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2021年湖南省常德市中考数学仿真模拟试卷(Word版 含解析)

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2021年湖南省常德市中考数学仿真模拟试卷(Word版 含解析)

2021年湖南省常德市中考数学仿真模拟试卷 一、单选题(本大题共8小题,每小题3分,共24分) 1.(3分)﹣7的倒数是(  ) A.7 B.﹣7 C. D.﹣ 2.(3分)如图图案是我国几家银行的标志,其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是(  ) A. B. C. D. 3.(3分)如图,五边形ABCDE中,AB∥CD,∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角,则∠1+∠2+∠3等于(  ) A.90° B.180° C.210° D.270° 4.(3分)下列运算正确的是(  ) A.a5+a5=a10 B.a6×a4=a24 C.a0÷a﹣1=a D.(a2)3=a5 5.(3分)下列适合普查的是(  ) A.调查郑州市的空气质量 B.调查一批炸弹的杀伤范围 C.调查河南人民的生活幸福指数 D.调查全班同学对电视节目“梨园春”的知晓率 6.(3分)如图所示是某几何体的三视图,根据图中数据计算,这个几何体的侧面积为(  ) A. B.12π C.2π D.24π 7.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc>0;②a+c>b;③a+b+c>0;④2a﹣b>0;⑤9a﹣3b+c<0.其中正确的有(  ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 8.(3分)如图所示,将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形,第1幅图形中“●”的个数为a1,第2幅图形中“●”的个数为a2,第3幅图形中“●”的个数为a3,…,以此类推,则+++…+的值为(  ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分) 9.(3分)因式分解2x2﹣8y2=   . 10.(3分)在函数y=中,自变量x的取值范围是   . 11.(3分)计算:﹣?=   . 12.(3分)如图,已知点A在反比例函数图象上,AM⊥x轴于点M,且△AOM的面积为1,则反比例函数的解析式为   . 13.(3分)某养鱼专业户为了估计鱼塘中鱼的总条数,他先从鱼塘中捞出100条,将每条鱼作了记号后放回水中,当它们完全混合于鱼群后,再从鱼塘中捞出100条鱼,发现其中带记号的鱼有10条,估计该鱼塘里约有   条鱼. 14.(3分)自行车和三轮车共20辆,总共有52个轮子,自行车有(   )辆,三轮车有(   )辆. 15.(3分)现定义运算“?”,对于任意实数a、b,都有a?b=a2﹣3a+b;如:3?5=32﹣3×3+5,若x?2=6,则实数x的值是   . 16.(3分)在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:如对于多项式x4﹣y4,因式分解的结果是(x﹣y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:(x﹣y)=0,(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码,对于多项式4x3﹣xy2,取x=11,y=12时,用上述方法产生的密码是   (写出一个即可). 三、解答题(本大题共10个小题,共72分) 17.(8分)4cos60°+(﹣1)2019﹣|﹣3+2|. 18.(6分)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来. 19.(6分)先化简,再求值:(1﹣)÷﹣,其中x满足x2+x﹣2=0. 20.(6分)“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元? 21.(8分)已知一次函数y=ax﹣3a2+12,请按要求解答问题: (1)a为何值时,函数图象过原点,且y随x的增大而减小? (2)若函数图象平行于直线y=﹣x,求一次函数的表达式; (3)若点(0,﹣15)在函数图象上,求a的值. 22.(8分)某风景管理区,为提高游客到某景点的安全性,决定将到达该景点的步行台阶进行改善,小明家把一步行台阶由倾角45°改为倾角为30°,已知原台阶坡面AB的长为5m(BC所在地面为水平面),结果准确到0.1m,参考数据:, (1)改后的台阶坡面会加长多少? (2)改好的台阶多占多长一段水平地面? 23.(8分)学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话,牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观,让环保理念深入到学校,某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况,对本班全体学生进行了调查,并将调查结果分为了三类:A:好,B:中,C:差.请根据图中信息,解答下列问题: (1)求全班学生总人数; (2)在扇形统计图中,a=   ,b=   ,C类的圆心角为   ; (3)张老师在班上随机抽取了4名学生,其中A类1人,B类2人,C类1人,若再从这4人中随机抽取2人,请求出全是B类学生的概率. 24.(6分)如图,点D、O在△ABC的边AC上,以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E,连接DE、OB,且DE∥OB. (1)求证:BC是⊙O的切线. (2)设OB与⊙O交于点F,连接EF,若AD=OD,DE=4,求弦EF的长. 25.(8分)如图,在直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+2与x轴交于A、B两点,与直线y=2x交于点M(1,m). (1)求m,b的值; (2)已知点N,点M关于原点O对称,现将线段MN沿y轴向上平移s(s>0)个单位长度.若线段MN与抛物线有两个不同的公共点,试求s的取值范围; (3)利用尺规作图,在该抛物线上作出点G,使得∠AGO=∠BGO,并简要说明理由.(保留作图痕迹) 26.(8分)如图,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA(不包括端点)上运动,且满足AE=CG,AH=CF. (1)求证:△AEH≌△CGF; (2)试判断四边形EFGH的形状,并说明理由. (3)请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系,并说明理由. 2021年湖南省常德市中考数学仿真模拟试卷 参考答案与试题解析 一、单选题(本大题共8小题,每小题3分,共24分) 1.(3分)﹣7的倒数是(  ) A.7 B.﹣7 C. D.﹣ 【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数,可得一个数的倒数. 【解答】解:﹣7的倒数是﹣, 故选:D. 2.(3分)如图图案是我国几家银行的标志,其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是(  ) A. B. C. D. 【分析】行的标志,其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是( 【解答】解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形,符合题意; B.不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不符合题意; C.不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不符合题意; D.是轴对称图形,也是中心对称图形,不符合题意. 故选:A. 3.(3分)如图,五边形ABCDE中,AB∥CD,∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角,则∠1+∠2+∠3等于(  ) A.90° B.180° C.210° D.270° 【分析】根据两直线平行,同旁内角互补求出∠B+∠C=180°,从而得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°,再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解. 【解答】解:∵AB∥CD, ∴∠B+∠C=180°, ∴∠4+∠5=180°, 根据多边形的外角和定理,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°, ∴∠1+∠2+∠3=360°﹣180°=180°. 故选:B. 4.(3分)下列运算正确的是(  ) A.a5+a5=a10 B.a6×a4=a24 C.a0÷a﹣1=a D.(a2)3=a5 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案. 【解答】解:A、a5+a5=2a5,故此选项错误; B、a6×a4=a10,故此选项错误; C、a0÷a﹣1=1÷=a,正确; D、(a2)3=a6,故此选项错误; 故选:C. 5.(3分)下列适合普查的是(  ) A.调查郑州市的空气质量 B.调查一批炸弹的杀伤范围 C.调查河南人民的生活幸福指数 D.调查全班同学对电视节目“梨园春”的知晓率 【分析】利用普查可以直接得到较为全面、可靠的信息,但花费的时间较长,耗费大,且一些调查项目并不适合普查,进而分析得出即可. 【解答】解:A、调查郑州市的空气质量,全面调查无法做到,故此选项错误; B、调查一批炸弹的杀伤范围,全面调查难度较大,故此选项错误; C、调查河南人民的生活幸福指数,全面调查难度较大,故此选项错误; D、调查全班同学对电视节目“梨园春”的知晓率,人数较少,适合抽样调查. 故选:D. 6.(3分)如图所示是某几何体的三视图,根据图中数据计算,这个几何体的侧面积为(  ) A. B.12π C.2π D.24π 【分析】直接利用三视图判断出几何体,再利用圆锥侧面积公式求出答案. 【解答】解:由三视图可判断该几何体是圆锥, 底面直径为4,母线长为6, 故这个几何体的侧面积为:×4π×6=12π. 故选:B. 7.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc>0;②a+c>b;③a+b+c>0;④2a﹣b>0;⑤9a﹣3b+c<0.其中正确的有(  ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点得出c的值,然后根据图象经过的点的情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 【解答】解:抛物线的开口向上,则a>0,对称轴﹣<﹣1, ∴b>0, ∴2a﹣b<0,故④结论错误; 抛物线与y轴交于负半轴, ∴c<0, ∴abc<0,故①结论正确; 当x=﹣1时,a﹣b+c<0, ∴a+c<b,故②结论错误; 当x=1时,a+b+c>0,故③结论正确; 当x=﹣3时,9a﹣3b+c<0,故⑤结论正确. 故正确的为①③⑤,共3个. 故选:C. 8.(3分)如图所示,将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形,第1幅图形中“●”的个数为a1,第2幅图形中“●”的个数为a2,第3幅图形中“●”的个数为a3,…,以此类推,则+++…+的值为(  ) A. B. C. D. 【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律,进而求出即可. 【解答】解:a1=3=1×3,a2=8=2×4,a3=15=3×5,a4=24=4×6,…,an=n(n+2); ∴+++…+=++++…+=(1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣)=(1+﹣﹣)=, 故选:C. 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分) 9.(3分)因式分解2x2﹣8y2= 2(x+2y)(x﹣2y) . 【分析】此多项式有公因式,应先提取公因式,再对余下的多项式进行观察,有2项,可采用平方差公式继续分解. 【解答】解:2x2﹣8y2 =2(x2﹣4y2) =2(x+2y)(x﹣2y). 故答案为:2(x+2y)(x﹣2y). 10.(3分)在函数y=中,自变量x的取值范围是 x>1 . 【分析】根据函数关系即可求出x的取值范围. 【解答】解:由题意可知: 解得:x>1 故答案为:x>1 11.(3分)计算:﹣?=  . 【分析】先利用二次根式的乘法法则运算,然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可. 【解答】解:原式=3﹣ =3﹣ =. 故答案为. 12.(3分)如图,已知点A在反比例函数图象上,AM⊥x轴于点M,且△AOM的面积为1,则反比例函数的解析式为 y=﹣ . 【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,即S=|k|. 【解答】解:由于A是图象上任意一点,则S△AOM=|k|=1, 又反比例函数的图象在二、四象限,k<0,则k=﹣2. 所以这个反比例函数的解析式是y=﹣. 故答案为:y=﹣. 13.(3分)某养鱼专业户为了估计鱼塘中鱼的总条数,他先从鱼塘中捞出100条,将每条鱼作了记号后放回水中,当它们完全混合于鱼群后,再从鱼塘中捞出100条鱼,发现其中带记号的鱼有10条,估计该鱼塘里约有 1000 条鱼. 【分析】先得到鱼塘中带记号的鱼的频率为=,由此可估计鱼塘中带记号的鱼的概率为,然后根据鱼塘中带记号的鱼有100条可计算出鱼塘里约有鱼的条数. 【解答】解:∵100条鱼,带记号的鱼有10条, ∴估计鱼塘中带记号的鱼的概率==, 而鱼塘中带记号的鱼有100条, ∴估计该鱼塘里约有鱼的条数=100÷=1000. 故答案为1000. 14.(3分)自行车和三轮车共20辆,总共有52个轮子,自行车有( 8 )辆,三轮车有( 12 )辆. 【分析】设自行车有x辆,三轮车有y辆,根据“自行车和三轮车共20辆,总共有52个轮子”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论. 【解答】解:设自行车有x辆,三轮车有y辆, 依题意得:, 解得:. 故答案为:8;12. 15.(3分)现定义运算“?”,对于任意实数a、b,都有a?b=a2﹣3a+b;如:3?5=32﹣3×3+5,若x?2=6,则实数x的值是 4或﹣1 . 【分析】根据新定义型运算法则即可求出答案. 【解答】解:由题意可知:x2﹣3x+2=6, ∴x2﹣3x﹣4=0, ∴(x﹣4)(x+1)=0, ∴x=4或x=﹣1. 故答案为:4或﹣1. 16.(3分)在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:如对于多项式x4﹣y4,因式分解的结果是(x﹣y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:(x﹣y)=0,(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码,对于多项式4x3﹣xy2,取x=11,y=12时,用上述方法产生的密码是 113410 (写出一个即可). 【分析】先因式分解,再代值计算. 【解答】解:4x3﹣xy2=x(4x2﹣y2) =x(2x+y)(2x﹣y). 当x=11,y=12时,各因式的值为:x=11,2x+y=22+12=34. 2x﹣y=22﹣12=10. ∴产生的密码为:113410. 故答案为:113410. 三、解答题(本大题共10个小题,共72分) 17.(8分)4cos60°+(﹣1)2019﹣|﹣3+2|. 【分析】本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值和有理数的乘方3个知识点.在计算时,需要针对每个知识点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 【解答】解:原式=4×﹣1﹣|﹣1|=2﹣1﹣1=0. 18.(6分)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来. 【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集. 【解答】解:解不等式x+3(x﹣1)<5,得:x<2, 解不等式≥x,得:x≤0.5, 则不等式组的解集为x≤0.5, 将不等式组的解集表示在数轴上如下: 19.(6分)先化简,再求值:(1﹣)÷﹣,其中x满足x2+x﹣2=0. 【分析】首先把括号内的式子进行通分,把除法转化为乘法计算乘法即可化简;解方程求得x的值,然后代入化简以后的式子即可求解. 【解答】解:(1﹣)÷﹣=(﹣)×﹣=×﹣=, 由x2+x﹣2=0,得x1=1,x2=﹣2 (舍去), 则原式==. 20.(6分)“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元? 【分析】设第一批盒装花的进价是x元/盒,则第一批进的数量是:,第二批进的数量是:,再根据等量关系:第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程. 【解答】解:设第一批盒装花的进价是x元/盒,则 2×=, 解得 x=30 经检验,x=30是原方程的根. 答:第一批盒装花每盒的进价是30元. 21.(8分)已知一次函数y=ax﹣3a2+12,请按要求解答问题: (1)a为何值时,函数图象过原点,且y随x的增大而减小? (2)若函数图象平行于直线y=﹣x,求一次函数的表达式; (3)若点(0,﹣15)在函数图象上,求a的值. 【分析】(1)根据函数图象过原点,且y随x的增大而减小,可知a<0,﹣3a2+12=0,该函数为正比例函数; (2)根据函数图象平行于直线y=﹣x,可知a=﹣1,从而可以得到一次函数解析式; (3)根据点(0,﹣15)在函数图象上,可以得到一次函数解析式,从而可以得到a的值. 【解答】解:(1)∵一次函数y=ax﹣3a2+12,函数图象过原点,且y随x的增大而减小, ∴, 解得,a=﹣2, 即当a=﹣2时,函数图象过原点,且y随x的增大而减小; (2)∵一次函数y=ax﹣3a2+12,函数图象平行于直线y=﹣x, ∴a=﹣1, ∴﹣3a2+12=﹣3×(﹣1)2+12=9, ∴一次函数解析式是y=﹣x+9; (3)∵一次函数y=ax﹣3a2+12,点(0,﹣15)在函数图象上, ∴a×0﹣3a2+12=﹣15, 解得,a=3或﹣3. 22.(8分)某风景管理区,为提高游客到某景点的安全性,决定将到达该景点的步行台阶进行改善,小明家把一步行台阶由倾角45°改为倾角为30°,已知原台阶坡面AB的长为5m(BC所在地面为水平面),结果准确到0.1m,参考数据:, (1)改后的台阶坡面会加长多少? (2)改好的台阶多占多长一段水平地面? 【分析】(1)在直角三角形ABC中利用三角函数即可求得AC、然后在直角三角形ADC中求得AD的长,AD﹣AB即是所求的解. (2)在Rt△ABC中,由BC=AB?cos45°求得BC长,再由CD=求得CD的长,根据BD=CD﹣BC可得答案. 【解答】解:(1)∵在直角三角形ABC中,AC=ABsin45°=(m) 在直角三角形ADC中,AD==÷=5(米), ∴AD﹣AB=(5﹣5)(米)≈5×(1.414﹣1)=2.07≈2.1(米). 即改善后的台阶坡面加长约2.1米. (2)如图,在Rt△ABC中,BC=AB?cos45°=5cos45°=(米). 在Rt△ACD中,CD===(米). ∴BD=CD﹣BC=﹣≈2.6(米). 答:改善后的台阶多占2.6米长的一段水平地面. 23.(8分)学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话,牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观,让环保理念深入到学校,某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况,对本班全体学生进行了调查,并将调查结果分为了三类:A:好,B:中,C:差.请根据图中信息,解答下列问题: (1)求全班学生总人数; (2)在扇形统计图中,a= 15 ,b= 60 ,C类的圆心角为 54° ; (3)张老师在班上随机抽取了4名学生,其中A类1人,B类2人,C类1人,若再从这4人中随机抽取2人,请求出全是B类学生的概率. 【分析】(1)由A类人数及其所占百分比可得总人数; (2)总人数减去A、B的人数求得C类人数,由360°乘以C类所占比例得C类的圆心角度数,分别用B、C的人数除以总人数可得对应百分比; (3)列表得出所有等可能结果,再根据概率公式求解可得. 【解答】解:(1)全班学生总人数为:10÷25%=40(人); (2)∵C类人数为:40﹣(10+24)=6(人), ∴C类所占百分比为×100%=15%,C类的圆心角为360°×=54°,B类百分比为×100%=60%, ∴a=15,b=60,54°; 故答案为:a=15,b=60,54°; (3)列表如下: A B B C A BA BA CA B AB BB CB B AB BB CB C AC BC BC 由表可知,共有12种等可能结果,其中全是B类学生的有2种结果, ∴全是B类学生的概率为=. 24.(6分)如图,点D、O在△ABC的边AC上,以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E,连接DE、OB,且DE∥OB. (1)求证:BC是⊙O的切线. (2)设OB与⊙O交于点F,连接EF,若AD=OD,DE=4,求弦EF的长. 【分析】(1)连接OE,根据切线的性质得到OE⊥AB,根据平行线的性质得到∠BOC=∠EDO,∠BOE=∠DEO,根据全等三角形的性质得到∠OCB=∠OEB=90°,于是得到BC是⊙O的切线; (2)根据直角三角形的性质得到OD=DE=4,推出四边形DOFE是平行四边形,得到EF=OD=4. 【解答】(1)证明:连接OE, ∵以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E, ∴OE⊥AB, ∵DE∥OB, ∴∠BOC=∠EDO,∠BOE=∠DEO, ∵OE=OD, ∴∠EDO=∠DEO, ∴∠BOC=∠BOE, ∵OB=OB,OC=OE, ∴△OCB≌△OEB(SAS), ∴∠OCB=∠OEB=90°, ∴BC是⊙O的切线; (2)解:∵∠AEO=90°,AD=OD, ∴ED=AO=OD, ∴OD=DE=4, ∵DE∥OF,DE=OD=OF, ∴四边形DOFE是平行四边形, ∴EF=OD=4, ∴弦EF的长为4. 25.(8分)如图,在直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+2与x轴交于A、B两点,与直线y=2x交于点M(1,m). (1)求m,b的值; (2)已知点N,点M关于原点O对称,现将线段MN沿y轴向上平移s(s>0)个单位长度.若线段MN与抛物线有两个不同的公共点,试求s的取值范围; (3)利用尺规作图,在该抛物线上作出点G,使得∠AGO=∠BGO,并简要说明理由.(保留作图痕迹) 【分析】(1)把点M的坐标先代入直线方程求得m的值;然后把点M的坐标(1,2)代入抛物线方程来求b的值; (2)由对称的性质得到N(﹣1,﹣2),根据点到坐标与图形的性质和平移的性质求得s=2设平移后的直线表达式为y=2x+s,所以设平移后的直线表达式为y=2x+s,与抛物线方程联立方程组,结合根的判别式的符号来求s的取值范围; (3)在x轴上取一点P(﹣2,0),以P为圆心,OP为半径作圆,⊙P与抛物线的交点,即是所求作的点G(图中的G与G′).当点G在x轴上方时,利用两边及夹角法推知△GPA∽△BPG.故∠PGA=∠PBG,结合等边对等角得到:∠POG=∠PGO.又由图中角与角间的和差关系推知:∠POG=∠PBG+∠OGB,∠PGO=∠PGA+∠AGO,即∠AGO=∠BGO.同理可证:当点G(G′)在x轴下方时,结论也成立. 【解答】解:(1)把M(1,m)代入y=2x得m=2×1=2. 把M(1,2)代入y=﹣x2+bx+2得2=﹣12+b+2,即b=1. (2)由(1)得y=﹣x2+x+2,M(1,2) 因为点N,点M关于原点O对称,所以N(﹣1,﹣2) 过点N作CN⊥x轴,交抛物线于C,则C的横坐标为﹣1. 所以C的纵坐标为﹣(﹣1)2+(﹣1)+2=0. 所以C(﹣1,0)与A重合. 则CN=AN=2,即当s=2线段MN与抛物线有两个公共点. 设平移后的直线表达式为y=2x+s 由得x2+x+s﹣2=0. 由△=12﹣4(s﹣2)=0,得. 即当,线段MN与抛物线只有一个公共点. 所以,当线段MN与抛物线有两个公共点时.s取值范围为. (3)如图,在x轴上取一点P(﹣2,0),以P为圆心,OP为半径作圆,⊙P与抛物线的交点,即是所求作的点G(图中的G与G′). 理由: 当点G在x轴上方时,由作图可知, PG=2,PA=1,PB=4.则. 又∵∠GPA=∠BPG, ∴△GPA∽△BPG. ∴∠PGA=∠PBG, ∵GP=PB=2, ∴∠POG=∠PGO. 又∠POG=∠PBG+∠OGB,∠PGO=∠PGA+∠AGO, ∴∠AGO=∠BGO. 同理可证:当点G(G′)在x轴下方时,结论也成立. 26.(8分)如图,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA(不包括端点)上运动,且满足AE=CG,AH=CF. (1)求证:△AEH≌△CGF; (2)试判断四边形EFGH的形状,并说明理由. (3)请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系,并说明理由. 【分析】(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得结论; (2)由(1)中全等三角形的性质得到:EH=GF,同理可得FE=HG,即可得四边形EFGH是平行四边形; (3)由 轴对称﹣﹣最短路径问题得到:四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度. 【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠C. ∴在△AEH与△CGF中,, ∴△AEH≌△CGF(SAS); (2)四边形EFGH是平行四边形,理由如下: ∵由(1)知,△AEH≌△CGF,则EH=GF,同理证得△EBF≌△GDH,则EF=GH, ∴四边形EFGH是平行四边形; (3)四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度. 理由如下:作G关于BC的对称点G′,连接EG′,可得EG′的长度就是EF+FG的最小值. 连接AC, ∵CG′=CG=AE,AB∥CG′, ∴四边形AEG′C为平行四边形, ∴EG′=AC. 在△EFG′中,∵EF+FG′>EG′=AC, ∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度.

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