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2021年广东省清远市中考数学模拟试卷(一)(Word版 含解析)

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2021年广东省清远市中考数学模拟试卷(一)(Word版 含解析)

2021年广东省清远市中考数学模拟试卷(一) 一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。 1.(3分)2021的绝对值是(  ) A.2021 B.﹣2021 C. D.﹣ 2.(3分)一组数据6,9,8,8,9,7,9的众数是(  ) A.6 B.7 C.8 D.9 3.(3分)平面直角坐标系中,点(﹣4,3)关于y轴对称的点的坐标为(  ) A.(4,﹣3) B.(4,3) C.(﹣4,﹣3) D.(3,﹣4) 4.(3分)如图,AB∥CD,AD=CD,∠1=50°,则∠2的度数是(  ) A.55° B.60° C.65° D.70° 5.(3分)下列计算正确的是(  ) A.= B.= C.=1 D.()()=1 6.(3分)如果一个多边形的每个外角都是60°,那么这个多边形是(  ) A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形 7.(3分)不等式组的解集是(  ) A.x≥1 B.x<3 C.1≤x<3 D.1<x<3 8.(3分)将抛物线y=2(x﹣1)2+1向左平移2个单位,得到抛物线的解析式是(  ) A.y=2(x﹣1)2+3 B.y=2(x+1)2+1 C.y=2(x﹣1)2﹣1 D.y=2(x+3)2+1 9.(3分)如图,四边形ABCD是边长为6的正方形,点E在边AB上,BE=4,过点E作EF∥BC,分别交BD,CD于G,F两点.若M,N分别是DG,CE的中点,则MN的长为(  ) A.3 B. C. D.4 10.(3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c+(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①b>0;②a﹣b+c=0;③一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根;④当x<﹣1或x>3时,y>0.上述结论中正确的个数是(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(本大题7小题,每小题4分,共28分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。 11.(4分)因式分解:3x2+6x=   . 12.(4分)已知两个单项式3xym与﹣3xny2的和为0,则m+n的值是   . 13.(4分)若|3﹣x|+=0,则yx=   . 14.(4分)如果6x2﹣3x+5=11,那么代数式2x2﹣x+3的值是   . 15.(4分)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,以AC、BD的交点,O为圆心,OC为半径作弧交BC于点E,再分别以点E、C为圆心,大于EC的长为半径作弧交于点F(作图痕迹如图所示),作射线OF交BC于点M,若OM=3,则AC的长是   . 16.(4分)如图,AB是⊙O的直径,M、N是(异于A、B)上两点,C是上一动点,∠ACB的角平分线交⊙O于点D,∠BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,则C、E两点的运动路径长的比是   . 17.(4分)如图,点D是锐角∠AOB内一点,DE⊥OA于点E,点F是线段OE的一个动点,点G是射线OB的一个动点,连接DF、FG、GD,当△DFG的周长最小时,∠FDG与∠AOB的数量关系式是   . 三、解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分) 18.(6分)先化简,再求值:(2x+y)2﹣4x(x﹣y),其中x=,y=﹣2. 19.(6分)某校在创建书香校园活动中,为了解全校1600名学生年度课外阅读量,随机抽查了部分学生,并用得到的数据绘制了统计图,如图1和图2所示,请根据图中信息,解答下列问题: (1)补全学生年度课外阅读量条形统计图; (2)估算该校全体学生年度课外阅读量在8本以上(含8本)的学生总人数. 20.(6分)如图,在△ABC中,∠ABC=70°,AB=AC=8,D为BC中点,点N在线段AD上,NM∥AC交AB于点M,BN=3. (1)求∠CAD度数; (2)求△BMN的周长. 四、解答题(二)(本大题3小题,每小题8分,共24分) 21.(8分)对于任意实数a,b,定义关于“?”的一种运算如下:a?b=a+2b.例如:2?3=2+2×3=8. (1)若x?(﹣y)=﹣6,且2y?x=12,求x,y的值; (2)在(1)的条件下,求以x,y为边长的等腰三角形的面积. 22.(8分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为点D,AD交⊙O于点E,连接CE,CB. (1)求证:CE=CB; (2)若AC=2,CE=,求AE的长. 23.(8分)学海书店购一批故事书进行销售,其进价为每本40元,如果按每本故事书50元进行出售,每月可以售出500本故事书,后来经过市场调查发现,若每本故事书涨价1元,则故事书的销量每月减少20本. (1)若学海书店要保证每月销售此种故事书盈利6000元,同时又要使购书者得到实惠,则每本故事书需涨价多少元? (2)若使该故事书的月销量不低于300本,则每本故事书的售价应不高于多少元? 五、解答题(三)(本大题2小题,每小题10分,共20分) 24.(10分)如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A、C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3),反比例函数y=的图象经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE. (1)求k的值及点E的坐标; (2)若点F是OC边上一点,且△FBC∽△DEB,求直线FB的解析式; (3)若点P在y轴上,且△OPD的面积与四边形BDOE的面积相等,求点P的坐标. 25.(10分)如图,二次函数y=﹣x2+x+4的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线在第一象限上的动点 (1)求直线BC的解析式; (2)当△PBC的面积最大时,求点P的坐标; (3)在(2)的条件下,点E在线段AB上,点F在线段OC上,当△AEF与△PBC相似时,求所有满足条件的点E坐标. 2021年广东省清远市中考数学模拟试卷(一) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。 1.(3分)2021的绝对值是(  ) A.2021 B.﹣2021 C. D.﹣ 【分析】根据绝对值的意义,正数的绝对值是它本身即可求出答案. 【解答】解:2021的绝对值即为:|2021|=2021. 故选:A. 2.(3分)一组数据6,9,8,8,9,7,9的众数是(  ) A.6 B.7 C.8 D.9 【分析】根据众数的概念求解即可. 【解答】解:这组数据中9出现3次,次数最多, 所以这组数据的众数为9, 故选:D. 3.(3分)平面直角坐标系中,点(﹣4,3)关于y轴对称的点的坐标为(  ) A.(4,﹣3) B.(4,3) C.(﹣4,﹣3) D.(3,﹣4) 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标相等,可得答案. 【解答】解:点(﹣4,3)关于y轴对称的点的坐标为(4,3), 故选:B. 4.(3分)如图,AB∥CD,AD=CD,∠1=50°,则∠2的度数是(  ) A.55° B.60° C.65° D.70° 【分析】直接利用等腰三角形的性质结合平行线的性质得出答案. 【解答】解:∵AD=CD,∠1=50°, ∴∠CAD=∠ACD=65°, ∵AB∥CD, ∴∠2=∠ACD=65°. 故选:C. 5.(3分)下列计算正确的是(  ) A.= B.= C.=1 D.()()=1 【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断;根据二次根式的乘法法则对B进行判断;利用分母有理化对C进行判断;根据平方差公式对D进行判断. 【解答】解:A、与不能合并,所以A选项错误; B、原式==,所以B选项错误; C、原式=,所以C选项错误; D、原式=3﹣2=1,所以D选项正确. 故选:D. 6.(3分)如果一个多边形的每个外角都是60°,那么这个多边形是(  ) A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形 【分析】根据多边形的外角和等于360°和已知即可求出答案. 【解答】解:∵一个多边形的每个外角都是60°, ∴这个多边形的边数为=6, 即这个多边形是六边形, 故选:B. 7.(3分)不等式组的解集是(  ) A.x≥1 B.x<3 C.1≤x<3 D.1<x<3 【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集. 【解答】解:解不等式2x≥2,得:x≥1, 解不等式2(x﹣1)<x+1,得:x<3, ∴不等式组的解集为1≤x<3, 故选:C. 8.(3分)将抛物线y=2(x﹣1)2+1向左平移2个单位,得到抛物线的解析式是(  ) A.y=2(x﹣1)2+3 B.y=2(x+1)2+1 C.y=2(x﹣1)2﹣1 D.y=2(x+3)2+1 【分析】按照“左加右减”的规律即可求得. 【解答】解:将抛物线y=2(x﹣1)2+1向左平移2个单位,得到抛物线的解析式是y=2(x﹣1+2)2+1.即y=2(x+1)2+1. 故选:B. 9.(3分)如图,四边形ABCD是边长为6的正方形,点E在边AB上,BE=4,过点E作EF∥BC,分别交BD,CD于G,F两点.若M,N分别是DG,CE的中点,则MN的长为(  ) A.3 B. C. D.4 【分析】解法一:作辅助线,构建矩形MHPK和直角三角形NMH,利用平行线分线段成比例定理或中位线定理得:MK=FK=1,NP=3,PF=2,利用勾股定理可得MN的长; 解法二:作辅助线,构建全等三角形,证明△EMF≌△CMD,则EM=CM,利用勾股定理得:BD==6,EC==2,可得△EBG是等腰直角三角形,分别求EM=CM的长,利用勾股定理的逆定理可得△EMC是等腰直角三角形,根据直角三角形斜边中线的性质得MN的长. 【解答】解:解法一:如图1,过M作MK⊥CD于K,过N作NP⊥CD于P,过M作MH⊥PN于H, 则MK∥EF∥NP, ∵∠MKP=∠MHP=∠HPK=90°, ∴四边形MHPK是矩形, ∴MK=PH,MH=KP, ∵NP∥EF,N是EC的中点, ∴,, ∴PF=FC=BE=2,NP=EF=3, 同理得:FK=DK=1, ∵四边形ABCD为正方形, ∴∠BDC=45°, ∴△MKD是等腰直角三角形, ∴MK=DK=1,NH=NP﹣HP=3﹣1=2, ∴MH=2+1=3, 在Rt△MNH中,由勾股定理得:MN===; 解法二:如图2,连接FM、EM、CM, ∵四边形ABCD为正方形, ∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,BC=CD, ∵EF∥BC, ∴∠GFD=∠BCD=90°,EF=BC, ∴EF=BC=DC, ∵∠BDC=∠ADC=45°, ∴△GFD是等腰直角三角形, ∵M是DG的中点, ∴FM=DM=MG,FM⊥DG, ∴∠GFM=∠CDM=45°, ∴△EMF≌△CMD, ∴EM=CM, 过M作MH⊥CD于H, 由勾股定理得:BD==6, EC==2, ∵∠EBG=45°, ∴△EBG是等腰直角三角形, ∴EG=BE=4, ∴BG=4, ∴DM= ∴MH=DH=1, ∴CH=6﹣1=5, ∴CM=EM==, ∵CE2=EM2+CM2, ∴∠EMC=90°, ∵N是EC的中点, ∴MN=EC=; 故选C. 方法三:连EM,延长EM于H,使EM=MH,连DH,CH,可证△EGM≌HDM,再证△EBC≌△HDC,利用中位线可证MN=EC=×2=. 故选:C. 10.(3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c+(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①b>0;②a﹣b+c=0;③一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根;④当x<﹣1或x>3时,y>0.上述结论中正确的个数是(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性,以及二次函数与一元二次方程的关系逐个进行判断即可. 【解答】解:由图可知,对称轴x=1,与x轴的一个交点为(3,0), ∴b=﹣2a,与x轴另一个交点(﹣1,0), ①∵a>0, ∴b<0; ∴①错误; ②当x=﹣1时,y=0, ∴a﹣b+c=0; ②正确; ③一元二次方程ax2+bx+c+1=0可以看作函数y=ax2+bx+c与y=﹣1的交点, 由图象可知函数y=ax2+bx+c与y=﹣1有两个不同的交点, ∴一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根; ∴③正确; ④由图象可知,y>0时,x<﹣1或x>3, ∴④正确; 故选:C. 二、填空题(本大题7小题,每小题4分,共28分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。 11.(4分)因式分解:3x2+6x= 3x(x+2) . 【分析】提取公因式即可. 【解答】解:原式=3x2+6x =3x(x+2). 故答案为:3x(x+2). 12.(4分)已知两个单项式3xym与﹣3xny2的和为0,则m+n的值是 3 . 【分析】两个单项式3xym与﹣3xny2的和为0则两个单项式是同类项,根据同类项的定义可得答案. 【解答】解:∵两个单项式3xym与﹣3xny2的和为0, ∴两个单项式是同类项, 即m=2,n=1, ∴m+n=3. 故答案为:3. 13.(4分)若|3﹣x|+=0,则yx= ﹣1 . 【分析】先根据绝对值与算术平方根的非负性,求出x与y的值,然后代入求值即可. 【解答】解:∵|3﹣x|+=0, ∴3﹣x=0,y+1=0, 解得x=﹣3,y=﹣1, ∴yx=(﹣1)﹣3=﹣1, 故答案为﹣1. 14.(4分)如果6x2﹣3x+5=11,那么代数式2x2﹣x+3的值是 5 . 【分析】观察题中的两个代数式6x2﹣3x+5和2x2﹣x+3,可以发现,6x2﹣3x=3(2x2﹣x),因此可整体求出2x2﹣x的值,然后整体代入即可求出所求的结果. 【解答】解:∵6x2﹣3x+5=11, ∴6x2﹣3x=6, ∴3(2x2﹣x)=6, 即2x2﹣x=2, ∴2x2﹣x+3=2+3=5. 故答案为:5. 15.(4分)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,以AC、BD的交点,O为圆心,OC为半径作弧交BC于点E,再分别以点E、C为圆心,大于EC的长为半径作弧交于点F(作图痕迹如图所示),作射线OF交BC于点M,若OM=3,则AC的长是  . 【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD,AO=CO,∠ABC=60°,∠DBC=∠ABD=30°,由直角三角形的性质可求解. 【解答】解:由题意可得OM⊥BC, ∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°, ∴AC⊥BD,AO=CO,∠ABC=60°,∠DBC=∠ABD=30°, ∴BO=2OM=6,BO=CO, ∴CO=2, ∴AC=2OC=4, 故答案为4. 16.(4分)如图,AB是⊙O的直径,M、N是(异于A、B)上两点,C是上一动点,∠ACB的角平分线交⊙O于点D,∠BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,则C、E两点的运动路径长的比是  . 【分析】连接EB,设OA=r,作等腰直角三角形ADB,AD=DB,∠ADB=90°,则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动,运动轨迹是,点C的运动轨迹是,由题意∠MON=2∠GDF,设∠GDF=α,则∠MON=2α,利用弧长公式计算即可解决问题. 【解答】解:如图,连接EB,设OA=r, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∵∠ACB的角平分线交⊙O于点D,∠BAC的平分线交CD于点E. ∴E是△ACB的内心, ∴∠AEB=135°, 作等腰直角三角形ADB,AD=DB,∠ADB=90°, 则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动,运动轨迹是, 点C的运动轨迹是,由题意∠MON=2∠GDF, 设∠GDF=α,则∠MON=2α, ∴弧MN的长度:弧GF的长度==. 故答案为:. 17.(4分)如图,点D是锐角∠AOB内一点,DE⊥OA于点E,点F是线段OE的一个动点,点G是射线OB的一个动点,连接DF、FG、GD,当△DFG的周长最小时,∠FDG与∠AOB的数量关系式是 ∠FDG+2∠AOB=180° . 【分析】作D关于OA的对称点D′,作D关于OB的对称得D″,连接D′D″,交OA、OB于F、G,此时△DFG的周长最小,最小值为D′D″,连OD、OD′、OD″,根据轴对称的性质得出△GOD≌△GOD″,△FOD≌△FOD′,即可得出∠BOD=∠BOD′,∠ODG=∠OD″G,∠DOA=∠AOD′,∠ODF=∠ODF′,由∠D′OD″=2∠AOB,∠GDF=∠ODF′+∠ODG″根据三角形内角和定理即可得出2∠AOB+∠GDF=180°. 【解答】解:作D关于OA的对称点D′,作D关于OB的对称得D″,连接D′D″,交OA、OB于F、G,此时△DFG的周长最小,最小值为D′D″,连OD、OD′、OD″, 由轴对称的性质可知,△GOD≌△GOD″,△FOD≌△FOD′, ∴∠BOD=∠BOD′,∠ODG=∠OD″G,∠DOA=∠AOD′,∠ODF=∠ODF′, ∴∠D′OD″=2∠AOB,∠GDF=∠ODF′+∠ODG″, ∵∠D′OD″+∠OD′F+∠OD″G=180°, ∴2∠AOB+∠GDF=180°, 故答案为2∠AOB+∠GDF=180°. 三、解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分) 18.(6分)先化简,再求值:(2x+y)2﹣4x(x﹣y),其中x=,y=﹣2. 【分析】直接利用整式的混合运算化简合并同类项,再把已知数据代入得出答案. 【解答】解:原式=4x2+4xy+y2﹣4x2+4xy =8xy+y2, 当x=,y=﹣2时, 原式= =﹣4. 19.(6分)某校在创建书香校园活动中,为了解全校1600名学生年度课外阅读量,随机抽查了部分学生,并用得到的数据绘制了统计图,如图1和图2所示,请根据图中信息,解答下列问题: (1)补全学生年度课外阅读量条形统计图; (2)估算该校全体学生年度课外阅读量在8本以上(含8本)的学生总人数. 【分析】(1)先根据“6本及以下”人数及其所占比例求出被调查的总人数,再用总人数乘以“8本”对应的百分比求出其人数即可补全图形; (2)用总人数乘以样本中课外阅读量在8本以上(含8本)的学生人数所占比例即可. 【解答】解:(1)被调查的总人数为4÷8%=50(人), 所以“8本”的人数为50×24%=12(人),补全统计图如图: 图2 (2)由题意得,样本数据中年度课外阅读量在8本以上(含8本)的学生数比例为24%+20%+16%=60%, 1600×60%=960(人). 所以,该校全体学生的年度课外阅读量在8本以上(含8本)的学生人数估计为960人. 20.(6分)如图,在△ABC中,∠ABC=70°,AB=AC=8,D为BC中点,点N在线段AD上,NM∥AC交AB于点M,BN=3. (1)求∠CAD度数; (2)求△BMN的周长. 【分析】(1)由等腰三角形性质和三角形内角和定理可求出∠CAD度数; (2)由平行线的性质及等腰三角形性质可得到AM=NM,则求△BMN的周长可转化成求线段AB和线段BN的和,由题中给出的条件即可求出结果. 【解答】解:(1)∵AB=AC, ∴△ABC是等腰三角形, 又∵∠ABC=70°, ∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°, 又∵D为BC的中点, ∴AD平分∠BAC, ∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=×40°=20°, 故∠CAD度数为20°. (2)∵NM∥AC, ∴∠ANM=∠CAD, 又∵∠CAD=∠BAD, ∴∠ANM=∠BAD, ∴AM=NM, ∴△BMN的周长=MB+BN+NM=AB+BN, ∵AB=8,BN=3, ∴△BMN的周长=8+3=11. 故△BMN的周长为11. 四、解答题(二)(本大题3小题,每小题8分,共24分) 21.(8分)对于任意实数a,b,定义关于“?”的一种运算如下:a?b=a+2b.例如:2?3=2+2×3=8. (1)若x?(﹣y)=﹣6,且2y?x=12,求x,y的值; (2)在(1)的条件下,求以x,y为边长的等腰三角形的面积. 【分析】(1)原式利用题中的新定义计算即可求出, (2)根据勾股定理求出等腰三角形底边上的高,再根据三角形面积公式求出面积. 【解答】解:(1)∵x?(﹣y)=﹣6,且2y?x=12, 根据题意得:, 解得:, ∴x,y的值分别为2,4. (2)2,4为边长的等腰三角形构成腰长为4,底边为2 的等腰三角形, 该三角形底边上的的高为:, ∴所求的等腰三角形面积为:×2×=. 22.(8分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为点D,AD交⊙O于点E,连接CE,CB. (1)求证:CE=CB; (2)若AC=2,CE=,求AE的长. 【分析】(1)连接OC,利用切线的性质和已知条件推知OC∥AD,根据平行线的性质和等角对等边证得结论; (2)AE=AD﹣ED,通过相似三角形△ADC∽△ACB的对应边成比例求得AD=4,DC=2.在直角△DCE中,由勾股定理得到DE==1,故AE=AD﹣ED=3. 【解答】(1)证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线, ∴OC⊥CD. ∵AD⊥CD, ∴OC∥AD, ∴∠1=∠3. 又OA=OC, ∴∠2=∠3, ∴∠1=∠2, ∴CE=CB; (2)解:∵AB是直径, ∴∠ACB=90°, ∵AC=2,CB=CE=, ∴AB===5. ∵∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠2, ∴△ADC∽△ACB, ∴==,即==, ∴AD=4,DC=2. 在直角△DCE中,DE==1, ∴AE=AD﹣ED=4﹣1=3. 23.(8分)学海书店购一批故事书进行销售,其进价为每本40元,如果按每本故事书50元进行出售,每月可以售出500本故事书,后来经过市场调查发现,若每本故事书涨价1元,则故事书的销量每月减少20本. (1)若学海书店要保证每月销售此种故事书盈利6000元,同时又要使购书者得到实惠,则每本故事书需涨价多少元? (2)若使该故事书的月销量不低于300本,则每本故事书的售价应不高于多少元? 【分析】(1)设每本故事书需涨价x元,根据“每本故事书涨价1元,则故事书的销量每月减少20本”表示出销售量,由售价﹣进价=利润列出方程,求出方程的解即可得到结果.、 (2)设每本故事书的售价为m元,由关键描述语“该故事书的月销量不低于300本”列出不等式. 【解答】(1)解:设每本故事书需涨价x元, 由题意,得 (x+50﹣40)(500﹣20x)=6000, 解得 x1=5,x2=10(不合题意,舍去). 答:每本故事书需涨5元; (2)解:设每本故事书的售价为m元,则500﹣20(m﹣50)≥300, 解得,m≤60. 答:每本故事书的售价应不高于60元. 五、解答题(三)(本大题2小题,每小题10分,共20分) 24.(10分)如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A、C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3),反比例函数y=的图象经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE. (1)求k的值及点E的坐标; (2)若点F是OC边上一点,且△FBC∽△DEB,求直线FB的解析式; (3)若点P在y轴上,且△OPD的面积与四边形BDOE的面积相等,求点P的坐标. 【分析】(1)由B点的坐标,可得出D点的坐标,利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值,由E点在AB上可得出点B的横坐标,再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出E点的纵坐标,进而可得出E点的坐标; (2)由(1)可得出BD=1,BE=,CB=2.由△FBC∽△DEB,利用相似三角形的性质可求出CF的长,结合OF=OC﹣CF可得出OF的长,进而可得出点F的坐标,由点F,B的坐标,利用待定系数法即可求出直线FB的解析式; (3)由S四边形BDOE=S矩形OABC﹣S△OCD﹣S△OAE,可求出四边形BDOE的面积,由点P在y轴上及△OPD的面积与四边形BDOE的面积相等,可求出OP的长,进而可得出P点的坐标. 【解答】解:(1)在矩形OABC中,B点坐标为(2,3), ∴BC边中点D的坐标为(1,3). 又∵反比例函数y=的图象经过点D(1,3), ∴3=, ∴k=3. ∵E点在AB上, ∴E点的横坐标为2. 又∵y=经过点E, ∴E点的纵坐标为, ∴E点的坐标为(2,). (2)由(1)可知:BD=1,BE=,CB=2. ∵△FBC∽△DEB, ∴=,即=, ∴CF=, ∴OF=3﹣=, ∴点F的坐标为(0,). 设直线FB的解析式为y=ax+b(a≠0), 将F(0,),B(2,3)代入y=ax+b得:, 解得:, ∴直线FB的解析式为y=x+. (3)S四边形BDOE=S矩形OABC﹣S△OCD﹣S△OAE =2×3﹣×3×1﹣×2× =6﹣﹣ =3. ∵点P在y轴上,且△OPD的面积与四边形BDOE的面积相等, ∴OP?CD=3,即OP=3, ∴OP=6, ∴P点的坐标为(0,6)或(0,﹣6). 25.(10分)如图,二次函数y=﹣x2+x+4的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线在第一象限上的动点 (1)求直线BC的解析式; (2)当△PBC的面积最大时,求点P的坐标; (3)在(2)的条件下,点E在线段AB上,点F在线段OC上,当△AEF与△PBC相似时,求所有满足条件的点E坐标. 【分析】(1)用待定系数法即可求解; (2)联立,消去y,得,当△=4+2(4﹣m)=0,即m=6时,S△PBC取最大值,即可求解; (3)分∠FEA=∠PCB=45°、∠EFA=∠PCB=45°、∠EAF=∠PCB=45°三种情况,利用相似和解直角三角形的方法,分别求解即可. 【解答】解:(1)由,令y=0得, 即(x+2)(x﹣4)=0, 解得x1=﹣2,x2=4, 所以A(﹣2,0)、B(4,0), 令x=0得y=4, 故C(0,4); 设直线BC的解析式为y=kx+b,代入B、C坐标得, 解得, 所以直线BC的解析式为y=﹣x+4; (2)设过P点且与直线BC平行的直线的解析式为y=﹣x+m, 联立,消去y,得, 当△=4+2(4﹣m)=0,即m=6时,S△PBC取最大值, 当m=6时,﹣x2+2x+4﹣6=0,解得x=2, 故P(2,4); (3)由(2)得P(2,4),又因为C(0,4),B(4,0), 所以在△PBC中,∠PCB=45°,PC=2,,, 由于点E在线段AB上,点F在线段OC上,要满足以A、E、F为顶点的三角形与△PBC相似,只有以下三种情况: ①如图2,当∠FEA=∠PCB=45°时,△FEA∽△PCB, 此时=,故设EF=2x,则AE=4x, 则OE=OF=EF=x, 则OA=AE﹣OE=4x﹣x=3x=2,解得x=, 故OE=x=, 故点E的坐标为(,0); ②如图3,当∠EFA=∠PCB=45°时,△EFA∽△PCB, 此时=, 故设EF=2x,AF=4x, 同理可得:AE=2x,AO=x=2, 解得x=, 则AE=2x=, 故点E的坐标为(﹣,0); ③如图4,当∠EAF=∠PCB=45°时,△EAF∽△PCB, 此时, 同理可得,点E的坐标为(﹣1,0), 综上,点E的坐标为(﹣1,0)或(﹣,0)或(,0).

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