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2021年湖北省武汉市硚口区中考数学模拟试卷
一、选择题
1．（3分）﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣ D．
2．（3分）一个不透明的袋子中装有5个相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5从袋子中随机摸出两个小球，则下列事件为随机事件的是（　　）
A．两个小球的标号之和等于2
B．两个小球的标号之和大于2
C．两个小球的标号之和等于9
D．两个小球的标号之和大于9
3．（3分）下列文字中，是轴对称图形的是（　　）
A．我 B．爱 C．中 D．国
4．（3分）计算（﹣2a3）2的结果是（　　）
A．﹣4a5 B．4a5 C．﹣4a6 D．4a6
5．（3分）由7个大小相同的小正方体组合成一个几何体，其俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置放置的小正方体的个数，则其左视图是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，其余两把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）已知，反比例函数y＝的图象上有两点A（﹣3，y1）和B（3，y2），则下列叙述正确的是（　　）
A．y1＝y2
B．当y1＝3时，y2＝﹣3
C．k＞0时，y1＞y2
D．过点B作x轴的垂线，垂足为点H，连AH，若S△ABH＝6，则k＝6
8．（3分）俗话说“困难像弹簧，你弱它就强”小明在研究弹簧的长度与所挂重物的关系时，发现在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：cm）与它所挂的物体重量x（单位：kg）之间是一次函数关系，小明记录了四次弹簧长度与物重的数据其中一组数据记录错误，它是（　　）
组数 1 2 3 4
x（kg） 4 8 10 12
y（cm） 15.8 16.6 17 17.6
A．第1组 B．第2组 C．第3组 D．第4组
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，D是弧BC的中点，E是AC的中点．若CD＝2，AC＝6，则DE＝（　　）
A． B．5 C． D．4
10．（3分）在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，m），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B、C两点若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，则k+b的值为（　　）
A． B．﹣ C．或0 D．或4
二、填空题
11．（3分）计算：＝　 　．
12．（3分）为了参加中学生足球联赛，某校足球队准备购买13双运动鞋，收集尺码，并整理如下统计表：
尺码/cm 25 25.5 26 26.5 27
购买量/双 5 2 3 2 1
则这组数据的中位数是　 　．
13．（3分）方程的解是　 　．
14．（3分）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角是30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角是60°，A、C之间的距离为4m，则自动扶梯的垂直高度BD＝　 　m．（取值1.732，结果精确到0.1米）
15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根，其中正确结论为　 　．
16．（3分）小明将一块长方形木板如图1所示切割，无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“L”形状，且成轴对称图形．切割过程中木材的消耗忽略不计，若已知AB＝9，BC＝16，FG⊥AD，则的值为　 　．
三、解答题
17．解不等式组，请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为　 　．
18．如图，在四边形ABCD中．AB∥CD，∠A＝∠C，BE平分∠ABC交AD于点E，DF∥BE交BC于点F，求证：DF平分∠CDA．
19．某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生调查了他们的平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档A档：t≤8；B档：8≤t＜9；C档9≤t≤10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息，并绘制成两幅统计图（不完整）．根据以上信息解答问题：
（1）本次调查的学生人数有　 　人，并将条形图补充完整；
（2）B档所在扇形统计图中圆心角的度数为　 　度；
（3）已知全校共1200名学生，请你估计全校C档和D档共有多少人？
20．在如图的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（1，7）B（8，6）C（6，2），D是AB与网格线的交点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题：
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）画出点D关于AC的对称点E；
（3）在AB上画点F，使∠BCF＝0.5∠BAC；
（4）线段AB绕某个点旋转一个角度得到线段CA（A与C对应，B与A对应），直接写出这个旋转中心的坐标．
21．如图，AB是⊙O的直径，AC交⊙O于点D，点E是弧AD的中点，BE交AC于点F，BC＝FC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BF＝3EF，求tan∠ACE的值．
22．某旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元
（1）设甲、乙两种客房每间现有定价分别为m元/天、n元/天，求m、n的值．
（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润W最大，最大利润是多少元？
23．在△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，∠EDF的两边分别交AB、AC所在直线于E、F两点，∠EDF＝2∠ABC，BD＝nCD．
（1）如图1，若∠ABC＝45°，n＝1，求证：DE＝DF；
（2）如图2，求的值（含n的式子表示）；
（3）如图3，连接EF，若tan∠B＝1，EF∥BC，且直接写出n的值为　 　．
24．已知抛物线y＝x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF＝∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．
（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ＝∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．
2021年湖北省武汉市硚口区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣ D．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：A．
2．（3分）一个不透明的袋子中装有5个相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5从袋子中随机摸出两个小球，则下列事件为随机事件的是（　　）
A．两个小球的标号之和等于2
B．两个小球的标号之和大于2
C．两个小球的标号之和等于9
D．两个小球的标号之和大于9
【分析】根据随机事件的意义结合具体问题情境进行判断即可．
【解答】解：从标号为1、2、3、4、5的小球中随机摸出2个小球，标号之和最小为1+2＝3，标号之和最大为4+5＝9，
因此，“两个小球的标号之和等于2”是不可能事件，
“两个小球的标号之和大于2”是必然事件，
“两个小球的标号之和等于9”是可能事件，也是随机事件，
“两个小球的标号之和大于9”是不可能事件，
故选：C．
3．（3分）下列文字中，是轴对称图形的是（　　）
A．我 B．爱 C．中 D．国
【分析】利用轴对称图形的概念可得答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
4．（3分）计算（﹣2a3）2的结果是（　　）
A．﹣4a5 B．4a5 C．﹣4a6 D．4a6
【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可．
【解答】解：原式＝4a6，
故选：D．
5．（3分）由7个大小相同的小正方体组合成一个几何体，其俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置放置的小正方体的个数，则其左视图是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此可得出图形．
【解答】解：该几何体的左视图如图所示：
故选：A．
6．（3分）有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，其余两把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图（用A、B表示两把不同的锁，用a、b、c、d表示四把钥匙，其中a能打开A，b能打开B）展示所有8种等可能的结果，找出一次打开锁的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：（用A、B表示两把不同的锁，用a、b、c、d表示四把钥匙，其中a能打开A，b能打开B），
共有8种等可能的结果，其中一次打开锁的结果数为2，
所以取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率＝＝．
故选：A．
7．（3分）已知，反比例函数y＝的图象上有两点A（﹣3，y1）和B（3，y2），则下列叙述正确的是（　　）
A．y1＝y2
B．当y1＝3时，y2＝﹣3
C．k＞0时，y1＞y2
D．过点B作x轴的垂线，垂足为点H，连AH，若S△ABH＝6，则k＝6
【分析】分类讨论点A与点B所在的象限，从而根据该函数在该象限内的单调性来判断y1与y2的大小关系判断A、C；根据反比例函数系数k的几何意义以及坐标特征判断B、D．
【解答】解：当k＞0时，A（﹣3，y1）在第三象限，点B（3，y2）第一象限，则y1＜y2，
当k＜0时，A（﹣3，y1）在第二象限，点B（3，y2）第四象限，则y1＞y2，
故A、C错误；
当y1＝3时，则A（﹣3，3），
∴反比例函数为y＝﹣，
把x＝3代入解析式求得y2＝﹣3，
故B正确；
过点B作x轴的垂线，垂足为点H，连AH，若S△ABH＝6，则k＝6或﹣6，
故D错误，
故选：B．
8．（3分）俗话说“困难像弹簧，你弱它就强”小明在研究弹簧的长度与所挂重物的关系时，发现在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：cm）与它所挂的物体重量x（单位：kg）之间是一次函数关系，小明记录了四次弹簧长度与物重的数据其中一组数据记录错误，它是（　　）
组数 1 2 3 4
x（kg） 4 8 10 12
y（cm） 15.8 16.6 17 17.6
A．第1组 B．第2组 C．第3组 D．第4组
【分析】先用待定系数法求出函数解析式，再把数据代进去验证即可．
【解答】解：设该一次函数的解析式为：y＝kx+b，
将（4，15.8）和（8，16.6）分别代入，得：
，
解得：，
∴y＝0.2x+15，
当x＝4时，y＝02×4+15＝15.8，在直线上，记录正确，
当x＝8时，y＝02×8+15＝16.6，在直线上，记录正确，
当x＝10时，y＝02×10+15＝17，在直线上，记录正确，
当x＝12时，y＝02×12+15＝17.4，而记录是17.6与计算结果不符，
∴记录错误的是第四组，
故选：D．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，D是弧BC的中点，E是AC的中点．若CD＝2，AC＝6，则DE＝（　　）
A． B．5 C． D．4
【分析】连接OC、BC、OE、BD，OE交⊙O于F，OD交BC于G，如图，先根据垂径定理得到OD⊥BC，CG＝BG，DB＝DC＝2，∠BOD＝∠COD，OE⊥AC，＝，再计算出∠DOF＝90°，设⊙O的半径为r，则DG＝r﹣3，利用勾股定理得到BG2＝r2﹣32，BG2＝（2）2﹣（r﹣3）2，则r2﹣32＝（2）2﹣（r﹣3）2，解得r＝5，所以BG＝4，然后利用勾股定理计算DE的长．
【解答】解：连接OC、BC、OE、BD，OE交⊙O于F，OD交BC于G，如图，
∵D是弧BC的中点，
∴OD⊥BC，CG＝BG，DB＝DC＝2，∠BOD＝∠COD，
∵E是AC的中点，
∴OE⊥AC，＝，
∴∠AOF＝∠COF，
∴∠DOF＝×180°＝90°，
∵OA＝OB，BG＝CG，
∴OG∥AC，OG＝AC＝3，
设⊙O的半径为r，则DG＝r﹣3，
在Rt△OBG中，BG2＝r2﹣32，
在Rt△DBG中，BG2＝（2）2﹣（r﹣3）2，
∴r2﹣32＝（2）2﹣（r﹣3）2，解得r1＝﹣2（舍去），r2＝5，
∴OD＝5，
∴BG＝＝4，
易得四边形OGCE为矩形，
∴OE＝CG＝BG＝4，
在Rt△DOE中，DE＝＝．
故选：A．
10．（3分）在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，m），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B、C两点若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，则k+b的值为（　　）
A． B．﹣ C．或0 D．或4
【分析】求出点A坐标，然后分两种情况，分别画出相应的图形，根据三角形的面积比和相似三角形进行解答即可．
【解答】解：∵点A（3，m）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴m＝＝4，
∴A（3，4），
分两种情况进行解答，
（1）如图1，过点A作AM⊥y轴，垂足为M，
∵S△AOB＝2S△BOC，
∴S△AOC＝S△BOC，
∴BC＝AC，
又∵∠ACM＝∠BCO，∠BOC＝∠AMC＝90°
∴△ACM≌△BCO （AAS），
∴OB＝AM＝3，
∴B（﹣3，0），
把A（3，4），B（﹣3，0）代入y＝kx+b得，
，
解得k＝，b＝2，
∴k+b＝+2＝；
（2）如图2，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，
∵S△AOB＝2S△BOC，
∴＝，
∵∠BOC＝∠ANB＝90°，∠OBC＝∠NBA，
∴△BOC∽△BNA，
∴＝＝，
即＝，
∴OC＝2，
∴C（0，﹣2），
把A（3，4），C（0，﹣2）代入y＝kx+b得，
，
解得，k＝2，b＝﹣2，
∴k+b＝2﹣2＝0，
因此k+b的值为或0，
故选：C．
二、填空题
11．（3分）计算：＝　3　．
【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果．
【解答】解：原式＝3．
故答案为：3
12．（3分）为了参加中学生足球联赛，某校足球队准备购买13双运动鞋，收集尺码，并整理如下统计表：
尺码/cm 25 25.5 26 26.5 27
购买量/双 5 2 3 2 1
则这组数据的中位数是　25.5　．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：处于这组数据中间位置的数是25.5，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是25.5；
故答案为：25.5．
13．（3分）方程的解是　x＝﹣　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：﹣6﹣8x+4＝x，
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，2（2x﹣1）≠0，
∴x＝﹣是分式方程的解．
故答案为：x＝﹣．
14．（3分）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角是30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角是60°，A、C之间的距离为4m，则自动扶梯的垂直高度BD＝　3.5　m．（取值1.732，结果精确到0.1米）
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到BC＝AC＝4，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴BC＝AC＝4，
在Rt△BDC中，sin∠BCD＝，
∴sin60°＝＝，
∴BD＝2≈3.5（m）．
故答案为：3.5．
15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根，其中正确结论为　②③　．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c＝2，由抛物线的对称轴为直线x＝﹣1得b＝2a，所以c﹣a＝2；根据二次函数的最大值问题，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，所以说方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①错误，不符合题意；
∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确，符合题意；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），
∴a﹣b+c＝2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确，符合题意；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，
即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④错误，不符合题意．
故答案为：②③．
16．（3分）小明将一块长方形木板如图1所示切割，无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“L”形状，且成轴对称图形．切割过程中木材的消耗忽略不计，若已知AB＝9，BC＝16，FG⊥AD，则的值为　　．
【分析】如图1，延长FG交BC于H，设CE＝x，则E'H'＝CE＝x，根据轴对称的性质得：D'E'＝DC＝E'F'＝9，表示GH，EH，BE的长，证明△EGH∽△EAB，则，可得x的值，计算EG的长，代入计算比值即可．
【解答】解：如图1，延长FG交BC于H，
设CE＝x，则E'H'＝CE＝x，
由轴对称的性质得：D'E'＝DC＝E'F'＝9，
∴H'F'＝AF＝9+x，
∵AD＝BC＝16，
∴DF＝16﹣（9+x）＝7﹣x，
即C'D'＝DF＝7﹣x＝F'G'，
∴FG＝7﹣x，
∴GH＝9﹣（7﹣x）＝2+x，EH＝16﹣x﹣（9+x）＝7﹣2x，
∴EH∥AB，
∴△EGH∽△EAB，
∴，
∴，
x＝1或31（舍），
∴GH＝3，EH＝5，
∴EG＝＝，
∴＝＝，
故答案为：．
三、解答题
17．解不等式组，请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得　x＞﹣5　；
（Ⅱ）解不等式②，得　x≤3　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为　﹣5＜x≤3　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x＞﹣5；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤3；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣5＜x≤3，
故答案为：x＞﹣5，x≤3，﹣5＜x≤3．
18．如图，在四边形ABCD中．AB∥CD，∠A＝∠C，BE平分∠ABC交AD于点E，DF∥BE交BC于点F，求证：DF平分∠CDA．
【分析】由已知可证四边形ABCD为平行四边形，继而得到四边形BFDE为平行四边形，得到∠EBF＝∠EDF，再证得FC＝CD，得到∠CFD＝∠CDF，从而证得结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠ADC＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵DF∥BE，
∴四边形BFDE为平行四边形，
∴∠EBF＝∠EDF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBF，
∵AD∥BC，
∴∠EBF＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AD＝BC，ED＝BF，
∴AE＝CF，
∵AB＝CD，
∴CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF，
∵AB∥BC，
∴∠EDF＝∠DFC，
∴∠EDF＝∠CFD，
∴DF平分∠CDA．
19．某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生调查了他们的平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档A档：t≤8；B档：8≤t＜9；C档9≤t≤10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息，并绘制成两幅统计图（不完整）．根据以上信息解答问题：
（1）本次调查的学生人数有　40　人，并将条形图补充完整；
（2）B档所在扇形统计图中圆心角的度数为　144　度；
（3）已知全校共1200名学生，请你估计全校C档和D档共有多少人？
【分析】（1）从两个统计图中可得“D档”的人数为4人，占调查人数的10%，可求出调查人数，进而求出“A档”“C档”人数，从而补全条形统计图；
（2）求出“B档”人数所占的百分比即可求出相应的圆心角度数；
（3）求出“C档”和“D档”所占的百分比即可．
【解答】解：（1）4÷10%＝40（人），40×20%＝8（人），
40﹣8﹣16﹣4＝12（人），
故答案为：40，补全条形统计图如下：
（2）360°×＝144°，
故答案为：144；
（3）1200×＝480（人），
答：全校共1200名学生中C档和D档共有480人．
20．在如图的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（1，7）B（8，6）C（6，2），D是AB与网格线的交点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题：
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）画出点D关于AC的对称点E；
（3）在AB上画点F，使∠BCF＝0.5∠BAC；
（4）线段AB绕某个点旋转一个角度得到线段CA（A与C对应，B与A对应），直接写出这个旋转中心的坐标．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB，AC，可得结论．
（2）取格点Q，使得△ACQ≌△ACB，线段AQ与格线的交点E，即为所求作．
（3）取格点W，连接CW交AB于点F，点F即为所求作．
（4）线段AC，AB的中垂线的交点J，即为所求作，构建一次函数，利用方程组确定交点坐标即可．
【解答】解：（1）如图，∵AB＝＝5，AC＝＝5，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）如图，点E即为所求作．
（3）如图，点F即为所求作．
（4）由题意，线段AC的中垂线为y＝x+1，线段AB的中垂线y＝7x﹣25，
由，解得，
∴旋转中心J的坐标为（，）．
21．如图，AB是⊙O的直径，AC交⊙O于点D，点E是弧AD的中点，BE交AC于点F，BC＝FC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BF＝3EF，求tan∠ACE的值．
【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角可得∠AED＝90°，利用等弧所对的圆周角相等和等边对等角，通过等量代换得到∠ABC＝90°，结论可证；
（2）连接OE，BD，由垂径定理的推论可得OE垂直平分AD，由直径所对的圆周角为直角，可得BD⊥AD，则BD∥OE，由平行线分线段成比例定理可得：．设EH＝2a，则BD＝6a，由三角形的中位线定理可得OH，圆的半径可求；利用勾股定理可求BD；利用△ABD∽△BCD，可求线段CD，则CH可求，在Rt△EHC中，tan∠ACE＝，结论可得．
【解答】解（1）证明：连接AE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°．
∴∠EAF+∠AFE＝∠EAB+∠ABE＝90°．
∵点E是弧AD的中点，
∴＝．
∴∠EAD＝∠ABE．
∴∠AFE+∠ABE＝90°．
∵∠AFE＝∠BFC，
∴∠ABE+∠CFB＝90°．
∵BC＝FC，
∴∠CFB＝∠CBF．
∴∠CBF+∠ABE＝90°．
∴∠ABC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线．
（2）连接OE，BD，如图，
∵点E是弧AD的中点，
∴OH⊥AD，AH＝HD＝AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AD．
∴BD∥OE．
∴．
∵BF＝3EF，
∴．
设EH＝2a，则BD＝6a．
∵OE∥BD，OA＝OB，
∴OF＝BD＝3a．
∴OA＝OE＝OH+HE＝5a．
∴AB＝2OA＝10a．
∴AD＝．
∴HD＝AD＝4a．
∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，
∴△ABD∽△BCD．
∴．
∴CD＝．
∴CH＝HD+CD＝．
在Rt△EHC中，tan∠ACE＝．
22．某旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元
（1）设甲、乙两种客房每间现有定价分别为m元/天、n元/天，求m、n的值．
（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润W最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值；
（2）根据题意，可以得到利润W和乙种房间数量的函数关系，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
解得，
答：m、n的值分别为300、200；
（2）设乙种风格客房每间房间定价为x元，
由题意可得，W＝（x﹣80）（20﹣×2）＝﹣0.1（x﹣240）2+2560，
∴当x＝240时，W取得最大值，此时W＝2560，
答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润W最大，最大利润是2560元．
23．在△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，∠EDF的两边分别交AB、AC所在直线于E、F两点，∠EDF＝2∠ABC，BD＝nCD．
（1）如图1，若∠ABC＝45°，n＝1，求证：DE＝DF；
（2）如图2，求的值（含n的式子表示）；
（3）如图3，连接EF，若tan∠B＝1，EF∥BC，且直接写出n的值为　3或　．
【分析】（1）如图1中，连接AD．利用SAS证明△BDE≌△ADF即可．
（2）在射线BA上取一点T，使得DB＝DT．可得∠B＝∠BTD＝∠C，利用角的和差可得∠EDT＝∠FDC，证明△TED∽△FDC，可得＝n．
（3）如图3中，作ET⊥BC于E，FH⊥BC于H．设EF＝5k，BC＝8k，则TH＝5k，设DT＝x，则DH＝5K﹣x，由△ETD∽△DHF，可得，推出＝，推出x2﹣5kx+2.25k2，解得x＝0.5k或4.5k，求出BD，CD即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，连接AD．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∵BD＝nCD，n＝1，
∴BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠DAC＝∠DAB＝45°，AD＝DB＝DC，
∵∠EDF＝2∠ABC＝90°，
∴∠BDA＝∠EDF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∵∠B＝∠DAF，BD＝AD，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE＝DF．
（2）解：在射线BA上取一点T，使得DB＝DT．
∵DB＝DT，
∴∠B＝∠BTD，
∴∠TDC＝∠B+∠ETD＝2∠B，
∵∠EDF＝2∠B，
∴∠EDF＝∠TDC，
∴∠EDT＝∠FDC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠BTD＝∠C，
∴△TED∽△FDC，
∴，
∵BD＝nCD，
∴＝n．
（3）解：如图3中，作ET⊥BC于T，FH⊥BC于H．
∵EF∥BC，ET∥FH，
∴四边形EFHT是平行四边形，
∵∠ETH＝90°，
∴四边形EFHT是矩形，
∴ET＝FH，EF＝TH，
∵，设EF＝5k，BC＝8k，则TH＝5k，
∵tanB＝1，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠ETB＝∠FHC＝90°，
∴ET＝BT＝FH＝CH＝1.5k，设DT＝x，则DH＝5k﹣x，
∵∠EDF＝2∠B＝90°，∠ETD＝∠FHD＝90°，
∴∠EDT+∠FDH＝90°，∠TED+∠EDT＝90°，
∴∠TED＝∠FDH，
∴△ETD∽△DHF，
∴，
∴＝，
∴5kx﹣x2＝2.25k2，
解得x＝0.5k或4.5k，
∴BD＝2k或6k，
∴BD：DC＝2k：6k＝1：3或BD：DC＝6k：2k＝3：1．
∴n＝3或．
24．已知抛物线y＝x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF＝∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．
（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ＝∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．
【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线解析式即可求得c的值，则可得抛物线解析式；
（2）过点C作CH⊥EF于点H，易证△EHC∽△FGC，再根据相似三角形的性质可得n的值；
（3）首先表示出点P的坐标，再根据△OPM∽△QPB，然后由对应边的比值相等得出PQ和BQ的长，从而可得△PBQ的周长．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入
得c＝﹣，
∴抛物线解析式为
（2）如图1，过点C作CH⊥EF于点H，
∵∠CEF＝∠CFG，FG⊥y轴于点G
∴△EHC∽△FGC
∵E（m，n）
∴F（m，）
又∵C（0，﹣）
∴EH＝n+，CH＝﹣m，FG＝﹣m，CG＝m2
又∵，
则
∴n+＝2
∴n＝
当F点位于E点上方时，则∠CEF＞90°；又∠CFG肯定为锐角，故这种情形不符合题意．
由此当n＝时，代入抛物线解析式，求得m＝±2，
又E点位于第二象限，所以﹣2＜m＜0．
（3）由题意可知P（t，0），M（t，）
∵PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ＝∠OMP，
∴△OPM∽△QPB．
∴．
其中OP＝t，PM＝，PB＝1﹣t，
∴PQ＝．
BQ＝
∴PQ+BQ+PB＝．
∴△PBQ的周长为2．

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