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2021年广东省清远市中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．（3分）2021的绝对值是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．（3分）一组数据6，9，8，8，9，7，9的众数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（3分）平面直角坐标系中，点（﹣4，3）关于y轴对称的点的坐标为（　　）
A．（4，﹣3） B．（4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（3，﹣4）
4．（3分）如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝50°，则∠2的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝1 D．（）（）＝1
6．（3分）如果一个多边形的每个外角都是60°，那么这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
7．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．x≥1 B．x＜3 C．1≤x＜3 D．1＜x＜3
8．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2+1向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x﹣1）2+3 B．y＝2（x+1）2+1
C．y＝2（x﹣1）2﹣1 D．y＝2（x+3）2+1
9．（3分）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（　　）
A．3 B． C． D．4
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c+（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．上述结论中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。
11．（4分）因式分解：3x2+6x＝　 　．
12．（4分）已知两个单项式3xym与﹣3xny2的和为0，则m+n的值是　 　．
13．（4分）若|3﹣x|+＝0，则yx＝　 　．
14．（4分）如果6x2﹣3x+5＝11，那么代数式2x2﹣x+3的值是　 　．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，以AC、BD的交点，O为圆心，OC为半径作弧交BC于点E，再分别以点E、C为圆心，大于EC的长为半径作弧交于点F（作图痕迹如图所示），作射线OF交BC于点M，若OM＝3，则AC的长是　 　．
16．（4分）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是　 　．
17．（4分）如图，点D是锐角∠AOB内一点，DE⊥OA于点E，点F是线段OE的一个动点，点G是射线OB的一个动点，连接DF、FG、GD，当△DFG的周长最小时，∠FDG与∠AOB的数量关系式是　 　．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：（2x+y）2﹣4x（x﹣y），其中x＝，y＝﹣2．
19．（6分）某校在创建书香校园活动中，为了解全校1600名学生年度课外阅读量，随机抽查了部分学生，并用得到的数据绘制了统计图，如图1和图2所示，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）补全学生年度课外阅读量条形统计图；
（2）估算该校全体学生年度课外阅读量在8本以上（含8本）的学生总人数．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，AB＝AC＝8，D为BC中点，点N在线段AD上，NM∥AC交AB于点M，BN＝3．
（1）求∠CAD度数；
（2）求△BMN的周长．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）对于任意实数a，b，定义关于“?”的一种运算如下：a?b＝a+2b．例如：2?3＝2+2×3＝8．
（1）若x?（﹣y）＝﹣6，且2y?x＝12，求x，y的值；
（2）在（1）的条件下，求以x，y为边长的等腰三角形的面积．
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若AC＝2，CE＝，求AE的长．
23．（8分）学海书店购一批故事书进行销售，其进价为每本40元，如果按每本故事书50元进行出售，每月可以售出500本故事书，后来经过市场调查发现，若每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本．
（1）若学海书店要保证每月销售此种故事书盈利6000元，同时又要使购书者得到实惠，则每本故事书需涨价多少元？
（2）若使该故事书的月销量不低于300本，则每本故事书的售价应不高于多少元？
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），反比例函数y＝的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式；
（3）若点P在y轴上，且△OPD的面积与四边形BDOE的面积相等，求点P的坐标．
25．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限上的动点
（1）求直线BC的解析式；
（2）当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E在线段AB上，点F在线段OC上，当△AEF与△PBC相似时，求所有满足条件的点E坐标．
2021年广东省清远市中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．（3分）2021的绝对值是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的意义，正数的绝对值是它本身即可求出答案．
【解答】解：2021的绝对值即为：|2021|＝2021．
故选：A．
2．（3分）一组数据6，9，8，8，9，7，9的众数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据众数的概念求解即可．
【解答】解：这组数据中9出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为9，
故选：D．
3．（3分）平面直角坐标系中，点（﹣4，3）关于y轴对称的点的坐标为（　　）
A．（4，﹣3） B．（4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（3，﹣4）
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．
【解答】解：点（﹣4，3）关于y轴对称的点的坐标为（4，3），
故选：B．
4．（3分）如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝50°，则∠2的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】直接利用等腰三角形的性质结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵AD＝CD，∠1＝50°，
∴∠CAD＝∠ACD＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ACD＝65°．
故选：C．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝1 D．（）（）＝1
【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；利用分母有理化对C进行判断；根据平方差公式对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝＝，所以B选项错误；
C、原式＝，所以C选项错误；
D、原式＝3﹣2＝1，所以D选项正确．
故选：D．
6．（3分）如果一个多边形的每个外角都是60°，那么这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【分析】根据多边形的外角和等于360°和已知即可求出答案．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都是60°，
∴这个多边形的边数为＝6，
即这个多边形是六边形，
故选：B．
7．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．x≥1 B．x＜3 C．1≤x＜3 D．1＜x＜3
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x≥2，得：x≥1，
解不等式2（x﹣1）＜x+1，得：x＜3，
∴不等式组的解集为1≤x＜3，
故选：C．
8．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2+1向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x﹣1）2+3 B．y＝2（x+1）2+1
C．y＝2（x﹣1）2﹣1 D．y＝2（x+3）2+1
【分析】按照“左加右减”的规律即可求得．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2+1向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是y＝2（x﹣1+2）2+1．即y＝2（x+1）2+1．
故选：B．
9．（3分）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（　　）
A．3 B． C． D．4
【分析】解法一：作辅助线，构建矩形MHPK和直角三角形NMH，利用平行线分线段成比例定理或中位线定理得：MK＝FK＝1，NP＝3，PF＝2，利用勾股定理可得MN的长；
解法二：作辅助线，构建全等三角形，证明△EMF≌△CMD，则EM＝CM，利用勾股定理得：BD＝＝6，EC＝＝2，可得△EBG是等腰直角三角形，分别求EM＝CM的长，利用勾股定理的逆定理可得△EMC是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得MN的长．
【解答】解：解法一：如图1，过M作MK⊥CD于K，过N作NP⊥CD于P，过M作MH⊥PN于H，
则MK∥EF∥NP，
∵∠MKP＝∠MHP＝∠HPK＝90°，
∴四边形MHPK是矩形，
∴MK＝PH，MH＝KP，
∵NP∥EF，N是EC的中点，
∴，，
∴PF＝FC＝BE＝2，NP＝EF＝3，
同理得：FK＝DK＝1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC＝45°，
∴△MKD是等腰直角三角形，
∴MK＝DK＝1，NH＝NP﹣HP＝3﹣1＝2，
∴MH＝2+1＝3，
在Rt△MNH中，由勾股定理得：MN＝＝＝；
解法二：如图2，连接FM、EM、CM，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，BC＝CD，
∵EF∥BC，
∴∠GFD＝∠BCD＝90°，EF＝BC，
∴EF＝BC＝DC，
∵∠BDC＝∠ADC＝45°，
∴△GFD是等腰直角三角形，
∵M是DG的中点，
∴FM＝DM＝MG，FM⊥DG，
∴∠GFM＝∠CDM＝45°，
∴△EMF≌△CMD，
∴EM＝CM，
过M作MH⊥CD于H，
由勾股定理得：BD＝＝6，
EC＝＝2，
∵∠EBG＝45°，
∴△EBG是等腰直角三角形，
∴EG＝BE＝4，
∴BG＝4，
∴DM＝
∴MH＝DH＝1，
∴CH＝6﹣1＝5，
∴CM＝EM＝＝，
∵CE2＝EM2+CM2，
∴∠EMC＝90°，
∵N是EC的中点，
∴MN＝EC＝；
故选C．
方法三：连EM，延长EM于H，使EM＝MH，连DH，CH，可证△EGM≌HDM，再证△EBC≌△HDC，利用中位线可证MN＝EC＝×2＝．
故选：C．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c+（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．上述结论中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，以及二次函数与一元二次方程的关系逐个进行判断即可．
【解答】解：由图可知，对称轴x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴b＝﹣2a，与x轴另一个交点（﹣1，0），
①∵a＞0，
∴b＜0；
∴①错误；
②当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0；
②正确；
③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0可以看作函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点，
由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1有两个不同的交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
∴③正确；
④由图象可知，y＞0时，x＜﹣1或x＞3，
∴④正确；
故选：C．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。
11．（4分）因式分解：3x2+6x＝　3x（x+2）　．
【分析】提取公因式即可．
【解答】解：原式＝3x2+6x
＝3x（x+2）．
故答案为：3x（x+2）．
12．（4分）已知两个单项式3xym与﹣3xny2的和为0，则m+n的值是　3　．
【分析】两个单项式3xym与﹣3xny2的和为0则两个单项式是同类项，根据同类项的定义可得答案．
【解答】解：∵两个单项式3xym与﹣3xny2的和为0，
∴两个单项式是同类项，
即m＝2，n＝1，
∴m+n＝3．
故答案为：3．
13．（4分）若|3﹣x|+＝0，则yx＝　﹣1　．
【分析】先根据绝对值与算术平方根的非负性，求出x与y的值，然后代入求值即可．
【解答】解：∵|3﹣x|+＝0，
∴3﹣x＝0，y+1＝0，
解得x＝﹣3，y＝﹣1，
∴yx＝（﹣1）﹣3＝﹣1，
故答案为﹣1．
14．（4分）如果6x2﹣3x+5＝11，那么代数式2x2﹣x+3的值是　5　．
【分析】观察题中的两个代数式6x2﹣3x+5和2x2﹣x+3，可以发现，6x2﹣3x＝3（2x2﹣x），因此可整体求出2x2﹣x的值，然后整体代入即可求出所求的结果．
【解答】解：∵6x2﹣3x+5＝11，
∴6x2﹣3x＝6，
∴3（2x2﹣x）＝6，
即2x2﹣x＝2，
∴2x2﹣x+3＝2+3＝5．
故答案为：5．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，以AC、BD的交点，O为圆心，OC为半径作弧交BC于点E，再分别以点E、C为圆心，大于EC的长为半径作弧交于点F（作图痕迹如图所示），作射线OF交BC于点M，若OM＝3，则AC的长是　　．
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，∠ABC＝60°，∠DBC＝∠ABD＝30°，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：由题意可得OM⊥BC，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AC⊥BD，AO＝CO，∠ABC＝60°，∠DBC＝∠ABD＝30°，
∴BO＝2OM＝6，BO＝CO，
∴CO＝2，
∴AC＝2OC＝4，
故答案为4．
16．（4分）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是　　．
【分析】连接EB，设OA＝r，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题．
【解答】解：如图，连接EB，设OA＝r，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．
∴E是△ACB的内心，
∴∠AEB＝135°，
作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，
则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是，
点C的运动轨迹是，由题意∠MON＝2∠GDF，
设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，
∴弧MN的长度：弧GF的长度＝＝．
故答案为：．
17．（4分）如图，点D是锐角∠AOB内一点，DE⊥OA于点E，点F是线段OE的一个动点，点G是射线OB的一个动点，连接DF、FG、GD，当△DFG的周长最小时，∠FDG与∠AOB的数量关系式是　∠FDG+2∠AOB＝180°　．
【分析】作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，根据轴对称的性质得出△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，即可得出∠BOD＝∠BOD′，∠ODG＝∠OD″G，∠DOA＝∠AOD′，∠ODF＝∠ODF′，由∠D′OD″＝2∠AOB，∠GDF＝∠ODF′+∠ODG″根据三角形内角和定理即可得出2∠AOB+∠GDF＝180°．
【解答】解：作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，
由轴对称的性质可知，△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，
∴∠BOD＝∠BOD′，∠ODG＝∠OD″G，∠DOA＝∠AOD′，∠ODF＝∠ODF′，
∴∠D′OD″＝2∠AOB，∠GDF＝∠ODF′+∠ODG″，
∵∠D′OD″+∠OD′F+∠OD″G＝180°，
∴2∠AOB+∠GDF＝180°，
故答案为2∠AOB+∠GDF＝180°．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：（2x+y）2﹣4x（x﹣y），其中x＝，y＝﹣2．
【分析】直接利用整式的混合运算化简合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝4x2+4xy+y2﹣4x2+4xy
＝8xy+y2，
当x＝，y＝﹣2时，
原式＝
＝﹣4．
19．（6分）某校在创建书香校园活动中，为了解全校1600名学生年度课外阅读量，随机抽查了部分学生，并用得到的数据绘制了统计图，如图1和图2所示，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）补全学生年度课外阅读量条形统计图；
（2）估算该校全体学生年度课外阅读量在8本以上（含8本）的学生总人数．
【分析】（1）先根据“6本及以下”人数及其所占比例求出被调查的总人数，再用总人数乘以“8本”对应的百分比求出其人数即可补全图形；
（2）用总人数乘以样本中课外阅读量在8本以上（含8本）的学生人数所占比例即可．
【解答】解：（1）被调查的总人数为4÷8%＝50（人），
所以“8本”的人数为50×24%＝12（人），补全统计图如图：
图2
（2）由题意得，样本数据中年度课外阅读量在8本以上（含8本）的学生数比例为24%+20%+16%＝60%，
1600×60%＝960（人）．
所以，该校全体学生的年度课外阅读量在8本以上（含8本）的学生人数估计为960人．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，AB＝AC＝8，D为BC中点，点N在线段AD上，NM∥AC交AB于点M，BN＝3．
（1）求∠CAD度数；
（2）求△BMN的周长．
【分析】（1）由等腰三角形性质和三角形内角和定理可求出∠CAD度数；
（2）由平行线的性质及等腰三角形性质可得到AM＝NM，则求△BMN的周长可转化成求线段AB和线段BN的和，由题中给出的条件即可求出结果．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°，
又∵D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝×40°＝20°，
故∠CAD度数为20°．
（2）∵NM∥AC，
∴∠ANM＝∠CAD，
又∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠ANM＝∠BAD，
∴AM＝NM，
∴△BMN的周长＝MB+BN+NM＝AB+BN，
∵AB＝8，BN＝3，
∴△BMN的周长＝8+3＝11．
故△BMN的周长为11．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）对于任意实数a，b，定义关于“?”的一种运算如下：a?b＝a+2b．例如：2?3＝2+2×3＝8．
（1）若x?（﹣y）＝﹣6，且2y?x＝12，求x，y的值；
（2）在（1）的条件下，求以x，y为边长的等腰三角形的面积．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出，
（2）根据勾股定理求出等腰三角形底边上的高，再根据三角形面积公式求出面积．
【解答】解：（1）∵x?（﹣y）＝﹣6，且2y?x＝12，
根据题意得：，
解得：，
∴x，y的值分别为2，4．
（2）2，4为边长的等腰三角形构成腰长为4，底边为2 的等腰三角形，
该三角形底边上的的高为：，
∴所求的等腰三角形面积为：×2×＝．
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若AC＝2，CE＝，求AE的长．
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质和已知条件推知OC∥AD，根据平行线的性质和等角对等边证得结论；
（2）AE＝AD﹣ED，通过相似三角形△ADC∽△ACB的对应边成比例求得AD＝4，DC＝2．在直角△DCE中，由勾股定理得到DE＝＝1，故AE＝AD﹣ED＝3．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠1＝∠3．
又OA＝OC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴CE＝CB；
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝2，CB＝CE＝，
∴AB＝＝＝5．
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠1＝∠2，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝＝，即＝＝，
∴AD＝4，DC＝2．
在直角△DCE中，DE＝＝1，
∴AE＝AD﹣ED＝4﹣1＝3．
23．（8分）学海书店购一批故事书进行销售，其进价为每本40元，如果按每本故事书50元进行出售，每月可以售出500本故事书，后来经过市场调查发现，若每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本．
（1）若学海书店要保证每月销售此种故事书盈利6000元，同时又要使购书者得到实惠，则每本故事书需涨价多少元？
（2）若使该故事书的月销量不低于300本，则每本故事书的售价应不高于多少元？
【分析】（1）设每本故事书需涨价x元，根据“每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本”表示出销售量，由售价﹣进价＝利润列出方程，求出方程的解即可得到结果．、
（2）设每本故事书的售价为m元，由关键描述语“该故事书的月销量不低于300本”列出不等式．
【解答】（1）解：设每本故事书需涨价x元，
由题意，得
（x+50﹣40）（500﹣20x）＝6000，
解得 x1＝5，x2＝10（不合题意，舍去）．
答：每本故事书需涨5元；
（2）解：设每本故事书的售价为m元，则500﹣20（m﹣50）≥300，
解得，m≤60．
答：每本故事书的售价应不高于60元．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），反比例函数y＝的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式；
（3）若点P在y轴上，且△OPD的面积与四边形BDOE的面积相等，求点P的坐标．
【分析】（1）由B点的坐标，可得出D点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，由E点在AB上可得出点B的横坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出E点的纵坐标，进而可得出E点的坐标；
（2）由（1）可得出BD＝1，BE＝，CB＝2．由△FBC∽△DEB，利用相似三角形的性质可求出CF的长，结合OF＝OC﹣CF可得出OF的长，进而可得出点F的坐标，由点F，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线FB的解析式；
（3）由S四边形BDOE＝S矩形OABC﹣S△OCD﹣S△OAE，可求出四边形BDOE的面积，由点P在y轴上及△OPD的面积与四边形BDOE的面积相等，可求出OP的长，进而可得出P点的坐标．
【解答】解：（1）在矩形OABC中，B点坐标为（2，3），
∴BC边中点D的坐标为（1，3）．
又∵反比例函数y＝的图象经过点D（1，3），
∴3＝，
∴k＝3．
∵E点在AB上，
∴E点的横坐标为2．
又∵y＝经过点E，
∴E点的纵坐标为，
∴E点的坐标为（2，）．
（2）由（1）可知：BD＝1，BE＝，CB＝2．
∵△FBC∽△DEB，
∴＝，即＝，
∴CF＝，
∴OF＝3﹣＝，
∴点F的坐标为（0，）．
设直线FB的解析式为y＝ax+b（a≠0），
将F（0，），B（2，3）代入y＝ax+b得：，
解得：，
∴直线FB的解析式为y＝x+．
（3）S四边形BDOE＝S矩形OABC﹣S△OCD﹣S△OAE
＝2×3﹣×3×1﹣×2×
＝6﹣﹣
＝3．
∵点P在y轴上，且△OPD的面积与四边形BDOE的面积相等，
∴OP?CD＝3，即OP＝3，
∴OP＝6，
∴P点的坐标为（0，6）或（0，﹣6）．
25．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限上的动点
（1）求直线BC的解析式；
（2）当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E在线段AB上，点F在线段OC上，当△AEF与△PBC相似时，求所有满足条件的点E坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）联立，消去y，得，当△＝4+2（4﹣m）＝0，即m＝6时，S△PBC取最大值，即可求解；
（3）分∠FEA＝∠PCB＝45°、∠EFA＝∠PCB＝45°、∠EAF＝∠PCB＝45°三种情况，利用相似和解直角三角形的方法，分别求解即可．
【解答】解：（1）由，令y＝0得，
即（x+2）（x﹣4）＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
所以A（﹣2，0）、B（4，0），
令x＝0得y＝4，
故C（0，4）；
设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入B、C坐标得，
解得，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+4；
（2）设过P点且与直线BC平行的直线的解析式为y＝﹣x+m，
联立，消去y，得，
当△＝4+2（4﹣m）＝0，即m＝6时，S△PBC取最大值，
当m＝6时，﹣x2+2x+4﹣6＝0，解得x＝2，
故P（2，4）；
（3）由（2）得P（2，4），又因为C（0，4），B（4，0），
所以在△PBC中，∠PCB＝45°，PC＝2，，，
由于点E在线段AB上，点F在线段OC上，要满足以A、E、F为顶点的三角形与△PBC相似，只有以下三种情况：
①如图2，当∠FEA＝∠PCB＝45°时，△FEA∽△PCB，
此时＝，故设EF＝2x，则AE＝4x，
则OE＝OF＝EF＝x，
则OA＝AE﹣OE＝4x﹣x＝3x＝2，解得x＝，
故OE＝x＝，
故点E的坐标为（，0）；
②如图3，当∠EFA＝∠PCB＝45°时，△EFA∽△PCB，
此时＝，
故设EF＝2x，AF＝4x，
同理可得：AE＝2x，AO＝x＝2，
解得x＝，
则AE＝2x＝，
故点E的坐标为（﹣，0）；
③如图4，当∠EAF＝∠PCB＝45°时，△EAF∽△PCB，
此时，
同理可得，点E的坐标为（﹣1，0），
综上，点E的坐标为（﹣1，0）或（﹣，0）或（，0）．

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