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2021年北京市朝阳区中考数学二模试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1．（2分）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（　　）
A．x＝5 B．x≠5 C．x＜5 D．x＞5
2．（2分）目前世界上已知最小的动物病毒的最大颗粒的直径约有0.000000023米．将0.000000023用科学记数法表示应为（　　）
A．2.3×10﹣8 B．2.3×10﹣9 C．0.23×10﹣8 D．23×10﹣9
3．（2分）如图，∠B＝43°，∠ADE＝43°，∠AED＝72°，则∠C的度数为（　　）
A．72° B．65° C．50° D．43°
4．（2分）下列安全图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2分）下列抽样调查最合理的是（　　）
A．了解某小区居民的消防常识，对你所在班级的同学进行调查
B．了解某市垃圾分类的宣传情况，对该市的所有学校进行调查
C．了解某校学生每天的平均睡眠时间，对该校学生周末的睡眠时间进行调查
D．了解某市第一季度的空气质量情况，对该市第一季度随机抽取30天进行调查
6．（2分）一个正多边形的内角和为1080°，则这个正多边形的每个外角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．72°
7．（2分）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3的扇形，这个圆锥的底面圆的半径为（　　）
A．π B．3 C．2 D．1
8．（2分）为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如下：
每周课外阅读时间x（小时） 0≤x＜2 2≤x＜4 4≤x＜6 6≤x＜8 x≥8 合计
频数 8 17 b
15 a
频率 0.08 0.17
c 0.15 1
表中4≤x＜6组的频数b满足25≤b≤35．下面有四个推断：
①表中a的值为100；
②表中c的值可以为0.31；
③这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在6～8之间；
④这a名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6．
所有合理推断的序号是（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）3的相反数为　 　．
10．（2分）分解因式：3m2+6m+3＝　 　．
11．（2分）在一个不透明的袋子里有1个黄球，2个白球，3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球是白球的概率是　 　．
12．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝50°，则∠ABO＝　 　°．
13．（2分）利用热气球探测建筑物高度（如图所示），热气球与建筑物的水平距离AD＝100m，则这栋建筑物的高度BC约为　 　m（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）．
14．（2分）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象可以由y＝2x的图象平移得到，且经过点（0，1），则这个一次函数的表达式为　 　．
15．（2分）用一组a，b的值说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，这组值可以是a＝　 　，b＝　 　．
16．（2分）甲、乙、丙三人进行乒乓球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判4局，乙、丙分别打了9局、14局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共打了　 　局比赛，其中第7局比赛的裁判是　 　．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题5分；第27-28题，每小题5分）
17．（5分）计算：+（﹣2）0﹣（）﹣1+tan60°．
18．（5分）解不等式2﹣3x≥2（x﹣4），并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（5分）先化简再求值：（+）?，其中x＝﹣1．
20．（5分）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＞AC．
求作：BC边上的高AD．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC的延长线于
点E；
②分别以点B，E为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交
于点F（不与点A重合）；
③连接AF交BC于点D．
线段AD就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AE，EF，BF．
∵AB＝AE＝EF＝BF，
∴四边形ABFE是　 　（　 　）（填推理依据）．
∴AF⊥BE．
即AD是△ABC中BC边上的高．
21．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．
22．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E．
（1）求证：四边形BOCE是矩形；
（2）连接EO交BC于点F，连接AF，若∠ABC＝60°，AB＝2，求AF的长．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，2）作x轴，y轴的垂线，与反比例函数y＝（k＜4）的图象分别交于点B，C，直线AB与x轴相交于点D．
（1）当k＝﹣4时，求线段AC，BD的长；
（2）当AC＜2BD时，直接写出k的取值范围．
24．（6分）如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，PA＝PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）AD为⊙O的直径，AD＝2，PO与⊙O相交于点C，若C为PO的中点，求PD的长．
25．（6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图：
b．下表是这30名学生两次知识竞赛的获奖情况相关统计：
参与奖 优秀奖 卓越奖
第一次竞赛 人数 10 10 10
平均分 82 87 95
第二次竞赛 人数 2 12 16
平均分 84 87 93
（规定：分数≥90，获卓越奖；85≤分数＜90，获优秀奖；分数＜85，获参与奖）
c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：
90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98
d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表：
平均数 中位数 众数
第一次竞赛 m 87.5 88
第二次竞赛 90 n 91
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点；
（2）直接写出m，n的值；
（3）可以推断出第次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是　 　．
26．（6分）在正方形ABCD中，将线段DA绕点D旋转得到线段DP（不与BC平行），直线DP与直线BC相交于点E，直线AP与直线DC相交于点F．
（1）如图1，当点P在正方形内部，且∠ADP＝60°时，求证：DE+CE＝DF；
（2）当线段DP运动到图2位置时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CE，DF之间的数量关系，并证明．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点P（x1，y1），Q（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ahx+ah2+1（a＜0）上的两点．
（1）当h＝1时，求抛物线的对称轴；
（2）若对于0≤x1≤2，4﹣h≤x2≤5﹣h，都有y1≥y2，求h的取值范围．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．
（1）已知点N（2，0），在点M1（0，），M2（1，），M3（2，3）中，对线段ON的可视度为60°的点是　 　．
（2）如图2，已知点A（﹣2，2），B（﹣2，﹣2），C（2，﹣2），D（2，2），E（0，4）．
①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为　 　°；
②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．
2021年北京市朝阳区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1．（2分）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（　　）
A．x＝5 B．x≠5 C．x＜5 D．x＞5
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0求解可得．
【解答】解：要使代数式有意义，
即x﹣5≠0，x≠5．
故选：B．
2．（2分）目前世界上已知最小的动物病毒的最大颗粒的直径约有0.000000023米．将0.000000023用科学记数法表示应为（　　）
A．2.3×10﹣8 B．2.3×10﹣9 C．0.23×10﹣8 D．23×10﹣9
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000000023＝2.3×10﹣8．
故选：A．
3．（2分）如图，∠B＝43°，∠ADE＝43°，∠AED＝72°，则∠C的度数为（　　）
A．72° B．65° C．50° D．43°
【分析】由∠ADE＝∠B，得出DE∥BC，由平行线的性质即可得出答案．
【解答】解：∵∠B＝43°，∠ADE＝43°，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠C＝∠AED，
∵∠AED＝72°，
∴∠C＝72°，
故选：A．
4．（2分）下列安全图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
5．（2分）下列抽样调查最合理的是（　　）
A．了解某小区居民的消防常识，对你所在班级的同学进行调查
B．了解某市垃圾分类的宣传情况，对该市的所有学校进行调查
C．了解某校学生每天的平均睡眠时间，对该校学生周末的睡眠时间进行调查
D．了解某市第一季度的空气质量情况，对该市第一季度随机抽取30天进行调查
【分析】根据抽样的广泛性和代表性逐项进行判断即可．
【解答】解：A．由于了解某小区居民的消防常识，调查班级学生不具有代表性，因此选项A不符合题意；
B．了解某市垃圾分类的宣传情况，对该市的所有学校进行调查比较片面，不具有代表性和广泛性，应涉及到其它单位、小区等，因此选项B不符合题意；
C．了解某校学生每天的平均睡眠时间，只对学生周末的睡眠时间进行调查比较片面，应对学生的每一天的睡眠时间进行调查，因此选项C不符合题意；
D．了解某市第一季度的空气质量情况，对该市第一季度随机抽取30天进行调查符合抽样的广泛性和代表性，因此选项D符合题意；
故选：D．
6．（2分）一个正多边形的内角和为1080°，则这个正多边形的每个外角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．72°
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论．
【解答】解：设它是n边形，则
（n﹣2）?180°＝1080°，
解得n＝8．
360°÷8＝45°，
故选：B．
7．（2分）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3的扇形，这个圆锥的底面圆的半径为（　　）
A．π B．3 C．2 D．1
【分析】设圆锥底面的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，构建方程解决问题即可．
【解答】解：设圆锥底面的半径为r，
根据题意得2πr＝，
解得：r＝1．
故选：D．
8．（2分）为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如下：
每周课外阅读时间x（小时） 0≤x＜2 2≤x＜4 4≤x＜6 6≤x＜8 x≥8 合计
频数 8 17 b
15 a
频率 0.08 0.17
c 0.15 1
表中4≤x＜6组的频数b满足25≤b≤35．下面有四个推断：
①表中a的值为100；
②表中c的值可以为0.31；
③这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在6～8之间；
④这a名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6．
所有合理推断的序号是（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
【分析】①根据数据总和＝频数÷频率，列式计算可求a的值；
②根据4≤x＜6组的频数b满足25≤b≤35，可求该范围的频数，进一步得到c的值的范围，从而求解；
③根据中位数的定义即可求解；
④根据加权平均数的计算公式即可求解．
【解答】解：①8÷0.08＝100．
故表中a的值为100，是合理推断；
②25÷100＝0.25，
35÷100＝0.35，
1﹣0.08﹣0.17﹣0.35﹣0.15＝0.25，
1﹣0.08﹣0.17﹣0.25﹣0.15＝0.35，
故表中c的值为0.25≤c≤0.35，表中c的值可以为0.31，是合理推断；
③∵表中4≤x＜6组的频数b满足25≤b≤35．
∴8+17+25＝50，8+17+35＝60，
∴这100名学生每周课外阅读时间的中位数可能在4～6之间，也可能在6～8之间，故此推断不是合理推断；
④这a名学生每周课外阅读时间的平均数可以超过6，故此推断不是合理推断．
故选：A．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）3的相反数为　﹣3　．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：3的相反数为﹣3，
故答案为：﹣3．
10．（2分）分解因式：3m2+6m+3＝　3（m+1）2　．
【分析】直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝3（m2+2m+1）
＝3（m+1）2．
故答案为：3（m+1）2．
11．（2分）在一个不透明的袋子里有1个黄球，2个白球，3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球是白球的概率是　　．
【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【解答】解：共有球1+3+6＝5个，白球有2个，
因此摸出的球是白球的概率为：＝．
故答案为：．
12．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝50°，则∠ABO＝　40　°．
【分析】先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，再由三角形内角和定理求出∠ABO的度数即可．
【解答】解：∵∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×50°＝100°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝＝＝40°．
故答案为：40．
13．（2分）利用热气球探测建筑物高度（如图所示），热气球与建筑物的水平距离AD＝100m，则这栋建筑物的高度BC约为　270　m（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）．
【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD＝AD?tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD＝AD?tan∠CAD，再根据BC＝BD+CD，代入数据计算即可．
【解答】解：如图，在Rt△ABD中，AD＝100m，∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝100（m），
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，
∴CD＝AD?tan60°＝100（m），
∴BC＝BD+CD＝100+100≈270（m）
答：该建筑物的高度BC约为270m．
故答案为：270．
14．（2分）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象可以由y＝2x的图象平移得到，且经过点（0，1），则这个一次函数的表达式为　y＝2x+1　．
【分析】根据一次函数平移时k不变可知k＝2，然后把（0，1）代入求出b的值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象可以由y＝2x的图象平移得到，
∴k＝2，
∵一次函数y＝2x+b的图象经过点（0，1），
∴b＝1，
∴一次函数表达式为y＝2x+1．
故答案为y＝2x+1．
15．（2分）用一组a，b的值说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，这组值可以是a＝　﹣1　，b＝　0（答案不唯一）　．
【分析】当a＝﹣1，b＝0时，根据有理数的乘方法则得到a2＞b2，根据有理数的大小比较法则得到a＜b，根据假命题的概念解答即可．
【解答】解：当a＝﹣1，b＝0时，a2＝1，b2＝0，
此时a2＞b2，而a＜b，
∴命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，
故答案为：﹣1，0（答案不唯一）．
16．（2分）甲、乙、丙三人进行乒乓球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判4局，乙、丙分别打了9局、14局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共打了　19　局比赛，其中第7局比赛的裁判是　乙　．
【分析】先确定了乙与丙打了4局，甲与丙打了10局，进而确定三人一共打的局数和甲、乙、丙当裁判的局数，即可得到答案．
【解答】解：∵甲当了4局裁判，
∴乙、丙之间打了4局，
又∵乙、丙分别共打了9局、14局，
∴乙与甲打了9﹣4＝5局，丙与甲打了14﹣4＝10局，
∴甲、乙、丙三人共打了4+5+10＝19局，
又∵丙与甲打了10局，
∴乙当了10局裁判，
而从1到19共9个偶数，10个奇数，
∴乙当裁判的局为奇数局，
∴第7局比赛的裁判是：乙，
故答案为：19，乙．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题5分；第27-28题，每小题5分）
17．（5分）计算：+（﹣2）0﹣（）﹣1+tan60°．
【分析】根据二次根式，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝
＝3﹣2．
18．（5分）解不等式2﹣3x≥2（x﹣4），并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】首先解不等式可得x的取值范围，然后在数轴上表示即可．
【解答】解：2﹣3x≥2（x﹣4），
去括号得：2﹣3x≥2x﹣8，
移项得：﹣2x﹣3x≥﹣2﹣8，
合并同类项得：﹣5x≥﹣10，
系数化为1得：x≤2，
不等式的解集在数轴上表示如下：
．
19．（5分）先化简再求值：（+）?，其中x＝﹣1．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：
＝[+]?
＝
＝?
＝．
当x＝时，
原式＝＝＝．
20．（5分）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＞AC．
求作：BC边上的高AD．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC的延长线于
点E；
②分别以点B，E为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交
于点F（不与点A重合）；
③连接AF交BC于点D．
线段AD就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AE，EF，BF．
∵AB＝AE＝EF＝BF，
∴四边形ABFE是　菱形　（　四条边相等的四边形是菱形　）（填推理依据）．
∴AF⊥BE．
即AD是△ABC中BC边上的高．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）证明四边形ABFE是菱形，可得结论．
【解答】解：（1）依作法补全图形，如图所示：
（2）连接AE，EF，BF．
∵AB＝AE＝EF＝BF，
∴四边形ABFE是菱形（四条边相等的四边形是菱形），
∴AF⊥BE．
即AD是△ABC中BC边上的高．
故答案为：菱形，四条边相等的四边形是菱形．
21．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．
【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出△＝（m﹣1）2，利用偶次方的非负性可得出（m﹣1）2≥0，即△≥0，再利用“当△≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x1＝m，x2＝1，结合方程有一个根为负数，即可得出m的取值范围．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m+1），c＝m，
∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×m＝m2+2m+1﹣4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2．
∵（m﹣1）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（m+1）x+m＝0，即（x﹣m）（x﹣1）＝0，
∴x1＝m，x2＝1．
∵方程有一个根为负数，
∴m＜0．
22．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E．
（1）求证：四边形BOCE是矩形；
（2）连接EO交BC于点F，连接AF，若∠ABC＝60°，AB＝2，求AF的长．
【分析】（1）先证四边形BOCE是平行四边形，再由菱形的性质得∠BOC＝90°，即可得出结论；
（2）先证△ABC是等边三角形，得BC＝AB＝2，∠BAC＝60°，再由矩形的性质得BF＝CF＝BC＝1，然后由等边三角形的性质得AF⊥BC，∠BAF＝∠BAC＝30°，即可求解．
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，EC∥BD，
∴四边形BOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴平行四边形BOCE是矩形；
（2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝2，∠BAC＝60°，
∵四边形BOCE是矩形，
∴BF＝CF＝BC＝1，
∴AF⊥BC，∠BAF＝∠BAC＝30°，
∴∠AFB＝90°，
∴AF＝BF＝．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，2）作x轴，y轴的垂线，与反比例函数y＝（k＜4）的图象分别交于点B，C，直线AB与x轴相交于点D．
（1）当k＝﹣4时，求线段AC，BD的长；
（2）当AC＜2BD时，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）分别把x＝2，y＝2分别代入解析式求得对应的函数值和自变量的值，即可求得B（2，﹣2），C（﹣2，2），D（2，0），从而求得AC＝4，BD＝2；
（2）根据题意得出AB＜2BD，即可得出2﹣＜2×或2﹣＜2×（﹣），解得即可．
【解答】解：（1）当k＝﹣4时，反比例函数为y＝﹣，
把x＝2代入得，y＝﹣2，把y＝2代入得，x＝﹣2，
∴B（2，﹣2），C（﹣2，2），D（2，0）．
∴AC＝4，BD＝2；
（2）∵点A（2，2），
∴B（2，），D（2，0），C（，2），
∵AB＝2﹣，AC＝2﹣，
∴AB＝AC，
∵AC＜2BD，
∴AB＜2BD，
当k＞0时，如图1，
2﹣＜2×，
∴k＞，
∴＜k＜4；
当k＜0时，如图2，
2﹣＜2×（﹣），
∴k＜﹣4，
综上，当AC＜2BD时，直接写出k的取值范围是k＜﹣4或．
24．（6分）如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，PA＝PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）AD为⊙O的直径，AD＝2，PO与⊙O相交于点C，若C为PO的中点，求PD的长．
【分析】（1）连接OB，由切线的性质得∠PAO＝90°，再证△APO≌△BPO（SSS），得∠PBO＝∠PAO＝90°，即可得出结论；
（2）先由勾股定理得PA＝，再由勾股定理求出PD＝即可．
【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
∴∠PAO＝90°，
∵点B在⊙O上，
∴AO＝BO，
在△APO和△BPO中，
，
∴△APO≌△BPO（SSS），
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵AD是⊙O的直径，AD＝2，
∴OA＝1，
∵C为PO的中点，
∴PO＝2，
∴PA＝＝＝，
在Rt△PAD中，由勾股定理得：PD＝＝＝．
25．（6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图：
b．下表是这30名学生两次知识竞赛的获奖情况相关统计：
参与奖 优秀奖 卓越奖
第一次竞赛 人数 10 10 10
平均分 82 87 95
第二次竞赛 人数 2 12 16
平均分 84 87 93
（规定：分数≥90，获卓越奖；85≤分数＜90，获优秀奖；分数＜85，获参与奖）
c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：
90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98
d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表：
平均数 中位数 众数
第一次竞赛 m 87.5 88
第二次竞赛 90 n 91
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点；
（2）直接写出m，n的值；
（3）可以推断出第次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是　第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛　．
【分析】（1）根据这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标是89，纵坐标是90的点即代表小松同学的点；
（2）根据平均数和中位数的定义可得m和n的值；
（3）根据平均数，众数和中位数这几方面的意义解答可得．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）m＝＝88，
∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98，
∴第一和第二个数是30名学生成绩中第15和第16个数，
∴n＝（90+90）＝90，
∴m＝88，n＝90；
（3）可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是：第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛．
故答案为：二，第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛．
26．（6分）在正方形ABCD中，将线段DA绕点D旋转得到线段DP（不与BC平行），直线DP与直线BC相交于点E，直线AP与直线DC相交于点F．
（1）如图1，当点P在正方形内部，且∠ADP＝60°时，求证：DE+CE＝DF；
（2）当线段DP运动到图2位置时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CE，DF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）证△APD是等边三角形．得∠PAD＝60°，再由含30°角的直角三角形的性质得DF＝AD＝，CE＝CD＝，DE＝2CE＝，即可得出结论；
（2）依题意补全图形，DE﹣CE＝DF，过D作DH⊥AP交BC于点H，先证△ADF≌△DCH（AAS），得DF＝CH，再证ED＝EH，即可得出结论．
【解答】（1）证明：设AB＝a．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝a．
∵DA＝DP，∠ADP＝60°，
∴△APD是等边三角形．
∴∠PAD＝60°，
在Rt△ADF中，∠AFD＝30°，
∴DF＝AD＝，
在Rt△DCE中，∠CDE＝30°，
∴CE＝CD＝，DE＝2CE＝，
∴DE+CE＝DF；
（2）解：依题意补全图形，如图2所示：
DE﹣CE＝DF，证明如下：
过D作DH⊥AP交BC于点H，如图3所示：
∵DH⊥AF，
∴∠HDC+∠AFD＝90°，
∵∠HDC+∠DHC＝90°，
∴∠AFD＝∠DHC，
在△ADF和△DCH中，
，
∴△ADF≌△DCH（AAS），
∴DF＝CH，
∵DA＝DP，
∴∠ADH＝∠EDH，
∵AD∥BC，
∴∠ADH＝∠EHD，
∴∠EDH＝∠EHD，
∴ED＝EH，
∴DE﹣CE＝DF．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点P（x1，y1），Q（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ahx+ah2+1（a＜0）上的两点．
（1）当h＝1时，求抛物线的对称轴；
（2）若对于0≤x1≤2，4﹣h≤x2≤5﹣h，都有y1≥y2，求h的取值范围．
【分析】（1）先化抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+1，依此可求抛物线的对称轴；
（2）设抛物线上四个点的坐标为A（0，yA），B（2，yB），C（4﹣h，yC），D（5﹣h，yD），由于a＜0，分情况讨论即可求得答案．
【解答】解：（1）当h＝1时，抛物线的表达式为y＝ax2﹣2ax+a+1，
∴y＝a（x﹣1）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）设抛物线上四个点的坐标为A（0，yA），B（2，yB），C（4﹣h，yC），D（5﹣h，yD），
∵a＜0，
∴y1的最小值必为yA或yB．
①由a＜0可知，当时，存在y2≥y1，不符合题意．
②当h＜2时，总有4﹣h＞2．
∵当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴yB＞yC＞yD．
当时，4﹣h﹣h≥|h|．
∴yA≥yC＞yD，符合题意．
当时，4﹣h﹣h＜h．
∴yA＜yC，不符合题意．
③当时，
∵当x＜h时，y随x的增大而增大，
∴yC＜yD，yA＜yB．
当h≥5时，5﹣h≤0．
∴yD≤yA，符合题意．
当时，5﹣h＞0．
∴yD＞yA，不符合题意．
综上所述，h的取值范围是或h≥5．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．
（1）已知点N（2，0），在点M1（0，），M2（1，），M3（2，3）中，对线段ON的可视度为60°的点是　M1，M2　．
（2）如图2，已知点A（﹣2，2），B（﹣2，﹣2），C（2，﹣2），D（2，2），E（0，4）．
①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为　90　°；
②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．
【分析】（1）画出图形，作M2G⊥x轴，计算∠OM1N、∠OM2G、∠OM3N的正切值并判断角的大小，可得出结论；
（2）①由A（﹣2，2），B（﹣2，﹣2），C（2，﹣2），D（2，2），可得四边形ABCD为正方形，连结EA、ED，可得∠AED为90°，所以点E对四边形ABCD的可视度为90°；
②由题意可知，点F在直线y＝4上；延长CD交直线y＝4于点H，以点D为圆心、DA长为半径作⊙D，与直线y＝4在直线CD右侧的交点为点F，则∠AFC＝∠ADC＝45°，点F对四边形ABCD的可视度为45°，在△DFH中解直角三角形求出FH的长，再求得点F的坐标，从而得到a的值；同理，以点A为圆心、AD长为半径作⊙A，交直线y＝4于点F，点F在直线AB左侧，求出此时点F的坐标，得到a的另一个值．
【解答】解：（1）如图1，连结M1N、M2O、M2N、M3O、M3N，作M2G⊥x轴于点G，则G（1，0），OG＝ON＝1，
∴OM2＝NM2，
∴∠OM2G＝∠NM2G．
∵tan∠OM1N＝＝＝，
∴∠OM1N＝60°，
∴点M1对线段ON的可视度为60°；
∵tan∠OM2G＝＝＝，
∴∠OM2G＝∠NM2G＝30°，
∴∠OM2N＝60°，
∴点M2对线段ON的可视度为60°；
∵tan∠OM3N＝＜1，
∴∠OM3N＜45°，
∴点M3对线段ON的可视度不是60°．
故答案为：M1，M2．
（2）①∵A（﹣2，2），B（﹣2，﹣2），C（2，﹣2），D（2，2），
∴四边形ABCD是正方形，且各边与坐标轴垂直（或平行）．
如图2，设AD交y轴于点I，则∠AIE＝∠DIE＝90°．
∵E（0，4），
∴AI＝EI＝DI＝2，
∴∠IEA＝∠IED＝45°，
∴∠AED＝90°，
∴点E对四边形ABCD的可视度为90°．
故答案为：90．
②由题意可知，点F在直线y＝4上．
延长CD交直线y＝4于点H，以点D为圆心、DA长为半径作⊙D，则点C在⊙D上；
∵DH与直线y＝4垂直，且DH＜DA，
∴直线y＝4与⊙D有两个交点．
设⊙D与直线y＝4在直线CD右侧的交点为点F，连结AF、CF、DF．
∵∠AFC＝∠ADC＝45°，
∴点F对四边形ABCD的可视度为45°．
∵∠DHF＝90°，DH＝2，DF＝DA＝4，
∴sin∠DFH＝，
∴∠DFH＝30°，
∴FH＝DF?cos30°＝4×＝2，
∴F（2+2，4），
∴a＝2+2；
同理，如图4，以点A为圆心、AD长为半径作⊙A，交直线y＝4于点F，点F在直线AB左侧，
此时，F（，4），
∴a＝．
综上所述，a＝2+2或a＝．

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