直于向量
例4
设
，求
的模。
解
?
例5
设
若
，则
？
解?
所以
二、
矢量积（叉积）
定义：两个矢量
与
的矢量积仍是一个矢量，
记作
，其模为
，其方向由到
按右手法则决定，且
。
即?
，
且
注：矢量积的结果是矢量
运算性质：（1）反交换律
（2）结合律
（3）分配律?
两个结论：（1）
（2）两个非零矢量与平行的充要条件是
即
注：
在几何上表示以矢量
为邻边的平行四边形的面积
?
?矢量积的坐标表达式
设
，
则
?
?
??
??
所以
例6
设
求。
解
?
例7
设
求与
都垂直的单位矢量
解?
与
和都是垂直的，
例8
设
求
解
，
例9
设与的夹角为
，
，求
解
例10
设与的夹角为
，
，求
例11
求以
三点为顶点的三角形面积
解
，
所以，三角形面积为
增量：变量
从初值
变到终值
，则
称为变量
的增量或
改变量，记为
，即?
对于函数
，当自变量从
变到
时，
称为自变量
的增量；
对应的函数值从
变到
，
称为函数
的增量。
注：增量可正可负。
图3-1
定义
设函数
在点
的某一邻域内有定义，
如果当自变量的增量
趋于零时，对应函数的增量
也趋于零
即
，
那么就称函数
在点
连续，?称为函数
的连续点。
极限
可写成
，
即
所以此定义也可改写为
定义设函数
在点
的某一邻域内有定义，如果?
，
那么就称函数?
在点
连续。
由定义可知，函数
在点
连续，必满足三个条件
（1）
在点
有定义
（2）
存在（左、右极限存在且相等）
（3）
如果三条中有一条不满足，则
在
点就不连续。
例1
设
讨论
在
的连续性
解
是一分段函数，
∵?
????
???
???
所以
不存在，故在
处
不连续。
图?3-2
例2
讨论函数
在
，
及
处的连续性。
解
?在
处：
?不存在，所以不连续。
在
处：
，所以连续。
在
处：
且
所以连续。
左连续、右连续：
若
存在且等于
，即
，则称
在
点左连续；
若
存在且等于
，即
，则称
在
点右连续。
图?3-3
如：上两例中的函数均在
点左连续。
显然
在
点连续，则
在
点左连续且右连续。
函数
在区间连续：
如果函数
在区间
内每一点都连续，则称函数
在区间
?
内连续；
?如果
在区间
内连续，在
点右连续，在
点左连续，
?则称函数
在闭区间
上连续。
图3-4
例3
当
时，
且
在
连续，则
解??∵
在
连续，
?
例4
设函数
在
处连续，求
。
解
因为
在
处连续，所以
，
???而
，
如果函数
在
的去心邻域内有定义，但在
不连续，称
为
的间断点。
与连续的条件相对应，有下列三种情形之一时，则
在
点就不连续，
点
就为间断点。
(1)在点
没有定义
(2)在点
有定义，但
不存在
(3)在点
有定义，且
存在，但
如：
在点
无定义，且
不存在，所以
是
的间断点。
?是
的间断点，
在
?有定义，
但
不存在
(条件2)
是
?的间断点，因
在
有定义，
且?
，但
间断点的分类
（1）
跳跃间断点???????????????????????????????
若
在
的左右极限存在但不相等，
则称
为跳跃间断点。
如：
是
?的跳跃间断点。????图?3-5
（2）
可去间断点
?存在但不等于
，则称
为可
去间断点。
补充或修改
在
的定义后，可使
在
连续。
如：
是?
的可去间断点。
图?3-6
（3）
无穷间断点
当
（或
，或
）时，
，则称
为无穷间断点。
如：
是
的无穷间断点。
图3-7
（4）
震荡间断点
当??时，
无穷震荡没有极限。
如：
在
?处。
（1）、（2）称为第一类间断点，（3）、（4）称为第二类间断点。
定理（1）有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数；
（2）有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数；
（3）两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数（分母在该点不为零）
定理
如果函数
在区间
单调增加（减少）且连续，
则它的反函数
在对应的区间
也单调增加（减少）且连续。
定理
设?
在
点连续，
且?
，而
在
连续，
则复合函数
也在
点连续。
定理一切初等函数在其定义区间内连续。
例1
求函数
的连续区间。
解
函数
的定义区间是[-1，1]，所以连续区间也是[-1，1]。
例2
求函数
的间断点。
解
函数
的定义区间是
，
所以间断点是
（函数在这两点没定义）。
例3
求函数
的间断点。
例4
设函数
?在定义区间内连续，求
。
解
的定义区间为
，所以当
时，
连续，
有?
，
而
，
，
所以
，即
。
例5
设函数
，求
的连续区间和间断点。
解
的定义区间为
，
当?
时，
连续；
当?
时，
也连续；
当?
时，
，
，
所以?
时，
不连续。
所以?
的连续区间为
，
的间断点为
。
设
在
处连续，则
。对复合函数有
定理
设?
在
处连续，又
且?
，
则?
?如?
例6
求下列极限
（1）
（2）
（3）
（
）
解（1）
=
=
（2）
（3）令
，则
，
时，
，
?
最大值、最小值的概念：
设
在区间
上有定义，
，如果对于一切
，有
则称
为
在区间
上的最大值（最小值）。
定理
（最大值、最小值定理）
??
??????
?
闭区间
上连续的函数
必在该区间上取得最大值和最小值。
定理
（介值定理）
设
在闭区间
上连续，
分别为
在
上的
最小、最大值，则
必可取到
与
之间的任何值，既对任意的
则至少存在一点
使
如果?
使
，则?
称为函数
的零点。
?
推论
（零点存在定理）设
在
上连续，且
，
则必存在?
使
。
图3-11
例1
证明：方程
在?1?与?2?之间至少有一个根。
证
：
在?[1，2]?上连续，又
∴至少有一点
使
即
就是方程在?1?与?2?之间
的一个根。
定理
（有界性定理）设
在
上连续，则?
在
上有界
数列的概念
(?javascript:onclick=gohref('129','2','1','1','0','0')"
\o
"第2章1节1点-数列的概念
-
(时长:0时8分1秒)?)：设
是正整数
的函数，当
按增大顺序取值时，得到的一串函数值
称为数列，记
，即
?
数列中的每个数叫数列的项，称为通项（或一般项），数列记为
。
例如：
（1）
1，2，3，...，...
...?
（2）
1，2，3，...
...
?
（3）
1，2，3，...
?...
（4）
1,2，3，...
-1，
1，
-1
，
1，
-1，
1，...
（5）
1，2，3，...?
…?
单调数列：如果
?…
…
，称数列
单调增；如果
?
…
…，称数列
单调减；单调增与单调减数列统称为单调数列。
如：数列（2）、（5）单调增，数列（3）单调减。
有界数列：如果对任何正整数
，存在正数
，使
恒成立，称数列
有界，否则称为无界。
如：数列（1）、（2）、（3）、（4）有界，数列（5）无界。
数列的极限
(?javascript:onclick=gohref('129','2','1','2','0','0')"
\o
"第2章1节2点-数列的极限
-
(时长:0时23分18秒)?)
对于数列
，重要的是讨论它当项数n无限增大时（记
），
的变化趋势，是否无限接近于某一个常数。如果
时，
无限接近于一个常数
，则称
为
当
时的极限，如前面数列中
考察数列
,
即
…
?，…
?
当n趋于无穷时
的变化趋势。由于
，显然n
时，
1，即
无限接近于零。也就是说：对于任意预先给定的无论多小的正数
，当
大到一定程度时，有
。如：对于
，要
，只要
，就有
对于
，要
，只要
，就有
对于
，要
，只要
，就有
对于
，要
，只要
，就有
一般地说，对于任意给定的正数
，存在着一个正整数
，对
时的一切
，有
成立。这样就描述了
当
时无限接近于1这一事实。1是
当
时的极限。
定义：如果数列
与常数A有关系：对于任意给定的无论多小的正数
，总存在正整数N（ε），使对于n＞N时的一切
，不等式
都成立，则称常数A是数列
当
时的极限，或者称数列
当
时收敛于A,记为
?或
此时，称
为收敛数列，如果
不收敛（没有极限），称
是发散的。
例?1??证明数列
的极限是1。
证
对于任意给定的无论多小的正数
，要使
只要
即可，取
，则当
时，有
收敛数列的性质
定理
收敛数列的极限是唯一的
证明
用反证法。假设
又
，且
。取
，
因
，存在正整数
，使
时，有
（1）
同理，因，存在正整数，使时，有（2）
取
，则时，（1）、（2）两式应同时成立，又由（1）式可得
，由（2）式可得
，矛盾。所以，数列的极限是唯一的。
定理
收敛的数列必定有界。
证明
设
，由极限定义，对
存在正整数
，使
时的一切
，有
成立，即
成立。取
，则对数列中的一切
，有
成立。所以，数列
有界。
子数列：在数列
中任意选出无穷多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样抽得的数列称为原数列的一个子数列。
如：数列
中
?…
…为一个子数列
?…
?…也是一个子数列
任意一个子数列可记成
定理
如果数列
收敛于
，那么它的任意一个子数列也收敛于
如果数列有两个子数列收敛于不同的极限，则数列是发散的。如：
。
?指：
无限变大。
型f(x)的极限
如果在
的过程中，
无限接近于某确定的数值
，则称
为函数
当
时的极限。
考察函数
，当
时的变化趋势，
?
显然，当
时，
，即
可任意小。也就是对于任意给定的无论多小的正数
，要
，只要
即可，取正数
，则
时，有
成立。这样就描述了
时，
的极限过程。
定义
设函数
和常数
有关系：对于任意给定的无论多小的正数ε，总存在正数
，使当
时的一切
，有
成立，则称
为函数
当
时的极限，或说
当
时收敛于
，记作
?或
例1证明：
证
：设
?
要使
，只要
，
取
，当
时，有
成立，
同理可证：
说明：当
，
无限增加时，记作
，
当
，
无限增加时记作
，
可以定义，
(或
)时函数
的极限，分别记作
如：
注意：
存在的充要条件是
都存在且相等。
?不存在。
型f(x)的极限
?指
以任何方式趋于
，也即
任意变小。
如果在
的变化过程中，函数值
无限接近于确定的数值
，则称
为
当
时的极限。即对于任意给定的无论多小的正数
，只要
与
充分接近（用
来描述），可有
成立。
如观察函数
，当
时，
的变化趋势，
显然，当
时，
，既
可任意小。对于任意给定的
，只要
（取
），就有
成立。
定义
设函数
在
的某去心邻域内有定义，
与常数
有关系：对于任意给定的无论多小的正数ε，总存在着正数
，使对于一切满足
的
，有
成立，则常数
称为
当
时的极限，或说
当
时收敛于
，记作
?或
注意：
时，函数
有没有极限与
在点
是否有定义无关，所以定义中要求
。
例?2??证明：
证：设
?
要使
，只要取
，则当
时，就有
同样可证明：
，
左、右极限
当
从
的左侧趋于
(记作
或
)时，
的极限称为
趋于
时的左极限，记作
当
从
的右侧趋于
(记作
或
)时，
的极限称为
趋于
时的右极限，记作
定理
函数
当
时的极限存在的充分必要条件是
当
时的左右极限都存在且相等。既
例?3??讨论当
时函数
的极限是否存在。
?解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
不存在。
????极限的性质
定理
如果
,且
,则存在点
的某一去心邻域，当
在该邻域内时，有
。
定理
如果在点
的某一去心邻域内
，且
，则
(
)。
函数的极限形式有下面几种情况：
总结上述极限，将其概括为：对于任意给定的无论多小的正数
，在
的某个变化过程中存在着一个时刻，当
的变化过程超过这一时刻时，有
恒成立，则称
是
在
的这一变化过程中的极限，记
无穷小
(?javascript:onclick=gohref('129','2','3','1','0','0')"
\o
"第2章3节1点-无穷小
-
(时长:0时5分39秒)?)与无穷大
(?javascript:onclick=gohref('129','2','3','1','0','0')"
\o
"第2章3节1点-无穷小
-
(时长:0时5分39秒)?)
如果在
的某个变化过程中，
以零为极限，则称
在
的这个变化过程中为无穷小。
定义
当
或
时，如果函数
的极限为零，则称
当
（或
）时为无穷小量。
如：
注：无穷小是一个极限为零的变量（即绝对值无限变小的函数），不是很小的常数，但零是可以作为无穷小的唯一常数。
无穷小与函数的极限有关系
定理?如果
或
，则当
（或
）时，
是无穷小，反之也成立。
如：
?如果在
的某个变化过程中，
的绝对值
无限变大，则称
在
的这个变化过程中为无穷大。
定义
如果对于任意给定的无论多么大的正数M，总存在正数
(或正数
)，使得对于适合不等式
(或
)的一切
恒有
成立，则称
当
(或
)时为无穷大，记作
（或
）
如：????????????
注：(1)无穷大是绝对值无限增大的变量，不是一个很大的常数。
(2)
当
(或
)时，如果
取正值无限增大，则称
当
(或
)时为正无穷大，记作
（或
）；如果
取负值而绝对值无限增大，则称
当
(或
)时为负无穷大，记作
（或
）。
（3）
是无穷大还是无穷小与
的变化过程有关。
如：
，当
时为无穷大，而当
→∞时为无穷小。
定理
在自变量的同一变化过程中，如果
是无穷大，则
是无穷小；反过来，如果
是无穷小且
，则
是无穷大。
如：
时，
是无穷大，
是无穷小。
极限的运算法则
(?javascript:onclick=gohref('129','2','4','0','0','0')"
\o
"第2章4节-极限的运算法则
-
(时长:0时42分23秒)?)
定理
设
则
（1）
（2）
???????
（3）
（
）
（4）
（
为正整数）
（5）
（
为正整数，
为偶数时
）
说明：（1）
换成
的其他变化过程，定理仍成立。
（2）此法则对数列的极限同样适用。
例?1??求极限
解
例2求极限
解
例3求极限
解?=
例4求极限
解
因为
，所以
注意：不能这样写
例5求极限
解??
关于这种极限有
?
如：
上式也可以用于数列极限的情形
如
存在且不为零，则
例6求极限
解
例7求极限
解
?
例8求极限
解
例9求极限
解
例10求极限
解
由于
，所以
例11求极限
解
例12求极限
定理：（1）有限个无穷小的代数和是无穷小；
（2）有限个无穷小的乘积是无穷小；
（3）无穷小与有界函数的乘积是无穷小。
如：
例13设
讨论
时
的极限。
解?
不存在。
?
极限存在的准则
(?javascript:onclick=gohref('129','2','5','1','0','0')"
\o
"第2章5节1点-极限存在的准则
-
(时长:0时2分17秒)?)
定理
(夹逼准则)设函数
在
点某邻域内（
可除外）满足条件
，且
，则
。
注：此定理对
的其他变化过程也成立，将函数改为数列同样成立。
定理
单调有界数列必有极限
两个重要极限
(?javascript:onclick=gohref('129','2','5','2','0','0')"
\o
"第2章5节2点-两个重要极限
-
(时长:0时17分34秒)?)
重要极限1
这个极限中
可以是任意的无穷小量
如：
，
重要极限?2
?
，
?
这个极限中
可以是任意的无穷大量
如：?
当令
时，此极限可变形为
例1求极限
解
例2求极限
解
令
，则
时，
?
例3求极限
解
（用
）
例4求极限
解
例5求极限
解
令
，则
?
例6求极限
解
例7求极限
解
例
8求极限
解：
例1
求曲线
在曲线上的点
处切线的斜率。
?
图4-1
在曲线
上点
的附近另取一点
，连接
和
得
割线
，当
沿曲线趋于
时,割线
的极限位置称为曲线在点
的切线。
令
，
，则
的斜率为
，如果
存在，则此极限值就是曲线的切线的斜率。
设切线的倾角为
，则
从另一角度，
表示
在区间
（或
）的平均变化率，极限
称为函数
在
的变化率。
例2
求变速直线运动的物体的瞬时速度。物体产生的位移
是时间
的函数，设
运动方程为
，求在
时刻的速度。
定义
设函数
在点
的邻域内有定义，当自变量
从
变到
时，则函数得相应的增量
，如果极限
存在，则称函数
在点
可导，并称此极限为函数
在点
的导数。记作
，或
，
，
，
即?
如果记
，则上式可写为
或记
则?
如果上述极限不存在，则称函数在点
不可导。
例3
设
在
处可导
（1）
（2）
则
？
解
（1）
（2）
??
例4
设?且?
则?
解
?
例5
证明：
在?
处不可导。
解
在
处不可导。
注意：函数
在（0，0）处的切线存在，斜率为
，所以函数
在
处有
或
时，有时?也称
?在
处导数无穷大。
?
图4-2左、右导数
左导数
?
右导数
?
显然有，
在
处可导的充要条件是：
在
的左、右导数都存在且相等。
例6
讨论函数
在
处的可导性。
解
在
可导且
如果函数
在区间
内每一点都可导（闭区间时，左端点须右可导，右端点须左可导），则称函数
在区间
内可导，此时其导数值是随
而变的函数，称为
的导函数，简称导数，记作
而
是
的导函数
在
处的函数值。
用定义求函数
的导数（函数），可分三步进行：
（1）求增量
（2）求比值
（3）求极限
例7
求
（
为正整数）
解
?
（应用二项式定理）
，所以
一般地有
???
为任意实数。
例8
求
的导数。
解
?
所以
利用导数的定义和基本求导法则求出了常用初等函数的导数，
请大家背下来。
如：
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
例9
设
，求
解
?
定理
如果函数
在点可导，则函数在点连续。
因为
在点
可导，
即
，
（增量公式）
即
所以
时，
。
在
处连续。
注
：定理的逆不一定成立。既函数
在点
连续，却不一定可导。
例10
函数
，在点
连续，但不可导。
?
所以
在
连续。
在
处不可导。
例11
讨论函数
在
处的连续性与可导性。
解
在
处连续。
在
处可导，且
。
例12
设
问当
为何值时，
在
连续且可导。
解
在
处连续，则
，
在
处可导，则
在点的导数是曲线在点处切线的斜率。
所以
在
处的切线方程为
?
法线方程为
例13
求
在(-1，1)处的切线方程和法线方程。
解
，
切线方程为
法线方程为
例14
设曲线
上的点
处的切线平行于直线
，
求点
的坐标。
解
因为曲线在
点的切线平行于
，
解出
所以
点的坐标为
。
定理
设函数
在点
可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）也均在
处可导，且
（1）
（2）
为常数）
推广：?
（3）
例1
设
，求
。
解
?
例2
设
，求
。
解
?
例3
设
，求
。
解
?
例4
设
，求
。
解
?
例5
，求
。
解
例6
，求
。
解
既
,同样方法可求出
的导数。
例7
例8
求下列函数的导数
（1）
（2）
解
（1）
???（2）
?
前面我们讲反函数的连续性时讲过，区间I上的单调连续函数的反函数仍然是单调连续函数，现在我们假定它的导数存在来研究其反函数导数的情况。
定理
：如果函数
在某区间
内单调、可导且
，那么它的反函数
在对应区间
内也可导，且?
????即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
例9
求函数
的导数。
解
是
的反函数，
在
内单调可导，且
所以
在(-1，1)内可导，且
由
?????所以
同理可得
，
，
复合函数的求导方法是一非常重要的方法，因为一个复杂的函数不仅可由一些简单函数经四则运算得到，也经常由函数的复合运算而构成，因此我们必须研究复合函数的求导方法。
定理
如果
在点
可导，而
在点
可导，则复合函数
在点
可导，且
证：由于
在
可导，因此
存在，因此
其中
时的无穷小，当
时，用
乘上式两端得
当
=0时，规定
=0，则上式仍然成立，两端除以
得
取极限得
即
例10
设
，求
。
解
设
，则
，用复合函数求导公式得
?
例11
，求
。
解
设
，则
，
?
例12
，求
。
解
?
利用复合函数求导公式还可得
复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形，如设
，则
的导数为
或
例13
，求
。
解
求导熟练后，可不写出中间变量，按复合顺序层层求导即可，大家要能做到这一点。
如上例
注意
：
例14
求下列函数的导数
（1）
（2）
（3）
解
（1）
（2）
?
（3）
?
注意
：符号
与
的区别。
如：
例15
下列写法哪个正确
1．设
，则
（1）
（2）
（3）
2．设
，则
?
3．设
，则
例16
设下列函数可导，求它们的导数
（1）
（2）
（3）
解
（1）
（2）
（3）
例17
设
可导，且
，求
解
例18
已知
，求
解
，
，
，
所以
例19
设
是可导的偶函数，证明：
是奇函数。
证明
：因
是偶函数，
等号两边对
求导，
，即
所以
是奇函数。
此结论也可用导数的定义证明。
由方程
所确定的
与
间的函数关系称为隐函数。
隐函数求导法：
两边对
求导（
是
的函数
）得到一个关于
的方程，解出
即可。
例20
求由方程
所确定的隐函数
的导数。
解
方程两边对
求导
例21
求由方程
所确定的隐函数
的导数并求
。
解
方程两边对
求导
?
当
时，由方程解出
例22
设
求
。
解
原方程为
等号两边对
求导得
，
例23
求椭圆
在点
处的切线方程。
解
，
，
所以，切线方程为
注：
方程
中，变量
与
的地位是平等的，同样可确定
的一个隐函数
，所以可求
。
?
先把函数
取自然对数化为隐函数然后求导，这种方法叫对数求导法。
例24
设
，求
解
时，
=
例25
设
，其中
，
均为可导函数，
且
，求
。
解
?注
：幂指函数也可写成复合函数的形式求导
例26
求函数
的导数
解
法一
取对数
，
法二
例27
设
求
。
解
例28
设由方程
确定
是
的函数，求
。
解
方程两边取对数
等号两边对
求导
注：分段函数的导数，如
求
解
在
不连续，所以不可导；
；
?所以
不存在。
高阶导数
(?javascript:onclick=gohref('129','4','5','0','0','0')"
\o
"第4章5节-高阶导数
-
(时长:0时18分2秒)?)
定义
设
在
的某邻域可导，如果极限
存在，称此极限值为
在
处的二阶导数，也称
在
处二阶可导，记作
的导数
称为一阶导，
本身称为零阶导。
二阶导
的导数为三阶导，记作
一般
的n阶导记作
或
例1
设
（n为正整数），求
。
解
，
，…，
例2
求下列函数的
阶导
（1）
（2）
（3）
解
（1）
（2）
，
，
，…，
?
（3）
，
，…，
?
例3
设
，求
解
，
例4
设
存在二阶导，求
的二阶导。
解
，
例5
设
，求
解
代入
得
当
时，
注
：书中几个常用函数的n阶导公式要记住，如：
参数方程的导数
由参数t表示的
与
的函数关系
称为函数的参数方程。
定理
设有参数方程
，
，
与
都是可导函数且
，则
?当
二阶可导时，
?
例1
设
，求
解
，
也可求出
后，直接
套公式。
例2
设
，求
。
解
，
，
例3
已知椭圆的参数方程为
，求在
处的切线方程。
解
在
处的切线斜率为
当
时，椭圆上相应
点
切线方程为
即
?
许多实际问题中常常要求函数的增量。
例如：一块正方形铁板，受热后边长由
增加
到
，（见图）问它的面积增加了多少？
设边长为
，则正方形面积
，显然，
铁板受热后增加的面积对应函数的增量
，即
由两部分组成，第一部分
是
的线性函数，它的系数
是函数
在
处的导数；第二部分
当
时是
的高阶无穷小，即
；这样
当
很小时，
问题：是否对于任一函数
都是如此呢？
第一节中提到的增量公式回答了这一问题。
如果函数
在
处可导，则有增量公式??
?
其中
称为函数增量
的线性主部，也叫做函数
在点
处的微分，
是
的高阶无穷小，当
很小时，
。
定义
：设函数
在
处可导，则增量
的线性主部
称为
在
处的微分，记作
或
，
即
?
。
注
：（1）规定
，所以
的微分记作
，所以
，因此，导数也叫做微商。
（2）由定义知
在
处可微必可导，可导也必可微。
（3）当
很小时，有
。所以可用微分作近似计算
（
很小）
?
??
见图，对曲线
上的点?
，当变量
有增量
时，可得曲线上另一点
，
，
过点
作曲线的切线
，
它的倾角为
，则
??即
所以，当
是曲线
上的点的纵坐标的增量时，
就是曲线的
切线上点的纵坐标的相应增量。
1.
由基本导数公式可得基本微分公式，书中168页的表要背下来。
2.
函数和、差、积、商的微分法则
（C为常数）
3.复合函数微分法（微分形式的不变性）
设
可微
（1）当u为自变量时，
（2）当
时，
求
的微分
时，可先求出
再写出微分，也可利用微分法则和微分形式的不变性。
例1
设
，求
解
法一
?
法二
例2
设
，求
解
法一
?
法二
?
例3
设
，求当
时的微分。
解
?
例4
求下列函数的微分
（1）
（2）
可导
解
（1）
（2）
例5
填空
（1）
，（2）
解
?（1）因为
，即
填
。
（2）因为
，所以填
由微分的定义知，当
很小时，有
，也即下面的近似计算公式
（1）
或
（
很小）
（2）
例6
有一批半径为1cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度为0.01cm，估计一下每只球需要用多少克铜（铜的比重是
）？
解
设球体积为
，半径为
，则
，
现
，求体积的对应改变量
，
，
所以每只球需要铜约为
例7
求
的近似值。
解
将
化成弧度，
，设
，则
，
取
，利用公式（2）
在（2）式中令
，则（2）成为
此式说明当
在
的邻域内可导时，
可表示成
的线性函数。如果
，可得近似公式
（
很小）
利用上式可推出书中151页的几个近似公式。如：
；
；
；
。
例8
求
的近似值。
解
由于
，
，利用上面第一式，
???????
定理
设
在
上连续，在
内可导，
（1）
在
内，
，则
在
上单调增；
（2）?在
内，
，则
在
上单调减。
对函数
，如何求出
的单调增减区间呢？
?
从图中可看出，应先找出
单调增减区间的分界点，哪些点可能成为分界点呢？
如果
在
可导且
是
单调增减的分界点，则
，所以，
使
的点可能是单调增减分界点；
定义
使
的点
称为
的驻点。
另外，
不可导的点也可能成为分界点，
如：
在
处不可导，但
时，
单调减，
时，
单调增。
所以，
可能的单调增减分界点有：驻点和不可导的点。
求
的单调增减区间的方法：
（1）确定
的定义域；图5-5
??
（2）找出
的驻点和不可导的点，用这些点将定义区间分成若干个小区间；
（3）在每个小区间上用
的符号判定。
例1
求
的单调区间。
解：定义域
?
驻点：
（没有不可导的点）
列表
－
所以，
在
和
内单调增，在
内单调减。
例2
讨论函数
的单调性。
解：定义域
?
驻点：
，
不可导的点：
列表
－
例3
利用单调性证明：
时，有
?
证：设
?
??????
当
时，
在
内单调增，又
既
时，有
?
例4
证明：方程
只有一个正根。
证明：设
因
，又
在?[0，1]?上连续，由零点存在
定理，
?在（0，1）内至少有一点
，使
，即
是方程的一个正根。
因
时，
，
单调增，所以，
时，
只有一个零点，即方程只有一个正根。
??
定义
设
在
的邻域内有定义，对邻域内任意异于
的点
（1）如果有
，则称
为
的一个极大值，
为极大值点；
（2）如果有
，则称
为
的一个极小值，
为极小值点。
极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。
定理（极值存在的必要条件）
设
在
可导且在
取得极值，则
。
如何求函数
的极值，首先要找出
可能取得极值的点，由上面定理知，驻点是可能取得极值的点，另外，
不可导的点也是可能取得极值的点，如：
在
处。
所以，
可能取得极值的点为：驻点和不可导的点。
对于上述点还要做出判断，是否取得极值，如：
在
处，
，但
不是极值。下面给出极值
存在的充分条件。
?
定理（极值存在的充分条件）
设
在
的邻域内连续且可导（
点可除外）
（1）如果
时，
，而
时，
，则
为极大值；
（2）如果
时，
，而
时，
，则
为极小值；
（3）
时与
时，
不变号，则
不是极值。
极值的求法：
（1）求出
的驻点和不可导的点；
（2）逐点用充分条件判定；
（3）求出极值。
例1
求
的单调区间。
解：定义域
驻点：
（没有不可导的点）
列表
－
所以，
在
和
内单调增，在
内单调减。
例2
讨论函数
的单调性。
解：定义域
?
驻点：
，
不可导的点：
列表
－
例5
求函数
的单调增减区间和极值。
解?
定义域
驻点：
不可导的点：
列表讨论
?
－
－
?在区间
内单调增，在区间
和
内单调减，
为极小值，
为极大值。
我们也可用二阶导来判断
在
取得极大值还是极小值。
定理
设
在
点二阶可导，且
，则
（1）
时，
为极小值；
（2）
时，
为极大值。
注：如果
在
不可导或
且
，则
是否为
极值要用前一种方法判定。
例6
求
的极值。
解?
?
令?
得驻点
为极小值。
最大、最小值的求法
在区间
上的最大、最小值的求法：
（1）找出
在区间
内的所有驻点和不可导的点，
（2）求出所有驻点和不可导的点以及区间端点的函数值进行比较，找出最大、最小值。注：如果
在区间
上单调增，则
最小，
最大；
如果
在区间
上单调减，则
最大，
最小。
?
如果
在区间的内部只有一个极大值而没有极小值，则这个极大值就是最大值；
同样，如果
在区间的内部只有一个极小值而没有极大值，则这个极小值就是最小值。应用问题中一般属于这种情况。
例1
求
在指定区间上的最大、最小值
（1）
在
上；
（2）
在
上。
解：（1）
区间
内的驻点：
，（没有不可导的点）
所以最大值是
最小值是
。
（2）
当
时
所以最大值是
最小值是
。
例2
欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料
最省？
解：设底边长为
米，高为
米，表面积为
，则
?
?
令
得驻点
，
，
时，函数有极小值且只有这一个极小值，
是最小值点，此时，
所以，当底边长为?6?米，高为?3?米时，所用材料最省。
例3
铁路线上
段的距离为?100km，工厂
距
处为?20km，（见图），为了运输需要，要在
线上选定一点
向工厂修筑一条公路。已知铁路
每公里货运的运费与公路上每公里运费之比为
。为了使货物从
运到工厂
的
运费最省，问
点应选在何处？
?
解
设
（km），则
，
，
设总运费为
，铁路每公里运费为
公路每公里运费为
，则有
，令
，得唯一驻点
，所以，（km）时，总运费
有唯一极小值即
最小值，此时，运费最省。
曲线的凹向与拐点
(?javascript:onclick=gohref('129','5','6','0','0','0')"
\o
"第5章6节-
曲线的凹向与拐点
-
(时长:0时30分25秒)?)
前面，我们研究了函数的单调性与极值，?对于描绘函数的图形，这是很重要的，但只有这些是不够的，如图：
?
两条曲线均单调增，但曲线的弯曲状况不同，我们称为曲线的凹凸性。
定义
：设
在区间
上连续，如果对
上任意两点
恒有
?
则称
在
上的图形是（向上）凹的；如果恒有
则称
在
上的图形是（向上）凸的（或称向下凹）。
如何判断曲线
在区间
上的凹凸性呢？从图中可看出
定理
设
在
上连续，在
内具有一阶和二阶导数
（1）若在
内
则
在
上的图形是向上凹的；
（2）若在
内
则
在
上的图形是向上凸的（向下凹的）。
定义
处处具有切线的连续曲线
上，上凹与上凸（下凹）的分界点称为曲线的拐点。
如何求曲线
的凹向区间和拐点，应先找出可能取得拐点的点，显然
可能取得拐点的点是：
的点和
不存在的点。
曲线
的凹向区间和拐点的求法：
（1）确定
的定义域；
（2）找出
的点和
不存在的点；
（3）用上述点将定义域分成若干个小区间，在每个小区间上用
的符号判断凹向；
（4）在上述点（如
）的两侧邻近，如果
的符号相反，则曲线在该点（如
）取得拐点（
）。
例1
求曲线
的凹向区间和拐点。
解
：定义域为
令
，得
列表讨论
－
所以，函数在
内下凹，在
和
内上凹，拐点为：
和
。
注：
设
在点
三阶可导，
则
是曲线
的拐点。
例2
已知点
为曲线
的拐点，求
的值。
解
：因为点
为曲线的拐点，所以满足曲线的方程且
，由此得
解之
例3
利用曲线的凹向证明不等式
?其中
。
证
：设
时，
向上凹，
时，
即
?
函数作图法
（1）确定
的定义域；
（2）讨论对称性和周期性；
（3）求单调区间和极值；
（4）求凹向区间与拐点；
（5）求渐进线
渐进线的求法
：
水平渐进线
如果
或
（
为常数），
则
为水平渐进线。
垂直渐进线
如果
在
处间断，且
或
则
为垂直渐进线。
斜渐进线
如果
则
为斜渐进线。
例1
求下列曲线的渐进线
（1）
，
（2）
（3）
解
（1）
，所以
为水平渐进线；
是间断点，
，所以
是垂直渐进线；
，没有斜渐进线。
（2）所以
为水平渐进线；
是间断点，
，所以
是垂直渐进线；
，
没有斜渐进线
（3），没有水平渐进线；
是间断点，
，所以
是垂直渐进线；
，
，有斜渐进线
。
例2
作函数
的图形。
解
定义域为
?无对称性、周期性
令
得驻点
，无
的点。
列表讨论
－
?
－
－
－
－
?
?
极大值?
极小值
，无拐点。
?
?为垂直渐进线，
为
斜渐进线，无水平渐进线。
作出图形。
例3
作函数
的图形。
解
定义域为
，是偶函数，图形关于
轴对称，只讨论
上该函数的图形即可。
令
，得驻点
，令
，得
，
列表讨论
0
（0，1）
1
0
－
－
－
－
－
0
+
?的图形
极大
?下凹
拐点
?上凹
，有水平渐进线
。无垂直和斜渐进线。
为极大值，
，拐点
，
，
?
通过三点
，
，
作出函数在
部分的图形。再由对称性作出
部分的图形。
微分方程
含有未知函数的导数或微分的方程，叫微分方程。
当未知函数是一元函数时，叫常微分方程，当未知函数是多元函数时，叫偏微分方程。
如?
（三阶）
（一阶）
（一阶）
（二阶）
微分方程的阶：
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫微分方程的阶。
一般地，n?阶微分方程的形式是???
微分方程的解：
满足微分方程的函数叫做微分方程的解，当解中含有独立的任意常数，
且其个数恰好是方程的阶数时，这种解叫通解。
例1
某曲线的切线斜率为
且过点（1，2），求此曲线的方程。
解：设曲线方程为
，由题意
????
，（一阶微分方程）且
（
）
两边积分
（
为任意常数?）（
）
又
即
，
所求曲线方程为
（
）
（
）式是方程的通解（积分曲线族）；（
）可以用来确定通解中的任意常数，从而得到所求的特定解（曲线），（
）式称为初始条件，（
）称为特解。
初始条件与特解：用以确定通解中任意常数的条件，如：
等称为初始条件。
任意常数取得定值后的确定的解叫特解。
例2
设一物体，自某一固定高度铅直下落，在时间
内，物体经过的路程为
，由导数的力学意义
（重力加速度）
（二阶方程）
两边积分得
???两边再积分得
（通解）
如果已知
时刻的速度为
，从开始到
所经过的路程为
，即
（初始条件）
从上面条件可确定
的值，从而得到一个特定的解
（特解）
例3
证明：
是方程
的通解，其中
为任意常数，并求满足初始条件
的特解。
解：?
所以，
是方程的通解。代入初始条件
??
所求特解为
形如
或
的方程叫
可分离变量的一阶方程。
解法：
分离变量，两边积分
例1
求
的通解。
解
分离变量
时，
两边积分得
即
所以通解为
（其中
为任意常数）
也是方程的解，当任意常数
可取零时，此解含在通解中。
例2
求方程
的通解。
解
当
时，
，两边积分得
（
为任意常数）
此为方程的通解，显然
也是方程的解，但它不包含在通解之中。
说明
：
1
.如果由方程
（
）确定的隐函数
是一个微分方程的解（通解），则（
）式叫微分方程的隐式解（隐式通解），如上例。
2
.在求解微分方程时，由于方程的变形，常使某些解不在所求得的通解中。一般说，这种解容易从方程中直接观察出，有时，适当扩大通解中任意常数的取值范围，可把这些解包含进去（如例1）。另一方面，实际问题中求解微分方程的主要目的是寻找满足初始条件的特解，这样的特解大都可以从通解中定出，例外的情况也不难直接从方程得出。所以今后将不再指出这些不属于通解中的解。
3
.解微分方程中，遇到取对数时，在不影响微分方程的解的情况下，可以略去绝对值记号。
例3
解
原式为
分离变量：
两边积分得通解
例4
求方程
满足初始条件
的特解。
解
先求通解，原式化为
分离变量
两边积分（在对数内略去绝对值记号得）
即
求得通解为
代入初始条件
，
所以满足初始条件的特解为
例5
求方程
的通解。
有些不能分离变量的一阶方程，通过适当的变量置换可以化为可分离变量的方程。
例6
证明：利用变量置换
可将方程
化为变量
与
可分离的方程。
证明
：
两边对
求导得
（这是变量已分离的方程）
例7
求方程
的通解。
解
设
，则
分离变量
，积分
所以，通解为
形如
或
（1）
的方程叫一阶线性微分方程，当
时，
（2）
（2）称为与（1）相应的线性齐次方程，而（1）称为线性非齐次方程。
解法
：（1）先求出线性齐次方程（2）的通解，
分离变量
两边积分
得齐次方程的通解
（
）
（2）再用常数变易法来求非齐次线性方程（1）的通解。
设
则
将其代入非齐次方程（1）
????
将
代回得非齐次方程通解
（3）
注
：将通解公式（3）右边写成两项之和可看出：
一阶线性非齐次方程的通解等于它的一个特解加上对应的齐次方程的通解。
一阶线性微分方程的解法，可用常数变易法，也可直接套用通解公式（3）。
例8
求方程
满足初始条件
的特解。
解
法一、常数变易法，先求
的通解，
分离变量
，两边积分得
，所以通解为
，
令
，将
代入原方程
，
所以原方程的通解为
代入初始条件
，
所求特解为
法二、直接套用通解公式，方程变形为
其中
，由通解公式
代入初始条件后，得特解
例9
求方程
的通解。
解
：原方程为
，
令
，
则原方程化为一阶线性方程
其通解为
。
于是原方程的通解为
。
例10
求方程
的通解。
解
容易看出，这方程既不能分离变量也不是一阶线性方程，但是，如果把
看作
的函数，
当作自变量，方程化为
这是一阶线性方程，由通解公式
例11
求方程
满足初始条件
的特解。
形如
（
为常数）的方程称为伯努利方程。
?时，它是一阶线性方程；
时，它是变量可分离方程。
当
或1时，方程两边同乘
，有
即
令
，则伯努利方程化为一阶线性微分方程
例12
求方程
的通解。
解
这是伯努利方程，两边同乘
即
令
，得
，由一阶线性微分方程通解公式
所以，原方程的通解为
下面再介绍几个微分方程应用的例子。
例13
一平面曲线，其上任一点处的切线夹于两坐标轴之间的那一段切线的长为切点所等分，求曲线的方程。
解
设曲线的方程为
，
为曲线上任一点（见图8-1），
由于两坐标轴间切线段被切点所等分，
所以切线与
轴交点为
，
与
轴交点为
，故有
，分离变量，
两边积分得
，所求曲线方程为
例14
设有一质量为
（常数）的物体，从高空以竖直方向上的初速度
开始下落，假定空气的阻力与速度成正比，求物体运动速度与时间的关系。
解
取物体下落路径作一坐标轴，正向向下，原点为运动的起点。在运动过程中，物体受到两个力的作用：重力
向下，空气阻力
向上，由牛顿第二定律得，
或
其中
这是一阶线性方程（也是变量可分离方程），通解为
代入初始条件
，
得满足条件的特解是
例15
设
具有连续导数，且满足方程
，求
解
已知
，方程两边对
求导得
分离变量得
，两边积分后得
。因
，故c=1
因此所求函数
解法：
逐次积分
例1
求微分方程
的通解。
解
两边积分
?
再积分得通解
解法
：令
则
代入方程降阶
这是一阶方程，设通解为
即
，所以，原方程通解为
例2
求方程
的通解。
解
方程不含y，令
，故
，代入原方程得到
，或
它是p的一阶线性方程，其通解为
再由方程
积分后得到原方程的通解为
例3
求微分方程
满足初始条件
的特解。
解
设
，故
，代入原方程得到
，这是变量可分离方程，分离变量，积分
，再积分得通解
代入初始条件
，
所求特解为
解法
：令
则
代入方程降阶
这是一阶方程，设通解为
即
，所以，原方程的通解为
例4
求方程
的通解。
解
令
代入原方程得
，
当
时，得
为原方程的解；
当
时，
，分离变量后得
，
两边积分后得
即
，
从而得
分离变量，再两边积分，得原方程所求通解为
例5
求方程
的通解。
定理1
如果函数
与
是二阶线性齐次方程（
）的两个解，那末
也是方程（
）的解（
为任意常数）。
注：1
.这条性质说明齐次方程（
）的解满足叠加原理。
2
.函数
是否方程（
）的通解呢？这要看
与
是否独立，如果
，则?
，
式中只有一个独立常数，显然，此时不是（
）的通解。
下面给出两个函数线性相关、线性无关的概念：
设函数
与
在区间I有定义，且其中之一是另一个的常数倍（即
），则称函数
与
线性相关，否则称为线性无关或线性独立。
如：
与
相关；
与
无关；
与
当
时无关。
定理2
如果函数
与
是齐次方程（
）的两个线性无关的特解，则
（
是任意常数）是齐次方程（
）的通解。
定理3
设
是二阶非齐次方程（
）的一个特解，
是与（
）对应的
齐次方程（
）的通解，则
是二阶非齐次线性方程
（
）的通解。
定理4
设
与
分别是方程
与
的特解，则
?
是方程
的特解。
二阶常系数齐次线性微分方程
形如
为常数）????（1）
或
??
都是常数）的方程称为
二阶常系数齐次线性微分方程。
下面求它的通解设
为方程（1）的解，将其代入方程得
（
）
此称为齐次方程（1）的特征方程，其根叫特征根，记
称为齐次
方程（1）的特征多项式。显然，如果
是特征方程的根，则函数
一定是齐次方程（1）的解，下面根据特征方程根的不同情况，讨论齐次方程（1）的通解形式
（1）特征方程有两个不等的实根
与
由解的结构知方程（1）的通解为
（2）特征方程有两个相等的实根
此时只得到方程（1）的一个解
，现找出与
线性无关的另一个解，
设
，将
代入方程（1）得
即
所以
取
得方程（1）的另一解
，
方程（1）的通解为
（3）特征方程有一对共轭复根
此时，方程（1）的两个解为
，
由齐次方程（1）的解的性质（叠加原理）知
，
仍为方程（1）的解，且
与
线性无关，
方程（1）的通解为
综上所述，求二阶齐次常系数线性微分方程的通解的方法是：
（1）写出特征方程，（2）求出特征根，（3）根据特征根的不同情况写出通解。
通解公式：
?特征方程
的根
?通解公式（其中
为任意常数）
有两个不等的实根
?
有两个相等的实根
?
有一对共轭复根
?
例1
求下列微分方程的通解
（1）
（2）
（3）
（4）
解（1）特征方程为
特征根为
故原微分方程的通解为
（2）特征方程为
特征根为
故原方程的通解为
（3）特征方程为
，
?特征根为
故原方程的通解为
（4）特征方程为
，特征根为
故原方程的通解为
例2
求方程
满足条件
的特解。
解
特征方程
，特征根
所以方程通解为
代入初始条件
，
，
，
所求特解为
二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式
（
为常数）
（1）
根据非齐次线性方程解的结构定理（定理3），只要找出其一个特解
和对应的齐次方程
?（2）
的通解
，则可得到非齐次方程的通解
。而齐次方程的通解求法上一
节已介绍，本节主要介绍非齐次方程的特解求法。下面分别介绍
为两种特殊形式时其特解
的求法（待定系数法）。
?
型
其中
是常数，
是
的?m?次多项式：
。
由函数
的形式，可设特解为
，（
是
的多项式）
则?
，
，
将其代入方程（1）得
（
）
即
（
为对应的齐次方程的特征多
项式）
（1）当
不是齐次方程（2）的特征方程的根时，
，要（
）式两端恒等，
应是一个?m?次多项式
：
将
代入（
）式，比较等号两边
同次幂的系数，得到一个以
为未知数的方程组，解出
，得到方程（1）的特解?。
（2）当
是（2）的特征方程的单根时，
但
，要（
）式两边相等，则
应是?m?次多项式，此时可令
，得到方程（1）的特解?。
（3）当
是（2）的特征方程的重根时，
且
，要（
）式两边恒等，
应是?m?次多项式，此时可令
，得到方程（1）的特解?。
综上所述，当
时，非齐次方程（1）的特解求法：
?特征方程
的根
?特解形式（
是
次多项式）
?不是特征方程的根
?
?是特征方程的单根
?
?是特征方程的重根
?
例1
写出下列方程的特解形式
（1）
（2）
（3）
解（1）对应齐次方程的特征方程为
，特征根
；
不是特征方程的根，所以，设特解
。
（2）对应齐次方程的特征方程为
，特征根
是特征方程的单根，所以，设特解
。
（3）对应齐次方程的特征方程为
，特征根
；
是特征方程的重根，所以，设特解
。
例2
求方程
的通解。
解
对应齐次方程的特征方程为
，特征根
；
齐次方程的通解为
，
是特征方程的单根，设特解
，
，
，
，
特征多项式
将其代入（
）式
得
（或将
代入原方程也得此结果），
有
，所以特解为
；故所求通解为
例3
求方程
的一个特解。
解
先求出方程
的特解
，再求出方程
的特解
，则原方程的特解为
。
例4
求方程
满足初始条件
的特解。
解（1）先求齐次方程的通解：
对应齐次方程的特征方程为
，其特征根：
故齐次方程的通解为
（2）设非齐次方程的特解，并求出待定系数：
不是特征方程的根，故设非齐次方程的特解：
，
代入原方程，得：
，解得：
.
从而：
（3）写出原方程的通解：所以原方程的通解
（4）由初始条件求原方程的特解：
，把初始条件
代入
：
得：
，解方程得：
（5）结论：所以所求特解为：
用欧拉公式将
写成复指数形式
?
?
?
其中
是
的
次多项式，用中
方法先求出方程
的特解
的特解
由解的结构定理?4?知，原方程的通解为
其中
是
的
次多项式，
按
不是或是特征方程的根依次取0
或1。
由上述推导过程知：如果方程（1）右端
可设方程的特解为
代入原方程，比较等号两边同类项的系数得一方程组，可确定
中的
系数。
特殊情况：
，
为常数，不同时为零
（Ⅰ）
不是特征方程的根，设特解
（Ⅱ）
是特征方程的根，设特解??
为待定系数。
例5
写出下列方程的特解形式
（1）
（2）
（3）
解（1）对应齐次方程的特征方程为
，特征根
，
?不是特征方程的根，设特解
（2）对应齐次方程的特征方程为
，特征根
，
是特征方程的根，设特解
（3）对应齐次方程的特征方程为
，特征根
，
是特征方程的根，设特解
例6
求方程
的通解。
解
对应齐次方程的特征方程为
，特征根
，
齐次方程的通解为
下面求特解，将原方程写成
先求出方程
的特解
因
是特征方程的根，设特解
，
，特征多项式
，将上面结果代入（
）式
得
所以特解
，
显然方程
的特解
，
所以原方程的特解为
?
故原方程的通解为
注
：此方程特解也可这样求，设
，将
代入原方程，
可得
。
例7
求方程
满足初始条件
的特解。
解
对应齐次方程的特征方程为
，特征根
，
齐次方程的通解为
，
不是特征方程的根，设特解
，
将
代入原方程，化简得
比较两边同类项的系数，有
，解得
，
所以
，则原方程的通解为
而
将初始条件
代入上面两式，有
，
解得
，
所以满足初始条件的特解为
定义1设??为某区间?I?上的函数，如果存在函数?
，使在该区间上有
或
，则称
为
在区间?I?上的一个原函数。
如：
，则
是
的一个原函数；
，则
是
的一个原函数；
例1
设
的一个原函数是
，则
_________.
原函数存在定理
如果
在区间?I?上连续，则在区间?I?上
的原函数一定
存在。
说明：如果
是
在区间?I?的一个原函数，显然
（
为任意
常数）也是
的原函数，这说明
如果存在原函数，应有无穷多个，
的
全体原函数是一个函数族。
为
全体原函数的一般表达式。
定义2??设
是
在区间?I?的一个原函数，则
的全体原函数
称为
在区间?I?的不定积分，记
其中?叫积分号，
叫被积函数，
叫被积表达式，
叫积分变量，
?为任意常数叫积分常数。
例2
∵?
例3
∵
时，
性质1
?或
?
或
性质2
（
是常数，）
性质3
例4
解
原式=
?
例5
?
例6
解
原式=
?
例7
?
解
原式=
例8
解
原式=
?
例9
解
原式=
?
例10
有一通过原点的曲线
，其上任一点
处的切线斜率为
，
为常数，且知其拐点的横坐标为?-1/3，求曲线方程。
解
由题意：
故：
因曲线通过原点，得：c=0，又：
，而拐点的横坐标为?-1/3，故：
从而
所以所求曲线方程为：
例11
已知
求
.
解法一
解法二
令
，则：
。于是
1.曲边梯形的面积
设在区间
上
，则由直线
、
、
及曲线
所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积
?
分割求近似：在区间
中任意插入若干个分点将
分成?n?个小区间
，小区间的长度
在每个小区间
上任取一点
作乘积
，
求和取极限：则面积
取极限
其中
，即小区间长度最大者趋于零。
2.
变速直线运动的路程
设某物体作变速直线运动，速度
是
上
的连续函数，且
，求在这段时间内物体所经过的路程。
分割求近似：在
内插入若干分点
将其分成
n?个小区间
，小区间长度
，
。任取
，
做
求和取极限：则路程
取极限
定义
设函数
在
上有界，在
中任意插入若干个分点
将
分成
n
个小区间
，其长度为
，在每个小区间
上任取一点
，作乘积
，并求和
，记?
，如果不论对
怎样分法，也不论小区间
上的点
怎样取法，只要当
时，和
总趋于确定的极限，则称这个极限
为函数
在区间
上的定积分，记作
，即
，
（
）
其中
叫被积函数，
叫被积表达式，
叫积分变量，
叫积分下限，
叫积分上限，
叫积分区间。
叫积分和式。
说明：
1.如果（
）式右边极限存在，称
在区间
可积，下面两类函数在区间
可积，（1）
在区间
上连续，则
在
可积。（2）
在区间
上有界且只有有限个间断点，则
在
上可积。
2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以
3.规定
?
时
,
在
上
时,
表示曲线
、两条直线
、
与
轴所围成的曲边梯形的面积；
在
上
时,
表示曲线
、两条直线
、
与
轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在
轴的下方）；
????
?
例1
利用定积分的几何意义写出下列积分值
（1）
（三角形面积）
（2）
（半圆面积）
?????????
设
可积
性质1
性质2
性质3
（定积分对区间的可加性）
对任何三个不同的数
，有
?
性质4
性质5
如果在区间
上，
，则
推论
性质6
（定积分的估值）
设?M?及?m?分别是函数
在区间
上的最大值及最小值，则
??
性质7
（定积分中值定理）
如果函数
在区间
上连续，则在
上至少有一点
，使??
成立?
例2
比较下面两个积分的大小
?
与
解
设
，
在（0，1）内，
单调增
当
时，有
，即
由性质5，
例3
估计积分
的值
解
只需求出
在区间
上的最大值、最小值即可。设
，
，令
，得
，
所以，在区间
上
由性质6，
设
在区间
上连续，
，则定积分
一定存在，
当
在
上变动时，它构成了一个
的函数，称为
的变上限积分函数，
记作
即
?
定理
如果函数
在区间
上连续，则积分上限的函数
在
上具有导数，且导数是
，即
说明：
1.由原函数的定义知,
是连续函数
的一个原函数，因此，此公式
揭示了定积分与原函数之间的联系。
2.当积分上限的函数是复合函数时，有
更一般的有
例1
（1）
，
则：
=
（2）
，则：
?
（4）
，则：
?
（5）设
，求:
此题中
为函数的自变量，
为定积分的积分变量，因而是两个函数乘积的形式
由求导法则
=
=
+
（6）
=0（因定积分的结果为一常数，故导数为零）
（7）设
是方程
所确定的函数，求
解
利用隐函数求导法则和变限积分求导法则有
?
????则
=
例2
设
，求
。
例3
设
为连续函数，（1）若
，则
______
___
（2）
例4
求
解
这是
型不定式，用罗必塔法则
????????????????
定理
（牛顿——莱公式）如果函数
是连续函数
在区间
上的一个原函数，则
此公式表明：一个连续函数在区间
上的定积分等于它的任一个原函数在该区间上的增量，此公式也称为微积分基本公式。
例5
解
原式
例6
解
原式
例7
求
解
利用定积分的可加性分段积分，
=
+
=2
例8
解
被积函数是分段函数，分段点
在积分区间
内，
=
+
=1/4
例9
解
原式
注意：
是分段函数
例1
解
先求出被积函数的一个原函数，令
，则
=
下面用另一种方法求解，令
，
当
时，
，
时，
，有
=
显然，后一种方法比第一种方法更简便，下面给出定积分的换元积分法。
定理
设函数
在区间
上连续，函数
满足
（1）
；
（2）
在
（或
）上单值单调，且有连续导数，
则有
例2
解
令
则
；当
时，
，
时，
，于是
原式=
换元公式也可反过来使用，由
引入新变量
，
?
看下例
例3
解
令
，
，当
时，
；
时，
?
?
注意：1.?用定积分换元法时,在变换积分变量的同时也要变积分限；但对应于不定积分中的第一类换元法（凑微分法），当代换没有具体写出新变量时，积分限不用变，
如
2.使用换元法时要注意条件，
如
?
（
令
）
错，因
时，
不是单值的。
例4
设
在
上连续，证明：
证明：
为偶函数时，
为奇函数时，
这个公式要记住。
如（1）
=0
（2）
在
上连续，且
，则?
例5
计算
（为对称区间，被积函数第一项为奇函数）
解
原式
?
例6
设
是以
为周期的连续函数，证明：
证明：
而?
（）?
所以
例7
?
此题利用了周期性，
的周期为
。
例8
设
为连续函数，证明：
证明：令
，
?
和
取法同不定积分
例9
解
原式
例10
解
例11
解
原式
?
所以，原式
例12
设
，证明：
。
证明：设
例13
证明：
，其中
在所考虑的区间上
连续。
分析：所要证明的等式左端，其被积函数是一个变上限积分函数
，而
，所以等式左端应用分部积分公式后就可化掉一个积分号。
证明
用分部积分法有
?
所以
从上一章求曲边梯形的面积及变速直线运动物体的距离问题中看到，可利用定积分来计算几何、物理等问题中的某些待求量。
一般，设实际问题中的所求量?U?是一个与变量
的变化区间
有关的量，且量
U对区间
具有可加性，即
，部分量
可表示成
，则可考虑用定积分来求量
U
。
具体做法是：
（1）根据具体问题选取适当的坐标和积分变量
，并确定它的变化区间
；
（2）将
分割成若干个小区间，任取一个代表区间
，求出这个区间上?△U?的近似表达式：构造一个在
连续的函数
使?△
，把
称为?U?的元素记为：
；
（3）所求量?U?等于?U?的元素在
上的积分?
这种方法称为元素法或微元法。
1.
直角坐标情形
（1）由曲线
与
轴在区间
段所围图形的面积为
?
（2）设
在区间
连续，由曲线
、
与
所围图形的面积为
（3）设
在
上连续，由曲线
、
与
所围图形的面积为
（上面公式不用背，可用定积分的元素法推出）
例1
计算由两条抛物线：
所围成的图形的面积。
解法一
用定积分几何意义
（1）画草图，定出图形的范围。
??
（2）求曲线的交点。解
得
选
为积分变量
（3）用定积分表达所求面积。
所求面积等于两曲边梯形面积之差：
解法二
元素法
（1）作图、求曲线交点（同上），取
为积分变量，
（2）求面积元素
（3）积分
例2
求由曲线
及
所围成的面积。
解法一
作图，求出两曲线交点是（2，-2），（8，4）取
为积分变量，
。
时，
，
时，
注意：在不同的区间内面积元素不同，要分区间积分。
解法二
选
为积分变量，
，在
上，
?
（选
为积分变量时被积函数的自变量为
）
可见，适当的选取积分变量可以简化计算。
例3
求由曲线
及
轴所围图形的面积。
??
解?画草图，曲线
与
的交点是
，取
为积分变量，
?时，
，
?时，
，
所以，
例4
求由圆
与直线
及曲线
所围图形的面积。
解
画草图，取
为积分变量，
?
例5
求抛物线
与其在点
处的法线所围成图形的面积。
解
先求出法线方程
，画出草图，再求出法线与抛物线的两个交点
?
，所以，
例6
求曲线
的一条切线，使得该切线与直线
及曲线
所围成的图形的面积?A?为最小。
解（1）关键是找出目标函数，即所围面积与切点
??
坐标间的函数关系。设
为曲线
上
任一点，则此点处的切线方程为?
,
于是所求面积
=
（2）下面求?A?的最小值：
令
得
。又当
，时
；当
时，
。
故当
时，A?取极小值，也是最小值，从而得到切线方程
参数方程的情形
按直角坐标情形分析，参数方程相当于积分时把积分变量做了变换。不用记公式。
由连续曲线
，
轴及直线
、
所围图形的面积为?????????????
其中
例7
求摆线
的一拱
与
轴所围成的平面图形的面积。
解
如图，对应与图中摆线的一拱，
的变化范围为
，参数?t?的变化
范围为
。故所求面积为
?
=
2.
极坐标情形
设曲线的极坐标方程为
??
?
连续，由曲线
及射线
?所围曲边扇形的面积
为?
（记住）
例8
求双纽线
所围成的平面图形的面积。?
解
由于双纽线的图形和极轴与极点都对称，因此只需求出区间
上部分面积再?4?倍即可
1.
平行截面面积已知的立体体积
设空间立体
被垂直于
轴的平面所截，截面面积为
，且立体在
之间，则体积元素
，立体体积
?
例9
一平面经过半径为
的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角
，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。
?解
取这平面与圆柱体的底面的交线
??
为
轴，底面上过圆中心、且垂直于
轴的直线为
轴。
（见图）则底圆的方程为
。
立体中过点
且垂直于
轴的截面是一个直角三角形。它的两条直角边的
长分别为
及
，即
及
。
因而截面积
，所求体积为
?
2.
旋转体的体积
（1）由连续曲线
??
轴所围曲边梯形绕
轴旋转一周所成
旋转体，其体积：取
为积分变量，
对应于?
，体积元素
故：
（2）由连续曲线
轴所围曲边梯形绕
轴旋转一周所?
成旋转体，其体积：取
为积分变
量，对应于?
，体积元素
故：
?
例10
设曲线
所围成的平面图形为?D。试求
D
绕
旋转
而成的旋转体的体积。
解
所求为?D?绕?y?轴旋转所得旋转体的体积,
由公式
?
?
例11
求摆线
,
的一拱与
围成的图形分别绕
轴、
轴旋转一周而成的旋转体体积。
解
?
（1）?绕
轴：
（2）?绕
轴：为如图两部分体积之差
?
例12
设由曲线
与直线
围成平面图形
求（1）此平面图形的面积；（2）此平面图形绕
轴旋转所成的旋转体体积。
解作图，求交点：解
；
??
解
（1）面积：
（2）体积：
1.?直角坐标的情形?
设
具有一阶连续导数，求此曲线对应于
之间弧长：
取
为积分变量，对应于
，弧长元素（弧微分）为
???
故：
（注：
,
弧长为正，所以积分中
参数大的做为上限值，小的作为下限
值）以下同。
2.参数方程的情形
设
具有一阶连续导数，求曲线
对应于
?
之间的弧长：弧长元素（弧微分）
故：
直角方程是参数方程的特殊情况，即：
，
,
为参数。
3.?极坐标的情形
设曲线方程为
具有一阶连续导数，求此曲线对
应于
之间的弧长：弧长元素（弧微分）
,
故：
例13
求抛物线
由顶点到点
的一段弧的长度。
解
直接用公式
???
，
令
例14
计算摆线
的一拱
的长度。
?
解
由公式：
例15
求心形线
的全长，其中
。
??
解?
，由公式：
?
由对称性：
?
定义
设函数
在区间
上连续，
，极限
称为
在无穷区间
上的广义积分，记作
，
即
如果上式右边极限存在，称广义积分收敛；如果极限不存在，称广义积分发散。
同样，设函数
在区间
上连续，定义
如果上式右边极限存在，称广义积分
收敛；如果极限不存在，称广义积分发散。
设?
在
上连续，定义广义积分
（
为任意实数?）
???
当上式右边两个极限同时存在时，称广义积分
收敛；否则，
称广义积分发散。
例1
证明广义积分
，当
时收敛，
时发散。
解
当
时，
?
当
时,
所以，
时，这广义积分收敛；
时发散。
例2
设
，则
_____.
解
?
?
所以，
例3
解
原式
?
定义?设函数
在区间
连续，而当
时，
，取
，则极限
称为
在区间
的广义积分，仍记作
，
即
如果上式右端极限存在，称广义积分收敛；如果极限不存在，称广义积分发散。
同样，当
在区间
连续，而
时，
，定义广义积分
（
）
如果右边极限存在，称广义积分收敛，否则，称广义积分发散。
设函数
在
上除点
外连续，
为无穷间断点，
定义广义积分
??
当右边两个极限都存在时，称广义积分收敛，否则，称为发散。
例4
解
是被积函数的无穷间断点，
被积函数连续，
原式
例5
讨论广义积分
的收敛性.
解
被积函数在积分区间上除无穷间断点
外连续，由于
所以，广义积分
发散。
设
可导，
连续，则
?
其中
。
例1
?
解
令
（
）
原式=
例2
?
解
?令
（
）
原式=
例3
解
?令
（
）
原式=
用凑微分法积分时常用的公式有：
；
；
；
?；
；
；
；
?；
；
；
；
；
?；
；
；
等。
例4
解
原式=
例5
解
原式=
?
例6
解
原式=
例7
解
原式=
例8
解
原式=
?
例9
解
原式=
例10
解
原式=
例11
解
原式=
例12
解法一
=
解法二
=
注：两种积分方法计算结果表现形式不同，由不定积分的概念，它们只相差一个常数。
要验证积分结果是否正确，可验证
。
同样方法可求出
例13
解
原式=
例14
解
原式=
例15
解
原式=
例16
解
原式=
例17
解
原式=
例18
解
原式=
例19
解
原式=
?
例20
解
原式=
例21
解
原式=
例22
例23
1．
，?
表示对自变量
求导。
2．
，
表示对中间变量
求导。
3．
；
。
设
是单调可导函数，且
；又
具有原函数
，则有
其中
为
的反函数。
例24
解
采用三角代换
，（），则
原式=
?
（因为
?）
?
例25
解
作三角代换
原式=
为了将
化成
的函数，作一直角三角形，使它的一个锐角为
，根据所用代换
找出对边
与邻边
，则斜边为
（见图），
??
所以
原式=
（其中
）
例26
解
时（
时可得同样结果），
?
作三角代换
原式=
=
例27
解
用倒代换，令
，则
原式=
从上面例题可看出：如果被积函数中含有因子
、
、
时，可分别采用三角代换
、
、
化去根号后再积分。根据去根号的思想也可得到简单无理函数的积分方法，看下面例题
例28
解
去根号，令
，
，
原式=
?
例29
解
令
，
原式
=
分部积分法
设函数
、
具有连续导数，则由
?移项
两边积分得分部积分公式
?或
例1
解
使用分部积分公式时，正确的选择
和
十分重要
设
，得
原式=
如果设
，
，得
原式=
上式右端积分比左端更不易算出，一般
和
的选择要考虑两点：
（1）
要容易求出；
（2）
要比
容易积出。
例2
解
设
原式=
?
例3
解
设
原式=
（再用一次分部积分公式）
例4
解
设
原式=
?
例5
解
设
原式=
例6
解
设
原式=
将右边积分移到左边
注：由上面例子可看出下面三种类型的积分要用分步积分法
类型
，
为多项式，
，
?
选
类型Ⅱ：
，
；
选
等。
类型Ⅲ：
，
和
任选均可。
分步积分法使用熟练后，
和
不必写出。分步积分法也可以用来计算其他某些积分。
例7
求
（其中
为正整数）
解
而
?
（递推公式）
?
例8
?
例9
已知：
是
的一个原函数，求：
解
因
是
的一个原函数
下面再举几个换元法与分步积分法结合使用的例子
例10
解
?
例11
解
?
例12
（令
）
函数
（
）
（其中m和n为非负整数，
及
是实数）称为有理分式函数，
时，叫真分式，
时，叫假分式，一个假分式可化成一个多项式和一个真分式之和，如：
，
与
没有公因子时，称为既约分式，
一个既约有理真分式可分解成部分分式之和（最简分式之和），如：
定理
如果
在实数范围内能分解成一次因式和两次质因式的乘积:
则真分式
可以分解成部分分式之和:
????
其中
等都是常数。
关于有理分式函数的积分，可将其化为多项式及部分分式之和后再积分，从上面定理可看出，有理函数分解后可能出现三类函数：多项式、
、
。前两类积分很简单，第三类可做代换
，则
上式中的第二个积分可用第三节中的递推公式。下面通过例题讲解如何将有理函数化为部分分式。
例1
解
（1）化为真分式：
（2）
（
为待定常数）
（
）
令
，令
由：
（
也可用待定系数法计算，（
）式化为
?
，
比较等号两边
同次幂的系数得
）
（3）
而
故：原式
例2
积分方法：用“万能代换
”将其化为关于?t?的有理函数的积分。
代入积分得
例3
解：令
万能代换是一般的方法，但不一定是最简单的方法，可根据题目选择较简的方法。请看：
例4
法一：
法二：
法三：
?
例5
（
）
?
积分方法：用换元法去掉根号，将其化成有理函数的积分。
例6
解：
令
?
例7
解：直接去根号较繁，先化简再去根号，原式
令
则有
原式=
也可令
，于是有
例8
（?令
）
例9
（?令
）
例10
（?令
）
第一节
空间直角坐标系?
一、空间直角坐标系
由三条相互垂直相交的数轴x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）按右手法则构成的坐标系称为空间直角坐标系，三个数轴的公共交点O为坐标原点。
????
其中任两个数轴确定一个平面，称为坐标面，三个坐标面：XOY面,XOZ面,YOZ面。三个坐标面将空间分成了八个部分，称为八个卦限，记为：Ⅰ～Ⅷ。（见图）
?
?
空间中的点P与坐标
一一对应，特殊点的坐标的特点：坐标面上的点，坐标轴上的点。（见图）
???
二、两点间距离公式
????
设
，则两点间距离为??
?第二节
矢量的概念及其运算
一、矢量的概念
即有大小又有方向的量叫矢量（向量）。记作：
等，A为起点B为终点的矢量记为
。
矢量的模：矢量的大小称为模，记
。
单位矢量：模为1的矢量叫单位矢量，与
方向相同的单位矢量记作
。
零矢量：模为0的矢量叫零矢量，记作
，其方向不定。
矢量相等：模相等，方向相同的两个矢量
与
称为相等，记作：
?
=
。
负矢量：与
的模相等，方向相反的矢量称为
的负矢量记作：–
。
自由矢量：与起点无关的矢量叫自由矢量。
两个非零矢量
与
的夹角记为?
，
，当
或
时，称为
与
平行，记作
，当
时称
与
垂直记为
。
二、矢量的运算
1.加减法（平行四边形法则，三角形法则）
?
运算律：（1）交换律：
（2）结合律：
?
减法
?
2.数与矢量的乘法
数
与矢量
的乘积仍为矢量,其模
，其方向为：
时，
与
的方向相同；
时，
与
的方向相反；
。
运算性质：（1）
??（2）
??（3）
其中，
为常数。
结论：（1）对任何非零矢量
，有
或
（2）设
、
是两个非零矢量，则
的充要条件是：存在唯一的数
，使
。
第三节
矢量的坐标表示
一、矢量在轴上的投影
有向线段
的值：
设
是数轴u上的有向线段（见图）
?
数
满足
，且
与u同向，
取正；
与u反向，
取负；称
为u轴上有向线段
的值，记为AB。设
是与u轴同方向的单位矢量，则
?
矢量
在数轴u上的投影：
设矢量
的起点A和终点B在数轴u上的投影分别为
和
，则u轴上有向线段
的值
叫矢量
在数轴u上的投影，记作
或
?
投影定理：矢量
在轴u上的投影为
注：
时，
；
时，
；
时，
。
定理：
，（
为常数）
定理：
二、矢量的坐标表达式
在空间直角坐标系中，设点
,作矢量
（矢径），则
在
轴，
轴，
轴上的投影分别为
，又设
分别是与
轴，
轴，
轴同方向的单位矢量（叫基本单位矢量），则
?
?
设点
，作矢量
，显然
??
?
由以上讨论知：空间中任一矢量
，可写成
上式称为
的坐标表达式，
称为
的坐标，它们分别是
在
轴，
轴，
轴上的投影，所以
也可简记为
?、
、
分别称为矢量
在x轴、y轴、z轴上的分矢量。显然有
?
设
，
，
则
，
即
即
前面讲过?∥
的充要条件是
,即
，所以
∥
的充要条件是：
三、矢量的方向角与方向余弦
?
矢量
与
轴，
轴，
轴正向间夹角
称为
的方向角。它们的余弦
称为方向余弦。
由投影定理有：
，
，???
，
?
例1
设
为空间两点，求
的方向余弦。
解
例2
设
求
解
，
例3（定比分点坐标）设
为两已知点，在连接
两点的直线上另有一点
，使有向线段
与
的长度之比为
，求p点坐标。
解
由题意
而
，即
即
当
时，得中点坐标公式：?
?第八节
空间曲面与它的方程
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可以看成是两个曲面的交线，因此，两个相交曲面的方程构成的方程组表示空间曲线，方程组
（两个曲面的交线）称为空间曲线的一般方程。
如：
表示平面
上的一个圆，圆心在
，半径
。
注：空间曲线的一般方程形式不唯一。如上面的圆也可用方程组
来表示。
例1
方程组
表示怎样的曲线？?
解
表示球心在原点，半径为
的上半球面，
表示母线平行于
轴的圆柱面，其交线见图。
二、空间曲线的参数方程
空间曲线除了可用一般式方程表示外，也可用参数方程来表示，在一般式方程中，令
，解出
，则可得到空间曲线的参数方程。
空间曲线的参数方程为
（随着t的变动可得到曲线C上的全部点）。
例2
将曲线的一般方程
化为参数方程。
解
令
，得曲线的参数方程为
三、空间曲线在坐标面上的投影曲线
通过空间曲线
作母线平行于z轴(x轴，y轴)的柱面，这柱面称为
在xoy(yoz,zox)坐标面上的投影柱面，投影柱面与xoy坐标面的交线c称为
在xoy坐标面上的投影曲线。
?
曲线
在xoy坐标面上的投影曲线方程为
，
是由曲线方程消去变量z后得到的。
同样可得，在yoz坐标面上的投影曲线方程为
，在zox坐标面上的投影曲线方程为
。
例3
求曲线
在坐标面上的投影曲线的方程。
解
消去z，得到在xoy面上的投影曲线为
消去x，得到在yoz面上的投影曲线为
消去y，得到在xoz面上的投影曲线为
。
?
一、平面方程
垂直于某平面的非零矢量称为该平面的法线矢量，记作。
?
?
点法式方程：已知平面过点，且与非零矢量垂直(法矢量)，求平面方程。
在平面上任取一点，作矢量，则，所以有
此称为平面的点法式方程。
一般式方程：
其中：法矢量，
截矩式方程：
?
注:三元一次方程表示一个平面。
特殊位置的平面方程：
（1）过原点
（）
（2）平行于坐标轴
平行于x轴（）??过X轴（）
平行于y轴（）??过Y轴（）
平行于z轴（）??过Z轴（）
（3）垂直于坐标轴
垂直于x轴（平行于YOZ坐标面）
垂直于y轴（平行于XOZ坐标面）
垂直于z轴（平行于XOY坐标面）
例1?求过点（6，2，-2）且与平面平行的平面方程。
解?所求平面方程法矢量为
由点法式得
即
例2?求过三点的平面方程。
?
解?作矢量
取法矢量
由点法式
即。
此题也可用下面的方法求解：
设平面方程为
因平面过、、三点，将三点的坐标代入方程，得
解出、、、即可。
例3?求过三点的平面方程。
例4?过点作垂直于两平面和的平面，求此平面方程。
解?设为所求平面法向量
可取
由点法式得
即
例5?求过点（1，-2，1）且与平面都垂直的平面方程。
例6?求平面外一点到该平面的距离。
解?在平面上任取一点，作矢量
?
则
如：点（1，-1，2）到平面的距离为
二、
直线方程
平行于某直线L的非零矢量称为该直线的方向矢量，记为
对称式方程：已知直线L过点且方向矢量，求此直线方程。
??
在直线上任取一点，作矢量则∥，所以有,此称为直线的对称式方程。
注：当中有零时，直线仍可写成对称式形式如应理解为两个平面的交线，即。
参数式方程：其中为直线上一点。
一般式方程：
其中
例7?求平行于直线且过点?的直线方程。
解?所求直线方向矢量所求直线方程为
例8?化直线?
为对称式方程。
解?令z=-5，解方程组得?
,点在直线上。
对称式方程为
三、两平面、两直线、平面与直线的交角及平行与垂直的条件
两平面的夹角：指它们的法矢量间的夹角（取锐角）
设?：?
?：?
?
的充要条件：，即
∥的充要条件：∥，即
例9?研究下列各组平面的位置关系
（1）与；
（2）与；
（3）与。
解?（1）
，所以相交，夹角
（2）
∥平行，但不重合。（因为点在第一个平面上，但不在第二个平面上）。
（3）
∥平行，且重合。
例10?设有两平面，求这两平面的夹角。
解?
?
?所以
例11?设有两平面，如果两平面垂直，则？
解?
?，
两直线的夹角：指它们的方向矢量间的夹角（取锐角）
设：?
：?
充要条件：，即
充要条件：∥，即
例12?求两条直线与的夹角。
解?，
所以
平面与直线的夹角：指直线与它在平面上的投影直线间的夹角(取锐角)
设平面:
直线L：
?
的充要条件：∥，即
∥的充要条件：,即
例13?求直线与平面?
的交点和夹角。
解?直线的参数方程为
代入平面方程
解得
t=-1
，代入直线的参数方程中得交点(1，2，2）
例14?求过平面的交线，且与第二个平面垂直的平面方程。
解?法一：设所求平面的法线矢量为，由题意过直线
将其化为对称式
令z=2，解得直线过点(-1，-1，2）
直线对称式方程为
又因为的法线垂直于的法矢量且垂直于
点在所求平面上，由点法式得
即
法二：设所求平面的方程为
即
注：这是过两平面交线的平面束方程。
又垂直于平面，由两平面垂直的充要条件
解出，代入上面方程得
即
例15?求过直线且与平面垂直的平面方程。
解?设所求平面方程为
即
因所求平面方程与垂直，所以
所求平面方程为
即
例16?求过点且与平面都平行的直线方程。
解?
所求直线为
例17?求过点及直线的平面方程。
解?点在所求平面上，作
直线的方向矢量?
所求平面方程法矢量
所求平面方程为
即。
例18?求过两条直线与的平面方程。
解?上的点，上的点均在所求平面上，
作所求平面法矢量为，有且
可取
所求平面方程为
即
第9节
几种二次曲面及其标准方程
我们把三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面，平面叫一次曲面。怎样了解三元二次方程
所表示的曲面的形状呢？方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。利用截痕法我们讨论了几种特殊的二次曲面。
一、椭球面
?
当
时，
表示球心在原点的球面。
二、
抛物面
，
（椭圆抛物面）
当
时，开口朝上；
时，开口朝下。
当
时，方程
表示
面上的抛物线
绕
轴旋转而成的旋转抛物面。
，
（双曲抛物面，又称马鞍面）
???????
?
三、双曲面
单叶双曲面
双叶双曲面
?
?
四、锥面
椭圆锥面
当
时，方程
表示圆锥面.
例1
指出下列方程在空间表示什么曲面？
（1）
（2）
（3）
（4）
解（1）椭球面，半轴分别为
。
（2）顶点在
，开口朝下的抛物面。
（3）顶点在原点，开口朝上的上半个圆锥。
（4）顶点在
，开口朝下的下半个圆锥。?
中值定理
罗尔定理：如果函数
满足???
?
?
（1）在闭区间
上连续；
（2）在开区间
内可导；
（3）
；
则在
内至少有一点
，使
。
例1
在区间
上满足罗尔定理条件的函数是（?3?）。
（1）
（2）
（3）
（4）
答：（3）
例2
证明方程
在?0?与?1?之间至少有一个实根。
证明：易知，方程的左端
是函数
的导数：??
。由于
在?[0,1]?上连续，在?(0,1)?内可导，且
，由罗尔定理知，在?0?与?1?之间至少有一点
，使?
，
即有
。
换句话说：方程
在?0?与?1?之间至少有一实根。
拉格朗日中值定理：如果函数
满足
（1）在闭区间
上连续；
?
（2）在开区间
内可导；
则在
内至少有一点
，
使?
或
?
例3
用拉格朗日定理证明不等式
证明：设
?在
（或
）上连续，
在
（?或
）上可导，由拉格朗日中值定理有
其中
在
与
之间。因为
，所以
例4
用拉格朗日定理证明：当
时，有
。
证明：设
，因
，
在
上连续，在
内
可导，由拉格朗日中值定理，有
即
又
，
既有
所以，当
时，有
推论1
如果
在
内任意一点的导数
，则
在
内是一个常数。
证明：设
是
内任意两点，
，因为
在
内可导，所以
在
上连续且可导，由拉格朗日中值定理
因为
，所以
，即
，
所以
在
内是一个常数。
推论2
如果在
内每一点都有
，则在
内
为常数
。
证明：

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