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2021年湖北省武汉市硚口区中考数学模拟试卷(Word版 含解析)

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2021年湖北省武汉市硚口区中考数学模拟试卷(Word版 含解析)

2021年湖北省武汉市硚口区中考数学模拟试卷 一、选择题 1.(3分)﹣3的绝对值是(  ) A.3 B.﹣3 C.﹣ D. 2.(3分)一个不透明的袋子中装有5个相同的小球,分别标号为1,2,3,4,5从袋子中随机摸出两个小球,则下列事件为随机事件的是(  ) A.两个小球的标号之和等于2 B.两个小球的标号之和大于2 C.两个小球的标号之和等于9 D.两个小球的标号之和大于9 3.(3分)下列文字中,是轴对称图形的是(  ) A.我 B.爱 C.中 D.国 4.(3分)计算(﹣2a3)2的结果是(  ) A.﹣4a5 B.4a5 C.﹣4a6 D.4a6 5.(3分)由7个大小相同的小正方体组合成一个几何体,其俯视图如图所示,其中正方形中的数字表示该位置放置的小正方体的个数,则其左视图是(  ) A. B. C. D. 6.(3分)有两把不同的锁和四把钥匙,其中两把钥匙分别能打开这两把锁,其余两把钥匙不能打开这两把锁,随机取出一把钥匙开任意一把锁,一次打开锁的概率是(  ) A. B. C. D. 7.(3分)已知,反比例函数y=的图象上有两点A(﹣3,y1)和B(3,y2),则下列叙述正确的是(  ) A.y1=y2 B.当y1=3时,y2=﹣3 C.k>0时,y1>y2 D.过点B作x轴的垂线,垂足为点H,连AH,若S△ABH=6,则k=6 8.(3分)俗话说“困难像弹簧,你弱它就强”小明在研究弹簧的长度与所挂重物的关系时,发现在弹性限度内,弹簧的长度y(单位:cm)与它所挂的物体重量x(单位:kg)之间是一次函数关系,小明记录了四次弹簧长度与物重的数据其中一组数据记录错误,它是(  ) 组数 1 2 3 4 x(kg) 4 8 10 12 y(cm) 15.8 16.6 17 17.6 A.第1组 B.第2组 C.第3组 D.第4组 9.(3分)如图,AB为⊙O的直径,AC为⊙O的弦,D是弧BC的中点,E是AC的中点.若CD=2,AC=6,则DE=(  ) A. B.5 C. D.4 10.(3分)在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(3,m),过点A的直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于B、C两点若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍,则k+b的值为(  ) A. B.﹣ C.或0 D.或4 二、填空题 11.(3分)计算:=   . 12.(3分)为了参加中学生足球联赛,某校足球队准备购买13双运动鞋,收集尺码,并整理如下统计表: 尺码/cm 25 25.5 26 26.5 27 购买量/双 5 2 3 2 1 则这组数据的中位数是   . 13.(3分)方程的解是   . 14.(3分)如图是某商场自动扶梯的示意图,自动扶梯AB的倾斜角是30°,在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角是60°,A、C之间的距离为4m,则自动扶梯的垂直高度BD=   m.(取值1.732,结果精确到0.1米) 15.(3分)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(﹣1,2),与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,则以下结论:①b2﹣4ac<0;②a+b+c<0;③c﹣a=2;④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个不相等的实数根,其中正确结论为   . 16.(3分)小明将一块长方形木板如图1所示切割,无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“L”形状,且成轴对称图形.切割过程中木材的消耗忽略不计,若已知AB=9,BC=16,FG⊥AD,则的值为   . 三、解答题 17.解不等式组,请按下列步骤完成解答: (Ⅰ)解不等式①,得   ; (Ⅱ)解不等式②,得   ; (Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来: (Ⅳ)原不等式组的解集为   . 18.如图,在四边形ABCD中.AB∥CD,∠A=∠C,BE平分∠ABC交AD于点E,DF∥BE交BC于点F,求证:DF平分∠CDA. 19.某校为了了解学生的课外阅读情况,从全校随机抽取了部分学生调查了他们的平均每周的课外阅读时间t(单位:小时).把调查结果分为四档A档:t≤8;B档:8≤t<9;C档9≤t≤10;D档:t≥10.根据调查情况,给出了部分数据信息,并绘制成两幅统计图(不完整).根据以上信息解答问题: (1)本次调查的学生人数有   人,并将条形图补充完整; (2)B档所在扇形统计图中圆心角的度数为   度; (3)已知全校共1200名学生,请你估计全校C档和D档共有多少人? 20.在如图的网格中建立平面直角坐标系,△ABC的顶点坐标分别为A(1,7)B(8,6)C(6,2),D是AB与网格线的交点,仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示,并完成下列问题: (1)直接写出△ABC的形状; (2)画出点D关于AC的对称点E; (3)在AB上画点F,使∠BCF=0.5∠BAC; (4)线段AB绕某个点旋转一个角度得到线段CA(A与C对应,B与A对应),直接写出这个旋转中心的坐标. 21.如图,AB是⊙O的直径,AC交⊙O于点D,点E是弧AD的中点,BE交AC于点F,BC=FC. (1)求证:BC是⊙O的切线; (2)若BF=3EF,求tan∠ACE的值. 22.某旅游度假村有甲种风格客房15间,乙种风格客房20间按现有定价:若全部入住,一天营业额为8500元;若甲、乙两种风格客房均有10间入住,一天营业额为5000元 (1)设甲、乙两种客房每间现有定价分别为m元/天、n元/天,求m、n的值. (2)度假村以乙种风格客房为例,市场情况调研发现:若每个房间每天按现有定价,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加20元时,就会有两个房间空闲.如果游客居住房间,度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用.当每间房间定价为多少元时,乙种风格客房每天的利润W最大,最大利润是多少元? 23.在△ABC中,AB=AC,点D在底边BC上,∠EDF的两边分别交AB、AC所在直线于E、F两点,∠EDF=2∠ABC,BD=nCD. (1)如图1,若∠ABC=45°,n=1,求证:DE=DF; (2)如图2,求的值(含n的式子表示); (3)如图3,连接EF,若tan∠B=1,EF∥BC,且直接写出n的值为   . 24.已知抛物线y=x2+c与x轴交于A(﹣1,0),B两点,交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)点E(m,n)是第二象限内一点,过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F,过点F作FG⊥y轴于点G,连接CE、CF,若∠CEF=∠CFG.求n的值并直接写出m的取值范围(利用图1完成你的探究). (3)如图2,点P是线段OB上一动点(不包括点O、B),PM⊥x轴交抛物线于点M,∠OBQ=∠OMP,BQ交直线PM于点Q,设点P的横坐标为t,求△PBQ的周长. 2021年湖北省武汉市硚口区中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1.(3分)﹣3的绝对值是(  ) A.3 B.﹣3 C.﹣ D. 【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解.第一步列出绝对值的表达式;第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号. 【解答】解:﹣3的绝对值是3. 故选:A. 2.(3分)一个不透明的袋子中装有5个相同的小球,分别标号为1,2,3,4,5从袋子中随机摸出两个小球,则下列事件为随机事件的是(  ) A.两个小球的标号之和等于2 B.两个小球的标号之和大于2 C.两个小球的标号之和等于9 D.两个小球的标号之和大于9 【分析】根据随机事件的意义结合具体问题情境进行判断即可. 【解答】解:从标号为1、2、3、4、5的小球中随机摸出2个小球,标号之和最小为1+2=3,标号之和最大为4+5=9, 因此,“两个小球的标号之和等于2”是不可能事件, “两个小球的标号之和大于2”是必然事件, “两个小球的标号之和等于9”是可能事件,也是随机事件, “两个小球的标号之和大于9”是不可能事件, 故选:C. 3.(3分)下列文字中,是轴对称图形的是(  ) A.我 B.爱 C.中 D.国 【分析】利用轴对称图形的概念可得答案. 【解答】解:A、不是轴对称图形,故此选项不合题意; B、不是轴对称图形,故此选项不合题意; C、是轴对称图形,故此选项符合题意; D、不是轴对称图形,故此选项不合题意; 故选:C. 4.(3分)计算(﹣2a3)2的结果是(  ) A.﹣4a5 B.4a5 C.﹣4a6 D.4a6 【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可. 【解答】解:原式=4a6, 故选:D. 5.(3分)由7个大小相同的小正方体组合成一个几何体,其俯视图如图所示,其中正方形中的数字表示该位置放置的小正方体的个数,则其左视图是(  ) A. B. C. D. 【分析】由已知条件可知,左视图有2列,每列小正方形数目分别为3,1.据此可得出图形. 【解答】解:该几何体的左视图如图所示: 故选:A. 6.(3分)有两把不同的锁和四把钥匙,其中两把钥匙分别能打开这两把锁,其余两把钥匙不能打开这两把锁,随机取出一把钥匙开任意一把锁,一次打开锁的概率是(  ) A. B. C. D. 【分析】画树状图(用A、B表示两把不同的锁,用a、b、c、d表示四把钥匙,其中a能打开A,b能打开B)展示所有8种等可能的结果,找出一次打开锁的结果数,然后根据概率公式求解. 【解答】解:画树状图为:(用A、B表示两把不同的锁,用a、b、c、d表示四把钥匙,其中a能打开A,b能打开B), 共有8种等可能的结果,其中一次打开锁的结果数为2, 所以取出一把钥匙开任意一把锁,一次打开锁的概率==. 故选:A. 7.(3分)已知,反比例函数y=的图象上有两点A(﹣3,y1)和B(3,y2),则下列叙述正确的是(  ) A.y1=y2 B.当y1=3时,y2=﹣3 C.k>0时,y1>y2 D.过点B作x轴的垂线,垂足为点H,连AH,若S△ABH=6,则k=6 【分析】分类讨论点A与点B所在的象限,从而根据该函数在该象限内的单调性来判断y1与y2的大小关系判断A、C;根据反比例函数系数k的几何意义以及坐标特征判断B、D. 【解答】解:当k>0时,A(﹣3,y1)在第三象限,点B(3,y2)第一象限,则y1<y2, 当k<0时,A(﹣3,y1)在第二象限,点B(3,y2)第四象限,则y1>y2, 故A、C错误; 当y1=3时,则A(﹣3,3), ∴反比例函数为y=﹣, 把x=3代入解析式求得y2=﹣3, 故B正确; 过点B作x轴的垂线,垂足为点H,连AH,若S△ABH=6,则k=6或﹣6, 故D错误, 故选:B. 8.(3分)俗话说“困难像弹簧,你弱它就强”小明在研究弹簧的长度与所挂重物的关系时,发现在弹性限度内,弹簧的长度y(单位:cm)与它所挂的物体重量x(单位:kg)之间是一次函数关系,小明记录了四次弹簧长度与物重的数据其中一组数据记录错误,它是(  ) 组数 1 2 3 4 x(kg) 4 8 10 12 y(cm) 15.8 16.6 17 17.6 A.第1组 B.第2组 C.第3组 D.第4组 【分析】先用待定系数法求出函数解析式,再把数据代进去验证即可. 【解答】解:设该一次函数的解析式为:y=kx+b, 将(4,15.8)和(8,16.6)分别代入,得: , 解得:, ∴y=0.2x+15, 当x=4时,y=02×4+15=15.8,在直线上,记录正确, 当x=8时,y=02×8+15=16.6,在直线上,记录正确, 当x=10时,y=02×10+15=17,在直线上,记录正确, 当x=12时,y=02×12+15=17.4,而记录是17.6与计算结果不符, ∴记录错误的是第四组, 故选:D. 9.(3分)如图,AB为⊙O的直径,AC为⊙O的弦,D是弧BC的中点,E是AC的中点.若CD=2,AC=6,则DE=(  ) A. B.5 C. D.4 【分析】连接OC、BC、OE、BD,OE交⊙O于F,OD交BC于G,如图,先根据垂径定理得到OD⊥BC,CG=BG,DB=DC=2,∠BOD=∠COD,OE⊥AC,=,再计算出∠DOF=90°,设⊙O的半径为r,则DG=r﹣3,利用勾股定理得到BG2=r2﹣32,BG2=(2)2﹣(r﹣3)2,则r2﹣32=(2)2﹣(r﹣3)2,解得r=5,所以BG=4,然后利用勾股定理计算DE的长. 【解答】解:连接OC、BC、OE、BD,OE交⊙O于F,OD交BC于G,如图, ∵D是弧BC的中点, ∴OD⊥BC,CG=BG,DB=DC=2,∠BOD=∠COD, ∵E是AC的中点, ∴OE⊥AC,=, ∴∠AOF=∠COF, ∴∠DOF=×180°=90°, ∵OA=OB,BG=CG, ∴OG∥AC,OG=AC=3, 设⊙O的半径为r,则DG=r﹣3, 在Rt△OBG中,BG2=r2﹣32, 在Rt△DBG中,BG2=(2)2﹣(r﹣3)2, ∴r2﹣32=(2)2﹣(r﹣3)2,解得r1=﹣2(舍去),r2=5, ∴OD=5, ∴BG==4, 易得四边形OGCE为矩形, ∴OE=CG=BG=4, 在Rt△DOE中,DE==. 故选:A. 10.(3分)在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(3,m),过点A的直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于B、C两点若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍,则k+b的值为(  ) A. B.﹣ C.或0 D.或4 【分析】求出点A坐标,然后分两种情况,分别画出相应的图形,根据三角形的面积比和相似三角形进行解答即可. 【解答】解:∵点A(3,m)在反比例函数y=(x>0)的图象上, ∴m==4, ∴A(3,4), 分两种情况进行解答, (1)如图1,过点A作AM⊥y轴,垂足为M, ∵S△AOB=2S△BOC, ∴S△AOC=S△BOC, ∴BC=AC, 又∵∠ACM=∠BCO,∠BOC=∠AMC=90° ∴△ACM≌△BCO (AAS), ∴OB=AM=3, ∴B(﹣3,0), 把A(3,4),B(﹣3,0)代入y=kx+b得, , 解得k=,b=2, ∴k+b=+2=; (2)如图2,过点A作AN⊥x轴,垂足为N, ∵S△AOB=2S△BOC, ∴=, ∵∠BOC=∠ANB=90°,∠OBC=∠NBA, ∴△BOC∽△BNA, ∴==, 即=, ∴OC=2, ∴C(0,﹣2), 把A(3,4),C(0,﹣2)代入y=kx+b得, , 解得,k=2,b=﹣2, ∴k+b=2﹣2=0, 因此k+b的值为或0, 故选:C. 二、填空题 11.(3分)计算:= 3 . 【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果. 【解答】解:原式=3. 故答案为:3 12.(3分)为了参加中学生足球联赛,某校足球队准备购买13双运动鞋,收集尺码,并整理如下统计表: 尺码/cm 25 25.5 26 26.5 27 购买量/双 5 2 3 2 1 则这组数据的中位数是 25.5 . 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数. 【解答】解:处于这组数据中间位置的数是25.5,那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是25.5; 故答案为:25.5. 13.(3分)方程的解是 x=﹣ . 【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解. 【解答】解:去分母得:﹣6﹣8x+4=x, 解得:x=﹣, 检验:当x=﹣时,2(2x﹣1)≠0, ∴x=﹣是分式方程的解. 故答案为:x=﹣. 14.(3分)如图是某商场自动扶梯的示意图,自动扶梯AB的倾斜角是30°,在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角是60°,A、C之间的距离为4m,则自动扶梯的垂直高度BD= 3.5 m.(取值1.732,结果精确到0.1米) 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到BC=AC=4,根据三角函数的定义即可得到结论. 【解答】解:∵∠BCD=∠BAC+∠ABC,∠BAC=30°,∠BCD=60°, ∴∠ABC=∠BCD﹣∠BAC=30°, ∴∠BAC=∠ABC, ∴BC=AC=4, 在Rt△BDC中,sin∠BCD=, ∴sin60°==, ∴BD=2≈3.5(m). 故答案为:3.5. 15.(3分)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(﹣1,2),与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,则以下结论:①b2﹣4ac<0;②a+b+c<0;③c﹣a=2;④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个不相等的实数根,其中正确结论为 ②③ . 【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac>0;有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(﹣1,2)得a﹣b+c=2,由抛物线的对称轴为直线x=﹣1得b=2a,所以c﹣a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=﹣1时,二次函数有最大值为2,即只有x=﹣1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根. 【解答】解:∵抛物线与x轴有两个交点, ∴b2﹣4ac>0,所以①错误,不符合题意; ∵顶点为D(﹣1,2), ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1, ∵抛物线与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间, ∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间, ∴当x=1时,y<0, ∴a+b+c<0,所以②正确,符合题意; ∵抛物线的顶点为D(﹣1,2), ∴a﹣b+c=2, ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1, ∴b=2a, ∴a﹣2a+c=2,即c﹣a=2,所以③正确,符合题意; ∵当x=﹣1时,二次函数有最大值为2, 即只有x=﹣1时,ax2+bx+c=2, ∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根,所以④错误,不符合题意. 故答案为:②③. 16.(3分)小明将一块长方形木板如图1所示切割,无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“L”形状,且成轴对称图形.切割过程中木材的消耗忽略不计,若已知AB=9,BC=16,FG⊥AD,则的值为  . 【分析】如图1,延长FG交BC于H,设CE=x,则E'H'=CE=x,根据轴对称的性质得:D'E'=DC=E'F'=9,表示GH,EH,BE的长,证明△EGH∽△EAB,则,可得x的值,计算EG的长,代入计算比值即可. 【解答】解:如图1,延长FG交BC于H, 设CE=x,则E'H'=CE=x, 由轴对称的性质得:D'E'=DC=E'F'=9, ∴H'F'=AF=9+x, ∵AD=BC=16, ∴DF=16﹣(9+x)=7﹣x, 即C'D'=DF=7﹣x=F'G', ∴FG=7﹣x, ∴GH=9﹣(7﹣x)=2+x,EH=16﹣x﹣(9+x)=7﹣2x, ∴EH∥AB, ∴△EGH∽△EAB, ∴, ∴, x=1或31(舍), ∴GH=3,EH=5, ∴EG==, ∴==, 故答案为:. 三、解答题 17.解不等式组,请按下列步骤完成解答: (Ⅰ)解不等式①,得 x>﹣5 ; (Ⅱ)解不等式②,得 x≤3 ; (Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来: (Ⅳ)原不等式组的解集为 ﹣5<x≤3 . 【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集. 【解答】解:(Ⅰ)解不等式①,得x>﹣5; (Ⅱ)解不等式②,得x≤3; (Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来: (Ⅳ)原不等式组的解集为﹣5<x≤3, 故答案为:x>﹣5,x≤3,﹣5<x≤3. 18.如图,在四边形ABCD中.AB∥CD,∠A=∠C,BE平分∠ABC交AD于点E,DF∥BE交BC于点F,求证:DF平分∠CDA. 【分析】由已知可证四边形ABCD为平行四边形,继而得到四边形BFDE为平行四边形,得到∠EBF=∠EDF,再证得FC=CD,得到∠CFD=∠CDF,从而证得结论. 【解答】证明:∵AB∥CD, ∴∠A+∠ADC=180°, ∵∠A=∠C, ∴∠C+∠ADC=180°, ∴AD∥BC, ∴四边形ABCD为平行四边形, ∵DF∥BE, ∴四边形BFDE为平行四边形, ∴∠EBF=∠EDF, ∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠EBF, ∵AD∥BC, ∴∠EBF=∠AEB, ∴AB=AE, ∵AD=BC,ED=BF, ∴AE=CF, ∵AB=CD, ∴CF=CD, ∴∠CFD=∠CDF, ∵AB∥BC, ∴∠EDF=∠DFC, ∴∠EDF=∠CFD, ∴DF平分∠CDA. 19.某校为了了解学生的课外阅读情况,从全校随机抽取了部分学生调查了他们的平均每周的课外阅读时间t(单位:小时).把调查结果分为四档A档:t≤8;B档:8≤t<9;C档9≤t≤10;D档:t≥10.根据调查情况,给出了部分数据信息,并绘制成两幅统计图(不完整).根据以上信息解答问题: (1)本次调查的学生人数有 40 人,并将条形图补充完整; (2)B档所在扇形统计图中圆心角的度数为 144 度; (3)已知全校共1200名学生,请你估计全校C档和D档共有多少人? 【分析】(1)从两个统计图中可得“D档”的人数为4人,占调查人数的10%,可求出调查人数,进而求出“A档”“C档”人数,从而补全条形统计图; (2)求出“B档”人数所占的百分比即可求出相应的圆心角度数; (3)求出“C档”和“D档”所占的百分比即可. 【解答】解:(1)4÷10%=40(人),40×20%=8(人), 40﹣8﹣16﹣4=12(人), 故答案为:40,补全条形统计图如下: (2)360°×=144°, 故答案为:144; (3)1200×=480(人), 答:全校共1200名学生中C档和D档共有480人. 20.在如图的网格中建立平面直角坐标系,△ABC的顶点坐标分别为A(1,7)B(8,6)C(6,2),D是AB与网格线的交点,仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示,并完成下列问题: (1)直接写出△ABC的形状; (2)画出点D关于AC的对称点E; (3)在AB上画点F,使∠BCF=0.5∠BAC; (4)线段AB绕某个点旋转一个角度得到线段CA(A与C对应,B与A对应),直接写出这个旋转中心的坐标. 【分析】(1)利用勾股定理求出AB,AC,可得结论. (2)取格点Q,使得△ACQ≌△ACB,线段AQ与格线的交点E,即为所求作. (3)取格点W,连接CW交AB于点F,点F即为所求作. (4)线段AC,AB的中垂线的交点J,即为所求作,构建一次函数,利用方程组确定交点坐标即可. 【解答】解:(1)如图,∵AB==5,AC==5, ∴AB=AC, ∴△ABC是等腰三角形. (2)如图,点E即为所求作. (3)如图,点F即为所求作. (4)由题意,线段AC的中垂线为y=x+1,线段AB的中垂线y=7x﹣25, 由,解得, ∴旋转中心J的坐标为(,). 21.如图,AB是⊙O的直径,AC交⊙O于点D,点E是弧AD的中点,BE交AC于点F,BC=FC. (1)求证:BC是⊙O的切线; (2)若BF=3EF,求tan∠ACE的值. 【分析】(1)连接AE,利用直径所对的圆周角是直角可得∠AED=90°,利用等弧所对的圆周角相等和等边对等角,通过等量代换得到∠ABC=90°,结论可证; (2)连接OE,BD,由垂径定理的推论可得OE垂直平分AD,由直径所对的圆周角为直角,可得BD⊥AD,则BD∥OE,由平行线分线段成比例定理可得:.设EH=2a,则BD=6a,由三角形的中位线定理可得OH,圆的半径可求;利用勾股定理可求BD;利用△ABD∽△BCD,可求线段CD,则CH可求,在Rt△EHC中,tan∠ACE=,结论可得. 【解答】解(1)证明:连接AE,如图, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠AEB=90°. ∴∠EAF+∠AFE=∠EAB+∠ABE=90°. ∵点E是弧AD的中点, ∴=. ∴∠EAD=∠ABE. ∴∠AFE+∠ABE=90°. ∵∠AFE=∠BFC, ∴∠ABE+∠CFB=90°. ∵BC=FC, ∴∠CFB=∠CBF. ∴∠CBF+∠ABE=90°. ∴∠ABC=90°, ∵AB是⊙O的直径, ∴BC是⊙O的切线. (2)连接OE,BD,如图, ∵点E是弧AD的中点, ∴OH⊥AD,AH=HD=AD. ∵AB是⊙O的直径, ∴BD⊥AD. ∴BD∥OE. ∴. ∵BF=3EF, ∴. 设EH=2a,则BD=6a. ∵OE∥BD,OA=OB, ∴OF=BD=3a. ∴OA=OE=OH+HE=5a. ∴AB=2OA=10a. ∴AD=. ∴HD=AD=4a. ∵∠ABC=90°,BD⊥AC, ∴△ABD∽△BCD. ∴. ∴CD=. ∴CH=HD+CD=. 在Rt△EHC中,tan∠ACE=. 22.某旅游度假村有甲种风格客房15间,乙种风格客房20间按现有定价:若全部入住,一天营业额为8500元;若甲、乙两种风格客房均有10间入住,一天营业额为5000元 (1)设甲、乙两种客房每间现有定价分别为m元/天、n元/天,求m、n的值. (2)度假村以乙种风格客房为例,市场情况调研发现:若每个房间每天按现有定价,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加20元时,就会有两个房间空闲.如果游客居住房间,度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用.当每间房间定价为多少元时,乙种风格客房每天的利润W最大,最大利润是多少元? 【分析】(1)根据全部入住,一天营业额为8500元;若甲、乙两种风格客房均有10间入住,一天营业额为5000元,可以列出相应的二元一次方程组,从而可以求得m、n的值; (2)根据题意,可以得到利润W和乙种房间数量的函数关系,从而可以解答本题. 【解答】解:(1)由题意可得, , 解得, 答:m、n的值分别为300、200; (2)设乙种风格客房每间房间定价为x元, 由题意可得,W=(x﹣80)(20﹣×2)=﹣0.1(x﹣240)2+2560, ∴当x=240时,W取得最大值,此时W=2560, 答:当每间房间定价为240元时,乙种风格客房每天的利润W最大,最大利润是2560元. 23.在△ABC中,AB=AC,点D在底边BC上,∠EDF的两边分别交AB、AC所在直线于E、F两点,∠EDF=2∠ABC,BD=nCD. (1)如图1,若∠ABC=45°,n=1,求证:DE=DF; (2)如图2,求的值(含n的式子表示); (3)如图3,连接EF,若tan∠B=1,EF∥BC,且直接写出n的值为 3或 . 【分析】(1)如图1中,连接AD.利用SAS证明△BDE≌△ADF即可. (2)在射线BA上取一点T,使得DB=DT.可得∠B=∠BTD=∠C,利用角的和差可得∠EDT=∠FDC,证明△TED∽△FDC,可得=n. (3)如图3中,作ET⊥BC于E,FH⊥BC于H.设EF=5k,BC=8k,则TH=5k,设DT=x,则DH=5K﹣x,由△ETD∽△DHF,可得,推出=,推出x2﹣5kx+2.25k2,解得x=0.5k或4.5k,求出BD,CD即可解决问题. 【解答】(1)证明:如图1中,连接AD. ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C=45°, ∵BD=nCD,n=1, ∴BD=CD, ∴AD⊥BC,∠DAC=∠DAB=45°,AD=DB=DC, ∵∠EDF=2∠ABC=90°, ∴∠BDA=∠EDF=90°, ∴∠BDE=∠ADF, ∵∠B=∠DAF,BD=AD, ∴△BDE≌△ADF(SAS), ∴DE=DF. (2)解:在射线BA上取一点T,使得DB=DT. ∵DB=DT, ∴∠B=∠BTD, ∴∠TDC=∠B+∠ETD=2∠B, ∵∠EDF=2∠B, ∴∠EDF=∠TDC, ∴∠EDT=∠FDC, ∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴∠BTD=∠C, ∴△TED∽△FDC, ∴, ∵BD=nCD, ∴=n. (3)解:如图3中,作ET⊥BC于T,FH⊥BC于H. ∵EF∥BC,ET∥FH, ∴四边形EFHT是平行四边形, ∵∠ETH=90°, ∴四边形EFHT是矩形, ∴ET=FH,EF=TH, ∵,设EF=5k,BC=8k,则TH=5k, ∵tanB=1, ∴∠B=∠C=45°, ∵∠ETB=∠FHC=90°, ∴ET=BT=FH=CH=1.5k,设DT=x,则DH=5k﹣x, ∵∠EDF=2∠B=90°,∠ETD=∠FHD=90°, ∴∠EDT+∠FDH=90°,∠TED+∠EDT=90°, ∴∠TED=∠FDH, ∴△ETD∽△DHF, ∴, ∴=, ∴5kx﹣x2=2.25k2, 解得x=0.5k或4.5k, ∴BD=2k或6k, ∴BD:DC=2k:6k=1:3或BD:DC=6k:2k=3:1. ∴n=3或. 24.已知抛物线y=x2+c与x轴交于A(﹣1,0),B两点,交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)点E(m,n)是第二象限内一点,过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F,过点F作FG⊥y轴于点G,连接CE、CF,若∠CEF=∠CFG.求n的值并直接写出m的取值范围(利用图1完成你的探究). (3)如图2,点P是线段OB上一动点(不包括点O、B),PM⊥x轴交抛物线于点M,∠OBQ=∠OMP,BQ交直线PM于点Q,设点P的横坐标为t,求△PBQ的周长. 【分析】(1)将点A的坐标代入抛物线解析式即可求得c的值,则可得抛物线解析式; (2)过点C作CH⊥EF于点H,易证△EHC∽△FGC,再根据相似三角形的性质可得n的值; (3)首先表示出点P的坐标,再根据△OPM∽△QPB,然后由对应边的比值相等得出PQ和BQ的长,从而可得△PBQ的周长. 【解答】解:(1)把A(﹣1,0)代入 得c=﹣, ∴抛物线解析式为 (2)如图1,过点C作CH⊥EF于点H, ∵∠CEF=∠CFG,FG⊥y轴于点G ∴△EHC∽△FGC ∵E(m,n) ∴F(m,) 又∵C(0,﹣) ∴EH=n+,CH=﹣m,FG=﹣m,CG=m2 又∵, 则 ∴n+=2 ∴n= 当F点位于E点上方时,则∠CEF>90°;又∠CFG肯定为锐角,故这种情形不符合题意. 由此当n=时,代入抛物线解析式,求得m=±2, 又E点位于第二象限,所以﹣2<m<0. (3)由题意可知P(t,0),M(t,) ∵PM⊥x轴交抛物线于点M,∠OBQ=∠OMP, ∴△OPM∽△QPB. ∴. 其中OP=t,PM=,PB=1﹣t, ∴PQ=. BQ= ∴PQ+BQ+PB=. ∴△PBQ的周长为2.

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