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2021年湖北省武汉市洪山区中考数学模拟试卷(5月份)(Word版 含解析)

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2021年湖北省武汉市洪山区中考数学模拟试卷(5月份)(Word版 含解析)

2021年湖北省武汉市洪山区中考数学模拟试卷(5月份) 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分) 1.(3分)﹣2的相反数是(  ) A. B.﹣ C.2 D.﹣2 2.(3分)式子在实数范围内有意义,则a的取值范围是(  ) A.a≥﹣2 B.a≤﹣2 C.a=0 D.a≥2 3.(3分)下列事件中,是必然事件的是(  ) A.任意买一张电影票,座位号是2的倍数 B.13个人中至少有两个人生肖相同 C.车辆随机到达一个路口,遇到红灯 D.明天一定会下雨 4.(3分)下列四个标志中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是(  ) A. B. C. D. 5.(3分)如图,这是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形,它的主视图是(  ) A. B. C. D. 6.(3分)袋中有三个小球,分别为1个红球和2个黄球,它们除颜色外完全相同.随机取出一个小球然后放回,再随机取出一个小球,则两次取出的小球颜色不同的概率为(  ) A. B. C. D. 7.(3分)已知A(m+1,y1),B(3﹣m,y2)两点在图象y=+2上,且y1>y2,则m的取值范围是(  ) A.m<1 B.m>3 C.1<m<3 D.﹣1<m<1或m>3 8.(3分)用描点法画一次函数图象,在如表格中有一组数据错误,这组错误的数据是(  ) x ﹣2 ﹣1 1 2 y 12 11 10 8 A.(﹣2,12) B.(﹣1,11) C.(1,10) D.(2,8) 9.(3分)如图,已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠ABC的平分线与⊙O交于点D,与AC交于点E,连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F,∠BAC=60°,⊙O的半径为2,则图中阴影部分的面积为(  ) A.﹣ B. C.﹣ D.1﹣ 10.(3分)在平面直角坐标系中,反比例函数y=的图象经过(a,m+2),(b,m)两点,则代数式的值是(  ) A. B.﹣ C.2 D.﹣3 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 11.(3分)=   . 12.(3分)某车间20名工人日加工零件数如表所示:这些工人日加工零件数的中位数是   . 日加工零件数 4 5 6 7 8 人数 2 6 5 4 3 13.(3分)分式方程﹣=1的解是   . 14.(3分)在数学实践与综合课上,某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1,2号楼进行测高实践,如图为实践时绘制的截面图.无人机从地面点垂直起飞到达点A处,测得1号楼顶部E的俯角为67°,测得2号楼顶部F的俯角为40°,此时航拍无人机的高度为60米,已知1号楼的高度为20米,且EC和FD分别垂直地面于点C和D,点B为CD的中点,则2号楼的高度为   (结果精确到0.1)(参考数据sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,tan67°≈2.36) 15.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),其中点A(﹣1,0),与y轴交于点C(0,c),其中2≤c≤3,对称轴为直线x=1,现有如下结论: ①2a+b=0;②当x≥3时,y<0;③这个二次函数的最大值为;④﹣1≤a≤﹣.则其中正确结论的序号为   . 16.(3分)小慧用图1中的一副七巧板拼成如图2的“行礼图”,已知正方形ABCD的边长为4,则图2中的h的值为   . 三、解答题(共8题,共72分) 17.(8分)解不等式组 请按下列步骤完成解答: (Ⅰ)解不等式①,得   ; (Ⅱ)解不等式②,得   ; (Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来; (Ⅳ)原不等式组的解集为   . 18.(8分)如图,AB⊥AD,CD⊥AD,∠1=∠2.求证:DE∥AF. 19.(8分)“保护环境,人人有责”,为了了解某市的空气质量情况,某校环保兴趣小组,随机抽取了2019年内该市若干天的空气质量情况作为样本进行统计,绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出). 请你根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)补全条形统计图; (2)估计该市这一年(365天)空气质量达到“优”和“良”的总天数; (3)计算随机选取这一年内的某一天,空气质量是“优”的概率. 20.(8分)如图是由边长为1的小正方形构成的网格,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的顶点都在格点上,仅用无刻度的直尺在网格中画图(保留作图连线痕迹),并回答问题. (1)在BC的右边找格点D,连AD,使AD平分∠BAC. (2)若AD与BC交于E,直接写出的值. (3)找格点F,连EF,使EF⊥AB于H. (4)在AC上找点G,连EG,使EG∥AB. 21.(8分)如图,AB是⊙O的直径,AC交⊙O于点D,点E是弧AD的中点,BE交AC于点F,BC=FC. (1)求证:BC是⊙O的切线; (2)若BF=3EF,求tan∠ACE的值. 22.(10分)某公司经营杨梅业务,以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后,分拣成A、B两类,A类杨梅包装后直接销售;B类杨梅深加工后再销售A类杨梅的包装成本为1万元/吨,根据市场调查,它的平均销售价格y(单位:万元/吨)与销售数量x(x≥2)之间的函数关系如图;B类杨梅深加工总费用s(单位:万元)与加工数量t(单位:吨)之间的函数关系是s=12+3t,平均销售价格为9万元/吨. (1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式; (2)第一次,该公司收购了20吨杨梅,其中A类杨梅有x吨,经营这批杨梅所获得的总利润为w万元,求w关于x的函数关系式; (3)第二次,该公司准备投入132万元资金,请设计一种经营方案,使公司获得最大利润,并求出最大利润. 23.(10分)△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,F,E是AC上两点,连接BE,DF交于△ABC内一点G,且∠EGF=45°. (1)如图1,若AE=3CE=3,求BG的长; (2)如图2,若E为AC上任意一点,连接AG,求证:∠EAG=∠ABE; (3)若E为AC的中点,求EF:FD的值. 24.(12分)已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过A(﹣1,0),且与x轴右侧交于B点,对称轴为直线x=1,与y轴交于C点. (1)求抛物线的解析式; (2)过点C作直线l∥x轴交抛物线于点D,点P在抛物线上,且∠DCP=∠ACO,求点P的坐标; (3)直线y=kx+b(k≠b)交抛物线于M、N两点,NH⊥x轴于点H,HQ∥MA,HQ与MN相交于点Q,求点Q的横坐标. 2021年湖北省武汉市洪山区中考数学模拟试卷(5月份) 参考答案与试题解析 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分) 1.(3分)﹣2的相反数是(  ) A. B.﹣ C.2 D.﹣2 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得一个数的相反数. 【解答】解:﹣2的相反数是2, 故选:C. 2.(3分)式子在实数范围内有意义,则a的取值范围是(  ) A.a≥﹣2 B.a≤﹣2 C.a=0 D.a≥2 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案. 【解答】解:由题意可知:a+2≥0, ∴a≥﹣2, 故选:A. 3.(3分)下列事件中,是必然事件的是(  ) A.任意买一张电影票,座位号是2的倍数 B.13个人中至少有两个人生肖相同 C.车辆随机到达一个路口,遇到红灯 D.明天一定会下雨 【分析】必然事件就是一定发生的事件,依据定义即可判断. 【解答】解:A、“任意买一张电影票,座位号是2的倍数”是随机事件,故此选项错误; B、“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件,故此选项正确; C、“车辆随机到达一个路口,遇到红灯”是随机事件,故此选项错误; D、“明天一定会下雨”是随机事件,故此选项错误; 故选:B. 4.(3分)下列四个标志中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念,对各选项分析判断即可得解. 【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意; B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意; C、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项符合题意; D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意. 故选:C. 5.(3分)如图,这是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形,它的主视图是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案. 【解答】解:从正面看有三列,从左到右依次有1、1、2个正方形,图形如下: 故选:A. 6.(3分)袋中有三个小球,分别为1个红球和2个黄球,它们除颜色外完全相同.随机取出一个小球然后放回,再随机取出一个小球,则两次取出的小球颜色不同的概率为(  ) A. B. C. D. 【分析】画树状图,共有9个等可能的结果,两次取出的小球颜色不同的结果有4个,再由概率公式求解即可. 【解答】解:画树状图如图: 共有9个等可能的结果,两次取出的小球颜色不同的结果有4个, ∴两次取出的小球颜色不同的概率为, 故选:D. 7.(3分)已知A(m+1,y1),B(3﹣m,y2)两点在图象y=+2上,且y1>y2,则m的取值范围是(  ) A.m<1 B.m>3 C.1<m<3 D.﹣1<m<1或m>3 【分析】由y=+2可知图象的每一个分支y随x的增大而减小,根据反比例函数的性质得出不等式组,解不等式组即可求解. 【解答】解:由y=+2可知图象的每一个分支y随x的增大而减小. ∵y1>y2, ∴0<m+1<3﹣m或m+1<3﹣m<0或, 解得﹣1<m<1或m>3. 故选:D. 8.(3分)用描点法画一次函数图象,在如表格中有一组数据错误,这组错误的数据是(  ) x ﹣2 ﹣1 1 2 y 12 11 10 8 A.(﹣2,12) B.(﹣1,11) C.(1,10) D.(2,8) 【分析】在坐标系描点,即可得到在同一直线上的三点,从而得到结论 【解答】解:根据表格数据描点,如图, 则点(﹣2,12),(﹣1,11),(2,8)在同一直线上,点(1,10)没在这条直线上, 故选:C. 9.(3分)如图,已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠ABC的平分线与⊙O交于点D,与AC交于点E,连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F,∠BAC=60°,⊙O的半径为2,则图中阴影部分的面积为(  ) A.﹣ B. C.﹣ D.1﹣ 【分析】由切线的性质得:∠OAF=90°,证明△ABC是等边三角形,得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,根据三角形的内角和定理证明∠BAD=90°,得出△ADF是含30度的直角三角形,得AD=CD=2DF,求出DF=1,AF=,根据阴影部分的面积=S梯形AODF﹣S扇形OAD代入可得结论. 【解答】解:如图1,连接OA,AD, ∵AF是⊙O的切线, ∴∠OAF=90°, ∵AB=AC,∠BAC=60°, ∴△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°, ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD=30°, ∵∠ADB=∠ACB=60°, ∴∠BAD=90°, ∴BD是⊙O的直径, ∵OA=OB=OD, ∴∠ABO=∠OAB=30°,∠OAD=∠ADO=∠AOD=60°, ∵∠BDC=∠BAC=60°, ∴∠ADF=180°﹣60°﹣60°=60°=∠OAD, ∴OA∥DF, ∴∠F=180°﹣∠OAF=90°, ∵∠DAF=30°, ∴AD=2DF, ∵⊙O的半径为2, ∴AD=OA=2,DF=1,AF=, ∵∠AOD=60°, ∴阴影部分的面积为:S梯形AODF﹣S扇形OAD===π. 故选:C. 10.(3分)在平面直角坐标系中,反比例函数y=的图象经过(a,m+2),(b,m)两点,则代数式的值是(  ) A. B.﹣ C.2 D.﹣3 【分析】根据题意得到=m+2,=m,从而得到﹣=2,进一步得到a﹣b=﹣2ab,代入变形后的代数式即可求得. 【解答】解:∵反比例函数y=的图象经过(a,m+2),(b,m)两点, ∴=m+2,=m, ∴﹣=2, ∴=2, ∴a﹣b=﹣2ab, ===, 故选:A. 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 11.(3分)= 9 . 【分析】利用二次根式的性质化简即可. 【解答】解:原式=|﹣9| =9. 故答案为9. 12.(3分)某车间20名工人日加工零件数如表所示:这些工人日加工零件数的中位数是 6 . 日加工零件数 4 5 6 7 8 人数 2 6 5 4 3 【分析】根据中位数的定义求解即可. 【解答】解:这组数据的中位数为=6, 故答案为:6. 13.(3分)分式方程﹣=1的解是 x=﹣1.5 . 【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解. 【解答】解:去分母得:x(x+2)﹣1=x2﹣4, 整理得:x2+2x﹣1=x2﹣4, 移项合并得:2x=﹣3 解得:x=﹣1.5, 经检验x=﹣1.5是分式方程的解. 故答案为:x=﹣1.5. 14.(3分)在数学实践与综合课上,某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1,2号楼进行测高实践,如图为实践时绘制的截面图.无人机从地面点垂直起飞到达点A处,测得1号楼顶部E的俯角为67°,测得2号楼顶部F的俯角为40°,此时航拍无人机的高度为60米,已知1号楼的高度为20米,且EC和FD分别垂直地面于点C和D,点B为CD的中点,则2号楼的高度为 45.8米 (结果精确到0.1)(参考数据sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,tan67°≈2.36) 【分析】通过作辅助线,构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系,分别求出EM,AN,进而计算出2号楼的高度DF即可. 【解答】解:过点E、F分别作EM⊥AB,FN⊥AB,垂足分别为M、N, 由题意得,EC=20,∠AEM=67°,∠AFN=40°,CB=DB=EM=FN,AB=60, ∴AM=AB﹣MB=60﹣20=40, 在Rt△AEM中, ∵tan∠AEM=, ∴EM==≈16.9, 在Rt△AFN中, ∵tan∠AFN=, ∴AN=tan40°×16.9≈14.2, ∴FD=NB=AB﹣AN=60﹣14.2=45.8, 答:2号楼的高度约为45.8米, 故答案为:45.8米. 15.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),其中点A(﹣1,0),与y轴交于点C(0,c),其中2≤c≤3,对称轴为直线x=1,现有如下结论: ①2a+b=0;②当x≥3时,y<0;③这个二次函数的最大值为;④﹣1≤a≤﹣.则其中正确结论的序号为 ①④ . 【分析】根据对称轴即可判断①;由题意抛物线开口向下,由图象上点的坐标特征即可判断②;求得c=﹣3a,由2≤c≤3,即可判断④;求得二次函数的最大值=c+c=c,由2≤c≤3得出二次函数的最大值的最小值,最大值的最大值为4,即可判断③. 【解答】解:由对称轴可知:﹣=1, ∴b=﹣2a, ∴2a+b=0,故①正确; ∵(﹣1,0)关于直线的x=1的对称点是(3,0),由于与y轴的交点C在(0,2)和(0,3)之间(包括这两点), ∴抛物线的开口向下, ∴x≥3时,y≤0,故②错误; ∵抛物线经过A(﹣1,0), ∴a﹣b+c=0, ∴c=﹣3a, ∵2≤c≤3, ∴2≤﹣3a≤3, ∴﹣1≤a≤﹣.故④正确; ∵抛物线的开口向下,b=﹣2a, ∴抛物线有最大值:=c﹣a, ∵c=﹣3a, ∴a=﹣c, ∴二次函数的最大值=c+c=c, ∵2≤c≤3. ∴二次函数的最大值的最小值,最大值的最大值为4,故③错误; 故答案为①④. 16.(3分)小慧用图1中的一副七巧板拼成如图2的“行礼图”,已知正方形ABCD的边长为4,则图2中的h的值为 4+ . 【分析】根据七巧板的特征,依次得到②④⑥⑦的高,再相加即可求解. 【解答】解:∵正方形ABCD的边长为4, ∴②的斜边上的高为2,④的高为1,⑥的斜边上的高为1,⑦的斜边上的高为, ∴图2中h的值为4+. 故答案为:. 三、解答题(共8题,共72分) 17.(8分)解不等式组 请按下列步骤完成解答: (Ⅰ)解不等式①,得 x≤1 ; (Ⅱ)解不等式②,得 x≥﹣3 ; (Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来; (Ⅳ)原不等式组的解集为 ﹣3≤x≤1 . 【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集. 【解答】解:, (Ⅰ)解不等式①,得x≤1, (Ⅱ)解不等式②,得x≥﹣3, (Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来: (Ⅳ)原不等式组的解集为﹣3≤x≤1. 故答案为:x≤1,x≥﹣3,﹣3≤x≤1. 18.(8分)如图,AB⊥AD,CD⊥AD,∠1=∠2.求证:DE∥AF. 【分析】由AB⊥AD,CD⊥AD,根据平行线的判定可得CD∥AB,则∠CDA=∠BAD,又因为∠1=∠2,所以可得到∠EDA=∠FAD,即可根据平行线的判定得到DE∥AF. 【解答】证明:∵AB⊥AD,CD⊥AD, ∴CD∥AB, ∴∠CDA=∠BAD, 又∵∠1=∠2, ∴∠EDA=∠FAD, ∴DE∥AF. 19.(8分)“保护环境,人人有责”,为了了解某市的空气质量情况,某校环保兴趣小组,随机抽取了2019年内该市若干天的空气质量情况作为样本进行统计,绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出). 请你根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)补全条形统计图; (2)估计该市这一年(365天)空气质量达到“优”和“良”的总天数; (3)计算随机选取这一年内的某一天,空气质量是“优”的概率. 【分析】(1)根据轻度污染的天数除以它所占的百分比,可得样本容量,根据各小组频数之和等于数据总数,可得轻微污染的天数,即可补全条形统计图; (2)根据一年的时间乘以“优”和“良”所占的百分比,可得答案; (3)根据样本估计总体的思想,用样本中空气质量是“优”的天数除以样本容量,可得答案. 【解答】解:(1)样本容量3÷5%=60, 60﹣12﹣36﹣3﹣2﹣1=6, 补全条形统计图如图: (2)由(1)知样本容量是60, ∴该市这一年(365天)空气质量达到“优”和“良”的总天数为: 365×=292(天). (3)随机选取这一年内的某一天,空气质量是“优”的概率为:. 20.(8分)如图是由边长为1的小正方形构成的网格,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的顶点都在格点上,仅用无刻度的直尺在网格中画图(保留作图连线痕迹),并回答问题. (1)在BC的右边找格点D,连AD,使AD平分∠BAC. (2)若AD与BC交于E,直接写出的值. (3)找格点F,连EF,使EF⊥AB于H. (4)在AC上找点G,连EG,使EG∥AB. 【分析】(1)本题有4个D点,强调在BC右边后还有3个D点,如图所示. (2)利用==,或利用E为网格中点求==. (3)可用三高交于一点找F点. (4)将BC平移到AK位置,再用线段PQ将AK分为=,连ET交AC于G点,则G为所求. 【解答】解:(1)如图,点D即为所求作. (2)∵BD3∥AC, ∴==. (3)如图,线段FH即为所求作. (4)如图,点G即为所求作. 21.(8分)如图,AB是⊙O的直径,AC交⊙O于点D,点E是弧AD的中点,BE交AC于点F,BC=FC. (1)求证:BC是⊙O的切线; (2)若BF=3EF,求tan∠ACE的值. 【分析】(1)连接AE,利用直径所对的圆周角是直角可得∠AED=90°,利用等弧所对的圆周角相等和等边对等角,通过等量代换得到∠ABC=90°,结论可证; (2)连接OE,BD,由垂径定理的推论可得OE垂直平分AD,由直径所对的圆周角为直角,可得BD⊥AD,则BD∥OE,由平行线分线段成比例定理可得:.设EH=2a,则BD=6a,由三角形的中位线定理可得OH,圆的半径可求;利用勾股定理可求BD;利用△ABD∽△BCD,可求线段CD,则CH可求,在Rt△EHC中,tan∠ACE=,结论可得. 【解答】解(1)证明:连接AE,如图, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠AEB=90°. ∴∠EAF+∠AFE=∠EAB+∠ABE=90°. ∵点E是弧AD的中点, ∴=. ∴∠EAD=∠ABE. ∴∠AFE+∠ABE=90°. ∵∠AFE=∠BFC, ∴∠ABE+∠CFB=90°. ∵BC=FC, ∴∠CFB=∠CBF. ∴∠CBF+∠ABE=90°. ∴∠ABC=90°, ∵AB是⊙O的直径, ∴BC是⊙O的切线. (2)连接OE,BD,如图, ∵点E是弧AD的中点, ∴OH⊥AD,AH=HD=AD. ∵AB是⊙O的直径, ∴BD⊥AD. ∴BD∥OE. ∴. ∵BF=3EF, ∴. 设EH=2a,则BD=6a. ∵OE∥BD,OA=OB, ∴OF=BD=3a. ∴OA=OE=OH+HE=5a. ∴AB=2OA=10a. ∴AD=. ∴HD=AD=4a. ∵∠ABC=90°,BD⊥AC, ∴△ABD∽△BCD. ∴. ∴CD=. ∴CH=HD+CD=. 在Rt△EHC中,tan∠ACE=. 22.(10分)某公司经营杨梅业务,以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后,分拣成A、B两类,A类杨梅包装后直接销售;B类杨梅深加工后再销售A类杨梅的包装成本为1万元/吨,根据市场调查,它的平均销售价格y(单位:万元/吨)与销售数量x(x≥2)之间的函数关系如图;B类杨梅深加工总费用s(单位:万元)与加工数量t(单位:吨)之间的函数关系是s=12+3t,平均销售价格为9万元/吨. (1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式; (2)第一次,该公司收购了20吨杨梅,其中A类杨梅有x吨,经营这批杨梅所获得的总利润为w万元,求w关于x的函数关系式; (3)第二次,该公司准备投入132万元资金,请设计一种经营方案,使公司获得最大利润,并求出最大利润. 【分析】(1)分段求解:①当2≤x<8时,设直线AB解析式为:y=kx+b,用待定系数法求解;②当x≥8时,y=6; (2)设销售A类杨梅x吨,则销售B类杨梅(20﹣x)吨.根据利润等于销售总收入减去经营总成本,分段求解:①当2≤x<8时,②当x≥8时,分别求得wA与wB并求和即可; (3)设该公司用132万元共购买了m吨杨梅,其中A类杨梅为x吨,B类杨梅为(m﹣x)吨,则购买费用为3m万元,A类杨梅加工成本为x万元,B类杨梅加工成本为[12+3(m﹣x)]万元,用含m的式子表示出x,根据利润等于销售总收入减去经营总成本,分段求解:①当2≤x<8时,②当x≥8时,分别求得wA与wB并求和,根据二次函数和一次函数的性质可求得最大利润,从而问题得解. 【解答】解:(1)①当2≤x<8时,设直线AB解析式为:y=kx+b, 将A(2,12)、B(8,6)代入得: , 解得, ∴y=﹣x+14(2≤x<8); ②当x≥8时,y=6. ∴A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为:y=; (2)设销售A类杨梅x吨,则销售B类杨梅(20﹣x)吨. 当2≤x<8时, wA=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x; wB=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x, ∴w=wA+wB﹣3×20 =(﹣x2+13x)+(108﹣6x)﹣60 =﹣x2+7x+48; 当x≥8时, wA=6x﹣x=5x; wB=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x, ∴w=wA+wB﹣3×20 =(5x)+(108﹣6x)﹣60 =﹣x+48. ∴w关于x的函数关系式为:w=; (3)设该公司用132万元共购买了m吨杨梅,其中A类杨梅为x吨,B类杨梅为(m﹣x)吨,则购买费用为3m万元,A类杨梅加工成本为x万元,B类杨梅加工成本为[12+3(m﹣x)]万元, ∴3m+x+[12+3(m﹣x)]=132, 化简得:x=3m﹣60. ①当2≤x<8时, wA=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x; wB=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12, ∴w=wA+wB﹣3×m =(﹣x2+13x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m =﹣x2+7x+3m﹣12. 将3m=x+60代入得:w=﹣x2+8x+48=﹣(x﹣4)2+64, ∴当x=4时,有最大毛利润64万元, 此时m=,m﹣x=; ②当x≥8时,wA=6x﹣x=5x; wB=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12, ∴w=wA+wB﹣3×m =(5x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m =﹣x+3m﹣12. 将3m=x+60代入得:w=48, ∴当x>8时,有最大毛利润48万元. 综上所述,购买杨梅共吨,其中A类杨梅4吨,B类吨,公司能够获得最大毛利润,最大毛利润为64万元. 23.(10分)△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,F,E是AC上两点,连接BE,DF交于△ABC内一点G,且∠EGF=45°. (1)如图1,若AE=3CE=3,求BG的长; (2)如图2,若E为AC上任意一点,连接AG,求证:∠EAG=∠ABE; (3)若E为AC的中点,求EF:FD的值. 【分析】(1)首先求出AB、AE,由△ABG∽△EBA即可解决问题; (2)如图,连接AD,证明A、B、D、G四点共圆,即可解决问题. (3)如图,连接DE;证明AF=2EF=2λ;证明DE=3λ;证明∠DEF=90°,求出DF=λ,即可解决问题. 【解答】(1)解:如图1中,连接AD,AG. ∵∠A=90°,AB=AC,D为BC中点, ∴∠ADB=90°,DA=DB; ∴∠DAB=∠ABD=45°; ∵∠BGD=∠EGF=45°, ∴A、B、D、G四点共圆, ∴∠AGB=∠ADB=90°, 即AG⊥BE; ∴∠ABE+∠BAG=∠BAG+∠EAG, ∴∠EAG=∠ABE, ∴∠BAG=∠AEB, ∵AE=3EC=3, ∴EC=1,AE=3,AB=AB=4,BE==5, ∵∠ABG=∠ABE,∠AGB=∠BAE, ∴△ABG∽△EBA, ∴=, ∴BG=. (2)证明:如图2中,连接AD; ∵∠A=90°,AB=AC,D为BC中点, ∴∠ADB=90°,DA=DB; ∴∠DAB=∠ABD=45°; ∵∠BGD=∠EGF=45°, ∴A、B、D、G四点共圆, ∴∠AGB=∠ADB=90°, 即AG⊥BE; ∴∠ABE+∠BAG=∠BAG+∠EAG, ∴∠EAG=∠ABE, (3)解:如图2中,连接DE; ∵∠AGE=90°,∠EGF=45°, ∴∠AGF=∠EGF=45°, ∴AF:EF=AG:EG; ∵∠BAE=∠AGE=90°,∠EAG=∠ABE, ∴△ABE∽△GAE, ∴AB:AE=AG:GE=2:1, ∴AF=2EF(设EF为λ)(角平分线的性质定理), ∵点E为AC的中点, ∴AB=AC=6λ; ∵点D、E分别为BC、AC的中点, ∴DE∥AB,DE=AB=3λ, ∴∠DEF=90°; 由勾股定理得:DF2=EF2+DE2=10λ2, ∴DF=λ, EF:DF=λ:λ=1:. 24.(12分)已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过A(﹣1,0),且与x轴右侧交于B点,对称轴为直线x=1,与y轴交于C点. (1)求抛物线的解析式; (2)过点C作直线l∥x轴交抛物线于点D,点P在抛物线上,且∠DCP=∠ACO,求点P的坐标; (3)直线y=kx+b(k≠b)交抛物线于M、N两点,NH⊥x轴于点H,HQ∥MA,HQ与MN相交于点Q,求点Q的横坐标. 【分析】(1)利用A(﹣1,0),对称轴为直线x=1,可得点B的坐标为(3,0),将A,B的坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3中,利用待定系数法抛物线解析式可求; (2)根据题意确定点P的位置,分P在直线CD的上方和P在直线CD的下方两种情形解答;过P作PE⊥CD于E,设出P点坐标,用坐标表示出相应线段,根据∠DCP=∠ACO,则得tan∠DCP=tan∠ACO=,可得.列出比例式,P点坐标可求; (3)过M作MG⊥x轴于G,过Q作QT⊥x轴于T,分别设出M,N,Q的坐标,利用坐标表示出相应线段;将抛物线与直线解析式联立,利用一元二次方程根于系数的关系得出M,N的横坐标的关系;利用△MGA∽△QTH,列出比例式,结论可求. 【解答】解:(1)∵A(﹣1,0),对称轴为直线x=1, ∴点B的坐标为(3,0). 将A,B的坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3中得: . 解得:. ∴抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣3. (2)①当P在直线CD的上方时,过P作PE⊥CD于E,如图, ∵A(﹣1,0), ∴OA=3. 令x=0,则y=﹣3. ∴C(0,﹣3). ∴OC=3. 设P(m,m2﹣2m﹣3),m>0,m2﹣2m﹣3<0, ∵CD∥x轴,PE⊥CD, ∴CE=m,PE=3﹣(﹣m2+2m+3)=m2﹣2m. ∵tan∠ACO=,∠DCP=∠ACO, ∴tan∠DCP=tan∠ACO=. ∴. ∴. 解得:m=或m=0(不合题意,舍去). ∴P(). ②当P在直线CD的下方时,过P作PE⊥CD于E,如图, 设P(m,m2﹣2m﹣3),m>0,m2﹣2m﹣3<0, ∵CD∥x轴,PE⊥CD, ∴CE=m,PE=(﹣m2+2m+3)﹣3=﹣m2+2m. ∵tan∠ACO=,∠DCP=∠ACO, ∴tan∠DCP=tan∠ACO=. ∴. ∴. 解得:m=或m=0(不合题意,舍去). ∴P(). 综上,点P的坐标为()或(). (3)过点M作MG⊥x轴于G,过Q作QT⊥x轴于T,如图, ∵M,N在直线y=kx+b上, ∴设M(e,ke+b),N(f,kf+b),其中,e<0,f>0,ke+b>0. ∵MG⊥x轴,NH⊥x轴, ∴OG=﹣e,OH=f,MG=ke+b. ∴AG=OG﹣OA=﹣e﹣1. 由题意:. 整理得:x2﹣(k+2)x﹣(3+b)=0. ∵e,f是方程x2﹣(k+2)x﹣(3+b)=0的两根, ∴e+f=k+2.ef=﹣b﹣3. 设Q(n,kn+b),n>0,kn+b>0, ∵QT⊥x轴, ∴OT=n,QT=kn+b. ∴HT=OH﹣OT=f﹣n. ∵HQ∥MA, ∴∠MAG=∠QHT. ∵∠MGA=∠QTH=90°, ∴△MGA∽△QTH. ∴. ∴. 即:. ∴ken﹣kef+nb﹣bf=ken+be+kn+b. ∴﹣kef+nb﹣bf﹣be﹣kn﹣b=0. ∴﹣kef﹣b(e+f)﹣n(k﹣b)﹣b=0. 将e+f=k+2.ef=﹣b﹣3代入上式整理得: ﹣k(﹣b﹣3)﹣b(k+2)﹣n(k﹣b)﹣b=0. ∴(k﹣b)(3﹣n)=0. ∵k≠b, ∴3﹣n=0. ∴n=3. ∴点Q的横坐标为3.

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