2021年山东省菏泽市牡丹区中考数学二模试卷（Word版 含解析）

2021年山东省菏泽市牡丹区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置。） 1．（3分）下列各数中，比3大比4小的无理数是（　　） A．3.14 B． C． D． 2．（3分）目前世界上刻度最小的标尺是钻石标尺，它的最小刻度为0.2nm（其中1nm＝10﹣9m），用科学记数法表示这个最小刻度（单位：m），结果是（　　） A．2×10﹣8m B．2×10﹣9m C．2×10﹣10m D．2×10﹣11m 3．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，长方形ABCD中∠ACB＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于（　　） A．34° B．44° C．56° D．68° 5．（3分）当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（　　） A． B．π C．π D．π 7．（3分）如图，已知△A1OB1与△A2OB2位似，且△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，点A1的坐标为（﹣1，2），则点A2的坐标为（　　） A．（1，﹣4） B．（2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（﹣） 8．（3分）如图（1），E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②cos∠ABE＝；③当0＜t≤5时，y＝t2；④当t＝秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请把最后结果填写在答题卡的相应区域内） 9．（3分）分解因式：ax2﹣6axy+9ay2＝　 　． 10．（3分）已知x，y都是实数，且y＝+﹣2，则yx＝　 　． 11．（3分）若关于x的方程+＝2有增根，则m的值是　 　． 12．（3分）如图，菱形OABC中，AB＝4，∠AOC＝30°，OB所在直线为反比例函数y＝的对称轴，当反比例函数y＝（x＜0）的图象经过A、C两点时，k的值为　 　． 13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为AD边上一点，将△APB沿PB翻折，点A落在点A′处，当点A′在矩形的对角线上时，AP的长度为　 　． 14．（3分）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；……；按照此规律进行下去，则A2021B2021长为　 　． 三、解答题（本题共10个小题，共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 15．（6分）计算：4sin60°﹣|1﹣|+（）﹣1+． 16．（6分）先化简，再求值：÷（﹣x+1），请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值． 17．（6分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，点G，H在对角线BD上，且BG＝DH． （1）求证：△BFH≌△DEG； （2）连接DF，若DF＝BF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论． 18．（6分）如图，在路边安装路灯，灯柱BC高15m，与灯杆AB的夹角ABC为120°．路灯采用锥形灯罩，照射范围DE长为18.9m，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为∠ADE＝80.5°，∠AED＝45°．求灯杆AB的长度．（参考数据：cos80.5°≈0.2，tan80.5°≈6.0） 19．（7分）第30届菏泽国际牡丹文化旅游节于4月1日至5月10日举办，主题为“赞盛世牡丹，品魅力菏泽”．为了宣传牡丹制品，某商店欲购进A、B两种牡丹制品，若购进A种牡丹制品5件，B种牡丹制品3件，共需450元；若购进A种牡丹制品10件，B种牡丹制品8件，共需1000元． （1）购进A、B两种牡丹制品每件各需多少元？ （2）该商店购进足够多的A、B两种牡丹制品，在销售中发现，A种牡丹制品售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对A种牡丹制品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对A种牡丹制品降价销售后每天销量超过200件；B种牡丹制品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售A、B两种牡丹制品每天总获利为10000元，A种牡丹制品每件降价多少元？ 20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（﹣1，0），tan∠ACO＝2．一次函数y＝kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y＝的图象经过点B． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集； （3）在x轴上找一点M，使得AM+BM的值最小，并求出点M的坐标和AM+BM的最小值． 21．（10分）“校园安全”受到全社会的关注，菏泽市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有　 　人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为　 　°； （2）请补全条形统计图； （3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数； （4）若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率． 22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．∠ABC的平分线交AC于点E，点F在AB上，以BF为直径的⊙O恰好经过点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若AE＝2AF＝4，求BC的长． 23．（10分）已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的∠B重合，连接AN、CM，E是AN的中点，连接BE． [观察猜想] （1）CM与BE的数量关系是　 　；CM与BE的位置关系是　 　； [探究证明] （2）如图2所示，把三角板BMN绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其他条件不变，线段CM与BE的关系是否仍然成立，并说明理由； [拓展延伸] （3）若旋转角α＝45°，且∠NBE＝2∠ABE，求的值． 24．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，若点F在线段OC上，且OF＝OA，经过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点D，与线段BC交于点E，求的最大值； （3）如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO＝∠PBC时，请直接写出点Q的坐标． 2021年山东省菏泽市牡丹区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置。） 1．（3分）下列各数中，比3大比4小的无理数是（　　） A．3.14 B． C． D． 【分析】由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解． 【解答】解：3＝，4＝， A、3.14是有理数，故此选项不合题意； B、是有理数，故此选项不符合题意； C、是比3大比4小的无理数，故此选项符合题意； D、比4大的无理数，故此选项不合题意； 故选：C． 2．（3分）目前世界上刻度最小的标尺是钻石标尺，它的最小刻度为0.2nm（其中1nm＝10﹣9m），用科学记数法表示这个最小刻度（单位：m），结果是（　　） A．2×10﹣8m B．2×10﹣9m C．2×10﹣10m D．2×10﹣11m 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.2nm＝0.2×10﹣9m＝2×10﹣10m． 故选：C． 3．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看是等宽的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线， 故选：D． 4．（3分）如图，长方形ABCD中∠ACB＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于（　　） A．34° B．44° C．56° D．68° 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理解决问题即可． 【解答】解：如图，由作图可知，EF垂直平分线段AC，AE平分∠DAC， ∴∠AOE＝90°，∠EAC＝∠ACB＝34°， ∴α＝∠AEO＝90°﹣34°＝56°， 故选：C． 5．（3分）当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【分析】由b+c＝5可得出c＝5﹣b，根据方程的系数结合根的判别式可得出△＝（b﹣6）2+24，由偶次方的非负性可得出（b﹣6）2+24＞0，即△＞0，由此即可得出关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0有两个不相等的实数根． 【解答】解：∵b+c＝5， ∴c＝5﹣b． △＝b2﹣4×3×（﹣c）＝b2+12c＝b2﹣12b+60＝（b﹣6）2+24． ∵（b﹣6）2≥0， ∴（b﹣6）2+24＞0， ∴△＞0， ∴关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0有两个不相等的实数根． 故选：A． 6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（　　） A． B．π C．π D．π 【分析】根据切线的性质求得∠ACD＝30°，解直角三角形求得半径，根据圆周角定理求得∠AOC＝60°，根据弧长公式求得即可． 【解答】解：连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵直线DE与⊙O相切于点C， ∴OC⊥DE， ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴AD∥OC∥BE， ∵OA＝OB， ∴DC＝CE＝3， ∵AD＝， ∴tan∠ACD＝＝， ∴∠ACD＝30°， ∴∠ACO＝90°﹣30°＝60°， ∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴OA＝AC， ∵AC＝＝＝2 ∴⊙O的半径为2， ∴的长为：＝π， 故选：D． 7．（3分）如图，已知△A1OB1与△A2OB2位似，且△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，点A1的坐标为（﹣1，2），则点A2的坐标为（　　） A．（1，﹣4） B．（2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（﹣） 【分析】利用相似的性质得到△A1OB1与△A2OB2的位似之比为1：2，然后把点A1的横纵坐标分别乘以﹣2得到点A2的坐标． 【解答】解：∵△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2， ∴△A1OB1与△A2OB2的位似之比为1：2， 而点A1的坐标为（﹣1，2）， ∴点A2的坐标为（2，﹣4）． 故选：B． 8．（3分）如图（1），E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②cos∠ABE＝；③当0＜t≤5时，y＝t2；④当t＝秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 【分析】根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各结论分析解答即可． 【解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒， ∴BC＝BE＝5， ∴AD＝BE＝5，故①正确； ∵从M到N的变化是2， ∴ED＝2， ∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3， 在Rt△ABE中，AB＝＝＝4， ∴cos∠ABE＝＝，故②错误； 过点P作PF⊥BC于点F， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠PBF， ∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝， ∴PF＝PBsin∠PBF＝t， ∴当0＜t≤5时，y＝BQ?PF＝t?t＝t2，故③正确； 当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝， PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝， ∵＝，＝＝， ∴＝， 又∵∠A＝∠Q＝90°， ∴△ABE∽△QBP，故④正确． 综上所述，正确的有①③④． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请把最后结果填写在答题卡的相应区域内） 9．（3分）分解因式：ax2﹣6axy+9ay2＝　a（x﹣3y）2　． 【分析】首先提公因式a，然后利用完全平方公式分解． 【解答】解：原式＝a（x2﹣6xy+9y2） ＝a（x﹣3y）2． 故答案是：a（x﹣3y）2． 10．（3分）已知x，y都是实数，且y＝+﹣2，则yx＝　﹣8　． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案． 【解答】解：y＝+﹣2， 则x＝3， 故y＝﹣2， 则yx＝（﹣2）3＝﹣8． 故答案为：﹣8． 11．（3分）若关于x的方程+＝2有增根，则m的值是　0　． 【分析】方程两边都乘以最简公分母（x﹣2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值． 【解答】解：方程两边都乘以（x﹣2）得， 2﹣x﹣m＝2（x﹣2）， ∵分式方程有增根， ∴x﹣2＝0， 解得x＝2， ∴2﹣2﹣m＝2（2﹣2）， 解得m＝0． 故答案为：0． 12．（3分）如图，菱形OABC中，AB＝4，∠AOC＝30°，OB所在直线为反比例函数y＝的对称轴，当反比例函数y＝（x＜0）的图象经过A、C两点时，k的值为　﹣4　． 【分析】作CD⊥x轴于D，根据菱形的性质得出∠BOC＝15°，由OB所在直线为反比例函数y＝的对称轴，得出∠BOD＝45°，即可求得∠COD＝30°，解直角三角形求得OD＝2，CD＝2，即可求得C（﹣2，2），代入y＝（x＜0）即可求得k的值． 【解答】解：作CD⊥x轴于D， ∵菱形OABC中，∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝15°， ∵OB所在直线为反比例函数y＝的对称轴， ∴∠BOD＝45°， ∴∠COD＝30°， ∵OC＝AB＝4， ∴OD＝OC＝2，CD＝OC＝2， ∴C（﹣2，2）， ∵反比例函数y＝（x＜0）的图象经过C点， ∴k＝﹣2×2＝﹣4， 故答案为﹣4． 13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为AD边上一点，将△APB沿PB翻折，点A落在点A′处，当点A′在矩形的对角线上时，AP的长度为　或　． 【分析】本题分点A′在对角线BD上和在对角线AC上两种情况，分别画出图形，利用三角函数或者相似列方程即可求解． 【解答】解：①如图，当点A′落在BD上时，由折叠得△BAP≌△BA′P， ∴∠BA′P＝∠BAP＝90°，AP＝A′P， 则∠PA′D＝90°， 在△PA′D中，sin∠PDA′＝， 在△BAD中， sin∠A′DP＝， 设AP＝A′P＝a，则PD＝4﹣a， ∴， 解得a＝． ②如图，当点A落在AC上时， 由翻折知，直线BP是A与A′对称轴， ∴BP⊥AA′， 令BP交AA′于点E，则∠AEB＝90°， ∴∠EAP+∠APE＝90° ∵∠ABP+∠APE＝90°， ∴∠A＝∠EAP， ∴tan∠ABP＝＝tan∠EAP＝， 即， 解得：AP＝． 综上所述，AP的长度是或． 14．（3分）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；……；按照此规律进行下去，则A2021B2021长为　2020　． 【分析】解直角三角形求出A1B1，A2B2，A3B3，A4B4……，探究规律利用规律即可解决问题． 【解答】解：在Rt△OA1B1中， ∵∠MON＝60°，OA1＝1， ∴A1A2＝A1B1＝OA1?tan60°＝， ∵A1B1∥A2B2， ∴＝， ∴＝， ∴A2B2＝， 同理可得，A3B3＝2， A4B4＝＝3， …， 由此规律可知A2021B2021＝2020， 故答案为：2020． 三、解答题（本题共10个小题，共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 15．（6分）计算：4sin60°﹣|1﹣|+（）﹣1+． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式＝4×﹣（﹣1）+3﹣3 ＝2﹣+1+3﹣3 ＝+1． 16．（6分）先化简，再求值：÷（﹣x+1），请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值． 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，利用解一元一次不等式组的解法解出不等式组，把符合题意的x的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝÷（﹣） ＝÷ ＝? ＝﹣， ， 解①得，x≤2， 解②得，x≥﹣2， 则不等式组的解集为﹣2≤x≤2，其中整数解是﹣2、﹣1、0、1、2， 由分式可知，x≠±2、﹣1， 当x＝0时，原式＝﹣＝1． 17．（6分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，点G，H在对角线BD上，且BG＝DH． （1）求证：△BFH≌△DEG； （2）连接DF，若DF＝BF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论． 【分析】（1）证∠FBH＝∠EDG，DE＝BF，BH＝DG，由SAS即可得出结论； （2）连接EF交GH于O，由全等三角形的性质得出FH＝EG，∠BHF＝∠DGE，证出FH∥EG，得出四边形EGFH是平行四边形，由等腰三角形的性质得出EF⊥GH，即可得出四边形EGFH是菱形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠FBH＝∠EDG， ∵AE＝CF，BG＝DH， ∴DE＝BF，BH＝DG， 在△BFH和△DEG中，， ∴△BFH≌△DEG（SAS）； （2）解：若DF＝BF，则四边形EGFH是菱形；理由如下： 连接EF交GH于O，如图： 由（1）得：△BFH≌△DEG， ∴FH＝EG，∠BHF＝∠DGE， ∴FH∥EG， ∴四边形EGFH是平行四边形， ∴OG＝OH， ∵BG＝DH， ∴OB＝OD， ∵DF＝BF， ∴EF⊥GH， ∴四边形EGFH是菱形． 18．（6分）如图，在路边安装路灯，灯柱BC高15m，与灯杆AB的夹角ABC为120°．路灯采用锥形灯罩，照射范围DE长为18.9m，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为∠ADE＝80.5°，∠AED＝45°．求灯杆AB的长度．（参考数据：cos80.5°≈0.2，tan80.5°≈6.0） 【分析】过点A作AF⊥CE，点B作BG⊥AF，根据正切的概念求出DF，列方程求出AF，根据正弦的概念计算即可． 【解答】解：过点A作AF⊥CE，交CE于点F． 设AF的长度为xm． ∵∠AED＝45°， ∴△AEF是等腰直角三角形． ∴EF＝AF＝x． 在Rt△ADF中，∵tan∠ADF＝， ∴DF＝＝＝． ∵DE＝18.9， ∴+x＝18.9， 解得x＝16.2， 过点B作BG⊥AF，交AF于点G， 则BC＝GF＝15，∠CBG＝90°． ∴AG＝AF﹣GF＝16.2﹣15＝1.2， ∵∠ABC＝120°， ∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝120°﹣90°＝30°． 在Rt△ABG中， ∵sin∠ABG＝， ∴AB＝＝＝2.4， 答：灯杆AB的长度为2.4 m． 19．（7分）第30届菏泽国际牡丹文化旅游节于4月1日至5月10日举办，主题为“赞盛世牡丹，品魅力菏泽”．为了宣传牡丹制品，某商店欲购进A、B两种牡丹制品，若购进A种牡丹制品5件，B种牡丹制品3件，共需450元；若购进A种牡丹制品10件，B种牡丹制品8件，共需1000元． （1）购进A、B两种牡丹制品每件各需多少元？ （2）该商店购进足够多的A、B两种牡丹制品，在销售中发现，A种牡丹制品售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对A种牡丹制品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对A种牡丹制品降价销售后每天销量超过200件；B种牡丹制品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售A、B两种牡丹制品每天总获利为10000元，A种牡丹制品每件降价多少元？ 【分析】（1）设购进A种牡丹制品每件需x元，B种牡丹制品每件需y元，根据单价乘以件数，把两种商品的费用相加得总费用，列二元一次方程组求解即可； （2）设A种牡丹制品每件降价m元，则根据“每件每降价1元，多售出20件，该商店对A种商品降价销售后每天销量超过200件”，可得100+20m＞200；再由题意可得A的利润为（80﹣60﹣m）（20m+100）；结合B每天可获利7000元，A，B两种商品每天获利10000元，列方程即可求出m的值． 【解答】解：（1）设购进A种牡丹制品每件需x元，B种牡丹制品每件需y元， 则由题意得：， 解得：， 答：购进A种牡丹制品每件需60元，B种牡丹制品每件需50元； （2）设种牡丹制品每件降价m元， 则由题意得：， 化简得：， ∴m＝10， 答：A种牡丹制品每件降价10元． 20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（﹣1，0），tan∠ACO＝2．一次函数y＝kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y＝的图象经过点B． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集； （3）在x轴上找一点M，使得AM+BM的值最小，并求出点M的坐标和AM+BM的最小值． 【分析】（1）在Rt△AOC中求出AC的长度，然后求出sin∠CAO的值，过点B作BF⊥x轴于点F，由∠BCF＝∠CAO，可求出BF，继而得出FC，从而求得点B的坐标，利用待定系数法可求出一次函数和反比例函数的关系式； （2）不等式的含义为：当x＜0时，求出一次函数值y＝kx+b小于反比例函数y＝的x的取值范围，结合图形即可直接写出答案． （3）根据轴对称的性质，找到点A关于x的对称点A′，连接BA′，则BA′与x轴的交点即为点M的位置，求出直线BA′的解析式，可得出点M的坐标，根据B、A′的坐标可求出AM+BM的最小值． 【解答】解：（1）过点B作BF⊥x轴于点F， 在Rt△AOC中，AC＝＝，则sin∠CAO＝＝， ∵∠BCA＝90°， ∴∠BCF+∠ACO＝90°， 又∵∠CAO+∠ACO＝90°， ∴∠BCF＝∠CAO， ∴sin∠BCF＝sin∠CAO＝＝， ∴BF＝1， ∴CF＝＝2， ∴点B的坐标为（﹣3，1）， 将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：1＝， 解得：k＝﹣3， 故可得反比例函数解析式为y＝﹣； 将点B、C的坐标代入一次函数解析式可得：， 解得：． 故可得一次函数解析式为y＝﹣x﹣． （2）结合点B的坐标及图象，可得当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集为：﹣3＜x＜0； （3）作点A关于x轴的对称点A′，连接 B A′与x轴 的交点即为点M， 设直线BA′的解析式为y＝ax+b，将点A′及点B的坐标代入可得：， 解得：． 故直线BA′的解析式为y＝﹣x﹣2， 令y＝0，可得﹣x﹣2＝0， 解得：x＝﹣2， 故点M 的坐标为（﹣2，0）， AM+BM＝BM+MA′＝BA′＝＝3． 综上可得：点M的坐标为（﹣2，0），AM+BM的最小值为3． 21．（10分）“校园安全”受到全社会的关注，菏泽市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有　60　人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为　90　°； （2）请补全条形统计图； （3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数； （4）若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率． 【分析】（1）根据了解很少的人数和所占的百分百求出抽查的总人数，再用“基本了解”所占的百分比乘以360°，即可求出“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的度数； （2）用调查的总人数减去“基本了解”“了解很少”和“基本了解”的人数，求出了解的人数，从而补全统计图； （3）根据了解和基本了解共占的百分百乘以900即可求出抽查的总人数； （4）根据题意先画出树状图，再根据概率公式即可得出答案； 【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有：30÷50%＝60（人） 扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为＝90°， 故答案为：60，90； （2）补全条形统计图如图所示： （3）根据题意得：900×＝300（人）， 则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人． （4）列表法如图所示： 则所有等可能的情况有20种，其中选中1个男生和1个女生的情况有12种， 所以恰好抽到1个男生和1个女生的概率：P＝＝． 22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．∠ABC的平分线交AC于点E，点F在AB上，以BF为直径的⊙O恰好经过点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若AE＝2AF＝4，求BC的长． 【分析】（1）连接OE，由等腰三角形的性质得出∠OBE＝∠OEB，由角平分线的性质得出∠OBE＝∠CBE，得出OE∥BC，则可得出OE⊥AC，则可得出结论； （2）由勾股定理求出OE＝OF＝3，证明△OEA∽△BCA，得出比例线段，则可得出答案． 【解答】（1）证明：连接OE， ∵OE＝OB， ∴∠OBE＝∠OEB， ∵BE平分∠CBA， ∴∠OBE＝∠CBE， ∴∠OEB＝∠CBE， ∴OE∥BC， ∵∠C＝90°， ∴∠OEA＝90°，即OE⊥AC， ∵OE为半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：∵AE＝2AF＝4， ∴AF＝2， 设⊙O的半径为R， 则OE＝OF＝R， 在Rt△AEO中，由勾股定理得：OA2＝AE2+OE2， 即（R+2）2＝42+R2， 解得：R＝3， ∴BF＝6， ∴OA＝OF+AF＝5， ∵∠C＝∠OEA＝90°， ∴OE∥BC， ∴△OEA∽△BCA， ∴， ∴， ∴BC＝． 23．（10分）已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的∠B重合，连接AN、CM，E是AN的中点，连接BE． [观察猜想] （1）CM与BE的数量关系是　CM＝2BE　；CM与BE的位置关系是　相互垂直　； [探究证明] （2）如图2所示，把三角板BMN绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其他条件不变，线段CM与BE的关系是否仍然成立，并说明理由； [拓展延伸] （3）若旋转角α＝45°，且∠NBE＝2∠ABE，求的值． 【分析】（1）设证明△ABN≌△CBM（SAS），由点E是AN的中点，得到BE＝AN＝CM，进而求解； （2）证明△AEF≌△NEB（SAS）和△FAB≌△MBC（SAS），得到CM＝BF＝2BE，∠BCM＝∠ABF，进而求解； （3）证明∠BMC＝30°，过点C作CG⊥MB于点G，设CG＝m，则BC＝m，MG＝m，则MB＝BN＝m﹣m，即可求解． 【解答】解：（1）设AN交CM于点H， ∵△BMN为等腰直角三角形， ∴BM＝BN， ∵AB＝BC，∠ABN＝∠CBM＝90°， ∴△ABN≌△CBM（SAS）， ∴AN＝CM，∠BAN＝∠BCM， ∵点E是AN的中点，则BE＝AN＝CM，即CM＝2BE， ∴∠EBN＝∠ENB， ∴∠HBC+∠HCB＝∠ANB+∠BNA＝90°， 即CM⊥BE， 故答案为：CM＝2BE，相互垂直； （2）CM＝2BE，CM⊥BE，仍然成立． 如图所示，延长BE至F使EF＝BE，连接AF， ∵AE＝EN，∠AEF＝∠NEB， ∴△AEF≌△NEB（SAS）， ∴AF＝BN，∠F＝∠EBN， ∴AF∥BN，AF＝BM， ∴∠FAB+∠ABN＝180°， 而∠MBC+∠ABN＝∠ABC+∠ABM+∠ABN＝90°+90°＝180°， ∴∠FAB＝∠MBC， ∵AB＝BC，BM＝BN＝AF， ∴△FAB≌△MBC（SAS）， ∴CM＝BF＝2BE，∠BCM＝∠ABF， ∵∠ABF+∠FBC＝90°， ∴∠BCM+∠FBC＝90°， ∴BE⊥CM； （3）由α＝45°得∠MBA＝∠ABN＝45°， ∵∠NBE＝2∠ABE，则∠ABE＝15°， 由（2）知∠MCB＝∠ABE＝15°，∠MBC＝135°， ∴∠BMC＝30°， 过点C作CG⊥MB于点G，设CG＝m，则BC＝m，MG＝m， ∴MB＝BN＝m﹣m， ∴＝． 24．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，若点F在线段OC上，且OF＝OA，经过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点D，与线段BC交于点E，求的最大值； （3）如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO＝∠PBC时，请直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3），即可求解； （2）作DN∥CF，则＝＝（﹣x2+2x+3+x﹣3），即可求解； （3）△PBC为直角三角形，tan∠PBC＝＝，当∠QCO＝∠PBC时，tan∠QCO＝tan＝，即可求解． 【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3； （2）过点D作y轴的平行线交BC于点N， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得： 函数BC表达式为：y＝﹣x+3， OF＝OA＝1，则点F（0，1），CF＝2， 设点D（x，﹣x2+2x+3），则点N（x，﹣x+3）， DN∥CF，则＝＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣x2+x， ∵﹣0，则有最大值，此时x＝， 的最大值为； （3）连接PC，点P坐标（1，4）， 则PC＝，PB＝，BC＝， 则△PBC为直角三角形，tan∠PBC＝＝， 过点Q作QH⊥y轴于点H， 设点Q（x，﹣x2+2x+3）， 则tan∠HCQ＝tan＝， 解得：x＝0或5或﹣1（舍去0）， 故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）．