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2021年辽宁省沈阳市皇姑区中考数学二模试卷
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2分）如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降3m时水位变化记作（　　）
A．﹣3m B．3m C．6m D．﹣6m
2．（2分）仔细观察左图所示的两个物体，则它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2分）我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒．数3000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.3×106 B．3×107 C．3×106 D．30×105
4．（2分）下列运算正确的是（　　）
A．＝±4 B．3﹣2＝﹣ C．（ ）2＝1 D．（ ﹣1）0＝1
5．（2分）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．若a＝b，则|a|＝|b|
B．同位角相等，两直线平行
C．对顶角相等
D．若a＞0，b＞0，则a+b＞0
6．（2分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．|a|＞|b|
7．（2分）已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（　　）
A．5 B．10 C．11 D．12
8．（2分）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）
A．3 B．9 C．18 D．36
9．（2分）为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了甲、乙两类玩具，其中甲类玩具的进价比乙类玩具的进价每个多5元，经调查：用1000元购进甲类玩具的数量与用750元购进乙类玩具的数量相同．设甲类玩具的进价为x元/个，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y＝bx+c与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：5x2﹣5＝　 　．
12．（3分）抛物线y＝2x2﹣4x+5向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是　 　．
13．（3分）已知株洲市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是　 　．
14．（3分）给出一种运算：x*y＝xy（x≠0），那么*（﹣2）＝　 　．
15．（3分）如图，已知AB∥CD，∠2＝135°，则∠1的度数是　 　．
16．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为　 　．
三、（17题6分，18题，19题各8分，共22分）
17．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
18．（8分）小华有三张卡片，小明有两张卡片，卡片除正面上的数字不同外其它都相同，卡片上的数字如图所示，小华从自己的三张卡片中随机抽取一张，之后小明也从自己的两张卡片中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为7的概率．
19．（8分）为了解“停课不停学”过程中学生对网课内容的喜爱程度，某校开展了一次网上问卷调查．随机抽取部分学生，按四个类别统计，其中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取　 　名学生进行统计调查，扇形统计图中D类所在扇形的圆心角度数为　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有3000名学生，估计该校表示“喜欢”的B类学生大约有多少人？
四、（20，21题各8分，共16分）
20．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．
21．（8分）如图，小明所在的兴趣小组站在广场的E，F处，用一定高度的测角仪分别于C、D两处测得雕像顶部A的仰角分别为60°，45°，已知C，D两点的距离为27m，雕像下的基座高度BH为5m，求雕像AB的高度（精到0.1m，≈1.7）．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O直径，点E在BC的延长线上，且∠E＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE∥AC，当AB＝8，⊙O的半径为4，则DE的长为　 　．
23．（10分）如图，已知点A在x的负半轴上，点B在y的正半轴上，AO＝3，AB＝5，点P在线段AB上，从点A出发以每秒5单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t（0＜t＜1）秒，过点P作射线PQ⊥y轴于点Q．
（1）当t＝时，线段PQ的长为　 　；（直接填空）
（2）当PQ＝PA时，求t的值；
（3）在射线PQ上取点C，且始终满足PC＝PA，若△PCO是以PC为腰的等腰三角形，直接写出t的值．
六、（本题12分）
24．（12分）已知：四边形ABCD，点E在直线BC上，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在直线DE上，直线AF交直线CD于点G．
（1）如图①，当四边形ABCD为矩形时，
①求证：DA＝DE；
②若BE＝3，CE＝2，求线段AF的长．
（2）如图②，当四边形ABCD为平行四边形时，若＝，直接写出此时的值．
七、（本题12分）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+与抛物线y＝ax2+bx﹣交于点A（2，n）和点B（﹣2，k），与y轴交于点E，抛物线交y轴于点C，点P是第一象限直线AB上方抛物线上的一点，连接PA，PE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当△APE的面积等于时，设点P的横坐标为m，求m的值；
（3）将线段EC绕点E顺时针旋转得到线段EF，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接AF交线段EC于点G，∠FEC的平分线交AF于点H，当△EFH的周长最大时，直接写出点H的坐标．
2021年辽宁省沈阳市皇姑区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2分）如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降3m时水位变化记作（　　）
A．﹣3m B．3m C．6m D．﹣6m
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．
【解答】解：因为上升记为+，所以下降记为﹣，
所以水位下降3m时水位变化记作﹣3m．
故选：A．
2．（2分）仔细观察左图所示的两个物体，则它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图象判定则可．
【解答】解：圆柱和正方体的俯视图分别是圆和正方形，故选A．
3．（2分）我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒．数3000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.3×106 B．3×107 C．3×106 D．30×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3000000＝3×106，
故选：C．
4．（2分）下列运算正确的是（　　）
A．＝±4 B．3﹣2＝﹣ C．（ ）2＝1 D．（ ﹣1）0＝1
【分析】根据零指数幂：a0＝1（a≠0）；负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数），（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab分别进行计算即可．
【解答】解：A、＝4，故原题计算错误；
B、3﹣2＝，故原题计算错误；
C、（ ）2＝3+2﹣2＝5﹣2，故原题计算错误；
D、（ ﹣1）0＝1，故原题计算正确；
故选：D．
5．（2分）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．若a＝b，则|a|＝|b|
B．同位角相等，两直线平行
C．对顶角相等
D．若a＞0，b＞0，则a+b＞0
【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【解答】解：A、若a＝b，则|a|＝|b|的逆命题是若|a|＝|b|，则a＝b，逆命题是假命题，不符合题意；
B、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题是真命题，符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；
D、若a＞0，b＞0，则a+b＞0的逆命题是若a+b＞0，则a＞0，b＞0，逆命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
6．（2分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．|a|＞|b|
【分析】根据图中的点的位置即可确定a、b的正负，即可判断．
【解答】解：根据数轴可知：a＜﹣1、0＜b＜1．
∴a+b＜0．a﹣b＜0ab＜0，|a|＞|b|．
故选：D．
7．（2分）已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（　　）
A．5 B．10 C．11 D．12
【分析】根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边大于：8﹣3＝5，而小于：3+8＝11．
则此三角形的第三边可能是：10．
故选：B．
8．（2分）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）
A．3 B．9 C．18 D．36
【分析】根据正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，再根据等边三角形的边长，求出等边三角形的高，再根据面积公式即可得出答案．
【解答】解：连接OA、OB，作OG⊥AB于G，
∵等边三角形的边长是2，
∴高为3，
∴等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积是：18；
故选：C．
9．（2分）为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了甲、乙两类玩具，其中甲类玩具的进价比乙类玩具的进价每个多5元，经调查：用1000元购进甲类玩具的数量与用750元购进乙类玩具的数量相同．设甲类玩具的进价为x元/个，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】首先设甲类玩具的进价为x元/个，则乙类玩具的进价每个（x﹣5）元，由题意得等量关系：用1000元购进甲类玩具的数量＝用750元购进乙类玩具的数量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设甲类玩具的进价为x元/个，则乙类玩具的进价每个（x﹣5）元，根据题意得：
＝，
故选：A．
10．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y＝bx+c与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据抛物线，可以得到a、b、c的正负情况，从而可以得到一次函数y＝bx+c与反比例函数y＝的图象所在的位置，从而可以解答本题．
【解答】解：由抛物线y＝ax2+bx+c图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
则一次函数y＝bx+c的图象在第一、二、四象限，反比例函数y＝的图象在二、四象限，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：5x2﹣5＝　5（x+1）（x﹣1）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝5（x2﹣1）＝5（x+1）（x﹣1），
故答案为：5（x+1）（x﹣1）
12．（3分）抛物线y＝2x2﹣4x+5向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是　（2，1）　．
【分析】先写成平移前的抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移，纵坐标减解答即可．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，
∴顶点坐标为（1，3），
∵向右平移1个单位，向下平移2个单位，
∴所得抛物线的顶点坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）．
13．（3分）已知株洲市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是　15.6℃　．
【分析】根据中位数的定义解答．将这组数据从小到大重新排列，求出最中间两个数的平均数即可．
【解答】解：把这些数从小到大排列为：4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1，
最中间的两个数的平均数是（15.3+15.9）÷2＝15.6（℃），
则这六个整点时气温的中位数是15.6℃．
故答案为：15.6℃．
14．（3分）给出一种运算：x*y＝xy（x≠0），那么*（﹣2）＝　4　．
【分析】根据x*y＝xy（x≠0）和负整数指数幂，可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵x*y＝xy（x≠0），
∴*（﹣2）
＝（）﹣2
＝4，
故答案为：4．
15．（3分）如图，已知AB∥CD，∠2＝135°，则∠1的度数是　45°　．
【分析】先求出∠3的度数，再根据平行线性质得出∠1＝∠3，代入求出即可．
【解答】解：
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵∠2＝135°，
∴∠3＝180°﹣135°＝45°，
∴∠1＝45°，
故答案为：45°．
16．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为　1　．
【分析】方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
方法二：设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF＝＝，点G，H分别是EC，PC的中点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝，
∴AP＝AD﹣PD＝，
∴PE＝＝＝2，
∵点G，H分别是EC，CP的中点，
∴GH＝EP＝1；
方法二：设DF，CE交于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴BE＝CF，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠COF＝90°，
∴DF⊥CE，
∴CE＝DF＝＝，
∵点G，H分别是EC，PC的中点，
∴CG＝FH＝，
∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，
∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠FCO＝∠CDO，
∵∠DCF＝∠COF＝90°，
∴△COF∽△DOC，
∴＝，
∴CF2＝OF?DF，
∴OF＝＝＝，
∴OH＝，OD＝，
∵∠COF＝∠COD＝90°，
∴△COF∽△DCF，
∴，
∴OC2＝OF?OD，
∴OC＝＝，
∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，
∴HG＝＝＝1，
故答案为：1．
三、（17题6分，18题，19题各8分，共22分）
17．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）?（a2﹣1）
＝?（a2﹣1）
＝a2+1，
当a＝时，原式＝2+1＝3．
18．（8分）小华有三张卡片，小明有两张卡片，卡片除正面上的数字不同外其它都相同，卡片上的数字如图所示，小华从自己的三张卡片中随机抽取一张，之后小明也从自己的两张卡片中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为7的概率．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字和为7的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有6种等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字和为7的结果有3种，
∴抽取的两张卡片上的数字和为7的概率为＝．
19．（8分）为了解“停课不停学”过程中学生对网课内容的喜爱程度，某校开展了一次网上问卷调查．随机抽取部分学生，按四个类别统计，其中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取　50　名学生进行统计调查，扇形统计图中D类所在扇形的圆心角度数为　72°　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有3000名学生，估计该校表示“喜欢”的B类学生大约有多少人？
【分析】（1）利用C类人数除以所占百分比可得抽取总人数，用360°乘以D类所占的百分比，计算即可得解；
（2）根据总数计算出A类的人数，然后再补图即可；
（3）利用样本估计总体的方法计算即可．
【解答】解：（1）抽取的学生总数：12÷24%＝50（人），
360°×＝72°，
故答案为：50；72°；
（2）A类学生人数：50﹣23﹣12﹣10＝5（人），
如图所示；
（3）3000×＝1380（人），
答：该校表示“喜欢”的B类学生大约有1380人．
四、（20，21题各8分，共16分）
20．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC＝OD，再根据菱形的判定得出四边形OCED是菱形．
（2）方法一：解直角三角形求出BC＝2．AB＝2，根据矩形和菱形的性质得出，S△COD＝S矩形ABCD＝S菱形OCED，即可求出菱形的面积．
方法二：解直角三角形求出BC＝2．AB＝DC＝2，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF＝BC＝1，OE＝2OF＝2，即可求出菱形的面积．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OC＝OD，
∴?OCED是菱形；
（2）方法一：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，
∴BC＝2，AB＝2，
∵S△COD＝S矩形ABCD＝S菱形OCED，
∴S菱形OCED＝×2×2＝2．
方法二：解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，
∴BC＝2，
∴AB＝DC＝2，
如图，连接OE，交CD于点F，
∵四边形OCED为菱形，
∴F为CD中点，
∵O为BD中点，
∴OF＝BC＝1，
∴OE＝2OF＝2，
∴S菱形OCED＝×OE×CD＝×2×2＝2．
21．（8分）如图，小明所在的兴趣小组站在广场的E，F处，用一定高度的测角仪分别于C、D两处测得雕像顶部A的仰角分别为60°，45°，已知C，D两点的距离为27m，雕像下的基座高度BH为5m，求雕像AB的高度（精到0.1m，≈1.7）．
【分析】过点B作MN∥CD，交AC于M，交AD于N，设CH＝xm，则DH＝（27﹣x）m，由锐角三角函数定义求出AH＝x，再证AH＝HD，得x＝27﹣x，解得x＝，即可解决问题．
【解答】解：过点B作MN∥CD，交AC于M，交AD于N，如图所示：
设CH＝xm，则DH＝（27﹣x）m，
在Rt△ACH中，AH＝tan60°?CH＝x（m），
在Rt△ADH中，∠ADH＝45°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AH＝HD，
∴x＝27﹣x，
解得：x＝，
∴AH＝×≈17.55（m），
∴AB＝AH﹣BH＝17.55﹣5＝12.55≈12.6（m）．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O直径，点E在BC的延长线上，且∠E＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE∥AC，当AB＝8，⊙O的半径为4，则DE的长为　16　．
【分析】（1）由圆周角定理得∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，证出∠BDC+∠CDE＝90°，则∠BDE＝90°，即BD⊥DE，即可得出结论；
（2）先证出∠ACB＝∠BAC，由等腰三角形的判定得BC＝AB＝8，再由勾股定理得CD＝16，然后证△CDE∽△CBD，由相似三角形的性质得出，即可求解．
【解答】（1）证明：∵BD为⊙O直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴∠E+∠CDE＝90°，
∵∠E＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
即BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AC∥DE，
∴∠E＝∠ACB，
∵∠E＝∠BAC，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴BC＝AB＝8，
∵BD为⊙O直径，⊙O的半径为4，
∴∠BCD＝90°，BD＝8，
∴CD＝＝＝16，
由（1）得：∠BDC+∠CDE＝90°，
∵∠BDC+∠CBD＝90°，
∴∠CDE＝∠CBD，
又∵∠DCE＝∠BCD＝90°，
∴△CDE∽△CBD，
∴，
即，
解得：DE＝16．
故答案为16．
23．（10分）如图，已知点A在x的负半轴上，点B在y的正半轴上，AO＝3，AB＝5，点P在线段AB上，从点A出发以每秒5单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t（0＜t＜1）秒，过点P作射线PQ⊥y轴于点Q．
（1）当t＝时，线段PQ的长为　　；（直接填空）
（2）当PQ＝PA时，求t的值；
（3）在射线PQ上取点C，且始终满足PC＝PA，若△PCO是以PC为腰的等腰三角形，直接写出t的值．
【分析】（1）证明PQ是△AOB的中位线，可得结论．
（2）由PQ∥AO，可得＝，由此构建方程求出t即可．
（3）分两种情形：①当PA＝PB时，OP＝PA＝PC，满足条件．②当PA＝AO＝PC时，四边形AOCP是菱形，可得CP＝CO，满足条件．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，AB＝5，
∴OB＝＝＝4，
当t＝时，AP＝，
∴AP＝PB，
∵PQ⊥y轴，
∴PQ∥AO，
∴BQ＝QO，
∴PQ＝OA＝，
故答案为：．
（2）由题意，AP＝PQ＝5t．
∵PQ∥AO，
∴＝，
∴＝，
∴t＝．
（3）①当PA＝PB时，OP＝PA＝PC，满足条件，此时t＝．
②当PA＝AO＝PC时，四边形AOCP是菱形，可得CP＝CO，满足条件，此时t＝，
综上所述，满足条件的t的值为或．
六、（本题12分）
24．（12分）已知：四边形ABCD，点E在直线BC上，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在直线DE上，直线AF交直线CD于点G．
（1）如图①，当四边形ABCD为矩形时，
①求证：DA＝DE；
②若BE＝3，CE＝2，求线段AF的长．
（2）如图②，当四边形ABCD为平行四边形时，若＝，直接写出此时的值．
【分析】（1）①欲证明DA＝DE，只要证明∠DAE＝∠DEA．
②想办法求出AD，DF，利用勾股定理求解即可．
（2）如图②中，延长AG交BC的延长线于T．设BE＝3a，EC＝2a，则AD＝BC＝DE＝5a，EB＝EF＝3a，DF＝2a，由AD∥ET，推出＝＝＝，可得ET＝a，AF＝AT，CT＝ET﹣EC＝a，推出＝＝＝，设AG＝10b，GT＝11b，则AT＝21b，推出AF＝×21b＝b，由此即可解决问题．
【解答】（1）①证明：如图①中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE，
由翻折的性质可知，∠AEB＝∠AED，
∴∠DAE＝∠AED，
∴DA＝DE．
②解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∵BE＝3，EC＝2，
∴BC＝AD＝5，
∴AD＝DE＝5，
由翻折的性质可知，BE＝EF＝3，
∴DF＝DE﹣EF＝5﹣3＝2，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∴AF＝＝＝．
（2）解：如图②中，延长AG交BC的延长线于T．
设BE＝3a，EC＝2a，则AD＝BC＝DE＝5a，EB＝EF＝3a，DF＝2a，
∵AD∥ET，
∴＝＝＝，
∴＝，AF＝FT，
∴ET＝a，AF＝AT，
∴CT＝ET﹣EC＝a，
∴＝＝＝，
设AG＝10b，GT＝11b，则AT＝21b，
∴AF＝×21b＝b，
∴FG＝10b﹣b＝b，
∴＝＝．
七、（本题12分）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+与抛物线y＝ax2+bx﹣交于点A（2，n）和点B（﹣2，k），与y轴交于点E，抛物线交y轴于点C，点P是第一象限直线AB上方抛物线上的一点，连接PA，PE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当△APE的面积等于时，设点P的横坐标为m，求m的值；
（3）将线段EC绕点E顺时针旋转得到线段EF，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接AF交线段EC于点G，∠FEC的平分线交AF于点H，当△EFH的周长最大时，直接写出点H的坐标．
【分析】（1）先求出A，B的坐标，代入y＝ax2+bx﹣中，即可求得答案；
（2）如图1，过点P作PK∥y轴交直线AB于点K，设P（m，m2﹣m﹣），则K（m，﹣m+），由S△APE＝S△EPK﹣S△APK，即可求得答案；
（3）如图2，根据题意可得出∠EHF＝120°，连接CH，先证明△CEH≌△FEH，作△CEH的外接圆⊙W，点H始终在⊙W的劣弧上移动，当点H为的中点时，△CEH的周长最大，即△EFH的周长最大，此时AH⊥EC，利用三角函数定义即可求出答案．
【解答】解：（1）在直线y＝﹣x+中，
当x＝2时，y＝﹣×2+＝，
当x＝﹣2时，y＝﹣×（﹣2）+＝，
∴A（2，），B（﹣2，），
∵抛物线y＝ax2+bx﹣经过A（2，），B（﹣2，），
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣；
（2）如图1，过点P作PK∥y轴交直线AB于点K，
设P（m，m2﹣m﹣），则K（m，﹣m+），
∴PK＝m2﹣m﹣﹣（﹣m+）＝m2﹣，
∴S△APE＝S△EPK﹣S△APK
＝PK?m﹣PK?（m﹣2）
＝m2﹣，
∴m2﹣＝，
解得：m＝3或m＝﹣3，
∵P是第一象限的点，
∴m＞0，
∴m＝3；
（3）在y＝x2﹣x﹣中，令x＝0，得y＝﹣，
∴C（0，﹣），
在y＝﹣x+中，令x＝0，得y＝，
∴E（0，），
∴OE＝，EC＝﹣（﹣）＝，
∵AE＝＝，
∴AE＝EC＝EF＝，
设直线y＝﹣x+与x轴交于M，则M（3，0），
∴OM＝3，
∴tan∠MEO＝＝＝，
∴∠MEO＝60°，
∴∠BEO＝120°，
∵∠CEF＝α，
∴∠AEF＝α+60°，
∵AE＝EF，
∴∠AFE＝∠EAF＝＝60°﹣α，
∵EH平分∠FEC，
∴∠FEH＝∠CEH＝∠FEC＝α，
∴∠AHE＝∠FEH+∠AFE＝α+60°﹣α＝60°，
∴∠EHF＝120°，
如图2，连接CH，
在△CEH和△FEH中，
，
∴△CEH≌△FEH（SAS），
∴∠CHE＝∠FHE＝120°，
作△CEH的外接圆⊙W，点H始终在⊙W的劣弧上移动，
当点H为的中点时，△CEH的周长最大，即△EFH的周长最大，此时AH⊥EC，
∠EGH＝90°，∠EHG＝60°，∠HEG＝30°，EG＝GC＝，
∴GH＝EG?tan∠HEG＝?tan30°＝，EH＝2GH＝，
∴OG＝OE﹣EG＝﹣＝，
∴△CEH的周长最大值＝×2+＝，此时点H的坐标为（﹣，）．

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