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2021年湖南省郴州市中考数学仿真试卷(一)(Word版 含解析)

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2021年湖南省郴州市中考数学仿真试卷(一)(Word版 含解析)

2021年湖南省郴州市中考数学仿真试卷(一) 一、单选题(本大题共8小题,每小题各3分,满分24分) 1.(3分)下列各组数中,互为相反数的是(  ) A.和2 B.﹣1和1 C.﹣2和 D.﹣和﹣2 2.(3分)2020年6月23日,中国第55颗北斗导航卫星成功发射,顺利完成全球组网.其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片,已实现规模化应用.22纳米=0.000000022米,将0.000000022用科学记数法表示为(  ) A.2.2×108 B.2.2×10﹣8 C.0.22×10﹣7 D.22×10﹣9 3.(3分)下列图形是疫情导视标识牌,在这些导视标识牌中,是中心对称图形的是(  ) A. B. C. D. 4.(3分)下列计算中,结果是a7的是(  ) A.a3﹣a4 B.a3?a4 C.a3+a4 D.a3÷a4 5.(3分)如图,下列四个图中∠1=∠2,不能判断不能判定a∥b的是(  ) A. B. C. D. 6.(3分)某商场对上周女装的销售情况进行了统计,如表,经理决定本周进女装时多进一些红色的,可用来解释这一现象的统计知识是(  ) 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 数量(件) 100 180 220 80 520 A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 7.(3分)如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形.通过计算剪拼前后阴影部分的面积,验证了一个等式,这则个等式是(  ) A.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 D.a(a﹣b)=a2﹣ab 8.(3分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l与x轴平行,且直线l分别与反比例函数y=(x>0)和y=(x<0)的图象交于点P和点Q.若△POQ的面积为10,则k的值为(  ) A.10 B.12 C.﹣10 D.﹣12 二、填空题(本大题共8小题,每小题各3分,满分24分) 9.(3分)当x=   时,分式没有意义. 10.(3分)若关于x的方程(a﹣1)x2+2(a+1)x+a+5=0有实根,则实数a的取值范围是   . 11.(3分)某工厂生产了一批零件共2000件,从中任意抽取了100件进行检查,其中不合格产品2件,则可估计这批零件中约有   件不合格. 12.(3分)已知一组数据a,b,c的方差为4,那么数据3a﹣2,3b﹣2,3c﹣2的方差是   . 13.(3分)端午期间,王老师一家自驾游去了离家170km的某地,如图是他们离家的距离y(km)与汽车行驶时间x(h)之间的函数图象,当他们离目的地还有20km时,汽车一共行驶的时间是   . 14.(3分)如图,△ABC与△A′B′C′是位似图形,点O是位似中心,若OA=2AA′,S△ABC=9,则S△A'B'C′=   . 15.(3分)如图,从直径为的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC.使点A、B、C在圆周上,将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径是   . 16.(3分)如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,AD的垂直平分线交AB于点F,则△DEF的面积为   . 三、解答题(本大题共10小题,满分72分) 17.(4分)计算:. 18.(4分)解方程:+2=. 19.(8分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,O为BC中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接BE,CE. (1)求证:四边形DCEB为菱形; (2)若AC=6,∠DCB=30°,求四边形DCEB的面积. 20.(8分)某中学为了解七年级学生喜欢球类活动的情况,采取抽样调查的方法,从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面随机调查了部分七年级学生的兴趣爱好,根据调查的结果组建了4个兴趣小组,并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图(如图①,②,要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类),请你根据图中提供的信息解答下列问题: (1)求被抽查学生人数,将条形统计图补充完整; (2)求出扇形统计图中,排球部分对应的圆心角度数; (3)如果该中学七年级共有1200名学生,请你估计七年级学生中喜欢排球的学生有多少名? 21.(8分)知识改变世界,科技改变生活,导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.周末,小强一家到B,C两处景区游玩,他们从家A处出发,向正西行驶160km到达B处,测得C处在B处的北偏西15°方向上,出发时测得C处在A处的北偏西60°方向上. (1)填空:∠C=   度; (2)求B处到C处的距离即BC的长度(结果保留根号). 22.(8分)今年史上最长的寒假结束后,学生复学,某学校为了增强学生体质,鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼,决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材.已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元;购买4根跳绳和3个毽子共需36元. (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元? (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54,且购买的总费用不能超过260元;若要求购买跳绳的数量多于20根,通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案. 23.(8分)如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O交于点C,连接BC,AF. (1)求证:直线PA为⊙O的切线; (2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系,并加以证明; (3)若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和线段PE的长. 24.(8分)阅读下列材料: 实验数据显示,一般成人喝250毫升低度白酒后,其血液中酒精含量(毫克/百毫升)随时间的增加逐步增高达到峰值,之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低. 小带根据相关数据和学习函数的经验,对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究,发现血液中酒精含量y是时间x的函数,其中y表示血液中酒精含量(毫克/百毫升),x表示饮酒后的时间(小时). 下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y(毫克/百毫升)随饮酒后的时间x(小时)(x>0)的变化情况. 饮酒后的 时间 x ( 小时 ) … 1 2 3 4 5 6 … 血液中酒 精含量 y ( 毫克/百 毫升 ) … 150 200 150 45 … 下面是小带的探究过程,请补充完整: (1)如图,在平面直角坐标系xOy中,以上表中各对数值为坐标描点,图中已给出部分点,请你描出剩余的点,画出血液中酒精含量y随时间x变化的函数图象; (2)观察表中数据及图象可发现此函数图象在直线两侧可以用不同的函数表达式表示,请你任选其中一部分写出表达式; (3)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:30在家喝完250毫升低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由. 25.(8分)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°.若固定△ABC,将△DEC绕点C旋转. (1)当△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上时,如图2. ①当∠B=∠E=30°时,此时旋转角的大小为   ; ②当∠B=∠E=α时,此时旋转角的大小为   (用含a的式子表示). (2)当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小杨同学猜想:△BDC的面积与△AEC的面积相等,试判断小杨同学的猜想是否正确,若正确,请你证明小杨同学的猜想.若不正确,请说明理由. 26.(8分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A,C两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,与x轴交于另一点B. (1)求抛物线解析式及B点坐标; (2)连接BC,求△ABC的面积; (3)若点M为抛物线上一动点,连接MA、MB,当点M运动到某一位置时,△ABM面积为△ABC的面积的倍,求此时点M的坐标. 2021年湖南省郴州市中考数学仿真试卷(一) 参考答案与试题解析 一、单选题(本大题共8小题,每小题各3分,满分24分) 1.(3分)下列各组数中,互为相反数的是(  ) A.和2 B.﹣1和1 C.﹣2和 D.﹣和﹣2 【分析】直接利用互为相反数以及互为倒数的意义分别判断得出答案. 【解答】解:A、和2互为倒数,不合题意; B、﹣1和1互为相反数,符合题意; C、﹣2和互为负倒数,不合题意; D、﹣和﹣2互为倒数,不合题意. 故选:B. 2.(3分)2020年6月23日,中国第55颗北斗导航卫星成功发射,顺利完成全球组网.其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片,已实现规模化应用.22纳米=0.000000022米,将0.000000022用科学记数法表示为(  ) A.2.2×108 B.2.2×10﹣8 C.0.22×10﹣7 D.22×10﹣9 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 【解答】解:将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10﹣8. 故选:B. 3.(3分)下列图形是疫情导视标识牌,在这些导视标识牌中,是中心对称图形的是(  ) A. B. C. D. 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.据此判断即可. 【解答】解:A.是中心对称图形,故本选项符合题意; B.不是中心对称图形,故本选项不符合题意; C.不是中心对称图形,故本选项不符合题意; D.不是中心对称图形,故本选项不符合题意; 故选:A. 4.(3分)下列计算中,结果是a7的是(  ) A.a3﹣a4 B.a3?a4 C.a3+a4 D.a3÷a4 【分析】根据同底数幂的乘、除法法则、合并同类项法则计算,判断即可. 【解答】解:A、a3与a4不能合并; B、a3?a4=a7, C、a3与a4不能合并; D、a3÷a4=; 故选:B. 5.(3分)如图,下列四个图中∠1=∠2,不能判断不能判定a∥b的是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据平行线的判定定理进行解答. 【解答】解:A、根据“同位角相等,两直线平行”可以判定a∥b,故本选项不符合题意; B、根据“同位角相等,两直线平行”可以判定a∥b,故本选项不符合题意; C、如图,根据“同位角相等,两直线平行”可以判定c∥d,故本选项符合题意; D、如图,∵∠2=∠3,1=∠2, ∴∠3=∠1, ∴a∥b(同位角相等,两直线平行),故本选项不符合题意; 故选:C. 6.(3分)某商场对上周女装的销售情况进行了统计,如表,经理决定本周进女装时多进一些红色的,可用来解释这一现象的统计知识是(  ) 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 数量(件) 100 180 220 80 520 A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 【分析】商场经理最值得关注的应该是爱买哪种颜色女装的人数最多,即众数. 【解答】解:在决定本周进女装时多进一些红色的,主要考虑的是各色女装的销售的数量,而红色上周销售量最大. 由于众数是数据中出现次数最多的数, 故考虑的是各色女装的销售数量的众数. 故选:C. 7.(3分)如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形.通过计算剪拼前后阴影部分的面积,验证了一个等式,这则个等式是(  ) A.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 D.a(a﹣b)=a2﹣ab 【分析】分别表示出图1,图2阴影部分的面积,根据面积相等得到等式. 【解答】解:图1的阴影部分面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积,即a2﹣b2, 图2的阴影部分的长为(a+b),宽为(a﹣b),所以面积为(a+b)(a﹣b), 根据面积相等得:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b). 故选:A. 8.(3分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l与x轴平行,且直线l分别与反比例函数y=(x>0)和y=(x<0)的图象交于点P和点Q.若△POQ的面积为10,则k的值为(  ) A.10 B.12 C.﹣10 D.﹣12 【分析】由于S△POQ=S△OMQ+S△OMP,根据反比例函数k的几何意义得到|k|+×|8|=10,然后解方程得到满足条件的k的值. 【解答】解:∵S△POQ=S△OMQ+S△OMP, ∴|k|+×|8|=10, ∴|k|=12, 而k<0, ∴k=﹣12, 故选:D. 二、填空题(本大题共8小题,每小题各3分,满分24分) 9.(3分)当x= 3 时,分式没有意义. 【分析】分式无意义的条件是分母等于0. 【解答】解:若分式没有意义,则x﹣3=0, 解得:x=3. 故答案为:3. 10.(3分)若关于x的方程(a﹣1)x2+2(a+1)x+a+5=0有实根,则实数a的取值范围是 a≤3且a≠1 . 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a﹣1≠0且△=4(a+1)2﹣4(a﹣1)(a+5)≥0,然后求出两不等式的公共部分即可. 【解答】解:根据题意得a﹣1≠0且△=4(a+1)2﹣4(a﹣1)(a+5)≥0, 解得a≤3且a≠1. 故答案为a≤3且a≠1. 11.(3分)某工厂生产了一批零件共2000件,从中任意抽取了100件进行检查,其中不合格产品2件,则可估计这批零件中约有 40 件不合格. 【分析】用样本中不合格所占比例乘以总数量即可得. 【解答】解:根据题意,估计该厂这批零件中不合格产品约有×2000=40(件), 故答案为:40. 12.(3分)已知一组数据a,b,c的方差为4,那么数据3a﹣2,3b﹣2,3c﹣2的方差是 36 . 【分析】根据“当数据都乘以一个数(或除以一个数)时,平均数也乘以或除以这个数,方差变为这个数的平方倍”求解可得. 【解答】解:∵数据a,b,c的方差为4, ∴数据3a﹣2,3b﹣2,3c﹣2的方差32×4=36, 故答案为:36. 13.(3分)端午期间,王老师一家自驾游去了离家170km的某地,如图是他们离家的距离y(km)与汽车行驶时间x(h)之间的函数图象,当他们离目的地还有20km时,汽车一共行驶的时间是 2.25h . 【分析】根据待定系数法,可得一次函数解析式,根据函数值,可得相应自变量的值. 【解答】解:设AB段的函数解析式是y=kx+b, y=kx+b的图象过A(1.5,90),B(2.5,170), , 解得, ∴AB段函数的解析式是y=80x﹣30, 离目的地还有20千米时,即y=170﹣20=150km, 当y=150时,80x﹣30=150 解得:x=2.25h, 故答案为:2.25h 14.(3分)如图,△ABC与△A′B′C′是位似图形,点O是位似中心,若OA=2AA′,S△ABC=9,则S△A'B'C′=  . 【分析】△ABC与△A′B′C′是位似图形,由OA=2AA′可得两个图形的位似比,面积的比等于位似比的平方. 【解答】解:△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA=2AA′. 可得两位似图形的位似比为2:3,所以两位似图形的面积比为4:9, 又S△ABC=9, ∴S△A'B'C′=. 故答案为:. 15.(3分)如图,从直径为的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC.使点A、B、C在圆周上,将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径是 2 . 【分析】连接BC,如图,利用圆周角定理得到BC为⊙O的直径,则AB=8,设这个圆锥的底面半径为r,利用弧长公式得到2πr=,然后解关于r的方程即可. 【解答】解:连接BC,如图, ∵∠BAC=90°, ∴BC为⊙O的直径,即BC=8, ∴AB=BC=8, 设这个圆锥的底面半径为r, 根据题意得2πr=, 解得r=2, 即这个圆锥的底面半径为2. 故答案为2. 16.(3分)如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,AD的垂直平分线交AB于点F,则△DEF的面积为 6﹣4 . 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD,AE=AC,根据垂直平分线的性质得到AF=DF,根据平行线的判定和性质可得△BDF、△BED是等腰直角三角形,在Rt△BED中,根据勾股定理可得DE的长,进一步得到EF的长,再根据三角形面积公式即可求解. 【解答】解:∵AD是△ABC的角平分线,∠ACB=90°,DE⊥AB, ∴∠CAD=∠EAD,DE=CD,AE=AC=2, ∵AD的垂直平分线交AB于点F, ∴AF=DF, ∴∠ADF=∠EAD, ∴∠ADF=∠CAD, ∴AC∥DE, ∴∠BDE=∠C=90°, ∴△BDF、△BED是等腰直角三角形, 设DE=x,则EF=BE=x,BD=DF=2﹣x, 在Rt△BED中,DE2+BE2=BD2, ∴x2+x2=(2﹣x)2, 解得x1=﹣2﹣2(负值舍去),x2=﹣2+2, ∴△DEF的面积为(﹣2+2)×(﹣2+2)÷2=6﹣4. 故答案为:6﹣4. 三、解答题(本大题共10小题,满分72分) 17.(4分)计算:. 【分析】按照实数的运算法则依次计算,注意(3﹣π)0=1,()﹣1=2. 【解答】解:原式=2+1﹣2﹣2× =﹣1. 18.(4分)解方程:+2=. 【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解. 【解答】解:方程两边都乘以x(x+1)去分母得:1+2x2+2x=2x2+x, 解得x=﹣1, 检验:当x=﹣1时,x(x+1)=﹣1×(﹣1+1)=0, 所以,x=﹣1不是原方程的解, 所以,原分式方程无解. 19.(8分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,O为BC中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接BE,CE. (1)求证:四边形DCEB为菱形; (2)若AC=6,∠DCB=30°,求四边形DCEB的面积. 【分析】(1)根据线段中点的定义得到OC=OB,根据平行四边形的判定定理得到四边形DCEB是平行四边形.根据直角三角形的性质得到CD=BD,于是得到结论; (2)根据已知条件得到∠ABC=∠DCB=30°,解直角三角形得到AB=12,BC=.根据三角形中位线定理得到DO=AC=3,于是得到结论. 【解答】(1)证明:∵O是BC边中点, ∴OC=OB, 又∵OE=OD, ∴四边形DCEB是平行四边形. ∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点, ∴CD=BD, ∴四边形DCEB为菱形; (2)解:∵CD=BD,∠DCB=30°, ∴∠ABC=∠DCB=30°, ∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,∠ABC=30°, ∴AB=12,BC=. ∵D为AB中点,O是BC中点, ∴DO=AC=3, ∴S菱形DCEB=BC?DO=. 20.(8分)某中学为了解七年级学生喜欢球类活动的情况,采取抽样调查的方法,从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面随机调查了部分七年级学生的兴趣爱好,根据调查的结果组建了4个兴趣小组,并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图(如图①,②,要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类),请你根据图中提供的信息解答下列问题: (1)求被抽查学生人数,将条形统计图补充完整; (2)求出扇形统计图中,排球部分对应的圆心角度数; (3)如果该中学七年级共有1200名学生,请你估计七年级学生中喜欢排球的学生有多少名? 【分析】(1)根据篮球的人数和所占的百分比求出总人数,再用总人数减去其它球类的人数,求出足球的人数,从而补全统计图; (2)用360°乘以排球所占的百分比即可得出答案; (3)用七年级总人数乘以喜欢排球的学生所占的百分比即可. 【解答】解:(1)被抽查学生人数是:12÷30%=40(人); 足球的人数有40﹣4﹣12﹣16=8(人),补全统计图如下: (2)扇形统计图中,排球部分对应的圆心角度数:360°×=36°; (3)根据题意得: 1200×=120(名), 答:七年级学生中喜欢排球的学生有120名. 21.(8分)知识改变世界,科技改变生活,导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.周末,小强一家到B,C两处景区游玩,他们从家A处出发,向正西行驶160km到达B处,测得C处在B处的北偏西15°方向上,出发时测得C处在A处的北偏西60°方向上. (1)填空:∠C= 45 度; (2)求B处到C处的距离即BC的长度(结果保留根号). 【分析】(1)根据方向角的概念、三角形内角和定理求出∠C; (2)作BP⊥AC,根据直角三角形的性质求出BP,根据正弦的定义求出BC. 【解答】解:(1)由题意得,∠CAB=30°,∠CBA=105°, ∴∠C=180°﹣30°﹣105°=45°, 故答案为:45; (2)过点B作BP⊥AC于点P, 在Rt△ABP中,∠PAB=90°﹣60°=30°, ∴PB=AB=×160=80, 在Rt△BPC中,∠C=45°. ∴CB==80(km), 答:B处到C处的距离即BC的长度是80km. 22.(8分)今年史上最长的寒假结束后,学生复学,某学校为了增强学生体质,鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼,决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材.已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元;购买4根跳绳和3个毽子共需36元. (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元? (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54,且购买的总费用不能超过260元;若要求购买跳绳的数量多于20根,通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案. 【分析】(1)设购买一根跳绳需要x元,购买一个毽子需要y元,根据“购买2根跳绳和5个毽子共需32元;购买4根跳绳和3个毽子共需36元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论; (2)设购买m根跳绳,则购买(54﹣m)个毽子,根据购买的总费用不能超过260元且购买跳绳的数量多于20根,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,结合m为正整数即可得出各购买方案. 【解答】解:(1)设购买一根跳绳需要x元,购买一个毽子需要y元, 依题意,得:, 解得:. 答:购买一根跳绳需要6元,购买一个毽子需要4元. (2)设购买m根跳绳,则购买(54﹣m)个毽子, 依题意,得:, 解得:20<m≤22. 又∵m为正整数, ∴m可以为21,22. ∴共有2种购买方案,方案1:购买21根跳绳,33个毽子;方案2:购买22根跳绳,32个毽子. 23.(8分)如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O交于点C,连接BC,AF. (1)求证:直线PA为⊙O的切线; (2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系,并加以证明; (3)若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和线段PE的长. 【分析】(1)连接OB,根据垂径定理的知识,得出OA=OB,∠POA=∠POB,继而证明△PAO≌△PBO,然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论. (2)先证明△OAD∽△OPA,利用相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系,然后将EF=20A代入关系式即可. (3)根据题意可确定OD是△ABC的中位线,设AD=x,然后利用三角函数的知识表示出FD、OA,在Rt△AOD中,利用勾股定理解出x的值,继而能求出cos∠ACB,再由(2)可得 OA2=OD?OP,代入数据即可得出PE的长. 【解答】解:(1)连接OB, ∵PB是⊙O的切线, ∴∠PBO=90°, ∵OA=OB,BA⊥PO于D, ∴AD=BD,∠POA=∠POB, 又∵PO=PO, ∴△PAO≌△PBO(SAS), ∴∠PAO=∠PBO=90°, ∴OA⊥PA, ∴直线PA为⊙O的切线. (2)EF2=4OD?OP. 证明:∵∠PAO=∠PDA=90° ∴∠OAD+∠AOD=90°,∠OPA+∠AOP=90°, ∴∠OAD=∠OPA, ∴△OAD∽△OPA, ∴=,即OA2=OD?OP, 又∵EF=2OA, ∴EF2=4OD?OP. (3)∵OA=OC,AD=BD,BC=6, ∴OD=BC=3(三角形中位线定理), 设AD=x, ∵tan∠F=, ∴FD=2x,OA=OF=2x﹣3, 在Rt△AOD中,由勾股定理,得(2x﹣3)2=x2+32, 解之得,x1=4,x2=0(不合题意,舍去), ∴AD=4,OA=2x﹣3=5, ∵AC是⊙O直径, ∴∠ABC=90°, 又∵AC=2OA=10,BC=6, ∴cos∠ACB==. ∵OA2=OD?OP, ∴3(PE+5)=25, ∴PE=. 24.(8分)阅读下列材料: 实验数据显示,一般成人喝250毫升低度白酒后,其血液中酒精含量(毫克/百毫升)随时间的增加逐步增高达到峰值,之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低. 小带根据相关数据和学习函数的经验,对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究,发现血液中酒精含量y是时间x的函数,其中y表示血液中酒精含量(毫克/百毫升),x表示饮酒后的时间(小时). 下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y(毫克/百毫升)随饮酒后的时间x(小时)(x>0)的变化情况. 饮酒后的 时间 x ( 小时 ) … 1 2 3 4 5 6 … 血液中酒 精含量 y ( 毫克/百 毫升 ) … 150 200 150 45 … 下面是小带的探究过程,请补充完整: (1)如图,在平面直角坐标系xOy中,以上表中各对数值为坐标描点,图中已给出部分点,请你描出剩余的点,画出血液中酒精含量y随时间x变化的函数图象; (2)观察表中数据及图象可发现此函数图象在直线两侧可以用不同的函数表达式表示,请你任选其中一部分写出表达式; (3)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:30在家喝完250毫升低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由. 【分析】(1)将坐标系中的点按照自左向右的顺序用平滑的曲线顺次连接即可得; (2)由图象知x=左侧符合二次函数关系、右侧符合反比例函数关系,利用待定系数法求解可得; (3)求出反比例函数中y=20时x的值,据此可判断. 【解答】解:(1)图象如图所示, (2)由函数图象知当x>时,y与x成反比例函数关系, 设y=, 将点(5,45)代入,得:k=225, ∴y=; (3)不能. 理由如下:把y=20代入反比例函数y=得x=11.25. ∵晚上20:30经过11.25小时为第二天早上7:45, ∴第二天早上7:45以后才可以驾车上路, ∴第二天早上7:00不能驾车去上班. 25.(8分)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°.若固定△ABC,将△DEC绕点C旋转. (1)当△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上时,如图2. ①当∠B=∠E=30°时,此时旋转角的大小为 60° ; ②当∠B=∠E=α时,此时旋转角的大小为 2α (用含a的式子表示). (2)当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小杨同学猜想:△BDC的面积与△AEC的面积相等,试判断小杨同学的猜想是否正确,若正确,请你证明小杨同学的猜想.若不正确,请说明理由. 【分析】(1)①证明△ADC是等边三角形即可. ②如图2中,作CH⊥AD于H.想办法证明∠ACD=2∠B即可解决问题. (2)小扬同学猜想是正确的.过B作BN⊥CD于N,过E作EM⊥AC于M,如图3,想办法证明△CBN≌△CEM(AAS)即可解决问题. 【解答】解:(1)①∵∠B=30°,∠ACB=90°, ∴∠CAD=90°﹣30°=60°, ∵CA=CD, ∴△ACD是等边三角形, ∴∠ACD=60°, ∴旋转角为60°, 故答案为60°. ②如图2中,作CH⊥AD于H. ∵CA=CD,CH⊥AD, ∴∠ACH=∠DCH, ∵∠ACH+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°, ∴∠ACH=∠B, ∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α, ∴旋转角为2α. 故答案为2α. (2)小扬同学猜想是正确的,证明如下: 过B作BN⊥CD于N,过E作EM⊥AC于M,如图3, ∵∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°, ∴∠1=∠3, ∵BN⊥CD于N,EM⊥AC于M, ∴∠BNC=∠EMC=90°, ∵△ACB≌△DCE, ∴BC=EC, 在△CBN和△CEM中, ∠BNC=∠EMC,∠1=∠3,BC=EC, ∴△CBN≌△CEM(AAS), ∴BN=EM, ∵S△BDC=?CD?BN,S△ACE=?AC?EM, ∵CD=AC, ∴S△BDC=S△ACE. 26.(8分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A,C两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,与x轴交于另一点B. (1)求抛物线解析式及B点坐标; (2)连接BC,求△ABC的面积; (3)若点M为抛物线上一动点,连接MA、MB,当点M运动到某一位置时,△ABM面积为△ABC的面积的倍,求此时点M的坐标. 【分析】(1)利用直线y=﹣5x+5求点A、C坐标,再用待定系数法即可求抛物线解析式,进而求得点B坐标. (2)由A、B、C坐标可知AB、OC的长,根据△ABC面积等于AB与OC乘积的一半即求得答案. (3)过点M作x轴的垂线段MD,故△ABM面积等于AB与MD乘积的一半.由△ABM面积为△ABC的面积的倍列式可求得MD=OC=4,即点M纵坐标绝对值等于4.把y=4和y=﹣4分别代入抛物线解析式,解方程即求得点M的横坐标. 【解答】解:(1)∵直线y=﹣5x+5中 当x=0时,y=5 ∴C(0,5) 当y=0时,﹣5x+5=0,解得:x=1 ∴A(1,0) ∵抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点 ∴ 解得: ∴抛物线解析式为y=x2﹣6x+5 当y=0时,x2﹣6x+5=0,解得:x1=1,x2=5 ∴B(5,0) (2)∵A(1,0),B(5,0),C(0,5) ∴AB=5﹣1=4,OC=5 ∴S△ABC=AB?OC=×4×5=10 (3)如图2,过点M作MD⊥x轴于点D ∴S△ABM=AB?MD ∵△ABM面积为△ABC的面积的倍 ∴AB?MD=AB?OC ∴|yM|=MD=OC=4 当yM=4时,x2﹣6x+5=4 解得:x1=3+2,x2=3﹣2 当yM=﹣4时,x2﹣6x+5=﹣4 解得:x1=x2=3 ∴点M的坐标为(3+2,4),(3﹣2,4),(3,﹣4).

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