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2021年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列四个数：﹣2，﹣0.6，，中，绝对值最小的是（　　）
A．﹣2 B．﹣0.6 C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a2＝a5 B．a5÷a2＝a3 C．a3?a2＝a6 D．（﹣a3）2＝﹣a6
3．（3分）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，逆时针旋转∠α，要使这个∠α最小时，旋转后的图形也能与原图形完全重合，则这个图形是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）五边形的内角和是（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，将点N（﹣2，﹣3）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3）
6．（3分）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．菱形对角线相等
B．函数y＝的自变量取值范围是x≠﹣1
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．同位角一定相等
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若CD＝3，则BD的长是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
8．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
9．（3分）抛物线y＝2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（3分）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据题意，可得秋千的绳索长为（　　）
A．10尺 B．14.5尺 C．13尺 D．17尺
11．（3分）小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的是（　　）
A．众数是 6吨 B．平均数是 5吨
C．中位数是 5吨 D．方差是
12．（3分）如图，A，B为圆O上的点，且D为弧AB的中点，∠ACB＝120°，DE⊥BC于E，若AC＝DE，则的值为（　　）
A．3 B．2 C．+1 D．+1
二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
13．（3分）计算﹣3＝　 　．
14．（3分）为了防止输入性“新冠肺炎”，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决定从内科3位骨干医师中（含有甲）抽调2人组成．则甲一定会被抽调到防控小组的概率是　 　．
15．（3分）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上，另两个顶点A、B分别在l3、l2上，则tanα的值是　 　．
16．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有　 　（写出所有正确结论的序号）
①△CMP∽△BPA；
②四边形AMCB的面积最大值为10；
③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；
④线段AM的最小值为2；
⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝4﹣4．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0
18．（6分）先化简，再求值：（﹣b）?，其中a﹣b＝2．
19．（6分）如图，在△ABC中，DE分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝6，∠BEF＝120°，求菱形BCFE的面积．
20．（8分）为了解全校同学对球类运动项目的喜爱情况，该校某班的研究性学习小组在全校范围内随机抽取部分同学参与“我最喜爱的球类项目”问卷调查，收集数据后绘制成两幅不完整的统计图：
请根据统计图，解答下列问题：
（1）全班共有　 　名同学；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校约有1500名学生，估计全校学生中喜欢足球的有多少人；
（4）若从九年级的3名女选手和八年级的2名女选手中随机抽取两名同学组成乒乓球双打组合，用画树状图或列表法求抽到的两名同学恰好是同一年级的概率．
21．（8分）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：
如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折线交BC于点E，则∠C＝∠ADE．
∵∠ADE＞∠B（想一想为什么），
∴∠C＞∠B．
（1）请证明上文中的∠ADE＞∠B；
（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？
同学小雅提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明；
（3）如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，按照图1的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，若∠BEA＝110°，求∠DEM的度数．
22．（9分）九一班计划购买A、B两种相册共42册作为毕业礼品，这两种相册的单价分别是50元和40元，由于学生对两类相册喜好不同，经调查得知：购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的，但又不少于B种相册数量的，如果设买A种相册x册，买这两种相册共花费y元．
（1）求计划购买这两种相册所需的费用y（元）关于x（册）的函数关系式．
（2）班委会多少种不同的购买方案？
（3）商店为了促销，决定对A种相册每册让利a元销售（12≤a≤18），B种相册每册让利b元销售，最后班委会同学在付款时发现：购买所需的总费用与购买的方案无关，当总费用最少时，求此时a的值．
23．（9分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A、B重合），过点O分别作弦AC，BC的垂线OD，OE垂足分别为D，E．
（1）求∠DOE的度数；
（2）求线段DE长；
（3）当四边形DOEC的面积取最大值时，求CD+CE的值．
24．（10分）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如多项式A＝x2﹣5x+6，B＝（x+1）（x﹣6），则A是B的“差常式”，A关于B的“差常值”为12．
（1）已知多项式C＝2x2﹣5x+4，D＝（x﹣2）（2x﹣1），判断C是否是D的“差常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”；
（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“差常式”，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，求M关于N的“差常值”；
（3）若多项式x2+b2x+c2是x2+b1x+c1的“差常式”（其中b1，b2，c1，c2为常数），令y1＝x2+b1x+c1，y2＝x2+b2x+c2（c1＜c2），直线y＝kx+m与y1＝x2+b1x+c1，y2＝x2+b2x+c2的图象相交于E（x1，y1），F（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4．若y1＝x2+b1x+c1的图象的顶点为P，记S1，S2，S3分别为△EPF，△EPG，△EPH的面积．问：的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请求出相关表达式．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时点M的坐标，若不存在，请说明理由．
2021年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列四个数：﹣2，﹣0.6，，中，绝对值最小的是（　　）
A．﹣2 B．﹣0.6 C． D．
【分析】根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，|﹣0.6|＝0.6，||＝，||＝，
∵，
所以绝对值最小的是，
故选：C．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a2＝a5 B．a5÷a2＝a3 C．a3?a2＝a6 D．（﹣a3）2＝﹣a6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a3与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．a5÷a2＝a3，运算正确；
C．a3?a2＝a5，故本选项不合题意；
D．（﹣a3）2＝a6，故本选项不合题意．
故选：B．
3．（3分）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，逆时针旋转∠α，要使这个∠α最小时，旋转后的图形也能与原图形完全重合，则这个图形是（　　）
A． B． C． D．
【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．
【解答】解：A、最小旋转角度＝＝72°；
B、最小旋转角度＝＝120°；
C、最小旋转角度＝＝90°；
D、最小旋转角度＝＝180°；
综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是A．
故选：A．
4．（3分）五边形的内角和是（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【分析】根据n边形的内角和为：（n﹣2）?180°（n≥3，且n为整数），求出五边形的内角和是多少度即可．
【解答】解：五边形的内角和是：
（5﹣2）×180°
＝3×180°
＝540°
故选：C．
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，将点N（﹣2，﹣3）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3）
【分析】根据中心对称的性质解决问题即可．
【解答】解：点N（﹣2，﹣3）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（2，3），
故选：D．
6．（3分）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．菱形对角线相等
B．函数y＝的自变量取值范围是x≠﹣1
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．同位角一定相等
【分析】利用菱形的性质、分式有意义的条件、绝对值的定义及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误，是假命题；
B、函数y＝的自变量取值范围是x≠﹣1，正确，是真命题；
C、若|a|＝|b|，则a＝±b，故错误，是假命题；
D、只要两直线平行同位角才相等，故错误，是假命题，
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若CD＝3，则BD的长是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得DE＝CD＝3，由∠B＝30°知BD＝2DE＝6．
【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E，
∵AD为∠CAB的平分线，
∴DE＝CD＝3，
∵∠B＝30°，
则BD＝2DE＝6，
故选：B．
8．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】由旋转性质知△ABC≌△DEC，据此得∠ACB＝∠DCE＝30°、AC＝DC，继而可得答案．
【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC，
则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，
∴∠DAC＝＝＝75°，
故选：D．
9．（3分）抛物线y＝2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】对于抛物线解析式，分别令x＝0与y＝0求出对应y与x的值，即可确定出抛物线与坐标轴的交点个数．
【解答】解：抛物线y＝2x2﹣2x+1，显然抛物线与y轴有一个交点，
令y＝0，得到2x2﹣2x+1＝0，
∵△＝8﹣8＝0，
∴抛物线与x轴有一个交点，
则抛物线与坐标轴的交点个数是2，
故选：C．
10．（3分）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据题意，可得秋千的绳索长为（　　）
A．10尺 B．14.5尺 C．13尺 D．17尺
【分析】设绳索有x尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果．
【解答】解：设绳索有x尺长，
则102+（x+1﹣5）2＝x2，
解得：x＝14.5，
即绳索长14.5尺，
故选：B．
11．（3分）小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的是（　　）
A．众数是 6吨 B．平均数是 5吨
C．中位数是 5吨 D．方差是
【分析】根据众数、平均数、中位数和方差的定义计算各量，然后对各选项进行判断．
【解答】解：这组数据的众数为6吨，平均数为5吨，中位数为5.5吨，方差为吨2．
故选：C．
12．（3分）如图，A，B为圆O上的点，且D为弧AB的中点，∠ACB＝120°，DE⊥BC于E，若AC＝DE，则的值为（　　）
A．3 B．2 C．+1 D．+1
【分析】如图，连接AD，BD，CD，在EB上取点Q，使EQ＝CE，根据D为弧AB的中点，∠ACB＝120°，得到∠DCB＝30°，根据线段垂直平分线的性质得到CD＝DQ，求得∠CDQ＝120°，推出∠ACD＝∠DQB，得到△ACD≌△BQD，根据全等三角形的性质得到AC＝BQ，再证明AC＝EC＝EQ＝BQ即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AD，BD，CD，OA，OD，OB，在⊙O上取一点K，连接AK，BK，在EB上取点Q，使EQ＝CE，连接DQ．
∵D为弧AB的中点，∠ACB＝120°，
∴∠K＝60°，∠AOB＝120°，∠AOD＝∠BOD＝60°
∴∠DCB＝∠DOB＝30°，
∵CE＝QE，DE⊥BC，
∴CD＝DQ，
∴∠CDQ＝120°，
∵∠CDB＝∠ACB＝120°，
∴∠CDA＝∠QDB，
∵∠DCE＝∠DQE＝30°，
∴∠DQB＝150°，
∵∠ACD＝120°+30°＝150°，
∴∠ACD＝∠DQB，
在△ACD与△BQD中，
，
∴△ACD≌△BQD（ASA），
∴AC＝BQ，
∵CE＝DE，AC＝DE，
∴AC＝CE＝EQ＝BQ，
∴BE：CE＝2：1，
故选：B．
二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
13．（3分）计算﹣3＝　　．
【分析】原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝2﹣3×
＝2﹣
＝．
故答案为：．
14．（3分）为了防止输入性“新冠肺炎”，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决定从内科3位骨干医师中（含有甲）抽调2人组成．则甲一定会被抽调到防控小组的概率是　　．
【分析】画出树状图，共有6个等可能的结果，甲一定会被抽调到防控小组的结果有4个，由概率公式即可求解．
【解答】解：内科3位骨干医师分别即为甲、乙、丙，
画树状图如图：
共有6个等可能的结果，甲一定会被抽调到防控小组的结果有4个，
∴甲一定会被抽调到防控小组的概率＝＝；
故答案为：．
15．（3分）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上，另两个顶点A、B分别在l3、l2上，则tanα的值是　　．
【分析】过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，根据同角的余角相等求出∠CAD＝∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD＝BE，然后利用勾股定理列式求出AC，然后利用锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在等腰直角△ABC中，AC＝BC，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝1，
∴DE＝3，
∴tan∠α＝．
故答案为：．
16．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有　①②⑤　（写出所有正确结论的序号）
①△CMP∽△BPA；
②四边形AMCB的面积最大值为10；
③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；
④线段AM的最小值为2；
⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝4﹣4．
【分析】①正确，只要证明∠APM＝90°即可解决问题．
②正确，设PB＝x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可．
③错误，先判断出ND＝ND，设ND＝NE＝y，在Rt△PCN中，利用勾股定理求出y即可解决问题．
④错误，作MG⊥AB于G，因为AM＝＝，所以AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为3，AM的最小值为5．
⑤正确，在AB上取一点K使得AK＝PK，设PB＝z，列出方程即可解决问题．
【解答】解：∵∠APB＝∠APE，∠MPC＝∠MPN，
∵∠CPN+∠NPB＝180°，
∴2∠NPM+2∠APE＝180°，
∴∠MPN+∠APE＝90°，
∴∠APM＝90°，
∵∠CPM+∠APB＝90°，∠APB+∠PAB＝90°，
∴∠CPM＝∠PAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝DC＝AD＝4，∠C＝∠B＝90°，
∴△CMP∽△BPA．故①正确，
设PB＝x，则CP＝4﹣x，
∵△CMP∽△BPA，
∴＝，
∴CM＝x（4﹣x），
∴S四边形AMCB＝[4+x（4﹣x）]×4＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣2）2+10，
∴x＝2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，
当PB＝PC＝PE＝2时，
由折叠知，AE＝AB＝AD，∠AEP＝∠B＝90°，
∴∠AEN＝90°＝∠D，
∵AN＝AN，
∴Rt△ADN≌Rt△AEN（HL），
∴DN＝EN，
设ND＝NE＝y，
在Rt△PCN中，（y+2）2＝（4﹣y）2+22解得y＝，
∴NE≠EP，故③错误，
作MG⊥AB于G，
∴MG＝AD＝4，
根据勾股定理得：AM＝＝，
∴AG最小时AM最小，
∵AG＝AB﹣BG＝AB﹣CM＝4﹣x（4﹣x）＝（x﹣2）2+3，
∴x＝2时，AG最小值＝3，
∴AM最小值＝＝5，故④错误．
∵△ABP≌△ADN时，
∴△ABP≌△ADN≌△AEN≌△AEP，
∴∠PAB＝∠DAN＝22.5°，
在AB上取一点K使得AK＝PK，设PB＝z，
∴∠KPA＝∠KAP＝22.5°
∵∠PKB＝∠KPA+∠KAP＝45°，
∴∠BPK＝∠BKP＝45°，
∴PB＝BK＝z，AK＝PK＝z，
∴z+z＝4，
∴z＝4﹣4，
∴PB＝4﹣4，故⑤正确．
故答案为①②⑤．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4﹣2+﹣+1＝3．
18．（6分）先化简，再求值：（﹣b）?，其中a﹣b＝2．
【分析】先算括号内的减法，算乘法，即可求出答案．
【解答】解：（﹣b）?
＝?
＝?
＝，
当a﹣b＝2时，原式＝＝．
19．（6分）如图，在△ABC中，DE分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝6，∠BEF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【分析】（1）从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE＝BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE＝FE，所以是菱形；
（2）由∠BEF是120°，可得∠EBC为60°，即可得△BEC是等边三角形，求得BE＝BC＝CE＝6，再过点E作EG⊥BC于点G，求的高EG的长，即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC，
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE＝EF，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵∠BEF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴BE＝BC＝CE＝6，
过点E作EG⊥BC于点G，
∴EG＝BE?sin60°＝6×＝3，
∴S菱形BCFE＝BC?EG＝6×3＝18．
20．（8分）为了解全校同学对球类运动项目的喜爱情况，该校某班的研究性学习小组在全校范围内随机抽取部分同学参与“我最喜爱的球类项目”问卷调查，收集数据后绘制成两幅不完整的统计图：
请根据统计图，解答下列问题：
（1）全班共有　50　名同学；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校约有1500名学生，估计全校学生中喜欢足球的有多少人；
（4）若从九年级的3名女选手和八年级的2名女选手中随机抽取两名同学组成乒乓球双打组合，用画树状图或列表法求抽到的两名同学恰好是同一年级的概率．
【分析】（1）由喜欢篮球的人数除以所占百分比即可；
（2）求出喜欢乒乓球和喜欢足球的学生人数，补全条形统计图即可；
（3）由全校学生总人数乘以喜欢足球的人数所占的比例即可；
（4）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）12÷24%＝50（名），
故答案为：50；
（2）喜欢乒乓球的学生人数为：50×36%＝18（人），喜欢足球的学生人数为：50﹣12﹣18﹣10＝10（人），
补全条形统计图如图：
（3），
答：全校学生中喜欢足球的大约有300人；
（4）把九年级的3名女选手和八年级的2名女选手分别记为：A、A、A，B、B，
画树状图如下：
由图可知，共有20种等可能情况，两名同学恰好是同一年级的有8种情况，
∴抽到的两名同学恰好是同一年级的概率为＝．
21．（8分）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：
如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折线交BC于点E，则∠C＝∠ADE．
∵∠ADE＞∠B（想一想为什么），
∴∠C＞∠B．
（1）请证明上文中的∠ADE＞∠B；
（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？
同学小雅提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明；
（3）如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，按照图1的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，若∠BEA＝110°，求∠DEM的度数．
【分析】（1）利用三角形的外角的性质，即可得出结论；
（2）先由折叠得出BF＝CF，再利用三角形外角的性质，即可得出结论；
（3）先判断出∠B＝∠BED，再判断出∠MAE＝∠MEA，进而求出∠B+∠BAE＝70°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠B+∠BED，
∴∠ADE＞∠B；
（2）证明：由折叠知，BF＝CF，
在△ACF中，AF+FC＞AC，
∴AF+BF＞AC，
∴AB＞AC；
（3）由折叠知，∠MAE＝∠EAC，∠ADE＝∠C，
∵∠C＝2∠B，
∴∠ADE＝2∠B，
∵∠ADE＝∠B+∠BED，
∴∠B＝∠BED，
∵ME∥AC，
∴∠MEA＝∠EAC，
∵∠MAE＝∠EAC，
∴∠MAE＝∠MEA，
∵∠BEA＝110°，
∴∠B+∠BAE＝180°﹣∠BEA＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BED+∠MEA＝∠B+∠BAM＝70°，
∴∠DEM＝∠BEA﹣（∠BED+∠MEA）＝110°﹣70°＝40°．
22．（9分）九一班计划购买A、B两种相册共42册作为毕业礼品，这两种相册的单价分别是50元和40元，由于学生对两类相册喜好不同，经调查得知：购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的，但又不少于B种相册数量的，如果设买A种相册x册，买这两种相册共花费y元．
（1）求计划购买这两种相册所需的费用y（元）关于x（册）的函数关系式．
（2）班委会多少种不同的购买方案？
（3）商店为了促销，决定对A种相册每册让利a元销售（12≤a≤18），B种相册每册让利b元销售，最后班委会同学在付款时发现：购买所需的总费用与购买的方案无关，当总费用最少时，求此时a的值．
【分析】（1）根据题意得到y（元）关于x（册）的函数关系式；
（2）根据题意可得到一个关于x的不等式组，可求出x的取值范围，再结合花费的函数式，可求出x的具体数值；
（3）根据购买所需的总费用与购买的方案无关可得函数关系式中x的系数为0，即可得到a与b的关系，再根据函数最小即可确定a的取值范围，即可得到结论．
【解答】解：（1）依题意得：y＝50x+40（42﹣x），
即y＝10x+1680；
（2）依题意得
，
解得12≤x＜18，
∴x可取12、13、14、15、16、17，
故班委会有6种不同的购买方案；
（3）设总费用为w，根据题意得，
w＝（50﹣a）x+（40﹣b）（42﹣x），
w＝（50﹣a）x+42（40﹣b）﹣（40﹣b）x，
w＝（10﹣a+b）x+42（40﹣b），
∵购买所需的总费用与购买的方案无关，即w的值与x无关，
∴10﹣a+b＝0，
∴b＝a﹣10，
∴w＝42[40﹣（a﹣10）]＝﹣42a+2100，
∵﹣42＜0，∴w随a增大而减小，
又∵12≤a≤18，
∴a＝18时，w最小＝1354（元）
所以a＝18．
23．（9分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A、B重合），过点O分别作弦AC，BC的垂线OD，OE垂足分别为D，E．
（1）求∠DOE的度数；
（2）求线段DE长；
（3）当四边形DOEC的面积取最大值时，求CD+CE的值．
【分析】（1）OD⊥BC，OE⊥AC，且OA＝OB＝OC，则∠BOD＝∠COD，∠AOE＝∠COE，即可求解；
（2）证明DE是△ABC的中位线，即可求解；
（3）当四边形DOEC的面积取最大值时，上述两个三角形的高共线，即m+n等于圆的半径CO，即m+n＝2，进而求解．
【解答】解：（1）∵OD⊥BC，OE⊥AC，且OA＝OB＝OC，
∴∠BOD＝∠COD，∠AOE＝∠COE，
∴∠DOE＝∠AOB＝45°，
即∠DOE＝45°；
（2）如图，连接AB，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，
∴AB2＝OB2+OA2＝8，
∴AB＝2；
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD＝CD，AE＝EC，
∴DE是△ABC的中位线，即DE∥AB，
∴DE＝×2＝；
（3）设△DEC和△DEO底边DE的高分别为m、n，
则四边形DOEC的面积＝S△DEC+S△DEO＝×DE×（m+n），
故当四边形DOEC的面积取最大值时，上述两个三角形的高共线，即m+n等于圆的半径CO，即m+n＝2，
此时CO⊥DE，
而DE⊥CO，
则点C为的中点，
即CO是DE的中垂线，故CE＝CD，
而CE＝AE，
故AC＝CE+CD，
则∠AOC＝45°，
过点C作CH⊥AO于点H，
则CH＝OH＝CO?cos45°＝，
则AH＝OA﹣OH＝2﹣，
在Rt△CHA中，CA＝＝＝2．
∴CD+CE＝AC＝2．
24．（10分）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如多项式A＝x2﹣5x+6，B＝（x+1）（x﹣6），则A是B的“差常式”，A关于B的“差常值”为12．
（1）已知多项式C＝2x2﹣5x+4，D＝（x﹣2）（2x﹣1），判断C是否是D的“差常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”；
（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“差常式”，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，求M关于N的“差常值”；
（3）若多项式x2+b2x+c2是x2+b1x+c1的“差常式”（其中b1，b2，c1，c2为常数），令y1＝x2+b1x+c1，y2＝x2+b2x+c2（c1＜c2），直线y＝kx+m与y1＝x2+b1x+c1，y2＝x2+b2x+c2的图象相交于E（x1，y1），F（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4．若y1＝x2+b1x+c1的图象的顶点为P，记S1，S2，S3分别为△EPF，△EPG，△EPH的面积．问：的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请求出相关表达式．
【分析】（1）先计算C﹣D＝1，再根据“差常式”的定义即可判断C是D的“差常式”，并求出C关于D的“差常值”；
（2）先求出M﹣N＝（﹣2a+2）x+a2﹣b，由M是N的“差常式”得出﹣2a+2＝0，得出a＝1．由x为实数时，N的最小值为﹣2，得出﹣1+b＝﹣2，求出b＝﹣1，进而求出M﹣N＝2；
（3）多项式x2+b2x+c2是x2+b1x+c1的“差常式”，得b1＝b2，由x1，x4是方程组对应的两根方程x2+（b2﹣k）x+c2﹣m＝0的两根，得x1+x4＝k﹣b2，x1x4＝c2﹣m．同理：x2+x3＝k﹣b1，x2x3＝c1﹣m，得x1+x4＝x2+x3，即x1﹣x2＝x3﹣x4，得FM＝HN，从而可证△EFM≌△GHN，EF＝GH，由面积公式即可求S△EPF＝S△GPH，即＝1．
【解答】解：（1）∵C﹣D＝（2x2﹣5x+4）﹣（x﹣2）（2x﹣1）
＝（2x2﹣5x+4）﹣（2x2﹣5x+2）
＝2，
∴C是D的“差常式”，“差常值”为2；
（2）∵M是N的“差常式”，
∴M﹣N＝（x﹣a）2﹣（x2﹣2x+b）
＝（x2﹣2ax+a2）﹣（x2﹣2x+b）
＝（﹣2a+2）x+a2﹣b，
∴﹣2a+2＝0，
∴a＝1．
∵N＝x2﹣2x+b＝（x﹣1）2﹣1+b，
且当x为实数时，N的最小值为﹣2，
∴﹣1+b＝﹣2，
∴b＝﹣1，
∴M﹣N＝a2﹣b＝1﹣（﹣1）＝2；
（3）∵多项式x2+b2x+c2是x2+b1x+c1的“差常式”，
∴b1＝b2．
∵x1，x4是方程组对应的两根方程x2+（b2﹣k）x+c2﹣m＝0的两根，
∴x1+x4＝k﹣b2，x1x4＝c2﹣m．
同理：x2+x3＝k﹣b1，x2x3＝c1﹣m，
∴x1+x4＝x2+x3，
∴x4﹣x3＝x2﹣x1，
分别过E、F作x轴、y轴的垂线，两直线交于点M．
分别过G、H作x轴、y轴的垂线，两直线交于点N．
∴HN＝FM，
∵FM∥HN，
∴∠EFM＝∠GHN，
在△EFM和△GHN中，
，
∴△EFM≌△GHN（ASA），
∴EF＝GH，
∴S△EPF＝S△GPH，
∴＝1．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；
（2）求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点C的坐标即可解决问题；
（3）设点P（m，﹣m2+4m），根据S△ABP＝S△ABH+S梯形AHDP﹣S△PBD，建立方程求解即可；
（4）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理ON的长即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．
（2）如图1，
∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴对称轴为直线x＝2，
∵B，C关于对称轴对称，B（1，3），
∴C（3，3），
∴BC＝2，
∴S△ABC＝×2×3＝3．
（3）如图1，设点P（m，﹣m2+4m），
根据题意，得：BH＝AH＝3，HD＝m2﹣4m，PD＝m﹣1，
∴S△ABP＝S△ABH+S梯形AHDP﹣S△PBD，
∴6＝×3×3+×（3+m﹣1）×（m2﹣4m）﹣×（m﹣1）×（3+m2﹣4m），
解得：m1＝0，m2＝5，
∵点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，
∴m＞0，
∴m＝5，﹣m2+4m＝﹣52+4×5＝﹣5，
∴P（5，﹣5）；
（4）点M在直线BH上，点N在x轴上，△CMN为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM＝MN，∠CMN＝90°，
∵∠CBM＝∠MHN＝90°，
∴∠CMB+∠NMH＝∠NMH+∠MNH＝90°，
∴∠CMB＝∠MNH，
∴△CBM≌△MHN（AAS），
∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3﹣2＝1，
∴M（1，2）；
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，
过点C作CD∥y轴，过点N作NE∥y轴，过点M作DE∥x轴交CD于点D，交NE于E，
∵∠CMN＝∠CDM＝∠MEN＝90°，CM＝MN，
∴∠CMD+∠NME＝∠NME+∠MNE＝90°，
∴∠CMD＝∠MNE，
∴△NEM≌△MDC（AAS），
∴NE＝MD＝BC＝2，EM＝CD＝5，
∵∠ENH＝∠NEM＝∠NHM＝90°，
∴四边形EMHN是矩形，
∴HM＝NE＝2，
∴M（1，﹣2）；
③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN＝MN，∠MNC＝90°，
过点M作ME∥x轴，过点N作EN∥y轴交CB的延长线于D，
同理可得：△NEM≌△CDN（AAS），
∴ME＝DN＝3，NE＝CD＝HM＝5，
∴M（1，﹣5）；
④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图5，
过点M作ME∥x轴，过点N作NE∥y轴交BC延长线于D，
同理可得：△NEM≌△CDN（AAS），
∴ME＝DN＝NH＝3，NE＝CD＝3﹣2＝1，
∴HM＝NE＝1，
∴M（1，﹣1）；
⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上所述，当△CMN为等腰直角三角形时，M点坐标为（1，2）或（1，﹣2）或（1，﹣5）或（1，﹣1）．

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