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2021年山东省菏泽市牡丹区中考数学二模试卷(Word版 含解析)

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2021年山东省菏泽市牡丹区中考数学二模试卷(Word版 含解析)

2021年山东省菏泽市牡丹区中考数学二模试卷 一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置。) 1.(3分)下列各数中,比3大比4小的无理数是(  ) A.3.14 B. C. D. 2.(3分)目前世界上刻度最小的标尺是钻石标尺,它的最小刻度为0.2nm(其中1nm=10﹣9m),用科学记数法表示这个最小刻度(单位:m),结果是(  ) A.2×10﹣8m B.2×10﹣9m C.2×10﹣10m D.2×10﹣11m 3.(3分)如图所示的几何体,它的左视图是(  ) A. B. C. D. 4.(3分)如图,长方形ABCD中∠ACB=68°,请依据尺规作图的痕迹,求出∠α等于(  ) A.34° B.44° C.56° D.68° 5.(3分)当b+c=5时,关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0的根的情况为(  ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 6.(3分)如图,AB是⊙O的直径,直线DE与⊙O相切于点C,过A,B分别作AD⊥DE,BE⊥DE,垂足为点D,E,连接AC,BC,若AD=,CE=3,则的长为(  ) A. B.π C.π D.π 7.(3分)如图,已知△A1OB1与△A2OB2位似,且△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1:2,点A1的坐标为(﹣1,2),则点A2的坐标为(  ) A.(1,﹣4) B.(2,﹣4) C.(﹣4,2) D.(﹣) 8.(3分)如图(1),E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P,Q同时从点B出发,点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止,点Q沿BC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1cm/秒.设P、Q同时出发t秒时,△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图(2)(曲线OM为抛物线的一部分),则下列结论:①AD=BE=5;②cos∠ABE=;③当0<t≤5时,y=t2;④当t=秒时,△ABE∽△QBP;其中正确的结论是(  ) A.①②③ B.②③ C.①③④ D.②④ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分,请把最后结果填写在答题卡的相应区域内) 9.(3分)分解因式:ax2﹣6axy+9ay2=   . 10.(3分)已知x,y都是实数,且y=+﹣2,则yx=   . 11.(3分)若关于x的方程+=2有增根,则m的值是   . 12.(3分)如图,菱形OABC中,AB=4,∠AOC=30°,OB所在直线为反比例函数y=的对称轴,当反比例函数y=(x<0)的图象经过A、C两点时,k的值为   . 13.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P为AD边上一点,将△APB沿PB翻折,点A落在点A′处,当点A′在矩形的对角线上时,AP的长度为   . 14.(3分)如图,∠MON=60°,点A1在射线ON上,且OA1=1,过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1,在射线ON上截取A1A2,使得A1A2=A1B1;过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2,在射线ON上截取A2A3,使得A2A3=A2B2;……;按照此规律进行下去,则A2021B2021长为   . 三、解答题(本题共10个小题,共78分,把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内) 15.(6分)计算:4sin60°﹣|1﹣|+()﹣1+. 16.(6分)先化简,再求值:÷(﹣x+1),请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值. 17.(6分)已知:如图,在矩形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC上,且AE=CF,点G,H在对角线BD上,且BG=DH. (1)求证:△BFH≌△DEG; (2)连接DF,若DF=BF,则四边形EGFH是什么特殊四边形?证明你的结论. 18.(6分)如图,在路边安装路灯,灯柱BC高15m,与灯杆AB的夹角ABC为120°.路灯采用锥形灯罩,照射范围DE长为18.9m,从D、E两处测得路灯A的仰角分别为∠ADE=80.5°,∠AED=45°.求灯杆AB的长度.(参考数据:cos80.5°≈0.2,tan80.5°≈6.0) 19.(7分)第30届菏泽国际牡丹文化旅游节于4月1日至5月10日举办,主题为“赞盛世牡丹,品魅力菏泽”.为了宣传牡丹制品,某商店欲购进A、B两种牡丹制品,若购进A种牡丹制品5件,B种牡丹制品3件,共需450元;若购进A种牡丹制品10件,B种牡丹制品8件,共需1000元. (1)购进A、B两种牡丹制品每件各需多少元? (2)该商店购进足够多的A、B两种牡丹制品,在销售中发现,A种牡丹制品售价为每件80元,每天可销售100件,现在决定对A种牡丹制品在每件80元的基础上降价销售,每件每降价1元,多售出20件,该商店对A种牡丹制品降价销售后每天销量超过200件;B种牡丹制品销售状况良好,每天可获利7000元,为使销售A、B两种牡丹制品每天总获利为10000元,A种牡丹制品每件降价多少元? 20.(7分)如图,在平面直角坐标系中,将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点C坐标为(﹣1,0),tan∠ACO=2.一次函数y=kx+b的图象经过点B、C,反比例函数y=的图象经过点B. (1)求一次函数和反比例函数的关系式; (2)直接写出当x<0时,kx+b﹣<0的解集; (3)在x轴上找一点M,使得AM+BM的值最小,并求出点M的坐标和AM+BM的最小值. 21.(10分)“校园安全”受到全社会的关注,菏泽市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图,请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题: (1)接受问卷调查的学生共有   人,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为   °; (2)请补全条形统计图; (3)若该中学共有学生900人,请根据上述调查结果,估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数; (4)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛,请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率. 22.(10分)如图,在△ABC中,∠C=90°.∠ABC的平分线交AC于点E,点F在AB上,以BF为直径的⊙O恰好经过点E. (1)求证:AC是⊙O的切线; (2)若AE=2AF=4,求BC的长. 23.(10分)已知:如图1所示将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的∠B重合,连接AN、CM,E是AN的中点,连接BE. [观察猜想] (1)CM与BE的数量关系是   ;CM与BE的位置关系是   ; [探究证明] (2)如图2所示,把三角板BMN绕点B逆时针旋转α(0°<α<90°),其他条件不变,线段CM与BE的关系是否仍然成立,并说明理由; [拓展延伸] (3)若旋转角α=45°,且∠NBE=2∠ABE,求的值. 24.(10分)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)和B(3,0),与y轴交于点C (1)求抛物线的表达式; (2)如图1,若点F在线段OC上,且OF=OA,经过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点D,与线段BC交于点E,求的最大值; (3)如图2,若P为抛物线的顶点,动点Q在抛物线上,当∠QCO=∠PBC时,请直接写出点Q的坐标. 2021年山东省菏泽市牡丹区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置。) 1.(3分)下列各数中,比3大比4小的无理数是(  ) A.3.14 B. C. D. 【分析】由于带根号的要开不尽方是无理数,无限不循环小数为无理数,根据无理数的定义即可求解. 【解答】解:3=,4=, A、3.14是有理数,故此选项不合题意; B、是有理数,故此选项不符合题意; C、是比3大比4小的无理数,故此选项符合题意; D、比4大的无理数,故此选项不合题意; 故选:C. 2.(3分)目前世界上刻度最小的标尺是钻石标尺,它的最小刻度为0.2nm(其中1nm=10﹣9m),用科学记数法表示这个最小刻度(单位:m),结果是(  ) A.2×10﹣8m B.2×10﹣9m C.2×10﹣10m D.2×10﹣11m 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂,指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 【解答】解:0.2nm=0.2×10﹣9m=2×10﹣10m. 故选:C. 3.(3分)如图所示的几何体,它的左视图是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案. 【解答】解:从左边看是等宽的上下两个矩形,上边的矩形小,下边的矩形大,两矩形的公共边是虚线, 故选:D. 4.(3分)如图,长方形ABCD中∠ACB=68°,请依据尺规作图的痕迹,求出∠α等于(  ) A.34° B.44° C.56° D.68° 【分析】根据线段的垂直平分线的性质,角平分线的定义,三角形内角和定理解决问题即可. 【解答】解:如图,由作图可知,EF垂直平分线段AC,AE平分∠DAC, ∴∠AOE=90°,∠EAC=∠ACB=34°, ∴α=∠AEO=90°﹣34°=56°, 故选:C. 5.(3分)当b+c=5时,关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0的根的情况为(  ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 【分析】由b+c=5可得出c=5﹣b,根据方程的系数结合根的判别式可得出△=(b﹣6)2+24,由偶次方的非负性可得出(b﹣6)2+24>0,即△>0,由此即可得出关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0有两个不相等的实数根. 【解答】解:∵b+c=5, ∴c=5﹣b. △=b2﹣4×3×(﹣c)=b2+12c=b2﹣12b+60=(b﹣6)2+24. ∵(b﹣6)2≥0, ∴(b﹣6)2+24>0, ∴△>0, ∴关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0有两个不相等的实数根. 故选:A. 6.(3分)如图,AB是⊙O的直径,直线DE与⊙O相切于点C,过A,B分别作AD⊥DE,BE⊥DE,垂足为点D,E,连接AC,BC,若AD=,CE=3,则的长为(  ) A. B.π C.π D.π 【分析】根据切线的性质求得∠ACD=30°,解直角三角形求得半径,根据圆周角定理求得∠AOC=60°,根据弧长公式求得即可. 【解答】解:连接OC, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∵直线DE与⊙O相切于点C, ∴OC⊥DE, ∵AD⊥DE,BE⊥DE, ∴AD∥OC∥BE, ∵OA=OB, ∴DC=CE=3, ∵AD=, ∴tan∠ACD==, ∴∠ACD=30°, ∴∠ACO=90°﹣30°=60°, ∵OA=OC, ∴△AOC是等边三角形, ∴OA=AC, ∵AC===2 ∴⊙O的半径为2, ∴的长为:=π, 故选:D. 7.(3分)如图,已知△A1OB1与△A2OB2位似,且△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1:2,点A1的坐标为(﹣1,2),则点A2的坐标为(  ) A.(1,﹣4) B.(2,﹣4) C.(﹣4,2) D.(﹣) 【分析】利用相似的性质得到△A1OB1与△A2OB2的位似之比为1:2,然后把点A1的横纵坐标分别乘以﹣2得到点A2的坐标. 【解答】解:∵△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1:2, ∴△A1OB1与△A2OB2的位似之比为1:2, 而点A1的坐标为(﹣1,2), ∴点A2的坐标为(2,﹣4). 故选:B. 8.(3分)如图(1),E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P,Q同时从点B出发,点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止,点Q沿BC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1cm/秒.设P、Q同时出发t秒时,△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图(2)(曲线OM为抛物线的一部分),则下列结论:①AD=BE=5;②cos∠ABE=;③当0<t≤5时,y=t2;④当t=秒时,△ABE∽△QBP;其中正确的结论是(  ) A.①②③ B.②③ C.①③④ D.②④ 【分析】根据图(2)可以判断三角形的面积变化分为三段,可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C,从而得到BC、BE的长度,再根据M、N是从5秒到7秒,可得ED的长度,然后表示出AE的长度,根据勾股定理求出AB的长度,然后针对各结论分析解答即可. 【解答】解:根据图(2)可得,当点P到达点E时点Q到达点C, ∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒, ∴BC=BE=5, ∴AD=BE=5,故①正确; ∵从M到N的变化是2, ∴ED=2, ∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3, 在Rt△ABE中,AB===4, ∴cos∠ABE==,故②错误; 过点P作PF⊥BC于点F, ∵AD∥BC, ∴∠AEB=∠PBF, ∴sin∠PBF=sin∠AEB==, ∴PF=PBsin∠PBF=t, ∴当0<t≤5时,y=BQ?PF=t?t=t2,故③正确; 当t=秒时,点P在CD上,此时,PD=﹣BE﹣ED=﹣5﹣2=, PQ=CD﹣PD=4﹣=, ∵=,==, ∴=, 又∵∠A=∠Q=90°, ∴△ABE∽△QBP,故④正确. 综上所述,正确的有①③④. 故选:C. 二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分,请把最后结果填写在答题卡的相应区域内) 9.(3分)分解因式:ax2﹣6axy+9ay2= a(x﹣3y)2 . 【分析】首先提公因式a,然后利用完全平方公式分解. 【解答】解:原式=a(x2﹣6xy+9y2) =a(x﹣3y)2. 故答案是:a(x﹣3y)2. 10.(3分)已知x,y都是实数,且y=+﹣2,则yx= ﹣8 . 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案. 【解答】解:y=+﹣2, 则x=3, 故y=﹣2, 则yx=(﹣2)3=﹣8. 故答案为:﹣8. 11.(3分)若关于x的方程+=2有增根,则m的值是 0 . 【分析】方程两边都乘以最简公分母(x﹣2),把分式方程化为整式方程,再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值,然后代入进行计算即可求出m的值. 【解答】解:方程两边都乘以(x﹣2)得, 2﹣x﹣m=2(x﹣2), ∵分式方程有增根, ∴x﹣2=0, 解得x=2, ∴2﹣2﹣m=2(2﹣2), 解得m=0. 故答案为:0. 12.(3分)如图,菱形OABC中,AB=4,∠AOC=30°,OB所在直线为反比例函数y=的对称轴,当反比例函数y=(x<0)的图象经过A、C两点时,k的值为 ﹣4 . 【分析】作CD⊥x轴于D,根据菱形的性质得出∠BOC=15°,由OB所在直线为反比例函数y=的对称轴,得出∠BOD=45°,即可求得∠COD=30°,解直角三角形求得OD=2,CD=2,即可求得C(﹣2,2),代入y=(x<0)即可求得k的值. 【解答】解:作CD⊥x轴于D, ∵菱形OABC中,∠AOC=30°, ∴∠BOC=15°, ∵OB所在直线为反比例函数y=的对称轴, ∴∠BOD=45°, ∴∠COD=30°, ∵OC=AB=4, ∴OD=OC=2,CD=OC=2, ∴C(﹣2,2), ∵反比例函数y=(x<0)的图象经过C点, ∴k=﹣2×2=﹣4, 故答案为﹣4. 13.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P为AD边上一点,将△APB沿PB翻折,点A落在点A′处,当点A′在矩形的对角线上时,AP的长度为 或 . 【分析】本题分点A′在对角线BD上和在对角线AC上两种情况,分别画出图形,利用三角函数或者相似列方程即可求解. 【解答】解:①如图,当点A′落在BD上时,由折叠得△BAP≌△BA′P, ∴∠BA′P=∠BAP=90°,AP=A′P, 则∠PA′D=90°, 在△PA′D中,sin∠PDA′=, 在△BAD中, sin∠A′DP=, 设AP=A′P=a,则PD=4﹣a, ∴, 解得a=. ②如图,当点A落在AC上时, 由翻折知,直线BP是A与A′对称轴, ∴BP⊥AA′, 令BP交AA′于点E,则∠AEB=90°, ∴∠EAP+∠APE=90° ∵∠ABP+∠APE=90°, ∴∠A=∠EAP, ∴tan∠ABP==tan∠EAP=, 即, 解得:AP=. 综上所述,AP的长度是或. 14.(3分)如图,∠MON=60°,点A1在射线ON上,且OA1=1,过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1,在射线ON上截取A1A2,使得A1A2=A1B1;过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2,在射线ON上截取A2A3,使得A2A3=A2B2;……;按照此规律进行下去,则A2021B2021长为 2020 . 【分析】解直角三角形求出A1B1,A2B2,A3B3,A4B4……,探究规律利用规律即可解决问题. 【解答】解:在Rt△OA1B1中, ∵∠MON=60°,OA1=1, ∴A1A2=A1B1=OA1?tan60°=, ∵A1B1∥A2B2, ∴=, ∴=, ∴A2B2=, 同理可得,A3B3=2, A4B4==3, …, 由此规律可知A2021B2021=2020, 故答案为:2020. 三、解答题(本题共10个小题,共78分,把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内) 15.(6分)计算:4sin60°﹣|1﹣|+()﹣1+. 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案. 【解答】解:原式=4×﹣(﹣1)+3﹣3 =2﹣+1+3﹣3 =+1. 16.(6分)先化简,再求值:÷(﹣x+1),请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值. 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简,利用解一元一次不等式组的解法解出不等式组,把符合题意的x的值代入计算即可. 【解答】解:原式=÷(﹣) =÷ =? =﹣, , 解①得,x≤2, 解②得,x≥﹣2, 则不等式组的解集为﹣2≤x≤2,其中整数解是﹣2、﹣1、0、1、2, 由分式可知,x≠±2、﹣1, 当x=0时,原式=﹣=1. 17.(6分)已知:如图,在矩形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC上,且AE=CF,点G,H在对角线BD上,且BG=DH. (1)求证:△BFH≌△DEG; (2)连接DF,若DF=BF,则四边形EGFH是什么特殊四边形?证明你的结论. 【分析】(1)证∠FBH=∠EDG,DE=BF,BH=DG,由SAS即可得出结论; (2)连接EF交GH于O,由全等三角形的性质得出FH=EG,∠BHF=∠DGE,证出FH∥EG,得出四边形EGFH是平行四边形,由等腰三角形的性质得出EF⊥GH,即可得出四边形EGFH是菱形. 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC,AD∥BC, ∴∠FBH=∠EDG, ∵AE=CF,BG=DH, ∴DE=BF,BH=DG, 在△BFH和△DEG中,, ∴△BFH≌△DEG(SAS); (2)解:若DF=BF,则四边形EGFH是菱形;理由如下: 连接EF交GH于O,如图: 由(1)得:△BFH≌△DEG, ∴FH=EG,∠BHF=∠DGE, ∴FH∥EG, ∴四边形EGFH是平行四边形, ∴OG=OH, ∵BG=DH, ∴OB=OD, ∵DF=BF, ∴EF⊥GH, ∴四边形EGFH是菱形. 18.(6分)如图,在路边安装路灯,灯柱BC高15m,与灯杆AB的夹角ABC为120°.路灯采用锥形灯罩,照射范围DE长为18.9m,从D、E两处测得路灯A的仰角分别为∠ADE=80.5°,∠AED=45°.求灯杆AB的长度.(参考数据:cos80.5°≈0.2,tan80.5°≈6.0) 【分析】过点A作AF⊥CE,点B作BG⊥AF,根据正切的概念求出DF,列方程求出AF,根据正弦的概念计算即可. 【解答】解:过点A作AF⊥CE,交CE于点F. 设AF的长度为xm. ∵∠AED=45°, ∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AF=x. 在Rt△ADF中,∵tan∠ADF=, ∴DF===. ∵DE=18.9, ∴+x=18.9, 解得x=16.2, 过点B作BG⊥AF,交AF于点G, 则BC=GF=15,∠CBG=90°. ∴AG=AF﹣GF=16.2﹣15=1.2, ∵∠ABC=120°, ∴∠ABG=∠ABC﹣∠CBG=120°﹣90°=30°. 在Rt△ABG中, ∵sin∠ABG=, ∴AB===2.4, 答:灯杆AB的长度为2.4 m. 19.(7分)第30届菏泽国际牡丹文化旅游节于4月1日至5月10日举办,主题为“赞盛世牡丹,品魅力菏泽”.为了宣传牡丹制品,某商店欲购进A、B两种牡丹制品,若购进A种牡丹制品5件,B种牡丹制品3件,共需450元;若购进A种牡丹制品10件,B种牡丹制品8件,共需1000元. (1)购进A、B两种牡丹制品每件各需多少元? (2)该商店购进足够多的A、B两种牡丹制品,在销售中发现,A种牡丹制品售价为每件80元,每天可销售100件,现在决定对A种牡丹制品在每件80元的基础上降价销售,每件每降价1元,多售出20件,该商店对A种牡丹制品降价销售后每天销量超过200件;B种牡丹制品销售状况良好,每天可获利7000元,为使销售A、B两种牡丹制品每天总获利为10000元,A种牡丹制品每件降价多少元? 【分析】(1)设购进A种牡丹制品每件需x元,B种牡丹制品每件需y元,根据单价乘以件数,把两种商品的费用相加得总费用,列二元一次方程组求解即可; (2)设A种牡丹制品每件降价m元,则根据“每件每降价1元,多售出20件,该商店对A种商品降价销售后每天销量超过200件”,可得100+20m>200;再由题意可得A的利润为(80﹣60﹣m)(20m+100);结合B每天可获利7000元,A,B两种商品每天获利10000元,列方程即可求出m的值. 【解答】解:(1)设购进A种牡丹制品每件需x元,B种牡丹制品每件需y元, 则由题意得:, 解得:, 答:购进A种牡丹制品每件需60元,B种牡丹制品每件需50元; (2)设种牡丹制品每件降价m元, 则由题意得:, 化简得:, ∴m=10, 答:A种牡丹制品每件降价10元. 20.(7分)如图,在平面直角坐标系中,将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点C坐标为(﹣1,0),tan∠ACO=2.一次函数y=kx+b的图象经过点B、C,反比例函数y=的图象经过点B. (1)求一次函数和反比例函数的关系式; (2)直接写出当x<0时,kx+b﹣<0的解集; (3)在x轴上找一点M,使得AM+BM的值最小,并求出点M的坐标和AM+BM的最小值. 【分析】(1)在Rt△AOC中求出AC的长度,然后求出sin∠CAO的值,过点B作BF⊥x轴于点F,由∠BCF=∠CAO,可求出BF,继而得出FC,从而求得点B的坐标,利用待定系数法可求出一次函数和反比例函数的关系式; (2)不等式的含义为:当x<0时,求出一次函数值y=kx+b小于反比例函数y=的x的取值范围,结合图形即可直接写出答案. (3)根据轴对称的性质,找到点A关于x的对称点A′,连接BA′,则BA′与x轴的交点即为点M的位置,求出直线BA′的解析式,可得出点M的坐标,根据B、A′的坐标可求出AM+BM的最小值. 【解答】解:(1)过点B作BF⊥x轴于点F, 在Rt△AOC中,AC==,则sin∠CAO==, ∵∠BCA=90°, ∴∠BCF+∠ACO=90°, 又∵∠CAO+∠ACO=90°, ∴∠BCF=∠CAO, ∴sin∠BCF=sin∠CAO==, ∴BF=1, ∴CF==2, ∴点B的坐标为(﹣3,1), 将点B的坐标代入反比例函数解析式可得:1=, 解得:k=﹣3, 故可得反比例函数解析式为y=﹣; 将点B、C的坐标代入一次函数解析式可得:, 解得:. 故可得一次函数解析式为y=﹣x﹣. (2)结合点B的坐标及图象,可得当x<0时,kx+b﹣<0的解集为:﹣3<x<0; (3)作点A关于x轴的对称点A′,连接 B A′与x轴 的交点即为点M, 设直线BA′的解析式为y=ax+b,将点A′及点B的坐标代入可得:, 解得:. 故直线BA′的解析式为y=﹣x﹣2, 令y=0,可得﹣x﹣2=0, 解得:x=﹣2, 故点M 的坐标为(﹣2,0), AM+BM=BM+MA′=BA′==3. 综上可得:点M的坐标为(﹣2,0),AM+BM的最小值为3. 21.(10分)“校园安全”受到全社会的关注,菏泽市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图,请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题: (1)接受问卷调查的学生共有 60 人,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 90 °; (2)请补全条形统计图; (3)若该中学共有学生900人,请根据上述调查结果,估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数; (4)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛,请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率. 【分析】(1)根据了解很少的人数和所占的百分百求出抽查的总人数,再用“基本了解”所占的百分比乘以360°,即可求出“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的度数; (2)用调查的总人数减去“基本了解”“了解很少”和“基本了解”的人数,求出了解的人数,从而补全统计图; (3)根据了解和基本了解共占的百分百乘以900即可求出抽查的总人数; (4)根据题意先画出树状图,再根据概率公式即可得出答案; 【解答】解:(1)接受问卷调查的学生共有:30÷50%=60(人) 扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为=90°, 故答案为:60,90; (2)补全条形统计图如图所示: (3)根据题意得:900×=300(人), 则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人. (4)列表法如图所示: 则所有等可能的情况有20种,其中选中1个男生和1个女生的情况有12种, 所以恰好抽到1个男生和1个女生的概率:P==. 22.(10分)如图,在△ABC中,∠C=90°.∠ABC的平分线交AC于点E,点F在AB上,以BF为直径的⊙O恰好经过点E. (1)求证:AC是⊙O的切线; (2)若AE=2AF=4,求BC的长. 【分析】(1)连接OE,由等腰三角形的性质得出∠OBE=∠OEB,由角平分线的性质得出∠OBE=∠CBE,得出OE∥BC,则可得出OE⊥AC,则可得出结论; (2)由勾股定理求出OE=OF=3,证明△OEA∽△BCA,得出比例线段,则可得出答案. 【解答】(1)证明:连接OE, ∵OE=OB, ∴∠OBE=∠OEB, ∵BE平分∠CBA, ∴∠OBE=∠CBE, ∴∠OEB=∠CBE, ∴OE∥BC, ∵∠C=90°, ∴∠OEA=90°,即OE⊥AC, ∵OE为半径, ∴AC是⊙O的切线; (2)解:∵AE=2AF=4, ∴AF=2, 设⊙O的半径为R, 则OE=OF=R, 在Rt△AEO中,由勾股定理得:OA2=AE2+OE2, 即(R+2)2=42+R2, 解得:R=3, ∴BF=6, ∴OA=OF+AF=5, ∵∠C=∠OEA=90°, ∴OE∥BC, ∴△OEA∽△BCA, ∴, ∴, ∴BC=. 23.(10分)已知:如图1所示将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的∠B重合,连接AN、CM,E是AN的中点,连接BE. [观察猜想] (1)CM与BE的数量关系是 CM=2BE ;CM与BE的位置关系是 相互垂直 ; [探究证明] (2)如图2所示,把三角板BMN绕点B逆时针旋转α(0°<α<90°),其他条件不变,线段CM与BE的关系是否仍然成立,并说明理由; [拓展延伸] (3)若旋转角α=45°,且∠NBE=2∠ABE,求的值. 【分析】(1)设证明△ABN≌△CBM(SAS),由点E是AN的中点,得到BE=AN=CM,进而求解; (2)证明△AEF≌△NEB(SAS)和△FAB≌△MBC(SAS),得到CM=BF=2BE,∠BCM=∠ABF,进而求解; (3)证明∠BMC=30°,过点C作CG⊥MB于点G,设CG=m,则BC=m,MG=m,则MB=BN=m﹣m,即可求解. 【解答】解:(1)设AN交CM于点H, ∵△BMN为等腰直角三角形, ∴BM=BN, ∵AB=BC,∠ABN=∠CBM=90°, ∴△ABN≌△CBM(SAS), ∴AN=CM,∠BAN=∠BCM, ∵点E是AN的中点,则BE=AN=CM,即CM=2BE, ∴∠EBN=∠ENB, ∴∠HBC+∠HCB=∠ANB+∠BNA=90°, 即CM⊥BE, 故答案为:CM=2BE,相互垂直; (2)CM=2BE,CM⊥BE,仍然成立. 如图所示,延长BE至F使EF=BE,连接AF, ∵AE=EN,∠AEF=∠NEB, ∴△AEF≌△NEB(SAS), ∴AF=BN,∠F=∠EBN, ∴AF∥BN,AF=BM, ∴∠FAB+∠ABN=180°, 而∠MBC+∠ABN=∠ABC+∠ABM+∠ABN=90°+90°=180°, ∴∠FAB=∠MBC, ∵AB=BC,BM=BN=AF, ∴△FAB≌△MBC(SAS), ∴CM=BF=2BE,∠BCM=∠ABF, ∵∠ABF+∠FBC=90°, ∴∠BCM+∠FBC=90°, ∴BE⊥CM; (3)由α=45°得∠MBA=∠ABN=45°, ∵∠NBE=2∠ABE,则∠ABE=15°, 由(2)知∠MCB=∠ABE=15°,∠MBC=135°, ∴∠BMC=30°, 过点C作CG⊥MB于点G,设CG=m,则BC=m,MG=m, ∴MB=BN=m﹣m, ∴=. 24.(10分)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)和B(3,0),与y轴交于点C (1)求抛物线的表达式; (2)如图1,若点F在线段OC上,且OF=OA,经过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点D,与线段BC交于点E,求的最大值; (3)如图2,若P为抛物线的顶点,动点Q在抛物线上,当∠QCO=∠PBC时,请直接写出点Q的坐标. 【分析】(1)函数的表达式为:y=﹣(x+1)(x﹣3),即可求解; (2)作DN∥CF,则==(﹣x2+2x+3+x﹣3),即可求解; (3)△PBC为直角三角形,tan∠PBC==,当∠QCO=∠PBC时,tan∠QCO=tan=,即可求解. 【解答】解:(1)函数的表达式为:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3; (2)过点D作y轴的平行线交BC于点N, 将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得: 函数BC表达式为:y=﹣x+3, OF=OA=1,则点F(0,1),CF=2, 设点D(x,﹣x2+2x+3),则点N(x,﹣x+3), DN∥CF,则==(﹣x2+2x+3+x﹣3)=﹣x2+x, ∵﹣0,则有最大值,此时x=, 的最大值为; (3)连接PC,点P坐标(1,4), 则PC=,PB=,BC=, 则△PBC为直角三角形,tan∠PBC==, 过点Q作QH⊥y轴于点H, 设点Q(x,﹣x2+2x+3), 则tan∠HCQ=tan=, 解得:x=0或5或﹣1(舍去0), 故点Q(﹣1,0)或(5,﹣12).

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