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2021年湖南省长沙市中考数学模拟试卷(三)(Word版 含解析)

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2021年湖南省长沙市中考数学模拟试卷(三)(Word版 含解析)

2021年湖南省长沙市中考数学模拟试卷(三) 一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分) 1.(3分)下列四个数:﹣2,﹣0.6,,中,绝对值最小的是(  ) A.﹣2 B.﹣0.6 C. D. 2.(3分)下列计算正确的是(  ) A.a3+a2=a5 B.a5÷a2=a3 C.a3?a2=a6 D.(﹣a3)2=﹣a6 3.(3分)下列四个圆形图案中,分别以它们所在圆的圆心为旋转中心,逆时针旋转∠α,要使这个∠α最小时,旋转后的图形也能与原图形完全重合,则这个图形是(  ) A. B. C. D. 4.(3分)五边形的内角和是(  ) A.180° B.360° C.540° D.720° 5.(3分)在平面直角坐标系xOy中,将点N(﹣2,﹣3)绕点O旋转180°,得到的对应点的坐标是(  ) A.(2,﹣3) B.(﹣2,3) C.(﹣2,﹣3) D.(2,3) 6.(3分)下列命题中,是真命题的是(  ) A.菱形对角线相等 B.函数y=的自变量取值范围是x≠﹣1 C.若|a|=|b|,则a=b D.同位角一定相等 7.(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,若CD=3,则BD的长是(  ) A.7 B.6 C.5 D.4 8.(3分)如图,将△ABC绕点C顺时针旋转,点B的对应点为点E,点A的对应点为点D,当点E恰好落在边AC上时,连接AD,若∠ACB=30°,则∠DAC的度数是(  ) A.60° B.65° C.70° D.75° 9.(3分)抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 10.(3分)《算法统宗》是中国古代数学名著,作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几?”译文:“有一架秋千,当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推送10尺(水平距离)时,秋千的踏板就和人一样高,这个人的身高为5尺,秋千的绳索始终拉得很直,试问绳索有多长?”根据题意,可得秋千的绳索长为(  ) A.10尺 B.14.5尺 C.13尺 D.17尺 11.(3分)小明家1至6月份的用水量统计如图所示,关于这组数据,下列说法中错误的是(  ) A.众数是 6吨 B.平均数是 5吨 C.中位数是 5吨 D.方差是 12.(3分)如图,A,B为圆O上的点,且D为弧AB的中点,∠ACB=120°,DE⊥BC于E,若AC=DE,则的值为(  ) A.3 B.2 C.+1 D.+1 二、填空题(共4小题,每题3分,共12分) 13.(3分)计算﹣3=   . 14.(3分)为了防止输入性“新冠肺炎”,某医院成立隔离治疗发热病人防控小组,决定从内科3位骨干医师中(含有甲)抽调2人组成.则甲一定会被抽调到防控小组的概率是   . 15.(3分)如图,已知l1∥l2∥l3,相邻两条平行直线间的距离相等.若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上,另两个顶点A、B分别在l3、l2上,则tanα的值是   . 16.(3分)如图,在边长为4的正方形ABCD中,P是BC边上一动点(不含B、C两点),将△ABP沿直线AP翻折,点B落在点E处;在CD上有一点M,使得将△CMP沿直线MP翻折后,点C落在直线PE上的点F处,直线PE交CD于点N,连接MA,NA.则以下结论中正确的有   (写出所有正确结论的序号) ①△CMP∽△BPA; ②四边形AMCB的面积最大值为10; ③当P为BC中点时,AE为线段NP的中垂线; ④线段AM的最小值为2; ⑤当△ABP≌△ADN时,BP=4﹣4. 三、解答题(本大题共9个小题,共72分) 17.(6分)计算:(﹣)﹣2﹣|﹣2|﹣2cos45°+(3﹣π)0 18.(6分)先化简,再求值:(﹣b)?,其中a﹣b=2. 19.(6分)如图,在△ABC中,DE分别是AB,AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连CF. (1)求证:四边形BCFE是菱形; (2)若CE=6,∠BEF=120°,求菱形BCFE的面积. 20.(8分)为了解全校同学对球类运动项目的喜爱情况,该校某班的研究性学习小组在全校范围内随机抽取部分同学参与“我最喜爱的球类项目”问卷调查,收集数据后绘制成两幅不完整的统计图: 请根据统计图,解答下列问题: (1)全班共有   名同学; (2)补全条形统计图; (3)若该校约有1500名学生,估计全校学生中喜欢足球的有多少人; (4)若从九年级的3名女选手和八年级的2名女选手中随机抽取两名同学组成乒乓球双打组合,用画树状图或列表法求抽到的两名同学恰好是同一年级的概率. 21.(8分)人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”,部分原文如下: 如图1,在△ABC中,如果AB>AC,那么我们可以将△ABC折叠,使边AC落在AB上,点C落在AB上的D点,折线交BC于点E,则∠C=∠ADE. ∵∠ADE>∠B(想一想为什么), ∴∠C>∠B. (1)请证明上文中的∠ADE>∠B; (2)如图2,在△ABC中,如果∠ACB>∠B,能否证明AB>AC? 同学小雅提供了一种方法:将△ABC折叠,使点B落在点C上,折线交AB于点F,交BC于点G,再运用三角形三边关系即可证明,请你按照小雅的方法完成证明; (3)如图3,在△ABC中,∠C=2∠B,按照图1的方式进行折叠,得到折痕AE,过点E作AC的平行线交AB于点M,若∠BEA=110°,求∠DEM的度数. 22.(9分)九一班计划购买A、B两种相册共42册作为毕业礼品,这两种相册的单价分别是50元和40元,由于学生对两类相册喜好不同,经调查得知:购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的,但又不少于B种相册数量的,如果设买A种相册x册,买这两种相册共花费y元. (1)求计划购买这两种相册所需的费用y(元)关于x(册)的函数关系式. (2)班委会多少种不同的购买方案? (3)商店为了促销,决定对A种相册每册让利a元销售(12≤a≤18),B种相册每册让利b元销售,最后班委会同学在付款时发现:购买所需的总费用与购买的方案无关,当总费用最少时,求此时a的值. 23.(9分)如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是上的一个动点(不与点A、B重合),过点O分别作弦AC,BC的垂线OD,OE垂足分别为D,E. (1)求∠DOE的度数; (2)求线段DE长; (3)当四边形DOEC的面积取最大值时,求CD+CE的值. 24.(10分)我们定义:如果两个多项式A与B的差为常数,且这个常数为正数,则称A是B的“差常式”,这个常数称为A关于B的“差常值”.如多项式A=x2﹣5x+6,B=(x+1)(x﹣6),则A是B的“差常式”,A关于B的“差常值”为12. (1)已知多项式C=2x2﹣5x+4,D=(x﹣2)(2x﹣1),判断C是否是D的“差常式”,若不是,请说明理由,若是,请证明并求出C关于D的“差常值”; (2)已知多项式M=(x﹣a)2,N=x2﹣2x+b(a,b为常数),M是N的“差常式”,且当x为实数时,N的最小值为﹣2,求M关于N的“差常值”; (3)若多项式x2+b2x+c2是x2+b1x+c1的“差常式”(其中b1,b2,c1,c2为常数),令y1=x2+b1x+c1,y2=x2+b2x+c2(c1<c2),直线y=kx+m与y1=x2+b1x+c1,y2=x2+b2x+c2的图象相交于E(x1,y1),F(x2,y2),G(x3,y3),H(x4,y4),其中x1<x2<x3<x4.若y1=x2+b1x+c1的图象的顶点为P,记S1,S2,S3分别为△EPF,△EPG,△EPH的面积.问:的值是否为定值?如果是,请求出它的值;如果不是,请求出相关表达式. 25.(10分)如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H. (1)求抛物线的表达式; (2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积; (3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP的面积为6时,求出点P的坐标; (4)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在,请直接写出此时点M的坐标,若不存在,请说明理由. 2021年湖南省长沙市中考数学模拟试卷(三) 参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分) 1.(3分)下列四个数:﹣2,﹣0.6,,中,绝对值最小的是(  ) A.﹣2 B.﹣0.6 C. D. 【分析】根据绝对值的意义,计算出各选项的绝对值,然后再比较大小即可. 【解答】解:∵|﹣2|=2,|﹣0.6|=0.6,||=,||=, ∵, 所以绝对值最小的是, 故选:C. 2.(3分)下列计算正确的是(  ) A.a3+a2=a5 B.a5÷a2=a3 C.a3?a2=a6 D.(﹣a3)2=﹣a6 【分析】分别根据合并同类项法则,同底数幂的除法法则,同底数幂的乘法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可. 【解答】解:A.a3与a2不是同类项,所以不能合并,故本选项不合题意; B.a5÷a2=a3,运算正确; C.a3?a2=a5,故本选项不合题意; D.(﹣a3)2=a6,故本选项不合题意. 故选:B. 3.(3分)下列四个圆形图案中,分别以它们所在圆的圆心为旋转中心,逆时针旋转∠α,要使这个∠α最小时,旋转后的图形也能与原图形完全重合,则这个图形是(  ) A. B. C. D. 【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度,继而可作出判断. 【解答】解:A、最小旋转角度==72°; B、最小旋转角度==120°; C、最小旋转角度==90°; D、最小旋转角度==180°; 综上可得:旋转一定角度后,能与原图形完全重合,且旋转角度最小的是A. 故选:A. 4.(3分)五边形的内角和是(  ) A.180° B.360° C.540° D.720° 【分析】根据n边形的内角和为:(n﹣2)?180°(n≥3,且n为整数),求出五边形的内角和是多少度即可. 【解答】解:五边形的内角和是: (5﹣2)×180° =3×180° =540° 故选:C. 5.(3分)在平面直角坐标系xOy中,将点N(﹣2,﹣3)绕点O旋转180°,得到的对应点的坐标是(  ) A.(2,﹣3) B.(﹣2,3) C.(﹣2,﹣3) D.(2,3) 【分析】根据中心对称的性质解决问题即可. 【解答】解:点N(﹣2,﹣3)绕点O旋转180°,得到的对应点的坐标是(2,3), 故选:D. 6.(3分)下列命题中,是真命题的是(  ) A.菱形对角线相等 B.函数y=的自变量取值范围是x≠﹣1 C.若|a|=|b|,则a=b D.同位角一定相等 【分析】利用菱形的性质、分式有意义的条件、绝对值的定义及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项. 【解答】解:A、菱形的对角线垂直但不一定相等,故错误,是假命题; B、函数y=的自变量取值范围是x≠﹣1,正确,是真命题; C、若|a|=|b|,则a=±b,故错误,是假命题; D、只要两直线平行同位角才相等,故错误,是假命题, 故选:B. 7.(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,若CD=3,则BD的长是(  ) A.7 B.6 C.5 D.4 【分析】作DE⊥AB于点E,根据角平分线的性质得DE=CD=3,由∠B=30°知BD=2DE=6. 【解答】解:如图,作DE⊥AB于点E, ∵AD为∠CAB的平分线, ∴DE=CD=3, ∵∠B=30°, 则BD=2DE=6, 故选:B. 8.(3分)如图,将△ABC绕点C顺时针旋转,点B的对应点为点E,点A的对应点为点D,当点E恰好落在边AC上时,连接AD,若∠ACB=30°,则∠DAC的度数是(  ) A.60° B.65° C.70° D.75° 【分析】由旋转性质知△ABC≌△DEC,据此得∠ACB=∠DCE=30°、AC=DC,继而可得答案. 【解答】解:由题意知△ABC≌△DEC, 则∠ACB=∠DCE=30°,AC=DC, ∴∠DAC===75°, 故选:D. 9.(3分)抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 【分析】对于抛物线解析式,分别令x=0与y=0求出对应y与x的值,即可确定出抛物线与坐标轴的交点个数. 【解答】解:抛物线y=2x2﹣2x+1,显然抛物线与y轴有一个交点, 令y=0,得到2x2﹣2x+1=0, ∵△=8﹣8=0, ∴抛物线与x轴有一个交点, 则抛物线与坐标轴的交点个数是2, 故选:C. 10.(3分)《算法统宗》是中国古代数学名著,作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几?”译文:“有一架秋千,当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推送10尺(水平距离)时,秋千的踏板就和人一样高,这个人的身高为5尺,秋千的绳索始终拉得很直,试问绳索有多长?”根据题意,可得秋千的绳索长为(  ) A.10尺 B.14.5尺 C.13尺 D.17尺 【分析】设绳索有x尺长,根据勾股定理列方程即可得到结果. 【解答】解:设绳索有x尺长, 则102+(x+1﹣5)2=x2, 解得:x=14.5, 即绳索长14.5尺, 故选:B. 11.(3分)小明家1至6月份的用水量统计如图所示,关于这组数据,下列说法中错误的是(  ) A.众数是 6吨 B.平均数是 5吨 C.中位数是 5吨 D.方差是 【分析】根据众数、平均数、中位数和方差的定义计算各量,然后对各选项进行判断. 【解答】解:这组数据的众数为6吨,平均数为5吨,中位数为5.5吨,方差为吨2. 故选:C. 12.(3分)如图,A,B为圆O上的点,且D为弧AB的中点,∠ACB=120°,DE⊥BC于E,若AC=DE,则的值为(  ) A.3 B.2 C.+1 D.+1 【分析】如图,连接AD,BD,CD,在EB上取点Q,使EQ=CE,根据D为弧AB的中点,∠ACB=120°,得到∠DCB=30°,根据线段垂直平分线的性质得到CD=DQ,求得∠CDQ=120°,推出∠ACD=∠DQB,得到△ACD≌△BQD,根据全等三角形的性质得到AC=BQ,再证明AC=EC=EQ=BQ即可解决问题. 【解答】解:如图,连接AD,BD,CD,OA,OD,OB,在⊙O上取一点K,连接AK,BK,在EB上取点Q,使EQ=CE,连接DQ. ∵D为弧AB的中点,∠ACB=120°, ∴∠K=60°,∠AOB=120°,∠AOD=∠BOD=60° ∴∠DCB=∠DOB=30°, ∵CE=QE,DE⊥BC, ∴CD=DQ, ∴∠CDQ=120°, ∵∠CDB=∠ACB=120°, ∴∠CDA=∠QDB, ∵∠DCE=∠DQE=30°, ∴∠DQB=150°, ∵∠ACD=120°+30°=150°, ∴∠ACD=∠DQB, 在△ACD与△BQD中, , ∴△ACD≌△BQD(ASA), ∴AC=BQ, ∵CE=DE,AC=DE, ∴AC=CE=EQ=BQ, ∴BE:CE=2:1, 故选:B. 二、填空题(共4小题,每题3分,共12分) 13.(3分)计算﹣3=  . 【分析】原式各项化为最简二次根式,合并即可得到结果. 【解答】解:原式=2﹣3× =2﹣ =. 故答案为:. 14.(3分)为了防止输入性“新冠肺炎”,某医院成立隔离治疗发热病人防控小组,决定从内科3位骨干医师中(含有甲)抽调2人组成.则甲一定会被抽调到防控小组的概率是  . 【分析】画出树状图,共有6个等可能的结果,甲一定会被抽调到防控小组的结果有4个,由概率公式即可求解. 【解答】解:内科3位骨干医师分别即为甲、乙、丙, 画树状图如图: 共有6个等可能的结果,甲一定会被抽调到防控小组的结果有4个, ∴甲一定会被抽调到防控小组的概率==; 故答案为:. 15.(3分)如图,已知l1∥l2∥l3,相邻两条平行直线间的距离相等.若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上,另两个顶点A、B分别在l3、l2上,则tanα的值是  . 【分析】过点A作AD⊥l1于D,过点B作BE⊥l1于E,根据同角的余角相等求出∠CAD=∠BCE,然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等,根据全等三角形对应边相等可得CD=BE,然后利用勾股定理列式求出AC,然后利用锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解. 【解答】解:如图,过点A作AD⊥l1于D,过点B作BE⊥l1于E,设l1,l2,l3间的距离为1, ∵∠CAD+∠ACD=90°, ∠BCE+∠ACD=90°, ∴∠CAD=∠BCE, 在等腰直角△ABC中,AC=BC, 在△ACD和△CBE中, , ∴△ACD≌△CBE(AAS), ∴CD=BE=1, ∴DE=3, ∴tan∠α=. 故答案为:. 16.(3分)如图,在边长为4的正方形ABCD中,P是BC边上一动点(不含B、C两点),将△ABP沿直线AP翻折,点B落在点E处;在CD上有一点M,使得将△CMP沿直线MP翻折后,点C落在直线PE上的点F处,直线PE交CD于点N,连接MA,NA.则以下结论中正确的有 ①②⑤ (写出所有正确结论的序号) ①△CMP∽△BPA; ②四边形AMCB的面积最大值为10; ③当P为BC中点时,AE为线段NP的中垂线; ④线段AM的最小值为2; ⑤当△ABP≌△ADN时,BP=4﹣4. 【分析】①正确,只要证明∠APM=90°即可解决问题. ②正确,设PB=x,构建二次函数,利用二次函数性质解决问题即可. ③错误,先判断出ND=ND,设ND=NE=y,在Rt△PCN中,利用勾股定理求出y即可解决问题. ④错误,作MG⊥AB于G,因为AM==,所以AG最小时AM最小,构建二次函数,求得AG的最小值为3,AM的最小值为5. ⑤正确,在AB上取一点K使得AK=PK,设PB=z,列出方程即可解决问题. 【解答】解:∵∠APB=∠APE,∠MPC=∠MPN, ∵∠CPN+∠NPB=180°, ∴2∠NPM+2∠APE=180°, ∴∠MPN+∠APE=90°, ∴∠APM=90°, ∵∠CPM+∠APB=90°,∠APB+∠PAB=90°, ∴∠CPM=∠PAB, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=CB=DC=AD=4,∠C=∠B=90°, ∴△CMP∽△BPA.故①正确, 设PB=x,则CP=4﹣x, ∵△CMP∽△BPA, ∴=, ∴CM=x(4﹣x), ∴S四边形AMCB=[4+x(4﹣x)]×4=﹣x2+2x+8=﹣(x﹣2)2+10, ∴x=2时,四边形AMCB面积最大值为10,故②正确, 当PB=PC=PE=2时, 由折叠知,AE=AB=AD,∠AEP=∠B=90°, ∴∠AEN=90°=∠D, ∵AN=AN, ∴Rt△ADN≌Rt△AEN(HL), ∴DN=EN, 设ND=NE=y, 在Rt△PCN中,(y+2)2=(4﹣y)2+22解得y=, ∴NE≠EP,故③错误, 作MG⊥AB于G, ∴MG=AD=4, 根据勾股定理得:AM==, ∴AG最小时AM最小, ∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣x(4﹣x)=(x﹣2)2+3, ∴x=2时,AG最小值=3, ∴AM最小值==5,故④错误. ∵△ABP≌△ADN时, ∴△ABP≌△ADN≌△AEN≌△AEP, ∴∠PAB=∠DAN=22.5°, 在AB上取一点K使得AK=PK,设PB=z, ∴∠KPA=∠KAP=22.5° ∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°, ∴∠BPK=∠BKP=45°, ∴PB=BK=z,AK=PK=z, ∴z+z=4, ∴z=4﹣4, ∴PB=4﹣4,故⑤正确. 故答案为①②⑤. 三、解答题(本大题共9个小题,共72分) 17.(6分)计算:(﹣)﹣2﹣|﹣2|﹣2cos45°+(3﹣π)0 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则,绝对值的代数意义,以及特殊角的三角函数值计算即可求出值. 【解答】解:原式=4﹣2+﹣+1=3. 18.(6分)先化简,再求值:(﹣b)?,其中a﹣b=2. 【分析】先算括号内的减法,算乘法,即可求出答案. 【解答】解:(﹣b)? =? =? =, 当a﹣b=2时,原式==. 19.(6分)如图,在△ABC中,DE分别是AB,AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连CF. (1)求证:四边形BCFE是菱形; (2)若CE=6,∠BEF=120°,求菱形BCFE的面积. 【分析】(1)从所给的条件可知,DE是△ABC中位线,所以DE∥BC且2DE=BC,所以BC和EF平行且相等,所以四边形BCFE是平行四边形,又因为BE=FE,所以是菱形; (2)由∠BEF是120°,可得∠EBC为60°,即可得△BEC是等边三角形,求得BE=BC=CE=6,再过点E作EG⊥BC于点G,求的高EG的长,即可求得答案. 【解答】(1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点, ∴DE∥BC且2DE=BC, 又∵BE=2DE,EF=BE, ∴EF=BC,EF∥BC, ∴四边形BCFE是平行四边形, 又∵BE=EF, ∴四边形BCFE是菱形; (2)解:∵∠BEF=120°, ∴∠EBC=60°, ∴△EBC是等边三角形, ∴BE=BC=CE=6, 过点E作EG⊥BC于点G, ∴EG=BE?sin60°=6×=3, ∴S菱形BCFE=BC?EG=6×3=18. 20.(8分)为了解全校同学对球类运动项目的喜爱情况,该校某班的研究性学习小组在全校范围内随机抽取部分同学参与“我最喜爱的球类项目”问卷调查,收集数据后绘制成两幅不完整的统计图: 请根据统计图,解答下列问题: (1)全班共有 50 名同学; (2)补全条形统计图; (3)若该校约有1500名学生,估计全校学生中喜欢足球的有多少人; (4)若从九年级的3名女选手和八年级的2名女选手中随机抽取两名同学组成乒乓球双打组合,用画树状图或列表法求抽到的两名同学恰好是同一年级的概率. 【分析】(1)由喜欢篮球的人数除以所占百分比即可; (2)求出喜欢乒乓球和喜欢足球的学生人数,补全条形统计图即可; (3)由全校学生总人数乘以喜欢足球的人数所占的比例即可; (4)画树状图,再由概率公式求解即可. 【解答】解:(1)12÷24%=50(名), 故答案为:50; (2)喜欢乒乓球的学生人数为:50×36%=18(人),喜欢足球的学生人数为:50﹣12﹣18﹣10=10(人), 补全条形统计图如图: (3), 答:全校学生中喜欢足球的大约有300人; (4)把九年级的3名女选手和八年级的2名女选手分别记为:A、A、A,B、B, 画树状图如下: 由图可知,共有20种等可能情况,两名同学恰好是同一年级的有8种情况, ∴抽到的两名同学恰好是同一年级的概率为=. 21.(8分)人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”,部分原文如下: 如图1,在△ABC中,如果AB>AC,那么我们可以将△ABC折叠,使边AC落在AB上,点C落在AB上的D点,折线交BC于点E,则∠C=∠ADE. ∵∠ADE>∠B(想一想为什么), ∴∠C>∠B. (1)请证明上文中的∠ADE>∠B; (2)如图2,在△ABC中,如果∠ACB>∠B,能否证明AB>AC? 同学小雅提供了一种方法:将△ABC折叠,使点B落在点C上,折线交AB于点F,交BC于点G,再运用三角形三边关系即可证明,请你按照小雅的方法完成证明; (3)如图3,在△ABC中,∠C=2∠B,按照图1的方式进行折叠,得到折痕AE,过点E作AC的平行线交AB于点M,若∠BEA=110°,求∠DEM的度数. 【分析】(1)利用三角形的外角的性质,即可得出结论; (2)先由折叠得出BF=CF,再利用三角形外角的性质,即可得出结论; (3)先判断出∠B=∠BED,再判断出∠MAE=∠MEA,进而求出∠B+∠BAE=70°,即可得出结论. 【解答】(1)证明:∵∠ADE=∠B+∠BED, ∴∠ADE>∠B; (2)证明:由折叠知,BF=CF, 在△ACF中,AF+FC>AC, ∴AF+BF>AC, ∴AB>AC; (3)由折叠知,∠MAE=∠EAC,∠ADE=∠C, ∵∠C=2∠B, ∴∠ADE=2∠B, ∵∠ADE=∠B+∠BED, ∴∠B=∠BED, ∵ME∥AC, ∴∠MEA=∠EAC, ∵∠MAE=∠EAC, ∴∠MAE=∠MEA, ∵∠BEA=110°, ∴∠B+∠BAE=180°﹣∠BEA=180°﹣110°=70°, ∴∠BED+∠MEA=∠B+∠BAM=70°, ∴∠DEM=∠BEA﹣(∠BED+∠MEA)=110°﹣70°=40°. 22.(9分)九一班计划购买A、B两种相册共42册作为毕业礼品,这两种相册的单价分别是50元和40元,由于学生对两类相册喜好不同,经调查得知:购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的,但又不少于B种相册数量的,如果设买A种相册x册,买这两种相册共花费y元. (1)求计划购买这两种相册所需的费用y(元)关于x(册)的函数关系式. (2)班委会多少种不同的购买方案? (3)商店为了促销,决定对A种相册每册让利a元销售(12≤a≤18),B种相册每册让利b元销售,最后班委会同学在付款时发现:购买所需的总费用与购买的方案无关,当总费用最少时,求此时a的值. 【分析】(1)根据题意得到y(元)关于x(册)的函数关系式; (2)根据题意可得到一个关于x的不等式组,可求出x的取值范围,再结合花费的函数式,可求出x的具体数值; (3)根据购买所需的总费用与购买的方案无关可得函数关系式中x的系数为0,即可得到a与b的关系,再根据函数最小即可确定a的取值范围,即可得到结论. 【解答】解:(1)依题意得:y=50x+40(42﹣x), 即y=10x+1680; (2)依题意得 , 解得12≤x<18, ∴x可取12、13、14、15、16、17, 故班委会有6种不同的购买方案; (3)设总费用为w,根据题意得, w=(50﹣a)x+(40﹣b)(42﹣x), w=(50﹣a)x+42(40﹣b)﹣(40﹣b)x, w=(10﹣a+b)x+42(40﹣b), ∵购买所需的总费用与购买的方案无关,即w的值与x无关, ∴10﹣a+b=0, ∴b=a﹣10, ∴w=42[40﹣(a﹣10)]=﹣42a+2100, ∵﹣42<0,∴w随a增大而减小, 又∵12≤a≤18, ∴a=18时,w最小=1354(元) 所以a=18. 23.(9分)如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是上的一个动点(不与点A、B重合),过点O分别作弦AC,BC的垂线OD,OE垂足分别为D,E. (1)求∠DOE的度数; (2)求线段DE长; (3)当四边形DOEC的面积取最大值时,求CD+CE的值. 【分析】(1)OD⊥BC,OE⊥AC,且OA=OB=OC,则∠BOD=∠COD,∠AOE=∠COE,即可求解; (2)证明DE是△ABC的中位线,即可求解; (3)当四边形DOEC的面积取最大值时,上述两个三角形的高共线,即m+n等于圆的半径CO,即m+n=2,进而求解. 【解答】解:(1)∵OD⊥BC,OE⊥AC,且OA=OB=OC, ∴∠BOD=∠COD,∠AOE=∠COE, ∴∠DOE=∠AOB=45°, 即∠DOE=45°; (2)如图,连接AB, ∵∠AOB=90°,OA=OB=2, ∴AB2=OB2+OA2=8, ∴AB=2; ∵OD⊥BC,OE⊥AC, ∴BD=CD,AE=EC, ∴DE是△ABC的中位线,即DE∥AB, ∴DE=×2=; (3)设△DEC和△DEO底边DE的高分别为m、n, 则四边形DOEC的面积=S△DEC+S△DEO=×DE×(m+n), 故当四边形DOEC的面积取最大值时,上述两个三角形的高共线,即m+n等于圆的半径CO,即m+n=2, 此时CO⊥DE, 而DE⊥CO, 则点C为的中点, 即CO是DE的中垂线,故CE=CD, 而CE=AE, 故AC=CE+CD, 则∠AOC=45°, 过点C作CH⊥AO于点H, 则CH=OH=CO?cos45°=, 则AH=OA﹣OH=2﹣, 在Rt△CHA中,CA===2. ∴CD+CE=AC=2. 24.(10分)我们定义:如果两个多项式A与B的差为常数,且这个常数为正数,则称A是B的“差常式”,这个常数称为A关于B的“差常值”.如多项式A=x2﹣5x+6,B=(x+1)(x﹣6),则A是B的“差常式”,A关于B的“差常值”为12. (1)已知多项式C=2x2﹣5x+4,D=(x﹣2)(2x﹣1),判断C是否是D的“差常式”,若不是,请说明理由,若是,请证明并求出C关于D的“差常值”; (2)已知多项式M=(x﹣a)2,N=x2﹣2x+b(a,b为常数),M是N的“差常式”,且当x为实数时,N的最小值为﹣2,求M关于N的“差常值”; (3)若多项式x2+b2x+c2是x2+b1x+c1的“差常式”(其中b1,b2,c1,c2为常数),令y1=x2+b1x+c1,y2=x2+b2x+c2(c1<c2),直线y=kx+m与y1=x2+b1x+c1,y2=x2+b2x+c2的图象相交于E(x1,y1),F(x2,y2),G(x3,y3),H(x4,y4),其中x1<x2<x3<x4.若y1=x2+b1x+c1的图象的顶点为P,记S1,S2,S3分别为△EPF,△EPG,△EPH的面积.问:的值是否为定值?如果是,请求出它的值;如果不是,请求出相关表达式. 【分析】(1)先计算C﹣D=1,再根据“差常式”的定义即可判断C是D的“差常式”,并求出C关于D的“差常值”; (2)先求出M﹣N=(﹣2a+2)x+a2﹣b,由M是N的“差常式”得出﹣2a+2=0,得出a=1.由x为实数时,N的最小值为﹣2,得出﹣1+b=﹣2,求出b=﹣1,进而求出M﹣N=2; (3)多项式x2+b2x+c2是x2+b1x+c1的“差常式”,得b1=b2,由x1,x4是方程组对应的两根方程x2+(b2﹣k)x+c2﹣m=0的两根,得x1+x4=k﹣b2,x1x4=c2﹣m.同理:x2+x3=k﹣b1,x2x3=c1﹣m,得x1+x4=x2+x3,即x1﹣x2=x3﹣x4,得FM=HN,从而可证△EFM≌△GHN,EF=GH,由面积公式即可求S△EPF=S△GPH,即=1. 【解答】解:(1)∵C﹣D=(2x2﹣5x+4)﹣(x﹣2)(2x﹣1) =(2x2﹣5x+4)﹣(2x2﹣5x+2) =2, ∴C是D的“差常式”,“差常值”为2; (2)∵M是N的“差常式”, ∴M﹣N=(x﹣a)2﹣(x2﹣2x+b) =(x2﹣2ax+a2)﹣(x2﹣2x+b) =(﹣2a+2)x+a2﹣b, ∴﹣2a+2=0, ∴a=1. ∵N=x2﹣2x+b=(x﹣1)2﹣1+b, 且当x为实数时,N的最小值为﹣2, ∴﹣1+b=﹣2, ∴b=﹣1, ∴M﹣N=a2﹣b=1﹣(﹣1)=2; (3)∵多项式x2+b2x+c2是x2+b1x+c1的“差常式”, ∴b1=b2. ∵x1,x4是方程组对应的两根方程x2+(b2﹣k)x+c2﹣m=0的两根, ∴x1+x4=k﹣b2,x1x4=c2﹣m. 同理:x2+x3=k﹣b1,x2x3=c1﹣m, ∴x1+x4=x2+x3, ∴x4﹣x3=x2﹣x1, 分别过E、F作x轴、y轴的垂线,两直线交于点M. 分别过G、H作x轴、y轴的垂线,两直线交于点N. ∴HN=FM, ∵FM∥HN, ∴∠EFM=∠GHN, 在△EFM和△GHN中, , ∴△EFM≌△GHN(ASA), ∴EF=GH, ∴S△EPF=S△GPH, ∴=1. 25.(10分)如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H. (1)求抛物线的表达式; (2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积; (3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP的面积为6时,求出点P的坐标; (4)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在,请直接写出此时点M的坐标,若不存在,请说明理由. 【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可; (2)求出抛物线的对称轴,再根据对称性求出点C的坐标即可解决问题; (3)设点P(m,﹣m2+4m),根据S△ABP=S△ABH+S梯形AHDP﹣S△PBD,建立方程求解即可; (4)分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论,利用全等三角形和勾股定理ON的长即可. 【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点, ∴, 解得:, ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x. (2)如图1, ∵y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4, ∴对称轴为直线x=2, ∵B,C关于对称轴对称,B(1,3), ∴C(3,3), ∴BC=2, ∴S△ABC=×2×3=3. (3)如图1,设点P(m,﹣m2+4m), 根据题意,得:BH=AH=3,HD=m2﹣4m,PD=m﹣1, ∴S△ABP=S△ABH+S梯形AHDP﹣S△PBD, ∴6=×3×3+×(3+m﹣1)×(m2﹣4m)﹣×(m﹣1)×(3+m2﹣4m), 解得:m1=0,m2=5, ∵点P是抛物线上一动点,且位于第四象限, ∴m>0, ∴m=5,﹣m2+4m=﹣52+4×5=﹣5, ∴P(5,﹣5); (4)点M在直线BH上,点N在x轴上,△CMN为等腰直角三角形时,分三类情况讨论: ①以点M为直角顶点且M在x轴上方时,如图2,CM=MN,∠CMN=90°, ∵∠CBM=∠MHN=90°, ∴∠CMB+∠NMH=∠NMH+∠MNH=90°, ∴∠CMB=∠MNH, ∴△CBM≌△MHN(AAS), ∴BC=MH=2,BM=HN=3﹣2=1, ∴M(1,2); ②以点M为直角顶点且M在x轴下方时,如图3, 过点C作CD∥y轴,过点N作NE∥y轴,过点M作DE∥x轴交CD于点D,交NE于E, ∵∠CMN=∠CDM=∠MEN=90°,CM=MN, ∴∠CMD+∠NME=∠NME+∠MNE=90°, ∴∠CMD=∠MNE, ∴△NEM≌△MDC(AAS), ∴NE=MD=BC=2,EM=CD=5, ∵∠ENH=∠NEM=∠NHM=90°, ∴四边形EMHN是矩形, ∴HM=NE=2, ∴M(1,﹣2); ③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时,如图4,CN=MN,∠MNC=90°, 过点M作ME∥x轴,过点N作EN∥y轴交CB的延长线于D, 同理可得:△NEM≌△CDN(AAS), ∴ME=DN=3,NE=CD=HM=5, ∴M(1,﹣5); ④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时,如图5, 过点M作ME∥x轴,过点N作NE∥y轴交BC延长线于D, 同理可得:△NEM≌△CDN(AAS), ∴ME=DN=NH=3,NE=CD=3﹣2=1, ∴HM=NE=1, ∴M(1,﹣1); ⑤以C为直角顶点时,不能构成满足条件的等腰直角三角形; 综上所述,当△CMN为等腰直角三角形时,M点坐标为(1,2)或(1,﹣2)或(1,﹣5)或(1,﹣1).

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