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2021年云南省曲靖市中考数学质量监测试卷
一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）1700年前，我国古代数学家刘徽首次明确提出了正数和负数的概念．如果向右走6米记为+6米，那么向左走2021米应记为　 　米．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
3．（3分）因式分解：3x2﹣12＝　 　．
4．（3分）若菱形的周长为20，一条对角线长为6，则另一条对角线长为　 　．
5．（3分）如图，从一块直径为2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形．则用剪成的这个扇形围成圆锥的底面圆的半径为　 　．（剪成的扇形的面积正好等于围成的圆锥的侧面积）
6．（3分）如图所示，点A（1，n）是反比例函数y＝﹣图象上的一点，AB⊥x轴于点B，点P是反比例函数y＝﹣图象上的一个动点，且S△ABP＝2，则点P的坐标是　 　．
二、选择题（本大题8个小题，每小题只有一个正确的选项，每小题4分，共32分）
7．（4分）中国高速路里程已突破120000公里，居世界第一位，将120000用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×104 B．1.2×105 C．0.12×105 D．12×104
8．（4分）如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）下列运算中，计算结果正确的是（　　）
A．a2?a3＝a6 B．a8÷a2＝a4
C．（a2b）2＝a2b2 D．＝2
10．（4分）若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是（　　）边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
11．（4分）有一组数：﹣，，﹣，，﹣…，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个数是（　　）
A．（﹣1）n+1 B．（﹣1）n+1
C．（﹣1）n D．（﹣1）n
12．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．为了解某市中小学生的视力情况，采用全面调查
B．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是3
C．“清明时节雨纷纷”是必然事件
D．甲、乙两个同学分别跳高10次，他们跳高成绩的平均数相同，方差分别是0.55、0.61，若从甲、乙两同学中选1人去参加市运会，则应选甲去参赛
13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝10，sin∠ADB＝．若按以下步骤作图：
①以点C为圆心，以CD长为半径作弧，交BD于点F；②分别以点D，F为圆心，以CD长为半径作弧，两弧相交于点G．作射线CG交BD于点E．则BE的长为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
14．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程＝1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的平方和为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
三、解答题（本大题共9小题，共70分）
15．（6分）计算：﹣（3.14﹣π）0+（）﹣2﹣6tan30°．
16．（6分）如图，点D，E分别在AB，AC上，AB＝AC，BD＝CE，求证：BE＝CD．
17．（8分）学习强国推出了“青年大学习”专题学习，让广大青少年通过丰富多彩的学习形式，形成大格局、富有大智慧．某校为了解学生对此次专题学习的关注程度，抽取了部分学生做问卷调查，用“A”表示“非常了解”，“B”表示“了解”，“C”表示“有所了解”，“D”表示“不了解”，如图甲、乙是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）设本次问卷调查抽取了n名学生，请直接写出n的值；
（2）将图甲中“B”部分的图形补充完整；
（3）如果该校有学生1000人，请你估计该校学生对此次专题学习关注程度“不了解”的约有多少人？
18．（6分）2020年为做好“精准扶贫”工作，某地第一次花费16000元购买了高原沃柑育苗若干株，为“加快产业扶贫，打赢脱贫攻坚战”，决定再次花费32000元购买同种高原沃柑育苗，第二次购买每株育苗价格比第一次每株育苗价格降低了20%，结果比第一次多买了960株，求第一次购买每株高原沃柑育苗多少元？
19．（7分）小丽和小华想利用摸乒乓球游戏决定谁去参加市里举办的喜迎建党一百周年以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主体的演讲比赛，游戏规则是：在一只不透明的袋子中装有4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、﹣2、3、﹣4，搅匀后，一人先从中随机摸出一个球（不放回），另一人再从余下的3个球中摸出一个球，若摸出的两个小球上的数字之和为偶数，则小丽去，否则小华去参赛．
（1）用列表法或树状图法，求小丽参赛的概率；
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
20．（8分）已知二次函数y＝x2+2kx+2k﹣1．
（1）求证：不论k为任何实数，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
（2）若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A、B，且点A（3，0），线段AB绕点B逆时针旋转45°得到线段A'B，求点A的对应点A'的坐标．
21．（8分）如图，BE是⊙O的直径，点A、D是⊙O上的两点，连接AE、AD、DE、AB，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CE＝AE＝3，求阴影部分的面积．
22．（9分）某企业接到一批医用口罩的生产任务，按要求在20天内完成，约定这批医用口罩的出厂价为每盒8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x天生产的医用口罩数量（盒数）为y盒，y与x满足如下关系式：y＝．
（1）小华第几天生产的医用口罩数量为220盒？
（2）设第x天每盒医用口罩的成本是P元，P与x之间的关系如图所示，若小华第x天创造的利润为W元，求W与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？
23．（12分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，在PC上截取PF＝PE，连接EF，点O为EF的中点．
（1）若AP＝1，求AE的长；
（2）求证：点O在∠BAD的平分线上；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，当DE的长度最小时，求cos∠APE的值．
2021年云南省曲靖市中考数学质量监测试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）1700年前，我国古代数学家刘徽首次明确提出了正数和负数的概念．如果向右走6米记为+6米，那么向左走2021米应记为　﹣2021　米．
【分析】直接利用向右走6米记为+6米，则向左走应记为负数，进而得出答案．
【解答】解：如果向右走6米记为+6米，那么向左走2021米应记为﹣2021米，
故答案为：﹣2021．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≤4　．
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：依题意有4﹣x≥0，
解得：x≤4．
故答案为：x≤4．
3．（3分）因式分解：3x2﹣12＝　3（x+2）（x﹣2）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣4）
＝3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
4．（3分）若菱形的周长为20，一条对角线长为6，则另一条对角线长为　8　．
【分析】由菱形的性质可得AB＝5，AO＝3，由勾股定理可求BO＝4，即可求解．
【解答】解：如图，
∵菱形的周长为20，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝5，AO＝CO＝3，AC⊥BD，BO＝DO，
∴BO＝＝＝4，
∴BD＝8，
故答案为：8．
5．（3分）如图，从一块直径为2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形．则用剪成的这个扇形围成圆锥的底面圆的半径为　　．（剪成的扇形的面积正好等于围成的圆锥的侧面积）
【分析】连接AB，根据圆周角定理得到AB为圆的直径，求出AC，根据弧长公式求出的长，根据圆锥的侧面展开图计算．
【解答】解：连接AB，
∵∠ACB＝90°，
∴AB为圆的直径，
∴AC＝BC＝，
∴的长＝＝，
设圆锥的底面圆的半径为r，
由题意得，2πr＝，
解得，r＝，即圆锥的底面圆的半径为，
故答案为：．
6．（3分）如图所示，点A（1，n）是反比例函数y＝﹣图象上的一点，AB⊥x轴于点B，点P是反比例函数y＝﹣图象上的一个动点，且S△ABP＝2，则点P的坐标是　（，﹣）或（，9）　．
【分析】利用待定系数法将A点坐标代入解析式求得n的值，这样AB＝3，OB＝1；过点P作PC⊥y轴于点C，交AB于点D，则CD＝1，设点P（m，），则PC＝m，PD＝|m﹣1|；由S△ABP＝2，可得×AB×PD＝2，因此m可求，结论可得，
【解答】解：∵点A（1，n）是反比例函数y＝﹣图象上的一点，
∴n＝﹣3．
∴A（1，﹣3）．
∴OB＝1，AB＝3．
过点P作PC⊥y轴于点C，交AB于点D，如图，
则CD＝OB＝1．
设点P（m，），则PC＝m，PD＝|m﹣1|．
∵S△ABP＝2，
∴×AB×PD＝2．
∴×3×|m﹣1|＝2．
解得：m＝或m＝﹣．
∴P（，﹣）或（，9）．
故答案为：（，﹣）或（，9）．
二、选择题（本大题8个小题，每小题只有一个正确的选项，每小题4分，共32分）
7．（4分）中国高速路里程已突破120000公里，居世界第一位，将120000用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×104 B．1.2×105 C．0.12×105 D．12×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：120000＝1.2×105，
故选：B．
8．（4分）如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形．
故选：A．
9．（4分）下列运算中，计算结果正确的是（　　）
A．a2?a3＝a6 B．a8÷a2＝a4
C．（a2b）2＝a2b2 D．＝2
【分析】分别计算下列各式即可．
【解答】解：A．a2?a3＝a5，故该选项错误，不符合题意；
B．a8÷a2＝a6，故该选项错误，不符合题意；
C．（a2b）2＝a4b2，故该选项错误，不符合题意；
D.＝3﹣＝2，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
10．（4分）若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是（　　）边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可．
【解答】解：∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°，
∴这个多边形的内角和为720°+360°＝1080°，
设多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝1080°，
解得：n＝8，
即多边形是八边形，
故选：C．
11．（4分）有一组数：﹣，，﹣，，﹣…，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个数是（　　）
A．（﹣1）n+1 B．（﹣1）n+1
C．（﹣1）n D．（﹣1）n
【分析】根据题目中给出的数字，可以发现奇数个数为负数，偶数个数为正数，分母是一些连续的整数的平方，从2开始；分子是一些连续的奇数，然后即可写出第n个数．
【解答】解：∵有一组数：﹣，，﹣，，﹣…，
∴第n个数为（﹣1）n?，
故选：C．
12．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．为了解某市中小学生的视力情况，采用全面调查
B．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是3
C．“清明时节雨纷纷”是必然事件
D．甲、乙两个同学分别跳高10次，他们跳高成绩的平均数相同，方差分别是0.55、0.61，若从甲、乙两同学中选1人去参加市运会，则应选甲去参赛
【分析】利用调查方式的选择、众数及中位数的定义、方差的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、为了解某市中小学生的视力情况，采用抽样调查，故原命题错误，不符合题意；
B、一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是5，故原命题错误，不符合题意；
C、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故原命题错误，不符合题意；
D、甲、乙两个同学分别跳高10次，他们跳高成绩的平均数相同，方差分别是0.55、0.61，若从甲、乙两同学中选1人去参加市运会，则应选甲去参赛，正确，符合题意，
故选：D．
13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝10，sin∠ADB＝．若按以下步骤作图：
①以点C为圆心，以CD长为半径作弧，交BD于点F；②分别以点D，F为圆心，以CD长为半径作弧，两弧相交于点G．作射线CG交BD于点E．则BE的长为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
【分析】由作法得CG⊥BD，则∠BEC＝90°，根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝10，AD∥BC，则sin∠EBC＝sin∠ADB＝，然后解直角三角形求出BE的长．
【解答】解：由作法得CG⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝10，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴sin∠EBC＝sin∠ADB＝．
在Rt△BCE中，sin∠EBC＝＝
∴CE＝×10＝4，
∴BE＝＝2．
故选：B．
14．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程＝1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的平方和为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】解一元一次不等式组，利用它的解集为x≤a，得到a的取值范围，再利用关于y的分式方程＝1的解为正整数，得到所有符合条件的a的值，结论可得．
【解答】解：解不等式组．
不等式①的解集为：x＜5．
不等式②的解集为：x≤a．
∵关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，
∴a＜5．
解关于y的分式方程＝1得：
y＝．
∵关于y的分式方程＝1的解为正整数，
∴a＝3或1或﹣1．
当a＝1时，分式方程有增根，故舍去．
∴所有满足条件的整数a的平方和为：32+（﹣1）2＝9+1＝10．
故选：A．
三、解答题（本大题共9小题，共70分）
15．（6分）计算：﹣（3.14﹣π）0+（）﹣2﹣6tan30°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣1+4﹣6×
＝2﹣1+4﹣2
＝3．
16．（6分）如图，点D，E分别在AB，AC上，AB＝AC，BD＝CE，求证：BE＝CD．
【分析】利用SAS证得△ADC≌△AEB后即可证得结论．
【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CE，
∴AD＝AE，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB，
∴BE＝CD．
17．（8分）学习强国推出了“青年大学习”专题学习，让广大青少年通过丰富多彩的学习形式，形成大格局、富有大智慧．某校为了解学生对此次专题学习的关注程度，抽取了部分学生做问卷调查，用“A”表示“非常了解”，“B”表示“了解”，“C”表示“有所了解”，“D”表示“不了解”，如图甲、乙是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）设本次问卷调查抽取了n名学生，请直接写出n的值；
（2）将图甲中“B”部分的图形补充完整；
（3）如果该校有学生1000人，请你估计该校学生对此次专题学习关注程度“不了解”的约有多少人？
【分析】（1）根据C类的人数和所占的百分比，可以计算出n的值；
（2）根据统计图中的数据和（1）中的结果，可以计算出图甲中“B”部分对应的人数，然后即可将图甲中“B”部分的图形补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校学生对此次专题学习关注程度“不了解”的约有多少人．
【解答】解：（1）由统计图可得，
n＝40÷20%＝200，
即n的值是200；
（2）B等级的人数为：200×50%＝100，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）1000×（1﹣50%﹣25%﹣20%）＝50（人），
即估计该校学生对此次专题学习关注程度“不了解”的约有50人．
18．（6分）2020年为做好“精准扶贫”工作，某地第一次花费16000元购买了高原沃柑育苗若干株，为“加快产业扶贫，打赢脱贫攻坚战”，决定再次花费32000元购买同种高原沃柑育苗，第二次购买每株育苗价格比第一次每株育苗价格降低了20%，结果比第一次多买了960株，求第一次购买每株高原沃柑育苗多少元？
【分析】设第一次购买每株高原沃柑育苗x元，则第二次购买每株高原沃柑育苗（1﹣20%）x元，利用数量＝总价÷单价，结合第二次比第一次多买了1000株，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设第一次购买每株高原沃柑育苗x元，则第二次购买每株高原沃柑育苗（1﹣20%）x元，
依题意得：﹣＝960，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意．
答：第一次购买每株高原沃柑育苗25元．
19．（7分）小丽和小华想利用摸乒乓球游戏决定谁去参加市里举办的喜迎建党一百周年以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主体的演讲比赛，游戏规则是：在一只不透明的袋子中装有4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、﹣2、3、﹣4，搅匀后，一人先从中随机摸出一个球（不放回），另一人再从余下的3个球中摸出一个球，若摸出的两个小球上的数字之和为偶数，则小丽去，否则小华去参赛．
（1）用列表法或树状图法，求小丽参赛的概率；
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【分析】（1）列表或树状图得出所有等可能的情况数，找出数字之和为偶数的情况数，求出小丽去参赛的概率；
（2）由小丽参赛的概率求出小华参赛的概率，比较即可得到游戏公平与否．
【解答】解：（1）根据题意列表得：
第一次 第二次 1 ﹣2 3 ﹣4
1 ﹣﹣﹣ （﹣2，1） （3，1） （﹣4，1）
﹣2 （1，﹣2） ﹣﹣﹣ （3，﹣2） （﹣4，﹣2）
3 （1，3） （﹣2，3） ﹣﹣﹣ （﹣4，3）
﹣4 （1，﹣4） （﹣2，﹣4） （3，﹣4） ﹣﹣﹣
由表可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有4种，
所以小丽参赛的概率为＝；
（2）游戏不公平，理由为：
∵小丽参赛的概率为，
∴小华参赛的概率为1﹣＝，
∵≠，
∴这个游戏不公平．
20．（8分）已知二次函数y＝x2+2kx+2k﹣1．
（1）求证：不论k为任何实数，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
（2）若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A、B，且点A（3，0），线段AB绕点B逆时针旋转45°得到线段A'B，求点A的对应点A'的坐标．
【分析】（1）计算判别式得到△＝4（k﹣1）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先把A点坐标代入y＝x2+2kx+2k﹣1中求出k得到抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，解方程x2﹣2x﹣3＝0得B（﹣1，0），则AB＝4，根据旋转的性质得到∠A′BA＝45°，BA′＝BA＝4，过A′点作A′H⊥x轴于H，如图，利用等腰直角三角形的性质得到A′H＝BH＝A′B＝2，从而得到A′点的坐标．
【解答】（1）证明：∵△＝（2k）2﹣4（2k﹣1）
＝4k2﹣8k+4
＝4（k﹣1）2≥0，
∴不论k为任何实数，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
（2）解：把A（3，0）代入y＝x2+2kx+2k﹣1得9+6k+2k﹣1＝0，解得k＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则B（﹣1，0），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，
∵线段AB绕点B逆时针旋转45°得到线段A'B，
∴∠A′BA＝45°，BA′＝BA＝4，
过A′点作A′H⊥x轴于H，如图，则A′H＝BH＝A′B＝2，
∴OH＝BH﹣OB＝2﹣1，
∴A′（2﹣1，2）．
21．（8分）如图，BE是⊙O的直径，点A、D是⊙O上的两点，连接AE、AD、DE、AB，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CE＝AE＝3，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OA，过O作OF⊥AE于f，得到∠EAO+∠AOF＝90°，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠EDA＝∠AOF，推出OA⊥AC，得到AC是⊙O的切线；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠EAC，得到∠AEO＝2∠EAC，推出△OAE是等边三角形，根据扇形的面积公式得到S扇形AOE＝π，求得S△AOE＝AE?OF＝，于是得到结论．
【解答】（1）证明：连接OA，过O作OF⊥AE于F，
∴∠AFO＝90°，
∴∠EAO+∠AOF＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠EOF＝∠AOF＝∠AOE，
∵∠EDA＝∠AOE，
∴∠EDA＝∠AOF，
∵∠EAC＝∠EDA，
∴∠EAC＝∠AOF，
∴∠EAO+∠EAC＝90°，
∵∠EAC+∠EAO＝∠CAO，
∴∠CAO＝90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵CE＝AE＝3，
∴∠C＝∠EAC，
∵∠EAC+∠C＝∠AEO，
∴∠AEO＝2∠EAC，
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠EAO，
∴∠EAO＝2∠EAC，
∵∠EAO+∠EAC＝90°，
∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°，
∴△OAE是等边三角形，
∴OA＝AE，∠EOA＝60°，
∴OA＝3，
∴S扇形AOE＝＝π，
在Rt△OAF中，OF＝OA?sin∠EAO＝3×＝，
∴S△AOE＝AE?OF＝3×＝，
∴阴影部分的面积＝π﹣．
22．（9分）某企业接到一批医用口罩的生产任务，按要求在20天内完成，约定这批医用口罩的出厂价为每盒8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x天生产的医用口罩数量（盒数）为y盒，y与x满足如下关系式：y＝．
（1）小华第几天生产的医用口罩数量为220盒？
（2）设第x天每盒医用口罩的成本是P元，P与x之间的关系如图所示，若小华第x天创造的利润为W元，求W与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？
【分析】（1）根据函数解析式y＝，当0≤x≤7时，可知y＝20x，y＝220时，即20x＝220，即可求得x的值，检验可知不符合题意；当7＜x≤20时，可知y＝10x+100，y＝220时，即10x+100＝220时，即可求得x的值，检验符合题意，即可确定是第几天；
（2）先根据函数的图象，可知0≤x≤10时，P＝4.8；当10＜x≤20时，设P＝kx+b（k≠0），代入点（10，4.8）和点（20，5.8），即可得到k，b的二元一次方程组，解方程组，求出k，b的值，即可得到P＝0.1x+3.8，由此得到P与x的解析式为P＝；然后分三种情况：当0≤x≤7时，根据W＝y（8﹣P），代入y＝20x和P＝4.8，即可得到W＝64x；根据正比例函数的性质，可知x＝7时W有最大值448元；当7＜x≤10时，根据W＝y（8﹣P），代入y＝10x+100和P＝4.8，即可得到W＝32x+320；根据一次函数的性质可知，x＝10时W有最大值640元；当10＜x≤20时，根据W＝y（8﹣P），代入y＝10x+100和P＝0.1x+3.8，即可得到W＝﹣x2+32x+420；根据二次函数的性质，可知x＝16时，W有最大值676元；由此得到W与x之间的函数解析式为W＝，并且根据448＜640＜676，即可得出W的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵生产时间第x天与生产数量y盒之间的函数关系式为：
y＝，
当20x＝220时，
解得：x＝11，
∵11＞7，x＝11不合题意，应舍去，
当10x+100＝220时，
解得：x＝12，
∴小华第12天生产的医用口罩数量为220盒；
（2）观察生产时间第x天与生产成本P元之间的函数关系图象知，
当0≤x≤10时，P＝4.8，
当10＜x≤20时，
设P＝kx+b（k≠0），
∵P＝kx+b过点（10，4.8）和点（20，5.8），
∴，
解得：，
∴P＝0.1x+3.8（10＜x≤20），
①当0≤x≤7时，
W＝y（8﹣P）
＝20x（8﹣4.8）
＝64x，
此时x＝7时W有最大值64×7＝448（元）；
②当7＜x≤10时，
W＝y（8﹣P）
＝（10x+100）×（8﹣4.8）
＝32x+320，
此时x＝10时W有最大值32×10+320＝640（元），
③当10＜x≤20时，
W＝y（8﹣P）
＝（10x+100）（8﹣0.1x﹣3.8）
＝﹣x2+32x+420
＝﹣（x﹣16）2+676；
∵该抛物线开口向下，对称轴为直线x＝16，顶点坐标为（16，676），
∴当x＝16时，W有最大值676元，
∴W与x之间的函数表达式为：
W＝，
∵448＜640＜676，
∴第16天时取得最大利润676元，
综上所述，第16天时取得最大利润，最大利润为676元．
23．（12分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，在PC上截取PF＝PE，连接EF，点O为EF的中点．
（1）若AP＝1，求AE的长；
（2）求证：点O在∠BAD的平分线上；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，当DE的长度最小时，求cos∠APE的值．
【分析】（1）根据题意证明△EPA～△PCB，再由相似比即可计算出AE的长；
（2）过点O作OG⊥AB于点G，作OH⊥DA于点H，通过△HOE≌△GOP求正四边形OHAG为正方形即可证明点O在∠BAD的平分线上；
（3）设AP＝x，则BP＝3﹣x，通过△EPA与△PCB相似利用相似比，结合二次函数最值问题即可求出AE的最大值，即此时DE为最小值，再求出cos∠APE的值即可．
【解答】解：（1）由题意得∠A＝∠B＝90°，
又∵EP⊥CP，
∴∠EPA+∠CPB＝90°，
而在Rt△CPB中，∠CPB+∠PCB＝90°，
∴∠EPA＝∠PCB，
∴△EPA～△PCB，
∴＝，
又∵四边形ABCD是正方形，AB＝BC＝3，AP＝1，
∴BP＝AB﹣AP＝3﹣1＝2，
∴，
∴AE＝；
（2）过点O作OG⊥AB于点G，作OH⊥DA于点H，
由题意可知，四边形OHAG为矩形，
∵点O为EF的中点且EP⊥CP，PE＝PF，
∴△EPF为等腰直角三角形中，
∴OE＝OP，
又∵∠HOE+∠EOG＝90°，∠GOP+∠EOG＝90°，
∴∠HOE＝∠GOP，
在△HOE和△GOP中，
，
∴△HOE≌△GOP（AAS）
∴OH＝OG，
∴矩形OHAG为正方形，
∴点O在∠BAD的平分线上；
（3）设AP＝x，则BP＝3﹣x，
∵△EPA～△PCB，
∴，
即，
∴AE＝﹣+x＝﹣（x）2+，
又∵﹣，
∴当AP＝时，AE取得最大值，此时DE的长度最小，
在Rt△APE中，PE＝＝＝，
∴cos∠APE＝＝＝．

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